ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 4, стр. 696-707

КАПЛИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА В ЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМЕ

МАЛОЙ ПЛОТНОСТИ С ПРИТЯЖЕНИЕМ В ПРИСУТСТВИИ

СИЛЬНОГО СЛУЧАЙНОГО ПОТЕНЦИАЛА

М. Ю. Каган^*, Е. А. Мазур^**

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

101000, Москва, Россия

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

115409, Москва, Россия

Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

123122, Москва, Россия

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 27 сентября 2020 г.,

после переработки 12 октября 2020 г.

Принята к публикации 12 октября 2020 г.

Рассчитаны свойства двумерной электронной системы с низкой плотностью (n ≪ 1) с сильным локаль-

ным притяжением Хаббарда U > W (W — ширина зоны) в присутствии сильного случайного потенциала

V , равномерно распределенного в диапазоне от -V до +V . Учитывались электронные прыжки только на

соседние узлы квадратной решетки при W = 8t. Расчеты осуществлялись на решетке 24 × 24 с периоди-

ческими граничными условиями. В рамках подхода Боголюбова - де Жена наблюдалось появление неод-

нородных состояний пространственно разделенной ферми-бозе-смеси куперовских пар и неспаренных

электронов с образованием капель бозонов разного размера в матрице непарных нормальных электрон-

ных состояний. Наблюдался эффект уменьшения размера капли (от более крупных капель до отдельных

биэлектронных пар) при уменьшении электронной плотности при фиксированных значениях притяжения

Хаббарда и случайного потенциала. Полученные результаты важны для построения фазовой диаграммы

и понимания природы фазового перехода между сверхпроводящим, нормальным металлическим и лока-

лизованными состояниями в квазидвумерном (тонкая пленка) грязном металле. В более практическом

смысле полученные результаты интересны также для экспериментального внедрения сверхпроводящих

кубитов на квантовых схемах с высоким импедансом в гранулированных сверхпроводниках.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 90-летию И. Е. Дзялошинского

DOI: 10.31857/S0044451021040118

формы для сверхпроводящих кубитов [10]. Обще-

принятой физической картины разрушения сверх-

проводящего состояния и природы нормального со-

1. ВВЕДЕНИЕ

стояния пока не выявлено. Часть теоретических ра-

бот [1-7] предполагает, что амплитуда спаривания

Влияние сильного беспорядка на сверхпроводи-

Δ(r) однородна в пространстве (не зависит от r) да-

мость уже давно является предметом большого ин-

же для сильно неупорядоченной системы. В рабо-

тереса как теоретически [1-7], так и эксперимен-

тах [7, 11, 12] было решено уравнение Боголюбова -

тально в тонких пленках [8, 9] и гранулированных

де Жена в реальном пространстве, однако квазибо-

сверхпроводниках, используемых в качестве плат-

зонный предел низких электронных плотностей не

был полностью исследован.

^* E-mail: mkagan@hse.ru

^** E-mail: eugen_mazur@mail.ru

696

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Капли параметра порядка в электронной системе...

В настоящей статье мы рассмотрим двумерную

компоненты спина, μ — химический потенциал. Слу-

модель Хаббарда с притяжением U для s-волново-

чайный потенциал V_i выбирается независимо для

го сверхпроводника при низких температурах T в

каждого узла и регулируется с помощью случайно-

сильном случайном потенциале V и проанализиру-

го равномерного распределения в диапазоне [-V, V ].

ем эту модель подробно в рамках подхода Боголюбо-

Таким образом, V контролирует интенсивность диа-

ва - де Жена (БдЖ), принимая во внимание как ре-

гонального беспорядка в системе.

шения с положительными значениями энергии E_n,

Запишем уравнения БдЖ для функции Боголю-

так и решения с отрицательными значениями энер-

бова, т. е. для боголонов в виде «электронов» и в

гии электронной системы [13, 14]. Наша цель со-

виде «дырок», участвующих в спаривании [13, 14]:

стоит в том, чтобы наблюдать, как амплитуда ло-

∑

кального спаривания Δ(r) изменяется в простран-

-t

u_n (r_i ± x, ±ŷ) + (U (r_i) + V_i - μ) ×

стве в присутствии беспорядка в диапазонах пара-

±x,±ŷ

метров как сильного эффекта притяжения Хаббар-

× un (r_i) + Δ_i · vn (r_i) = E_nun (r_i),

(2)

да U > W , так и сильного беспорядка V > W при

низких концентрациях электронов n = 0.125-0.3, ко-

∑

Δ^∗i · u_n (r_i) + t

v_n (r_i ± x, ±ŷ) -

торые еще не проанализированы. Мы также стави-

±x,±ŷ

ли цель изучить влияние пространственных неодно-

- (U (r_i) + V_i - μ)v_n (r_i) = E_nv_n (r_i).

(3)

родностей на физически значимые корреляционные

функции.

Здесь E_n — энергия возбуждений в системе, μ — хи-

Следует отметить, что в последнее время экспе-

мический потенциал в присутствии случайного диа-

риментальные усилия для создания сверхпроводя-

гонального беспорядка V , U (r_i) — потенциал сред-

щих кубитов на квантовых схемах с высоким им-

него поля на узле r_i [13,14], Δ (r_i) — потенциал спа-

педансом в гранулированных сверхпроводниках [10]

ривания на узле r_i [13, 14]. Для того, чтобы пра-

снова делают актуальной проблему построения фа-

вильно учитывать как потенциал спаривания, так

зовых диаграмм и понимания природы фазового пе-

и химический потенциал μ в системе, что требует

рехода из нормального состояния в сверхпроводник

учета состояний, лежащих ниже уровня Ферми, мы

и перехода изолятор-сверхпроводник в тонких плен-

будем удерживать решения системы (1), (2) как с

ках грязного металла s [9, 10]. В заключение при-

положительными значениями энергии E_n, так и с

ведем некоторые комментарии о следствии наших

отрицательными значениями энергии электронной

результатов в отношении интерпретации опытов на

системы. Наиболее важные вклады в плотность со-

неупорядоченных тонких пленках.

стояний электронов n (r_i, E) на узле решетки r_i при-

водят к выражению [13]

∑[

]

2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО

n (r_i, E) = 2

|u_n (r_i)|² f_n+ |v_n (r_i)|² (1-f_n) ×

СЛУЧАЯ И ПОСТАНОВКА МОДЕЛИ

Рассмотрим двумерную модель Хаббарда неупо-

× δ (E - E_n),

(4)

рядоченного сверхпроводника s-типа с короткодей-

где f_n = 1/ [exp (E_n/kT ) + 1] — функция распреде-

ствующим притяжением между носителями, описы-

ления Ферми - Дирака для заданного значения энер-

ваемую гамильтонианом:

гии возбуждения E_n. Химический потенциал μ опре-

∑

(

)

∑

деляется из условия самосогласования для плотно-

H = -t

c^†j,σc_i,σ + H.c.

+U n_i↑n_i↓+

сти частиц n (что соответствует среднему числу

i,j,σ

∑

электронов на узле):

+ (V_i - μ) n_iσ.

(1)

1^∑

∑∑[

i,σ

n_i = 2

|u_n (r_i)|² f_n +

Здесь первое слагаемое описывает кинетическую

]

энергию, t соответствует перескокам на соседние уз-

+ |v_n (r_i)|² (1 - f_n) = n.

(5)

лы квадратной решетки, U = - |U| — амплитуда

Чтобы получить условия нормировки для соб-

хаббардовского потенциала притяжения на одном

ственных функций, мы исходим из соотношения [14]

узле, c^†iσ(c_iσ) — операторы рождения (уничтожения)

∑

электрона со спином σ на узле решетки r_i, n_i,σ — ло-

[u_n (r) u^∗n (r^′) + v_n (r) v^∗n (r^′)] = δ (r - r^′) .

кальная плотность электронов на узле i для одной

697

М. Ю. Каган, Е. А. Мазур

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

∑

Предполагаем, что как r, так и r^′ лежат в преде-

Δ^∗i · u_n (r_i) + t

v_n (r_i ± x, ±ŷ) -

лах ячейки с радиус-вектором R_i. Проинтегрируем

±x,±ŷ

по r^′ по площади ячейки R_i при условии, что внутри

- (V_i - μ_i)v_n (r_i) = E_nv_n (r_i).

(8)

ячейки u_n (r) = u_n (R_i), v_n (r) = v_n (R_i). Пусть S_i бу-

дет равно площади элементарной ячейки, S_i = S/N.

В (7), (8) μ_i имеет вид

В результате получаем

[

]

∑

μ_i = μ+U

|u_n (r_i)|² f_n+ |v_n (r_i)|² (1-f_n)

(9)

[u_n (R_i) u^∗n (r^′) + v_n (R_i) v^∗n (r^′)] S_i =

∫

В то же время потенциал спаривания Δ(r_i), фигу-

= dr δ (r - r^′) = 1.

рирующий в (2), (3), (7), (8), может быть записан

как [13, 14]

Было принято во внимание, что в процессе интегри-

∑

Δ (r_i) = U u_n (r_i) v^∗n (r_i) (1 - 2f_n) .

(10)

рования по ячейке R_i по r в процессе интегрирова-

ния переменная r совпадает с r^′. Теперь проинтегри-

руем полученное выражение по r^′ в предположении

Исходя из начального предположения для

выполнения равенства

Δ_i (r_i) ≡ Δ_i и μ, мы численно решали уравнения

∑[

]

БдЖ (2)-(10) для собственных значений E_n и

u_n (R_i)u^∗n (R_i)^∗ + v_n (R_i)v^∗n (R_i)

S_iS_i = S_i

для собственных векторов (u_n (r_i)), (v_n (r_i)) на

конечной 2D-решетке из N × N узлов с периодиче-

внутри ячейки, так что

скими граничными условиями. Затем рассчитывали

∑[

]

u_n (R_i)u^∗n (R_i)^∗ + v_n (R_i)v^∗n (R_i)

величины амплитуд (u_n (r_i)), (v_n (r_i)) для конкрет-

ных узлов и устанавливали численное значение

концентрации боголонов вида u в сумме по со-

=n_knots,

∑

S_i

стояниям n_u,σ (r_i)

∑

вида v n_v,σ (r_i) =_n |v_n (r_i)|² (1 - f_n) = n_u,σ (r_i)

где n_knots — концентрация ячеек (узлов) в простей-

при низких температурах. Далее мы рассчиты-

шем случае, рассматриваемом здесь. Когда мы вы-

вали амплитуду локального спаривания Δ(r_i) =

полняем пространственное∑ [еднение в пределах

∑

]

= Un un (r_i)v∗n (r_i)(1 - 2f_n) на каждом узле и

элементарной ячейки типаn |vn (ri)|2 , появляет-

значение плотности боголонов типа u и v на узлах

ся множитель n-1knotsS, который приводит к исчезно-

ri. Мы повторяли итерационный процесс вплоть

вению множителя n_knots в правой стороне условия

до достижения самосогласования для Δ_i и n_i на

нормировки. Следовательно, можно эффективно за-

каждом узле.

писать условие нормировки в стандартной форме

∑

|u_n (r_i)|² +_n |v_n (r_i)|² = 1. При суммировании

следует учитывать как состояния с положительной

3. МЕТОДИКА РАСЧЕТА

энергией, так и состояния с отрицательной энерги-

В данной работе мы исследовали решетку с

ей. В формулах (1), (2) в дополнение к случайному

24 × 24 ячейками с периодическими граничными

потенциалу V_i учитывается потенциал среднего по-

условиями. Расчет начинался со случайными зна-

ля U (r_i) на узле r_i [13, 14]. Это дает [15]

чениями Δ_i и μ_i на каждом из узлов, после че-

U_i ≡ U (r_i) =

го выполнялась процедура численной диагонализа-

[

]

∑

ции полученного гамильтониана с помощью библио-

= -U

|u_n (r_i)|² f_n + |v_n (r_i)|² (1 - f_n)

(6)

теки программ языков программирования maple и

math-lab. В результате были найдены собственные

Вводя хартри-фоковский сдвиг химического по-

векторы u_n (r_i), v_n (r_i) и собственные значения E_n

тенциала μ_i = μ+Unel(ri)2 , перепишем формулы (2),

системы.

(3) через эффективный химический потенциал μ_i,

После этого Δ_i и μ_i вновь пересчитывались из

который зависит от сайта i:

соотношений (10) и (9) и снова использовались в

∑

качестве начальных значений на входе самосогла-

-t

u_n (r_i ± x, ±ŷ) + (V_i - μ_i)u_n (r_i) +

сованного цикла. Цикл выполнялся до сходимости

±x,±ŷ

значений Δ_i и μ_i на каждом узле с заданной точнос-

+ Δ_i · vn (r_i) = E_nun (r_i),

(7)

тью. Длительность процедуры на компьютере НИЦ

698

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Капли параметра порядка в электронной системе...

КИ составляла несколько часов. Модель (1) иссле-

ные изолированные области. При малых концентра-

довалась для диапазона параметров 1 < |U|/t < 10

циях система проявляет свойства бозонного метал-

и 0 < V/t < 12 на решетке размером N = 24×24 уз-

ла, носителями которого являются бозонные класте-

ла. В исследовании также рассматривались низкие

ры, состоящие из нескольких электронных пар.

концентрации n = 0.125 при низкой температуре.

Чтобы охарактеризовать относительную локали-

Величина энергетической щели E_gap определяется

зацию пар, на рис. 2 показаны графики зависи-

как наименьшее положительное собственное значе-

мости математического ожидания Δ_iΔ_j , описываю-

ние энергии. Соответственно, Δ_i — значение пара-

щего корреляцию пространственного расположения

метра порядка на i-м узле, V — амплитуда беспо-

пар, для ряда значений концентрации для данных U

рядка, значения E_gap и Δ_op, так же как и все ре-

и V . В приведенных выше расчетах мы не усредня-

зультаты, если не указано иное, были усреднены по

ли конфигурации беспорядка, все результаты пред-

25 запускам с различными распределениями случай-

ставлены для одной реализации беспорядка.

ного беспорядка. В расчетах также использовался

Как видно из рис. 2в, значение концентрации n =

программный пакет QUANTUM ESPRESSO Version

= 0.4 соответствует близости системы к переходу в

6.2.1 [16, 17] и расчетные визуализаторы.

состояние с полным отсутствием спаривания элек-

тронов (с исчезновением параметра порядка одно-

временно на всех узлах). Из рис. 2 следует, что при

4. ТЕНДЕНЦИИ В СИСТЕМЕ С

всех значениях концентрации электронов в систе-

УМЕРЕННЫМ БЕСПОРЯДКОМ ПРИ

ме устанавливается дальний порядок, так что пре-

УВЕЛИЧЕНИИ U

валирует состояние с парами, расположенными на

максимальном расстоянии друг от друга (рис. 2).

Первый вариант расчета в рамках уравнений Бо-

Как видно из рис. 2, одной и той же пространствен-

голюбова - де Жена (2)-(10) был выполнен при тем-

ной конфигурации взаимного расположения элек-

пературе, близкой к нулю, на узлах сетки N

тронных пар соответствует много значений корре-

= 24×24 при крайне низкой концентрации электро-

лятора. Таким образом, система не демонстриру-

нов n = 0.15 в пределе очень сильного притяжения

ет четкую зависимость математического ожидания

между электронами U = -10t. Расчеты выполнены

Δ_iΔ_j от взаимного пространственного расположе-

для умеренного беспорядка V = 2. На рис. 1 показа-

ния пар электронов. Анализ поведения математи-

ны тенденции, проявляющиеся при увеличении |U|

ческого ожидания Δ_iΔ_j (рис. 2), которое отвечает

в виде возникающих зависимостей пространствен-

за пространственное распределение пар в системе,

ного распределения электронной плотности (левый

не позволяет сделать вывод, что при этих парамет-

столбец), электронной щели Δ (правый столбец) и

рах система является диэлектриком. Отметим, что

величины, характеризующей сосуществование ды-

в данном разделе мы указали определенные преде-

рок и электронов в реальных условиях (смешива-

лы значений параметров, соответствующих перехо-

ние частица-дырка) (средний столбец). Видно, что

ду системы в состояние изолятора.

последняя величина коррелирует с Δ. Распределе-

ния всех величин при увеличении U (что влияет на

эффект локализации на отдельных участках) пред-

5. РАСЧЕТЫ ДЛЯ ЧРЕЗВЫЧАЙНО НИЗКИХ

ставлены на рис. 1.

ПЛОТНОСТЕЙ И СЛАБОГО БЕСПОРЯДКА

Как видим из рис. 1, при низких концентрациях

электронов n = 0.15 система даже при умеренных

Расчеты, аналогичные [18-20], но для ранее не

значениях беспорядка проявляет тенденцию к обра-

исследованной области предельно низкой концен-

зованию капель параметра порядка, пространствен-

трации электронов n = 0.125, были выполнены при

ное расположение которых коррелирует с простран-

ненулевой температуре на сетке N = 24 × 24 узлов

ственным распределением плотности электронов в

для U = -10t. Результаты предыдущего раздела до-

системе (правый столбец), а также со значением, ха-

полнены расчетами для слабого беспорядка с ампли-

рактеризующим сосуществование дырок и электро-

тудами V = 0.25, 2.0, 4.0, 10.0. Для U = 10 и V = 2

нов в реальном пространстве. Электроны в систе-

рис. 3 показывает, как увеличение концентрации n

ме расположены в областях с малыми значениями

влияет на характер и масштаб уменьшения среднего

беспорядка. При рассмотренных параметрах систе-

параметра спаривания Δ_op и на величину E_gap при

ма не является изолятором, так как распределение

изменении концентрации от n = 0.18 до n = 0.20.

электронов в пространстве не разбилось на отдель-

Результаты усреднены по пяти конфигурациям.

699

М. Ю. Каган, Е. А. Мазур

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Рис. 1. Пространственное распределение щели в спектре электронов Δ (правый столбец), концентрация электронов (ле-

вый столбец) и величина, характеризующая сосуществование дырок и электронов в реальном пространстве (средний

столбец). Верхняя строка соответствует |U| = 2t, V = 2t, вторая строка при отсчете сверху вниз соответствует |U| = 4t,

V = 2t, третья строка соответствует |U| = 10t, V = 2t, нижняя строка, представленная здесь для сравнения, соответ-

ствует |U| = 10t, V = 10t. Расчеты выполнены для малой электронной плотности n = 0.15

Наличие минимума на зависимости E_gap от сте-

и величины, характеризующей сосуществование ды-

пени разупорядочения V (рис. 4а) согласуется с ре-

рок и электронов в реальном пространстве (смеши-

зультатами [18-20]. На рис. 5, 6 показаны зависи-

вание частиц с дырками, средние столбцы) для раз-

мости пространственного распределения Δ (левые

личных амплитуд V степени беспорядка в системе.

столбцы), электронной плотности (правые столбцы)

Для каждого конкретного изображения мы исполь-

700

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Капли параметра порядка в электронной системе...

Рис. 2. Зависимости математического ожидания ΔiΔj , отражающего пространственное распределение электронных пар,

от расстояния между парами, выраженного в постоянных решетки. Серия графиков представлена с изменением средней

концентрации для V = 8 и U = 6: n = 0.07 (а), 0.30 (б), 0.40 (в)

Из рис. 5 видно, что до определенных значений V

(порядка 5) четко прослеживается корреляция меж-

ду левым и средним столбцами. На рис. 5 показан

переход от капель параметра порядка к отдельным

парам электронов — бозонам, с увеличением степе-

ни беспорядка в системе. Вопрос относительно пере-

хода к предельной величине беспорядка, при кото-

ром наша система переходит от бозе-металла к бозе-

изолятору, на рис. 5 остается открытым и требует

дополнительного исследования. Таким образом, на-

ша задача разделена на две независимые проблемы:

проблему бозе-металла и проблему бозе-изолятора

Рис. 3. Зависимости среднего параметра спаривания Δop

для значений беспорядка, превышающих критиче-

(а) и величины Egap (б) от электронной плотности в диа-

пазоне от n = 0.16 до n = 0.22, U/t = -10, V

= 2,

ское значение, с распределением капель парамет-

температура T = 0.01 для решетки с 24 × 24 узлами

ра порядка, содержащих бозе-состояния. Сравнивая

все три столбца рис. 5, можно сделать вывод, что су-

ществует также фаза, в которой большинство элек-

зуем собственную шкалу контрастности от белого до

тронных пар локализовано, а меньшая часть делока-

черного, поэтому некоторые конфигурации выгля-

лизованных пар движется на фоне такого состояния

дят блеклыми по сравнению с другими из-за кон-

бозе-изолятора.

кретной реализации беспорядка.

На рис. 6 показаны значения |u_n (r_i)|² + |v_n (r_i)|²

с положительными значениями энергии для первых

трех возбуждений для V = 0.5, 4.

6. РАСЧЕТЫ ДЛЯ МАЛЫХ

7. РАСЧЕТЫ ДЛЯ ВЫСОКОЙ СТЕПЕНИ

КОНЦЕНТРАЦИЙ ЭЛЕКТРОНОВ В

БЕСПОРЯДКА В ДИАПАЗОНЕ

ДИАПАЗОНЕ БЕСПОРЯДКА ОТ НИЗКИХ

ЭЛЕКТРОННОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ОТ

ДО ВЫСОКИХ ЗНАЧЕНИЙ

НИЗКИХ n = 0.15 ДО СРЕДНИХ n = 0.32

ЗНАЧЕНИЙ

В данном разделе представлены результаты рас-

четов в широком диапазоне степени беспорядка с

В данном разделе представлены результаты рас-

амплитудами V = 0.5, 6.0, 10.0 для системы 24 × 24

четов в диапазоне электронных плотностей от низ-

с плотностью n = 0.15.

кой n = 0.15 до умеренной n = 0.30 величины с

701

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Капли параметра порядка в электронной системе...

Рис. 6. Показаны три возбуждения для набора значений V = 0.5, U = 6, t = 0.01, n = 0.3 (верхняя строка), для набора

значений V = 4, U = 6, t = 0.01, n = 0.15 (нижняя строка). Слева направо номер возбуждения для данного значения U

увеличивается с соответствующими энергиями 0.000088, 0.004876, 0.013679 для верхней строки и энергиями 0.102606,

0.172969, 0.217828 для нижней строки

амплитудой беспорядка V = 8 и амплитудой при-

8. ВЫВОДЫ

тяжения Хаббарда U = 6 для решетки с 24 × 24

узлами. Также показаны отдельные случайные воз-

Как уже отмечалось в предыдущих теоретичес-

буждения.

ких работах [7, 11, 12, 21-23], специфические особен-

Как видим, для плотности n = 0.11 появляют-

ности в двумерном случае полной фазовой диаграм-

ся одиночные пары или сдвоенные пары электронов

мы моделей типа Хаббарда - Андерсона (с локаль-

(квартеты) в виде пар, соседствующих на прилега-

ным взаимодействием Хаббарда на узле и с диаго-

ющих ячейках (рис. 7), при n = 0.17 наблюдаются

нальным беспорядком) связаны с тем, что в ква-

большие капли параметра порядка (рис. 8), в ре-

зидвумерных системах помимо стандартного фазо-

зультате чего распределение электронов имеет фор-

вого перехода сверхпроводника к нормальному ме-

му капель с большим числом электронных пар в

таллу в определенном диапазоне параметров возмо-

каждой электронной капле. Пики двумерного рас-

жен также «прямой» переход из сверхпроводяще-

пределения электронной плотности и параметра по-

го состояния в диэлектрическое локализованное со-

рядка касаются друг друга, но не перекрываются.

стояние без возникновения промежуточного состоя-

Капли параметра порядка сливаются в перколяци-

ния в виде нормального металла. Похожая ситуация

онный кластер (сетевой каркас или network) цепо-

проявляет себя в экспериментальных исследованиях

чек, напоминающих дерево с большим количеством

сверхпроводимости и локализации в грязных тонких

ветвей (рис. 8), которые практически не испытыва-

пленках [8, 9]. Это обстоятельство делает расчеты,

ют разрывов вдоль их длины. При больших плот-

представленные в данной статье, весьма актуальны-

ностях n = 0.30 возникающий сетевой каркас па-

ми.

раметра порядка в этом случае концентрируется в

Приведем основные результаты работы.

пространственных областях в виде «долин» между

пиками электронной плотности (рис. 9).

1. По мере роста беспорядка пространственное

На рис. 10 показаны три возбуждения с наимень-

распределение локальной амплитуды спаривания

шей энергией для одной конкретной реализации бес-

Δ(r) сначала принимает форму отдельных капель,

порядка.

а затем — отдельных пар.

703

М. Ю. Каган, Е. А. Мазур

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Рис. 7. Двумерное распределение электронной плотности (слева) и параметра порядка (справа) для n = 0.11, U/t = -6

на решетке 24 × 24 с амплитудой беспорядка V/t = 8

Рис. 8. Двумерное распределение электронной плотности (слева) и параметра порядка (справа) для n = 0.17, U/t = -6

на решетке 24 × 24 с амплитудой беспорядка V/t = 8

2. Спектральная щель в одночастичной плотно-

ные обозначения для энергии связи, для энергии

сти состояний сохраняется даже при большом беспо-

Ферми и для зонной массы электрона:

рядке, несмотря на растущее число пространствен-

k2F

ных узлов с Δ(r) = 0. Детальное понимание это-

|E_b| =

ε_F =

ma²

2td²

го эффекта возникает из исследования простран-

ственного изменения функции Δ(r) и собственных

где d — расстояние между узлами, a — радиус пары

функций уравнений Боголюбова - де Жена. На наш

и k_F — импульс Ферми, то безразмерный параметр

взгляд, этот эффект нуждается в пересмотре, с рас-

БКШ-БЭК-кроссовера, связанный с двумерностью

смотрением модели типа ферми-бозе-смеси, важ-

электронной плотности, n2D = k2F /2π, для парабо-

ной чертой которой является сосуществование элек-

лического спектра принимает вид

тронных пар и одиночных неспаренных электронов.

k2F a²

2ε

n2Da² =

≈

≥1

2π

|E_b| 2π

6.28

Подчеркнем, что наши результаты были получе-

ны в пределе сильной связи |U|/t ≫ 1 и малой плот-

и для предельных параметров задачи оказывается

ности n ≪ 1. Более того, предельные значения в

близким к 1.

проведенных нами расчетах соответствуют случаю

Это показывает, как обсуждалось в

[1],

|U|/t = 10 и n = 0.125 для двумерной квадратной

что, хотя мы находимся в области БКШ для

решетки с шириной зоны W = 8t. В этом предель-

БКШ-БЭК-кроссовера, электронные пары уже

ном случае простые оценки с использованием фор-

достаточно компактны, они слабо перекрываются

мул, приведенных в [1-3], дают εF ∼ 0.8t, |Eb| ∼

и почти касаются друг друга. Таким образом,

∼ 0.2t соответственно для энергии Ферми и энер-

мы действительно очень близки к пределу, когда

гии связи электронной пары. Таким образом, |E_b| <

пары начинают «раздавливать» друг друга, т. е.

< 2ε_F , и мы все еще находимся в области БКШ

к пределу ферми-бозе-смеси компактных пар и

для БКШ-БЭК-кроссовера. Если мы введем удоб-

неспаренных одиночных электронов.

704

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Капли параметра порядка в электронной системе...

Рис. 9. Двумерное распределение электронной плотности (слева) и параметра порядка (справа) для значений n = 0.30,

U/t = -6 на решетке 24 × 24 с амплитудой беспорядка V /t = 8

Рис. 10. Три возбуждения с наименьшей энергией для одной реализации беспорядка для набора значений V = 8, U = 6,

n = 0.28. Слева направо номер возбуждения увеличивается для данного набора значений U, V , n: энергия возбуждения

E1 = 0.070 (слева), энергия возбуждения E2 = 0.084 (посередине), энергия возбуждения E3 = 0.107 (справа)

Отметим, что модель ферми-бозе-смеси чрезвы-

ных приближений. Это означает, в частности, что

чайно богата и может содержать очень разнообраз-

состояние с более равномерным пространственным

ную физику, в частности, с возможностью нано-

распределением пар в системе («равномерно переме-

размерного фазового разделения в системе и обра-

шанное» решение для ферми-бозе-смеси пар и рас-

зованием пространственно разделенных фермион-

паренных электронов) должно соответствовать бо-

ных и бозонных кластеров и многочастичных ка-

лее высокой энергии, чем рассмотренное нами неод-

пель различных композиций (в зависимости от зна-

нородное состояние. Более строгое рассмотрение за-

ка и относительной величины конкурирующих бо-

дачи требует анализа парциальных сжимаемостей

зон-бозонного, бозон-фермионного и фермион-фер-

компонент ферми-бозе-смеси для того, чтобы стро-

мионного взаимодействий U_BB, U_FF , U_FB, а также

го доказать неустойчивость равномерно перемешан-

отношения плотностей двух фаз n_B, n_F [24,25]). Мо-

ного состояния относительно возможности нанораз-

дель, изучаемая в данной статье, явно учитывает

мерного расслоения на фазы с образованием капель

роль фермион-фермионных взаимодействий в виде

одной (состоящей из пар) бозонной фазы внутри

потенциала спаривания Δ (r_i) на узле r_i, а также

матрицы другой (неспаренной) фермионной фазы

бозон-фермионное взаимодействие U_FB в виде по-

[25-27]. Такой анализ будет проводиться отдельно

тенциала среднего поля U (r_i). Описание бозон-бо-

вместе с более строгим определением природы пар-

зонного взаимодействия электронных пар U_BB тре-

ных состояний внутри капель (бозе-металл или бо-

бует дальнейшего изучения в рамках обобщенной и

зе-изолятор), а также состояний в распаренной фер-

расширенной модели.

мионной матрице (нормальный фермионный металл

или фермионный изолятор).

Подчеркнем, что все результаты этой работы

были получены в подходе Боголюбова - де Жена,

Дополнительный вопрос в этом контексте связан

приводящем к локальному минимуму функциона-

с фазовой когерентностью и сверхпроводимостью.

ла свободной энергии, без каких-либо дополнитель-

Согласно [24], один из возможных сценариев сверх-

705

ЖЭТФ, вып. 4

М. Ю. Каган, Е. А. Мазур

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

проводящего перехода в пространственно разделен-

ной размерностью (D = 1, 2). В этом контексте

ной ферми-бозе-смеси может быть связан с тунне-

исследования резонансных контуров с высокими

лированием пар из одного бозонного кластера в со-

значениями импеданса в гранулированных сверх-

седний через изолирующий фермионный барьер, с

проводниках, в частности, в сверхпроводящих

установлением при этом макроскопического дальне-

(полосатых) страйп-структурах гранулированного

го порядка и фазовой когерентности в системе.

алюминия, которые являются альтернативой обыч-

ным джозефсоновским переходам, представляются

Отметим также, что все расчеты в данной работе

весьма перспективными [23].

были выполнены при температуре, близкой к нулю,

Отметим, что образование наноразмерных об-

когда теория среднего поля применима для малой

ластей расслоения на фазы (капель) в двумерном

плотности двумерного ферми-газа (см. [1-4] и ссыл-

электронном газе (2DEG) и в многослойном случае

ки в этих работах) и когда флуктуационные поправ-

для гетероструктур и интерфейса тонких пленок

ки Березинского - Костерлица - Таулеса [28, 29] ма-

SrTiO₃-LaAlO₃ явилось в последние годы предме-

лы. Температурная эволюция системы в квазибозон-

том интенсивных исследований в целом ряде работ

ной области параметров (области параметров, соот-

[31-36].

ветствующей появлению ферми-бозе-смеси) также

очень интересна [1-3, 24, 26, 30] и требует тщатель-

Благодарности. Мы благодарны Р. Ш. Их-

ного исследования.

санову, Е. А. Буровскому, К. И. Кугелю, А. Я.

С увеличением степени беспорядка происходит

Цаленчук, А. С. Васенко, Н. Н. Дегтяренко, А. В.

существенное уменьшение жесткости для макроско-

Красавину, А. А. Голубову за полезное обсуждение

пической волновой функции сверхпроводящего со-

этой работы.

стояния и диагональных корреляций. Ожидается

также, что, когда бозон-бозонное взаимодействие

Финансирование. Работа поддержана Про-

U_BB будет включено в модель для более деталь-

ектом повышения конкурентоспособности НИЯУ

ного описания капель, подвижность таких капель

«МИФИ» (договор № 02.а03.21.0005, 27.08.2013) с

будет демонстрировать псевдощелевые свойства в

использованием оборудования центра коллектив-

спектре.

ного пользования «Комплекс для моделирования

В заключение обсудим более детально эволюцию

и обработки данных с исследовательских устано-

размеров капель с изменением параметров задачи. В

вок мега-класса» НИЦ «Курчатовский институт»

частности, представляется весьма конструктивным

(дотация Министерства образования и науки, ра-

зафиксировать предельное значение сильного хаб-

бочий идентификатор RFMEFI62117X0016), http://

бардовского притяжения на узле |U|/t = 10 и посте-

ckp.nrcki.ru/.

пенно увеличивать электронную плотность, двига-

М. Ю. К. благодарит за поддержку Програм-

ясь от n = 0.125 к большим электронным плотнос-

му фундаментальных исследований НИУ «Высшая

тям, более близким к половинному заполнению. В

школа экономики» и Российский фонд фундамен-

этом случае наши результаты показывают, что ког-

тальных исследований (грант № 20-02-00015).

да мы увеличиваем электронную плотность, сначала

происходит переход от одиночных электронных пар

к более крупным каплям, содержащим большое чис-

ЛИТЕРАТУРА

ло пар. И только после этого, при дальнейшем уве-

личении плотности электронов в нашей системе об-

1. M. Yu. Kagan, Modern Trends in Superconductivity

разуется большой перколяционный кластер, содер-

and Superfluidity, Lect. Notes Phys. 874, Springer,

жащий каркасную сеть (network) из парных состоя-

Dordrecht (2013).

ний электронов.

2. M. Yu. Kagan, R. Frésard, M. Capezzali, and

Отметим также, что недавние эксперимен-

H. Beck, Phys. Rev. B 57, 5995 (1998); Physica

тальные исследования по различным реализа-

B 284-288, 347 (2000).

циям сверхпроводящих кубитов (в частности,

флакс-кубитов) снова повысили интерес к по-

3. Ю. М. Каган, Письма в ЖЭТФ 103, 822 (2016)

строению глобальной фазовой диаграммы и к

[JETP Lett. 103, 728 (2016)].

более детальному пониманию природы фазовых

переходов сверхпроводник-нормальный металл и

4. А. И. Ларкин, ЖЭТФ 58, 1466 (1970) [Sov. Phys.

сверхпроводник-изолятор в системах с понижен-

JETP 31, 784 (1970)].

706

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Капли параметра порядка в электронной системе...

Э. З. Кучинский, Н. А. Кулеева, М. В. Садовский,

22.

S. Wolf, A. Vagov, A. A. Shanenko, V. M. Axt,

ЖЭТФ 154, 881 (2018) [JETP 127, 753 (2018)].

A. Perali, and J. Albino-Agular, Phys. Rev. B 95,

094521 (2017).

A. V. Balatsky, I. Vechter, and J. X. Zhu, Rev. Mod.

Phys. 78, 373 (2000).

23.

Э. З. Кучинский, И. А. Некрасов, М. В. Садовский,

УФН 182, 345 (2012) [Phys. Usp. 53, 325 (2012)].

M. V. Feigel’man, L. B. Ioffe, V. E. Kravtsov, and

E. Cuevas, Ann. Phys. 325, 1390 (2010).

24.

А. П. Менушенков, А. В. Кузнецов, А. В. Клемен-

тьев, М. Ю. Каган, ЖЭТф 120, 700 (2001) [JETP

A. M. Goldman and N. Markovic, Phys. Today 51,

93, 615 (2001)].

39 (1998).

25.

M. Yu. Kagan, I. V. Brodsky, D. V. Efremov, and

D. B. Haviland, Y. Liu, and A. M. Goldman, Phys.

A. V. Klaptsov, Phys. Rev. A 70, 023607 (2004).

Rev. Lett. 62, 2180 (1989).

26.

A. V. Turlapov and M. Yu. Kagan, J. Phys.: Condens.

10.

N. Grunhaupt et al., Nature Mater. 18, 816 (2019);

Matter 24, 383004 (2017).

arXiv:cond-mat1809.10146.

27.

М. Ю. Каган, К. И. Кугель, УФН 171, 577 (2001)

11.

I. S. Burmistrov, I. V. Gornyi, and A. D. Mirlin, Phys.

[Phys. Usp. 44, 553 (2001)].

Rev. Lett. 108, 017002 (2012).

28.

J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, J. Phys. C: Sol.

12.

М. А. Скворцов, М. В. Фейгельман, ЖЭТФ 144,

St. Phys. 6, 1181 (1973).

560 (2013) [JETP 117, 487 (2013).

29.

В. Л. Березинский, ЖЭТФ 61, 1144 (1971) [JETP

13.

P.-J. de Genes, Superconductivity of Metals and

34, 610 (1972)].

Alloys, Benjamin, New York (1966).

30.

M. Yu. Kagan and A. Bianconi, Condens. Matter

14.

А. В. Свидзинский, Пространственно-неоднород-

(Switzerland) 4, 51 (2019).

ные задачи теории сверхпроводимости, Наука,

Москва (1982).

31.

N. Reyren, S. Thiel, A. D. Caviglia, L. F. Kourkoutis,

G. Hammerl, C. Richter, C. W. Schneider, T. Kopp,

15.

R. Hausmann, Z. Phys. B 91, 291 (1991).

A.-S. Rüetschi, D. Jaccard et al., Science 317, 1196

(2007).

16.

P. Giannozzi et al., J. Phys.: Condens. Matter 21,

395502 (2009).

32.

A. Camjayi, K. Haule, V. Dobrosavljević, and G. Kot-

liar, Nature Phys. 4, 932 (2008).

17.

P. Giannozzi et al., J. Phys.: Condens. Matter 29,

465901 (2017).

33.

Ariando, X. Wang, G. Baskaran, J. Liu, Z. Q. Huij-

ben, J. B. Yi, A. Annadi, A. R. Barman, A. Rusydi,

18.

A. Ghosal, M. Randeria, and N. Trivedi, Phys. Rev.

S. Dhar, Y. P. Feng et al., Nature Commun. 2, 188

Lett. 81, 3940 (1998).

(2011).

19.

A. Ghosal, M. Randeria, and N. Trivedi, Phys. Rev.

34.

N. Teneh, A. Y. Kuntsevich, V. M. Pudalov, and

B 65, 014501 (2001).

M. Reznikov, Phys. Rev. Lett. 109, 226403 (2012).

20.

Y. L. Loh and N. Trivedi, in Conductor-Insulator

35.

В. М. Пудалов, М. Е. Геншензон, Письма в ЖЭТФ

Quantum Phase Transitions, ed. by V. Dobro-

111, 237 (2020) [V. M. Pudalov and M. E. Ger-

savljević, N. Trivedi, and J. M. Valles, Jr. (CIQPT

shenson, JETP Lett. 111, 225 (2020)].

Conf., Ohio State Univ., 2008), Oxford Univ. Press,

Oxford (2012), Ch. 17, pp. 492-548.

36.

V. Tripathi, K. Dhochak, B. A. Aronzon, V. V. Ryl-

21.

R. Combescot, H. Leyronas, and M. Yu. Kagan, Phys.

kov, A. B. Davydov, B. Raquet, M. Goiranand, and

Rev. A 73, 023618 (2006).

K. I. Kugel, Phys. Rev. B 84, 075305 (2011).

707