ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 4, стр. 719-723

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНОЙ

КЛАССИЧЕСКОЙ ДИФФУЗИИ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

П. С. Кондратенко^*, А. Л. Матвеев^**, Ю. Н. Обухов^***

Институт проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук

115191, Москва, Россия

Поступила в редакцию 27 сентября 2020 г.,

после переработки 27 сентября 2020 г.

Принята к публикации 29 сентября 2020 г.

Разработана асимптотическая теория классической анизотропной диффузии в неоднородных средах. При

выводе использован формализм дифференциальной геометрии, заимствованный из общей теории отно-

сительности. Получена простая аналитическая формула для концентрации, элементами которой являют-

ся линейные интегралы вдоль геодезической — траектории концентрационного сигнала. Сама траектория

вытекает из вариационного принципа, которому удовлетворяет показатель экспоненты в выражении для

концентрации, и определяется из обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка для

вектора, касательного к геодезической линии. Теория справедлива на расстояниях от источника приме-

си, значительно превышающих размер основной области ее локализации.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 90-летию И. Е. Дзялошинского

DOI: 10.31857/S0044451021040143

тегралам вдоль специальной кривой — траектории

концентрационного сигнала. Эта траектория опре-

деляется из вариационного принципа, приводящего

1. ВВЕДЕНИЕ

к обыкновенному дифференциальному уравнению

первого порядка для единичного вектора касатель-

Классическая диффузия в неоднородных средах

ной к самой траектории. Такой подход к теории про-

является практически важной задачей. Численные

цессов переноса по форме близок к геометрической

расчеты по решению уравнения диффузии с пере-

оптике в электродинамике [13] (или к квазикласси-

менным в пространстве коэффициентом, особенно

ческому приближению в квантовой механике [14]).

для концентрации на далеких расстояниях, явля-

При этом роль луча в асимптотической теории пе-

ются довольно затратными по ресурсу и времени.

реноса играет траектория концентрационного сиг-

В то же время для описания классических процес-

нала, а эйконала — показатель экспоненты в выра-

сов [1-3], а также неклассических процессов перено-

жении для концентрации. Недавно [15] асимптоти-

са [4-11] разнообразные аналитические методы (как

ческий подход к описанию процессов переноса, раз-

точные, так и приближенные) широко используются

витый в [12], приложен к классической диффузии

в различных областях естествознания — от физики

в неоднородных средах. В обеих работах — [12, 15]

полупроводников до гидрогеологии.

материальная среда, по которой происходит перенос

В работе [12] предложен новый подход к описа-

примеси, считалась изотропной.

нию неклассических процессов переноса в средах с

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы

крупномасштабными неоднородностями на расстоя-

обобщить асимптотическую теорию на более об-

ниях от источника примеси, значительно больших

щий случай классической диффузии в неоднород-

размера основной области ее распределения. Резуль-

ных анизотропных средах. Структура статьи следу-

тат для концентрации в [12] сведен к линейным ин-

ющая. После формулировки задачи в разд. 2 дан

вывод формулы для концентрации. В разд. 3 приве-

^* E-mail: kondrat@ibrae.ac.ru

^** E-mail: alex27_matveev@mail.ru

дено краткое обсуждение. В Приложении выведены

^*** E-mail: obukhov@ibrae.ac.ru

результаты для однородной анизотропной среды.

719

П. С. Кондратенко, А. Л. Матвеев, Ю. Н. Обухов

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ

Компоненты метрического тензора задаются тензо-

КОНЦЕНТРАЦИИ

ром диффузии

Уравнение диффузии в неоднородной анизотроп-

g^ij =

g_ij = pD_ij.

(8)

ной среде имеет традиционный вид:

Как обычно D_ij обозначает матрицу обратную

(

)

к D^ij:

∂_t c(r, t) = ∂_i

D^ij∂_j c(r, t)

(1)

D_ijD^jk = δ^ki.

где c(r, t) — концентрация примеси, зависящая от

Согласно (6), (8), и (5), имеем нормировку

времени t и пространственных координат r = x^k,

k = 1, 2, 3 («радиус-вектор»), и

g_ijuⁱu^j = 1,

(9)

∂

∂_t =

∂_i =

;

D^ij = D^ji = D^ij(r)

т. е. вектор (6) касательной к лучу концентрацион-

∂t

∂xⁱ

ного сигнала имеет единичную длину в эффектив-

— симметричный тензор диффузии. Далее мы будем

ной метрике (7). Тем самым, квазиэйконал Γ_p(r) да-

использовать формализм дифференциальной гео-

ется равенством

метрии, который составляет математическую осно-

∫

ву общей теории относительности (см. [16]). В част-

√

ности, напомним правило Эйнштейна, которое пред-

Γ_p(r) = ds =

g_ijdxⁱ dx^j.

(10)

полагает суммирование по одинаковым индексам.

Найдем решение уравнения диффузии (1) для

Интегрирование здесь происходит по траектории

концентрации на далеких расстояниях от источника

концентрационного сигнала, которая определяется

примеси, используя и обобщая геометрические мето-

из вариационного принципа:

ды, развитые ранее в работах [12, 15].

Задав начальное условие в форме

δ Γ_p(r) = 0,

(11)

откуда получается уравнение для траектории сигна-

c(r, 0) = N δ(r),

(2)

ла как геодезической:

перепишем уравнение (1) в представлении Лапласа:

uⁱ + {^ijk} u^ju^k = 0.

(12)

(

)

pc_p(r) - ∂_i

D^ij∂_j c_p(r)

= N δ(r).

(3)

Здесь символы Кристоффеля (связность эффектив-

На асимптотически далеких расстояниях от источ-

ной римановой метрики) определены равенством

ника концентрацию примеси, как обычно, ищем в

виде

{^ijk} =

g^il (∂_jg_kl + ∂_kg_jl - ∂_lg_jk).

(13)

c_p(r) = A_p(r)e-Γp(r), Γ_p(r) ≫ 1.

(4)

Отметим, что фактическим параметром разло-

Отсюда в первом приближении по малому парамет-

ру ∝ Γ-1p получаем уравнение

жения, в результате которого мы пришли к урав-

нению (5), является комбинация (min(r, L)|∇Γ_p|)-1,

где r — расстояние от источника до точки наблю-

p - D^ij (∂_iΓ_p)(∂_jΓ_p) = 0.

(5)

дения, а L — характерный масштаб длины, на ко-

тором заметно меняется коэффициент диффузии.

Введем 3-вектор uⁱ, касательный к траектории xⁱ(s)

Уравнение для предэкспоненты A_p из (4) получа-

концентрационного сигнала

ется в следующем порядке малости по параметру

(min(r, L)|∇Γ_p|)-1 после подстановки (4) в (3):

uⁱ = g^ij ∂_jΓ_p,

(6)

где определим эффективную метрику в среде

2g^ij(∂_iA_p)(∂_jΓ_p) + A_p(∂_ig^ij)(∂_jΓ_p)+

+ A_pg^ij∂_i∂_jΓ_p = 0.

(14)

ds² = g_ij dxⁱdx^j .

(7)

720

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Асимптотическая теория анизотропной классической диффузии. . .

Отсюда с учетом (6) находим

при |r| ≪ L находим

(

)

dA_p

+ Ap ∂_iuⁱ = 0.

(15)

B_p =

√

D₀ = det

D^ij(0)

(22)

4π

Подставляя выражения (22) и (19) в (20) и совер-

Прежде чем выписать решение уравнения (15),

шая обратное преобразование Лапласа, приходим к

выясним поведение второго слагаемого в нем при

окончательному результату для концентрации при-

|r| ≪ L. Подставляя в (6) вытекающее из (10) при-

меси при классической диффузии в анизотропной

ближенное равенство

неоднородной среде:

√

Γ_p(r) ≈ pD_ijxⁱx^j,

(16)

c(r, t) =

√

справедливое при |r| ≪ L, получим

D₀(4πt)³

⎧

⎛

⎞₂

⎨

∫

√

∂_iuⁱ ≈

√

|r| ≪ L.

(17)

× exp

⎝

D_ijdxⁱ dx^j⎠

pD_ijxⁱx^j

⎩

⎫

С учетом этого соотношения решение уравнения

∫

)⎬

(15) можно представить в форме

⁽1

+ ds

∂_iui

(23)

⎭

∕∫r

√

A_p = B_p exp[-H(r)]

D_ijdxⁱ dx^j,

(18)

Подчеркнем, что интегралы здесь, как и в

(18)-(20), берутся вдоль траектории концентра-

где

ционного сигнала, определяемой уравнением

∫r

)

геодезической (12).

⁽1

H(r) = ds

∂_iuⁱ -

(19)

Отметим, что эта величина не зависит от лапласов-

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ской переменной, так как p под интегралом в (19)

сокращается. Подставляя (18) и (10) в (4) с учетом

В данной работе предложено дальнейшее разви-

(8) имеем

тие метода вычисления распределения концентра-

ции на асимптотически далеких расстояниях от ис-

⎧

⎫

∫

∕

точника примеси в среде, обладающей анизотропи-

⎨

√

⎬

c_p(r) = B_p exp

-√p

D_ijdxⁱ dx^j

− H(r)

ей и крупномасштабными неоднородностями. Уста-

⎩

⎭

новлено, что показатель экспоненты Γ_p ≫ 1 в вы-

ражении для концентрации (4) удовлетворяет нели-

∕∫^r√

нейному уравнению в частных производных первого

D_ijdxⁱ dx^j.

(20)

порядка (5). Это позволило при вычислении функ-

ции Γ_p(r) воспользоваться вариационным принци-

пом, в результате чего выражение для функции

Константу интегрирования B_p можно фиксировать,

Γ_p(r) свелось к линейному интегралу вдоль траекто-

перейдя к случаю диффузии в анизотропной одно-

рии концентрационного сигнала, оказавшейся геоде-

родной среде, который рассмотрен в Приложении.

зической для эффективной римановой метрики. Тем

При выполнении неравенства |r| ≪ L выражение

самым, ясно прослеживается аналогия с геометри-

(20) должно переходить в соответствующее выра-

ческой оптикой и квазиклассическим приближением

жение для однородной среды с постоянным тензо-

в квантовой механике. Предэкспонента A_p(r) в вы-

ром диффузии, равным D^ij (0). Поэтому сопостав-

ражении для концентрации (4) найдена в ведущем

ляя (20) с (A.5) с учетом того, что

−1

приближении по малому параметру ∝ Γ

∫r

√

Результатом работы является асимптотическая

D_ijdxⁱ dx^j ≃ D_ij(0)xⁱx^j,

формула (23) для концентрации примеси при пере-

(21)

носе посредством классической анизотропной диф-

H(r) → 0,

фузии в неоднородной среде. Формула справедлива

721

ЖЭТФ, вып. 4

П. С. Кондратенко, А. Л. Матвеев, Ю. Н. Обухов

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

на расстояниях от источника примеси, значительно

После замены переменной интегрирования получа-

больше размера основной области ее распределения.

ем

Достоинство формулы в ее простоте. Элемен-

∫

∞

∫

тами формулы являются однократные интегралы

c_p(r) =

dq q²

dθ sin θ ×

(2π)²

вдоль траектории концентрационного сигнала, со-

единяющей источник примеси с точкой наблю-

[

]

√

дения. Сама траектория есть следствие вариаци-

exp iq

D_ijxⁱx^j cosθ

онного принципа и определяется вытекающим из

√

D = det(D^ij). (A.3)

D(p + q²)

него обыкновенным дифференциальным уравнени-

ем первого порядка для единичного касательного

Интегрируя по угловой переменной θ, имеем

вектора.

[

]

√

∞

∫

Возможной областью приложения развитой тео-

exp iq

D_ijxⁱx^j

рии может быть диффузия в неравномерно нагре-

c_p(r) =

dq q

√

(A.4)

i(2π)²

DD_ijxⁱx^j(p + q²)

тых кристаллах, где коэффициент диффузии силь-

-∞

но зависит от температуры, а также диффузия в

Далее, интегрируя по переменной q, находим

замагниченной плазме.

[

√

]

Предлагаемый метод может быть обобщен на

c_p(r) =

√

exp - pDijxixj

. (A.5)

случай неклассических процессов переноса в ани-

4π

DD_ijxⁱx^j

зотропных неоднородных средах путем обобщения

полученных ранее результатов в работах [12, 17].

Наконец, выполняя обратное преобразование Ла-

пласа, имеем выражение для концентрации примеси

при переносе путем классической диффузии в одно-

Благодарности. Авторы выражают глубокую

родной анизотропной среде

благодарность Л. В. Матвееву за плодотворное об-

суждение результатов.

[

]

D_ijxⁱx

Финансирование. Работа выполнена при

c(r, t) =

√

exp -

(A.6)

D(4πt)³

поддержке Российского научного фонда (проект

№18-19-00533).

ЛИТЕРАТУРА

Эту работу авторы посвящают Юбилею Игоря

Ехиельевича Дзялошинского, чьим учеником явля-

1. J. Crank, The mathematics of Diffusion, 2nd ed.,

ется один из нас (П. С. К.).

Clarendon Press, Oxford (1975).

2. H. S. Carslaw and J. C. Jaeger, Conduction of Heat

in Solids, Clarendon Press, Oxford (1959).

ПРИЛОЖЕНИЕ

3. S. R. de Groot and P. Mazur, Nonequilibrium Ther-

modynamics, North-Holland, New York (1962).

Перенос в анизотропной однородной среде

4. Q. Gu, E. A. Schiff, S. Grebner, F. Wang, and

Рассмотрим перенос примеси в анизотропной од-

R. Schwarz, Phys. Rev. Lett. 76, 3196 (1996).

нородной (D^ij = const) среде на основе классической

5. H. Sher and M. Lax, Phys. Rev. B 7, 4491 (1973).

диффузии с начальным условием

6. M. Weiss, H. Hashimoto, and T. Nilsson, Biophysical

J. 84, 4043 (2003).

c(r, 0) = N δ(r).

(A.1)

7. D. S. Banks and C. Fradin, Biophysical J. 89, 2960

В этой задаче концентрация в представлении Ла-

(2005).

пласа имеет вид

8. S. P. Neuman, Water Resources Research 26, 1749

∫

(1990).

ikr

d³k

c_p(r) = N

(A.2)

(2π)³ p + D^ij k_ik_j

9. M. Sahimi, Phys. Rep. 306, 213 (1998).

722