ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 4, стр. 724-729

НЕКЛАССИЧЕСКИЙ ПЕРЕНОС ПРИМЕСИ В МОДЕЛИ ДЫХНЕ

С ПАРАМЕТРАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ КООРДИНАТ.

ПРИНЦИП ФЕРМА

П. С. Кондратенко^*, А. Л. Матвеев

Институт проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук

115191, Москва, Россия

Поступила в редакцию 2 ноября 2020 г.,

после переработки 2 ноября 2020 2020 г.

Принята к публикации 4 ноября 2020 2020 г.

Разработана асимптотическая теория переноса примеси в простейшей регулярно-неоднородной среде —

модели Дыхне, демонстрирующей субдиффузионный транспортный режим, с параметрами, испытываю-

щими крупномасштабные пространственные зависимости. Результаты для концентрации на расстояниях

от источника примеси, значительно превышающих размер основной области ее локализации, выражают-

ся через линейные интегралы вдоль траекторий концентрационных сигналов. Эти траектории получаются

из вариационного принципа, который является аналогом принципа Ферма в геометрической оптике. Ин-

тегралы вдоль траекторий представляют собой аналоги длины оптического пути. Вид интегралов зависит

от режима переноса, а траектории в зависимости от режима могут быть как плоскими, так и трехмер-

ными кривыми.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 90-летию И. Е. Дзялошинского

DOI: 10.31857/S0044451021040155

ше длины корреляции l или (и) текущее время t

меньше времени релаксации τ, режим переноса в

определенном смысле является неравновесным и мо-

1. ВВЕДЕНИЕ

жет стать неклассическим. При этом в сравнении с

Уже многие десятилетия неклассические режи-

классической диффузией свойство R(t) < l служит

мы переноса примеси являются предметом интен-

ускоряющим фактором, а t < τ — замедляющим.

сивных исследований (см., например, обзор [1]).

Обычно при аналитическом описании неклас-

Неклассическими (аномальными) принято называть

сических процессов среда на больших пространст-

режимы, в которых зависимость размера основной

венных масштабах предполагается в среднем

области локализации примеси от времени на боль-

однородной. Между тем, реальные среды обла-

ших временах описывается соотношением R(t) ∼ t^γ ,

дают крупномасштабными неоднородностями. В

где, в отличие от классической диффузии, показа-

такой ситуации даже классические процессы ад-

тель степени γ = 1/2. Различают супердиффузион-

векции-диффузии требуют выполнения довольно

ные (быстрые), γ > 1/2, и субдиффузионные (мед-

трудоемких численных расчетов. Дополнительные,

ленные), γ < 1/2, неклассические режимы переноса.

причем принципиальные трудности возникают в

Аномальные процессы встречаются в самых разно-

случае неклассических процессов, для которых

образных средах — от полупроводников до геологи-

управляющие уравнения для концентрации яв-

ческих структур. Физическими предпосылками та-

ляются интегродифференциальными, а входящие

ких процессов могут быть дальнодействующие кор-

туда ядра во всех деталях остаются неизвестными.

реляции или (и) долговременные релаксации харак-

теристик среды, формирующих процессы переноса.

С целью преодоления указанных трудностей в

В тех случаях, когда размер R(t) оказывается мень-

работе [2] предложен новый подход, базирующийся

на асимптотическом описании процессов переноса.

^* E-mail: kondrat@ibrae.ac.ru

Подразумевается важная для практики ситуация,

724

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Неклассический перенос примеси в модели Дыхне.. .

когда расстояние от источника примеси до точки на-

остальной части бесконечного пространства, запол-

блюдения велико в сравнении с размерами основной

ненной средой с коэффициентом диффузии d, при-

области локализации примеси в заданный момент

чем d ≪ D. В начальный момент времени примесь

времени. Как показывает анализ, на таких рассто-

сосредоточена в одной точке внутри трещины, и на-

яниях, с одной стороны, формирование концентра-

чальная концентрация при t = 0 задана равенством

ции обусловлено коротковолновой частью механиз-

ма переноса. С другой, зависимость концентрации

c(r, t = 0) = Nδ(r).

(1)

от расстояния до источника носит экспоненциаль-

Здесь N

— полное число частиц примеси, r

ный характер. Формально, таким образом, ситуация

= (ρ, z) — радиус-вектор, в котором ось z направле-

напоминает ту, которая имеет место в волновой оп-

на по нормали к трещине, ρ = (x, y) — двумерная ко-

тике или квантовой механике, когда становится при-

ордината вдоль границы плоскопараллельного слоя.

менимым соответственно приближение геометриче-

Начало координат выбрано так, что границы меж-

ской оптики или квазиклассическое приближение. В

ду областями I и II соответствуют z = ±a/2. Па-

итоге, концентрация примеси в асимптотической об-

раметры модели a, D, d являются константами. Мо-

ласти координат и времени состоит из экспоненты с

дель Дыхне является простейшей физической мо-

вещественным показателем — эйконалом, убываю-

делью, демонстрирующей неклассическое поведение

щим на далеких расстояниях от источника приме-

переноса примеси и смену транспортных режимов

си, и предэкспоненциального множителя. Эйконал

во времени: в интервале времени t ≪ t₁ — быстрая

удовлетворяет уравнению в частных производных

классическая диффузия, t₁ ≪ t ≪ t₂ — субдиффу-

первого порядка, решение его получается на основе

зия, t ≫ t₂ — медленная классическая диффузия,

вариационного принципа, который является анало-

где t₁ = a²/4d, t₂ = (D/d)²t₁.

гом принципа Ферма. Вывод результатов в [2] прове-

В настоящей работе параметры D, d будут пред-

ден на примере модели случайной адвекции, приво-

полагаться функциями координат, удовлетворяю-

дящей к неклассическому — супердиффузионному

щими прежнему условию d ≪ D, так что уравнение

режиму переноса [3]. В работах [4, 5] асимптотиче-

ский подход был применен к анализу переноса при-

переноса примеси имеет вид

меси на основе классической диффузии (изотропной

∂c

и анизотропной) в неоднородной среде.

= div(D∇c),

∂t

(

)

(

(2)

В настоящей работе асимптотический подход

a⁾

D(r) = D(r)θ

- |z|

+ d(r)θ

|z| -

приложен к простейшей модели, демонстрирующей

субдиффузионный режим переноса и смену режи-

с обычными граничными условиями, требующими

мов во времени, — модели Дыхне [6,7] с переменны-

непрерывности концентрации c(r, t) и нормальной

ми в пространстве параметрами.

составляющей потока примеси -D(r)∇c(r, t) при

Дальнейшая структура статьи следующая. В

|z| = a/2.

разд. 2 описана постановка задачи. Раздел 3 по-

Будем считать, что характерные масштабы ко-

священ выводу соотношений для эйконала — по-

ординатной зависимости функций D(r) и d(r) соот-

казателя экспоненты в выражении для концентра-

ветственно L_f ∼ |∇lnD(r)|-1 и L_m ∼ |∇ln d(r)|-1

ции в различных предельных интервалах. В разд. 4

удовлетворяют условиям

установлены соотношения для предэкспоненциаль-

ных множителей и получены асимптотические вы-

ражения для концентрации. В заключительном раз-

L_f ≫ a, L_m ≳

(3)

деле кратко подведены итоги.

Поэтому в дальнейшем, пренебрегая зависимостью

коэффициента диффузии внутри трещины (при

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

|z|

< a/2) от координаты z, будем обозначать

его D(ρ).

Первоначально модель Дыхне [6,7] была сформу-

На малых временах, когда t ≪ t0, где t0

лирована следующим образом. Диффузионный пе-

= a²/16D₀, D₀ = D(0), матрица не влияет на пе-

ренос примеси происходит в пространстве, состоя-

ренос внутри трещины и он идет в режиме трех-

щем из области I (трещины) — плоскопараллельно-

мерной классической диффузии с постоянным ко-

го слоя толщиной a, заполненного средой с коэф-

эффициентом диффузии D₀. На временах t ≫ t₀

фициентом диффузии D, и области II (матрицы) —

распределение примеси при |z| < a/2 по толщине

725

П. С. Кондратенко, А. Л. Матвеев

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

является практически однородным. Поэтому с уче-

Здесь обозначено

том граничных условий и начального условия (1),

a²

после интегрирования уравнения диффузии (2) по

t₁ =

(11)

4d₀

толщине трещины и перехода в представление Ла-

пласа приходим к уравнению

При выполнении неравенства (6) матрица по от-

ношению к примеси в трещине играет роль ловуш-

pc_p(ρ) - div(D(ρ)∇c_p(ρ))-

ки. Это приводит к замедлению режима переноса



z=a/2+0

∂c_p(ρ, z)

в трещине, в то же время не отменяя участие ее



d(ρ)



∂z

в формировании режима переноса. Иная ситуация

z=-a/2-0

возникает при выполнении противоположного нера-

Nδ(ρ),

|z| ≤

(4)

венства:

Здесь p — переменная Лапласа,

^√p

|∇Γ_p(ρ)| ≫

(12)

∫∞

c_p = c(t)e^-ptdt.

В этом случае матрица полностью берет на себя

формирование режима переноса. Для его описания

Нас будет интересовать концентрация на асимп-

предназначено вытекающее из (2) уравнение

тотически далеких расстояниях от источника при-

меси, когда r ≫ R(t), где R(t) — размер основной

pc_p(r) = div(d(r)∇c_p(r)),

|z| ≥ a/2.

(13)

области ее локализации в момент времени t. Тогда

Его решение в асимптотической области имеет

решение уравнения (4) удобно представить в фор-

вид, аналогичный (5):

ме [1]

c_p(ρ) = A_p(ρ)exp[-Γ_p(ρ)], Γ_p(ρ) ≫ 1.

(5)

c_p(r) = A_p(r)exp[-Γ_p(r)], Γ_p(r) ≫ 1.

(14)

Для того чтобы раскрыть третье слагаемое в левой

части уравнения (4), требуется рассмотреть уравне-

3. ЭЙКОНАЛ

ние диффузии в матрице. С учетом граничных усло-

вий и при выполнении неравенства

Благодаря неравенствам Γ_p(ρ) ≫ 1 и Γ_p(r) ≫ 1

возникают малые параметры

^√p

|∇Γ_p(ρ)| ≪

(6)

min[(r, L_f )|∇Γ_p|]-1 ≪ 1,

(15)

уравнение диффузии в матрице согласно (2) прини-

min[(r, L_m)|∇Γ_p|]-1 ≪ 1.

мает вид

В главном приближении по ним после подстанов-

∂²c_p(r)

pc_p(r) = d₀

|z| >

(7)

ки выражений (5) и (14) соответственно в уравнения

∂t²

(10) и (13) приходим к уравнениям

Здесь обозначено



d₀ = d(r)

(8)

(∇Γ1p(ρ))² =

p≫

(16)

ρ=0,z=a/2

D(ρ)

В уравнении (7) и далее для простоты считаем, что

√

d(r)|z=a/2 = d(r)|z=-a/2.

p/t₁

С учетом граничного условия для концентрации

(∇Γ2p(ρ))² =

≪p≪

(17)

D(ρ)

t₂

t₁

указанное уравнение имеет очевидное решение:

]

[ (

a^)√ p

pc_p(r) = c_p(ρ)exp - |z| -

(9)

d₀

(∇Γ3p(r))² =

p≪

(18)

d(r)

Подстановка его в (4) приводит к замкнутому урав-

нению для концентрации в трещине:

где характерное время t₂ = (D/d)²t₁ получается из

√

сравнения |∇Γ_p(ρ)| ∼

p/d. Отметим, что именно

(

)

^√p

благодаря второму неравенству из (3) с учетом толь-

c_p(ρ) - div(D(ρ)∇c_p(ρ)) =

t₁

ко что приведенного выражения для характерного

времени t₂, оказалось возможным при p ≫ t-12 вос-

Nδ(ρ).

(10)

пользоваться приближенным равенством d(r) ≃ d₀.

726

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Неклассический перенос примеси в модели Дыхне.. .

(

)

Далее для удобства перейдем от функций Γ_sp к

dν₃(r)

dn₃(r)

∇n₃(r) - ν₃

их безразмерным аналогам ψ_s:

n₃(r)

(26)

ν₃ ≡ ν₃(r).

Γ_sp(ρ) = κ_s(p)ψ_s(ρ), s = 1, 2,

(19)

Траектории при s = 1, 2 являются плоскими, а тра-

Γ3p(r) = κ₃(p)ψ₃(r),

ектория с s = 3 — пространственной. Функции n

где размерные множители κ_s(p) определены равен-

могут быть названы индексами концентрационной

ствами

рефракции, а ψ₁(ρ) и ψ₃(r) — длинами концентра-

√

[

]1/4

ционных путей.

κ₁(p) =

κ₂(p) =

D₀

D²⁰t₁

√

(20)

4. КОНЦЕНТРАЦИЯ ПРИМЕСИ В

κ₃(p) =

АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПРЕДЕЛЕ

d₀

На основе (16)-(18) с учетом (19), (20) приходим

В следующем приближении по малому парамет-

к уравнениям для безразмерных функций ψ_s:

ру [min(r, L)|∇Γ_p|]-1 ≪ 1 из уравнений (10) и (13)

после подстановки в них выражений (5) и (14), со-

(∇ψ_sp(ρ))² = (n_s(ρ))², s = 1, 2,

ответственно, получаются уравнения для предэкс-

(21)

(∇ψ3p(r))² = (n₃(r))²,

понент:

)

в которых величины n_s определены равенствами

d ln A_sp(ρ)

⁽ν_s

div

= 0, dψ_s = n_sdl_s,

√

dψ_s

n_s

(27)

D₀

n₁(ρ) =

n₂(ρ) = n₁(ρ),

s = 1,2,

D(ρ)

√

(22)

d₀

d ln A3p(r)

⁽ν₃)

n₃(r) =

div

= 0, dψ₃ = n₃dl₃.

(28)

d(r)

dψ₃

Напомним, что величины, отмеченные значком

Уравнения (21) являются уравнениями в част-

s = 1,2, зависят от двумерной координаты ρ, а со

ных производных первого порядка и по своей форме

значком s = 3 являются функциями трехмерной ко-

совпадают с уравнением эйконала в геометрической

ординаты r. Решения уравнений (27), (28), удовлет-

оптике (ГО) [8]. Поэтому в соответствии с теорией

воряющих условию сшивки с точными решениями

таких уравнений решения записываются в форме

для однородной среды

∫ρ

ψ₁(ρ) = n₁(ρ)dl₁, ψ₂(ρ) = ψ₁(ρ),

c(0)sp(ρ) =

√

exp(-κ_sρ), s = 1, 2,

8πκ_sρ

(23)

(29)

∫r

ψ₃(r) = n₃(r)dl₃.

c(0)3p(r) =

exp(-κ₃r),

4πd₀r

имеют вид

Здесь интегрирование происходит вдоль траекторий

концентрационных сигналов, являющихся аналогом

c_sp(ρ) =

√

aD₀

8πκ_s(p)ψ_s(ρ)

лучей в ГО. Сами траектории определяются из ва-

риационного принципа:

× exp(-κ_sψ_s(ρ) - H_s(ρ)), s = 1, 2,

∫ρ(

)

(30)

∫ρ

∫

⁽ν_s

H₁(ρ)) =

div

dψ_s(ρ),

δ n₁(ρ)dl₁ = 0, δ n₃(r)dl₃ = 0,

(24)

n_s

ψ_s(ρ)

H₂(ρ) = H₁(ρ),

который является аналогом принципа Ферма в ГО.

Из (24) вытекают уравнения для единичных векто-

c3p(r) =

exp(-κ₃(p)ψ₃(r) - H₃(r)) ,

ров, касательных к траекториям

4πψ₃(r)

(

)

∫

(

)

(31)

dν₁(ρ)

dn₁(ρ)

⁽ν₃

∇n₁(ρ) - ν₁

H₃(r) =

dψ₃

div

n₁(ρ)

(25)

n₃

ψ₃

ν₂(ρ) ≡ ν₁(ρ),

727

П. С. Кондратенко, А. Л. Матвеев

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Концентрации в пространственно-временном

t₁ ≪ t ≪ t₂ и t ≫ t₂. Вместе с тем (34) и (35) являют-

представлении c(ρ, t) и c(r, t) получаются путем

ся вторыми ступенями соответственно в интервалах

применения операции обратного преобразования

t₁ ≪ t ≪ t₂ и t ≫ t₂, а выражение (34) описывает

Лапласа к выражениям (30), (31):

также третью (наиболее удаленную) ступень асимп-

тотики на самых поздних временах t ≫ t₂.

∫

[

] dp

c(t) =

A_p exp pt - Γ_p

Re b > 0.

(32)

2πi

b-i∞

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Благодаря условию Γ_p ≫ 1, интеграл здесь бе-

Сформулируем основные результаты. На осно-

рется методом стационарной фазы:

ве асимптотического подхода получены выражения

для концентрации примеси в модели Дыхне с пере-

Ap0

c(t) =

√

exp[-Γ(t)],

(33)



менными в пространстве параметрами — простей-

_∂2_Γ



2π



шей физической модели, демонстрирующей неклас-



∂p²

p=p0

сическое (субдиффузионное) поведение переноса и



смену транспортных режимов во времени.



Γ(t) = Γp0 - p₀t, ∂Γ/∂p

- t = 0.

p=p0

Экспоненциальное убывание концентрационных

В результате сопоставления (30), (31) с (32), (33)

асимптотик позволило получить для показателей

с учетом выражений (20) приходим к выражениям

экспонент дифференциальные уравнения в частных

производных первого порядка. Поэтому в предель-

c(ρ, t) =

exp[-Γ₁(ρ) - H₁(ρ)],

ных временных интервалах асимптотические выра-

4πaD₀t

жения сведены к однократным интегралам вдоль

(34)

траекторий концентрационных сигналов, которые

ψ²¹(ρ)

Γ₁(ρ) =

определяются из вариационного принципа — ана-

4D₀t

лога принципа Ферма в геометрической оптике.

при условии Γ₁(ρ) ≫ max[t/t₁, 1];

Интегралы вдоль траекторий являются аналога-

ми длины оптического пути, а соответствующие им

подынтегральные выражения — аналогами индекса

c(ρ, t) =

√

exp[-Γ₂(ρ) - H₂(ρ)],

4πaD₀t

рефракции. Основное отличие в результатах моде-

(35)

ли с пространственно-зависимыми параметрами от

)1/3

⁽ ψ⁴¹(ρ)

модели Дыхне с постоянными параметрами сводит-

Γ₂(ρ) =

4D²⁰t₁t

ся к замене расстояний от источника примеси до

точки наблюдения соответствующими им длинами

при условии max [t/t₂, 1] ≪ Γ₂(ρ) ≪ 3t/t₁;

концентрационного пути — интегралами вдоль тра-

ектории концентрационных сигналов от индексов

c(r, t) =

exp[-Γ₃(r) - H₃(r)],

рефракции.

(4πd₀t)3/2

(36)

Благодарности. В заключение авторы выража-

ψ²³(r)

Γ₃(r) =

ют глубокую благодарность Л. В. Матвееву за по-

4d₀t

лезное обсуждение результатов.

при условии 1 ≪ Γ₃(r) ≪ t/t₂.

Финансирование. Работа выполнена при фи-

Отмеченные условия применимости выражений

нансовой поддержке Российского научного фонда

(34)-(36) определяются тем, какому из интервалов

(проект № 18-19-00533).

(16)-(18) принадлежит стационарное значение p₀ пе-

ременной Лапласа в (33). Асимптотические выраже-

ния (34), (35) и (36) порождены, соответственно, ре-

ЛИТЕРАТУРА

жимами быстрой классической двумерной диффу-

зии, двумерной субдиффузии и медленной классиче-

1. Л. А. Большов, П. С. Кондратенко, Л. В. Матвеев,

ской трехмерной диффузии. Как видно из условий

УФН 189, 691 (2019).

их применимости, они описывают первые по уда-

ленности от источника примеси ступени асимпто-

2. П. С. Кондратенко, Письма в ЖЭТФ 106, 581

тик во временных интервалах соответственно t ≪ t₁,

(2017).

728