ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 4, стр. 761-775

ОСЦИЛЛЯТОРЫ С ЗАТУХАНИЕМ В РАМКАХ ОБЩЕЙ

ТЕОРИИ СИЛ КАЗИМИРА И ВАН ДЕР ВААЛЬСА

Ю. С. Бараш^*

Институт физики твердого тела Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 6 ноября 2020 г.,

после переработки 14 декабря 2020 г.

Принята к публикации 14 декабря 2020 г.

Показано, что общая теория сил Казимира и Ван дер Ваальса описывает обусловленные взаимодейст-

вием части термодинамических потенциалов квантового гармонического осциллятора с затуханием, би-

линейно связанного с термостатом. По аналогии с широкой областью применимости общей теории сил

Казимира и Ван дер Ваальса проведено расширение модели затухающего осциллятора и получены со-

ответствующие термодинамические величины. В то время как в исходной модели тепловой резервуар

содержит большое число свободных осцилляторов с исчезающе малым демпфированием, в расширен-

ной модели термостат состоит из диссипативных составляющих, которые могут иметь любые допустимые

зависящие от частоты и температуры восприимчивости вследствие их взаимодействия в термостате с

дополнительными диссипативными каналами, непосредственно не влияющими на центральный осцил-

лятор. Таким образом, полученные результаты оказываются применимы к случаю зависящей от частоты

и температуры диссипативной функции центрального осциллятора.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 90-летию И. Е. Дзялошинского

DOI: 10.31857/S0044451021040209

дой, в термодинамические величины неоднородных

диссипативных систем в условиях равновесия. Это

1. ВВЕДЕНИЕ

позволило, в частности, распространить решение

Лифшица для задачи о двух пластинах, разделен-

Применяя флуктуационно-диссипационные со-

ных пустой щелью, на случай взаимодействия че-

отношения к электромагнитному полю в конденси-

рез жидкую пленку [3]. С тех пор основные идеи

рованной среде, Е. М. Лифшиц решил задачу об

и результаты общей теории сил Казимира и Ван

имеющем флуктуационное электромагнитное про-

дер Ваальса [1-4] составляют базис для современно-

исхождение взаимодействии между разделенными

го описания термодинамических величин, обуслов-

пустой щелью толстыми пластинами [1]. Решение

ленных флуктуационным электромагнитным взаи-

Лифшица показало, как можно получить единое

модействием [5-11].

описание сил Казимира и Ван дер Ваальса между

Позднее и вне зависимости от приведенных вы-

макроскопическими телами с зависящими от часто-

ше исследований значительное внимание было уде-

ты произвольными диэлектрическими проницаемос-

лено термодинамике осциллятора, билинейно свя-

тями.

занного с тепловым резервуаром [12-26]. Квантовая

С появлением квантово-полевых методов теории

и классическая динамика осциллятора с затухани-

многих тел подход Лифшица был обобщен в работе

ем, взаимодействующего с тепловым резервуаром и

Дзялошинского и Питаевского [2], в которой были

находящегося под его флуктуационным воздействи-

получены имеющие широкую область применимо-

ем, изучались в течение многих лет [27-40]. Осцил-

сти общие формулы, описывающие вклад длинно-

лятор с затуханием является характерным приме-

волнового флуктуационного электромагнитного по-

ром диссипативных квантовых систем [40,41], пред-

ля, взаимодействующего с конденсированной сре-

ставляющим интерес в связи с целым рядом задач и

^* E-mail: barash@issp.ac.ru

касающимся, в частности, квантового броуновского

761

Ю. С. Бараш

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

движения [37, 39], влияния диссипации на процес-

Свободная от модельных предположений общая тео-

сы квантового туннелирования [33,42] и некоторых

рия обладает существенно более широкими возмож-

общих аспектов статистической механики и термо-

ностями в рамках области ее применимости.

динамики при наличии сильной связи с термоста-

С другой стороны, две сравниваемые теории име-

том [26].

ют ряд важных общих характерных черт. Посколь-

В предлагаемой статье сравниваются основные

ку свойства и взаимодействия Казимира и Ван дер

аспекты и результаты двух теорий, идентифициру-

Ваальса и находящегося под влиянием термостата

ются их общие черты и области существенного пе-

осциллятора формируются под воздействием рав-

ресечения. По аналогии с широкой областью приме-

новесных флуктуаций, сходные черты между ними

нимости общей теории сил Казимира и Ван дер Ва-

известны [43], хотя непосредственное сравнение ос-

альса модель осциллятора с затуханием будет далее

новных результатов для термодинамических потен-

обобщена на случай термостатов с более сложной

циалов не проводилось. Кроме того, длинноволно-

структурой.

вое электромагнитное флуктуационное поле в тео-

На первый взгляд, две упомянутые выше обла-

рии сил Казимира и Ван дер Ваальса оказывает-

сти исследований существенно отличаются друг от

ся затухающим, имеющим комплексные собствен-

друга. Модель Цванцига - Калдейры - Леггетта для

ные частоты, вследствие его взаимодействия с кон-

осциллятора с затуханием [30,33] представляет со-

денсированной средой, и в этом контексте напомина-

бой пример малой квантовой системы, которая де-

ет осциллятор, который становится диссипативным

монстрирует диссипативное поведение, возникаю-

из-за взаимодействия с термостатом.

щее вследствие ее взаимодействия с термостатом.

Следует также отметить общую билинейную опе-

Такая модель позволяет изучить важные для кван-

раторную структуру основных членов в гамильто-

товой динамики системы свойства, допуская точные

нианах, описывающих взаимодействие, с операто-

решения в простых случаях. Ее также можно рас-

рами микроскопической квантовой плотности тока

сматривать как часть более сложных квантовомеха-

и электромагнитного потенциала в одной из тео-

нических задач. Простая структура термостата, со-

рий и с операторами положений центрального ос-

стоящего из большого числа свободных осциллято-

циллятора и каждого из осцилляторов термостата в

ров, взаимодействующих только с центральным (си-

другой. В обоих случаях усреднение членов взаимо-

стемным) осциллятором, приводит к возможности

действия можно провести, используя флуктуацион-

описания диссипативного поведения при переходе к

но-диссипационные соотношения. Еще одна суще-

задаче с одной или двумя степенями свободы.

ственная общая черта двух теорий состоит в том,

В противоположность модели осциллятора с за-

что взаимодействие с центральным осциллятором

туханием, общая теория сил Казимира и Ван дер Ва-

не приводит, в рамках модели, к изменению вос-

альса рассматривает (в рамках микроскопического

приимчивостей осцилляторов термостата. Это ана-

квантового подхода) взаимодействие длинноволно-

логично тому, что в общей теории сил Казими-

вых компонент электромагнитного поля с реальной

ра и Ван дер Ваальса вклад от взаимодействия с

конденсированной системой, при котором не возни-

длинноволновым флуктуационным электромагнит-

кает необходимости ни в разделении двух подсистем

ным полем в диэлектрические проницаемости кон-

на малую центральную систему и большой тепловой

денсированной среды предполагается пренебрежи-

резервуар, ни в существенных упрощениях общей

мо малым.

постановки задачи. Зависящие от частоты диссипа-

Существенное пересечение двух обсуждаемых

тивные диэлектрические проницаемости конденси-

теорий становится очевидным в случае электромаг-

рованной среды фигурируют в теории в общем виде,

нитного взаимодействия центрального осциллятора

в согласии с флуктуационно-диссипационными со-

с термостатом. Учитывая это обстоятельство и про-

отношениями, а их конкретная форма может быть

водя анализ, в некотором смысле в обратном поряд-

задана исходя из независимых теоретических или

ке, вклад сил Казимира и Ван дер Ваальса в сво-

экспериментальных данных. Результаты общей тео-

бодную энергию диссипативных систем был иден-

рии применимы к неоднородным конденсированным

тифицирован исходя из рассмотрения длинноволно-

системам с произвольным пространственным про-

вых электромагнитных флуктуаций в элементарном

филем, в которых проявляются нелокальные корре-

RCL-контуре, который, по-существу, является при-

ляции микроскопического квантового электромаг-

мером осциллятора с затуханием [44]. Впрочем, в

нитного поля в средах с зависящими от координат

то время как общая теория применима к обычному

матричными диэлектрическими проницаемостями.

RCL-контуру, контур удовлетворяет не всем усло-

762

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Осцилляторы с затуханием в рамках общей теории сил Казимира...

виям модели, в которой осцилляторы термостата

щихся в исходной модели восприимчивостей свобод-

имеют бесконечно малые функции демпфирования

ных осцилляторов термостата, расширенная модель

и, следовательно, вещественные собственные часто-

допускает наличие зависящих от частоты и темпера-

ты. Обычное сопротивление RCL-контура, напро-

туры диссипативных восприимчивостей общего ви-

тив, определяется известными реальными процесса-

да. Хотя центральный осциллятор, по предположе-

ми в металле, которые следует рассматривать как

нию, непосредственно не связан с дополнительны-

дополнительные внутренние каналы диссипации в

ми каналами, его функция демпфирования приоб-

термостате, не включенные в исходную модель. Это

ретает зависимость от частоты и температуры че-

относится, конечно, к большей части систем, обыч-

рез билинейное взаимодействие с диссипативными

но изучаемых в общей теории сил Казимира и Ван

осцилляторами термостата или аналогичными им

дер Ваальса¹⁾.

его составляющими. Расширенная модель допуска-

Моделью электромагнитного происхождения,

ет термодинамическое описание осциллятора с зату-

которая одновременно удовлетворяет как условиям

ханием в равновесном состоянии и, вообще говоря,

модели осциллятора с затуханием, так и теории сил

не предназначена для изучения динамики всей си-

Казимира и Ван дер Ваальса, является заряженный

стемы. Соответствующий результат для свободной

осциллятор в равновесном поле излучения черного

энергии, полученный с зависящей от температуры

тела. В этой модели функция демпфирования у

функцией демпфирования центрального осциллято-

осциллятора возникает благодаря процессам ре-

ра, как будет показано, совпадает с выражением для

акции излучения [12, 13]. Связь этой конкретной

свободной энергии в исходной модели, в то время

задачи с теорией сил Казимира и Ван дер Ваальса,

как результат для внутренней энергии изменяется.

не замеченная в работах [12, 13], обсуждалась в

Статья организована следующим образом. В

[45], но только в предельном случае вещественных

разд. 2 приведены основные результаты для осцил-

собственных частот, когда результат сводится к

лятора с затуханием, используемые в последующих

свободной энергии свободных осцилляторов с соб-

разделах. В разд. 3 представлен альтернативный

ственными частотами взаимодействующей системы,

вывод обусловленных взаимодействием частей сво-

как это имеет место для взаимодействия Казимира

бодной и внутренней энергий осциллятора с зату-

и Ван дер Ваальса в системах с вещественными

ханием, что служит основой для дальнейшего рас-

собственными частотами [46-50].

смотрения. Разделы 4-6 показывают связь резуль-

Как будет показано ниже, обусловленные вза-

татов для осциллятора с затуханием с результата-

ми общей теории сил Казимира и Ван дер Ваальса.

имодействием части термодинамических потенциа-

Расширенная модель для осциллятора с затуханием

лов, полученные в рамках модели осциллятора

с затуханием и в рамках свободной от модель-

развита в разд. 7. Раздел 8 завершает статью.

ных предположений общей теории сил Казимира и

Ван дер Ваальса, совпадают, если их выразить че-

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ

рез сходные величины. Это является следствием су-

ОСЦИЛЛЯТОРА С ЗАТУХАНИЕМ,

щественного пересечения двух подходов. Другими

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО С

ТЕРМОСТАТОМ

словами, термодинамика осциллятора с затухани-

ем, билинейно связанного с термостатом, непосред-

Рассмотрим в качестве малой квантовой систе-

ственно описывается давно полученными результа-

мы, взаимодействующей с термостатом, централь-

тами общей теории сил Казимира и Ван дер Ваальса

ный осциллятор, взаимодействующий со свобод-

[4, 50-54].

ными осцилляторами окружения. Введем соответ-

Предложенное в этой статье расширение исход-

ствующие операторы положения

Q и q_α (α = 1,

ной модели осциллятора с затуханием включает

2, . . ., N).

влияние дополнительных внутренних каналов дис-

Если внешнее возмущение в гамильтониане име-

сипации в термостате. В результате, вместо имею-

ет вид

∑

¹⁾ Следуя выявленной в этой статье аналогии между ре-

V_ext = -Qf_ext,Q(t) -

qαfext,α(t)

(1)

зультатами двух теорий, диссипативные свойства конденси-

рованной среды мы сравниваем здесь с диссипативными свой-

α=1

ствами одного только термостата, но не самого центрально-

и линейный отклик на внешние силы f_ext,Q и

го осциллятора. Роль последнего в модели аналогична роли

флуктуационного электромагнитного поля в теории сил Ка-

f_ext,α описывается следующими соотношениями для

зимира и Ван дер Ваальса.

фурье-компонент усредненных величин:

763

Ю. С. Бараш

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

∑

Восприимчивость α-го свободного осциллятора с

Q(ω) = χ_QQ(ω)f_ext,Q(ω)+

χ_Qα(ω)f_ext,α(ω),

(2)

массой m_α и частотой ω_α имеет вид

α=1

∑

χ_α(ω) =

ε → +0.

(11)

q_α(ω) = χ_αQ(ω)f_ext,Q(ω)+

χ_αδ(ω)f_ext,δ(ω),

(3)

m_α ω2α - ω² - iωε

δ=1

Для нахождения перекрестных компонент

то содержащая входящие сюда восприимчивости

χ_Qα(ω), χ_αγ(ω) матричной функции отклика удоб-

флуктуационно-диссипационная теорема, как из-

но ввести полный квантовый гамильтониан модели

вестно, может быть представлена в виде [55]

[

]

Цванцига - Калдейры - Леггетта для затухающего

(

)

(ℏω⁾

Q²

= ℏcth

Im χ_QQ(ω) ,

(4)

осциллятора [30,33] с добавленными классическими

внешними силами:

]

(

)

iℏ

(ℏω^)[

q_αQ_ω =

cth

χ^∗Qα(ω) - χ_αQ(ω) ,

(5)

P²

Ĥ₌

MΩ² Q² -

Qf_ext,Q +

[

]

(

)

(ℏω⁾

q²

= ℏcth

Im χ_αα(ω) ,

(6)

[

(

)₂]

α ω

∑

p2α

C_α

m_αω²

]

qα-

(

)

iℏ

(ℏω^)[

2m_α

m_αω2

q_αq_δω =

cth

χ^∗δα(ω) - χ_αδ(ω) .

(7)

α=1

∑

(

)

qαfext,α.

(12)

Здесь

AB_ω обозначает спектральную плотность

α=1

симметризованной корреляционной функции в рав-

новесном состоянии,

Здесь

^Q,

P и q_α, p_α — операторы положения и им-

пульса соответственно центрального осциллятора и

A(t)

^B(t^′) +

^B(t^′)A(t)〉 =

α-го осциллятора термостата. Центральный осцил-

∫∞

лятор взаимодействует с α-м осциллятором окру-

dω

= (AB)_ω exp [-iω(t - t^′)]

(8)

жения с константой связи C_α. Форма входящих в

2π

-∞

гамильтониан (12) членов взаимодействия исключа-

ет обусловленную взаимодействием перенормировку

Для квантовых состояний, инвариантных по от-

частоты Ω.

ношению к операции инверсии времени, должны вы-

Сравнительно простая модель (12), как известно,

полняться соотношения χ_Qα(ω) = χ_αQ(ω), χ_αδ(ω) =

допускает детальное описание свойств находящего-

= χ_δα(ω), и, например, равенство (5) сводится к со-

ся под воздействием термостата осциллятора с зату-

отношению

[

]

(

)

(ℏω⁾

ханием [26, 30, 33, 37, 39, 40]. В частности, квантовые

q_αQ_ω = ℏ cth

Im χ_Qα(ω) .

уравнения движения после исключения q_α из урав-

нения для

^Q, квантового статистического усредне-

При наличии внешней силы и вызванных взаимо-

ния и преобразования Фурье сводятся к виду

действием с термостатом диссипативных процессов

[(

)

]

линеаризованное динамическое уравнение для ста-

Ω² - ω²

- iωγ(ω)

Q(ω) =

тистически усредненного оператора положения цен-

∑

трального осциллятора с массой M и частотой Ω

= f_ext,Q(ω) +

C_αχ_α(ω)f_ext,α(ω),

(13)

имеет вид

α=1

∫

M Q(t) + M dt^′γ(t - t^′)

^Q(t^′) + MΩ²Q(t) =

-∞

m_α(ω2α - ω²)q_α(ω) - C_αQ(ω) = f_ext,α(ω).

(14)

= f_ext(t),

(9)

Из уравнений (13), (14) вытекает

где γ(t) — диссипативная функция памяти.

χ_QQ(ω) = χ_Q(ω),

(15)

Соответствующая зависящая от частоты воспри-

имчивость, следовательно, есть χ_QQ(ω) ≡ χ_Q(ω),

χ_Qα(ω) = χ_αQ(ω) = C_αχ_Q(ω)χ_α(ω),

(16)

(

)

χ_αα(ω) = χ_α(ω) 1 + C2αχ_Q(ω)χ_α(ω) ,

(17)

χ_Q(ω) =

(10)

M [(Ω² - ω²) - iωγ(ω)]

χ_αδ(ω) = C_αC_δχ_Q(ω)χ_α(ω)χ_δ(ω), α = δ,

(18)

где функция демпфирования γ(ω) является фу-

рье-образом γ(t).

где χ_Q(ω) и χ_α(ω) определены в (10) и (11).

764

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Осцилляторы с затуханием в рамках общей теории сил Казимира...

Как видно из выражений (4)-(7), (15)-(18) и (10),

приходим к усредненной производной гамильтони-

(11), рассматриваемые корреляционные функции

ана по λ:

содержат единственную величину γ(ω), конкретный

∑

вид которой определяется гамильтонианом (12):

∂ Ĥ(λ)

=- C_α×

∂λ

α=1

∑

∫

∞

iωMγ(ω) = C2α [χ_α(ω) - χ_α(0)] ,

(19)

)

dω⁽

(

)

α=1

(q_αQ)_ω,λ - λC_αχ_α(0)

Q²

(23)

ω,λ

2π

−∞

и оказывается связан с так называемой спектраль-

ной плотностью взаимодействия

Здесь

〈. . .〉_λ и

(. . .)_ω,λ означают соответственно

усреднение по равновесному состоянию системы с

∑

гамильтонианом

^Ĥ(λ) и симметризованную спект-

J (ω) = θ(ω)

C2αχ^′′α(ω),

(20)

α=1

ральную плотность.

Так как восприимчивости осцилляторов термо-

где θ(ω) — единичная ступенчатая функция, а двой-

стата χ_α(ω) (11) не содержат Cα, они не зави-

ной штрих у χ обозначает взятие мнимой части.

сят от параметра взаимодействия λ, в то вре-

Связь между функцией демпфирования γ(ω)

мя как функция демпфирования γ(ω, λ), как это

и спектральной плотностью взаимодействия имеет

следует из (19), проявляет квадратичную зависи-

вид

мость: γ(ω, λ)

= λ²γ(ω). Следовательно, зависи-

∞

мость функции отклика χ_Q(ω, λ) от этого параметра

∫

2iω

J (ξ)dξ

получается после подстановки в формулу (10) вели-

γ(ω) = -

ε → +0.

(21)

πM

ξ(ξ² - ω² - iωε)

чины λ²γ(ω) вместо γ(ω).

Применяя теперь флуктуационно-диссипацион-

Определенные в (19), (20) величины удовлетворя-

ные соотношения (4), (5) и учитывая (15), (16), вы-

ют соотношению (21) не только в случае использо-

ражаем квадратичные и билинейные по положени-

вания выражения (11), но также и для любых до-

ям операторов спектральные плотности в (23) через

пустимых зависящих от частоты восприимчивостей

соответствующие функции отклика и получаем сво-

χ_α(ω). Для установления справедливости формулы

бодную энергию в виде

(21) в общем случае следует подставить (19) и (20) в

[

]

∫

(21) и применить к выражениям

χ_α(ω)-χ_α(0)

/ω²

∂ Ĥ(λ)

под знаком суммирования в левой части получив-

Δ_λF = F(λ = 1)-F(λ = 0) =

dλ

∂λ

шегося равенства следующее соотношение Крамер-

са - Кронига:

∫

∞

∫

dω

ℏω

iωλdλγ(ω)

= -Im

ℏ cth

∫∞

2π

(Ω²-ω²) -iωλ²γ(ω)

ξχ^′′(ξ)dξ

−∞

χ^′(ω) =

(22)

ξ² - ω²

∫

∞

dω

ℏω

= Im

ℏ cth

4π

-∞

3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

Ω² - ω² - iωγ(ω)

ОСЦИЛЛЯТОРА С ЗАТУХАНИЕМ

× ln

ε → +0.

(24)

Ω² - ω² - iωε

Обусловленный взаимодействием центрального

При учете аналитических свойств функций отклика

осциллятора с термостатом вклад в свободную энер-

в верхней полуплоскости комплексной частоты фор-

гию можно сравнительно просто найти, если при-

мула (24) преобразуется к следующему выражению

равнять, следуя общим соотношениям статистиче-

для свободной энергии:

ской физики [53-56], производную свободной энер-

∞

гии по параметру взаимодействия соответствующей

∑

′

Ω²+ω2n+ω_nγ(iω_n)

Δ_λF = F-F₀ = T

(25)

усредненной производной от гамильтониана с после-

Ω² + ω²

n=0

дующим интегрированием полученного равенства

по параметру взаимодействия. Умножая с этой це-

Здесь ωn = 2πnT/ℏ — мацубаровская частота, а

лью все константы связи C_α(α = 1, 2, . . . , N) в га-

штрих у знака суммирования означает, что член с

мильтониане (12) на один и тот же параметр λ,

n = 0 берется с половинным весом. При получении

765

Ю. С. Бараш

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

выражения (25) учитывалось условие γ(ω) → 0 при

Формула (26) для свободной энергии не содер-

ω → ∞, которое должно выполняться в реальных

жит производной по частоте от функции демпфиро-

системах.

вания, поскольку параметр взаимодействия в (23),

Хотя член с n = 0 в (25) обращается в нуль,

(24) считался изменяющимся при фиксированной

его удобно оставить для сравнения с аналогичным

температуре и, следовательно, при фиксированных

выражением, которое используется в более общем

мацубаровских частотах. С другой стороны, выра-

случае. Равенство нулю обусловленных взаимодей-

жения для таких термодинамических потенциалов,

ствием эффектов в классическом пределе являет-

которым отвечают процессы с изменяющейся темпе-

ся специфическим свойством моделей типа Цванци-

ратурой, с неизбежностью должны содержать про-

га - Калдейры - Леггетта, описывающих системы с

изводные по частоте от функции демпфирования,

одной степенью свободы. Это происходит, в частно-

взятые при мацубаровских частотах, примером че-

сти, из-за отсутствия в модели вызванной взаимо-

му служит выражение (28).

действием перенормировки частоты осциллятора Ω.

Внутренняя энергия (28) совпадает с результа-

Обусловленная взаимодействием часть Δ_λF

том, полученным ранее на основе предваритель-

свободной энергии центрального осциллятора (25)

но найденной приведенной статистической суммы

представляет собой разность свободных энергий

[16, 40]. Наличие производной по частоте от функ-

полной системы, взятых с учетом и без учета взаи-

ции демпфирования в (28), как известно, отвечает

модействия осциллятора с окружением. Свободная

наличию температурной зависимости у гамильтони-

энергия F осциллятора с затуханием как открытой

ана средней силы [26].

системы, взаимодействующей с термостатом, полу-

чается из выражения (25) добавлением к его правой

части членов, которые не зависят от констант связи

и при отсутствии взаимодействия обеспечивают

4. СВЯЗЬ С РЕЗУЛЬТАТАМИ

совпадение величины F со свободной энергией

ДЗЯЛОШИНСКОГО И ПИТАЕВСКОГО

свободного осциллятора

[

(

)

(

)]

В цели этого и следующего разделов входит срав-

ℏΩ

∏

Ω²

T ln

2 sh

= T ln

нение основных формул для термодинамических

ω²

n=1

потенциалов, полученных в двух рассматриваемых

Таким образом, исходя из (25), приходим к следую-

теориях, и установление идентичности этих формул,

возникающей при использовании сходных величин.

щей свободной энергии осциллятора с затуханием:

[

В этом разделе рассматривается один из основных,

∞

(

)]

ℏΩ

Ω²

γ(iω_n)

свободных от модельных предположений, результа-

F = T ln

(26)

ω2n

ω_n

тов, полученных Дзялошинским и Питаевским [2] в

n=1

рамках развитой ими общей теории сил Казимира и

Свободная энергия открытой системы может

Ван дер Ваальса. Речь идет о вариации обусловлен-

быть представлена в виде F = -T ln Z(T ), где Z —

ной взаимодействием свободной энергии длинновол-

приведенная статистическая сумма, т. е. отношение

нового электромагнитного флуктуационного поля в

статистических сумм полной системы и невозму-

неоднородной конденсированной среде.

щенного резервуара. Исходя из этого соотношения,

Линейный электромагнитный отклик конденси-

из (26) приходим к хорошо известному выражению

рованной среды, фигурирующий в общих выраже-

для приведенной статистической суммы линейного

ниях теории, описывается поляризационным опера-

квантового осциллятора с затуханием [26, 40]:

тором P, зависящим от мацубаровских частот и свя-

∏

ω2n

занным с диэлектрической функцией соотношением

Z(T ) =

(27)

ℏΩ

Ω² + ω2n + ω_nγ(iω_n)

n=1

P_ik(ω_n, r₁, r₂) =

Выражение для внутренней энергии осциллято-

ра с затуханием следует из (26) при учете стандарт-

ω2n

[

]

ϵ_ik(iω_n, r₁, r₂) - δ_ikδ(r₁ - r₂)

(29)

ного соотношения E = -T²∂ (F (T )/T ) /∂T :

ℏc²

dγ(iω_n)

∞

2Ω² + ω_nγ(iω_n) - ω²

Соответствующая вариация свободной энергии при

∑

′

ⁿ dω_n

E=T

(28)

малом изменении поляризационного оператора δP,

Ω² + ω2n + ω_nγ(iω_n)

n=0

как было найдено, имеет вид [2]

766

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Осцилляторы с затуханием в рамках общей теории сил Казимира...

(31) получаем одинаковые множители перед знака-

δF = -

4π

ми суммирования.

∞

∫

Наконец, взаимодействие с длинноволновым

∑

′

электромагнитным полем рассматривается в общей

dr₁dr₂D_ik(ω_n, r₁, r₂)δP_ki(ω_n, r₂, r₁).

(30)

n=0

теории как взаимодействие со сравнительно слабым

полем в том смысле, что вклад от такого поля в

Здесь D_ik(ω_n, r₁, r₂) — температурная гриновская

диэлектрическую проницаемость конденсированной

функция длинноволнового электромагнитного поля

среды пренебрежимо мал. Поэтому поляризаци-

в среде. Соответствующая запаздывающая гринов-

онный оператор (29) входит в выражения теории

ская функция связана с равновесными корреляция-

умноженным только на квадрат соответствующей

ми квантовых микроскопических потенциалов в сре-

константы связи. Аналогично, восприимчивости

де при калибровочном условии равенства нулю ска-

отдельных осцилляторов в термостате предполага-

лярного потенциала.

ются не зависящими от соответствующих констант

Рассмотрим теперь вариацию обусловленной

связи, что приводит к квадратичной зависимо-

взаимодействием свободной энергии (25) (или (26))

сти функции демпфирования γ(ω) от параметра

при малом изменении функции демпфирования:

взаимодействия.

∞

∑

′

[

]

δF = -T

χ_Q(iω_n)

-Mω_nδγ(iω_n)

(31)

5. СВЯЗЬ С ВКЛАДОМ СИЛ КАЗИМИРА И

n=0

ВАН ДЕР ВААЛЬСА В ПОЛНУЮ

Здесь было использовано выражение (10) для функ-

СВОБОДНУЮ ЭНЕРГИЮ

ции отклика осциллятора с затуханием. Уравнение

Возвращаясь к выражению (25) для свободной

(31) справедливо при любой возможной частотной

энергии, рассмотрим две функции,

зависимости функции демпфирования.

Близкая аналогия между формулами (30) и (31)

допускает детальное описание. В то время как функ-

D(ω) = Ω² - ω² - iωγ(ω),

ция Грина в (30) связана с корреляциями флукту-

D₀(ω) = Ω² - ω² - iωε (ε → +0),

ирующих микроскопических электромагнитных по-

тенциалов в среде, функция отклика χ_Q описывает

взятые в (25) при мнимых мацубаровских частотах

корреляции флуктуаций положения центрального

ω → iω_n. Корни дисперсионной функции D(ω), т.е.

осциллятора Q (см. соотношения (4) и (15)). Спект-

решения дисперсионного уравнения

ральная плотность электромагнитных сил Ланже-

вена в среде связана, как известно, с поляризацион-

D(ω) = Ω² - ω² - iωγ(ω) = 0,

(32)

ным оператором, в то время как величина iωMγ(ω)

связана со спектральной плотностью сил Ланжеве-

представляют собой комплексные собственные час-

на в случае осциллятора с затуханием.

тоты осциллятора с затуханием. В то же время урав-

Далее, для осциллятора с затуханием, как видно

нение D₀(ω) = 0 определяет собственные часто-

из выражений (13) и (10), функция χ_Q(ω) описывает

ты свободного осциллятора, т. е. при отсутствии его

линейный отклик координаты Q на внешнюю силу

взаимодействия с термостатом.

f_ext,Q(ω), в то время как соотношение между силой

Таким образом, формула (25) принимает вид

трения и координатой Q есть

∞

∑

′

D(iω_n)

f_friction(ω) = iωMγ(ω)Q(ω).

Δ_λF = F - F₀ = T

(33)

D₀(iω_n)

n=0

Аналогично, в теории сил Казимира и Ван дер Ва-

альса величина -(1/ℏc)D, как известно, играет роль

Следует отметить, что выражение (33) представля-

обобщенной нелокальной матричной функции от-

ет собой основную формулу для свободной энергии

клика для электромагнитных потенциалов под воз-

в общей теории сил Казимира и Ван дер Ваальса

действием внешних токов, в то время как -(cℏ/4π)P

[50]. Эту формулу можно получить в рамках общей

входит в соотношение между плотностью тока и

теории, используя, в частности, метод интегрирова-

электромагнитными потенциалами в средах. Груп-

ния по параметру взаимодействия [53,54] аналогич-

пируя рассматриваемые величины вместе с указан-

но тому, как это было сделано в разд. 3 для задачи

ными коэффициентами, в обоих выражениях (30) и

об осцилляторе с затуханием.

767

Ю. С. Бараш

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

∫

∞

(

)

Поскольку соотношения (30) и (31) тесно связа-

ℏω

Δ_λF = T ln

2 sh

Δ_λρ(ω)dω,

(35)

ны друг с другом, а выражение (25) совпадает с (33),

приходим к заключению, что общая теория сил Ка-

зимира и Ван дер Ваальса описывает обусловлен-

∂

D(ω)

Δ_λρ(ω) = ρ - ρ₀ = -

(36)

ную взаимодействием часть свободной энергии ос-

∂ω

D₀(ω)

циллятора с затуханием.

Появление здесь частной производной по частоте

Ввиду того что на бесконечно далеких расстоя-

вместо полной производной связано с возможным

ниях взаимодействие обращается в нуль, при изу-

появлением дополнительных переменных, от кото-

чении взаимодействия Казимира и Ван дер Вааль-

рых может зависеть дисперсионная функция. Такая

са между телами параметр взаимодействия λ мож-

возможность обсуждается в конце данного раздела,

но в конечном счете связать с расстоянием между

а также в разд. 7.

ними. В этом случае свободные энергии F и F₀ и

В отличие от теории взаимодействия Казимира

дисперсионные функции D(ω) и D₀(ω) в (33) от-

и Ван дер Ваальса, в рамках которой рассматрива-

вечают соответственно расстоянию l между телами

ется, как правило, только обусловленная взаимодей-

и случаю, когда тела находятся очень далеко друг

ствием часть свободной энергии, простая модель ос-

от друга. Следовательно, в пределе l → ∞ имеем

циллятора с затуханием позволяет описать свобод-

D(ω)/D₀(ω) → 1. Если функция D(ω) есть произ-

ную энергию (26) взаимодействующего с окружени-

ведение нескольких дисперсионных функций, то не

ем осциллятора с затуханием. Переписывая (26) в

зависящие от l множители сокращаются и не вносят

форме, аналогичной (35), (36), и используя опреде-

вклада в (33). Остающееся отношение двух функций

ление (32) для функции D(ω), получаем

обычно рассматривают как нормированную диспер-

∞

(

)

сионную функцию, которая задает зависящий от

∫

ℏω

расстояния спектр собственных мод в системе.

F = T ln

2 sh

ρ(ω) dω,

(37)

Далее, собственные моды в системе макроскопи-

∂

(

)

ческих тел различной геометрии могут зависеть от

ρ(ω) = -

MD(ω)

(38)

∂ω

переменных, имеющих непрерывный или квазине-

прерывный спектр значений, таких как компонен-

Вследствие вытекающего из (10) и (32) равен-

ты волнового вектора. Выделяя эти непрерывные

ства MD(ω) = χ-1Q(ω), из соотношений (37), (38) в

переменные и обозначая их буквой β, приходим с

рамках исходной модели осциллятора с затуханием

помощью соотношения (33) к следующей форме за-

находим

писи для обусловленной взаимодействием Казимира

∫

∞

(

)

ℏω

d ln χ_Q(ω)

и Ван дер Ваальса части свободной энергии:

F =

T ln

2 sh

dω,

(39)

dω

∞

∫

что в точности совпадает с результатом для сво-

∑

′

Δ_λF = F - F₀ = T

ρ(β) dβ ln D(β, iω_n),

(34)

бодной энергии, используемым в теории осциллято-

n=0

ра, билинейно взаимодействующего с термостатом

[12-15, 17, 26].

Аналогично выражениям (35), (36), обусловлен-

где ρ(β) — плотность состояний.

ную взаимодействием свободную энергию (34) в об-

Формулы (25) или (26) для свободной энергии

щей теории сил Казимира и Ван дер Ваальса также

осциллятора с затуханием не обсуждались в лите-

можно представить в виде

ратуре, несмотря на их очевидную связь с хорошо

∫

∞

(

)

известной приведенной статистической суммой (27).

ℏω

Δ_λF = T ln

2 sh

Δ_λρ(ω)dω,

(40)

Вместо этого обычно используется модифицирован-

ная форма этого результата, которая получается из

∫

∂

формулы (25) ее преобразованием к интегрирова-

Δ_λρ(ω) = -

ρ(β) dβ ln D(β, ω).

(41)

∂ω

нию вдоль вещественной оси частот (ср. (24)) с ис-

пользованием равенства D(β, -ω) = D^∗(β, ω) и по-

Вообще говоря, любая из формул (26), (39) мо-

следующим интегрированием по частям. Это приво-

жет использоваться для описания свободной энер-

дит к следующему эквивалентному формуле (25) (и

гии осциллятора с затуханием. Поскольку выраже-

(33)) выражению:

ние (26) имеет более простой вид и не содержит

768

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Осцилляторы с затуханием в рамках общей теории сил Казимира...

производной по частоте от восприимчивости осцил-

что приводит к температурной зависимости вели-

лятора, форма записи свободной энергии (26) или

чины Δ_λρ(ω, T ). При этом выражение для внутрен-

(33) кажется более предпочтительной по сравнению

ней энергии, аналогичное по форме свободной энер-

с (39) или (37), (38). Это тем более верно в отноше-

гии (40), (41), будет содержать другую величину

нии анализа более сложных задач, включая типич-

Δ_λρ_E(ω, T) = Δ_λρ(ω, T):

ные задачи теории сил Казимира и Ван дер Вааль-

∫

∞

са, где запись свободной энергии в виде (34) име-

ℏω

Δ_λE =

cth

Δ_λρ_E(ω, T)dω,

(42)

ет ряд значительных преимуществ по сравнению с

(40), (41).

(

)

∂

Вдоль вещественной оси частот проницаемости

Δ_λρ_E(ω, T) = -

принимают, как известно, комплексные значения

∂ω

ω ∂T

∫

и могу проявлять сложное поведение. Напротив,

× ρ(β) dβ ln D(β, ω, T ).

(43)

они принимают вещественные значения и показы-

вают сравнительно простое монотонное поведение

Для билинейной связи центрального осциллято-

на верхней мнимой полуоси частот. В этом состояла

ра с термостатом функция демпфирования осцилля-

аргументация Лифшица [1] при преобразовании его

тора в модели Цванцига - Калдейры - Леггетта, как

основного результата, на начальном этапе включаю-

известно, не зависит от температуры. Расширение

щего интегрирование по вещественным частотам, к

этой модели, приводящее к тем же формулам (25),

форме, включающей суммирование по мацубаров-

(26), (33) и (35)-(39), но при наличии температур-

ским частотам вдоль верхней мнимой полуоси час-

ной зависимости функции демпфирования γ(ω, T),

тот²⁾.

индуцированной билинейной связью с окружением,

К тому же производные проницаемостей по час-

будет рассмотрено в разд. 7.

тоте, возникающие после применения (41) к неод-

нородным конденсированным системам, могут дра-

6. ПАРНЫЕ И МНОГОЧАСТИЧНЫЕ

матически усложнить вид результата по сравнению

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ЧАСТЯМИ

с его формой в (34). Взяв в качестве примера хо-

ТЕРМОСТАТА

рошо известные дисперсионные функции для соб-

ственных мод в задаче Лифшица, нетрудно полу-

Выявление близкой аналогии между двумя тео-

чить конкретные громоздкие выражения, содержа-

риями позволяет рассмотреть вопрос о существова-

щие производные от проницаемостей по частоте под

нии в модели осциллятора с затуханием аналога, ко-

знаком интегрирования вдоль полуоси веществен-

торый бы соответствовал, по крайней мере с фор-

ных частот. Из всего сказанного видно, что пред-

мальной точки зрения, взаимодействию Казимира

ставление свободной энергии в виде (34) намного бо-

и Ван дер Ваальса между макроскопическими тела-

лее предпочтительно по сравнению с (40), (41).

ми. В этом разделе будет показано, что таким анало-

Заметим, что величина ρ(ω) фигурирует в (37)

гом является взаимодействие между разными час-

как эффективная спектральная плотность возбуж-

тями термостата.

дений. Для сводящейся в пределе пренебрежимо ма-

Хотя составляющие части термостата непосред-

лой диссипации к дельта-функции величины ρ(ω) из

ственно друг на друга не воздействуют, между ними

формулы (37) получается свободная энергия свобод-

имеется эффективное непрямое взаимодействие че-

ного осциллятора. В то же время величина Δ_λρ(ω)

рез из связь с центральным осциллятором. Вслед-

в (36) и (41) есть в лучшем случае разность между

ствие многочастичного происхождения взаимодей-

эффективными спектральными плотностями систе-

ствия, свободная энергия (25) и другие термодина-

мы при наличии и отсутствии взаимодействия.

мические потенциалы неаддитивны по отношению

Далее, выражения для различных термодинами-

к вкладам отдельных составляющих термостата, в

ческих потенциалов будут содержать одну и ту же

то время как функция демпфирования (19) и спект-

величину Δ_λρ(ω) только при отсутствии ее темпе-

ральная плотность взаимодействия (20) представля-

ратурной зависимости. Согласно общей теории сил

ют собой аддитивные величины.

Казимира и Ван дер Ваальса, формулы (34) и (40),

Парные и трехчастичные вклады в свободную

(41) для свободной энергии сохраняют свой вид в

энергию вытекают из соотношения (25) в пределе

случае зависящих от температуры проницаемостей,

слабой связи. Рассмотрим термостат, подразделен-

²⁾ Это было сделано Лифшицем до появления статьи Мацубара.

769

ЖЭТФ, вып. 4

Ю. С. Бараш

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

ный на некоторое число различных частей, чему от-

модели осциллятора с затуханием, можно рассмат-

∑_p

вечает функция демпфирования γ =

γ_n. Если

ривать как собственные моды термостата. Соответ-

n=1

приближение слабой связи применимо к взаимодей-

ствующие собственные частоты вещественны, по-

ствию центрального осциллятора с термостатом в

скольку предполагается, что при отсутствии влия-

целом, то можно разложить (25) по степеням γ и

ния центрального осциллятора термостат является

представить свободную энергию в виде

замкнутой системой.

Связь центрального осциллятора с отдельной

∑

модой термостата считается слабой, что объясня-

F = F_n + F_nm +

F_n,m,l + . . .

n<m

n<m<l

ет очень слабое возмущение состояния составляю-

щих термостат мод и согласуется с билинейной фор-

Здесь величина F_n описывает индивидуальный

мой гамильтониана взаимодействия. В то же время

вклад n-й части термостата в свободную энергию,

центральный осциллятор может испытывать значи-

содержащий только параметр γ_n и его степени.

тельное диссипативное влияние, коллективно созда-

Парное взаимодействие приводит к парному чле-

ваемое большим количеством мод термостата. При

ну в свободной энергии, и основной вклад от каждой

этом функция демпфирования γ(ω) центрального

пары отвечает притяжению между частями:

осциллятора не обязательно мала, а ее частотная за-

висимость может изменяться в широких пределах в

∑

соответствии с формулами (19)-(21), где спектраль-

ω2nγ₁(iω_n)γ₂(iω_n)

F₁₂ = -T

(44)

(Ω² + ω2n)²

ная плотность взаимодействия изменяется вместе со

n=1

спектральным распределением вещественных соб-

Аналогично, основной трехчастичный вклад в сво-

ственных частот термостата [22,23,33,37,40].

бодную энергию от комбинации трех различных час-

Такой подход широко и эффективно использует-

тей есть

ся для изучения задач, касающихся, в основном, воз-

никновения диссипации и связанных с ней эффек-

∑

тов в квантовых динамических системах. С другой

ω3nγ₁(iω_n)γ₂(iω_n)γ₃(iω_n)

F₁₂₃ = 2T

(45)

стороны, нельзя исключить возможность того, что

(Ω² + ω2n)³

n=1

взаимодействующие с центральным осциллятором

моды не исчерпывают все степени свободы термо-

Суммы по мацубаровским частотам в (44) и (45)

стата. Дополнительные внутренние каналы термо-

сходятся даже в простейшем случае омического ре-

стата, находящиеся в контакте с его основными мо-

жима, когда они могут быть выражены соответст-

дами, но непосредственно не связанные с централь-

венно через элементарные и специальные функции.

ным осциллятором, могут приводить к формирова-

Так, предполагая γ1,2 не зависящими от частоты,

нию зависящих от частоты и температуры диссипа-

для парного вклада находим

тивных восприимчивостей χ_α(ω, T ), заменяющих в

[

]

этом случае рассматривавшиеся в исходной модели

2ℏγ₁γ₂

ℏΩ

F₁₂ = -

cth

sh-2

(46)

величины с бесконечно малыми функциями демп-

фирования. Влияние центрального осциллятора на

восприимчивости составляющих элементов термо-

Обращение взаимодействия в нуль в пределе высо-

стата, предполагаемое по-прежнему пренебрежимо

ких температур, не имеющее места в общем случае,

малым, следует в этом случае сравнивать с соответ-

связано здесь с уже упоминавшимся в разд. 3 спе-

ствующими вкладами от дополнительных каналов,

цифическим свойством модели Цванцига - Калдей-

которые могут доминировать.

ры - Леггетта.

Без конкретизации части полного гамильтониа-

на, связанной с дополнительными каналами, рас-

сматриваемая расширенная модель, вообще говоря,

7. ОСЦИЛЛЯТОР С ЗАТУХАНИЕМ,

не предназначена для изучения квантовой динами-

ЛИНЕЙНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЙ С

ки полной системы. Однако, как показано в этом

ДИССИПАТИВНЫМ ТЕРМОСТАТОМ

разделе, обусловленные взаимодействием термоди-

намические величины осциллятора с затуханием мо-

Большое число свободных осцилляторов с бес-

гут быть описаны в расширенных рамках анало-

конечно малыми функциями демпфирования, фор-

гично рассмотренному в разд. 3 случаю. Ключевым

мирующих спектральную структуру термостата в

здесь является то обстоятельство, что гамильтониан

770

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Осцилляторы с затуханием в рамках общей теории сил Казимира...

взаимодействия центрального осциллятора с термо-

центрального осциллятора с затуханием. Также за-

статом, необходимый для нахождения соответству-

ключаем, что равенства (13), (15), (16) и (19)-(21)

ющих термодинамических величин, в расширенной

будут в рассматриваемом случае выполняться после

модели остается неизменным и может быть выде-

подстановки в них модифицированных восприимчи-

лен из полного расширенного гамильтониана взяти-

востей термостата χ_α(ω, T) вместо исходных (11).

ем производной по выбранному параметру взаимо-

Переходя далее к выводу разд. 3, умножаем кон-

действия.

станты связи C_α в гамильтониане (47) на один и тот

Таким образом, представим полный гамильтони-

же параметр взаимодействия λ. Это не приводит к

ан в виде

изменениям восприимчивостей термостата χ_α(ω, T ),

∑

не подверженных заметному влиянию центрального

Ĥ₌

MΩ² Q²-Qf_ext,Q-

qαfext,α +

осциллятора и, следовательно, не зависящих от λ.

α=1

Ввиду выполнения равенства (19), функция демп-

∑

(

)₂

фирования центрального осциллятора по-прежнему

qα - Cαχα(0, T )^Q

(47)

является квадратичной функцией λ: γ(ω, T, λ) =

2χ_α(0, T)

α=1

= λ²γ(ω, T). Таким образом, после получения тако-

го же выражения (23) для производной модифици-

где вид слагаемого

H не фиксирован, за исключени-

рованного гамильтониана (47) по параметру λ и ис-

ем того, что он не содержит ни относящихся к цен-

пользования соотношений (4), (5) и (15), (16) можно

тральному осциллятору операторов

^Q,

P, ни конс-

провести интегрирование по параметру взаимодей-

тант связи C_α.

ствия и получить те же самые выражения (24)-(26),

В соответствии с билинейной формой взаимодей-

(33) для обусловленной взаимодействием части сво-

ствия и определением линейных восприимчивостей,

бодной энергии осциллятора с затуханием, а также и

динамическое уравнение для q_α(t), вытекающее из

формулу (27) для приведенной статистической сум-

гамильтониана (47) после использования преобразо-

мы.

вания Фурье, статистического усреднения и исклю-

чения дополнительных степеней свободы, имеет вид

Свободная энергия в любой из форм записи

(25), (26), (33), (37)-(39) становится в рамках рас-

χ-1α(ω, T)q_α(ω) = C_αQ(ω) + f_ext,α(ω).

(48)

ширенного подхода применимой к случаю, в кото-

Уравнение (48) отличается от (14) только вследст-

ром функция демпфирования γ(ω, T ) осциллятора

вие различия между (11) и диссипативной воспри-

с затуханием зависит, в любой допустимой форме,

имчивостью α-й составляющей термостата χ_α(ω, T ).

не только от частоты, но также и от температу-

Используя выражения (47), (48) вместо (12),

ры, несмотря на билинейную форму взаимодействия

(14), а в остальном следуя разд. 2, приходим к тем

центрального осциллятора с термостатом. В этих

же равенствам (1)-(3) и флуктуационно-диссипаци-

условиях выражение (28) для внутренней энергии

онным соотношениям (4)-(7), а также к (9), (10) для

должно быть модифицировано:

(

)

∂

∞

2Ω² + ω_nγ(iω_n) - ω

γ(iω_n, T )

∑

′

∂ω_n

ω_n ∂T

E =T

(49)

Ω² + ω2n + ω_nγ(iω_n, T)

n=0

Выражение (49) можно также представить в ви-

Представленная в этом разделе расширенная мо-

де

дель показывает, что термодинамику квантового

∫∞

осциллятора с затуханием, билинейно взаимодей-

ℏω

cth

ρ_E(ω, T)dω,

(50)

ствующего с термостатом, можно теоретически опи-

сать без использования модельных предположений,

упрощающих реальную структуру термостата. Это

(

)

∂

позволяет, в частности, рассматривать в рамках та-

ρ_E(ω, T) = -

∂ω

ω ∂T

кой модели RCL-контур, металлическое сопротивле-

(

)

ние которого обусловлено электрон-фононным взаи-

× ln

MD(ω, T)

(51)

модействием, рассеянием электронов на примесях и

который согласуется с (42), (43).

другими физическими процессами в металле. Вклю-

771

13*

Ю. С. Бараш

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

чение свободных от модельных представлений внут-

ля, проведенное Хаттнером и Барнеттом [77], после

ренних процессов в термостате в модель осциллято-

диагонализации полного гамильтониана рассматри-

ра с затуханием было здесь проведено по аналогии

ваемой модели методом Фано [78] привело к кван-

с общей теорией сил Казимира и Ван дер Ваальса,

товым флуктуациям тока, полностью совместимым

применимой к реальным конденсированным систе-

со всеми флуктуационно-диссипационными соотно-

мам с диэлектрическими проницаемостями общего

шениями. Кроме того, выбор функциональных па-

вида.

раметров гамильтониана взаимодействия позволил

Приведенное выше рассмотрение также показы-

имитировать произвольную зависящую от частоты

вает внутреннюю несогласованность недавней кри-

диссипативную диэлектрическую функцию, удовле-

тики общей теории сил Казимира и Ван дер Вааль-

творяющую соотношениям Крамерса - Кронига. По-

са, которая основывается на отсутствии в теории яв-

лучившаяся в результате макроскопическая кван-

ного выражения для полного гамильтониана систе-

товая электродинамика поглощающих диспергиру-

мы квантового электромагнитного поля в конденси-

ющих сред используется для изучения квантовых

рованных средах [57-61]. Заключение, сделанное в

эффектов взаимодействия электромагнитного по-

работах [57-61], состоит в том, что такая теория не

ля в конденсированных телах и их окрестностях

может привести к последовательному микроскопи-

[59, 65, 77, 79-94].

ческому квантовому описанию термодинамических

Поскольку полученные в рамках модели работы

величин квантовых систем с взаимодействием.

[77] результаты в итоге выражаются через имею-

Рассмотренная здесь расширенная модель пред-

щую произвольную частотную зависимость диэлек-

ставляет собой сравнительно простой пример, пока-

трическую функцию системы, можно было бы ожи-

зывающий ошибочность этой критики. Уже из этого

дать, что эти результаты имеют более общий харак-

примера видно, что для нахождения обусловленной

тер, чем лежащий в основе модели гамильтониан.

взаимодействием части термодинамических вели-

Это означало бы, однако, что конечные результаты

чин билинейно связанной с термостатом квантовой

выражаются через диэлектрические проницаемости

системы нет необходимости в знании части полного

сред в общем случае при наличии диссипации. Хо-

гамильтониана, описывающей термостат и не содер-

тя данное предположение справедливо в отношении

жащей соответствующих параметров взаимодейст-

теории взаимодействия Казимира и Ван дер Вааль-

вия. Так как флуктуационно-диссипационные соот-

са [2], в общем случае оно не было подтверждено

ношения идентифицируют функции отклика исходя

[95] (см. также [96]). Кроме того, в отличие от ча-

из их микроскопических выражений, данный подход

стотной зависимости, зависимость диэлектрических

обоснован с микроскопической точки зрения. При

проницаемостей от температуры не воспроизводит-

этом линейные функции отклика термостата можно

ся в рамках обсуждаемого микроскопического мо-

далее рассматривать как известные из других тео-

дельного гамильтониана, содержащего только квад-

ретических или экспериментальных исследований.

ратичные и билинейные операторные члены при от-

Это позволяет отделить рассматриваемую задачу от

сутствии зависящих от температуры параметров.

полного динамического описания квантовой систе-

Таким образом, результаты для дисперсионных

мы в целом.

взаимодействий, полученные в рамках модели по-

Следует также упомянуть о ряде моделей по-

глощающих сред, могут быть выражены через ди-

глощающих конденсированных сред, взаимодей-

электрические проницаемости материалов и долж-

ствующих с квантовым электромагнитным полем,

ны находиться в согласии с общей теорией сил Ка-

которые используются, в частности, для изуче-

зимира и Ван дер Ваальса [2, 4] в рамках области

ния взаимодействия Казимира и Ван дер Ваальса

ее применимости. Сказанное, однако, не имеет отно-

[57, 58, 60-74]. Эти модели включают в рассмотре-

шения к результатам этой статьи, в которой модель

ние линейно поляризуемые осцилляторы (или состо-

осциллятора с затуханием представляет открытую

ящую из микроскопических гармонических полей

малую квантовую систему, а не составную часть мо-

среду), которые взаимодействуют с электромагнит-

дели диссипативных диэлектрических проницаемо-

ным полем, как в ранних работах [75,76], и, в допол-

стей конденсированных сред. В статье была выяв-

нение к этому, с осцилляторами термостата [62, 77].

лена аналогия между моделью осциллятора с зату-

Последнее приводит к диссипативным эффектам в

ханием в ее исходной форме, в которой централь-

системе, аналогичным рассматриваемым в этой ста-

ный осциллятор билинейно взаимодействует с ос-

тье в рамках модели осциллятора с затуханием.

цилляторами термостата, и общей теорией взаимо-

Каноническое квантование электромагнитного по-

действия Казимира и Ван дер Ваальса, свободной от

772

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Осцилляторы с затуханием в рамках общей теории сил Казимира...

модельных предположений в ее рассмотрении длин-

R. H. French, V. A. Parsegian, R. Podgornik,

новолнового флуктуационного квантового электро-

R. F. Rajter, A. Jagota, J. Luo, D. Asthagiri,

магнитного поля, взаимодействующего с конденси-

M. K. Chaudhury, Y.-m. Chiang, S. Granick,

S. Kalinin, M. Kardar, R. Kjellander, D. C. Langreth,

рованными телами.

J. Lewis, S. Lustig, D. Wesolowski, J. S. Wettlaufer,

W.-Y. Ching, M. Finnis, F. Houlihan, O. A. von Li-

lienfeld, C. J. van Oss, and T. Zemb, Rev. Mod. Phys.

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

82, 1887 (2010).

В данной работе показано, что равновесная тер-

10.

Casimir Physics, Lecture Notes in Physics, Vol. 834,

модинамика осциллятора с затуханием, билинейно

ed. by D. Dalvit, P. Milonni, D. Roberts, and F. Rosa,

взаимодействующего с термостатом, изученная ра-

Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg (2011).

нее в рамках модели Цванцига - Калдейры - Леггет-

11.

L. M. Woods, D. A. R. Dalvit, A. Tkatchenko,

та, может быть описана результатами общей теории

P. Rodriguez-Lopez, A. W. Rodriguez, and R. Pod-

сил Казимира и Ван дер Ваальса. Найденное зна-

gornik, Rev. Mod. Phys. 88, 045003 (2016).

чительное перекрытие между двумя теориями де-

тально изучено. Представлена модифицированная

12.

G. W. Ford, J. T. Lewis, and R. F. O’Connell, Phys.

модель, допускающая частотную и температурную

Rev. Lett. 55, 2273 (1985).

зависимости функции демпфирования центрально-

13.

G. Ford, J. Lewis, and R. O’Connell, Ann. of Phys.

го осциллятора, и получены соответствующие мо-

185, 270 (1988).

дифицированные термодинамические потенциалы.

14.

G. W. Ford, J. T. Lewis, and R. F. O’Connell, J. Stat.

Phys. 53, 439 (1988).

Финансирование. Работа выполнена в рамках

Государственного задания ИФТТ РАН Программы

15.

G. W. Ford and R. F. O’Connell, Physica E 29, 82

фундаментальных научных исследований государ-

(2005).

ственных академий наук на 2013-2020 гг.

16.

P. Hänggi and G.-L. Ingold, Acta Phys. Pol. B 37,

1537 (2006).

ЛИТЕРАТУРА

17.

G. W. Ford and R. F. O’Connell, Phys. Rev. B 75,

134301 (2007).

1. Е. М. Лифшиц, ЖЭТФ 29, 94 (1955) [E. M. Lif-

shitz, Sov. Phys. JETP 2, 73 (1956)].

18.

C. Hörhammer and H. Büttner, J. Stat. Phys. 133,

1161 (2008).

2. И. Е. Дзялошинский, Л. П. Питаевский, ЖЭТФ

19.

P. Hänggi, G.-L. Ingold, and P. Talkner, New J. Phys.

36, 1797 (1959) [I. E. Dzyaloshinskii and L. P. Pita-

10, 115008 (2008).

evskii, Sov. Phys. JETP 9, 1282 (1959)].

20.

G.-L. Ingold, P. Hänggi, and P. Talkner, Phys. Rev.

3. И. Е. Дзялошинский, Е. М. Лифшиц, Л. П. Пита-

E 79, 061105 (2009).

евский, ЖЭТФ 37, 229 (1959) [I. E. Dzyaloshinskii,

E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaevskii, Sov. Phys. JETP

21.

T. G. Philbin, New J. Phys. 14, 083043 (2012).

10, 161 (1959)].

22.

B. Spreng, G.-L. Ingold, and U. Weiss, Europhys.

4. I. E. Dzyaloshinskii, E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaev-

Lett. 103, 60007 (2013).

skii, Adv. Phys. 10, 165 (1961).

23.

R. Adamietz, G.-L. Ingold, and U. Weiss, Eur. Phys.

5. S. K. Lamoreaux, Rep. Progr. Phys. 68, 201 (2004).

J. B 87, 90 (2014).

24.

T. G. Philbin and J. Anders, J. Phys. A 49, 215303

6. V. A. Parsegian, Van der Waals Forces: A Handbook

(2016).

for Biologists, Chemists, Engineers, and Physicists,

Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK (2006).

25.

M. Kolář, A. Ryabov, and R. Filip, Sci. Rep. 9, 10855

(2019).

7. G. L. Klimchitskaya, U. Mohideen, and V. M. Mos-

tepanenko, Rev. Mod. Phys. 81, 1827 (2009).

26.

P. Talkner and P. Hänggi, Rev. Mod. Phys. 92,

041002 (2020).

8. M. Bordag, G. L. Klimchitskaya, U. Mohideen, and

V. M. Mostepanenko, Advances in the Casimir Effect,

27.

В. Б. Магалинский, ЖЭТФ

36,

1942

(1959)

Oxford Univ. Press, Oxford, UK (2009).

[V. B. Magalinskii, Sov. Phys. JETP 9, 1381 (1959)].

773

Ю. С. Бараш

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

28.

G. W. Ford, M. Kac, and P. Mazur, J. Math. Phys.

50.

Ю. С. Бараш, В. Л. Гинзбург, УФН 116, 5 (1975)

6, 504 (1965).

[Y. S. Barash and V. L. Ginzburg, Sov. Phys. Uspekhi

18, 305 (1975)].

29.

P. Ullersma, Physica 32, 27, 56, 74, 90 (1966).

51.

А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошин-

30.

R. Zwanzig, J. Stat. Phys. 9, 215 (1973).

ский, Методы квантовой теории поля в статис-

тической физике, Физматгиз, Москва (1962).

31.

A. O. Caldeira and A. J. Leggett, Phys. Rev. Lett.

46, 211 (1981).

52.

Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Статистичес-

кая физика. Часть 2. Теория конденсированного

32.

A. Schmid, J. Low Temp. Phys. 49, 609 (1982).

состояния, Физматлит, Москва (2004).

33.

A. O. Caldeira and A. J. Leggett, Ann. of Phys. 149,

53.

Ю. С. Бараш, Силы Ван дер Ваальса, Наука, Моск-

374 (1983).

ва (1988).

34.

H. Grabert, U. Weiss, and P. Talkner, Z. Phys. B 55,

54.

Y. S. Barash and V. L. Ginzburg, in The Dielectric

87 (1984).

Function of Condensed Systems, ed. by L. V. Keldysh,

D. A. Kirzhnitz, and A. A. Maradudin, Elsevier

35.

P. S. Riseborough, P. Hanggi, and U. Weiss, Phys.

(1989), Ch. 6, p. 389.

Rev. A 31, 471 (1985).

55.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая

36.

G. W. Ford and M. Kac, J. Stat. Phys. 46, 803 (1987).

физика, Наука, Москва (1976) [L. D. Landau and

E. M. Lifshitz, Statistical Physics, Butterworth-Hei-

37.

H. Grabert, P. Schramm, and G.-L. Ingold, Phys.

nemann, Oxford (1980)].

Rep. 168, 115 (1988).

56.

А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, Нау-

38.

G. W. Ford, J. T. Lewis, and R. F. O’Connell, Phys.

ка, Москва (1987).

Rev. A 37, 4419 (1988).

57.

F. S. S. Rosa, D. A. R. Dalvit, and P. W. Milonni,

39.

P. Hänggi and G.-L. Ingold, Chaos 15, 026105 (2005).

Phys. Rev. A 81, 033812 (2010).

40.

U. Weiss, Quantum Dissipative Systems, World Sci.,

58.

G. Barton, New J. Phys. 12, 113045 (2010).

Singapore (2012).

59.

T. G. Philbin, New J. Phys. 12, 123008 (2010).

41.

A. O. Caldeira, An Introduction to Macroscopic

60.

F. S. S. Rosa, D. A. R. Dalvit, and P. W. Milonni,

Quantum Phenomena and Quantum Dissipation,

Phys. Rev. A 84, 053813 (2011).

Cambridge Univ. Press, New York (2014).

61.

T. G. Philbin, New J. Phys. 13, 063026 (2011).

42.

A. J. Leggett, S. Chakravarty, A. T. Dorsey,

M. P. A. Fisher, A. Garg, and W. Zwerger, Rev. Mod.

62.

D. Kupiszewska, Phys. Rev. A 46, 2286 (1992).

Phys. 59, 1 (1987).

63.

G. Barton, Proc. Roy. Soc. Lond. A 453, 2461 (1997).

43.

G.-L. Ingold, A. Lambrecht, and S. Reynaud, Phys.

64.

S. Y. Buhmann and D.-G. Welsch, Progr. Quant.

Rev. E 80, 041113 (2009).

Electr. 31, 51 (2007).

44.

Ю. С. Бараш, В. Л. Гинзбург, Письма ЖЭТФ 15,

65.

S. Scheel and S. Y. Buhmann, Acta Phys. Slovaca 58,

567 (1972) [Yu. S. Barash and V. L. Ginzburg, JETP

675 (2008).

Lett. 15, 403 (1972)].

66.

F. S. S. Rosa, D. A. R. Dalvit, and P. W. Milonni,

45.

C. H. Obcemea, Int. J. Quant. Chem. 31, 113 (1987).

in Doing Physics: A Festshcrift for Thomas Erber,

Lect. Notes in Physics, ed. by P. W. Johnson, Illinois

46.

F. London, Trans. Faraday Soc. 33, 8b (1937).

Institute of Technology Press, Chicago (2010), Ch. 18,

p. 187; arXiv:0912.0279.

47.

H. B. G. Casimir, Proc. Kon. Nederland. Akad.

Wetensch. 51, 793 (1948).

67.

G. Barton, J. Phys.: Condens. Matter 23, 355004

(2011).

48.

N. Van Kampen, B. Nijboer, and K. Schram, Phys.

Lett. A 26, 307 (1968).

68.

C. Eberlein and R. Zietal, Phys. Rev. A 86, 062507

(2012).

49.

B. W. Ninham, V. A. Parsegian, and G. H. Weiss,

J. Stat. Phys. 2, 323 (1970).

69.

R. Bennett, Phys. Rev. A 89, 062512 (2014).

774

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Осцилляторы с затуханием в рамках общей теории сил Казимира...

70.

M. Bordag, Phys. Rev. A 96, 062504 (2017).

85.

A. Tip, L. Knöll, S. Scheel, and D.-G. Welsch, Phys.

Rev. A 63, 043806 (2001).

71.

М. А. Браун, ТМФ 190, 277 (2017) [M. A. Braun,

Theor. and Math. Phys. 190, 237 (2017)].

86.

L. G. Suttorp and M. Wubs, Phys. Rev. A 70, 013816

(2004).

72.

J. Klatt, M. B. Far´ias, D. A. R. Dalvit, and S. Y. Buh-

mann, Phys. Rev. A 95, 052510 (2017).

87.

N. A. R. Bhat and J. E. Sipe, Phys. Rev. A 73, 063808

(2006).

73.

М. Бордаг, ТМФ 195, 391 (2018) [M. Bordag, Theor.

88.

C. Eberlein and R. Zietal, Phys. Rev. A 86, 022111

and Math. Phys. 195, 834 (2018)].

(2012).

74.

H. Safari, P. Barcellona, S. Y. Buhmann, and

89.

R. Bennett and C. Eberlein, Phys. Rev. A 88, 012107

A. Salam, New J. Phys. 22, 053049 (2020).

(2013).

75.

U. Fano, Phys. Rev. 103, 1202 (1956).

90.

S. Y. Buhmann, Dispersion Forces I: Macroscopic

76.

J. J. Hopfield, Phys. Rev. 112, 1555 (1958).

Quantum Electrodynamics and Ground-State Casi-

mir, Casimir-Polder and Van der Waals Forces,

77.

B. Huttner and S. M. Barnett, Phys. Rev. A 46, 4306

Springer, Berlin/Heidelberg (2013).

(1992).

91.

A. Drezet, Phys. Rev. A 96, 033849 (2017).

78.

U. Fano, Phys. Rev. 124, 1866 (1961).

92.

M. Kosik, O. Burlayenko, C. Rockstuhl, I. Fernan-

79.

S. M. Barnett, B. Huttner, and R. Loudon, Phys.

dez-Corbaton, and K. Slowik, Sci. Rep. 10, 10855

Rev. Lett. 68, 3698 (1992).

(2020).

80.

T. Gruner and D.-G. Welsch, Phys. Rev. A 51, 3246

93.

C. Forestiere, G. Miano, M. Pascale, and R. Tricarico,

(1995).

Phys. Rev. A 102, 043704 (2020).

81.

R. Matloob, R. Loudon, S. M. Barnett, and J. Jeffers,

94.

C. You, A. C. Nellikka, I. D. Leon, and O. S. Maga-

Phys. Rev. A 52, 4823 (1995).

ña-Loaiza, Nanophotonics 9, 1243 (01 Jun. 2020).

82.

R. Matloob and R. Loudon, Phys. Rev. A 53, 4567

95.

В. И. Перель, Я. М. Пинский, ЖЭТФ 54, 1889

(1996).

(1968) [V. I. Perel’ and Y. M. Pinskii, Sov. Phys.

JETP 27, 1014 (1968)].

83.

T. Gruner and D.-G. Welsch, Phys. Rev. A 53, 1818

96.

L. P. Pitaevskii, in Casimir Physics, Lecture Notes

(1996).

in Physics, Vol. 834, ed. by D. Dalvit, P. Milonni,

84.

H. T. Dung, L. Knöll, and D.-G. Welsch, Phys. Rev.

D. Roberts, and F. Rosa, Springer (2011), Ch. 2,

A 57, 3931 (1998).

p. 23.

775