ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 4, стр. 822-844

К ВОПРОСУ О НАПЕРСТКАХ ЛЕФШЕЦА

В СИГМА-МОДЕЛЯХ, I

И. Кричеверa,b,c*, Н. Некрасовd,e,f**

^a Сколковский институт науки и технологий

143026, Москва, Россия

^b Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

101000, Москва, Россия

^c Columbia University, New York

10027, New York, NY, USA

^d Simons Center for Geometry and Physics, Stony Brook University

11794-3636, Stony Brook, NY, USA

^e Центр перспективных исследований Сколтеховского института

143026, Москва, Россия

^f Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича

127051, Москва, Россия

Поступила в редакцию 3 ноября 2020 г.,

после переработки 3 ноября 2020 г.

Принята к публикации 3 ноября 2020 г.

Исследуются наперстки Лефшеца как возможные контуры континуального интегрирования. Точнее, в

двумерных O(N)- и CPN-1-сигма-моделях найден широкий класс комплексных критических точек, важ-

ный для теории конечного объема и конечных температур с различными химпотенциалами. В настоящей

работе рассмотрен случай O(2m)-модели и CPN-1-модели в секторе нулевого инстантонного заряда.

Построены также некоторые решения O(2m + 1)-модели. Результаты исследований CPN-1-модели с

произвольным инстантонным зарядом и O(N)-модели с нечетным N будут представлены в следующей

работе.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 90-летию И. Е. Дзялошинского

DOI: 10.31857/S0044451021040258

〈O₁(x₁) . . . O_r(x_r)〉_t =

∫

[DΦ] e-StℏΦ) O₁(x₁) . . . O_s(x_s).

(1.2)

Z_ℏ(t)

1. ВВЕДЕНИЕ

Для изучения аналитических свойств этих

вели-

В квантовой теории статистическая сумма фор-

чин при изменении параметров t модели оказывает-

мально определяется функциональным интегралом

ся полезным деформировать область интегрирова-

∫

ния так, чтобы она представляла собой цикл сред-

Z_ℏ(t) =

[DΦ] e-S

ℏ

(1.1)

ней размерности в комплексифицированном про-

станстве полей F^C. При этом возможно, что имеется

множество циклов, для которых интеграл (1.1) схо-

по некоторому пространству F полей. Корреляци-

дится. Для конечномерных интегралов такие цик-

онные функции даются интегралом такого же типа:

лы классифицируются группой относительных го-

мологий H_middle(F^C, FC-; Z), где FC- — такие поля

^* E-mail: krichev@math.columbia.edu

Φ ∈ F^C, для которых Re(S_t(Φ)/ℏ) ≫ 0. Для об-

^** E-mail: nnekrasov@scgp.stonybrook.edu

щих значений параметров t существует базис (γ_a) в

822

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

К вопросу о наперстках Лефшеца в сигма-моделях, I

H_middle(F^C, FC-; Z) так называемых наперстков Леф-

отображениями f :

Σ_→X универсального накры-

шеца. Наперсток γ_a, соответствующий критической

тия Σ, такими что

точке a функцонала S_t(Φ), является объединением

градиентных траекторий Re (S_t(Φ)/ℏ), выходящих

f (γ · p) = h(γ) · f(p).

(1.5)

из a. Исходный функциональный интеграл равен

сумме

Другими словами, если зафиксировать точку ξ ∈ Σ

∑

и представителя f(ξ) ∈ X, то твистованное отобра-

Z_ℏ(t) =

n_aI^aℏ(t),

(1.3)

жение f в окрестности U точки ξ будет хорошо опре-

деленным отображением U → X. Тем не менее, его

где

продолжение на все многообразие Σ является мно-

∫

гозначным с точностью до действия h(π₁(Σ)) ⊂ G

I^aℏ(t) =

[DΦ] e-StℏΦ)

(1.4)

на X.

γa

Еще одно явление, связанное с наличием симмет-

рий X, это операторы дефекта, связанные со всеми

— интеграл по наперстку Лефшеца, соответствую-

гомотопическими группами π_k(H). Например, эле-

щему комплексной критической точке a. Кратно-

менты групп πdim(Σ)-1(H) классифицируют локаль-

сти n_a являются целыми числами. При малых вари-

ные твистованные операторы, которые дают воз-

ациях t они остаются постоянными, но при пересече-

можность определить функциональный интеграл по

нии t некоторых гиперповерхностей (стенок марги-

пространству Γ(Σ, X ×_H H) сечений расслоения, ас-

нальной стабильности) кратности n_a могут скачко-

социированного с главным H-расслоением H над Σ,

образно меняться. Это называется явлением Стокса.

задаваемым

Настоящая работа посвящена изучению крити-

ческих точек в некоторых полевых теориях.

(

)

c∈H^dimΣ

Σ, πdim(Σ)-1(H)

(1.6)

1.1. Поля и симметрии

1.2. Квантовая механика

Пространство полей F в каждой из моделей яв-

ляется пространством отображений некоторого ис-

Случай Σ = S¹, соответствующий конечномер-

ходного многообразия Σ в риманово многообразие

ным квантовым моделям (в которых Σ одномерно),

X. Мы не будем затрагивать деликатный вопрос о

был рассмотрен в работе [1]. В этом случае (X, ω)

гладкости отображений, имеющий отношение к про-

является симплектическим многообразием, чья ком-

блеме точного определения меры в функциональном

плексификация (X^C, ω^C) является алгебраической

интеграле. Безусловно, для более строгого подхода

интегрируемой системой

необходимо рассмотреть обрезанную версию меры,

π:X^C →U^C ≈C^r,

а в определении функционального интеграла заме-

нить микроскопическое действие S_t(Φ) на действие

лагранжевы слои которой J_u = π-1(u) над общими

St(∧)(Φ_∧), в котором характеристические импульсы

u ∈ U^C являются поляризованными абелевыми мно-

полей Φ_∧ не превосходят параметра ∧, а констан-

гообразиями. Действие моделей S_t(Φ) дается выра-

ты t(∧) зависят таким образом от ∧, чтобы в пере-

жением

деле ∧ → ∞ корреляционные функции (1.2) имели

конечное значение при макроскопическом различии

∮

∑

точек x₁, . . ., x_s. Мы надеемся, что для задачи клас-

S_t(Φ) = d-1ω^C

− t_k uk (s) ds,

(1.7)

сификации возможных интегральных контуров для

k=1

асимптотически свободных теорий, таких как сигма-

в котором s ∼ s + 1 — параметр на Σ, u_k — гло-

модели, более строгий подход даст такой же резуль-

тат.

бальные координаты на U, являющиеся гамильто-

нианами интегрируемой системы, t - набор времен,

Для учета симметрий теории часто оказыва-

или обобщенных обратных температур. Функцио-

ется полезным рассматривать интегралы по про-

нальный интеграл (1.1) представляет след комплек-

странствам Maps_h(Σ, X) твистованных полей. Здесь

сифицированного оператора эволюции:

h : π₁(Σ) → H обозначает гомоморфизм фундамен-

тальной группы Σ в группу симметрий пространства

1^∑

X (и дополнительных структур X). h-твистован-

Z_ℏ(t) = Tr_H exp-

t_k

Ĥ_k.

(1.8)

ℏ

ные отображения являются π₁(Σ)-эквивариантными

823

И. Кричевер, Н. Некрасов

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Обозначим через Ξ ⊂ U дискриминант системы,

комплексификации F^C = LX^C надо, так же, как и

т. е. множество сингулярных слоев J_u. Зафиксиру-

в (1.5), рассмотреть пространство твистованных пе-

ем некоторую начальную точку u_∗ ∈ U\Ξ и обозна-

тель

чим через Γ группу монодромии, т. е. образ фунда-

F[h] = { x(s)| 0 ≤ s ≤ 1 , x(1) = h · x(0)}

ментальной группы, отвечающей выбору отмечен-

(

)

ной точки π₁

U^C\Ξ, u_∗

в группу Sp(2r, Z) ×Z^f аф-

и его комплексификацию FC[h

. Здесь [h] — класс со-

финных преобразований слоя H₁(Ju∗, Z), сохраняю-

пряженности в группе H симплектических симмет-

щих симплектическую структуру, заданную формой

рий X, [h_c] — класс сопряженности в комплексной

пересечения (определяемой поляризацией).

группе H^C симплектических голоморфных симмет-

В этом случае критические точки a классифи-

рий X^C. Поскольку действие группы сохраняет га-

цируются орбитами [c] группы монодромии Γ клас-

(

)

мильтонианы, группа действует на слоях J_u. В слу-

сов гомологий c ∈ H₁

π-1(u_∗), Z

. Обозначим через

чае, когда H является группой Ли, порожденной га-

Γ[c] ⊂ Γ стабилизатор c, а через

Ũ[c] =

Ũ/Γ[c] — соот-

мильтонианами, твистованный случай эквивалентен

ветствующий фактор универсальной накрывающей.

нетвистованному с точностью до переопределения

Очевидно, что для любого целого n = 0 имеет место

времен t. Случай дискретной группы H очень инте-

Ũn[c] =

Ũ[c]. Обозначим через P := PH₁(Ju∗ , Z) мно-

ресен и не полностью описан в существующих пуб-

жество примитивных классов гомологий (т. е. клас-

ликациях. Он может быть сведен к (1.9) с P , яв-

сов гомологий, которые не являются целыми крат-

ляющимся пространством классов эквивалентноси

ными других классов). Пусть U_ρ =

Ũ_ρ, ρ ∈ P. Тогда

h-подкрученных петель на J_u.

для n ∈ Z, t ∈ C^r определим суперпотенциал, явля-

ющийся голоморфной функцией на U_ρ, с помощью

1.3. Структура статьи

формулы

Мы рассматриваем двумерные полевые теории

∮

∑

со значениями в нечетномерных сферах S2m-1

Wn,t = n d-1ω^C - t_ku_k .

(1.9)

или их фактор-пространствах по действию группы

k=1

U (1), являющихся комплексными проективными

Множество

пространствами CPn-1. Комплексификация этих

пространств содержит, в качестве вещественных

⊔

C_ρ , C_ρ ⊂ U_ρ,

(1.10)

сечений, другие интересные симметрические про-

ρ∈P

странства такие, как пространства Лобачевского,

анти-де Ситтера и де Ситтера.

наперстков Лефшеца квантованной алгебраической

В разд. 2 мы вводим лагранжианы двумерных

интегрируемой системы можно представлять себе

сигма-моделей и их реализацию в терминах (линей-

как дискретное подмножество в

ной) сигма-модели со связями и калибровочнымии

⊔

группами. Затем мы обсуждаем твистованные гра-

U = U_ρ.

(1.11)

ничные условия и их комплексификацию. После это-

ρ∈P

го мы представляем первые свидетельства возмож-

Для ρ = 0 множество C_ρ является множеством кри-

ности существования в двумерных сигма-моделях

тических точек суперпотенциала (1.9) на U_ρ. Для

аналога (1.9): в специальном классе неймановских

ρ = 0, когда U0 ≈ U, имеется тонкость. В этом

струнных решений предъявляются алгебраически

случае суперпотенциал является линейной комбина-

интегрируемые модели, а именно, модель Годена,

цией координатных функций u_k, а значит, не име-

т. е. система Хитчина в роде нуль с проколами, как

ет критических точек. Тем не менее, из физиче-

в работе [2], но с иррегулярными сингулярностями.

ских соображений мы должны включить в C мно-

В разд. 3 вводится основной инструмент нашего

жество Ξ_max ⊂ Ξ максимально вырожденных сло-

анализа: комплексные ферми-кривые. Вначале мы

ев, которые соответствуют вырожденным орбитам

проанализируем построение ферми-кривой для ма-

гамильтонова векторного поля, отвечающего сумме

лого возмущения постоянного потенциала уравне-

∑

t_ku_k, которая рассматривается как функция на

ния Шредингера и покажем, как резонансные двой-

всем фазовом пространстве X^C.

ные точки разрешаются коэффициентами фурье по-

Имеется простая модификация задачи в случае

тенциала u(z, z).

систем с симметриями, сохраняющими гамильтони-

В разд. 4 решается обратная задача восстанов-

аны h_k. Вместо пространства петель F = LX и его

ления потенциала u(z, z) оператора Шредингера по

824

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

К вопросу о наперстках Лефшеца в сигма-моделях, I

ферми-кривой конечного рода. Последние характе-

Ниже мы будем часто использовать обозначения

ризуются как кривые с дополнительной структурой:

ω_x = 1, ω_y = τ для периодов и ω_x = 1, ω_y = τ для

голоморфной инволюцией, имеющей по крайней ме-

сопряженных величин.

ре две неподвижные точки, и набором мероморфных

Параметры t модели — это параметры конформ-

√

дифференциалов Ω, Ω^± с заданными свойствами.

ной структуры

hh^αβ на Σ, параметры метрики g и

В разд. 5 оператор Шредингера -Δ + u свя-

параметры твистов. Последние возникают в тех слу-

зывается со своими решениями ψ, Δψ = uψ, так,

чаях, когда метрика g допускает изометрии. Обозна-

как предписывается уравнениями движения сиг-

чим через H группу симметрий g. Продеформируем

ма-модели. Мы показываем, что наличие такой свя-

теорию с помощью плоской H-связности A:

зи обеспечивается дополнительной структурой на

∫

ферми-кривой: наличием некоторой мероморфной

S_t(Φ; A) = dz dz g_mn(∂_zX^m + AazVma)×

функции E. Более того, мы находим суперпотенци-

ал W, критические точки которого соответствуют

× (∂_zXⁿ + Aa¯zV na ),

(2.3)

дважды-периодическим решениям уравнений дви-

жения сигма-модели, и явно прослеживаем ана-

где A^adz +

A^adz — форма H-связности с a

логию этого суперпотенциала с суперпотенциалом

= 1, . . ., dimH, а V_a ∈ Vect(X) — образующие H,

(1.9) в квантово-механических моделях.

действующие изометриями X. Из инвариантности

Раздел 6 содержит заключение и описание на-

меры функционального интеграла относительно ло-

правления будущих исследований. В частности, мы

кальных преобразований отображения Φ : Σ → X,

обсуждаем возможности конечномерных приближе-

заданных изометриями H, следует, что корреляци-

ний конфигурационного пространства полевых тео-

онные функции зависят только от классов эквива-

рий, мотивированных теорией алгебро-геометричес-

лентности

ких (или, что то же самое, конечнозонных) решений.

A ∼ h-1Ah + h-1dh.

В координатах x, y на Σ действие (2.3) имеет вид

∫

2. СИГМА-МОДЕЛИ

S_t(Φ; A) =

dx dy L ,

τ₂

Предположим, что многообразие X, в котором

R²/Z²

(2.4)

принимают значения поля модели, является рима-

L = g_mn(X) (τ∇_xX^m - ∇_yX^m) ×

новым многообразием с метрикой

× (τ∇_xXⁿ - ∇_yXⁿ),

g = g_mn(X)dX^mdXⁿ.

где

Тогда действие S_t(Φ) сигма-модели задается как

∇_αX^m = ∂_αX^m + AaαVma(X), α = x, y .

(2.5)

∫

√

Для плоских H-связностей A,

S_t(Φ) =

hh^αβ g_mn∂_αX^m∂_βXⁿ,

(2.1)

dA^a +

f^abcA^b ∧ A^c = 0 ,

(2.6)

где (X^m(z, z))

— координатная параметризация

статсумма (1.1) может быть представлена в гамиль-

отображения Φ : Σ → X, а t обозначает парамет-

тоновой форме:

ры, которые описываются ниже. Лагранжиан моде-

(

)

ли зависит лишь от конформного класса метрики

Z(A; τ, τ) = TrHgx-twisted

g_y qH+ qH-

(2.7)

ds^2Σ = h_abdξ^adξ^b, h_ab ∼ e2ψh_ab.

где

q=e2πiτ,

Пусть Σ — двумерный тор S¹ ×S¹. Обозначим че-

рез x, y вещественные координаты на Σ с периодами

q=e-2πiτ,

(

)

1, т. е. x ∼ x + m, y ∼ y + n при m, n ∈ Z. Конформ-

Ĥ±Pˆ

H_± =

ные структуры на Σ параметризуются комплексным

4π

числом τ = τ₁ + iτ₂ с τ₂ > 0 с помощью равенства

∫

g_x = P exp dxA_x,

ds^2Σ ∝ (dx + τdy)(dx + τy) = dzdz,

(2.2)

(2.8)

в котором z = x + τy, z = x + τy обозначают, соот-

∫1

ветственно, голоморфную и антиголоморфную ко-

g_y = P exp dy A_y

оридинаты на Σ.

825

И. Кричевер, Н. Некрасов

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

— гамильтонианы и H-твисты, соответственно, а

которые преобразуются в фундаментальном пред-

Hgx-twisted обозначает пространство состояний си-

ставлении ∧^lC^N группы

H₌ SU(N), а значит, гиль-

стемы, полученное квантованием пространства g_x-

бертово пространство теории содержит возбужде-

твистованных петель в пространстве X.

ния, симметрия которых расширена.

Интересным аспектом теорий с группой симмет-

рий H, имеющей нетривиальную фундаментальную

2.1. Комплексификация

группу π₁(H), является возможность наличия то-

Cтатистическая сумма (2.7) допускает аналити-

пологически нетривиальных фонов при сохранении

ческое продолжение по параметрам q, q, g_y. Это про-

условия плоскости фоновой связности A. Они нахо-

должение соответствует взятию того же функцио-

дятся во взаимно-однозначном соответствии с эле-

нального интеграла по (твистованным) отображени-

ментами c ∈ H₂(Σ, π₁(H)) (ср. (1.6)), известными

ям Φ : Σ → X, но при соответствующей деформа-

для конечных π₁(H) как обобщенные классы Шти-

ции действия (2.4), при которой параметры τ и τ не

феля - Уитни. Для простой группы Ли H фунда-

являются комплексно сопряженными друг другу, а

ментальная группа π₁(H) отождествляется с под-

компонента связности A_y фонового поля становится

группой центра Z(

^H) ее односвязного накрытия

^H.

комплексной. При этом модулярная инвариантность

Топологически нетривиальный фон возникает при

требует, чтобы компонента A_x также рассматрива-

исследовании функционального интеграла по про-

лась как комплексное клибровочное поле. Коорди-

странству F_c сечений X-расслоений над Σ, ассоци-

наты X^m полей в (2.4), естественно, также стано-

ированных с главным H-расслоением P над Σ. По-

вятся комплексными.

следнее может быть тривиализовано над дополнени-

Мы продолжим называть периоды ω_α и ω_α для

ем Σ\U_p малой окрестности U_p точки p ∈ Σ и над

α = x,y сопряженными периодами. Сопряжение,

самой окрестностью U_p. Класс гомотопии c ∈ π₁(H)

которое имеется в виду, соответствует симметрии

задается петлей в H, т. е. отображением ∂U_p → H,

(x, y) → (x, -y) физического тора, а не (искусствен-

определяемым переходом между двумя тривиализа-

ному в данном контексте) комплексному сопряже-

циями

нию.

P|Σ\Up × H × Σ\U_p

Ниже мы обсудим геометрические аспекты комп-

лексификации полей Φ. Они являются отображени-

P|Up ≈H×U_p.

ями Σ в комплексификацию X_C исходного многооб-

Таким образом, с одной стороны, функциональ-

разия. В дальнейшем мы обсудим также аналитиче-

ный интеграл по F_c может быть интерпретирован

ское продолжение лагранжианов L сигма-моделей,

как 1-точечная функция на торе для локального

подкрученные граничные условия и уравнения дви-

оператора беспорядка O_c:

жения. В заключение, мы проанализируем интерес-

(

)

ную редукцию уравнений движения O(N)- и CPN-1-

Z_c(A; τ, τ) = Tr_H

O_c g_y qH+ qH-

(2.9)

gx-twisted

моделей, так называемый анзац Неймана. Значи-

мость этого аназаца заключена в его алгебраической

С другой стороны P_c поднимается до тривиального

интегрируемости. Мы покажем, что такие решения

расслоения

Σ_× H для некторой изогении

Σ_→ Σ.

для O(N)- и CPN-1-моделей описываются в терми-

Плоская H-связность на Σ может рассматриваться

нах «иррегулярной версии» модели Хитчина рода

как плоская

^H-связность на

Σ, эквивариантная от-

нуль и gl₂-модели Годена с нулевым спином.

носительно действия π₁(H).

Классически, в качестве группы симметрий про-

2.1.1. Комплексификация сфер и проективных

является только группа H, поскольку она является

пространств

группой симметрий пространства X, в котором при-

нимают значения поля. Тем не менее, квантово-ме-

Хорошо известная тройка пространств RP^m,

ханически, группа H может действовать на гильбер-

CP^m, HP^m с симметриями O(m), U(m), Sp(m) имеет

товом пространстве теории проективно, т.е. H явля-

интересные комплексификации.

ется на самом деле представлением группы

^H. Урав-

Для векторного пространства L над полем k обо-

нение (2.9) является важным инструментом для ис-

значим двойственное векторное пространство через

следования этого расширения симметрии.

L^∨. Для l ∈ L, p ∈ L^∨ обозначим значение p на l

Например, таким образом можно явно продемон-

через p · l ∈ k.

стрировать существование BPS солитонов в N = 2

Пусть V ≈ Cm+1 — комплексное евклидово про-

суперсимметричной CPN-1-сигма-модели (см. [3]),

странство, т.е. комплексное векторное пространство

826

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

К вопросу о наперстках Лефшеца в сигма-моделях, I

∫

√

(

с невырожденной симметрической формой g (·, ·).

L_RPm =

h^αβg(∂_αx, ∂_βx) +

Пусть W ≈ Cn+1 — комплексное векторное прост-

T²

ранство и, наконец, пусть U

≈ C2(n+1) — комп-

+ (g(x, x) - 1) U ) ,

лексное симплектическое пространство, т. е. комп-

L_CPm =

лексное векторное пространство с невырожденной

∫

√

(

)

анти-симметрической формой ω(·, ·).

h^αβD_αψ^σ · D_βψ+(ψ^σ·ψ-1)U

Имеют место (неканонические) изоморфизмы

T²

U = W ⊕ W∨ для любого лагранжева подпростран-

D_αψ^σ = ∂_αψ^σ - A_αψ^σ ,

(2.14)

ства W ⊂ U и V = W ⊕W^∨ для любого максимально

D_αψ = ∂_αψ + A_αψ ,

изотропного подпространства W ⊂ V в случае чет-

∫

√

(

ного n + 1.

ε^AB

L_HPm =

h^αβω (D_αu_A, D_βu_B) +

Пространство S(V ) векторов x

∈ V , таких

что g(x, x) = 1, является комплексификацией сфе-

+ (ω(u_A, u_B) - ε_AB) U ) ,

ры S^m.

D_αu₁ = ∂_αu₁ + A_αu₁ + B_αu₂ ,

Комплексификацией PR(V ) пространства RP^m

D_αu₂ = ∂_αu₂ + C_αu₁ - A_αu₂ ,

является фактор-пространство векторов x ∈ V , та-

ких что g(x, x) = 1, по действию Z2 симметрии

где

x → -x.

ε¹² = -ε²¹ = 1.

Комплексификацией PC(W) пространства

Лагранжиан

CP^m является фактор-пространство пар (ψ, ψ^σ),

ψ ∈ W,ψ^σ ∈ W^∨, таких что

L_RPn =

∫

(

)

√

ψ^σ · ψ = 1 ,

(2.10)

h^abg(∂_ax, ∂_bx)+ (g(x, x) - 1)U

(2.15)

T²

по действию C^×

S(V )-модели, которую мы в дальнейшем будем на-

зывать O(n + 1)-моделью, идентичен лагранжиа-

(ψ, ψ^σ) → (tψ, t-1ψ^σ), t ∈ C^× .

(2.11)

ну RP^m-модели. Различие моделей в калибровке.

В RPⁿ-модели решения (x(z, z)) и (-x(z, z)) отож-

дествляются. Необходимо также включить в модель

Другими словами, PC(W ) является голоморфным

твистованные секторы [4], в которых

симплектическим фактором T^∗W//C^×, соответ-

ствующим отображению моментов (2.10).

x(z + ω_α, z + ω_α) = u_αx(z, z),

Комплексификацией PH(U) пространства HP^m

является фактор-пространство пар (u₁, u₂) в u1,2 ∈

где u_α = ±1, α = 1, 2.

∈ U, таких что

Для классической CPm-1-модели требуется ре-

шить уравнения Эйлера-Лагранжа для L_CPm-1.

Требуется определенная аккуратность для форму-

ω(u₁, u₂) = 1,

(2.12)

лировки условий периодичности.

Пространство полей в CPm-1-модели — это про-

по действию группы SL(2, C)

странство отображений

(u₁, u₂) → (au₁ + bu₂, cu₁ + du₂),

F = Maps(Σ,CPm-1) =

(2.13)

(

)

ad - bc = 1 .

= Maps

Σ, S2m-1/U(1)

(2.16)

которое является фактор-пространством U(1) экви-

вариантных отображений

2.1.2. Комплексификация: лагранжианы

(

)

U (1)

F = Maps

P, S2m-1

(2.17)

Соответствующие лагранжианы, записанные в

терминах приведенных выше геометрических струк-

U (1)-расслоений P над Σ в сферу S2m-1 по дейст-

тур, имеют вид

вию калибровочной группы G_P = Maps(Σ, U(1)).

827

И. Кричевер, Н. Некрасов

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Множество

связных

компонент

выбору двух коммутирующих элементов h_x, h_y ∈ H,

π₀Maps(Σ, CPm-1) является множеством топо-

h_xh_y = h_yh_x, с точностью до общего сопряжения

логических классов расслоений P , которое при

(h_x, h_y) ≡ (h-1h_xh, h-1h_yh), h ∈ H.

n ≥ 2 изоморфно Z. В настоящей работе мы рас-

сматриваем только случай нулевого класса в Z, а

Для главного кирального поля X = G твистован-

именно, P = Σ × U(1).

ные граничные условия имеют вид

Соответствующее комплексифицированное про-

странство — это пространство отображений

g(z + 1, z + 1) = a_Lg(z, z)a-1R,

(2.20)

-1

g(z + τ, z + τ) = b_Lg(z, z)b

ψ : Σ → W, ψ^σ : Σ → W^∨,

где a_L,R, b_L,R ∈ G могут быть одновременным сопря-

удовлетворяющих подкрученным граничным усло-

жением переведены в максимальный тор T ⊂ G.

виям

Для X = S2m-1 коммутирующая пара общих

твистов h_x, h_y ∈ O(V ) задает разложение

ψ(z + ω_α, z + ω_α) = u_α(z, z)ψ(z, z),

V ⊗C=W ⊕W^∨,

ψ^σ(z + ω_α, z+ ω_α) = u_α(z, z)-1ψ^σ(z, z)

при котором h_x, h_y представляются унитарными

для α = 1, 2, где u_α(z, z) ∈ C^×, профакторизованное

коммутирующими операторами a, b

∈ GL(W ),

по соотношению

[a, b] = 0:

(

)

(ψ, ψ^σ) ∼

tψ, t-1ψ^σ

h_x (ψ ⊕ ψ^σ) = a · ψ ⊕ ψ^σa-1 ,

(ψ ⊕ ψ^σ) = b · ψ ⊕ ψ^σb-1 ,

h_y

для любых двумерных периодических функций

(2.21)

ψ∈W, ψ^σ ∈W^∨,

t : Σ → C^×. Калибровочные поля A_α должны удов-

g(ψ₁ ⊕ ψσ1, ψ₂ ⊕ ψσ2) = ψσ2 · ψ₁ + ψσ1 · ψ₂ .

летворять подкрученным условиям периодичности

В случае X = S2m коммутирующая пара твистов

A_α(z + ω_β, z + ω_β) =

общего положения h_x, h_y ∈ O(2n + 1), h_xh_y = h_yh_x,

= A_α(z, z) + u_β(z, z)-1∂_αu_β(z, z) .

(2.18)

задает разложение

Определение комплексификации HPⁿ-модели мы

V ⊗ C = W ⊕ W^∨ ⊕ C,

оставляем в качестве упражнения.

такое что h_x, h_y могут быть представлены унитар-

ными операторами a, b ∈ U(W ), как в (2.21), и дей-

2.1.3. Модели главного кирального поля

ствуют на C умножением на ±1. В этом случае мет-

С общей точки зрения представляет интерес слу-

рика на V имеет вид

чай, когда многообразие X = G является компакт-

∥ψ ⊕ ψ^σ ⊕ χ∥2g = 2ψ^σ · ψ + χ².

(2.22)

ной группой Ли. В этом случае так называемой мо-

дели главного кирального поля в качестве римано-

При комплексификации мы полагаем, что ψ, ψ^σ и

вой метрики на X берется G × G инвариантная мет-

χ являются независимыми полями со значениями в

рика

W, W^∨ и C, соответственно. При этом a,b становят-

ся общими коммутирующими элементами GL(W ). В

G = tr(g-1dg)² .

(2.19)

настоящей работе мы рассматриваем только случай,

когда

Группой симметрии модели главного кирального

поля является H = G × G.

a = diag(a₁,...,a_n),

(2.23)

b = diag(b₁,...,b_n),

2.1.4. Твистованные граничные условия и

комплексификация

хотя случай жордановых клеток также представля-

ет интерес.

Как отмечалось во Введении (см. также (2.3)),

Для X = CPm-1 граничные условия классифи-

простейший твист граничных условий соответствует

цируются элементами

выбору плоской связности в главном H-расслоении

P_c над Σ. Для случая Σ ≈ S¹ ×S¹ это соответствует

c=e2mip ∈Z_m,

828

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

К вопросу о наперстках Лефшеца в сигма-моделях, I

вторым классом Штифеля - Уитни SU(m)/Z_m рас-

Калибровочные поля A_α и потенциал U выража-

слоения и парой h_x, h_y матриц из SU(m), таких что

ются в терминах решений ψ, ψ^σ, удовлетворяющих

условиям связи

h_xh_y = ch_yh_x

(2.24)

ψ^σ · ψ = 1 ,

(2.30)

с точностью до общего сопряжения

с помощью формул

h_α ∼ h-1h_αh, α = x, y, h ∈ SU(m).

A_z,z = -ψ^σ · ∂_z,zψ ,

Граничные условия имеют вид

(2.31)

(D_zψ^σ · D_zψ + D_zψ^σ · D_zψ) .

U =-

ψ(z + ω_α, z + ω_α) = h_αeiϕα(z,z)ψ(z, z) ,

ψ^σ(z + ω_α, z + ω_α) = e-iϕα(z,z)ψ^σ(z, z)h-1α ,

(2.25)

Уравнения

(2.31) калибровочно инвариантны.

Ниже мы часто будем использовать калибровку, в

A_a(z + ω_α, z + ω_α) = A_a(z, z) + i∂_aϕ(z, z),

которой A_z = 0.

в котором eiϕα(z,z) является U(1)-значной функцией.

Обозначим l = gcd(p, m) и k = m/l. Тогда h₁hk2 =

2.3. Первые признаки алгебраической

= hk2h₁, а значит, на k-листном накрытии

Σ тора

интегрируемости

Σ мы получим обычные твистованные граничные

Пусть (x, y) — вещественные координаты на Σ.

условия. При комплексификации h_x, h_y становятся

Введем для O(N)-модели анзатц Неймана

обычными элементами GL(W), коммутирующими с

точностью до элемента c центра, как в (2.24).

ψ(x, y) = e^ixθf(y),

(2.32)

ψ^σ(x, y) = f^σ(y)e^-ixθ,

2.2. Уравнения движения при

комплексификации

где f(y) ∈ W , f^σ(y) ∈ W^∨ для четных N, а для

Для O(N)-модели с четным N имеем

нечетных N дополнительно χ(x, y) = χ(y) ∈ C. Для

CPN-1-модели мы будем использовать тот же анзац

∂_z∂_zψ = Uψ,

(2.32). Твист a имеет вид

∂_z∂_zψ^σ = Uψ^σ ,

a=e^iθ .

(2.33)

(2.26)

U =-

(∂_zψ^σ · ∂_zψ + ∂_zψ^σ · ∂_zψ) ,

В случае O(N)-модели с четным N и в случае

ψ^σ · ψ = 1 ,

CPN-1-модели поля f(y) и f^σ(y) связаны соотно-

шением

а для нечетного N

f^σ · f = 1.

(2.34)

∂_z∂_zψ = Uψ,

∂_z∂_zψ^σ = Uψ^σ,

∂_z∂_zχ = Uχ ,

Для O(N)-модели с нечетным N связь имеет вид

(2.27)

U =-

(∂_zψ^σ · ∂_zψ + ∂_zψ^σ · ∂_zψ) - ∂_zχ∂_zχ ,

χ²(y) + f^σ(y) · f(y) = 1.

(2.35)

ψ^σ · ψ + χ² = 1 .

Подстановка анзаца в уравнения движения (ниже

В случае CPN-1-модели комплексифицированные

производные ∂_yΞ по y обозначаются через

Ξ) для

O(N)-модели с четным N дает

уравнения движения имеют вид

(

)

f =

ττθ² - u(y)

f + 2iτ₁θf

˙,

(D_zD_z + D_zD_z) ψ + U ψ = 0 ,

(

)

(2.36)

(2.28)

f^σ = f^σ

ττθ² - u(y)

- 2iτ₁f

^σθ,

(D_zD_z + D_zD_z) ψ^σ + U ψ^σ = 0 ,

где

(

)

u(y) ≡ -4τ²

U = iτ₁

f^σθf

−f˙^σθf

D_z,zψ = ∂_z,zψ + A_z,zψ,

(2.29)

+ ττf^σ · θ²f +

^σ ·

(2.37)

D_z,zψ^σ = ∂_z,zψ^σ - A_z,zψ^σ .

829

И. Кричевер, Н. Некрасов

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Уравнения (2.36), (2.37) являются обобщением сис-

u : Σ → C рассмотрим блоховские решения уравне-

темы Неймана [5], которая линеаризуется на яко-

ния Шредингера, т. е. решения уравнения

биане спектральной кривой [6]. Система (2.36) до-

пускает представление Лакса со спектральным па-

∂ψ = u(z, z)ψ ,

(3.1)

раметром, являющимся вариантом gl₂-системы Хит-

такие что

чина в роде нуль с регулярными [2] и иррегулярны-

ми особенностями. Похожий анзац существует и для

ψ(z + 1, z + 1) = a ψ(z, z) ,

CPN-1-модели, которому также можно сопоставить

(3.2)

ψ(z + τ, z + τ) = b ψ(z, z) .

систему Хитчина для рода нуль.

Можно сделать два заключения. Во-первых, су-

Для заданного u = u(z, z) обозначим через

ществуют решения сигма-моделей, которые описы-

ваются линейным движением на некоторых абеле-

C_u ⊂ M = C^× × C^×

вых многообразиях и которые аналогичны решени-

множество величин (a, b), для которых имеются ре-

ям, возникающим в квантово-механическом случае.

шения уравнения (3.1), (3.2).

Во-вторых, соответствующие абелевы многообразия

являются якобианами или приммианами некоторых

В работе [10] было доказано, что для общего

гладкого периодического потенциала множество C_u

спектральных кривых. К сожалению, не видно ни-

какого простого обобщения анзаца Неймана для по-

является гладкой римановой поверхностью беско-

нечного рода. Более того, было доказано, что алгеб-

лучения более общих решений сигма-моделей. Необ-

ро-геометрические потенциалы плотны в простран-

ходим другой подход.

стве всех периодических потенциалов. Алгебро-гео-

Для N = 4 имеет место совпадение O(N)-мо-

метрическими называются потенциалы, для кото-

дели и модели главного кирального поля с груп-

рых нормализация C_u аналитической кривой C_u, на-

пой SU(2). Последняя, как и любая модель главного

зываемая ферми-кривой, имеет конечный род. Для

кирального поля, допускает представление нулевой

таких потенциалов C_u компактифицируется двумя

кривизны, которое будет рассмотрено в работе [7].

бесконечными точками P_±. Уравнение Шрединге-

Подход, который мы используем в настоящей рабо-

ра с любым комплексным потенциалом является

те для решения O(N)-модели, не использует пред-

формально самосопряженным. Поэтому для любо-

ставления нулевой кривизны. Он представляет со-

го блоховского решения с множителями (a, b) ∈ C_u

бой развитие подхода, предложенного в работе [8] и

существует двойственное решение ψ^σ с множителя-

развитого в работе [9]. Этот подход естественно на-

ми (a-1, b-1) ∈ C_u. Другими словами, любая ферми-

звать построением интегрируемых линейных опера-

кривая инвариантна относительно голоморфной ин-

торов с самосогласованными потенциалами.

волюции σ : C_u → C_u:

σ(a, b) := (a-1, b-1).

(3.3)

3. КОМПЛЕКСНАЯ ФЕРМИ-КРИВАЯ

Отметим, что неподвижные точки инволюции, от-

Построение состоит из двух шагов. Сначала мы

личные от бесконечных, существуют только тогда,

параметризуем периодический линейный оператор

когда уровень E = 0 является собственным для (ан-

-Δ+u в терминах спектральной кривой и линейно-

ти)периодической задачи для оператора H.

го расслоения (дивизора) на ней. Спектральная кри-

вая C_u, которая называется комплексной ферми-кри-

3.1.1. Модельный пример

вой, параметризует блоховские решения линейного

уравнения. Второй шаг состоит из характеризации

Для мотивировки дальнейшего начнем с разбо-

спектральных кривых, на которых существует на-

ра простейшего примера, в котором потенциал пос-

бор таких точек, что соответствующий им набор

тоянен, u(z, z) = u₀ = const = 0. Обозначим через

блоховских решений удовлетворяет определенным

Λ,

Λ_⊂ C решетки периодов, которые в рамках ком-

квадратичным соотношениям.

плексифицированной постановки не предполагают-

ся комплексно-сопряженными:

3.1. Периодические линейные операторы

Λ = {m + nτ | m,n ∈ Z},

В этом разделе мы представим первый шаг по-

Λ= { m + nτ | m, n ∈ Z} ,

(3.4)

строения. Для двумерной периодической функции

Λ⁰ = Λ\{0} .

830

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

К вопросу о наперстках Лефшеца в сигма-моделях, I

Для κ = m + nτ ∈ Λ⁰ определим

3.1.2. Возмущение кривой

κ=m+nτ,

Обозначим через e_κ, κ ∈ Λ, базисные дважды пе-

κ₁ = m + nτ₁ ,

(3.5)

риодические функции:

(

)

κ₂ = nτ₂ ,

e_κ = exp

(κz-κz)

= exp(2πi(mx+ny)).

(3.14)

τ₂

Λ0,κ = Λ\{ 0, κ }.

(3.6)

Тогда общий периодический потенциал может быть

представлен в виде

Для постоянного потенциала общее решение урав-

∑

нения (3.1) имеет вид

u = u₀ + εv = u(λ)e_λ,

(3.15)

λ∈Λ

ψ(z, z, ζ) = Υζ,u0 ≡ exp (ζz + u₀ζ-1 z).

(3.7)

где u(λ) ∈ C. Будем считать, что εv = εv(z, z) — ма-

Явная параметризация кривой Cu0 дается формула-

ленькое периодическое возмущение, т. е. u(λ) = εv(λ)

ми

для λ ∈ Λ⁰ и u⁽⁰⁾ = u₀ + εv⁽⁰⁾ для постоянной моды.

a(ζ) = exp(ζ + u₀ζ-1) ,

Обозначая Hu0 = -

∂ + u₀, получаем

(3.8)

b(ζ) = exp(ζτ + u₀ζ-1 τ).

Hu0 (e_κΥζ,u0 ) = E_κ(ζ, u₀)(e_κΥζ,u0 ),

(3.16)

Кривая инвариантна относительно инволюции

где

σ : ζ → -ζ ,

πκ

E_κ(ζ, u₀) =

(ζ + ζ+κ,u

)(ζ - ζ^-

(3.17)

a(-ζ) = a-1(ζ) ,

(3.9)

κ,u0

τ₂ζ

b(-ζ) = b-1(ζ).

То, что правая часть уравнения (3.17) равна нулю в

Отображение (3.8) ферми-кривой Cu0 = C^∗ в кри-

точках ζ = ∓ζ^±

, отражает равенство

κ,u

вую Cu0 является отображением нормализации: оно

взаимно-однозначно вне бесконечного числа пар то-

e_κΥ_ζ-

=Υ_ζ+

(3.18)

(

)

κ,u₀ ,u0

чек

ζ^-κ,u

,ζ⁺

для κ ∈ Λ⁰, которые отображаются

κ,u0

Будем искать решения уравнения Шредингера

в двойные точки

(

)

(Hu0 + εv) Ψζ,u0 = 0

(3.19)

(aκ,u0 , bκ,u0 ) =

a(ζ^±κ,u

), b(ζ^±

)

κ,u0

в виде

кривой Cu0 . Здесь ζ^±

— решения уравнений

κ,u0

∑

(λ)

πκ

Ψζ,u0 = Υζ,u0 +

ψ_ζ

(e_λΥζ,u0 ).

(3.20)

ζ+κ,u

-ζ^-κ,u

,u0

τ₂

λ∈Λ⁰

(3.10)

ζ+κ,u

ζ^-κ,u

u₀ .

Уравнение (3.19) эквивалентно системе квадратич-

ных уравнений:

В явном виде

(

)

(κ)

πκ₁

v(κ) + v⁽⁰⁾ + ε-1E_κ(ζ, u₀) ψ

ζ,u0

aκ,u0 = (-1)^m exp

Dκ,u0 ,

τ₂

∑

(3.11)

v(λ)ψ(κ-λ) = 0 ,_ζ,u

π(κτ)₁

(3.21)

bκ,u0 = (-1)ⁿ exp

Dκ,u0 ,

λ∈Λ0,κ

τ₂

∑

v⁽⁰⁾ +

v(κ)ψ(-κ) = 0 ._ζ,u

где

√

κ∈Λ⁰

4u₀

Dκ,u0 =

u_κ

Будем решать уравнения (3.21) по теории возмуще-

πκ

ний для малых ε. Имеется два типа решений.

ζ^±κ,u

(Dκ,u0 ± 1) ,

(3.12)

2τ₂

1. Вне двойных точек, т.е. ε ≪ |ζ -ζ^±κ,u| для всех

π²κκ

u_κ =

κ ∈ Λ. В этом случае решение (3.20) домини-

ττ

руется единственной плоской волной Υζ,u0, по-

κ₁ := m + nτ₁ ,

правки к которой имеют порядок ε:

(κτ)₁ := mτ₁ + nτ τ ,

(3.13)

(λ)

v(λ)

ψ_ζ

= -ε

+..., λ∈Λ⁰ ,

(3.22)

(κτ)₂ := -mτ₂.

,u0

E_λ(ζ, u₀)

831

И. Кричевер, Н. Некрасов

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

а нулевая мода u⁽⁰⁾ отличается от u₀ на члены

определяются из билинейных уравнений, кото-

порядка ε²:

рые в пределе ε → 0 сводятся к

∑

(-κ)

x² - y² = v(κ)v(-κ)

(3.29)

v(κ)v

u⁽⁰⁾ = u₀

-ε²

+...

(3.23)

E_κ(ζ, u)

κ∈Λ⁰

Здесь и далее “. . .” обозначает члены более вы-

ψ⁺ = t v(κ) = t(x + y),

сокого порядка по ε. Соответствующая часть

ψ^- = t (y - x) = -tv(-κ) ,

кривой Cu0 деформируется в кривую C_u:

(x - y)v(λ) - v(λ-κ)v(κ)

(

χ(λ) = t

(0)

E_λ(κ)

(3.30)

τ₂

a(ζ) = exp ζ +

(x + y)v(λ-κ)

= tv(λ)v(-κ) -

)

E_λ(κ)

∑

u(κ)u(-κ)

+...

λ∈Λ0,κ,

)

(ζ + ζκ,u0 )(ζ - ζκ,u0

κ∈Λ⁰

(

(3.24)

где t или t— произвольные нормирующие мно-

(0)

τ₂τ

жители,

b(ζ) = exp τζ + τ

u_κ

(

)

E_λ(κ) =

2λλ -

∑

u(κ)u(-κ)

2λλ

(

)

(

))

(ζ + ζκ,u0 )(ζ - ζκ,u0)

- κλ

1+D_κ,u(0)

-κλ

1-D_κ,u(0)

(3.31)

κ∈Λ

Часть кривой C_u

в окрестности точки

2. В окрестности одной из двойных точек, т. е.

(aκ,u0 , bκ,u0 ) в параметрах (x, y) имеет вид

для выбранного κ ∈ Λ⁰ и выбранного знака

(ср. (3.5), (3.13))

“+” или “-”, ζ = ζ₊ или ζ = ζ_-, где ζ_± нахо-

a(x, y)

2πiε

дятся из уравнений

=1+

a_κ,u(0)

τ₂u_κD_κ,u(0)

(

)

ζ₊ - ζ_- =

πκ,

κ₂ D_κ,u(0) y - κ₁ x

+...,

τ₂

(3.25)

(3.32)

u_-

u₊

b(x, y)

2πiε

πκ,

=1+

ζ_-

ζ₊

τ₂

b_κ,u(0)

τ₂u_κD_κ,u(0)

(

)

эквивалентных

(κτ)₂D_κ,u(0) y - (κτ)₁x

+...

(3.26)

Это параметрическое представление несингу-

Υζ+,u+ = eκΥζ-,u- .

лярной квадрики, которая при v(κ)v(-κ) → 0

Явным образом, при

вырождается в пару прямых, пересекающихся

в двойной точке (x, y) = (0, 0). Для

u_± = u ± εy, u = u⁽⁰⁾ - εx,

v(κ)v(-κ) = 0

имеем

(√

)

двойная точка разрешается.

πκ

4ε²y

2εy

ζ_± =

D2κ,u+

±1

(3.27)

Отметим, что разрешение двойных точек проис-

2τ₂

u2κ

u_κ

ходит одновременно для κ и -κ, поскольку пара-

метр в правой части (3.29) четен по κ. Можно про-

Решение уравнения HΨ = 0 может быть най-

верить, что симметрия ζ → -ζ сохраняется во всех

дено в виде

порядках теории возмущений.

Замечание 3.1. Теория возмущений, развитая в

Ψ = ψ⁺Υζ+,u+ + ψ^-Υζ-,u- +

∑

работе [10], имеет другую природу и применима к

+ε

χ^λe_λΥζ-,u- ,

(3.28)

конечным возмущениям. Для конечных возмуще-

λ∈Λ0,κ

ния кривая C_u оказывается «склеенной» из областей

причем коэффициенты

трех, а не двух, как выше, типов. Третий тип отве-

чает резонансам более высокого порядка, которые

ψ^± = ψ±0+εψ±1 + . . . ,

приходится рассматривать для конечных возмуще-

χ^λ = χ(λ)0+εχ(λ)1 + . . .

ний.

832

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

К вопросу о наперстках Лефшеца в сигма-моделях, I

4. АЛГЕБРАИЧЕСКИ-ИНТЕГРИРУЕМЫЕ

имеющей n + 1 пару

ПОТЕНЦИАЛЫ

Γ^σ = {P_±} ∪ {p(i)± | i = 1, . . . , n}

Напомним, что алгебраически-интегрируемые

потенциалы были определены выше как потенциа-

неподвижных точек

лы, для которых соответствующая ферми-кривая

σ(P_±) = P_±,

C_u имеет конечный род.

(4.4)

Теория двумерных операторов, интегрируемых

σ(p(i)±) = p(i)±.

на одном уровне энергии, восходит к работе [11], в

которой была предложена алгебро-геометрическая

Зафиксируем в окрестности двух из этих неподвиж-

ных точек P_± локальные координаты k-1±(p), такие

конструкция интегрируемых двумерных операторов

Шредингера в магнитном поле

что k-1±(P_±) = 0, которые предполагаются нечетны-

ми относительно σ, т. е.

H =-

(D_zD_z + D_zD_z) + U(z, z).

(4.1)

k_±(σ(p)) = -k_±(p).

(4.5)

Сдвиг потенциала U → U -E преобразует уравнение

В дальнейшем фактор-кривая Γ/σ будет обозна-

Hψ = Eψ к виду Hψ = 0. Поэтому без ограничения

чаться через Γ₀. Проекция

общности мы будем считать, что уровень энергии

нулевой.

π : Γ -→ Γ₀ = Γ/σ

(4.6)

Построения работы [11] основывались на по-

нятии двухточечной, двухпараметрической функ-

представляет кривую Γ как двулистное накрытие

ции Бейкера - Ахиезера ψ(z, z, p), которая однознач-

кривой Γ₀, ветвящееся в точках Γ^σ. В таком пред-

но определялась гладкой алгебраической кривой Γ

ставлении инволюция σ соответствует перестанов-

рода g с двумя отмеченными точками P_± и эффек-

ке листов накрытия. Из формулы Римана - Гурвица

тивным дивизором D = γ₁ + . . . + γ_g степени g. Для

следует, что род кривой Γ равен

функции Бейкера - Ахиезера и для потенциала опе-

g = 2g₀ + n,

(4.7)

ратора H были найдены явные формулы в терминах

тэта-функции Римана Γ.

где g₀ — род кривой Γ₀.

В работах [12, 13] были найдены достаточные

Рассмотрим абелев интеграл третьего рода dΩ на

условия, выделяющие среди общих алгебро-геомет-

Γ₀ с полюсами только в неподвижных точках инво-

рических данных{Γ, P_±, D} данные, соответствую-

люции, вычеты в которых удовлетворяют соотноше-

щие потенциальным операторам

ниям

H = -∂_z∂_z + U(z, z),

(4.2)

ResP± dΩ = ±1,

(4.8)

Res_p(i)

dΩ = - Res_p(i) dΩ.

т. е. операторам с нулевым магнитным полем. Соот-

ветствующие кривые — это кривые с голоморфной

Число нулей дифференциала dΩ равно 2(g₀ + n) =

инволюцией σ : Γ → Γ, имеющие в точности две точ-

= g + n. Обозначим их через γ0s, s = 1,...,g + n,

ки P_± = σ(P_±). Требование на число неподвижных

т. е.

точек было крайне существенным и для другого за-

мечательного результата Новикова и Веселова: со-

dΩ(γ0s) = 0.

(4.9)

ответсвующие функции Бейкера - Ахиезера допус-

кают явные выражения в терминах тэта-функций

Выберем для каждого s точку γ_s на Γ такую, что

Прима.

В работе [14] конструкция Новикова и Весело-

π(γ_s) = γ0s , s = 1, . . . , g + n

(4.10)

ва была обобщена на случай, в котором выделен-

ный уровень энергии является собственным для (ан-

(число таких выборов равно

2g+n). Ниже

ти)переиодической задачи для оператора Шредин-

γ₁, . . ., γg+n будет называться допустимым ди-

гера.

визором.

Пусть Γ является гладкой алгебраической кри-

Лемма 4.1. (см. [14]) Для допустимого дивизо-

вой рода g с инволюцией

ра общего положения D существует единственная

функция Бейкера - Ахиезера ψ(z, z, p), p ∈ Γ, такая

σ : Γ -→ Γ, σ ◦ σ = Id,

(4.3)

что

833

ЖЭТФ, вып. 4

И. Кричевер, Н. Некрасов

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

(i) ψ мероморфна на Γ\P_± и имеет не более чем

Матрица Π ∈ Mat(g

0+n)×(g0+n)(C)b-периодов

простые полюса в точках γ_s (если они различны);

дифференциалов Прима

(ii) в окрестности точки P_± функция ψ имеет

∮

вид

Π_kj = du_j,

1≤k,j≤g₀ +n,

(4.19)

(

)

b_k

ψ = exp

k_±(z + z± z ∓ z)

симметрична, имеет положительно-определенную

(

)

мнимую часть и определяет тэта-функцию Прима

∑

1 + ξ±s (z, z)k^-s

k_± = k_±(p);

(4.11)

θ(z) = θ(z|Π) :=

s=1

∑

exp(2πi(z, m) + πi(Πm, m)),

(4.20)

(iii) ее значения в точках p(i)± удовлетворяют

m∈Z^g0+n

уравнению

где для z ∈ Cg0+ⁿ

ψ(z, z, p(i)+) = ψ(z, z, p(i)-).

(4.12)

(z, m) = m₁z₁ + . . . + mg0+nzg0+n .

(4.21)

Напомним стандартные факты об многообразии

Тэта-функция имеет следующие свойства монодро-

Прима и тэта-функции Прима.

мии:

Существует базис a- и b-циклов на Γ с канониче-

для

ской матрицей пересечений:

m, n ∈ Zg0+ⁿ

(4.22)

a_i · a_j = b_i · b_j = 0,

выполняется

a_i · b_j = δ_ij,

θ(z + m + Πn|Π) =

на котором действие σ имеет вид

= θ(z|Π)exp (-2πi(z, n) - πi(n, Πn)) .

(4.23)

σ(a_i) = ai+g0 ,

Лемма 4.2. (см. [14]) Функция Бейкера - Ахиезера

σ(b_i) = bi+g0 ,

(4.13)

в Лемме 4.1 равна

i = 1,...,g₀,

θ(A(p) + zU₊ + zU_- + Z) θ(Z)

ψ(z, z, p) =

σ(a_i) = -a_i,

θ(zU₊ + zU_- + Z) θ(A(p) + Z)

× exp(z Ω₊(p) + zΩ_-(p)).

(4.24)

σ(b_i) = -b_i,

(4.14)

i = 2g₀ + 1,...,2g₀ + n = g .

Здесь

(i)

Рассмотрим базис голоморфных дифференциалов

dω_i на Γ, нормированных так, что

∫

∮

A(p) = du ∈ Cg0+ⁿ/Zg0+ⁿ ⊕ ΠZg0+ⁿ;

dω_i = δ^ji ,

1 ≤ i,j,≤ g,

(4.15)

(ii)

∫

и определим базис нечетных дифференциалов

Ω_±(p) =

dΩ_±,

du_i = dω_i - dωi+g0 , i = 1, . . . , g₀ ,

(4.16)

P∓

du_i = 2dωi+g0 , i = g₀ + 1, . . . , g₀ + n ,

(4.17)

где dΩ_± — единственный мероморфный дифферен-

циал на Γ, нормированный условиями

σ^∗(du_j) = -du_j. Они называются нормированными

∮

голоморфными дифференциалами Прима. Заметим,

dΩ_± = 0 , j = 1, . . . , g₀ + n ,

(4.25)

что при n > 0 число g₀ + n этих дифференциалов

больше, чем половина рода g кривой Γ. Обозначим

вектор нормированных дифференциалов Прима че-

с единственным полюсом (второго порядка) в P_±

рез

вида

(

)

du = (du_j )g0+nj=1.

(4.18)

dΩ_± =

1 + O(k-2± )

dk_± , p → P_± ;

(4.26)

834

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

К вопросу о наперстках Лефшеца в сигма-моделях, I

(iii) координаты векторов

Прообраз π^∗E функции E является четной относи-

тельно σ мероморфной функцией на Γ, которую мы

U_± = (U^j±)gj=1 ∈ C^g

будем также обозначать через E: E ◦ σ = E. Введем

«времена» T^±n, разлагая E в точке P_± по локальной

равны

∮

координате k-1±:

U^j± =

dΩ_± , j = 1, . . . , g₀ + n ;

(4.27)

∑

2πi

E(p) = E_± + T^±nk_±(p)-2n, p → P_± .

(5.1)

n=1

(iv) вектор

Пусть ψ(z, z, p)

— функция Бейкера - Ахиезера

Z ∈ Cg0+ⁿ/Zg0+ⁿ ⊕ ΠZg0+ⁿ

(4.24) на Γ. Определим (N

= n + 2m)-мерный

вектор

параметризует допустимые дивизоры,

x(z, z) = χ ⊕ ψ ⊕ ψ^σ,

∑

χ∈Cⁿ, ψ∈C^m, ψ^σ ∈C^m,

A(γ_s) + Z ∈ Zg0+ⁿ ⊕ ΠZg0+ⁿ ,

(4.28)

s=1

следующим образом:

(

)_n

(напомним, что dΩ(π(γ_s)) = 0).

χ(z, z) = r_i ψ(z, z, p(i)±)

Замечание 4.3. Определение абелева интеграла

i=1

(

)

Ω_- нуждается в уточнении, поскольку дифферен-

ψ(z, z) = r_j ψ(z, z, q(j)+)

(5.2)

j=1

циал dΩ_- имеет полюс в точке P_-. Под интегралом

(

)_m

dΩ_- мы подразумеваем выбор в окрестности P_- вет-

ψ^σ(z, z) = r_j ψ(z, z, q(j)-)

j=1

ви Ω_- = k_- +O(k-1-), а затем ее аналитическое про-

должение вдоль пути. Предполагается, что пути в

где

определении A(p) и Ω_±(p) одни и те же.

E(p(i)+) - E(p(i)-)

Теорема 4.4. (см. [14]) Функция Бейкера - Ахиезера

r2i := -

Res_p(i) dΩ,

E₊ - E_-

ψ(z, z, p), заданная формулой (4.24), удовлетворяет

i = 1,...,n,

уравнению

(5.3)

r2j := -

Res_q(j) E dΩ ,

(∂_z∂_z - u(z, z))ψ(z, z, p) = 0

(4.29)

2(E₊ - E_-)

j = 1,...,m.

с потенциалом

Замечание 5.1. Заметим, что первое из уравнений

u(z, z) = ∂_zξ⁺¹ = ∂_zξ-1 =

(5.3) может быть записано в виде

= 2∂_z∂_z ln θ(zU⁺ + zU^- + Z).

(4.30)

Res_p(i)

E dΩ + Res_p(i)

E dΩ

Таким образом, данные (Γ, σ, P_±, k_±, Ω) опреде-

r2i := -

(5.4)

E₊ - E_-

ляют потенциал u(z, z) оператора Шредингера. В

случае, когда этот потенциал периодичен, его фер-

подчеркивающем роль дифференциала E dΩ.

ми-кривая и кривая Γ совпадают, C_u = Γ.

Теорема 5.2. Вектор x(z, z) ∈ C^N удовлетворяет

уравнениям

5. УСЛОВИЯ САМОСОГЛАСОВАНИЯ

∑

g(x, x) ≡

χ2i +

ψ_jψσj = 1,

(5.5)

5.1. Самосогласованные потенциалы:

i=1

j=1

появление функции E

Предположим, что на кривой Γ₀ существует ме-

g (∂_zx, ∂_zx) = -u(z, z),

(5.6)

роморфная функция E(q) с m простыми полюсами.

Обозначим их через

где u — потенциал соответствующего оператора

Шредингера. Кроме того, для компонент T_zz, T_zz

q(j) ∈ Γ₀, j = 1, . . ., m,

классического тензора напряжений имеют место

равенства

а их прообразы на Γ — через

g (∂_zx, ∂_z x) =T+1,

(5.7)

{q(j)+, q(j)- = σ(q(j)+)} = π-1(q(j)).

g (∂_zx, ∂_zx) =T-1,

835

17*

И. Кричевер, Н. Некрасов

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

а для токов высших спинов — равенства

когда дополнительно выполнены g + n = 2(g₀ + n)

(

)

условий:

∂2zx, ∂2zx

= T⁺² +T⁺¹v⁺,

(

)

(5.8)

U⁺ + U^- = m + Π · m, m, m ∈ Zg0+ⁿ ,

∂2¯zx, ∂2¯zx

= T-2 +T-1v^-,

(5.13)

τU⁺ +τU^- =l+Π·l,

l,˜ ∈Zg0+n.

где

Если эти условия выполнены, то кривая Γ отобра-

жается в M = C^× × C^×, (ср. (3.2)):

∂_zv⁺ = u_z,

∂_zv^- = u_z.

(5.9)

μ : Γ → C_u ⊂ M, μ : p → (a(p),b(p)),

Доказательство. Рассмотрим дифференциал

a(p) = exp (Ω₊(p) + Ω_-(p) - 2πi(A(p), m)),

(5.14)

b(p) = exp (τΩ₊(p) + τΩ_-(p) - 2πi(A(p),l)).

dΩ[0,0] := ψψσE dΩ ,

(5.10)

Выражения (5.14) хорошо определены (однознач-

где

ны на кривой), поскольку A-периоды дифференци-

алов dΩ_± нулевые, а дифференциалов (dA(p), m),

ψ^σ(z, z, p) = ψ(z, z, σ(p)).

(5.11)

(dA(p),˜l) — целочисленны. В то же время B-перио-

ды дифференциалов

Так как, по предположению, локальные координаты

k-1± в окрестностях точек P_± нечетны относитель-

dα := dΩ₊(p) + dΩ_-(p) - 2πi(dA(p), m) ,

(5.15)

но σ, то экспоненциальные особенности первых двух

множителей в (5.10) сокращают друг друга. Более

dβ := τdΩ₊(p) + τdΩ_-(p) - 2πi(dA(p),l)

(5.16)

того, из определения допустимых дивизоров следу-

являются координатами векторов 2πim и 2πil, соот-

ет, что полюса ψ и ψ^σ = σ^∗ψ сокращаются нулями

ветственно.

dΩ. Следовательно, дифференциал dΩ[0,0] является

Отметим, что в том случае, когда дифференциал

четным относительно σ мероморфным дифференци-

u(z, z) дважды периодичен, соответствующая функ-

алом на Γ с полюсами в точках, где dΩ или функция

ция Бейкера - Ахиезера является блоховским реше-

E имеют полюса, т. е. в точках

нием уравнения Шредингера, т. е.

Γ^σ ∪ { q(j)± | j = 1, . . ., m } .

(5.12)

ψ(z + 1, z + 1, p) = a(p)ψ(z, z, p) ,

(5.17)

ψ(z + τ, z + τ, p) = b(p)ψ(z, z, p).

(5.18)

Сумма вычетов dΩ[0,0] равна нулю. Явно выписы-

вая выражения для вычетов dΩ[0,0], получим (5.5).

Для доказательства этих равенств достаточно про-

верить, что их правые и левые части имеют одина-

Уравнение (5.6) является прямым следствием (5.5)

и (4.29). Его можно получить непосредственно, рас-

ковые аналитические свойства на Γ.

Локально гладкая алгебраическая кривая рода g

сматривая вычеты дифференциала

с инволюцией, имеющая 2n + 2 неподвижных точек,

(∂_z ψ∂_zψ^σ + ∂_zψ∂_zψ^σ) E dΩ.

однозначно определяется фактор-кривой и набором

2n + 2 точек на ней. Следовательно, размерность

Для доказательства (5.7) достаточно воспользо-

пространства таких кривых равна 3g₀ + 2n - 1. Век-

ваться равенством нулю вычетов дифференциала

торы U^±, определенные выше, зависят от выбора

первого ростка локальных координат k-1± в окрест-

dΩ[1,1] = ∂_zψ∂_zψ^σE dΩ.

ностях отмеченных точек P_±. Таким образом, общее

+ 2n + 1. При фикси-

число параметров равно 3g₀

Уравнение (5.8) следует из рассмотрения вычетов

рованных целочисленных векторах l,˜l, m, m уравне-

дифференциала

ния (5.13), число которых равно 2(g₀ +n), определя-

ют (локально) подмногообразие размерности g₀ + 1,

dΩ[2,2] = (∂2zψ)(∂2zψ^σ)E dΩ.

если оно непусто.

Множество Sg0,n кривых Γ, удовлетворяющих

□

условиям периодичности для некоторых целочис-

ленных векторов l,˜l, m, m, является объединением

5.2. Условия периодичности

связных компонент:

⋃

Алгебро-геометрический потенциал u(z, z) пери-

Sg0,n =

Sg0,nI.

(5.19)

одичен по обеим переменным тогда и только тогда,

836

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

К вопросу о наперстках Лефшеца в сигма-моделях, I

Локальные координаты на Sg0,n могут быть опре-

Целью настоящего раздела является доказатель-

делены аналогично тем, которые используются для

ство того, что для случая гладких спектральных

кривых Зайберга - Виттена, а именно

кривых существование функции E является не толь-

ко достаточным, но и необходимым. Другими слова-

A₀ = ResP+αdβ,

ми, доказательство того, что предложенное постро-

∮

ение дает все решения рассматриваемой проблемы,

A_i =

α dβ ,

(5.20)

для которых спектральная кривая является глад-

ai+ag0+i

кой.

i = 1,...,g₀.

Напомним, что линейное уравнение (3.1) полу-

чается при вариации лагранжиана (2.15) по пере-

Отметим, что, хотя абелев интеграл α(p) многозна-

менной x. Твистованные граничные условия накла-

чен, выражения (5.20) хорошо определены. Действи-

дывают ограничения на множитель Лагранжа U =

тельно, сдвиг α на константу не меняет A₀, так как

= u(z, z): соответствующая ферми-кривая в про-

вычеты dβ нулевые. Этот сдвиг не меняет и вели-

странстве M блоховских множителей (известного

чины A_i, так как дифференциал dβ нечетен относи-

также как пространство модулей плоских C^×-связ-

тельно σ, в то время как a_i +ag0+i является четным

ностей) должна проходить через набор точек M^±j =

циклом.

(

)

a±1j, b±1j

, определяемых параметрами твистов.

Из определения (4.16) дифференциалов Прима

В отсутствие твистов (a_i = b_i = 1) это эквива-

следует (ср. (5.14))

лентно нетривиальному нелокальному условию то-

го, что нуль является собственным значением опе-

a(p(i)+) = a(p(i)-) ,

(5.21)

ратора Шредингера кратности не менее N.

b(p(i)+) = b(p(i)-).

Зафиксируем параметры твистов:

При выполнении условий периодичности координа-

a = (a_j)n+mj=1,

ты вектора x = χ ⊕ ψ ⊕ ψ^σ имеют следующие свой-

(5.25)

b = (b_j)n+mj=1 ,

ства монодромии:

где

χ_i(z + 1, z + 1) = a_iχ_i(z, z),

a2i = b2i = 1,

(5.26)

a2i = a²(p(i)±) = 1,

i = m + 1,...,n + m,

(5.22)

χ_i(z + τ, z + τ) = b_iχ_i(z, z),

и обозначим через U_a,b u(z, z) множество потенциа-

b2i = b²(p(i)±) = 1,

лов, для которых сформулированное выше условие

выполнено, т. е.

здесь i = 1, . . . , n, в то время как

{

(

)

ψ(z + 1, z + 1) = a ψ(z, z) ,

U_a,b :=

a(q^±j), b(q^±j)

}

ψ^σ(z + 1, z + 1) = ψ^σ(z, z)a-1,

= (a±1j, b±1j) ∈ C_u , j = 1, . . . , n + m

(5.27)

(5.23)

ψ(z + τ, z + τ) = b ψ(z, z) ,

Оно стратифицировано конечномерными многооб-

ψ^σ(z + τ, z + τ) = ψ^σ(z, z)b-1 ,

, открытые области которых образуют

где

потенциалы, построенные выше, где g₀ — род фак-

(

)

тор-кривой Γ₀ := Γ/σ, а #Γ^σ = 2(n + 1) — число

a±1 = diag a(q(1)±), . . . , a(q(m)±)

неподвижных точек инволюции.

(

)

(5.24)

равна

b±1 = diag b(q(1)±), . . . , b(q(m)±)

= (g₀ + 1 - m) + (g₀ + n).

(5.28)

5.3. Почему функция E существует?

Первое слагаемое в правой части (5.28) — размер-

Существование мероморфной функции E с опре-

ность многообразия спектральных кривых Sg0,n,

деленными аналитическими свойствами на спек-

проходящих через 2m нетривиальных параметра

тральной кривой Γ оператора -Δ + u приводит к

подкрутки a±1j, b^±j, j

= 1, . . ., m. Второе слагае-

тому, что потенциал u оператора может быть квад-

мое — это размерность соответствующего многооб-

ратичным образом выражен в терминах решений.

разия Прима.

837

И. Кричевер, Н. Некрасов

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Характеризация касательного пространства к

Из (5.17) непосредственно следуют выражения для

бесконечномерному пространству U_a,b в простран-

первых коэффициентов разложения дифференциа-

стве всех потенциалов u операторов Шредингера на

лов dα и dβ в точке P₊,

Σ дается следующей леммой.

(

)

∑

Лемма 5.3. Вариация δu(z, z) принадлежит ка-

dα = dk₊

1+ α_sk-s-1

сательному пространству T_uU_a,b к потенциалу

s=1

(

)

(5.34)

u ∈ U_a,b тогда и только тогда, когда выполнены

∑

dβ = dk₊ τ + β_s k-s-1

уравнения

s=1

∫

в терминах первых коэффициентов разложения

δu(z, z)ψ_j(z, z)ψ^σj(z, z)dz dz = 0,

(5.29)

(4.11) функции Бейкера - Ахиезера

α₁ = ξ₁(z, z) - ξ₁(z + 1, z + 1),

где

(5.35)

β₁ = ξ₁(z, z) - ξ₁(z + τ, z + τ).

ψ_j(z, z) := ψ(z, z, q(j)+),

По определению, коэффициенты α₁, β₁ не зависят

ψ^σj(z, z) := ψ(z, z, q(j)-).

от (z, z). Тогда из (5.35) следует равенство

Доказательство. Варьируя уравнение (3.1), полу-

∮

чим

A₀ = τα₁ - β₁ = ξ₁dz =

∂Σ

(

∂ - u)δψ_j = δuψ_j .

(5.30)

∫

∂_zξ₁dz ∧ dz,

(5.36)

По предположению, вариация δψ_j имеет те же бло-

ховские множители (a_j , b_j), что и ψ_j . Умножая

из которого, в силу (4.30), следует (5.33).

обе части (5.30) на двойственное решение ψ^σj урав-

Рассмотрим теперь дифференциал δα dβ. По-

нения (3.1), которое имеет блоховские множите-

скольку периоды dα постоянны, этот дифференциал

ли (a-1i, b-1i), и усредняя потом по Σ, мы полу-

является однозначным четным мероморфным диф-

чим (5.29). □

ференциалом на ферми-кривой с не более чем прос-

Вариация лагранжиана по u дает уравнение

тыми полюсами в отмеченных точках P_±. Из (5.20)

⎛

⎞

∫

следует, что он имеет вид

∑

δu(z, z)^⎝1 -

ψ_jψ^σ

⎠dzdz= 0.

(5.31)

∑

δαdβ = δA₀ π^∗(dΩ_±) +

δA_i π^∗(dω_i),

(5.37)

i=1

Учитывая (5.29), мы приходим к выводу, что реше-

где dω_i — нормированные голоморфные дифферен-

ния сигма-модели соответствуют критическим точ-

циалы на Cu0) = C_u/σ, Ω_± — нормированный диф-

кам функционала

ференциал третьего рода с простыми полюсами и

∫

вычетами ±1 в отмеченных точках, а π : C_u → Cu0)

〈u〉 := u(z, z) dz dz,

(5.32)

проекция.

Предположим, что u(z, z) является критической

точкой функционала (5.32). Тогда из (5.33) и (5.37)

ограниченного на множество U_a,b.

следует, что δαdβ является голоморфным диффе-

Теорема 5.4. Потенциал u(z, z)

∈ U_a,b с глад-

ренциалом на C_u. Он равен нулю в точках q_j для всех

кой ферми-кривой C_u ∈ Sg0,n является критичес-

вариаций касательных к многообразию спектраль-

кой точкой функционала (5.32), ограниченного на

ных кривых Sg0,na,b потенциалов u ∈ Ug0,nab, так как

U_a,b тогда и только тогда, когда на фактор-кривой

при таких вариациях (a_j , b_j ) остаются постоянны-

Cu,0 = C_u/σ существует мероморфная функция E

ми. Отсюда следует, что размерность пространства

с простыми полюсами в точках q_j

∈ Cu,0, j

голоморфных дифференциалов на C_u, равных нулю

= 1, . . ., m.

в m точках q_j, равна размерности Sg0,na,b, т.е. равна

Доказательство. Начнем с доказательства того,

g₀ +1-m. Тогда из теоремы Римана - Роха следует,

что функционал (5.32) совпадает с первой коорди-

что размерность пространства функций, имеющих

натой A₀ на Sg0,n, определенной (5.20). Точнее,

не более чем простые полюсы в точках q_j , равна

〈u〉 = A₀ = ResP+ α dβ.

(5.33)

m + (g₀ + 1 - m) - g₀ + 1 = 2.

838

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

К вопросу о наперстках Лефшеца в сигма-моделях, I

Это пространство всегда содержит константы. Сле-

условиям самосогласования для O(2m + n)-модели с

довательно, на C_u существует непостоянная функ-

нечетным n и любым m. Более того, показано, что

ция E с полюсами в точках q^j . □

для соответствующих потенциалов задача выделе-

ния периодических решений эффективно решается в

терминах спектральных кривых эллиптической сис-

5.4. Суперпотенциал и черты геометрии

темы Калоджеро - Мозера.

Зайберга - Виттена

Переформулируем доказанное выше утверж-

5.6. Ферми-кривые в CPN-1-модели

дение в форме, аналогичной (1.9). Множества Sg0,nI

аналогичны компонентам U_ρ в квантово-механичес-

Понятие комплексной ферми-кривой для перио-

ком случае. Функционал

дического двумерного оператора Шредингера в маг-

нитном поле (см. [11]) может быть введено аналогич-

〈u〉 = A₀ = ResP+α dβ

но потенциальному случаю, если поток магнитно-

го поля нулевой, т. е. в случае тривального главного

является аналогом суперпотенциала W. Более того,

U (1)-расслоения P или C^×-расслоения P_C.

деформируя контур вокруг P₊ таким образом, что

Пусть Γ — гладкая алгебраическая кривая ро-

он обходит разрезы и сингулярности αdβ, его можно

да g с фиксированными локальными координата-

сделать еще более похожим на (1.9).

ми k-1± двух отмеченных точек P_±. Тогда для каж-

дого неспециального эффективного дивизора D =

5.5. Обсуждение: от O(3)-модели к

= γ₁ + ...+γ_g на Γ существует единственная функ-

приводимым спектральным кривым

ция Бейкера - Ахиезера ψ(z, z, p), такая что:

Приведенное выше построение дает решения

(i) как функция p ∈ Γ она мероморфна на Γ вне

подкрученной O(N)-сигма-модели с N = n+2m, где

отмеченных точек P_± с дивизором полюсов D;

m — число полюсов мероморфной функции E на Γ₀.

(ii) в окрестностях отмеченных точек она имеет

По предположению, E не является постоянной, т.е.

вид (4.11), т. е.

m ≥ 1. При фиксированных m > 1 и n решения

(

)

индексируются родом g₀ фактор-кривой и точкой

ψ = exp

k_±(z + z± z ∓ z)

I множества связных компонент соответствующих

спектральных кривых (5.19). При этом мы получа-

(

)

ем все решения для случая четных N и некоторые

∑

ξ^±s(z, z)k^-s

классы решений для нечетных N.

s=0

Случай N = 3 выделен. Для него имеется толь-

ко одна возможность: n = 1 и m = 1. Равенство

m = 1 означает что фактор-кривая является раци-

k_± = k_±(p);

ональной, т. е. Γ₀ = CP¹, а значит, g₀ в этом случае

принимает только одно значение, g₀ = 0. Поскольку

(iii) она нормирована условием

n = 1, кривая Γ является двулистным накрытием Γ₀

с четырьмя точками ветвления. Значит, Γ является

ξ⁺⁰(z, z) = 1.

(5.38)

эллиптической кривой. Следовательно, соответству-

ющие решения одномерны: они зависят только от

Теорема 5.5. (см. [11]) Определенная выше функ-

линейной комбинации Uz +

U z, где U,

U — констан-

ция Бейкера - Ахиезера удовлетворяет уравнению

ты.

Это наблюдение привело авторов к необходимос-

(-∂_z∂_z + A_z(z, z)∂_z + U(z, z)) ψ(z, z, p) = 0,

(5.39)

ти дальнейших обобщений конструкции Новико-

ва - Веселова на случай приводимых спектральных

где

кривых. Как показано в работе [7], такое обобщение

Az = ∂z ln ξ⁰,

позволяет построить для любого нечетного N ана-

(5.40)

логи инстантонных решений O(3)-модели, для кото-

U =∂_zξ⁺¹.

рых компоненты T_zz, T_zz тензора энергии-импульса

равны нулю. Точнее, в работе [7] доказывается, что

Замечание 5.6. Нормировка (5.38) функции Бей-

построенные по приводимым спектральным кривым

кера - Ахиезера соответствует выбору калибровки,

потенциалы оператора Шредингера удовлетворяют

при которой A_z = 0.

839

И. Кричевер, Н. Некрасов

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

5.6.1. Двойственная функция

Аналогично доказываются равенства

Бейкера - Ахиезера

(∂_z ψ)ψ^σdΩ =

(ξ⁺¹ +

ξ⁺¹) = - ResP+

Для эффективного неспециального дивизора D

= ResP-(∂_z ψ)ψ^σdΩ =

степени g определим двойственный дивизор

Ď с по-

мощью уравнения

= (∂_zξ-0

ξ-0.

(5.48)

Следствием уравнений (5.44), (5.47) и (5.48) явля-

D+

Ď₌ K + P₊ + P_-,

(5.41)

ется то, что двойственная функция Бейкера - Ахие-

где K — канонический класс. Другими словами, для

зера является решением формально сопряженного

уравнения

неспециального дивизора D степени g существует

единственный мероморфный дифференциал dΩ с

(-∂_z∂_z - A_z(z, z)∂_z + U(z, z)∂_zA_z(z, z)) ×

простыми полюсами в точках P_±, вычеты в кото-

ψ(z, z, p) = 0.

(5.49)

рых равны ∓1, такой что dΩ(γ_s) = 0. Общее число

нулей dΩ равно 2g. Точки γ+s — это дополнительные

5.6.2. Условия самосогласования для

нули dΩ.

CPN-1-модели

По определению, двойственная функция Бей-

кера - Ахиезера

— это единственная функция

Пусть E(p) — мероморфная функция на Γ с про-

ψ^σ(z, z, p), такая что:

стыми полюсами в точках q_i, i = 1, . . ., N. Тогда

(i) как функция p ∈ Γ она мероморфна на Γ вне

ψψ^σ E dΩ является мероморфным дифференциалом

отмеченных точек P_± с дивизором полюсов

^Ď;

на Γ с полюсами в точках P_± и q_i. Сумма его выче-

(ii) в окрестностях отмеченных точек она имеет

тов равна нулю. Отсюда следует равенство

вид

∑

(

)

1= r2iψ_iψ^σi,

(5.50)

ψ^σ = exp

k_±(z + z ± z ∓ z)

i=1

в котором

(

)

∑

ξ^±s(z, z)k^-s

k_± = k_±(p);

(5.42)

ψ_i = ψ(z, z, q_i),

(5.51)

s=0

ψ^σi = ψ^σ(z, z, q_i)

(iii) она нормирована условием

r2i =

Resqi E dΩ ,

ξ⁺⁰(z, z) = 1.

(5.43)

E₊ - E_-

(5.52)

E_± = E(P_±).

Аргументы, аналогичные использованным в ра-

Дополнительно предположим, что дифференциал

боте [11], доказывают, что двойственная функция

dE равен нулю в точках P_±, т. е. в окрестностях от-

Бейкера - Ахиезера удовлетворяет уравнению

меченных точек:

(

)

-∂_z∂_z+Az(z, z)∂z+Ǔ(z, z)

ψ^σ(z, z, p) = 0,

(5.44)

dE(P_±) = 0

⇒ E = E± + O(k2±).

(5.53)

где

Тогда дифференциал (∂_z ψ)ψ^σ EdΩ голоморфен в

точке P₊, а его вычет в точке P_- равен

A_z = ∂_z lnξ-0,

(5.45)

ResP- (E - E₊)(∂_z ψ)ψ^σdΩ =

Ǔ₌ -∂

ξ⁺¹.

= (E_- - E₊)A_z (z, z).

(5.54)

Из определения двойственной функции Бейке-

Следовательно,

ра - Ахиезера следует, что дифференциал

ψ dΩ

∑

мероморфен на Γ с простыми полюсами в точках

r2i(∂_zψ_i)ψ^σi = A_z.

(5.55)

P_± и с вычетами

Аналогично, из равенства

ResP+

ψdΩ = -1, ResP-

ψdΩ = ξ-0

ξ-0.

(5.46)

ResP± (E - E_-)ψ∂_zψ⁺dΩ = 0

(5.56)

Из того, что сумма вычетов мероморфного диффе-

следует, что

ренциала равна нулю, следует

∑

r2iψ_i (∂_zψ^σi) = -

r2i (∂_zψ_i)ψ^σi.

(5.57)

ξ-0 =

ξ-0)-1

(5.47)

840

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

К вопросу о наперстках Лефшеца в сигма-моделях, I

5.6.3. Условия вещественности

а также (ср. (2.31))

∑

Предположим, что кривая Γ является веществен-

A_z = -

n_i(∂_zn_i) = -∂_z log c ,

(5.65)

ной, т. е. на ней имеется антиголоморфная инволю-

i=1

ция τ : Γ -→ Γ. Предположим, что эта антиинволю-

∑

ция переставляет отмеченные точки, τ(P_±) = P_∓,

A_z = -

n_i(∂_zn_i) = ∂_z log c,

(5.66)

и что локальные координаты в окрестностях этих

i=1

точек сопряжены относительно τ, т.е.

т. е. являются решением CPN-1-модели, если выпол-

нены условия периодичности. В уравнении (5.63) V

k_±(τ(p)) = -k∓(p).

отличается от потенциала U, определенного выше,

сдвигом на A_z A_z.

Если дивизор D вещественен, τ(D) = D, то из един-

ственности функции Бейкера - Ахиезера следует ра-

Замечание 5.7. Явная тэта-функциональная фор-

венство

мула для ψ тождественна (4.24) после замены тэ-

та-функции Прима на тэта-функцию Римана, отве-

чающую матрице T b-периодов нормированных го-

ψ^σ(p) =

ξ-0)-1

ψ(τ(p)).

(5.58)

ломорфных дифференциалов на Γ.

Из уравнений (5.58) и (5.47) следует

Условия периодичности для Γ даются теми же

уравнениями (5.13).

ξ-0 = ξ-0.

(5.59)

Дифференциал dΩ удовлетворяет уравнению

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И НАПРАВЛЕНИЕ

БУДУЩИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

dΩ(τ(p)) = -dΩ(τ(p)).

(5.60)

В настоящей работе мы построили широкий

Предположим, что точки q_i инвариантны относи-

класс решений O(N)-модели для четных N и для

тельно τ, т. е. q_i = τ(q_i). Тогда без ограничения общ-

CPN-1-модели с общими твистованными граничны-

ности можно считать, что выполнено равенство

ми условиями на Σ с произвольной метрикой. Каж-

дая критическая точка порождает полубесконечную

E(p) = -E(τ(p)).

(5.61)

клетку в комплексифицированном пространстве F^C

конфигурационных полей модели, так называемый

Тогда константы r2i в (5.50) являются вещественны-

наперсток Лефшеца. Последний зависит от неголо-

ми, r2i = r2i. При этом данные можно выбрать так,

морфной части данных, таких как выбор эрмитовой

чтобы выполнялось

метрики на F^C.

Основным инструментом нашего построения яв-

c² := (ξ-0)² > 0, r2i > 0.

ляется аналитическая комплексная ферми-кривая

C_u, которая параметризует блоховские решения дву-

После этого мы получим, что функции

мерного оператора Шредингера -Δ + u. Линейные

поля сигма-модели принадлежат ядру этого опера-

n_i = c-1r_iψ_i

(5.62)

тора, в то время как твисты модели определяют на-

в пространстве модулей M

бор точек M₁, . . ., M_N

удовлетворяют уравнению

плоских C^×-связностей на Σ. Данные монодромии

(аналог отображения Римана - Гильберта) отобра-

(-∂_z ∂_z - (∂_z log c) ∂_z + (∂_z log c) ∂_z + V ) ×

жают ферми-кривую в M так, что ее образ проходит

×n_i =0

(5.63)

через точки M_j .

Мы показали, что дважды периодические реше-

и условиям самосогласования

ния уравнений сигма-модели соответствуют линей-

ному отображению Σ в многообразие Прима фер-

∑

n_in_i = 1,

(5.64)

ми-кривой C_u. Это является прямым аналогом ре-

i=1

зультата, полученного в работе [1] для квантово-

841

И. Кричевер, Н. Некрасов

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

механической модели, кратко описанного во Введе-

го порождают наперсток, выходящий из критичес-

нии.

кой точки.

Мы также нашли, что симплектическая геомет-

Представляется естественной модификация

рия M любопытным образом отражается в струк-

классического действия

(2.14), учитывающая

туре пространства решений. Как и в квантово-меха-

вклады петель, т. е. однопетлевое эффективное

ническом случае (1.9), решения отвечают критичес-

действие. Критические точки эффективного дей-

ким точкам суперпотенциала, который в двумерном

ствия могут быть представлены в форме условий

случае может быть выражен в терминах периодов

самосогласования потенциала оператора Шре-

дифференциала α dβ типа Зайберга - Виттена, инду-

дингера, включающие в себя решения не только

цированного симплектической формой Атьи - Ботта

из ядра оператора, но и те, которые связаны со

dα ∧ dβ на M.

всем спектром оператора. Привычный 1/N-анализ

Явная связь ферми-кривых с кривыми Зайбер-

O(N)- и CPN-1-моделей в бесконечном объеме

га - Виттена остается загадкой. Следует подчерк-

[26, 27] предсказывает нарушение конформной

нуть, что для некоторых сигма-моделей решения мо-

инвариантности, возникновение массовой щели,

гут быть построены с помощью аналитических кри-

восстановление глобальной симметрии. Было бы

вых разными способами: с использованием твистор-

интересно проверить эти предсказания с помощью

ных кривых, возникающих из представлений нуле-

более тщательного анализа функционального инте-

вой кривизны [15-17], с использованием спектраль-

грала. В частности, ответить на вопрос, является

ных кривых Хитчина [18] и, наконец, с помощью

ли массовая щель универсальной или зависит от

ферми-кривых. Взаимосвязи этих кривых представ-

выбора наперстка или линейной комбинации на-

ляют собой такую же загадку, как и в привычной си-

перстков? Нетривиальномть этой проблемы видна

туации монополей: при изучении последних в R²×S¹

в анализе, проделанном в работах [28-30], хотя и с

возникают два типа кривых: кривая, кодирующая

другой геометрией мирового листа Σ.

данные рассеяния [19], и спектральная кривая, ко-

торая в действительности является кривой Зайбер-

Как уже было сказано выше, алгебро-геометри-

га - Виттена для квивера N = 2 калибровочной че-

ческие потенциалы U, являясь нелинейным обобще-

тырехмерной теории [20]. Несмотря на некоторый

нием тригонометрических полиномов, плотны в про-

прогресс в попытках найти связи между этими кри-

странстве всех периодических потенциалов. Однако

выми [21], общая картина остается неясной.

имеющиеся у авторов аргументы указывают на то,

что построения настоящей работы и их обобщения

Планируемое авторами продолжение работы

в работе [7] дают все решения задачи. Мы надеем-

содержит несколько естественных направлений.

ся, что их представление в виде критических точек

Во-первых, это обобщение конструкции на случай

суперпотенциала W откроет возможность вычисле-

O(N)-модели с нечетным N, в котором ферми-кри-

ния интегралов по наперсткам Лефшеца. В кванто-

вая является (сингулярной) приводимой [7]. Как

во-механическом случае намотки вдоль 1-циклов в

оказалось, в этом случае трансцендентные уравне-

абелевом многообразии, являющемся комплексным

ния периодичности (5.13) допускают явное решение

тором Лиувилля, могут быть качественно представ-

в терминах спектральных кривых эллиптической

лены как газ инстантонов и антиинстантонов (пред-

системы Калоджеро - Мозера, которая тесно связа-

ставляющих намотки вдоль B), одетых пертурба-

на с теорией Зайберга - Виттена [20, 22], с теорией

тивными осцилляциями (намотками вдоль A цик-

солитонов [23, 24], с теорией системы Хитчина и

лов). Справедливость этого приближения контроли-

калибровочными теориями [2, 25].

руется малостью параметра e-βω0, где ω₀ — частота

Как ожидается, наперстки Лефшеца должны

классических осцилляций вблизи минимума потен-

стать инструментом для вычисления функциональ-

циала, а β → ∞ — мнимое время. В случае сигма-мо-

ного интеграла. Первым шагом в этом направлении

дели имеется бесконечное число частот ω₀, кото-

должен стать анализ определителя оператора вто-

рые, в силу конформной инвариантности классиче-

рой вариации действия. Для случая O(N)-модели

ской теории, стремятся к нулю. Это и есть проблема

это сводится к исследованию детерминанта опера-

роста инстантонов, разрушающая (см. [31, 32]) при-

тора Шредингера -Δ + U. Комплекснозначность

ближение инстантонного газа в сигма-моделях и че-

потенциала означает, что и спектр оператора ком-

тырехмерных калибровочных теориях [33]. Сущест-

плексен, что приводит к сложностям анализа на-

вует ли феноменологическая картина наших реше-

правлений градиентного потока, траектории которо-

ний?

842

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

К вопросу о наперстках Лефшеца в сигма-моделях, I

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

N. Nekrasov, Tying up Instantons with Anti-Instan-

Обобщенные системы Неймана

tons, doi:10.1142/9789813233867_0018; arXiv:1802.

Решения уравнений (2.36) с четным N могут

04202 [hep-th].

быть построены, если заметить, что функция вспо-

N. Nekrasov, Commun. Math. Phys. 180, 587 (1996);

могательной переменной z (имеющей смысл U(1)-то-

doi:10.1007/BF02099624; arXiv:[hep-th/9503157].

ка)

A. Hanany and K. Hori, Nucl. Phys. B 513, 119

(

)

(1998); doi:10.1016/S0550-3213(97)00754-2; arXiv:

hep-th/9707192 [hep-th].

J (z) =

f-f^σ

z+θ

L. Dixon, J. Harvey, C. Vafa, and E. Witten, Nucl.

Phys. B 261, 678 (1985); Nucl. Phys. B 274, 285

+ iτ₁f^σ

f (A.1)

z+θ

(1986).

сохраняется для всех z:

C. Neumann, De Problemate Quodam Mechanica,

Quod ad Primam Integralium Ultraellipticorum Clas-

sem Revocatur, Journal für die reine und angewandte

(z) = 0.

Mathematik 56 (1859).

Введем

D. Mumford, Tata Lectures on Theta, Birkhauser,

Boston-Basel-Berlin (1983).

A(w) =

w-θ²

I. Krichever and N. Nekrasov, Towards Lefschets

^B(w) = -f^σ

w-θ²

thimbles in sigma models, II, to appear.

(A.2)

I. Krichever, Funct. Anal. Appl. 20, 42 (1986).

C(w) =

w-θ²

I. Krichever, Funct. Anal. Appl. 28, 21 (1994).

^D(w) = -f^σ

w-θ²

10.

I. Krichever, Uspekhi Mat. Nauk 44, 121 (1989).

где w = z². Ключевым является утверждение, что

11.

B. A. Dubrovin, I. M. Krichever, and S. P. Novikov,

спектральная кривая оператора Лакса

Dokl. Akad. Nauk SSSR 229, 15 (1976).

(

)

12.

A. P. Veselov and S. P. Novikov, Dokl. Akad. Nauk

A(w) B(w)

SSSR, 279, 20 (1984).

L(w) =

(A.3)

C(w) D(w)

13.

A. P. Veselov and S. P. Novikov, Dokl. Akad. Nauk

где

SSSR, 279, 784 (1984).

A + iτ₁

B₊,

14.

A. Il’ina, I. Krichever, and N. Nekrasov, Funct. Anal.

Appl. 53, 23 (2019); arXiv:1903.01778v2 [math-ph].

D + iτ₁ B₊,

15.

V. Mikhailov and V. Zakharov, JETP 74,

1953

(1978).

16.

N. Hitchin, J. Diff. Geom. 31, 672 (1990).

C =

C + 2iτ₁J₊ + ττ,

17.

K. Pohlmeyer, Comm. Math. Phys. 46, 207 (1976).

18.

N. Hitchin, Duke Math. J. 54, 91 (1987).

B₊ = f^σ θ

19.

N. Hitchin, Comm. Math. Phys. 83, 579 (1982).

w-θ²

(A.4)

J (z) + J (-z)

20.

N. Nekrasov and V. Pestun, Seiberg-Witten Geometry

J₊(w) =

of Four Dimensional N = 2 Quiver Gauge Theories,

arXiv:1211.2240 [hep-th].

также является интегралом движения:

21.

S. A. Cherkis, SIGMA 3, 043 (2007); doi:10.3842/

∂

Det (k - L(w)) = 0.

(A.5)

SIGMA.2007.043; arXiv:hep-th/0703108 [hep-th].

∂y

843