ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 5, стр. 883-891
© 2021
ПОЯВЛЕНИЕ ТОЧКИ ПОВОРОТА В ДИНАМИЧЕСКОМ
РЕШЕНИИ РЕЙСНЕРА - НОРДСТРЕМА
А. А. Шацкий*
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
119991, Москва, Россия
Поступила в редакцию 10 декабря 2020 г.,
после переработки 10 декабря 2020 г.
Принята к публикации 30 декабря 2021 г.
Рассмотрено самосогласованное точное решение для образующейся в результате аккреции черно-белой
дыры Рейснера - Нордстрема. До образования черно-белой дыры в центре системы находится массивный
заряженный шар. Исследован вопрос появления точки поворота (отскока) в образующейся черно-белой
дыре. Появление точки поворота исследовано на примере решения для аккреции незаряженной сфе-
рической пылевой оболочки. Уравнения модели записываются с учетом космологического Λ-члена. В
рассмотренной модели и сама черно-белая дыра, и ее точка поворота образуются в уже существующей
Вселенной, поэтому черно-белая дыра в модели не является «вечной».
DOI: 10.31857/S0044451021050047
«вечные» черные дыры, т. е. те, которые образова-
лись вместе с рождением Вселенной. Поэтому одной
1. ВВЕДЕНИЕ
из задач данной работы является обоснование моде-
ли, в которой и сама черно-белая дыра, и ее точка
Существование черных дыр (ЧД), а также меха-
поворота могут образоваться в уже существующей
низмы их образования практически давно уже счи-
Вселенной. Причем белая дыра образуется в новой
таются исследованными. При этом математические
расширяющейся вселенной, т. е. не в той же самой
решения для реальных (вращающихся) черных дыр
Вселенной, в которой образуется черная дыра.
Керра и заряженных черных дыр Рейснера - Норд-
стрема показывают наличие в решениях точки пово-
В работе будет рассмотрено самосогласованное
рота. Точкой поворота (или точкой отскока) приня-
точное решение для образующейся сферически-
симметричной черно-белой дыры Рейснера - Норд-
то называть точку, в которой траектория свободно-
го падения частицы меняет направление от умень-
стрема. До образования черно-белой дыры в цент-
ре системы находится массивный заряженный шар.
шения радиальной координаты на направление ее
увеличения. При этом интересны именно те точки
Появление точки поворота исследовано на приме-
ре точного решения для аккреции тонкой незаря-
поворота, которые расположены под обоими гори-
зонтами черной дыры, т. е. под горизонтом Коши —
женной сферической пылевой оболочки. Уравнения
во внутренней R-области пространства.
модели будут записаны с учетом космологического
Λ-члена.
Существование в стационарном решении для ЧД
внутренней точки поворота (далее просто точки по-
Ранее исследованием динамики сферических пы-
ворота) связывают с существованием черно-белой
левых оболочек в центрально-симметричном элек-
дыры, а не просто черной дыры. Однако механизм
трическом поле занимались многие авторы — см.,
появления точки поворота в самосогласованном ре-
например, [2-4]. В частности, в работах [4] была ис-
шении коллапсирующей материи до сих пор не изу-
следована топология ЧД Рейснера - Нордстрема с
чен (см., например, [1], § 34.6). Поэтому в моделях
помощью построения диаграмм Картера - Пенроу-
возникновения черно-белых дыр по-прежнему оста-
за, поэтому в настоящей работе мы не рассматрива-
ется больше вопросов, чем ответов. Принято счи-
ем диаграммы Картера - Пенроуза и по этому вопро-
тать, что черно-белыми дырами могут быть только
су отсылаем читателя к данному источнику. Иссле-
дование же топологии для реальных вращающихся
* E-mail: shatskiyalex@gmail.com
черных дыр было предпринято автором в работе [5].
883
3*
А. А. Шацкий
ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021
2. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ
Ниже будет доказана возможность существования
появляющейся в решении точки поворота rt в про-
Пусть в начальный момент никакой черной ды-
межутке между радиусами rq и r-h.
ры нет и горизонты отсутствуют. Распределение ма-
Для дальнейшего необходимо определиться с
терии в начальный момент описывается следующей
ограничением на размер шара rq. В этом вопро-
моделью.
се главным ограничением является напряженность
В центре системы существует шар, который об-
электрического поля E. Максимальная величина на-
ладает электрическим зарядом q, радиусом rq и мас-
пряженности E = q/r2 должна быть меньше величи-
сой mq. При этом пусть масса mq недостаточна для
ны пробоя вакуума ∼ 104 В/см. Поскольку макси-
образования черной дыры и гравитационного кол-
мальное значение напряженности достигается око-
лапса шара.
ло поверхности шара rq, величина Eq = q/r2q должна
Пусть также в начальный момент на некотором
быть меньше 104 В/см. Пусть эта величина равна
радиусе R1 покоится сферическая пылевая оболочка
с массой mdust. В течение дальнейшей эволюции эта
Eq = 103 В/см = 3.(3) ед. СГСЭ.
(6)
пылевая оболочка начинает свободно падать к цент-
Из (5) получаем
ру системы. При этом массы mdust оказывается до-
статочно для дальнейшего образования черной ды-
q
β-2γ-2
ры Рейснера - Нордстрема, еще до достижения обо-
Eq :=
=
(7)
r2q
q
лочкой радиуса rq. Пусть полная масса системы есть
M. Соответствующие заряду q и массе M радиус го-
Отсюда можно выразить электрический заряд q как
ризонта черной дыры r+h и радиус горизонта Коши
β-2γ-2
r-h в координатах Рейснера - Нордстрема равны1)
q=
(8)
Eq
√
r±h = M ±
M2 - q2.
(1)
Допустим, величины β2 = 0.5, γ = 0.5, тогда κ =
√
=
8/3 и, если выражение (8) переписать в еди-
Для удобства введем соотношение заряда и массы
ницах СГСЭ, то до конца раздела в этих единицах
так, чтобы выполнялись соотношения
получаем
r-h := β2r+h, β = const ≤ 1.
(2)
β-2γ-2c4
q=
≈ 2.915 · 1049 ед. СГСЭ ≈
GEq
Согласно (1), для этого необходимо, чтобы
≈ 6.073 · 1058e.
(9)
2β
q = κM, κ :=
≤ 1.
(3)
1+β2
Соответственно для полной массы ЧД M получаем
q
Также введем параметр γ для связи заряда и массы
M =
√
≈ 1.197 · 1053 г ≈ 6.02 · 1020 M⊙.
(10)
с радиусом rq:
κ
G
Из (5) и (9) для радиуса заряженного шара rq имеем
rq = γr-h = γβ2r+h, γ = const < 1.
(4)
√
2
qβγ
G
c
Очевидно, что коэффициент γ должен быть мень-
rq =
=
√
≈ 2.957 · 1024 см ≈
c2
βγ
GEq
ше единицы, поскольку появление обоих горизонтов
ЧД должно произойти еще до возможного столк-
≈ 958 000 пк ∼ 1 Мпк.
(11)
новения падающей пылевой оболочки с заряжен-
Оценим плотность избытка (или недостатка) эле-
ной сферой, т. е. должны выполняться условия rq <
ментарных зарядов, составляющих заряд q шара ра-
<r-h ≤r+h.
диусом rq. Согласно (9) и (11), величина этой по-
Из приведенных выше выражений получаем
верхностной плотности заряда будет всего-навсего
q
σq ≈ 5.46 · 108e/см2 ≈ 8.74 · 10-7 Кл/м2.
rq = βγq = βγκM, rh = βq, rh =
(5)
β
Если предположить, что материя заряженной
сферы имеет плотность порядка 1 г/см3, то при
1) В этой работе, там где не оговорено отдельно, мы исполь-
q2 = Gm2q толщина dq такой заряженной сфериче-
зуем теоретическую систему единиц, в которой скорость света
и гравитационная постоянная равны соответственно c = 1 и
ской оболочки, согласно (9) и (11), оказывается рав-
G = 1.
ной примерно 70 м. По сравнению с радиусом rq из
884
ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021
Появление точки поворота в динамическом решении. . .
(11) это просто тончайшая пленка, но по сравнению
3. ВОЗМОЖНОСТЬ РАВНОВЕСИЯ НА
с толщиной слоя, в котором сосредоточен избыток
ЗАРЯЖЕННОМ ШАРЕ В НАЧАЛЬНЫЙ
(или недостаток) электронов заряда q (т. е. с разме-
МОМЕНТ
рами атома), это огромная величина.
Можно также вычислить поверхностное натяже-
Рассмотрим возможность установления равнове-
ние N, которое создает электрическая сила оттал-
сия заряженной сферы с массой mq, радиусом rq
кивания для поверхностного заряда q на шаре ра-
и зарядом q. Это равновесие будет поддерживать-
диуса rq:
ся компенсацией электростатического отталкивания
зарядов на сфере самогравитацией сферы. Такое
2
q
β-2γ-2c4
равновесие возможно только вне гравитационного
N =
=
≈ 2.616 · 1024 дин/см.
(12)
4πr3q
4πGrq
радиуса сферы. Как будет видно из дальнейших вы-
числений, горизонт черной дыры при таких массах
Если пренебречь гравитационной силой притяже-
и зарядах вообще не сможет образоваться.
ния, то для вычисления минимальной толщины
Как известно из курса общей физики, потенци-
пленки dmin, удерживающей заряд своим поверх-
ал электрического поля At должен быть константой
ностным натяжением, необходимо натяжение N раз-
внутри заряженной сферы, а вне сферы — убывать
делить на удельную прочность материала пленки.
обратно пропорционально радиусу. Поэтому элект-
Пусть это будет сталь с удельной прочностью Ps =
рическое поле внутри сферы должно быть равно ну-
= 1010 дин/см2. Тогда из (12) получаем
лю, а вне сферы — равно q/r2. Но нас будет инте-
ресовать электрическое поле на самой сфере. Оче-
2
N
q
видно, что оно равно среднему арифметическому от
dmin =
=
≈ 2.616 · 1014 см.
(13)
Ps
4πPsr3
q
пределов поля внутри и вне сферы при стремлении
радиусов к rq, т. е. на самой сфере электрическое по-
Однако тогда масса этой стали будет примерно на
ле есть q/(2r2q).
13 порядков превышать полную массу M, что невоз-
Все то же самое касается и гравитационного за-
можно... Таким образом, установление равновесия с
ряда (массы), но мы будем считать, что масса рав-
помощью компенсации электрической силы оттал-
номерно распределена внутри конечного слоя d —
кивания силой упругости материала невозможно.
физической толщины пленки сферы, причем ниже
Отметим, что сила поверхностного натяжения
будет показано, что толщина d должна быть мно-
является почти тангенциальной по отношению к ма-
го меньше радиуса сферы rq, но все же d является
лому элементу поверхности заряженной сферы, по-
макроскопическим размером. В то же время заряд
этому для компенсации радиальной электрической
q сосредоточен исключительно на поверхности сфе-
силы сила поверхностного натяжения должна быть
ры — в слое, толщина которого имеет атомные раз-
гораздо больше электрической силы, причем тем
меры. Будем считать, что заряд определяется недо-
больше, чем больше радиус rq.
статком электронов на сфере, т. е. положительный
Если вычислить давление P , с которым сила
заряд ядер кристаллической решетки материи сфе-
электрического отталкивания давит на поверхность
ры не до конца скомпенсирован зарядом электронов.
заряженной сферы, то оно оказывается равным
Размер электронов и ядер много меньше толщины
сферы d, поэтому по разные стороны от внешней
2
q
P =
≈ 0.88 дин/см2.
(14)
поверхности сферы гравитационное поле ведет себя
4πr4
q
одинаково, а электрическое поле под внешней по-
верхностью сферы принимает нулевое значение, в
При столь больших радиусах это очень маленькая
соответствии со сказанным выше.
величина давления, которое способны выдержать
Рассмотрим на сфере элемент заряда e и соот-
практически любые материалы. Столь большая раз-
ветствующий ему элемент массы μ, причем
ница между величиной поверхностного натяжения
N и давлением P связана с тем, что N ∝ 1/r3q, а
e := ξq, μ := ξmq, ξ = const ≪ 1.
(15)
P ∝ 1/r4q, отсюда P/N ∝ 1/rq. Поэтому если есть
другая радиальная сила, действующая в противо-
положном направлении (сила гравитации), то этой
Запишем теперь уравнения движения заряженной
силой оказывается теоретически возможно уравно-
частицы в гравитационном и электромагнитном по-
весить электрическую силу, см. ниже.
лях (см. [6], § 90):
885
А. А. Шацкий
ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021
i
rq/mq
du
μ
= eFijuj - μΓikmukum,
ds
(
)
(16)
1
∂gnk
∂gnm
∂gkm
Γikm =
gin
+
-
2
∂xm
∂xk
∂xn
Здесь Fik — тензор электромагнитного поля, uk —
4-вектор скорости частицы с массой μ и зарядом e,
gin — компоненты метрического тензора.
Выбираем для этого раздела статичную систему
1
отсчета и метрику Рейснера - Нордстрема для нее:
ds2 = fdt2 - f-1 dr2 - r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2),
2
(17)
2m
q
f (r) := 1 -
+
r
r2
Для этой метрики имеем
uk = δktut, ut = f-1/2, Fik := ∂iAk - ∂kAi,
0
1
2
q m /
(18)
q
Ai = δtiAt.
Рис. 1. Зависимость радиуса заряженной сферы rq от q2
Здесь Ai — 4-вектор-потенциал электромагнитного
в единицах массы mq, см. (22)
поля, At = q/r при r ≥ rq и At = q/rq при r ≤ rq.
Все величины будут зависеть только от радиуса
и уравнение (16) перепишется в виде
Из выражения (22) видно, что функция rq(q) явля-
ется возрастающей, см. рис. 1. При этом поскольку
r
√
du
μ df
μ
= -e
fFrt -
(19)
согласно (5) нас интересуют только rq < q, ограни-
ds
2 dr
чение на заряд q принимает вид
В соответствии со сказанным выше, на самой сфе-
m2q < q2 < 2m2q.
(23)
ре получаем для единственной компоненты тензо-
ра Fik:
Поэтому при нахождении корня rq в уравнении (21)
Frt|r
= -0.5q/r2q.
q
мы выбрали знак «+». Из формулы (23) следует, что
Кроме того, коэффициент 0.5 должен появиться и в
шар с массой mq и зарядом q не может образовать
члене с q2 у производной ∂rf формулы (19), которая
черную дыру, иначе выражения (1) для горизонтов
для точки равновесия переписывается в виде
стали бы комплексными величинами.
√
du
r
eq
f (rq)
μ
μ
= 0.5
-
×
4. УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ
ds
r2q
2
r=rq
)
2
(2mq
2q
Более удобной для дальнейшего аналитического
×
- 0.5
= 0.
(20)
r2q
r3
q
исследования оказывается синхронно-сопутствую-
щая материи система отсчета2), описываемая коор-
Отсюда видно, что эта точка равновесия является
динатами τ и R:
устойчивой, так как положительная сила отталки-
вания убывает как 1/r3q, а отрицательная сила при-
ds2 = dτ2 - eλ(τ,R) dR2 - r2(τ, R) ×
тяжения — как 1/r2q.
× (dθ2 + sin2 θ dϕ2).
(24)
С помощью выражений (15) заменяем в уравне-
нии (20) величины (e, μ) на (q, mq) и получаем
Пусть аккрецирующая материя представляет собой
гравитирующую пыль с плотностью энергии ε, рас-
(4m4q - q4)r2q - 2q2mq(2m2q - q2)rq +
пределение которой зависит только от радиуса r.
+ q4(m2q - q2) = 0,
(21)
Учтем также в уравнениях влияние космологическо-
го Λ-члена на динамику материи в нашей модели.
√
mqq2(2m2q - q2) + q4
2m2q - q2
2) Синхронно-сопутствующая материи система отсчета
rq (q, mq) =
(22)
применима к пылевидной материи, благодаря отсутствию у
4m4q
−q4
пыли давления (временная компонента метрики равна 1).
886
ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021
Появление точки поворота в динамическом решении. . .
Тогда полный тензор энергии-импульса вне сферы
e-λ
8πTRτ = 0 = (2r,Rτ - r,Rλ,τ )
,
(28)
радиусом rq представляется в следующем виде:
r
⎛
⎞
q2
2
0
0
0
q
r,ττ
λ,ττ
⎜
8πr4
⎟
8πTθθ = 8πTϕϕ = -
+ 8πΛ =
+
+
⎜
⎟
r4
r
2
⎜
q2
⎟
(
⎜
0
0
0
⎟
λ2
1
)e-λ
⎜
8πr4
⎟
,τ
r,τ λ,τ
Tnm =
+
+
+
- r,RR-
r,R λ,R
(29)
⎜
⎟
q2
4
2r
2
r
⎜
⎟
0
0
-
0
⎜
⎟
8πr4
⎝
2
⎠
q
Интегрируя по времени уравнение (28), получаем
0
0
0
-
8πr4
⎛
⎞
e-λr2,
= F1(R).
(30)
ε
0
0
0
R
⎜
⎟
⎜
0
0
0
0
⎟
⎜
⎟
Функция F1(R), как будет видно ниже, определяет
+
+ δnmΛ.
(25)
⎜
⎟
⎝ 0
0
0
0
⎠
начальные условия для распределения скорости пы-
0
0
0
0
ли.
Подставляя (30) в уравнение (27), находим, что
Первое слагаемое в правой части (25) соответству-
(
)
rr2
ет тензору энергии-импульса электромагнитного по-
q2
,τ
+ 8πΛr2 =
,τ - F1 + 1.
(31)
ля точечного заряда q, второе слагаемое — тензору
r2
r,τ
энергии-импульса пыли, а слагаемое δnmΛ — это кос-
Умножая это уравнение на r,τ и интегрируя затем
мологический Λ-член. При этом внутри сферы ра-
по времени, получаем
диусом rq тензор энергии-импульса электромагнит-
ного поля должен быть нулевым, так как электри-
q2
8π
-
Λr3 + r(1 - F1) + rr2,
= F2(R).
(32)
ческое поле внутри заряженной сферы отсутствует.
τ
r
3
Что же касается тензора энергии-импульса электро-
магнитного поля на самой сфере радиусом rq, то, в
Функция F2(R), как будет видно ниже, определя-
соответствии со сказанным в разд. 3, на этой сфере
ет начальные условия для распределения плотности
все компоненты тензора нужно разделить на 2, так
пыли.
как электрическое поле на самой сфере есть среднее
между величиной поля внутри сферы и вне сферы.
5. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Благодаря гидродинамической независимости
слоев пыли друг относительно друга, можно про-
Далее индексом «i» будем обозначать все вели-
интегрировать уравнения движения для пыли
чины в начальный момент времени τ = 0.
аналогично решению задачи Толмена (см. [7,8]). По
Выберем в начальный момент масштаб коорди-
сути, это та же задача Толмена в центрально-сим-
наты R в (24) так, что
метричном электрическом поле для незаряженной
пыли.
ri := R.
(33)
Уравнения Эйнштейна, соответствующие метри-
ке (24), можно записать в виде3)
Это возможно сделать в случае монотонного изме-
нения функции r по координате R в начальный мо-
2
мент.
q
1
[
8πTττ = 8πε+
+8πΛ =
1+rr,τλ,τ +r2
-
,τ
Будем считать также, что в начальный момент
r4
r2
(
)]
вся материя покоится и все производные по τ равны
− e-λ
2rr,RR + r2,
- rr,Rλ,R
,
(26)
R
нулю:
r,τ |i = 0.
(34)
2
q
Тогда из (32) получаем
8πTRR =
+ 8πΛ =
r4
1
(
)
q2
8π
=
1 + 2rr,ττ + r2,
-e-λr2
,
(27)
F2(R) =
-
ΛR3 + R(1 - F1)
(35)
r2
τ
,R
R
3
или
3) Вывод уравнений (26)-(29) можно посмотреть, напри-
F2
q2
8π
мер, в [6] (§ 100, задача 5).
F1(R) = 1 -
+
-
ΛR2.
(36)
R
R2
3
887
А. А. Шацкий
ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021
Умножая уравнение (26) на r2r,R и выражая λ,τ из
на 1/2. Тогда из уравнений (27), (30) и (35) получаем
уравнения (28), получаем
на самой заряженной сфере
]
2
[q
8π
q2
8πεr2r,R =
-
Λr3+r(1-F1)+rr2
(37)
,τ
F1(rq) = 1 -
- 8πΛr2q,
(45)
r
3
2r2
,R
q
2
q
16πΛ
Сопоставляя это выражение с (32), видим, что
F2(rq) =
+
r3q.
(46)
rq
3
dF2
8πεr2r,R =
(38)
dR
При этом, как было сказано в разд. 2, на радиу-
уже накопилась
се самого заряда масса материи mq
Из уравнения
(38) заключаем, что величина
полностью, поэтому в вычислениях необходимо ис-
8πεr2r,R не зависит от времени:
пользовать выражения для r+q. Тогда из выражений
(42), (44) и (46) получаем для F2(R > r+q):
8πεr2r,R = 8πεir2i.
(39)
Введем массовую функцию m(R):
∫
R
q2
16πΛ
F2(R > r+q) =
+
8πεiR2 dR +
r3q
=
∫R
∫
ri
rq
3
rq
m(R) :=
4πεiR2 dR =
4πεr2 dr.
(40)
2
q
16πΛ
0
0
=
+ 2mdust(R) +
r3q.
(47)
rq
3
В нашей модели какая-либо материя и электриче-
ское поле при радиусах, меньших rq, отсутствуют
Введем также массу mΛ(R), связанную с Λ-членом:
(кроме Λ-члена), а на радиусе rq находится заряжен-
ная тонкая пленка с массой mq, поэтому4) m(r-q) ≡ 0
∫
R
4π
и m(r+q) ≡ mq и выражение (40) можно интегриро-
mΛ(R) :=
4πΛR2 dR =
ΛR3.
(48)
3
вать не от нуля, а от r-q, или от r+q:
0
∫R
Из (40) видно, что учет космологического Λ-члена
m(R > r-q) =
4πεiR2 dR,
(41)
можно свести к вычитанию из массы m(R) величи-
rq
ны 4πΛR3/3. Согласно космологическим наблюде-
ниям Λ ∼ 10-29 г/см3, поэтому на масштабах поряд-
∫R
ка rq, определяемых выражением (11), масса, свя-
m(R > r+q) = mq +
4πεiR2 dR.
(42)
занная с Λ-членом, примерно на 8 порядков меньше
rq
полной массы M (см. (10)). Это значит, что при R ∼
∼ rq учет космологического Λ-члена необязателен.
Интегрируя выражение (38) в пределах от r-q до R
и от r+q до R, из (41), (42) убеждаемся, что
2m(R > r-q) = F2(R > r-q) - F2(r-q),
(43)
6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
2m(R > r+q) - 2mq = F2(R > r+q) - F2(r+q).
(44)
В сопутствующих координатах определением ра-
Для получения значений F1 и F2 в точке rq учтем,
диусов горизонтов r±h является равенство единице
что заряженная сфера находится в равновесии, по-
модуля инвариантной скорости V :
этому там должно быть r,τ = 0 и r,ττ = 0. Кроме то-
го, под заряженной сферой (на r-q) электрическое
r2,τ eλ
V2
= 1, V 2(τ, R) :=
(49)
r±
поле отсутствует (т. е. там должны быть исключены
h
r2
,R
члены с q2), а сразу над заряженной сферой элек-
трическое поле равно q/r2q, поэтому на самой заря-
Здесь функция V2(τ, R) является квадратом инва-
женной сфере члены с q2 должны быть умножены
риантной скорости, см. [3,9]. С помощью выражения
(30) уравнение (49) переписываем в виде
4) Индексы «-» и «+» у радиуса rq означают нижний и
верхний пределы, т. е. под и над заряженной пленкой с мас-
сой mq соответственно.
r2,τ
= F1(R).
(50)
r±
h
888
ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021
Появление точки поворота в динамическом решении. . .
Выражая с помощью (36) в уравнении (32) функ-
цию F1 через F2, переписываем (32) в виде, удобном
для интегрирования и получения функции r(τ, R):
r,τ
=
√(
)
)
F2
q2
8πΛr2
(F2
q2
8πΛR2
=±
-
+
-
-
+
r
r2
3
R
R2
3
(51)
Из этого выражения, в частности, видно, что ди-
намика частицы зависит только от распределения
материи под радиусом нахождения самой частицы
Рис. 2. а) Зависимость rq/q от q2/mq. б) Зависимости rt/q
и не зависит от материи над этим радиусом.
от β при разных h для неравенства (59)
Из (51) с учетом (36) и (50) получаем уравнение
для вычисления радиусов горизонтов r±h:
Поэтому в случае rq < R < 2rq для пробных частиц
даже больше первоначально-
радиус остановки r0t
2
F2
q
8π
го радиуса ri, что означает направление их движе-
1-
+
-
Λr±h2 = 0.
(52)
r±h
r±2
3
ния — наружу. Соответственно в диапазоне 2rq <
h
< R < ∞ пробные частицы начнут двигаться
Это выражение без учета Λ-члена практически
внутрь. Для точки остановки пробной частицы r0t →
эквивалентно равенству f(r±h) = 0 из определения
→ rq из (56) получаем R → ∞. Таким образом, сфе-
(17), т. е. функция F2 имеет смысл удвоенной массы
рические слои пробных частиц при движении будут
m в сопутствующих материи координатах. Поэтому
постоянно пересекаться друг с другом.
далее мы пренебрегаем Λ-членом и из (52) получа-
Теперь перейдем к рассмотрению непробных час-
ем аналог выражения (1) для радиусов горизонтов
тиц пылевой сферы с массой mdust, радиус которой
в сопутствующих материи координатах:
равен R1 в начальный момент. В соответствии с (5),
√
условие расположения радиуса точки поворота rt
1
1
r±h =
F2 ±
F22 - q2.
(53)
для частиц пылевой сферы между радиусом сферы
2
4
заряда rq и радиусом горизонта Коши r-h принимает
Отсюда в соответствии с выражением (3) имеем
вид
rq = βγq < rt < r-h = βq, mq < q.
(57)
κF2
2β
q=
,
κ :=
(54)
2
1+β2
Вводя обозначение
κq
Из уравнения (51) можно получить две точки оста-
h :=
(58)
2R1
новки пылевой оболочки — это точки поворота,
при которых r,τ = 0. Из (51) сразу видно тривиаль-
и учитывая (22), (55), переписываем (57) в виде
ную точку остановки — это просто начальная точка
√
ri := R, с которой пылевая оболочка начинает дви-
mqq(2m2q
-q2) + q3
2m2q - q2
жение. А для искомой второй точки остановки из
rq
rt
=
<
=
(51) получаем
q
4m4q - q4
q
β
q
2
q
κq
=
< β,
> 1.
(59)
rt =
=
(55)
(1 + β2)(1 - h)
mq
F2 - q2/R
2 - κq/R
Диапазон параметров, соответствующих выполне-
Отсюда видно, что rt ≥ 0.5κq, причем равенство до-
нию этих неравенств, можно определить из графи-
стигается только при q/R → 0.
ков, представленных на рис. 2.
Рассмотрим сначала движение пробных частиц
Здесь также стоит рассмотреть одно кажущее-
под внешней пылевой оболочкой. Пробные частицы
ся противоречие, связанное с возможным пересече-
не могут образовать горизонта, согласно (47) и (55)
нием слоев пыли. Как было показано для пробных
для них
частиц, они не достигают радиуса rq при конечных
2
q
rqR
значениях R. То же самое можно утверждать и для
F02 =
,
r0t =
(56)
R-rq
внутренних слоев пылевой оболочки, поскольку для
rq
889
А. А. Шацкий
ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021
этих внутренних слоев гравитационный потенциал
α2 = 1.01, β = 0.8, h = 0.3,
еще недостаточен даже для образования горизонтов
rq
rt
⇒
≈ 0.673 <
≈ 0.697,
ЧД. Поэтому в какой-то момент внутренние слои
q
q
(62)
пылевой оболочки начнут движение от центра. При
R1
κ ≈ 0.988,
≈ 2.447.
этом внешние слои пылевой оболочки обладают уже
rq
достаточным гравитационным потенциалом для об-
Таким образом, задачу вычисления равновесия за-
разования горизонтов ЧД и достижения точки по-
ряда q на шаре можно считать решенной.
ворота rt. Таким образом, внутренние слои в какой-
то момент пересекутся со внешними слоями и поме-
8. АККРЕЦИЯ МАТЕРИИ НА УЖЕ
няются ролями. Теоретически наша модель не мо-
СУЩЕСТВУЮЩУЮ ЧЕРНУЮ ДЫРУ
жет корректно работать после пересечения непроб-
РЕЙСНЕРА - НОРДСТРЕМА
ных слоев пыли, но практически мы имеем дело с
достаточно тонкой пылевой оболочкой, толщина ко-
Аккрецию пылевой оболочки на заряженный
торой выбрана нами несоизмеримо меньше радиуса
шар, находящийся в равновесии, в отсутствие ЧД
rq, см. (11). Поэтому под и над этой тонкой пылевой
мы рассмотрели. Рассмотрим теперь аккрецию пы-
оболочкой мы можем пренебречь внутренним пере-
левой оболочки на ЧД Рейснера - Нордстрема.
сечением ее слоев. А внутри пылевой оболочки будет
В соответствии с (1) для любой заряженной ЧД
постоянно происходить перемешивание ее внутрен-
с массой M и зарядом q верно неравенство
них и внешних слоев. В целом это не должно по-
r-h ≤ q ≤ M ≤ r+h.
(63)
влиять на динамику модели. Кроме того, мы можем
Но тогда отсюда следует, что если в начальный мо-
слегка модифицировать нашу модель и считать, что
мент ЧД уже существует и в дальнейшем ее заряд не
массивные слои пыли состоят всего из одного слоя,
меняется, а увеличивается только ее масса, то для
причем размеры каждой «пылинки» в этом слое
любых двух моментов времени a и b можно утверж-
порядка толщины всего слоя пыли ddust, при этом
дать, что всегда будет выполняться неравенство
ddust ≪ rq. В этом случае никакого пересечения сло-
ев пыли не будет и каждая массивная «пылинка»
r-ha ≤ r+hb.
(64)
будет двигаться в самосогласованном гравитацион-
Здесь индексы «a» и «b» соответствуют радиусам
ном поле. Согласно оценкам разд. 2, в нашей моде-
горизонтов ЧД, которые будут у нее в соответствую-
ли mdust ∼ mq ∼ M, поэтому при плотности мате-
щие (любые) моменты времени. То есть ситуация,
рии «пылинок» ∼ 1 г/см3 можно получить ограни-
когда в какой-то момент времени a внутренний гори-
чение на размер «пылинок»: ddust ≲ dq ≈ 70 м. По-
зонт Коши окажется больше, чем внешний горизонт
этому наши «пылинки» в пылевом слое могут быть
ЧД в какой-то другой момент времени b, невозмож-
просто мелкими астероидами или булыжниками.
на. Отсюда следует, что независимо от особенностей
аккреции незаряженной материи на ЧД, точка по-
7. ПОДБОР ПОДХОДЯЩИХ ПАРАМЕТРОВ
ворота у ЧД будет только одна, поэтому ситуация,
Учитывая (23), далее обозначим
когда еще одна точка поворота возникла бы над пер-
воначальным горизонтом ЧД (в результате образо-
q
α :=
> 1.
(60)
вания еще одной внешней T-области), невозможна.
mq
Для того чтобы электростатическо-гравитационное
9. ОБСУЖДЕНИЕ
равновесие заряда q на шаре с массой mq и радиу-
сом rq стало возможным, необходимо подобрать па-
Итак, образование еще одной точки поворота для
раметры α, β и h так, чтобы неравенства (59) были
заряженной ЧД невозможно уже после образования
выполнены. Это возможно, например, при парамет-
самой ЧД. Поэтому обязательным начальным усло-
рах
вием для образования точки поворота является от-
α2 = 1.1, β = 0.9, h = 0.4,
сутствие самой ЧД в начальный момент. Следова-
rq
rt
тельно, возникновение новой черной дыры и новой
⇒
≈ 0.731 <
≈ 0.829,
q
q
(61)
вселенной (вместе с возникновением белой дыры)
R1
возможно только в момент появления горизонтов
κ ≈ 0.997,
≈ 1.706
новой ЧД Рейснера - Нордстрема (или, возможно,
rq
или при параметрах
ЧД Керра).
890
ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021
Появление точки поворота в динамическом решении. . .
Поэтому рассмотренный выше механизм образо-
Таким образом, в работе была предложена мо-
вания точки поворота в ЧД Рейснера - Нордстрема
дель, в которой и сама черно-белая дыра, и ее точка
является единственным для такой ЧД. То есть в на-
поворота образуются в уже существующей Вселен-
шей модели в начальный момент есть заряженный
ной, т. е. черно-белая дыра в модели не является
шар, заряд и вся материя этого шара сосредоточены
«вечной». Решить аналитически аналогичную са-
в тонкой заряженной сферической пленке. Вне это-
мосогласованную задачу аккреции для реальной
го шара материя отсутствует вплоть до некоторого
вращающейся черной дыры Керра было бы прак-
радиуса ri = R1. На этом радиусе R1 покоится пы-
тически невозможно ввиду ее сложности. Однако
левая сферическая оболочка с массой mdust, толщи-
можно сделать предположение, что образование но-
ной этой пылевой сферы ddust мы пренебрегаем (по
вой черно-белой дыры Керра при коллапсе вра-
сравнению с радиусом rq). Горизонты в начальный
щающейся звезды имеет похожий механизм. Важ-
момент отсутствуют (черной дыры нет). Материей
ным отличием от динамического решения Рейсне-
вне радиуса ri = R1 мы не интересуемся.
ра - Нордстрема является то, что в решении Керра
нет ограничений, рассмотренных в разд. 2, на ве-
В последующие моменты времени пылевая сфе-
личину электрического поля, а значит, на размеры
ра под действием гравитации начинает падать к цен-
и массу черно-белой дыры. Особенности возникаю-
тру (в сторону заряженного шара). В некоторый мо-
щей сложной топологии в черно-белой дыре Керра
мент пылевая сфера достигает своего гравитацион-
были рассмотрены, например, в работах [5,10,11].
ного радиуса r+h, см. (53), и в следующий момент
оказывается под горизонтом образовавшейся черной
Благодарности. Автор благодарен организато-
дыры Рейснера - Нордстрема.
рам и всем участникам семинаров по гравитации и
Когда пылевая сфера достигает радиуса точки
космологии им. А. Л. Зельманова в Государственном
поворота, то согласно (49) ее скорость V уменьшает-
астрономическом институте им. П. К. Штернбер-
ся до нуля, а затем пылевая сфера отскакивает. . . в
га Московского государственного университета им.
другую вселенную. Так происходит, потому что пы-
М. В. Ломоносова за вопросы, обсуждения и выска-
левая сфера уже находится во внутренней R-облас-
занные ценные замечания.
ти (под обоими горизонтами ЧД). Поэтому обратно
пылевая сфера вылететь уже не может, а решение
ЛИТЕРАТУРА
говорит о том, что ее радиус должен увеличиваться
после отскока. То есть единственной возможностью
1. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, т. 3,
остается вылет пылевой сферы в другую вселен-
Мир, Москва (1977).
ную. Это событие является моментом образования
2. D. A. Tretyakova, A. A. Shatskiy, I. D. Novikov, and
новой белой дыры и новой расширяющейся вселен-
S. Alexeyev, Phys. Rev. D 85, 124059 (2012).
ной. По-видимому, вселенная, в которую вылетает
3. А. А. Шацкий, А. Г. Дорошкевич, Д. И. Новиков,
пылевая сфера, появляется вместе с образованием
И. Д. Новиков, ЖЭТФ 137, 268 (2010) [A. A. Shat-
обоих горизонтов ЧД Рейснера - Нордстрема.
skiy, A. G. Doroshkevich, D. I. Novikov, and I. D. No-
Один из наиболее интересных выводов, которые
vikov, JETP 110, 235 (2010)].
можно сделать, состоит в том, что падающая пыле-
4. V. A. Berezin and V. I. Dokuchaev, arXiv:gr-qc/
вая сфера в рассмотренной модели так и не достига-
1404.2726, gr-qc/1404.2727.
ет заряженного шара радиусом rq. Это происходит
5. А. А. Шацкий, ЖЭТФ 157, 487 (2020) [A. A. Shat-
потому, что точка поворота для пылевой сферы rt
skiy, JETP 130, 409 (2020)].
находится вне заряженного шара. Поэтому вне заря-
6. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Теория поля, т. 2,
женного шара возникнет черно-белая дыра Рейсне-
Наука, Москва (1988).
ра - Нордстрема со всеми ее горизонтами и R-T -об-
ластями. По-видимому, внутри заряженного шара
7. R. C. Tolman, Proc. Nat. Acad. Sci. US 20, 169
радиусом rq ничего измениться не должно: электри-
(1934).
ческое поле и сингулярность отсутствуют даже по-
8. J. R. Oppenheimer, Phys. Rev. 56, 455 (1939).
сле образования снаружи шара ЧД Рейснера - Норд-
9. А. Шацкий, А. Ю. Андреев, ЖЭТФ 116, 353
стрема. При этом метрические коэффициенты в мо-
(1999).
дели должны оставаться везде такими, чтобы посто-
10. B. Carter, Phys. Lett. 21, 423 (1966).
янно и непрерывно сшивались две области — внутри
и вне заряженного шара.
11. B. Carter, Comm. Math. Phys. 10, 280 (1968).
891
