ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 5, стр. 978-996

ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ ГРИНА

НЕСТАЦИОНАРНОГО СУПЕРДИФФУЗИОННОГО ПЕРЕНОСА:

ПРОГУЛКИ ЛЕВИ И ПОЛЕТЫ ЛЕВИ

А. Б. Кукушкинa,b,c*, А. А. Куличенкоa**, А. В. Соколовd***

^a Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

123182, Москва, Россия

^b Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

115409, Москва, Россия

^c Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

141700, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^d Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук

127051, Москва, Россия

Поступила в редакцию 10 января 2021 г.,

после переработки 29 января 2021 г.

Принята к публикации 29 января 2021 г.

Получено аналитическое описание распространения фронта возмущения среды при нестационарном су-

пердиффузионном (нелокальном) переносе в случае конечной фиксированной скорости движения пере-

носчиков возмущения (так называемые «прогулки Леви с остановками»). Данная проблема охватывает

такие задачи, как перенос резонансного излучения в астрофизических газах и плазме, биологическую

миграцию, перенос энергии волнами в плазме. В этом подходе результат, полученный интегрированием

точного решения кинетического уравнения для функции Грина, не зависит от мерности координатного

пространства. Проведено сравнение с другим, более точным методом определения фронта и численными

расчетами статистики траекторий методом Монте-Карло. Сравнение показало применимость полученных

результатов в широком диапазоне параметров задачи. Предложено единое описание динамики фронта

возмущения среды при произвольной, включая бесконечную, фиксированной скорости переносчиков воз-

мущения. Это соответствует объединению формул для фронта при переносе полетами Леви и прогулка-

ми Леви. Обсуждаются критерии перехода между указанными режимами супердиффузионного переноса,

что, в частности, соответствует условию учета конечной скорости света в переносе резонансного излуче-

ния в газах и плазме. Для прогулок Леви найдена связь интегральных характеристик возмущения среды

и его переносчиков.

DOI: 10.31857/S0044451021050138

пердиффузионного переноса возмущения однород-

ной среды для конечной фиксированной скорости

переносчиков. Основной целью этой работы являет-

1. ВВЕДЕНИЕ

ся, во-первых, получение аналитического описания

Настоящая работа является развитием работ

динамики эффективного фронта возмущения сре-

[1-3], где были получены общее и приближенное ав-

ды в случае конечной фиксированной скорости дви-

томодельное решения для функции Грина широкого

жения переносчиков возмущения (так называемые

класса интегродифференциальных уравнений одно-

«прогулки Леви с остановками», см. [4-7] и рис. 1 в

мерного [1,3], двумерного и трехмерного [2] (по про-

[5]) и, во-вторых, объединение этих формул с ана-

странственным координатам) нестационарного су-

логичной формулой для полетов Леви, чему соот-

ветствует предел бесконечной скорости переносчи-

^* E-mail: kukushkin_ab@nrcki.ru

ков (эта формула в частных случаях и общем виде

^** E-mail: kulichenko_aa@nrcki.ru

в теории переноса резонансного излучения в модели

^*** E-mail: alexander.v.sokolov@gmail.com

978

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Законы подобия для функции Грина...

Бибермана - Холстейна [8-10] получена и проанали-

стиками возмущения среды. В разд. 5 дано описание

зирована в [11-18]).

моделирования прогулок Леви методом Монте-Кар-

Напомним, что в случае нормальной (или обык-

ло. В разд. 6 проведено сравнение результатов для

новенной) диффузии, определяемой как броунов-

числа стоящих и бегущих мигрантов для прогулок

ское движение, описываемое дифференциальным

Леви, приведены результаты моделирования траек-

уравнением фоккер-планковского типа, функция

торий мигрантов методом Монте-Карло. В разд. 7

Грина является гауссианом, чей аргумент определя-

представлена единая формула фронта возмущения

ет закон распространения фронта r_fr(t) ∼ (Dt)^β, где

среды для прогулок Леви и полетов Леви, проведе-

β = 1/2, D — коэффициент диффузии. Этот закон

но сравнение разных подходов к определению фрон-

нарушается в широком классе явлений, где длина

та возмущения среды, в том числе проведено срав-

свободного пробега (длина шага) дается медленно,

нение с более точным законом определения фронта

по степенному закону убывающей функцией распре-

и результатами моделирования траекторий методом

деления переносчиков по длине их свободного про-

Монте-Карло.

бега (ФРСП). Это приводит к расходимости коэф-

фициента диффузии, формально определяемого из

дисперсии ФРСП, и к показателю степени β > 1/2

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

в законе подобия r_fr(t) ∼ (Dt)^β, что и называется

Рассмотрим задачу супердиффузионного пере-

супердиффузионным переносом.

носа, который является либо переносом возмущения

Супердиффузионный перенос и связанная с ним

неподвижной однородной среды некими переносчи-

концепция полетов Леви, введенная Мандельбротом

ками, не принадлежащими среде (примером тако-

[19,20] (см. с. IX в [20] и, например, [21-23]), охваты-

го процесса является перенос возбуждения атомов

вает широкий круг явлений в физике и других дис-

или ионов путем испускания и поглощения резо-

циплинах. Модель «прогулок Леви с остановками»

нансных фотонов), либо эволюцией ансамбля объек-

актуальна для таких задач как перенос резонанс-

тов или субъектов, которые движутся (мигрируют)

ного излучения в астрофизических газах и плаз-

в однородном пространстве с одинаковой постоян-

ме [24-26], биологическая миграция (разд. 6 в [5]),

ной скоростью между точками остановки при задан-

перенос энергии волнами в плазме [27]. В отличие

ном среднем времени пребывания в этих точках. В

от задач стационарного нелокального переноса, где

этом случае уравнение для функции Грина плотно-

аналитические методы хорошо развиты, как, напри-

сти возмущения среды или плотности стоящих ми-

мер, в уже упомянутой теории переноса резонансно-

грантов, f(r, t), в точке r в момент времени t имеет

го излучения при полном перераспределении по час-

вид (вывод этого уравнения можно найти, напри-

тоте в акте поглощения и излучения фотона атомом

мер, в разд. 2 в [3]):

или ионом в газе или плазме [10, 12-14, 28-33], для

задач нестационарного нелокального переноса с уче-

(

)

∂f(r,t)

том конечной скорости света простых формул для

+ σ f(r,t)+

∂t

практически интересующих характеристик, прежде

∫

(

)

|r - r₁|

всего динамики фронта распространения возмуще-

dr₁ W (|r - r₁|)θ t -

ния среды от мгновенного точечного источника, по-

(

)

ка получено не было.

|r - r₁|

×f r₁,t-

+ δ(r)δ(t),

(2.1)

В разд. 2 представлены уравнения, описываю-

щие нелокальный (супердиффузионный) перенос в

где W (ρ) — вероятность поглощения переносчика

случае конечной фиксированной скорости движе-

возмущения средой (или вероятность остановки ми-

ния переносчиков возмущения («прогулки Леви с

гранта) на расстоянии ρ от точки его последне-

остановками»). В разд. 3 представлен универсаль-

го старта. Условие нормировки вероятности имеет

ный, не зависящий от мерности координатного про-

стандартный вид:

странства метод определения закона распростране-

ния фронта возмущения среды (или фронта плотно-

∫

∞

сти стоящих мигрантов) при переносе прогулками

W (ρ)S(ρ) dρ = 1.

(2.2)

Леви. Для фронта и других характеристик возму-

щения среды получены аналитические выражения.

В разд. 4 представлен вывод характеристик возму-

Здесь S(ρ)dρ есть элемент объема в пространстве

щения переносчиков, показана их связь с характери-

(ρ ≥ 0): в одномерном случае S(ρ) = 2, в двумер-

979

А. Б. Кукушкин, А. А. Куличенко, А. В. Соколов

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

ном — S(ρ) = 2πρ, в трехмерном — S(ρ) = 4πρ².

больших среднего времени нахождения переносчи-

При этом функция

ка в точке остановки, t ≫ τ. Отметим, что этот же

результат можно получить путем прямого интегри-

W_step(ρ) ≡ W(ρ)S(ρ)

(2.3)

рования функции Грина.

есть ФРСП переносчиков возмущения среды или

бегущих мигрантов; τ — среднее время нахожде-

3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

ния мигранта в точке остановки или среднее вре-

ДИНАМИКИ ФРОНТА ВОЗМУЩЕНИЯ

мя жизни элементарного возмущения среды (напри-

СРЕДЫ В СЛУЧАЕ ПРОГУЛОК ЛЕВИ

мер, среднее время между поглощением и после-

Определим эффективный фронт распростране-

дующим испусканием резонансного фотона атомом

ния возмущения в среде (или эффективный фронт

или ионом); c — постоянная скорость движения пе-

для плотности стоящих мигрантов) от точечного

реносчиков (или бегущих мигрантов) между точка-

мгновенного источника в следующем виде:

ми остановки; σ — среднее обратное время исчезно-

вения («тушения») переносчиков (для переноса ре-

√

M_rest(t)

зонансного излучения это относится к нерадиаци-

rrest(t) =

(3.1)

N_rest(t)

онному девозбуждению среды); θ(x) — ступенчатая

функция Хевисайда; δ(x) — дельта-функция Дира-

Здесь

∫

ка. В трехмерном случае, когда переносчиками воз-

мущения среды (а именно, возбуждения атомов или

N_rest(t) = f_rest(r, t)dr

ионов) являются резонансные фотоны в среде, W и

является полным количеством возбужденных час-

W_step имеют вид (ср., например, разд. 1 в [13])

тиц в среде в задаче переноса возбуждения одно-

dT (ρ)

родной среды или полным количеством стоящих ми-

W (ρ) = -

≡

W_step(ρ),

4πρ²

dρ

4πρ²

грантов в задаче миграции в однородной среде. От-

∫

(2.4)

метим, что N_rest(0) = 1 (это следует из определения

T (ρ) = dω e_ω exp(-κ_ωρ),

источника в исходном уравнении для функции Гри-

на (2.1)), поэтому N_rest(t) является долей возбуж-

где e_ω — спектральное распределение вероятности

денных частиц среды в полном числе частиц или

испускания фотона с частотой ω; κ_ω — коэффици-

долей стоящих мигрантов в полном числе мигран-

ент поглощения средой фотона с частотой ω (т. е.

тов;

∫

обратная длина свободного пробега такого фотона).

M_rest(t) = r²f_rest(r, t)dr,

Для реализации супердиффузионного переноса

ФРСП должна быть медленно спадающей функци-

— второй момент функции Грина.

ей расстояния ρ, т.е. степенной:

Далее будем работать в безразмерных перемен-

γκ₀

ных: длину будем измерять в единицах 1/κ₀, вре-

W_step(ρ) =

(1 + κ₀ρ)γ+1

мя — в единицах τ, и будем искать выражение для

(2.5)

0 < γ < 2,

фронта при временах, много больших характерного

времени нахождения переносчика в точке останов-

где 1/κ₀ является характерной длиной, что в случае

ки, t ≫ 1 (в безразмерных переменных) (для всех

переноса возбуждения резонансными фотонами со-

нетривиальных задач переноса, с множественными

ответствует значению коэффициента поглощения в

актами поглощения и переизлучения переносчиков,

центре спектральной линии κ₀. Для такого модель-

интересны именно такие времена).

ного вида ФРСП ранее было получено выражение

В случае однородного трехмерного (3d) коорди-

для функции Грина плотности возмущения среды

натного пространства рассчитаем M_rest(t):

(или плотности стоящих мигрантов) f(r, t): в слу-

∫

чае переноса, одномерного по пространственной ко-

ординате — в [3], а для двумерного и трехмерного —

M_rest(t) = 4π

f_rest(r, t)r⁴ dr.

(3.2)

в [2]. Также в [2] (формула (3.12)) было получено

аналитическое выражение для полного (т. е. инте-

С учетом выражения для функции Грина плотности

грального по пространству) количества возбужден-

возмущения среды (плотности стоящих мигрантов)

ных частиц (или стоящих мигрантов) в среде N(t) —

f_rest(r, t), (2.20) в [2], получим

без «тушения» переносчиков — при временах, много

980

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Законы подобия для функции Грина...

∫

— отношение среднего времени жизни возбужденно-

M_rest(t) =

dp p dr r³ sin(pr) ×

го состояния частиц среды к среднему времени сво-

2π²i

-∞

бодного пролета переносчика (фотона) (или отноше-

∫

{

ние средних времен нахождения мигранта в состоя-

e^st ds s + 1 + στ -

ниях покоя и движения). Интеграл по переменной r

можно представить в виде

+0-i∞

+^∞

(

)}-1

sin(pu)

∫

−γ

exp

(3.3)

(1 + u)γ+1 pu

R_c

dr r³ sin(pr) = πδ^′′′(p).

(3.5)

где введен безразмерный параметр

R_c = cτκ₀

(3.4)

С учетом (3.5) уравнение (3.3) примет вид

{

}-2

∫

du₁ u²¹e-su1/R

du e-su/Rc

M_rest(t) =

ds e^stγ

s+1+στ -γ

(3.6)

2πi

(1 + u₁)γ+1

(1 + u)γ+1

+0-i∞

Формула (3.6) не зависит от мерности координатного пространства и справедлива для случаев одномерного,

двумерного и трехмерного переноса. Нетрудно видеть, что данное выражение представляет собой обратное

преобразование Лапласа от функции

{

}-2

+∞

∫

du₁ u²¹e-su1/Rc

du e-su/Rc

M_rest(s) = γ

s+1+στ -γ

(3.7)

(1 + u₁)γ+1

(1 + u)γ+1

т. е. M_rest(t) ≓

M_rest(s). Отметим, что интеграл в числителе сходится, так как Re(s) > 0. Внутренние инте-

гралы в (3.7) можно рассчитать:

⎧

(

)_γ

(

)

⎪

∫

⎨es/Rc

-γ,

γ = 1,

du e^-su/R

R_c

(

)

(1 + u)γ+1

⁼⎪⎪

⎩1-es/Rc

γ = 1,

R_c

∫

du₁ u²¹e-su1/Rc

(1 + u₁)γ+1

(3.8)

⎧

{

(

)_γ

(

)

(

)

(

)}

⎪

2R_c

⁽R_c)²

⎪

es/Rc

-γ,

1-γ,

2-γ,

γ = 1,

⎨

R_c

(

)[

(

)

(

)]

⁼⎪⎪

⎪

R_c

⎩ 1+

+es/Rc

Chi

- Shi

γ = 1,

R_c

∫

где

sh(x)

Shi(z) =

∫∞

Γ(α, z) = xα-1e^-x dx

— интегральные гиперболические косинус и синус

соответственно, γ_e = 0.577216 . . . — постоянная Эй-

— неполная гамма-функция,

лера, ch(x) и sh(x) — гиперболические косинус и си-

нус соответственно.

∫z

Условию t ≫ 1 соответствует s ≪ 1, поэтому

ch(x) - 1

Chi(z) = γ_e + ln(z) +

dx,

будем использовать соответствующее разложение

981

А. Б. Кукушкин, А. А. Куличенко, А. В. Соколов

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

неполной гамма-функции. Далее будем всегда рас-

мов и фотонов), т. е. σ = 0. После преобразования

сматривать случай сохранения полного числа ми-

(3.7) с учетом (3.8) получаем

грантов (или суммы количества возбужденных ато-

⎧

⎪

1-γ

⁽R_c)2+γ

⎪-

0 < γ < 1,

⎪

Γ(-γ) s

⎪

⎨

⁽R_c)³

M_rest(s) =

γ = 1,

(3.9)

⎪ln2 (Rc/s) s

⎪

2-γ

⎪γ(γ - 1)2Γ(2 - γ) Rc

⎩

1 < γ < 2.

(1/R_c

+ γ - 1)²

s4-γ

Обратное преобразование Лапласа дает следующий результат:

⎧

1 - γ sin(πγ)

⎪

R_c(tR_c)1+γ,

0 < γ < 1,

⎪1+γ π

⎨

R_ct²

M_rest(t) =

γ = 1,

(3.10)

⎪2[1 + ln(tRc)/Rc]2

⎪

(γ - 1)²

(tR_c)3-γ

⎩ γ

1 < γ < 2.

(2 - γ)(3 - γ) R_c(1/R_c

+ γ - 1)²

Для полного количества возбужденных частиц в среде (или стоящих мигрантов) используем формулу

(3.12) из [2] и дополним ее формулой для γ = 1, что дает

⎧

⎪

sin(πγ) R_c

⎪

0 < γ < 1,

⎪

π t1-γ

⎨

N_rest(t) =

γ = 1,

(3.11)

⎪

1 + ln(tR_c)/R_c

⎪

(

)

⎪

γ-1

⎩

1 < γ < 2.

1/R_c + γ - 1

1/R_c + γ - 1 R_c

^γtγ-1

С учетом (3.10) и (3.11) закон движения фронта (3.1) при t ≫ 1 принимает следующий вид:

⎧

⎪

^√1-γ

⎪tRc

0 < γ < 1,

⎪

1+γ

⎪

⎨

tR_c

√

γ = 1,

r_rest(t) =

(

)^,

(3.12)

⎪

R_c + ln(tR_c)

⎪

[

]1/2

⎪

γ(γ - 1)

⎩(tR_c)(3-γ)/2

1 < γ < 2.

(2 - γ)(3 - γ) 1 + R_c(γ - 1)

Однако в окрестности точки γ = 1 формулу (3.12) необходимо интерполировать, поскольку формулы при

γ < 1 и γ > 1 при приближении к γ = 1, в соответствии с условиями их получения, неприменимы:

r_rest(t, R_c, γ) =

⎧

⎪

^√1-γ

⎪

tR_c

0 < γ ≤ 1 - ϵ(L)rest(t,R_c),

⎪

1+γ

⎪

⎨

tR_c

√

1-ϵ(L)rest(t, R_c) < γ ≤ 1+ϵ(U)rest(t, R_c),

(

)^,

(3.13)

⁼⎪⎪

R_c+ln(tR_c)

⎪

[

]1/2

⎪

γ(γ - 1)

⎩ (tR_c)(3-γ)/2

1 + ϵ(U)rest(t,R_c) < γ < 2,

(2 - γ)(3 - γ) 1 + R_c(γ - 1)

982

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Законы подобия для функции Грина...

где

∫

dϕ(n)(n, ∇) = dϕ cos(ϕ)

ϵ(L)rest(t, R_c) =

(3.14)

R_c + ln(tR_c) + 0.5

(здесь индекс «L» происходит от англ. lower, что

и введем усреднение по углам:

означает область γ < 1). Граница области вблизи

γ = 1 задается из условия непрерывности при сшив-

∫

ке значения функции (3.13) γ = 1 с функцией при

I_ω(r, t) =

dϕ(n^′)I_ω (r, n^′, t).

2π

γ < 1. Аналогичная попытка «сшивки» при γ > 1

дает функцию ϵ(U)rest(t, R_c) (индекс «U» происходит

Тогда

от англ. upper, что означает область γ > 1) (индекс

«rest» в записи опустим):

ℏω

Iω(r, t)

e_ωf_rest(r, t) - κ_ω ¯ω (r, t).

(4.2)

∂t

[

]1/2

ϵ_U (1 + ϵ_U )

Решение указанного уравнения с начальным усло-

(1 - ϵ_U )(2 - ϵ_U ) 1 + R_cϵ_U

вием

Iω(r, t = 0) = 0 имеет вид

(tR_c)

ϵU /2

√

(3.15)

(

)^.

ℏω

R_c + ln(tR_c)

I_ω(r, t) =

ce_ω ×

∫

Однако решения этого уравнения, допускающие

(

)

непрерывность перехода во всей области парамет-

× dt^′ exp

- c(t - t^′)κ_ω

f_rest(r, t^′).

(4.3)

ров, отсутствуют: при малых R_c непрерывная сшив-

ка невозможна. Но все же при больших значениях

Введем следующее определение для плотности

R_c уравнение (3.15) удается решить с использовани-

переносчиков:

ем теории возмущений. При этом получаем, что

∫

Iω (r, t)

ϵ(U)rest(t, R_c) ≈ ϵ(L)rest(t, R_c) ≈ ϵ(t, R_c),

f_mov(r, t) =

dω

(4.4)

ℏω

где

Тогда с учетом того, что

ϵ(t, R_c) =

(3.16)

∫

R_c + ln(tR_c)

ρ),

T (ρ) = dω e_ω exp(-κ_ω

Анализ точности (3.13) проведен ниже, в разд. 7.

из (4.3) и (4.4) имеем

4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

ДИНАМИКИ ФРОНТА РАСПРОСТРАНЕНИЯ

∫

ПЕРЕНОСЧИКОВ В СЛУЧАЕ ПРОГУЛОК

(

)

f_mov(r, t) =

dt^′ f_rest(r, t^′)T

c(t - t^′)

(4.5)

ЛЕВИ

Рассмотрим систему уравнений (2.4) в [2], опи-

Уравнение (4.5), полученное путем решения зада-

сывающую перенос в двумерном (2d) случае, и ре-

чи о переносе возбуждения среды фотонами в спек-

шим ее относительно интенсивности переносчиков

тральной линии атомов или ионов, описывает также

I_ω(r, n, t) при заданной плотности возмущения сре-

и связь плотностей стоящих и бегущих мигрантов.

ды f(r, t):

(

)

∫

В случае модельного вида ядра (2.4), которому

∂f_rest(r, t)

κ_ω

+σ f_rest(r, t)+ dω

соответствует ФРСП (2.5), после перехода к безраз-

∂t

ℏω

мерным переменным (длина — в единицах 1/κ₀, вре-

∫2π

мя — в единицах τ) с учетом (3.4) получим

× dϕ(n)I_ω (r, n, t) + δ(r)δ(t),

(4.1)

∫t

dt^′ f_rest(r, t^′)

f_mov(r, t) =

(

)_γ .

(4.6)

1 ∂I_ω(r,n,t)

+ (n, ∇)I_ω (r, n, t) =

1 + R_c(t - t^′)

∂t

ℏω

e_ωf_rest(r, t) - κ_ωI_ω(r, n, t).

Отсюда можно легко получить связь интегральных

2π

характеристик возмущения среды и его переносчи-

Проинтегрируем по углам второе уравнение с уче-

ков (или, соответственно, стоящих и бегущих ми-

том соотношения

грантов):

983

А. Б. Кукушкин, А. А. Куличенко, А. В. Соколов

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

∫t

dt^′ N_rest(t^′)

Основной вклад в интегралы (4.6), (4.7) дает об-

N_mov(t) =

(

)_γ ,

ласть моментов времени t^′ вблизи t. При t ≫ 1 выра-

1 + R_c(t - t^′)

жения (4.7) можно рассчитать в явном виде. Коли-

(4.7)

∫t

чество переносчиков (бегущих мигрантов) при этом

dt^′ M_rest(t^′)

M_mov(t) =

(

)_γ .

описывается законом

1 + R_c(t - t^′)

⎧

⎪

sin(πγ) R_c

⎪1-

0 < γ < 1,

⎪

π t1-γ

⎨

N_mov(t) =

γ = 1,

(4.8)

⎪

1 + ln(tR_c)/R_c

⎪

(

)

⎪

γ-1

⎩1-

1 < γ < 2.

1/R_c + γ - 1

1/R_c + γ - 1 R_c

^γtγ-1

Напомним, что N_rest(0) = 1 (это следует из определения источника в исходном уравнении для функции

Грина (2.1)), отсюда N_mov(t), как и N_rest(t), см. (3.1), является отношением числа переносчиков к началь-

ному числу возбужденных частиц среды или долей бегущих мигрантов в полном числе мигрантов N_rest(0).

Второй момент функции Грина записывается как

⎧

⎪γ(1 - γ)

⎪

(R_ct)²,

0 < γ < 1,

⎪

⎨t2

ln(tR_c) - 3/2

(

)₂ ,

γ = 1,

M_mov(t) =

(4.9)

⎪

1 + ln(tR_c)/R_c

⎪

γ(γ - 1)

(R_ct)3-γ

⎪

(

)₂ ,

1 < γ < 2.

^⎩ (2 - γ)(3 - γ)

1 + R_c(γ - 1)

Согласно определению закона фронта для возмущения среды (стоящих мигрантов) (3.1) уместно ввести

аналогичное определение для переносчиков (бегущих мигрантов):

√

M_mov(t)

rmov(t) =

N_mov(t)

∫

(4.10)

M_mov(t) = r²f_mov(r, t)dr,

∫

N_mov(t) = f_mov(r, t)dr.

Тогда для безразмерного времени t ≫ 1 получим аналитическое выражение для фронта (4.10):

⎧

√

⎪tRc

γ(1 - γ)/2,

0 < γ < 1,

⎪

⎨

tR_c

√

γ = 1,

rmov(t) =

(4.11)

⎪

2 (R_c + ln(tR_c))

⎪

[

]1/2

⎪

γ(γ - 1)

⎩(tRc)(3-γ)/2

1 < γ < 2.

(2 - γ)(3 - γ) 1 + R_c(γ - 1)

Данную формулу так же, как и (3.12), необходимо интерполировать в окрестности точки γ = 1:

rmov(t ≥ tmin) =

⎧

√

⎪tRc

γ(1 - γ)/2,

0<γ ≤1-ϵ^m

ov(t, Rc),

⎪

⎨

tR_c

√

1-ϵ^m

ov(t, Rc) < γ ≤ 1 + ϵ^m

ov(t, Rc),

(4.12)

2 (R_c + ln(tR_c))

⁼⎪⎪

⎪

[

]1/2

⎪

γ(γ - 1)

^⎩(tR_c)(3-γ)/2

1+ϵ^m

ov(t, Rc) < γ < 2,

(2 - γ)(3 - γ) 1 + R_c(γ - 1)

984

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Законы подобия для функции Грина...

где ln(t_minR_c) = 4-R_c. Здесь верхние индексы («L»

и «U») имеют тот же смысл, что и в (3.13),

(

√

)

ϵ(L)mov(t, R_c) =

(4.13)

R_c + ln(tR_c)

а ϵ^m

ov(t, Rc)

= ϵ(U)rest(t, R_c) и задается уравнением

(3.15), как и в случае стоящих переносчиков. Непре-

рывная сшивка в этой области оказывается, как

можно было ожидать, такой же, как и для стоящих

мигрантов: она возможна только при больших R_c.

В этом случае имеем t_min → 0, что дает

ϵ(U)mov(t, R_c) ≈ ϵ(L)mov(t, R_c) ≈ ϵ(t, R_c),

Рис. 1. Типичные траектории мигрантов (красная и черная

кривые), стоявших в начале координат в нулевой момент

где ϵ(t, R_c) определено в (3.16) и является универ-

времени, для γ = 1, κ0 = 1, τ = 1, c = 10 за период вре-

сальной величиной для фронта возмущения среды

мени 1000 в зависимости от безразмерных координат (т. е.

и фронта переносчиков.

умноженных на κ0). Моменты остановки показаны точка-

Результаты сравнения аналитического описания

ми. Крупно показан фрагмент, соответствующий синему

динамических характеристик с результатами чис-

пунктирному прямоугольнику

ленных расчетов, полученных путем интегрирова-

ния (3.1) общего решения кинетического уравнения

(2.1) и путем моделирования траекторий методом

W_step(ρ) в (2.5). В точке остановки мигрант нахо-

Монте-Карло, представлены ниже, в разд. 6.

дится время t, определяемое распределением (5.1),

и далее снова движется равновероятно по всем на-

правлениям, уходя на расстояние, которое определя-

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОГУЛОК ЛЕВИ

ется распределением W_step(ρ) в (2.5). Такой процесс

МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

повторяется снова и снова.

Уравнению (2.1) соответствует следующий тип

На рис. 1 приведены в качестве примера в дву-

траекторий мигрантов. В заданной точке (возьмем

мерном пространстве (x, y) две искусственные тра-

ее за начало координат) один мигрант находится

ектории указанного типа, полученные для γ = 1,

(стоит) в течение времени t. Время стоянки мигран-

κ₀ = 1, τ = 1, c = 10 (что соответствует в безраз-

та (которое в литературе называют «временем ожи-

мерных переменных случаю R_c = 10) с использова-

дания», «waiting time») является случайной величи-

нием датчика псевдослучайных чисел. Видна харак-

ной и описывается распределением U(t):

терная структура траекторий с длинными пробега-

(

)

ми (полетами Леви), которые соединяют участки с

U (t) =

exp

(преимущественно многократными) короткими про-

бегами, формирующими блуждание, близкое к бро-

∫

∞

(5.1)

уновскому (см. вставку на рис. 1).

U (t) dt = 1,

Другое представление типичных траекторий ми-

грантов приведено на рис. 2: зависимость безразмер-

√

где τ — среднее время нахождения в точке останов-

ного расстояния r =

x² + y² относительно начала

ки (в задаче переноса резонансного излучения этому

координат от времени t (для γ = 1, κ₀ = 1, τ = 1,

времени соответствует радиационное время жизни

c = 10). Приведенные семь траекторий иллюстри-

возбужденного атома или иона). В указанный мо-

руют факт существенно неравномерного заполнения

мент времени мигрант начинает двигаться с равной

пространства: в соответствии с описанным законом

вероятностью в любом направлении (т.е. однород-

поведения основная часть мигрантов не уходит да-

но по всем направлениям в координатном простран-

леко от начала координат.

стве) по прямой траектории с постоянной скоростью

Такое неравномерное заполнение пространства

c. Вдоль этой прямой мигрант проходит путь, длина

приводит к трудностям при использовании метода

которого является случайной величиной, определя-

Монте-Карло для оценки функции f(r, t) и ее мо-

емой распределением по длине свободного пробега

ментов: чтобы удовлетворительно заполнить про-

985

А. Б. Кукушкин, А. А. Куличенко, А. В. Соколов

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

∑∑(

)₂

Q(F, f, Ω, α) =

F_i,j - F(r_i, t_j)

|Ω|

j∈T i∈R

[

∫

⁽d²f)2

dt^′

dr^′ α²

dr²

)₂

⁽d²f

⁽d²f)2]

+α₁α₂

+α²

→ min,

(5.4)

drdt

dt²

F,f

где первое слагаемое представляет собой меру бли-

зости решения к набору данных Ω, а второе — регу-

Рис. 2. Типичные траектории мигрантов, стоявших в на-

ляризующая добавка, или мера кривизны функции

чале координат в нулевой момент времени, зависимость

f (r, t), или мера сложности рассматриваемой мате-

безразмерного расстояния r относительно начала коорди-

матической модели (5.1). Мы не приводим техни-

нат от времени t для γ = 1, κ0 = 1, τ = 1, c = 10

ческие подробности поиска решения (5.2)-(5.4), так

как подробное описание используемой для этого тех-

нологии сбалансированной идентификации можно

найти в [34, 35].

странство r ×t мигрантами требуется сгенерировать

массив данных, содержащий от 10 до 500 тысяч тра-

екторий. Но даже в этом случае для удовлетвори-

6. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ ЧИСЛА

тельного заполнения пространства задачи, при ко-

СТОЯЩИХ И БЕГУЩИХ МИГРАНТОВ ДЛЯ

тором можно найти искомую функцию Грина и ее

ПРОГУЛОК ЛЕВИ

моменты, во избежание значительного роста време-

ни численного моделирования требуется использо-

На рис. 3-5 представлено сравнение полного ко-

вать процедуру оптимизации. Здесь мы используем

личества стоящих мигрантов N в (3.1) (возбужден-

метод, которой разработан в [34, 35]. Опишем полу-

ных частиц среды) для γ = 0.5 (рис. 3), γ = 1 (рис. 4)

чение оценки функции f(r, t) (и ее моментов, вхо-

и γ = 1.5 (рис. 5).

дящих в (3.1)) для мигрантов, находящихся в по-

кое (оценка для движущихся получается аналогич-

7. ЕДИНАЯ ФОРМУЛА ФРОНТА

но). Для этого рассмотрим функцию распределения,

ВОЗМУЩЕНИЯ СРЕДЫ ДЛЯ ПРОГУЛОК

связанную с функцией f(r, t) соотношением

ЛЕВИ И ПОЛЕТОВ ЛЕВИ. СРАВНЕНИЕ

РАЗНЫХ ПОДХОДОВ

∫r

F (r, t) = 2π f(r^′, t)r^′ dr^′.

(5.2)

Определение фронта возмущения среды (3.1) от-

личается от ранее рассмотренных нами в [15-17] и

[1, 2, 18]. Так, в работах [15-17] для случая полетов

Леви (Lévy flight), чему соответствует условие R_c =

Преобразуем сгенерированный массив траекторий в

= ∞, дефиниция фронта r_f (t) (здесь индекс «f»

набор данных, содержащий значения функции рас-

происходит от англ. flight) имела следующий вид (в

пределения:

размерных единицах):

(

)

{

(

)

}

= 1,

(7.1)

Ω: F_i,j,r_i,t_j

i∈R_j,

rf (t)

R=1...r^max, j ∈1...t^max,

(5.3)

где T (ρ) определено в (2.4). Решение этого уравне-

ния для модельного ядра (2.5) имеет вид [15] (в без-

где F_i,j — количество частиц, находящихся в покое в

размерных координатах и времени)

момент времени t_j и отстоящих от начала координат

rf (t, γ) = (t + 1)1/γ - 1 ≈ t1/γ .

(7.2)

(точки старта) не более, чем на r_i: r ≤ r_i.

Массовые численные расчеты точного решения

Задача состоит в поиске функций F (r, t) и f(r, t),

(2.1) в одномерном случае с приближенным автомо-

соответствующих набору данных Ω. Очевидно, что

дельным решением [15] при условиях

такая задача является некорректной. Для ее регу-

ляризации рассмотрим критерий

t≫τ, κ₀r≫1

(7.3)

986

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Законы подобия для функции Грина...

Рис. 3. Зависимости полного числа стоящих мигрантов Nrest в (3.1) от безразмерного времени: аналитический расчет

(3.11) (синие штриховые кривые); расчет методом Монте-Карло (оранжевые (2d) и зеленая штрихпунктирная (3d) кри-

вые); расчет для точной функции Грина (4) в [1] (зеленые треугольники (1d), красные круги (2d)). Зависимости полного

числа бегущих мигрантов Nmov в (4.10) от времени: аналитический расчет (4.8) (коричневые штриховые кривые); расчет

методом Монте-Карло (сиреневые (2d) и темно-синяя штрихпунктирная (3d) кривые). Сумма аналитических результатов

для числа стоящих и бегущих мигрантов (черные пунктирные кривые). Сравнение представлено для γ = 0.5 и значений

параметра Rc = 0.1 (а), 1 (б), 10 (в), 100 (г)

(

)

показали в [17] высокую точность этого автомодель-

f_exact(0, t) =

rf (t)

(7.4)

ного решения в широком диапазоне значений r, t и γ.

В работе [18] для улучшения точности автомодель-

где f_exact(r, t) -- точное решение уравнения (2.1).

ных решений было предложено другое определение

Для случая учета конечной скорости (прогулки

фронта. Это оказалось необходимым в том случае,

Леви) в [1] предложено обобщение дефиниции фрон-

когда ядро W в (2.1) имеет более сложный вид, а

та (7.4) с учетом эффекта запаздывания вследствие

именно, является сверткой степенных ядер с разны-

конечной скорости переносчиков, имеющее вид (в

ми показателями степени γ. Конкретно, в [18] это

безразмерных единицах)

касалось задачи переноса резонансного излучения в

(

)

(

)

r_w

случае фойгтовского контура спектральной линии,

W (r_w )θ t -

= f_exact(0, t, R_c),

(7.5)

R_c

который является сверткой доплеровского (γ ≈ 1)

и лоренцевского (γ = 0.5) контуров линии. Более

где r_w(t, R_c, γ) обозначает фронт плотности возбуж-

точная версия формулы фронта для полетов Леви

дения среды (или плотности стоящих мигрантов)

имеет вид [18]

для прогулок Леви (индекс «w» происходит от англ.

987

А. Б. Кукушкин, А. А. Куличенко, А. В. Соколов

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Рис. 4. То же, что на рис. 3, но для γ = 1

walks [4, 5]). Нахождение фронта (7.5) необходимо

строения единого скейлинга в широком диапазоне

для построения приближенного автомодельного ре-

параметров вполне приемлемо.

шения, точность которого для модельного ядра при

Для 0 < γ < 1 можно показать, что выражения

разных значениях параметра γ проанализирована в

(7.2) и (3.13) являются пределами более общей фор-

одномерном (1d) случае в [1], а в 2d- и 3d-случаях —

мулы, интерполирующей случаи предельно больших

в [2].

и умеренно больших значений времени. Этим двум

пределам соответствуют предельные значения отно-

Выше получено аналитическое выражение для

сительного числа возмущений среды (т. е. возбуж-

r_rest(t, R_c, γ) (3.13) для фронта возмущения среды

денных атомов или ионов, или стоящих мигрантов)

от точечного мгновенного источника при условии

во всем объеме от точечного мгновенного источни-

t ≫ τ (в размерных единицах). Напомним, что для

ка (здесь относительность означает, например, до-

< γ < 1 и 1 < γ < 2 функция (3.12) имеет

лю возбужденных атомов по отношению к их числу

разные аналитические представления, причем в них

в начальный момент). Эта интегральная по объему

при γ = 1 имеется особенность, которую мы удали-

характеристика описывается формулой (3.11) (см.

ли в (3.13) путем интерполяции. Предварительное

также (3.12) в [2]):

сравнение (3.13) со значениями фронта, рассчитан-

∫

ными в [1,2], показало, что различие имеется, но оно

N (t, R_c,γ) ≡ f(r,t)dr ∼

≤ 1.

(7.6)

заведомо в пределах порядка величины, что для по-

t1-γ

988

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Законы подобия для функции Грина...

Рис. 5. То же, что на рис. 3, 4, но для γ = 1.5

Сначала, при N ∼ 1, имеем перенос в режиме по-

печивающей должные пределы (7.2) и (3.13). Одна-

летов Леви (например, в виде (7.2)), а при N ≪ 1

ко для интересующего нас построения формулы с

и накоплении эффекта запаздывания имеем вы-

точностью до порядка величины и проверки этой

ход на режим прогулок Леви (например, в виде

точности путем сравнения с точными численными

(3.13)). Простейшая интерполяция имеет вид (с точ-

расчетами по формулам (3.1) и (7.5) вполне можно

ностью до коэффициентов порядка единицы, зави-

ограничиться (7.7) или близкой формулой.

сящих от γ)

Можно ожидать, что при 1 < γ < 2 форму-

1/γ

ла, аналогичная (7.7), будет применима, поскольку

rrestf+w(t, R_c, γ) ∼

0 < γ < 1.

(7.7)

1+ ∼ 1/N1/γ

в этом диапазоне и N ∼ 1 (если только R_c не очень

мало, но мы исключаем этот случай из нашего рас-

Например, при γ = 2/3 имеем следующую формулу,

смотрения по причине неприменимости концепции

обеспечивающую выход на оба известных предела:

«потери памяти» и, соответственно, самого феноме-

3/2

на полетов Леви при малом среднем времени ожи-

rrestf+w(t, R_c, 2/3) =

)3/2 √

(7.8)

дания при остановке). Легко видеть, что при 1 <

⁽ 2π

√

< γ < 2 в законах фронта (7.2) и (3.13) показатели

R_c

степени у параметра t численно весьма близки (для

Для лучшей аппроксимации результатов численных

γ = 3/2 разность показателей составляет величи-

расчетов можно оптимизировать вид функции, обес-

ну 1/12). Поэтому можно представить закон фронта

989

А. Б. Кукушкин, А. А. Куличенко, А. В. Соколов

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Рис. 6. Аналитический фронт (3.13) для прогулок Леви, полученный расчетом формулы (3.1) для общего аналитиче-

ского решения кинетического уравнения (2.1) (сиреневая штриховая кривая); расчет фронта (3.1) для прогулок Леви,

использующий результаты расчета статистики траекторий методом Монте-Карло (разд. 5) (темно-синяя (2d) и голубая

(3d) кривые); численный расчет фронта (3.1) для прогулок Леви, использующий численный расчет общего аналитическо-

го решения кинетического уравнения (2.1) (фиолетовые треугольники (1d), коричневые круги (2d) и розовые квадраты

(3d)); фронт (7.5) для прогулок Леви, использующий численный расчет общего аналитического решения кинетического

уравнения (2.1) (оранжевые треугольники (1d), зеленые круги (2d) и красные квадраты (3d)); фронт (7.5) для прогулок Ле-

ви, использующий результаты расчета статистики траекторий методом Монте-Карло (красные (2d) и светло-коричневая

штриховая (3d) кривые); фронт (7.2) для полетов Леви (черные пунктирные кривые); аналитическое представление (7.10)

обобщенного фронта (желтая кривая); баллистический фронт (розовые пунктирные кривые). Сравнение представлено

для γ = 0.5 и значений параметра Rc = 0.1 (а), 1 (б), 10 (в), 100 (г)

единой формулой:

дующую простую формулу:

rf (t, γ)

rrestf+w(t, R_c, γ) =

rf (t, γ)

√

(7.10)

rw(t, Rc, γ)

1/rw2(t, R_c, γ) + 1/rf2(t, γ)

r_f (t, γ)

0 < γ < 2,

(7.9)

0 ≤ γ ≤ 1.5,

B_N (R_c, γ)

N (t, R_c, γ)1/γ

где

rw (t, Rc, γ) ≡ rrest(t, Rc, γ),

где функция B_N (R_c, γ) соответствует известному

пределу (3.13) с учетом (3.11). Ниже мы примем сле-

задается формулой (3.13).

990

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Законы подобия для функции Грина...

Рис. 7. То же, что на рис. 6, но для γ = 1

Ниже представлено сравнение результатов раз-

5) фронт (7.5) для прогулок Леви, использующий

личных подходов к оценке фронта распространения

результаты расчета статистики траекторий методом

возбуждения среды (или фронта плотности стоящих

Монте-Карло;

мигрантов), включая

6) фронт (7.2) для полетов Леви (бесконечная

скорость переносчиков);

1) аналитический расчет фронта (3.13) для про-

гулок Леви, полученный расчетом формулы (3.1)

7) аналитическое представление (7.10) обобщен-

для общего аналитического решения кинетического

ного фронта;

уравнения (2.1);

8) баллистический фронт tR_c.

Сравнения представлены для γ = 0.5, 1, 1.5 и зна-

2) расчет фронта (3.1) для прогулок Леви, ис-

чений параметра R_c = 0.1, 1, 10, 100 (рис. 6-8). Для

пользующий результаты расчета статистики траек-

проверки интерполяции вблизи γ = 1 в формуле

торий методом Монте-Карло (разд. 5);

= 10 и

(3.13) также представлены сравнения для R_c

3) численный расчет фронта (3.1) для прогу-

γ = 0.9, 0.99, 1.01, 1.1 (рис. 9).

лок Леви, использующий численный расчет обще-

Хотя все сравниваемые результаты для фронта

го аналитического решения кинетического уравне-

на рис. 6 довольно близки в рамках того, что са-

ния (2.1);

ма дефиниция фронта является условной, имеющей

4) фронт (7.5) для прогулок Леви, использующий

смысл оценки (см. кривые для γ = 0.5 на рис. 1 в

численный расчет общего аналитического решения

[2] для R_c = 10), можно сделать вывод о том, что на

кинетического уравнения (2.1);

рис. 6г виден переход между двумя режимами пере-

991

А. Б. Кукушкин, А. А. Куличенко, А. В. Соколов

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Рис. 8. То же, что на рис. 6, 7, но для γ = 1.5

носа: полетами и прогулками Леви. При относитель-

ния, где довольно мало возбужденных атомов или

но малых временах (но при безразмерном времени

стоящих мигрантов (рис. 7г).

t ≫ 1) доминируют полеты Леви (черный пунктир),

На рис. 8 тенденция потери адекватности дефи-

а с увеличением времени доминирует режим прогу-

ниции фронта (3.1) с ростом γ и R_c усиливается: на

лок Леви и нужен учет эффекта запаздывания даже

рис. 8г можно видеть достаточно большое (∼ 100 %)

при весьма больших значениях параметра R_c: в мо-

различие результатов аналитического расчета (3.1)

мент перехода виден излом на кривой для динамики

и расчета с использованием численного моделиро-

фронта при его наиболее точном представлении, а

вания методом Монте-Карло. Хотя для задач нело-

именно, на красной кривой, рассчитанной по (7.5)

кального переноса это все еще вполне высокая точ-

с использованием расчетов методом Монте-Карло

ность, видна тенденция потери адекватности дефи-

значений точной функции Грина в начале коорди-

ниции фронта (3.1).

нат.

В связи с уже обсужденным на рис. 6 переходом

между двумя режимами переноса — полетами Леви

Рисунок 7 показывает, что с уменьшением нело-

и прогулками Леви — уместно получить его коли-

кальности (т. е. при переходе к большим значениям

чественное описание. Определим момент такого пе-

параметра γ по сравнению с рис. 6) и увеличени-

рехода как момент времени t^∗(R_c, γ), при котором

ем R_c дефиниция (3.1) при γ = 1 оказывается ме-

фронт r_w для прогулок Леви равен фронту r_f для

нее адекватной, поскольку второй момент оказыва-

полетов Леви:

ется достаточно сильно зависим от значений функ-

ции Грина при таких больших значениях расстоя-

rw(t^∗, Rc, γ) = rf (t^∗, γ).

(7.11)

992

А. Б. Кукушкин, А. А. Куличенко, А. В. Соколов

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

лишь при 0 < γ < 1 (см. рис. 6г), когда степень нело-

ционарного нелокального (так называемого супер-

кальности (супердиффузионности) процесса перено-

диффузионного, выходящего за рамки стандарт-

са особенно высока. При этом всегда имеем смену

ной, броуновской диффузии) переноса. Этот метод

режима переноса полетами Леви на режим перено-

уместно назвать методом интерполируемой автомо-

са прогулками Леви, поэтому для моментов време-

дельности. В основе метода лежит алгоритм полу-

ни t > t^∗ следует учитывать эффекты запаздывания

чения приближенного автомодельного решения для

при описании такого процесса.

функции Грина широкого класса интегродиффе-

Важно отметить, что область 0 < γ < 1 охва-

ренциальных уравнений нестационарного переноса,

тывает, в частности, перенос резонансного излуче-

охватывающего явления переноса с доминирующим

ния при лоренцевском контуре спектральных линий

вкладом переносчиков с большой длиной свободно-

атомов и ионов в газах и плазме. Отмеченная выше

го пробега: «полетов Леви» [20-23], включая зада-

необходимость учета запаздывания касается задач

чу нестационарного переноса резонансного излуче-

нестационарного переноса излучения при сильно ло-

ния в модели Бибермана - Холстейна [8-14, 28-33],

кализованном (во времени и в координатном про-

или, в случае учета конечной скорости переносчи-

странстве) источнике возбуждения. В случае сла-

ков, «прогулок Леви» [4-7], точнее, «прогулок Леви

бой локализации такого источника основной вклад

с остановками» (см. рис. 1 в обзоре [5]), что охваты-

в плотность возбужденных атомов будет вносит об-

вает такие задачи как перенос резонансного излуче-

ласть, не столь удаленная от наблюдаемой точки,

ния в астрофизических газах и плазме, биологиче-

и потому учет запаздывания, вызванного конечной

скую миграцию, перенос энергии волнами в плазме.

скоростью света, будет мал, что вполне оправдыва-

В основе метода лежит интерполяция законов авто-

ет пренебрежение этим эффектом во многих прак-

модельности для асимптотик далеко впереди и да-

тических задачах с слабой локализацией источника

леко позади эффективного фронта волны возмуще-

возбуждения атомов или ионов. Однако для задач

ния, требующая прямого решения задачи (числен-

с сильной локализацией, прежде всего во вспышеч-

ного расчета функции Грина) только в относитель-

ных явлениях в астрофизической плазме, получен-

но небольшой области переменных задачи (вблизи

ные нами результаты весьма актуальны.

фронта) (см. обсуждение вопроса об экономии рас-

Поскольку для задач переноса интересны боль-

четного времени в работе [17]).

шие безразмерные времена, для случая γ = 1 акту-

В развитие ранее полученных общих и при-

альна только часть кривой, уходящая резко вверх.

ближенных автомодельных решений для функции

Видно, что в этом случае переход от полетов к про-

Грина широкого класса интегродифференциальных

гулкам происходит при столь больших (экспоненци-

уравнений одномерного [1,3], двумерного и трехмер-

ально больших) значениях времени, что, с учетом

ного [2] (по пространственным координатам) неста-

сказанного выше о связи характерных времен и ха-

ционарного супердиффузионного переноса возму-

рактерных расстояний, вклад запаздывания актуа-

щения однородной среды для конечной фиксирован-

лен только при небольших значениях R_c.

ной скорости переносчиков в настоящей работе по-

С увеличением γ точность оценки фронта по

лучено простое аналитическое описание распростра-

(3.1), как было отмечено выше, уменьшается, но

нения фронта возмущения среды при нестационар-

тем не менее результат использования аналитичес-

ном супердиффузионном (нелокальном) переносе в

кой формулы фронта при 1 < γ < 2 для оценки

режиме «прогулок Леви с остановками». Для ис-

области актуальности прогулок Леви согласуется с

пользуемой нами дефиниции фронта (3.1) результат,

ожиданием того, что с ростом γ и R_c вклад эффекта

как показало интегрирование точного решения ки-

запаздывания из-за конечной фиксированной скоро-

нетического уравнения для функции Грина, не зави-

сти переносчиков возмущения среды или мигрантов

сит от мерности координатного пространства. Срав-

(и, соответственно, вклад переноса в режиме прогу-

нение результатов для фронта (3.1) с другим, более

лок Леви) уменьшается.

точным методом определения фронта из [1-3,18] и

проведенными в этой работе численными расчетами

статистики траекторий методом Монте-Карло пока-

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

зало применимость полученных аналитических вы-

ражений в широком диапазоне параметров задачи.

Представленные в работе результаты по ряду

Для прогулок Леви найдена связь интегральных ха-

аспектов завершают цикл работ [1-3, 15-18], наце-

рактеристик стоящих и бегущих мигрантов, позво-

ленных на создание нового метода в теории неста-

лившая получить простое аналитическое описание

994

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Законы подобия для функции Грина...

для фронта переносчиков или бегущих мигрантов в

В. Ю. Забурдаев, К. В. Чукбар, Письма в ЖЭТФ

дополнение к фронту возбуждения среды (возбуж-

77, 654 (2003).

денных атомов или ионов) или стоящих мигрантов.

Л. М. Биберман, ЖЭТФ 17, 416 (1947).

Достигнутый прогресс в описании фронта для

прогулок Леви позволил предложить единое опи-

T. Holstein, Phys. Rev. 72, 1212 (1947).

сание динамики фронта возмущения среды при

10.

Л. М. Биберман, В. С. Воробьев, И. Т. Якубов, Ки-

произвольной, включая бесконечную, фиксиро-

нетика неравновесной низкотемпературной плаз-

ванной скорости переносчиков. Это соответствует

мы, Наука, Москва (1982).

объединению формул для фронта при переносе

полетами Леви и прогулками Леви. Полученный

11.

Б. А. Векленко, ЖЭТФ 36, 204 (1959).

критерий перехода между указанными режима-

12.

V. I. Kogan, in Proc. 8th Int. Conf. on Phenomena in

ми супердиффузионного переноса для сильной

Ionized Gases ICPIG, IAEA, Vienna (1968), p. 583.

нелокальности функции распределения по длине

свободного пробега хорошо согласуется с резуль-

13.

В. А. Абрамов, В. И. Коган, В. С. Лисица, в сб.

Вопросы теории плазмы, под ред. М. А. Леонто-

татами численного расчета (см. рис.

6г). Этот

вича, Б. Б. Кадомцева, Энергоатомиздат, Москва

критерий, в частности, определяет область пара-

(1982), вып. 12, c. 114.

метров, в которой необходимо учитывать конечную

скорость света в переносе резонансного излучения

14.

В. И. Коган, Запирание излучения в плазме, Эн-

в газах и плазме в случае сильной нелокальности

циклопедия низкотемпературной плазмы, под ред.

(сюда относится нестационарный перенос в случае

В. Е. Фортова, Наука, Москва (2000), т. 1, c. 481.

лоренцевского контура спектральной линии атомов

15.

A. B. Kukushkin and P. A. Sdvizhenskii, J. Phys. A:

или ионов в газах и плазме).

Math. Theor. 49, 255002 (2016).

Благодарности.

Авторы

благодарны

16.

A. B. Kukushkin and P. A. Sdvizhenskii, J. Phys.:

К. В. Чукбару за обсуждение работ [6,7].

Conf. Ser. 941, 012050 (2017).

Финансирование. Работа выполнена при час-

17.

A. B. Kukushkin, V. S. Neverov, P. A. Sdvizhenskii,

тичной поддержке Российского фонда фундамен-

and V. V. Voloshinov, Int. J. Open Inform. Technol.

тальных исследований (гранты №№ 18-07-01269-а,

6, 38 (2018).

19-32-90281), а также в рамках программы повыше-

ния конкурентоспособности НИЯУ МИФИ.

18.

A. B. Kukushkin, V. S. Neverov, P. A. Sdvizhenskii,

and V. V. Voloshinov, Atoms 6, 43 (2018).

Работа выполнена с использованием оборудова-

ния центра коллективного пользования «Комплекс

19.

B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature,

моделирования и обработки данных исследователь-

Freeman, New York (1982).

ских установок мега-класса» НИЦ «Курчатовский

20.

M. Shlesinger, G. M. Zaslavsky, and U. Frisch, Lévy

институт», http://ckp.nrcki.ru/.

Flights and Related Topics in Physics, Springer, New

York (1995).

ЛИТЕРАТУРА

21.

A. A. Dubkov, B. Spagnolo, and V. V. Uchaikin, Int.

J. Bifurcation Chaos 18, 2649 (2008).

1. A. B. Kukushkin and A. A. Kulichenko, Phys. Scripta

94, 115009 (2019).

22.

J. Klafter and I. M. Sokolov, Phys. World 18, 29

(2005).

2. А. А. Куличенко, А. Б. Кукушкин ЖЭТФ 157,

1036 (2020).

23.

I. I. Eliazar and M. F. Shlesinger, Phys. Rep. 527,

101 (2013).

3. A. A. Kulichenko and A. B. Kukushkin, Int. Rev.

Atom. Mol. Phys. 8(1), 5 (2017).

24.

В. В. Иванов, Перенос излучения и спектры небес-

ных тел, Наука, Москва (1969).

4. M. F. Shlesinger, J. Klafter, and J. Wong, J. Stat.

Phys. 27, 499 (1982).

25.

И. Н. Минин, Теория переноса излучения в атмо-

5. V. Zaburdaev, S. Denisov, and J. Klafter, Rev. Mod.

сферах планет, Наука, Москва (1988).

Phys. 87, 483 (2015).

26.

Radiation Mechanisms of Astrophysical Objects:

6. В. Ю. Забурдаев, К. В. Чукбар, ЖЭТФ 121, 299

Classics Today (in honor of V. V. Sobolev), ed. by

(2002).

V. Grinin et al., St. Petersburg (2015).

995

10*