ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 1 (7), стр. 139-148

ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ И АНОМАЛЬНЫЙ

ЭФФЕКТ ХОЛЛА В СИЛЬНОКОРРЕЛИРОВАННЫХ

ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

В. Ю. Ирхин^*, Ю. Н. Скрябин^**

Институт физики металлов им. M. Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук

620108, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 29 декабря 2020 г.,

после переработки 29 января 2021 г.

Принята к публикации 29 января 2021 г.

Рассмотрены элементарные возбуждения, спин-жидкостное состояние и аномальный эффект Холла,

включая квантовый, в слоистых сильнокоррелированных системах. Проанализированы механизмы фор-

мирования топологического состояния, связанные с затравочными плоскими энергетическими зонами,

корреляциями и спин-орбитальным взаимодействием, в том числе возникновение коррелированных чер-

новских зон. Предлагается двухзонная картина спектра в металлических решетках кагоме, включающая

переход из ферромагнитного состояния, плоскую сильнокоррелированную зону и зону легких дираковских

электронов. При этом существенным оказывается эффект разделения спиновых и зарядовых степеней

свободы. Обсуждается применение представлений вспомогательных бозонов Котляра - Рукенштайна и

допонов Рибейро - Вена к этой проблеме.

DOI: 10.31857/S0044451021070154

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение

139

4. Обсуждение

146

2. Черновские состояния

141

Литература

146

3. Двухзонная модель для решетки каго-

ме

143

1. ВВЕДЕНИЕ

зам Черна. Такие состояния наблюдались в ряде

слоистых соединений переходных металлах с решет-

В последнее время активно исследуются ряд сло-

кой кагоме Fe₃Sn₂, Fe₃GeTe₂, Co₃Sn₂S₂, FeSn и др.

истых соединений с конкуренцией ферро- и анти-

(см. обсуждение в работах [3-8]). Недавно в струк-

ферромагнитных фаз, в том числе системы с фруст-

туре муара трехслойного графена было обнаруже-

рированными решетками (треугольными, сотовыми

но ферромагнитное состояние черновского изолято-

и кагоме), проявляющие аномальный квантовый эф-

ра с большим аномальным эффектом Холла [9]. В

фект Холла (quantum Hall effect, QHE). Например,

двухслойном графене наблюдается также аномаль-

этот эффект наблюдается [1] в антиферромагнит-

ный QHE [10].

ном топологическом изоляторе MnBi₂Te₄ с ферро-

В обсуждаемых системах можно ожидать фор-

магнитными треугольными слоями [2]. Особый ин-

мирование экзотических квантовых топологических

терес представляют системы с ферромагнитным ос-

состояний. Необычные возбуждения, возникающие

новным состоянием и плоскими зонами, где возни-

в двумерных сильнокоррелированных системах, мо-

кают состояния дираковских электронов, которые

гут подчиняться нестандартной статистике, в том

могут привести к топологическим изоляторным фа-

числе дробной. История их изучения берет нача-

^* E-mail: valentin.irkhin@imp.uran.ru

ло с дробного QHE [11], означающего топологичес-

^** E-mail: skryabin@imp.uran.ru

кое состоянием вещества. При этом низкоэнергети-

139

В. Ю. Ирхин, Ю. Н. Скрябин

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

ческая физика описывается калибровочной теорией

изолятор. Эта система описывается двойной моде-

Черна - Саймонса.

лью Халдейна [16] с противоположными знаками

Топологические холловские фазы также могут

холловской проводимости для спинов вверх и вниз.

возникать в решеточных системах в отсутствие

В приложенном электрическом поле спины вверх и

внешнего магнитного поля (аномальный эффект

вниз дают токи Холла, которые текут в противопо-

Холла). Для реализации таких фаз на решетке необ-

ложных направлениях. Таким образом, полная хол-

ходим ряд условий. Во-первых, это наличие плос-

ловская проводимость равна нулю, но имеются спи-

кой (почти бездисперсионной) затравочной энерге-

новый ток и квантованная спиновая холловская про-

тической зоны с нетривиальной топологией (нену-

водимость. При учете комплексных амплитуд пере-

левым числом Черна, определяющим число краевых

скока между следующими за ближайшими соседями

возбуждений), что позволяет реализоваться физике,

в дираковских точках открывается щель и T -сим-

подобной картине уровней Ландау. Вторым важным

метрия нарушается, что приводит к двум зонам с

условием является сильное межэлектронное взаи-

черновскими числами C = ±1 и к целочисленному

модействие, нарушающее картину ферми-жидкости.

QHE в случае половинного заполнения. Для плос-

Сильные корреляции особенно важны для дробно-

ких зон при определенных их заполнениях возника-

го эффекта Холла, когда уровни Ландау обладают

ет топологическое состояние квантовой несжимае-

большим вырождением.

мой жидкости — дробный QHE [17].

Поскольку холловская проводимость нечетна

Имеется и третья возможность, которая была

относительно обращения времени, топологически

рассмотрена в работах [18, 19] применительно к

нетривиальные состояния могут возникать при

двухслойному графену и представляется наиболее

нарушении соответствующей T -симметрии. Тем

интересной. Для спиновой зоны Черна с поляри-

самым, одним из возможных механизмов является

зацией долин класс экзотических фаз изоляторов

ее спонтанное нарушение за счет связи с вихревыми

Черна описывается через разделение спинов и заря-

потоками [3, 12].

дов: заряды находятся в фазе обычного изолятора

В ряде работ предпринимались попытки учета

Черна с квантованной холловской проводимостью,

сильных взаимодействий в сильнофрустрированной

а спины образуют неупорядоченную спин-жидкост-

системе с целью получения фазы с топологическим

ную фазу — квантовую холловскую спиновую жид-

порядком в простых приближениях типа среднего

кость, аналогичную обычной Z₂-спиновой жидкости

поля. Например, аномальный QHE может динами-

с дробными степенями свободы. Конденсация квази-

чески генерироваться в обобщенной модели Хаббар-

частиц-спинонов в такой холловской спиновой жид-

да на сотовой решетке и в других решеточных систе-

кости может привести к квантовому холловскому

мах с квадратичной точкой пересечения зон, вклю-

антиферромагнетику.

чая решетку кагоме. Однако детальные численные

Двумерные и трехмерные топологические систе-

исследования не подтверждают формирования эк-

мы проявляют ряд уникальных свойств. В частнос-

зотических топологических фаз, предсказываемых

ти, топологические полуметаллы Дирака и Вей-

теориями среднего поля. Здесь основная трудность

ля представляют собой новый класс топологиче-

состоит в том, что вместо того, чтобы вызывать

ских материалов. Релятивистские фермионы — низ-

спонтанное нарушение T -симметрии, сильные взаи-

коэнергетические возбуждения вокруг дираковских

модействия также стремятся стабилизировать кон-

и вейлевских точек — приводят в таких мате-

курирующие дальние порядки, нарушающие транс-

риалах к экзотическим транспортным характери-

ляционную симметрию (см. обсуждение в работе

стикам, включая большие магнитосопротивление и

[12]). Таким образом, при описании решеточных сис-

внутренний аномальный эффект Холла [20]. В дан-

тем с QHE будет правильным сразу стартовать с

ной работе мы рассмотрим связь электронных со-

сильнокоррелированного состояния.

стояний и аномального эффекта Холла в сильнокор-

Формирование квантового дробного холловского

релированных топологических системах. Мы поста-

состояния рассматривалось также в моделях типа

раемся продемонстрировать, что физическая ситуа-

Хаббарда, включающих киральность [13, 14].

ция в таких системах имеет ряд интересных отличий

Наличие спин-орбитального взаимодействия до-

от более привычных топологических систем (см., на-

пускает другой топологический класс изолирующих

пример, работы [21,22]).

зонных структур, где T-симметрия исходно не нару-

В разд. 2 рассмотрены черновские состояния для

шена [15]. Такой двумерный топологический изоля-

уровня Ландау и для решеточных моделей в систе-

тор носит название квантовый спиновый холловский

мах с корреляциями. В разд. 3 мы обращаемся к ме-

140

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Электронные состояния и аномальный эффект Холла...

таллическим состояниям с особым упором на решет-

Для малых отношений W/U зарядовая щель

ки кагоме и обсуждаем применение к этим системам

должна определяться величиной U и разупорядо-

эффективной двухзонной модели, включающей уз-

чение спина не обязательно закрывает зарядовую

кую черновскую зону и широкую зону носителей то-

щель. В топологически тривиальной зоне с нену-

ка. В разд. 4 более подробно анализируются экспе-

левой кривизной Берри ферромагнетизм в пределе

риментальные данные, в том числе по дираковским

W = 0 может быть подавлен антиферромагнитным

и вейлевским металлам и полуметаллам.

обменом. Подобное разрушение квантового холлов-

ского ферромагнетизма кинетическим членом воз-

можно и при целочисленном заполнении зоны Чер-

2. ЧЕРНОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ

на. Для промежуточных значений W/U зарядовая

подсистема остается изолятором Черна с кванто-

В ситуации QHE электроны в магнитном поле со-

ванной холловской проводимостью, однако спины не

вершают круговое движение по циклотронным ор-

находятся в ферромагнитном состоянии. Таким об-

битам, в том числе и вокруг других электронов. При

разом, возникают фазы квантовых холловских ан-

этом номер уровня Ландау определяется числом

тиферромагнетиков и квантовых холловских спино-

длин волн на данной окружности. Описание сильно-

вых жидкостей, где антиферромагнитный порядок

коррелированных систем включает формирование

либо квантовая спиновая жидкость сосуществует с

плоских зон, которые аналогичны уровням Ландау.

квантованной проводимостью Холла [19]. Тем са-

При этом полный поток Берри по зоне Бриллюэна

мым, возможен переход из ферромагнитного состо-

(сумма интегралов от кривизны Берри по всем за-

яния с QHE в ферми-жидкость через необычные ан-

нятым зонам [15]) является топологическим инва-

тиферромагнитную и спин-жидкостную фазы.

риантом Черна C. Так формируется состояние чер-

Эффективный лагранжиан, который описывает

новского изолятора, отличительной чертой которого

QHE для электронов в магнитном поле и вклю-

является наличие краевых бесщелевых состояний.

чает член Черна - Саймонса, имеет следующий вид

Фундаментальным свойством топологических

[23, 24]:

систем с щелевой зоной является появление таких

бесщелевых проводящих состояний на интерфей-

L_CS = -

ϵ^μνλa_μ∂_νa_λ -

ϵ^μνλA_μ∂_νa_λ,

(1)

сах, где изменяется топологический инвариант

4π

2π

(в простейшем случае

— на границе с пустым

где a_μ — внутреннее калибровочное поле, A_μ — век-

пространством). Их можно понять как следствие

тор-потенциал внешнего электромагнитного поля,

отскока циклотронных орбит электронов от края.

ϵ — антисимметричный тензор второго ранга. За-

Важно отметить, что электронные состояния, ответ-

полнение равно ν = 1/m, где m — заряд калибро-

ственные за это движение, являются киральными:

вочного поля, т.е. количество длин волн при обходе

они распространяются только в одном направлении

одного электрона вокруг другого.

вдоль края. Такие состояния нечувствительны к

беспорядку, поскольку нет состояний, доступных

Уравнение (1) описывает только линейный от-

для обратного рассеяния (backscattering). Этот

клик основного состояния на внешние электромаг-

факт и лежит в основе идеально квантованного

нитные поля. Чтобы иметь более полное описание

электронного транспорта в QHE [15]. Топологиче-

топологической жидкости, такой как дробная кван-

ские поверхностные состояния также устойчивы по

товая холловская жидкость, в эффективную теорию

отношению к андерсоновской локализации.

необходимо ввести возбуждения. Хотя в основном

При наличии взаимодействия система может

лафлиновском состоянии электрон является ферми-

быть рассмотрена в рамках модели Хаббарда с ши-

евским, возбужденные состояния системы являются

риной зоны W и кулоновским отталкиванием U. В

бозевскими. Таким образом, m — четное целое чис-

случае зоны Черна из-за запрета (obstruction) состо-

ло для бозонных состояний и нечетное число для

яний Ваннье заряд не может быть локализован, так

фермионных. Дробная квантовая холловская жид-

что режим узких зон не описывается чисто спиновой

кость содержит два вида квазичастиц: квазидырку

моделью [19]. Поэтому в топологических сильнокор-

(или вихрь) в исходном электронном конденсате и

релированных системах с черновскими зонами от-

квазидырку (или вихрь) в новом бозонном конден-

сутствуют локализованные состояния и не возника-

сате. Вводя калибровочное поле ã_μ, описывающее

ет упорядочения локализованных моментов — маг-

бозонный ток, полный лагранжиан можно записать

нетизм может быть только коллективизированным.

в компактном матричном виде, аналогичном (1):

141

В. Ю. Ирхин, Ю. Н. Скрябин

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Здесь φI — N киральных бозонов, VIJ — неуни-

L=-

ϵ^μνλK_IJa_Iμ∂_νa_Jλ -

ϵ^μνλq_IA_μ∂_νa_Iλ.

(2)

4π

2π

версальная положительно определенная веществен-

Здесь (a1μ, a2μ) = (a_μ, ã_μ), матрица K имеет вид

ная матрица, которая зависит от микроскопических

(

)

свойств края.

p₁

-1

Используя язык аксиоматической топологиче-

K =

(3)

−1

p₂

ской теории поля, можно обобщить данное рассмот-

рение на неабелевы фазы [25, 27].

где p₁ — стартовое число m, описывающее фермиев-

В случае сильнокоррелированной электронной

ские состояния электрона, p₂ — четное числе, описы-

зоны для описания различных классов квантовых

вающее бозонное поле, q — зарядовый вектор, q^T =

холловских спиновых жидкостей используется пар-

= (q₁, q₂) = (1, 0). Для чисел заполнения имеем ν =

тонная конструкция — представление многоэлек-

= q^TK-1q.

тронных операторов Хаббарда c_iσ = X_i(0, σ) через

Топологическая теория абелевых фаз квантовой

вспомогательные бозоны и фермионы. Она может

холловской жидкости в общем виде описывается

иметь альтернативные формы: заряженные ферми-

лагранжианом [23, 25]

онные голоны и нейтральные бозевские (швинге-

ровские) спиноны (слейв-фермионное представле-

L_bulk =

ϵ^μνρa^IμK_IJ∂_νa^Jρ - a^Iμj^μI -

ние) либо нейтральные фермионные (абрикосовс-

4π

кие) спиноны и бозонные голоны (слейв-бозонное

t_AIϵ^μνρA^Aμ∂_νa^Iρ.

(4)

представление). Кроме того, возникает U(1)-калиб-

2π

ровочное поле, обусловленное ограничением запол-

Здесь a^I (I = 1, 2, . . ., N) — набор калибровочных

нения на узле. Партонные конструкции могут быть

полей, K_IJ — симметричная целочисленная матрица

построены в случае произвольных групп симметрии,

размерности N × N, определяющая взаимную ста-

соответствующих различным типам энионов [28,29].

тистику возбуждений, j_I — квазичастичные токи,

Они позволяют согласовать физику уровней Лан-

tAI — зарядовый вектор, определяющий числа за-

дау и черновских зон, непрерывных дробных кван-

полнения. Вырождение основного состояния на то-

товых холловских фаз и спиновых жидкостей для

ре (характеристика топологического порядка) опре-

решеточных моделей, а также описать фазовые пе-

деляется детерминантом матрицы K; этот детерми-

реходы при половинном заполнении как переходы с

нант также определяет количество независимых ти-

изменением числа Черна между изоляторными фа-

пов энионов — частиц с дробным зарядом. Послед-

зами [30].

ний член в (4) описывает связь с внешними источни-

Среднеполевой гамильтониан для состояния ки-

ками A^A (A = 1, 2, . . . , M) с глобальной U(1)_A-сим-

ральной спиновой жидкости эквивалентен задаче

метрией.

переноса электрона в магнитном поле, так что связь

Несжимаемые дробные квантовые холловские

между слейв-фермионами и калибровочным полем

жидкости имеют конечную запрещенную зону для

идентична связи между электронами и электромаг-

всех своих объемных возбуждений. Однако такие

нитным полем [24]. Таким образом, можно ожи-

жидкости в системах конечного размера всегда со-

дать, что в системе слейв-фермионов может возни-

держат одномерные бесщелевые краевые возбужде-

кать явление, аналогичное эффекту Холла. При на-

ния со сложной структурой, которая отражает бо-

личии потоков квантование в калибровочном поле

гатый объемный топологический порядок (соответ-

приводит к появлению уровней типа уровней Лан-

ствие объем-граница). Таким образом, возникает

дау [24, 31]. При этом нулевой уровень имеет вы-

возможность изучать объемные топологические по-

рождение, равное числу квантов потока. Добавле-

рядки, исследуя структуру краевых возбуждений.

ние кванта потока порождает нулевую фермионную

Краевые состояния неабелевых дробных квантовых

моду для каждого типа дираковских фермионов.

холловских жидкостей образуют еще более экзоти-

После включения потенциала кристаллической ре-

ческие одномерные коррелированные системы [24].

шетки уровни Ландау превращаются в узкие корре-

Эффективная теория поля (4) также хорошо

лированные полосы. В этом смысле полосы Хаббар-

подходит для понимания физики краевых состоя-

да (которые могут быть описаны в простейшем при-

ний. В отсутствие внешних источников A^A возника-

ближении Хаббард-I, в том числе для вырожденных

ет киральная теория Латтинджера [25,26]:

зон [32,33], как уширенные атомные уровни) явля-

[

]

ются зонами спинонов. Можно гипотетически пред-

L_edge =

K_IJ∂_tφ^I∂_xφ^J - V_IJ∂_xφ^I∂_x

φ^J .

(5)

положить, что хаббардовское уширение уровней (на-

4π

142

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Электронные состояния и аномальный эффект Холла...

пример, за счет процессов рассеяния и резонансного

ℏ²

L_FS = f^†σ(∂_τ -μ+ia₀)f_σ -

f^†σ(-i∂_i+a_i)²f_σ, (10)

уширения [34], а также взаимодействия носителей с

2m^∗

локальными моментами) будет играть роль, анало-

где μ — химический потенциал, m^∗ — эффективная

гичную роли беспорядка, которая существенна для

масса, a₀ и a_i — временная и координатная состав-

QHE.

ляющие калибровочного поля [23]. Фермионные спи-

Слейв-фермионное представление

ноны f_σ частично заполняют зону без числа Черна

и образуют поверхность Ферми (FS).

ciσ = biσfi

(6)

В случае нечетных C = 1, 3, 5, 7, . . . формируют-

ся экзотические состояния с холловской проводимо-

позволяет описать Z₂-спиновую жидкость (синглет-

стью σ_xy = C — восемь типов спиновых жидкостей

ное спаривание швингеровских бозонов) со спиновой

с полуцелым киральным центральным зарядом c =

щелью и топологическим порядком, а в режиме бо-

= C -1/2, которые аналогичны восьми неабелевым

зонного конденсата — также антиферромагнитную

сверхпроводникам Китаева [27].

фазу (ср. [35]). При этом сохраняется зарядовый

отклик черновского изолятора, что и означает со-

стояние квантовой холловской спиновой жидкости.

3. ДВУХЗОННАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РЕШЕТКИ

Конструкция этого состояния обобщается на слу-

КАГОМЕ

чай дробного заполнения и дробного QHE, так что

квантовая холловская Z₂-спиновая жидкость дает

Теперь мы обратимся к реалистическим прово-

дящим системам с топологическими мотивами. Дву-

реализацию восьми различных абелевых топологи-

ческих порядков с четырьмя энионами. С точки

мерный слой решетки кагоме дает плоскую зону и

пару зон Дирака, которые защищены симметрией,

зрения топологического порядка, они эквивалент-

ны восьми абелевым топологическим сверхпровод-

как и в графене. При учете спин-орбитального взаи-

модействия в двумерных слоистых металлических

никам 16-ричного пути [27].

Представление фермионных спинонов

соединениях с решеткой кагоме открывается неболь-

шая запрещенная зона, а зона с линейной дисперси-

ciσ = bifiσ

(7)

ей искажается, так что дираковские фермионы при-

обретают небольшую массу. В отличие от линейных

описывает U(1)-спиновую жидкость со спинонной

зон с легкими квазичастицами, плоские зоны не име-

поверхностью Ферми, которая является родитель-

ют дисперсии в широком интервале импульсов и ве-

ским (parent) состоянием для Z₂-спиновой жидкос-

дут себя подобно уровнями Ландау, что может при-

ти, возникающей при понижении калибровочной

водить к необычным квантовым состояниям, вклю-

симметрии. Для четных значений инварианта Чер-

чая дробные холловские состояния. В сочетании со

на C может быть построено так называемое состоя-

спин-орбитальной связью и суммарной намагничен-

ние композитной ферми-жидкости, которое анало-

ностью реализуется фаза двумерного черновского

гично спиновой жидкости с чисто спинонной по-

изолятора с QHE при заполнении 1/3 и 2/3. Когда

верхностью Ферми, но является парамагнитным и

такие слои накладываются друг на друга вдоль тре-

металлическим [19]. Оно позволяет частично сохра-

тьего измерения, межслоевое взаимодействие пре-

нить электронные степени свободы (ненулевой вы-

вращает систему в трехмерную фазу полуметалла

чет) и описать фермиевскую зону. Важно подчерк-

Вейля с нарушенной симметрией относительно об-

нуть, что формирование этого состояния обуслов-

ращения времени. В то же время плоская зона несет

лено разделением спиновых и зарядовых степеней

конечное число Черна и имитирует уровни Ландау

свободы в сильнокоррелированной системе.

без внешнего магнитного поля, что позволяет реа-

Простейший вариант черновской зоны с четным

лизацию дробного QHE при частичном заполнении

инвариантом Черна C дает фаза бозонного целочис-

плоских зон [36].

ленного QHE (bIQHE) [19]. Эффективное действие

Поскольку энергетическая щель, обусловленная

для этой фазы равно

спин-орбитальным взаимодействием внеплоскост-

L = L_bIQHE[b,A + a] + L_FS[f,-a].

(8)

ных орбиталей, много меньше, чем у плоскостных

орбиталей, возникает орбитально-селективный ха-

Здесь A — внешнее U(1)-калибровочное поле; сим-

рактер дираковских фермионов [7]. Таким образом,

волически, через дифференциальную форму, имеем

в металлах с решеткой кагоме сосуществуют полоса

легких носителей (фермионов Дирака) и тяжелых

L_bIQHE =

(A + a)d(A + a),

(9)

электронов (плоская зона). При этом необычная

4π

143

В. Ю. Ирхин, Ю. Н. Скрябин

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

∑

физика возникает, если любая из этих зон подхо-

c†iσ =

f^†iσ′ z^†iσ′_σ,

zi = eⁱ LiMi^Ri pi,

(11)

дит близко к уровню Ферми. Детальный расчет

σ^′

спектра в работе [7] был проведен на примере со-

где скалярные и векторные бозоны, pi0 и p_i, описы-

единения CoSn (со слоями Co₃Sn) с металлической

вающие спиновые возбуждения, вводятся как p_i =

проводимостью.

= (pi0σ₀ + p_i · σ)/2,

Здесь возникает определенная аналогия с ситу-

ацией нодально-антинодальной дихотомии в сверх-

L_i = [(1 - d^†id_i)σ₀ - 2p^†ip_i]-1/2,

(12)

проводящих купратах, где спектр является бесще-

†

R_i = [(1 - e^†ie_i)σ₀ - 2p

pi]-1/2,

(13)

левым (сохраняются электронные степени свободы,

и возбуждения описываются как дираковские фер-

∑

M_i = (1 + e^†ie_i + p^†iμp_iμ + d^†id_i)1/2

(14)

мионы) вблизи нодальных точек (±π/2, ±π/2) зоны

μ=0

Бриллюэна и щелевым вблизи антинодальной точки

(0, π) [37, 38]. Однако, в отличие от купратов, суще-

pi—обращенныйповремениоператорpi^{.Вслучае}

ственную роль играет спин-орбитальное взаимодей-

магнитоупорядоченных фаз и малой концентрации

ствие.

носителей тока (дырок) множители

L_i,

R_i сокраща-

В зависимости от параметров межэлектронного

ют голонные операторы e_i и можно приближенно

и спин-орбитального взаимодействий, а также пе-

записать [46]

реноса между вторыми соседями возникают разные

√ ∑

картины расположения широких и плоских зон [39],

ciσ =

piσ′σfiσ′ =

причем при уменьшении U зоны становятся переме-

σ^′

шанными. Таким образом, можно говорить о пере-

∑

√

f_iσ′ (δ_σσ′ pi0 + p_i · σ_σ′_σ).

(15)

ходе метал-изолятор типа моттовского, при котором

σ^′

можно ожидать смену статистики и разделение спи-

на и заряда.

Это представление позволяет построить интерполя-

Важной особенностью решеток кагоме является

цию между стандартным слейв-бозонным представ-

металлическое ферромагнитное состояние, которое

лением, где носителями тока являются бозевские

может переходить в спиновую жидкость по механиз-

голоны, и спин-волновым представлением в магни-

му типа Китаева [40]. Согласно расчету ab initio [41],

тоупорядоченной фазе. Таким образом, возникают

в системе Co₃In_xSn2-xS₂ при допировании сохра-

различные сценарии переходов из холловской маг-

няется полуметаллический ферромагнетизм с ли-

нитной фазы в фазы спиновой жидкости и затем

нейно убывающим моментом. В этой системе так-

ферми-жидкости при изменении параметров взаи-

же имеются ферми-дуги и нодальные кольца, ко-

модействия или допировании (ср. [19]). Итак, при-

торые играют важную роль для аномального эф-

писывая данным связанным состояниям (зарядовым

фекта Холла [41,42]. Экспериментальные данные на

степеням свободы) число Черна C, можно исполь-

монокристаллах по кагоме-системам Co₃In_xSn2-xS₂

зовать результаты работы [19], чтобы описать вли-

и Co3-yFe_ySn₂S₂ [43] показывают, что в них име-

яние числа Черна на топологический порядок вбли-

ются почти двумерный коллективизированный маг-

зи определенных точек зоны Бриллюэна. При этом

нетизм и киральное спиновое состояние в окрест-

естественно предположить, что носители тока на-

ности квантового перехода из ферромагнитной в

следуют числа C для оригинальной черновской зо-

немагнитную фазу, а также формируется сильно-

ны (например, в приближении среднего поля для

коррелированное состояние с высокой электронной

вспомогательных бозонов).

теплоемкостью.

С представлением (15) может быть формально

Зоны с орбитально-селективными мотивами бы-

связано допонное представление, где для оператора

ли также найдены в парамагнитной решетке кагоме

Хаббарда имеем [47-49]

YCr₆Ge₆ [44] и в слоистом соединении FeSn с мо-

ментами Fe, ферромагнитно выстроенными внутри

X_i(0, -σ) =

плоскостей решетки кагоме, но антиферромагнитно

∑

√

d^†iσ′ (1 - ni,-σ′ )(δσσ′ - 2Si · σσ′σ).

(16)

связанными вдоль оси c [36].

σ^′

Микроскопическое описание может быть получе-

но в представлении вспомогательных частиц. Наи-

Здесь σ = ±, n_iσ = d^†iσd_iσ, фермиевские операторы

более удобной и общей оказывается вращатель-

допонов d^†iσ′ описывают носители тока, а операторы

но-инвариантная версия [45]:

спинов S_i — локализованные степени свободы; они

144

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Электронные состояния и аномальный эффект Холла...

могут быть представлены в терминах фермиевских

описывается в представлении абрикосовских фер-

или бозевских (швингеровских) спинонов [35, 48]. В

мионов, а зона проводимости

— через допоны.

представлении псевдофермионов имеем

Здесь происходит орбитально-селективный (час-

тичный) переход Мотта в одной полосе, который

∑

S_i =

f^†iσσ_σσ′ f_iσ′ .

(17)

представляет собой квантованное изменение по-

σσ^′

верхности Ферми, т. е. переход от большой к малой

поверхности Ферми [51], связанный с образованием

Учет гибридизации между допонами и фермиев-

хаббардовских подзон

[31, 38, 52]. Этот переход

скими спинонами f_iσ дает описание в рамках

может быть описан в рамках подхода фракци-

эффективной двухзонной модели [48]. Подставляя

онализованной ферми-жидкости, описывающей

(16) в t-J-гамильтониан, получаем гамильтониан с

малую поверхность Ферми в состоянии Z₂-спиновой

киральными тенденциями (содержащий векторные

жидкости [53].

произведения) [48, 49]:

В приближении среднего поля лагранжиан для

фазы спиновой жидкости может быть записан в ви-

H =

де (ср. [48])

(2S + 1)²

∑[

∑

(∂₀ + α_k)f†kσfkσ+β_k(f†kσdkσ + H.c.) +

× t_ij{(S² + S_i · S_j)δ_σσ′ - S(S_i + S_j) · σ_σσ′ +

kσ

ijσσ^′

]

+ iσ_σσ′ · [S_i × S_j]}c^†iσ(1 - n_i,-σ)×

+ (∂₀ + γ_k)d†kσdkσ + const ,

(20)

× (1 - n_j,-σ′ )c_jσ′ + H_d,

(18)

причем γ_k определяется затравочным спектром (во-

обще говоря, перенормированным [48]), величина α_k

где H_d — гамильтониан Гейзенберга, S = 1/2. Такое

кроме этого пропорциональна концентрации носи-

представление гамильтониана в узкозонной s-d-мо-

телей тока (допонов), β_k содержит бозонные пере-

дели с произвольным спином S было получено в ра-

нормировки 〈f^†iσd_jσ 〉. Таким образом, после диаго-

боте [47]. Для некомпланарных магнитных струк-

нализации спектра мы получаем узкую зону f-типа

тур член с векторным произведением может приво-

и широкую зону, происходящую от допонов. Далее,

дить к аномальному эффекту Холла даже без спин-

может быть проведен учет флуктуаций через введе-

орбитального взаимодействия благодаря возникно-

ние временной и координатной компонент калибро-

вению спиновой киральности и кривизны Берри.

вочного поля, так что ∂₀ → ∂₀ +ia₀ и соответственно

Гейзенберговская часть гамильтониана может

для координатной части (ср. [28]).

быть рассмотрена в слейв-бозонном представлении.

Аналогичный подход для муаровой решетки гра-

Для этого выражение (16) может быть переписано

фена при учете долин позволяет описать формиро-

через операторы

вание состояния спиновой жидкости с дробным за-

b1i = f_i↑d_i↓ - f_i↓d_i↑, b2i = f^†i↑d_i↑ + f^†i↓d_i↓,

(19)

рядом энионов [28]. В целом, в нашей задаче име-

ются два источника топологического порядка. Пер-

которые приближенно можно считать бозевскими

вый — это квантовый эффект Холла, он может

[48], что возвращает нас к представлению бозонных

быть описан в рамках партонного представления

голонов, в том числе в SU(2)-версии [37, 50].

для электронного оператора [29]. Второй — форми-

Теория среднего поля [48] включает фермион-

рование спиновой жидкости, где существенно раз-

ные спиноны и коррелированные электроны — до-

деление заряда и спина в режиме сильных корре-

поны, причем бозонные голоны являются связанны-

ляций. Оба эти фактора в принципе описывают-

ми состояниями спинонов и электронов. Следует от-

ся в рамках партонной среднеполевой теории [30].

метить, что в подходе работ [47, 49] вместо новых

Следует ожидать, что в эффективном лагранжи-

операторов допонов возникают операторы электро-

ане сильнокоррелированной системы будут присут-

нов, что несколько меняет физическую интерпрета-

ствовать члены, описывающие интерференцию этих

цию (в частности, это может быть важно для опи-

эффектов, что позволит приписать систему к опре-

сания QHE).

деленному топологическому типу. Он может быть

Таким образом, исходная модель принимает

определен согласно классификации абелевых и неа-

форму эффективной двухзонной модели, анало-

белевых топологических сверхпроводников по Кита-

гично проблеме решеток Кондо: плоская зона

еву [27].

145

ЖЭТФ, вып. 1 (7)

В. Ю. Ирхин, Ю. Н. Скрябин

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

4. ОБСУЖДЕНИЕ

Отметим, что соединение Co₃Sn₂S₂ является

представителем полуметаллических ферромагнети-

Для соединений 3d-металов с решеткой кагоме

ков, для которых характерны сильные корреляцион-

характерны как топологические электронные зоны,

ные эффекты и важную роль играют некогерентные

так и многообразие магнитных структур. Сочета-

(неквазичастичные) состояния [58], которые могут

ние этих двух факторов может приводить к боль-

быть связаны с топологией [46]. Возможность воз-

шой величине аномальной холловской проводимо-

никновения аномального QHE обсуждается также

сти посредством различных механизмов. В частнос-

для трехмерного полуметаллического ферромагне-

ти, в магнитных вейлевских полуметаллах с нару-

тика HgCr₂Se₄, в котором согласно зонному расчету

шенной T -симметрией относительно обращения вре-

[59] электронный спектр включает вейлевские фер-

мени возникает сильный внутренний аномальный

мионы.

эффект Холла из-за большой кривизны Берри.

Подход работы [19] позволяет предложить но-

В решетке кагоме T -симметрия может быть на-

вый класс топологических фаз — квантовых хол-

рушена благодаря магнитным потокам, обусловлен-

ловских спиновых жидкостей, которые представля-

ным ферромагнитным упорядочением, и внутрен-

ют собой комбинацию квантового состояния Холла и

нему спин-орбитальному взаимодействию, что при-

спиновой жидкости, а также родительское (parent)

водит к возникновению нескольких нетривиальных

состояние для квантовых холловских ферро- и ан-

разделенных по энергии зон Черна и внутренне-

тиферромагнетиков, причем в случае решетки ка-

му аномальному QHE. Этот механизм был рас-

гоме возможен прямой переход от ферромагнетика

смотрен в работе [54] в применении к соединению

к спиновой жидкости. Следует отметить, что неби-

Cs₂LiMn₃F₁₂. Использованная модель сильной свя-

партитная решетка кагоме является благоприятной

зи аналогична модели Халдейна и включает две

для формирования спиновой жидкости, в то вре-

верхние зоны с дисперсией и нижнюю плоскую зону,

мя как идентификация типа решетки двуслойного

которые разделены по энергии и несут числа Чер-

графена по распределениям зарядовой и спиновой

на -1, 0, +1. Первые две зоны линейно касаются в

плотностей (бипартитной сотовой или небипартит-

точках

K и

K^′, образуя два конуса Дирака, а сред-

ной треугольной) не является однозначной [60].

няя и нижняя плоские зоны касаются квадратично

Таким образом, мы видим, что экзотические яв-

в точке Γ.

ления в узких топологических зонах обусловлены

Соответствующий блоховский гамильтониан

корреляционными эффектами, в том числе разделе-

сильной связи с учетом спин-орбитального взаимо-

нием спиновых и зарядовых степеней свободы. В то

действия для решетки кагоме, который позволяет

же время спин-орбитальное взаимодействие и фер-

построить состояния с различными черновскими

ромагнетизм играют важную роль в формировании

числами, был получен в работе [55]. Это позволяет

плоских зон и для аномального QHE.

построить приближение среднего поля в представ-

лении допонов аналогично работе [48].

Финансирование. Работа выполнена в рам-

Магнитные вейлевские полуметаллы и металлы

ках государственного задания Министерства нау-

потенциально могут реализовать аномальный QHE

ки и высшего образования РФ (тема

«Поток»

в двумерном пределе. Можно ожидать, что структу-

№ AAAA-A18-118020190112-8). Исследование эф-

ра решетки кагоме в сочетании с межплоскостным

фектов спин-орбитального взаимодействия в решет-

ферромагнитным порядком в слоистой магнитной

ках кагоме поддержано Российским научным фон-

системе Co₃Sn₂S₂ позволит наблюдение квантово-

дом (программа РНФ 20-62-46047).

го аномального холловского состояния в двумерном

пределе [3,56,57]. Поскольку магнитные вейлевские

полуметаллы представляют собой топологические

ЛИТЕРАТУРА

системы, состояние аномального QHE может быть

1. Yu. Deng, Y. Yu, M. Zh. Shi, Zh. Guo, Z. Xu,

получено в них за счет конфайнмента вейлевского

J. Wang, X. H. Chen, and Yu. Zhang, Science 367,

полуметалла вдоль одного из направлений. Эта идея

895 (2020).

была разработана [56] на примере Co₃Sn₂S₂. В дву-

мерном пределе были получены два состояния ано-

2. B. Li, J.-Q. Yan, D.M. Pajerowski, E. Gordon,

мального QHE в зависимости от стехиометрии слоя.

A.-M. Nedic, Y. Sizyuk, L. Ke, P. P. Orth, D. Vaknin,

Одно из них — полуметалл с числом Черна, равным

and R. J. McQueeney, Phys. Rev. Lett. 124, 167204

6, а другой — изолятор с числом Черна 3.

(2020).

146

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Электронные состояния и аномальный эффект Холла...

E. Liu, Y. Sun, N. Kumar, L. Muechler, A. Sun,

19.

Y.-H. Zhang and T. Senthil, Phys. Rev. B 102,

L. Jiao, Sh.-Y. Yang, D. Liu, A. Liang, Q. Xu, J. Kro-

115127 (2020).

der, V. Seuss, H. Borrmann, Ch. Shekhar, Zh. Wang,

20.

J. Hu, S.-Y. Xu, N. Ni, and Zh. Mao, Ann. Rev.

Ch. Xi, W. Wang, W. Schnelle, S. Wirth, Y. Chen,

Mater. Res. 49, 207 (2019).

S. T. B. Goennenwein, and C. Felser, Nature Phys.

14, 1125 (2018).

21.

Y. Ando, J. Phys. Soc. Jpn. 82, 102001 (2013).

L. Ye, M. Kang, J. Liu, F. von Cube, C. R. Wicker,

22.

В. Н. Меньшов, И. А. Швец, Е. В. Чулков, Пись-

T. Suzuki, C. Jozwiak, A. Bostwick, E. Rotenberg,

ма в ЖЭТФ 110, 777 (2019) [V. N. Men’shov,

D. C. Bell, L. Fu, R. Comin, and J. G. Checkelsky,

I. A. Shvets, and E. V. Chulkov, JETP Lett. 110,

Nature 555, 638 (2018).

771 (2019)].

23.

X.-G. Wen, Adv. Phys. 44, 405 (1995).

Zh. Lin, J.-H. Choi, Q. Zhang, W. Qin, S. Yi,

P. Wang, L. Li, Y. Wang, H. Zhang, Zh. Sun, L. Wei,

24.

X.-G. Wen, Quantum Field Theory of Many-Body

Sh. Zhang, T. Guo, Q. Lu, J.-H. Cho, Ch. Zeng, and

Systems, Oxford Univ. Press, Oxford (2004).

Zh. Zhang, Phys. Rev. Lett. 121, 096401 (2018).

25.

S. Moroz, A. Prem, V. Gurarie, and L. Radzihovsky,

D. Boldrin, B. Fak, M. Enderle, S. Bieri, J. Ollivier,

Phys. Rev. B 95, 014508 (2017).

S. Rols, P. Manuel, and A. S. Wills, Phys. Rev. B 91,

26.

X.-G. Wen, Int. J. Mod. Phys. B 6, 1711 (1992).

220408(R) (2015).

27.

A. Kitaev, Ann. Phys. (N. Y.) 321, 2 (2006).

Zh. Liu, M. Li, Q. Wang, G. Wang, Ch. Wen,

28.

Y.-H. Zhang and D. Mao, Phys. Rev. B 101, 035122

K. Jiang, X. Lu, Sh. Yan, Y. Huang, D. Shen,

(2020).

J.-X. Yin, Z. Wang, Zh. Yin, H. Lei, and Sh. Wang,

Nature Comm. 11, 4002 (2020).

29.

R. Ma and Y.-Ch. He, Phys. Rev. Res. 2, 033348

(2020).

D. Guterding, H. O. Jeschke, and R. Valenti, Sci. Rep.

6, 25988 (2016).

30.

S. A. Parameswaran, R. Roy, and Sh. L. Sondhi,

C. R. Physique 14, 816 (2013).

G. Chen, A. L. Sharpe, E. J. Fox, Y.-H. Zhang,

31.

V. Yu. Irkhin and Yu. N. Skryabin, Phys. Lett. A 383,

S. Wang, L. Jiang, B. Lyu, H. Li, K. Watanabe, T. Ta-

niguchi, Zh. Shi, T. Senthil, D. Goldhaber-Gordon,

2974 (2019).

Y. Zhang, and F. Wang, Nature 579, 56 (2020).

32.

J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. London A 276, 238

(1963).

10.

M. Serlin, C. L. Tschirhart, H. Polshyn, Y. Zhang,

J. Zhu, K. Watanabe, T. Taniguchi, L. Balents, and

33.

J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. London A 277, 237

A. F. Young, Science 367, 900 (2020).

(1963).

11.

D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. C. Gossard, Phys.

34.

J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. London A 281, 401

Rev. Lett, 48, 1559, (1982).

(1964).

35.

M. Punk and S. Sachdev, Phys. Rev. B 85, 195123

12.

W. Zhu, S. S. Gong, and D. N. Sheng, Phys. Rev.

(2012).

B 94, 035129 (2016).

36.

M. Kang, L. Ye, Sh. Fang, J.-Sh. You, A. Levitan,

13.

A. E. B. Nielsen, G. Sierra, and J. I. Cirac, Nature

M. Han, J. I. Facio, C. Jozwiak, A. Bostwick,

Comm. 4, 2864 (2013).

E. Rotenberg, M. K. Chan, R. D. McDonald, D. Graf,

K. Kaznatcheev, E. Vescovo, D. C. Bell, E. Kaxiras,

14.

Sh.-Sh. Gong, W. Zhu, and D. N. Sheng, Sci. Rep. 4,

J. van den Brink, M. Richter, M. P. Ghimire,

6317 (2014).

J. G. Checkelsky, and R. Comin, Nature Mater. 19,

163 (2020).

15.

M. Z. Hasan and C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82,

3045 (2010).

37.

P. A. Lee, N. Nagaosa, and X.-G. Wen, Rev. Mod.

Phys. 78, 17 (2006).

16.

F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 61, 2015 (1988).

38.

В. Ю. Ирхин, Ю. Н. Скрябин, ФММ 120, 563

17.

T. Neupert, L. Santos, C. Chamon, and C. Mudry,

(2019) [V. Yu. Irkhin and Yu. N. Skryabin, Physics

Phys. Rev. Lett. 106, 236804 (2011).

of Metals and Metallography 120, 513 (2019)].

18.

Y.-H. Zhang and T. Senthil, Phys. Rev. B 99, 205150

39.

E. Tang, J.-W. Mei, and X.-G. Wen, Phys. Rev. Lett.

(2019).

106, 236802 (2011).

147

10*

В. Ю. Ирхин, Ю. Н. Скрябин

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

40. Y.-Ch. Wang, X.-F. Zhang, F. Pollmann, M. Cheng,

50.

X.-Y. Song, A. Vishwanath, and Y.-H. Zhang, arXiv:

and Z. Y. Meng, Phys. Rev. Lett. 121, 057202 (2018).

2011.10044.

41. Y. Yanagi, J. Ikeda, K. Fujiwara, K. Nomura, A. Tsu-

51.

M. Vojta, Rep. Progr. Phys. 81, 064501 (2018).

kazaki, and M.-T. Suzuki, arXiv:2011.14567.

52.

В. Ю. Ирхин, Ю. Н. Скрябин, ФММ 121, 115

42. H. Zhou, G. Chang, G. Wang, X. Gui, X. Xu,

(2020) [V. Yu. Irkhin and Yu. N. Skryabin, Physics

J.-X. Yin, Z. Guguchia, S. S. Zhang, T.-R. Chang,

of Metals and Metallography 121, 103 (2020)].

H. Lin, W. Xie, M. Z. Hasan, and Sh. Jia, Phys. Rev.

53.

T. Senthil, M. Vojta, and S. Sachdev, Phys. Rev.

B 101, 125121 (2020).

B 69, 035111 (2004).

43. M. A. Kassem, Novel Magnetic and Electronic

54.

G. Xu, B. Lian, and S.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett.

Properties of Kagome-Lattice Cobalt-Shandites, PhD

115, 186802 (2015).

dissertation, Kyoto University (2016).

55.

E. J. Bergholtz and Zh. Liu, Int. J. Mod. Phys. B 27,

44. T. Y. Yang, Q. Wan, Y. H. Wang, M. Song, J. Tang,

1330017 (2013).

Z. W. Wang, H. Z. Lv, N. C. Plumb, M. Radovic,

G. W. Wang, G. Y. Wang, Z. Sun, R. Yu, M. Shi,

56.

L. Muechler, E. Liu, J. Gayles, Q. Xu, C. Felser, and

Y. M. Xiong, and N. Xu, arXiv:1906.07140.

Y. Sun, Phys. Rev. B 101, 115106 (2020).

45. R. Fresard and P. Wölfle, Int. J. Mod. Phys. B 6, 685

57.

M. Tanaka, Y. Fujishiro, M. Mogi, Y. Kaneko, T. Yo-

(1992).

kosawa, N. Kanazawa, S. Minami, T. Koretsune,

R. Arita, S. Tarucha, M. Yamamoto, and Y. Tokura,

46. V. Yu. Irkhin, Phys. Lett. A 383, 1506 (2019).

Nano Lett. 20, 7476 (2020).

47. V. Yu. Irkhin and Yu. P. Irkhin, Phys. Stat. Sol. (b)

58.

M. I. Katsnelson, V. Yu. Irkhin, L. Chioncel,

183, 9 (1994).

A. I. Lichtenstein, and R. A. de Groot, Rev. Mod.

Phys. 80, 315 (2008).

48. T. C. Ribeiro and X.-G. Wen, Phys. Rev. B 74,

155113 (2006).

59.

G. Xu, H. Weng, Zh. Wang, X. Dai, and Zh. Fang,

Phys. Rev. Lett. 107, 186806 (2011).

49. В. Ю. Ирхин, Ю. Н. Скрябин, Письма ЖЭТФ 106,

161 (2017) [V. Yu. Irkhin and Yu. N. Skryabin, JETP

60.

V. Yu. Irkhin and Yu. N. Skryabin, Письма в ЖЭТФ

Lett. 106, 167 (2017)].

111, 242 (2020) [JETP Lett. 111, 230 (2020)].

148