ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 2 (8), стр. 175-187

КООПЕРАТИВНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ КАК

СУБОРДИНИРОВАННЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

А. М. Башаровa,b*, А. И. Трубилкоc**

^a Научно-исследовательский центр «Курчатовский институт»

123182, Москва, Россия

^b Московский физико-технический институт

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^c Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России

196105, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 19 апреля 2021 г.,

после переработки 19 апреля 2021 г.

Принята к публикации 23 апреля 2021 г.

Кооперативное излучение двухуровневых примесей в сложной диэлектрической среде представлено как

субординированный случайный процесс, управляемый альфа-устойчивым процессом с параметром аль-

фа, определяемым характерными временами затухания излучения. Найдены отличия от обычного свер-

хизлучения. Привлеченные физические основания для введения субординации полезны и в других излу-

чательных задачах.

(

)

DOI: 10.31857/S0044451021080034

роуша - Вильямса - Уотса exp

(-t/τ)^β

, 0 < β < 1

(

)

[11-15], или степенной асимптотики 1/

1 + (t/τ)^δ

1. ВВЕДЕНИЕ

δ > 0. Неэкспоненциальный распад связывают так-

Кооперативное излучение ансамбля из N_p воз-

же с немарковской динамикой [16-20]. Его час-

бужденных атомов (квантовых частиц), известное

то обсуждают в связи с бозе-конденсатом [21-23].

как сверхизлучение (СИ), состоит в сокращении в

Неэкспоненциальный распад вследствие суммирова-

N_p раз длительности времени высвечивания энергии

ния различных экспонент неинтересен в нашем кон-

по сравнению со спонтанным излучением одиночно-

тексте.

го атома, задержке его пика относительно начала

Под сложными диэлектрическими средами (мат-

излучения и возрастании в N2p раз интенсивности.

рицами) обычно понимают структуры из много-

Как и в случае излучения одиночного атома, при

атомных молекул, в том числе и пленки, например,

рассмотрении кооперативного излучения использу-

пленки из CH₃NH₃PbI₃ [24]. Также разные виды фо-

ется марковское приближение, в котором имеет ме-

тонных кристаллов можно рассматривать как слож-

сто экспоненциальный распад одиночного возбуж-

ные диэлектрические среды. Считается, что спектр

дения — и в случае одиночного атома, и в слу-

линейных волн в сложных средах имеет степенную

чае симметричного состояния ансамбля атомов воз-

плотность фотонных состояний вблизи некоторых

бужденное состояние распадается как exp(-t/τ) со

точек спектра, например, дна разрешенной зоны фо-

своим значением времени испускания τ для каждо-

тонных состояний. На этом основан и развиваемый

го случая. Между тем многочисленные эксперимен-

математический аппарат для некоторого описания

тальные [1-6] и теоретические [7-10] исследования

излучательных процессов в сложных средах. Опе-

излучения одиночного примесного атома в слож-

ратор взаимодействия с линейными волнами в та-

ных диэлектрических средах показывают отличие

ком представлении выражают через дробную произ-

от экспоненциального закона. Эти отличия обсуж-

водную по времени [25]. Вообще исследования излу-

дают в терминах или закономерностей типа Коль-

чения одиночных молекул в различных диэлектри-

^* E-mail: basharov@gmail.com

ческих средах демонстрируют неэкспоненциальный

^** E-mail: trubilko.andrey@gmail.com

распад.

175

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

В настоящей статье предлагается новый взгляд

уновское движение [27] или моделировать классиче-

на коллективное излучение примесных атомов в

ским винеровским процессом [28-30]. Пусть, услов-

сложных диэлектрических средах. Подчеркнем, что

но, с константой взаимодействия K₁ в некоторый

и в рамках имеющихся подходов коллективное излу-

временной интервал совершается броуновский ска-

чение в сложных средах не рассматривалось. Наш

чок на некоторую величину Δ₁, зависящую от K₁.

подход основан на следующих двух идеях.

При другой константе взаимодействия K₂ броунов-

В сложных диэлектрических средах возможны

ский скачок совершился бы за тот же временной

щели в плотности фотонных состояний и прыжко-

интервал времени на Δ₂. Однако в силу того, что

вое поведение динамики примесных атомов. Тогда

винеровский процесс имеет модификацию с непре-

примесные атомы, занимая различные положения

рывными траекториями, полагаем, что того же ре-

в среде и вследствие этого имея различные часто-

зультата можно достичь, если первоначальный пры-

ты рабочего перехода и различные константы вза-

жок (с константой K₁) осуществляется как обычно,

имодействия, могут оказаться в ситуации, когда в

но его результат перед следующим скачком другой,

первом порядке алгебраической теории возмущений

поскольку относим его к другому промежутку вре-

они не излучают [26]. Разброс в частотах примес-

мени. Таким образом, имеется как бы две времен-

ных атомов приводит к эффекту, известному как

ные шкалы. В одной шкале совершаются броунов-

неоднородное уширение спектральной линии при-

ские движения с константой K₁, а в другой резуль-

месных атомов. Это некоторая мера (в математи-

таты броуновских скачков учитывают как случай-

ческом смысле) распределения атомов. Напомним,

ные интервалы времени, так, чтобы, например, в

что подход, основанный на понятии меры в динами-

некотором временном интервале результат был бы

ке частицы, можно ввести, если вместо рассмотре-

эквивалентен скачку с константой K₂. Временная

ния временной траектории частицы учитывать до-

шкала совершения броуновского скачка Δ₁ равно-

лю времени (Δt/T ), проводимого частицей в данном

мерна, а сами прыжки случайны. Временная шка-

объеме ΔV фазового пространства. Тогда в случае

ла эффективного результата таких скачков нерав-

эргодичности

номерна и случайна. Случайный процесс, отвечаю-

щий неравномерной временной шкале, должен быть

∫

стационарным, иметь независимые положительные

lim Δt/T =

w dV,

T →∞

приращения и не иметь средней величины, иначе

ΔV

нельзя будет говорить о случайной временной шка-

где w — плотность меры. Есть разные временные

ле. То есть случайный процесс должен быть альфа-

динамики, приводящие к одной и той же мере.

устойчивым с 0 < α < 1. Далее, предъявляя стан-

В нашем контексте это означает, что вместо рас-

дартные требования к указанному случайному про-

смотрения неоднородного уширения ансамбля при-

цессу, нетрудно получить кинетическое уравнение

месных частиц в сложных диэлектрических средах

для примесных атомов в сложной диэлектрической

можно рассматривать различную излучательную

среде. В случае коллективного излучения примес-

динамику частицы в вакууме, а именно, считать,

ных частиц как в сложных диэлектрических сре-

что взаимодействие с электромагнитным вакуумом,

дах, так и в любых открытых системах динамика

плотность фотонного состояния которого не имеет

ансамбля примесных частиц описывается кинетиче-

особенностей в рассматриваемой области спектра,

ским уравнением для матрицы плотности примес-

«включается» случайным образом, т. е. описывает-

ных частиц. И как для любого кинетического урав-

ся некоторым случайным процессом. Самое про-

нения, есть различные модели временной динамики,

стое, однако, рассматривать не включение-выклю-

которые эффективно дают одно и то же уравнение.

чение взаимодействия с вакуумным электромагнит-

Наш подход также приводит к кинетическому урав-

ным полем, а некоторую динамику константы взаи-

нению с дробной производной по времени, однако

модействия с вакуумным электромагнитным полем.

оно отличается от известных в излучательных за-

В обоих случаях, очевидно, имеем немарковское вза-

дачах и справедливо в силу нашего взгляда толь-

имодействие. Изменение «константы» будем также

ко для кооперативного излучения частиц в сложной

рассматривать как случайный процесс.

диэлектрической среде. Однако надо подчеркнуть,

Прыжковое изменение константы взаимодейст-

что полученное уравнение описывает и обычное СИ

вия с вакуумным электромагнитным полем предла-

как частный случай.

гается оценивать следующим образом. Спонтанное

Мы математически оформили нашу интерпрета-

излучение можно представить как квантовое бро-

цию в виде теории излучения ансамбля примесных

176

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Кооперативное излучение как субординированный случайный процесс

частиц как субординированного процесса, управля-

тьях продемонстрированы разные подходы [38-46].

емого случайным процессом, включающим взаимо-

Также укажем работы авторов по невинеровскому

действие квантовой примесной частицы с вакуум-

сверхизлучению [47-50], в которых теория СИ раз-

ным электромагнитным полем. Это, в свою оче-

вита до второго порядка по константе связи с элек-

редь, приводит к построению кинетического урав-

тромагнитным вакуумным полем, тогда как обыч-

нения для ансамбля возбужденных примесных час-

ная теория представляет собой теорию первого по-

тиц с дробной производной по времени. Подчерк-

рядка по константе связи с электромагнитным ва-

нем, что изложенный физический механизм появле-

куумным полем.

ния дробной производной и появление субординиро-

Будем рассматривать случай локализованного

ванного процесса для анализа излучения до сих пор

атомного ансамбля в сложной диэлектрической сре-

не обсуждались в литературе, хотя дробные произ-

де на основе результатов теории стандартного СИ

водные в излучательных задачах для описания про-

ансамбля одинаковых двухуровневых частиц. Пусть

цесса спонтанного излучения примесной частицы в

только пара уровней |E₁〉 и |E₂〉 могут быть заселен-

«сложной» диэлектрической среде уже неоднократ-

ными и пусть они связаны оптически разрешенным

но рассматривались [8, 31-37].

переходом. Основные результаты теории обычного

В нашей интерпретации возможно как описание

спонтанного излучения следуют из кинетического

реальных прыжков одной квантовой примеси, так

уравнения стандартного вида Линдблада [27,51-53]:

и рассмотрение ансамбля примесных частиц, а соб-

ственно неоднородным уширением спектральной ли-

(

dρ^S

нии можно в дальнейшем и пренебречь. Однако ес-

=χ R_-ρ^SR₊ -

R₊R_-ρ^S -

ли мы говорим о прыжках примесей, то число час-

)

тиц в ансамбле с единым квантовым состоянием,

ρ^S

R₊R_-

(1)

симметричным по перестановкам частиц, не может

быть произвольно велико и зависит от интенсивнос-

ти скачков частиц. Рассмотрение таких критичес-

R_- = |E₁〉〈E₂|, R₊ = |E₂〉〈E₁|,

ких чисел ансамбля представляет отдельную зада-

)

1⁽

чу. В данной статье для определенности рассмат-

R₃ =

|E₂〉〈E₂| - |E₁〉〈E₁| ,

риваем случай единого симметричного по переста-

[

]

[

]

R₃, R_±

= ±R_±, R₊, R_- = 2R₃.

новкам числа частиц квантового состояния. Дру-

гие пространственные особенности задачи «уходят»

в спектральные особенности среды и отражаются

Здесь χ — безразмерный множитель, пропорцио-

лишь в порядке дробной производной. Режим суб-

нальный константе связи атома с вакуумным окру-

ординации выходит за ограничения марковской тео-

жающим полем.

рии, как и полученное уравнение с дробной произ-

Всякое кинетическое уравнение, в том числе и

водной по времени. По сравнению с традиционным

уравнение (1), может быть представлено/«распута-

СИ выявлены отличия — в зависимости от поряд-

но» (unravelling) как более элементарный, но слу-

ка дробной производной в импульсе СИ появляются

чайный процесс. Например, к стандартному кине-

дополнительные провал и временной сдвиг макси-

тическому уравнению (1) приводит уравнение Шре-

мума интенсивности СИ, которые могут свидетель-

дингера, записанное в виде стохастического диффе-

ствовать в пользу представленного механизма СИ,

ренциального уравнения (СДУ) для апостериорного

хотя экспериментов по СИ в сложных диэлектричес-

вектора состояния. Уравнение для случайной мат-

ких средах авторам неизвестны. В теории дополни-

рицы плотности, когда переход от одного состояния

тельный провал характеризует СИ ансамбля приме-

к другому определяется тем или иным случайным

сей из небольшого числа частиц. Также временной

процессом, также дает при усреднении стандартное

хвост импульса СИ, скорость его уменьшения суще-

кинетическое уравнение [28-30]. В частности, кине-

ственно отличается от обычного случая СИ.

тическое уравнение (1) может быть получено из сто-

хастического уравнения Шредингера для атомно-

го волнового вектора |Ψ(t)〉. Таких уравнений мож-

2. ВВЕДЕНИЕ ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

но написать несколько, вкладывая разный смысл в

управляющие ими случайные процессы. Для приме-

Теория СИ вошла во многие учебники и моногра-

ра укажем такое СДУ, управляемое считывающим

фии по квантовой оптике, а в многочисленных ста-

процессом N(t) [30]:

177

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

[

]

R₊R_- - 1

(

)

Если χτ_Jump < 1 или χτ_Jump ≪ 1, в задаче воз-

d|Ψ(t)〉 =

-χ

dt +

R_- - 1

dN(t) |Ψ(t)〉,

никают два случайных процесса. Один из них дает

(

)₂

стандартное «распутывание» кинетического уравне-

dN(t)

= dN(t),

〈dN(t)〉 = χ dt.

ния по отношению случайности в процессах измене-

ния в квантовом состоянии примеси, связанным со

Если ввести компенсированный пуассоновский про-

спонтанным излучением. Другой процесс «распуты-

цесс

^Ń (t) = N(t) - χt, а затем перейти к винеровс-

вает» неоднородное уширение спектральной линии

кому процессу W (t) с алгеброй Ито

примеси с учетом особенностей спектра линейных

(dW (t))² = dt, dW (t) dt = dt dt = 0,

〈W (t)〉 = 0,

волн сложной диэлектрической среды.

В стационарном случае величины T₁, T₂, . . . пред-

то СДУ, управляемое винеровским процессом,

ставляют собой неотрицательные независимые оди-

[

наково распределенные (с плотностью вероятности

⁽R₊R_- + 1⁾

d|Ψ(t)〉 =

-χ

dt + χR_-dt +

ϕ(t)) случайные переменные. Эти величины должны

]

характеризоваться некоторым α-устойчивым рас-

√χ⁽R_- - 1⁾ dW (t) |Ψ(t)〉,

(2)

пределением, причем параметр α должен лежать в

диапазоне 0 < α < 1, поскольку такой α-устойчивый

также приводит к кинетическому уравнению (1). В

процесс характеризует замену обычной временной

работе [30] также приведено и уравнение для сто-

шкалы в картине спонтанного излучения на случай-

хастической матрицы плотности. Подчеркнем, что

ную, но моделирующую именно временную направ-

здесь дифференциалы понимаются в смысле Ито

ленность процессов.

[54]. В нашей интерпретации χ — однородная ши-

В случае представления кинетического уравне-

рина линии спонтанного излучения атома без учета

ния (1) винеровским СДУ (2) к моменту времени

особенностей сложной диэлектрической среды.

t случайные блуждания, связанные со спонтанным

При таком представлении винеровский процесс

излучением, совершат не детерминированное число

описывает случайные изменения в квантовом сос-

1+(t/δτ) скачков, а некоторое случайное число N(t),

тоянии, вызванные взаимодействием с квантован-

определяемое условием N(t) := max{N : T (N) ≤ t},

∑_N

ным электромагнитным полем. При дальнейшем

где T (N) =

T_i — суммарное время ожидания

i=1

стандартном представлении винеровского процесса

N-го скачка.

это означает, что в фиксированные моменты τ_j =

Процесс N(t) называют процессом восстановле-

= jδτ, j = 0, 1, 2, 3, . . ., происходят случайные скач-

ния [55-57]. Заметим, что разные авторы процессом

ки/изменения в населенности, вызванные взаимо-

восстановления называют несколько разные объек-

действием с электромагнитным вакуумом. Это скач-

ты.

ки броуновского движения (в случае (2)). В этом

Грубо говоря, N(t) = {N : T(N) = t}, и по-

месте мы вводим предположение, отвечающее при-

этому является обратной функцией к T (N), т. е.

нятой нами картине процессов в сложных диэлек-

T (N(t)) = t. В пределе δτ → 0 имеем следующие

трических средах. Вследствие сложной структуры

α-устойчивые процессы:

спектра сложных диэлектриков для частицы ан-

(

)-1/α

)

( τ

самбля примесей считаем, что само взаимодействие

→ U(τ),

δτ

примеси с электромагнитным вакуумом и связан-

(

)

ные с ним случайные скачки в населенности уров-

(δτ)^αN

→ S(t) = inf{τ : U(τ) > t},

ней примеси включаются в случайные моменты вре-

δτ

мени, разделенные случайными интервалами време-

)

( τ

(δτ)1/2R

→ X(τ),

ни T_j .

δτ

При представлении/«распутывании» механизма

(

))

неоднородного уширения частицы ансамбля возни-

(δτ)α/2R N

→

кает новый характерный масштаб времени — это ха-

δτ

рактерная «длительность» τ_Jump временной дина-

(

))

мики частицы, скачка частицы или ее параметров.

→ {(δτ)^α}1/2R N

→ X(S(t)),

(δτ)^α

В случайные моменты времени частица с новыми

параметрами начинает взаимодействовать с вакуум-

причем имеем свойство самоподобия aS(t)

ным электромагнитным полем. Если χτ_Jump ≫ 1, то

= S(a1/αt) и U(S(t)) = t (равенства по распределе-

имеем обычную марковскую динамику.

нию).

178

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Кооперативное излучение как субординированный случайный процесс

∫∞

Непрерывное случайное время U(τ), обратная

Γ(ν)

Γ(ν + 1)

〈Θ^ν 〉 = θ^ν g(θ) dθ =

величина S(τ) = min{τ : U(τ) ≥ t}, существует, так

αΓ(αν)

Γ(αν + 1)

как U(τ) ↑ — монотонно возрастающая функция.

Вернемся к первоначально введенному случай-

Отсюда находим преобразование Лапласа

ному времени и запишем его как T(Θ), обратная ве-

∑ (-s)ⁿ

личина Θ(t) = min{τ : Θ(τ) ≥ t} (существует, так

ĝ(s) = 〈exp(-sΘ)〉 =

= E_α(-s),

Γ(αn + 1)

как Θ(τ) ↑). Введем плотность распределения ве-

роятностей g(θ, t) для обратного времени Θ(t), θ —

где

∑ zⁿ

параметр. Поскольку T (Θ) < t ⇔ Θ(t) ≥ t, имеем

E_α(z) =

Γ(αn + 1)

соотношения

— функция Миттаг-Леффлера. Окончательно,

∫∞

F (t, θ) = P (T (Θ) < t) = P (Θ(t) ≥ θ) =

g(θ^′, t) dθ^′,

ĝ(s, t) = E_α(-st^α).

-∞

Эти (в известном смысле [58-63] стандартные)

откуда

манипуляции приводят к представлению процесса

спонтанного излучения примесного ансамбля час-

∫

∂

тиц в сложной диэлектрической матрице как под-

g(θ, t) = -

F (t, θ) = -

f (t^′, θ) dt^′,

∂θ

чиненного или субординированного случайного про-

-∞

цесса. Говорят, что X(S(t)) является подчиненным

к процессу X(t) и направляется процессом S(t), ко-

f (t, θ) — плотность распределения вероятностей для

торый называется направляющим. Направляющий

F (t, θ). Поскольку T (θ) — неотрицательная величи-

процесс иначе называют рандомизированным опе-

на, имеем

рационным временем [59, 63].

∫t

Вероятностные характеристики направляющего

∂

g(θ, t) = -

f (t^′, θ) dt^′.

процесса определяются следующими соображения-

∂θ

ми. Обозначим функцию плотности распределения

вероятности для U(τ) через p^T (t, τ), а для S(t) она

Образ Лапласа для f(t, θ) есть ρ(s, θ) = exp(-θ^αs)

дается p^S(τ, t). Тогда

[58]. Свойство самоподобия для f(t, θ) выражается

∫

равенством

∂

(

)

p^S(τ, t) = -

p^T (t^′, τ)dt^′.

∂τ

f (t, θ) =

f (t) = f(t, 1).

θ1/α

Для S(t) получаем (угловые скобки — среднее)

С учетом предшествующего выражения для g(θ, t)

∑

(-νt^α)ⁿ

получаем

〈exp(-νS(t))〉 =

= E_α(-νt^α).

Γ(1 + nα)

)

(

)

⁽ θ

g(θ, t) =

g(θ) =

С учетом свойств функции Миттаг-Леффлера полу-

t^α

αθ1+1/α

θ1/α

чаем плотность вероятности S(t) в виде

Имеем также полезное для дальнейшего соотноше-

)

(τ

ние

p^S(τ, t) = t^-α

M_α

t^α

∫∞

)

⁽ θ

где введена M-функция Райта [29]

exp(-θs^α) = α exp(-st)

dt.

tα+1

t^α

¹⁾ Фу∫кция Mα(z) неотрицательна для z ≥ 0 и норми-

∞

руема,

Mα(z) dz = 1, с образом Лапласа L(Mα(t, s)) =

Далее вычисляем моменты. Среднее 〈T^ν〉 бесконеч-

= Eα,1(-s). При 0 < α ≤ 1/2 она монотонно убывает, а при

но для ν ≥ α. Моменты 〈Θ^ν 〉 конечны для всех ν > 0.

1/2 < α < 1 имеет максимум в некоторой точке, зависящей

от α. Кроме того,

Умножая предыдущую формулу на θν-1 и интегри-

(

)

z²

руя по θ, получаем

M₁(z) = δ(z - 1), M1/2(z) = π-1/2 exp

∞

(

)

∫

Γ(ν)

Γ(αν)

M1/3(z) = 32/3Ai

= α〈Θ^ν 〉

exp(-st)tνα-1dt = α〈Θ^ν 〉

3¹/3

s^αν

Ai(z) — функция Эйри.

179

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

∑

(-z)^k

Здесь τ_Rel — время затухания возбуждения в рас-

M_α(z) =

k!Γ(1 - α - kα)

сматриваемом случае, τ_Markov — время затухания

k=0

возбуждения в марковском случае α = 1. Выписан-

В результате несложных вычислений, имея в виду

ная оценка согласуется с качественным рассмотре-

винеровский процесс как броуновское движение с

нием и принятой нами моделью только при условии

функцией распределения в виде

(

)

(

)

1 < log(τ_Rel)/log(τ_Markov)

< 2.

x²

p^R(τ, x) = (2πτ)-1/2 exp

2τ

Есть отдельная задача связать параметр α с моде-

находим [61]

лями спектра линейных волн в сложных диэлектри-

ческих средах и с механизмом неоднородного уши-

L(p^r(t, x), s) = sα-1L(p^R(t, x), s^α),

рения.

∫t

Заметим также, что режим субординации, вве-

1 ∂²p^r(τ, x)

p^r(t, x) = f(x) +

dτ(t - τ)α-1

денный для спонтанного коллективного излучения

Γ(α)

∂x²

ансамбля примесей сложной диэлектрической мат-

рицы, можно вводить на разных этапах и для раз-

или в эквивалентной форме, используя дробную

ных уравнений, например для уравнений для диа-

производную Римана - Лиувилля,

гональных матричных элементов (населенностей)

-α

f (x)t

1 ∂²p^r(t, x)

матрицы плотности. В окончательных уравнениях

D^αtp^r(t, x) =

(3)

Γ(1 - α)

∂x²

это должно быть учтено начальными условиями.

Здесь f(x) — начальное распределение.

Подчеркнем, что, говоря об изменении

3. ПРОЯВЛЕНИЕ ЭРИДИТАРНОСТИ В

вероятности во времени, мы, по сути дела, рас-

ИМПУЛЬСЕ СВЕРХИЗЛУЧЕНИЯ

суждаем на уровне кинетического уравнения. Для

АТОМНОГО АНСАМБЛЯ

классических функций распределения это уравне-

ние Фоккера - Планка, для квантовых квазивероят-

Перепишем уравнение (4) с другим определени-

ем дробной производной:

ностей — обобщенное уравнение Фоккера - Планка,

для матрицы плотности — просто кинетическое

(

d[ρ^S (τ)]^α

уравнение (или master equation). Во всех случаях

= R_-ρ^S(τ)R₊ -

R₊R_-ρ^S(τ) -

dτ^α

меняется только производная по времени. Для

)

рассматриваемого винеровского представления (2)

ρ^S(τ)R+R-

(5)

уравнения (1) это означает, что уравнение (1) для

рассмотренного процесса субординации следует

записывать с дробной производной по времени

df^α

f (τ + ϵτ1-α) - f(τ)

= lim

(6)

(0 < α < 1):

dτ^α

ϵ→0

(

которое при α = 1 соответствует производной в тра-

D^αtρ^S(t) == χ R_-ρ^S(t)R₊ -

R₊R_-ρ^S(t) -

диционном понимании. При записи (5) осуществлен

)

переход к новому безразмерному времени τ = χt.

В отличие от известных фрактальных производ-

ρ^S(t)R₊R_-

(4)

ных Римана - Лиувилля, Капуто, Грюнвальда - Лет-

никова, введенная соотношением (6) производная

Подчеркнем, что вид дробной производной в ки-

[64] T_αf = df^α/dτ^α обладает, например, следующи-

нетическом уравнении для матрицы плотности ан-

самбля примесных атомов (4) отличается от вида

ми особенностями:

дробной производной для примеси сложной диэлек-

T_αC = 0, C = const,

трической среды, полученного и исследованного в

T_ατ^p = pτ^p-α,

(7)

работах [8, 37]. В работах [8, 25] параметр α опреде-

лялся степенной зависимостью частоты вблизи осо-

T_α(f(τ)) = τ1-α

dτ

бенностей спектра и условие 0 < α < 1 не требова-

лось. В нашем случае вследствие предложенного ме-

Обсуждаемая фрактальная производная, в отличие

ханизма перескока параметр α можно оценить как

от других фрактальных производных, характеризу-

(

)

ется обычными правилами определения производ-

α ∼ log(τ_Rel)/log(τ_Markov)

- 1.

ных суммы, произведения и частного двух функций.

180

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Кооперативное излучение как субординированный случайный процесс

Решение с ее помощью задач по определению функ-

с постоянными коэффициентами и производной в

ции одной переменной может представлять явный

левой части, понимаемой в смысле определения (6).

вид искомого выражения в аналитическом виде.

Общее решение (9) можно представить как сум-

Будем интересоваться зависимостью интенсив-

му частного решения B и некоторой другой функ-

ности I(t) импульса кооперативного излучения ан-

ции u(τ):

самбля атомов от времени, которую традиционно

определим скоростью изменения среднего значения

y(τ) = B +

(10)

u(τ)

разности заселенностей системы:

Решением в виде B может выступать постоянная,

d〈R₃(t)〉

I(t) = -ℏω₀

(8)

поэтому, пользуясь соотношениями (7), для ее опре-

деления имеем квадратное уравнение, корни кото-

где ω₀ — частота рабочего перехода двухуровневого

рого

)

атома, а среднее значение оператора R₃ понимается

⁽1

N_p

(N_p + 2), -

как квантовое среднее по матрице плотности всего

коллектива атомов 〈R₃(t)〉 = Sp(R₃ρ(t)). Здесь мы

приводят к решению одного и того же вида. Под-

вернулись к традиционному пониманию представле-

ставляя решение (10) в уравнение (9) и вновь ис-

ния результатов в размерном времени.

пользуя соотношения (7), приведем окончательный

Мы использовали симметризованный по всем

вид искомой функции разности заселенностей для

возможным перестановкам состояний атомной си-

заданного начального условия:

стемы базис Дике. Его базисные функции |r, m〉 об-

N_p + 1 N_p - expΘ_α

разуют (2r + 1)-мерное представление алгебры мо-

y(τ) =

(11)

N_p + expΘ_α

мента с генераторами R₃ и R^±,

√

Производная найденной функции и определяет вид

R^±|r, m〉 =

(r ∓ m)(r ± m + 1)|r, m ± 1〉,

выражения для интенсивности импульса излучения

в случае фрактальной динамики системы:

являясь собственными векторами операторов Кази-

мира

(N_p + 1)²

2N_p expΘ_α

I(τ) = -ℏω₀

τα-1

(12)

R² =

(R⁺R^- + R^-R⁺) + R²³

(N_p + exp Θ_α)²

и инверсии R₃:

В этих выражениях Θ_α = (N_p +1)τ^α/α. Полученные

выражения обладают свойством нелокальности или

R²|r, m〉 = r(r + 1)|r, m〉, R₃|r, m〉 = m|r, m〉.

эридитарности. Действительно, при α = 1 выраже-

ния (11) и (12) переходят в известные выражения

Будем анализировать стандартную ситуацию из-

(

)

лучения атомным ансамблем из Np = 2r полно-

N_p + 1

y(t) =

(N_p + 1)(t - t₀)

(13)

стью возбужденных атомов. Такое состояние отве-

чает вектору |N_p/2, N_p/2〉 начального состояния си-

стемы. Оператор R² является интегралом движе-

(N_p + 1)²

ния, сохраняя в процессе эволюции свое среднее

I(t) = -ℏω₀χ

(

)

〈R²〉 = (Np/2)(Np/2 + 1) по начальному состоя-

× sch²

(N_p + 1)(t - t₀)

(14)

нию. Обозначим среднее значение разности заселен-

ностей функцией y(τ) = 〈R₃(τ)〉 с начальным зна-

для среднего от разности заселенностей и интенсив-

чением y(0) = N_p/2 и пренебрежем флуктуациями

ности в импульсе сверхизлучения изначально полно-

разностей заселенности. Для последней будем счи-

стью возбужденного атомного ансамбля. Эти выра-

тать, что 〈R²³(τ)〉 ≈ 〈R₃(τ)〉². Следует особо отме-

жения во избежание путаницы приведены для раз-

тить, что такое приближение означает достаточное

мерного времени. В них также введено время за-

число атомов в ансамбле N_p ≫ 1, поскольку имен-

держки

но в этом случае реализуется указанное выше при-

ближение. Тогда из (5) следует известное уравнение

t₀ = (χ(N_p + 1))-1 ln N_p,

(15)

Рикатти, описывающее динамику разности заселен-

которое определяет время, в течение которого пол-

ностей:

(

)

ностью возбужденный ансамбль переходит в полу-

dy^α

N_p

возбужденное состояние |N_p/2, 0〉, а заселенности

=y² -y-

(9)

dτ^α

рабочих уровней в этой ситуации выравниваются.

181

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Рис. 1. Графики временных зависимостей разности засе-

Рис. 2. Временные зависимости импульсов сверхизлуче-

ленностей рабочих уровней кооперативной системы для

ния для атомных систем с числом атомов Np,1 = 10 (а)

Np,1 = 10 (а) и Np,2 = 50 (б) атомов. Кривые отвеча-

и Np,2 = 50 (б). Кривые отвечают следующим значениям

ют следующим значениям параметра фрактальности: 1 —

параметра фрактальности: 1 — пунктирные кривые, 0.9 —

пунктирные кривые, 0.9 — штриховые, 0.8 — сплошные

штриховые, 0.8 — сплошные

На рис. 1 представлены зависимости среднего

Проведем исследование наблюдаемых времен-

значения оператора разности заселенностей 〈R₃(τ)〉

атомного ансамбля при разных значениях фрак-

ных характеристик, в качестве которых выступают

кооперативная населенность и интенсивность им-

тального параметра α. Из графиков следует, что

пульса сверхизлучения в зависимости от парамет-

увеличение значения этого параметра приводит к

ра фрактальности или значения величины дробной

увеличению эффективной скорости релаксации ан-

производной. Напомним, что уравнение Рикатти,

самбля, при этом сама функция остается монотон-

описывающее сверхизлучение, получено в прибли-

но убывающей. Изменение масштаба как временной

жении, когда число атомов ансамбля относительно

шкалы, так и самой анализируемой величины свя-

зано с учетом их зависимости от числа атомов в ан-

велико. В исходном уравнении (8) мы пренебрега-

ли различием средних значений квадрата операто-

самбле.

ра разности заселенностей 〈R²³〉 и квадрата средне-

Напротив, в зависимости интенсивности I(τ) им-

го 〈R₃〉², а следовательно, его флуктуациями. Будем

пульса сверхизлучения от времени существенно про-

исследовать обсуждаемые режимы, когда число ато-

является фрактальный параметр. Из рис. 2 видно,

мов в системе равно Np,1 = 10 и Np,2 = 50.

что независимо от числа атомов в ансамбле, для слу-

182

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Кооперативное излучение как субординированный случайный процесс

ность характеризует проявление субординации в ко-

оперативном излучении ансамблем с симметричным

по перестановкам частиц начальным квантовым со-

стоянием. Здесь можно было бы говорить о свое-

образном фрактальном вакууме, но это лишь игра

слов. Экстремальные значения времен определены

следующим параметрическим уравнением:

N_p + 1

N_p + expΘ_α

τ^α =

(16)

1-α

N_p - expΘ_α

Его решение представлено в графическом виде на

рис. 3. Здесь штриховые кривые определяют пове-

дение правой части равенства (16), а сплошные —

его левой части. Точки пересечения кривых и опре-

деляют характерные экстремальные времена на гра-

фиках временной зависимости импульса интенсив-

ности кооперативного излучения системы. Отметим,

что уравнение (16) естественно сводится к виду (15)

при α = 1. Наконец, при дальнейшем уменьше-

нии фрактального параметра кривые, характеризу-

ющие трансцендентное уравнение, перестают пере-

секаться, что и продемонстрировано на рис. 4 как

отсутствие корней обсуждаемого уравнения, и им-

пульс излучения перестает обладать какими-либо

особенностями. Он теперь характеризуется моно-

тонно убывающей кривой, как в случае коллектив-

ного излучения возбужденного ансамбля сфазиро-

ванных классических осцилляторов.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рис. 3. Решение трансцендентного уравнения (16) при зна-

чении параметра фрактальности α = 0.8 для атомных сис-

В работе предложено физическое обоснование

тем с числом атомов Np,1 = 10 (а) и Np,2 = 50 (б). Точ-

появления субординированного процесса для описа-

ки пересечения кривых — корни уравнения, определяющие

ния кооперативного спонтанного излучения в слож-

экстремальные значения интенсивности импульса сверхиз-

ных диэлектрических средах и в качестве примера

лучения. Сплошные кривые — правая часть уравнения,

штриховые — левая

рассмотрен простой случай кооперативного излуче-

ния нескольких примесных частиц. Выделим три ас-

пекта предложенного подхода к исследованию кол-

лективного излучения примесных частиц в сложных

чая излучения системы при взаимодействии с обыч-

диэлектрических средах.

ным широкополосным вакуумом (кривые, опреде-

Первый аспект состоит в использовании «распу-

ленные точками на графиках) наблюдается макси-

тывания» распределения примесных атомов по час-

мум интенсивности, он единственный и определен

тотам и замене распределения на временную дина-

временем задержки τ₀ = χt₀ импульса сверхизлуче-

мику примесных частиц, состоящей в случайном из-

ния согласно уравнению (15). Этот промежуток вре-

менении параметров и/или положения и парамет-

мени, в течение которого возбужденный ансамбль

ров частиц. Это привело к необходимости использо-

переходит в полувозбужденное состояние. Уменьше-

вания субординированных процессов, которые дают

ние параметра α до некоторого критического зна-

новый взгляд на старую проблему излучения час-

чения, разного для разных ансамблей, приводит к

тиц в диэлектрических средах. Сам вопрос о грани-

появлению характерного провала — минимума на

цах, в которых такое рассмотрение не только воз-

начальном этапе развития импульса (пунктирные

можно, но и необходимо, частично решается рас-

и сплошные кривые графиков). Именно эта особен-

смотрением спектральных особенностей линейных

183

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

которых параметры взаимодействия зависят от час-

тот, времени (смотря какую форму слагаемых урав-

нения использовать). Известно, что стандартному

марковскому приближению отвечает пренебрежение

зависимостью параметров взаимодействия от час-

тот. Тогда в одном из подходов к теории открытых

систем удается ввести основные стохастические про-

цессы и представить уравнение Шредингера, напри-

мер, как квантовое или классическое стохастическое

дифференциальное уравнение типа (2). Случайная

зависимость параметров этого уравнения от време-

ни или частоты, например, параметра χ, приводит

к ситуации, когда в коэффициент у дифференциала

Ито одного случайного процесса мультипликатив-

но входит дифференциал Ито другого случайного

процесса. Один из вариантов возникновения такой

ситуации в марковском случае рассмотрен в работе

[65]. В общем случае, однако, ситуация немарковс-

кая, и в данной статье предлагается иной и весьма

общий подход — один из указанных процессов рас-

сматривать как субординатор. Получается в неко-

тором смысле вполне канонический подход, кото-

рый требует дальнейшего изучения с точки зрения и

получения конкретных результатов, и определения

границ необходимости такого подхода.

Третий аспект связан с учетом пространствен-

ных особенностей. Первоначально теория сверхиз-

лучения относилась к локализованному атомному

ансамблю и строилась как линейная (по парамет-

ру взаимодействия с квантованным электромагнит-

Рис. 4. У трансцендентного уравнения (16) отсутствуют ре-

ным вакуумом) теория. Линейность здесь понимает-

шения при значениях фрактального параметра α = 0.555 и

ся в смысле алгебраической теории возмущений [66],

меньших для атомной системы с числом атомов Np,1 = 10

эквивалентной суммированию целого ряда обычной

(а) и при значениях α = 0.38 и меньших для атомной си-

теории возмущений. Такой «линейный» подход в

стем с числом атомов Np,2 = 50 (б). Сплошные кривые —

резонансной физике более известен как приближе-

правая часть уравнения, штриховые — левая

ние вращающейся волны. Выход за рамки прибли-

жения вращающейся волны активно обсуждается,

однако еще со времен монографии [67] считается,

волн в сложных диэлектрических средах. Однако

что поправки второго порядка по взаимодействию с

возникает целый ряд новых задач по рассмотрению

квантованным электромагнитным вакуумом не да-

излучения примесных частиц, которые в сложных

ют вклада в кинетическое уравнение и, соответ-

диэлектрических средах демонстрируют прыжковое

ственно, не влияют на картину сверхизлучения в

поведение и различные взаимодействия с дефекта-

обсуждаемом контексте. В работах [47-50] учет ан-

ми и самой средой. При этом отдельным вопросом

тивращающих слагаемых проведен в рамках алгеб-

является учет пространственной динамики примес-

раической теории возмущений как учет слагаемых,

ных частиц. Использование субординации в неко-

квадратичных по параметру взаимодействия с кван-

тором смысле в предложенном подходе оказалось

тованным электромагнитным вакуумом. Показано,

простым — в кинетических уравнениях обычной тео-

что картина сверхизлучения Дике резко меняется —

рии проводится лишь замена обычной производной

в зависимости от числа атомов ансамбля возника-

по времени на дробную производную.

ет эффект стабилизации возбужденных атомов по

Второй аспект предложенного подхода состоит

отношению к коллективным процессам излучения.

в способе работы с динамическими уравнениями, в

Однако этот результат получен для модели возбуж-

184

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Кооперативное излучение как субординированный случайный процесс

денных одинаковых атомов, локализованных в про-

Финансирование. Работа выполнена при

странстве в области, размеры которой много мень-

частичной финансовой поддержке Российского

ше длины волны излучения. Проблема учета про-

фонда фундаментальных исследований (грант

странственного распределения для СИ актуальна,

№19-02-00234а).

поскольку СИ является нежелательным эффектом

в системах многокубитной квантовой памяти, а об-

наруженный в работах [47-50] эффект стабилизации

ЛИТЕРАТУРА

дает способ его устранения.

Если пространственное распределение учиты-

L. Pavesi and M. Ceschini, Phys. Rev. B 48, 17625

вать непосредственно введением координат атомов,

(1993).

то на этом пути не удается ввести основные кван-

R. Rohlsberger, K. Schlage, T. Klein, and O. Leupold,

товые случайные процессы, свойства которых обес-

Phys. Rev. Lett. 95, 097601 (2005).

печили бы явное суммирование рядов в формаль-

ном решении уравнения Шредингера и привели бы

C. Rothe, S. I. Hintschich, and A. P. Monkman, Phys.

к эффекту стабилизации возбужденного состояния

Rev. Lett. 96, 163601 (2006).

атомного ансамбля. Другой путь был предложен в

работе [65]. Наша статья делает шаг для поиска ре-

J. Linnros, N. Lalic, A. Galeckas, and V. Grivickas,

J. Appl. Phys. 86, 6128 (1999).

шения проблемы учета пространственного распре-

деления атомов ансамбля в направлении введения

M. D. Tocci, M. Scalora, M. J. Bloemer, J. P. Dow-

субординированных процессов.

ling, and C. M. Bowden, Phys. Rev. A 53, 2799

Подчеркнем, что предложенное в статье введе-

(1996).

ние субординированного процесса позволяет стро-

P. Lodahl et al., Nature 430, 654 (2004).

ить основное кинетическое уравнение системы в

рамках марковского приближения и с использова-

I. Thanopulos, V. Karanikolas, N. Iliopoulos, and

нием мощного аппарата стохастических дифферен-

E. Paspalakis, Phys. Rev. B 99, 195412 (2019).

циальных уравнений. Последующее распутывание

Jing-Nuo Wu, Chih-Hsien Huang, Szu-Cheng Cheng,

кинетического уравнения с помощью классического

and Wen-Feng Hsieh, Phys. Rev. A 81, 023827

винеровского процесса позволяет перейти на язык

(2010).

кинетических уравнений для вероятностей и ква-

зивероятностей. После этого немарковость опреде-

Wei-Min Zhang, Ping-Yuan Lo, Heng-Na Xiong,

ляется введением рандомизированного времени, ко-

Matisse Wei-Yuan Tu, and Franco Nori, Phys. Rev.

торое меняет лишь моменты совершения скачков

Lett. 109, 170402 (2012).

броуновского движения и отражается лишь на за-

10.

K. Sinha, P. Meystre, E. A. Goldschmidt, F. K. Fa-

мене временной производной кинетического уравне-

temi, S. L. Rolston, and P. Solano, Phys. Rev. Lett.

ния на дробную производную. Физические процессы

124, 043603 (2020).

изменения моментов времени совершения случай-

ных скачков броуновского движения могут быть са-

11.

R. Kohlrausch, Ann. Phys. Lpz. 12, 353 (1847).

мыми разнообразными и необходима более деталь-

12.

F. Alvarez, A. Alegra, and J. Colmenero, Phys. Rev.

ная проработка возникающих здесь связей.

B 44, 7306 (1991).

Наконец отметим, что с точки теории коопе-

ративного излучения в нашей статье использова-

13.

K. Funke, Solid State Ionics 40-41, 200 (1990).

но простое предположение, что состояние ансамбля

14.

E.-J. Donth, The Glass Transition: Relaxation Dy-

примесей симметрично по перестановке частиц. В

namics in Liquids and Disordered Materials, Sprin-

форме линии импульса СИ это отразилось в нали-

ger-Verlag, Berlin (2001).

чии провала, но для небольшого числа частиц ан-

самбля. Предположение о наличии иных состояний,

15.

A. Jedrzejowska et al., Phys. Rev. E 101, 010603(R)

например антисимметричных по перестановкам час-

(2020).

тиц, должно приводить к перепутыванию кванто-

16.

G. R. Kneller and M. Saouessi, J. Phys. A 53, 20LT01

вых состояний [68] аналогично обычному случаю, но

(2020).

это еще более усложняет ситуацию спонтанного из-

лучения в сложных диэлектрических средах.

17.

Y. Luchko, Mathematics 8, 1561 (2020).

185

ЖЭТФ, вып. 2 (8)

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

18.

D. Boyanovsky, D. Jasnow, X.-L. Wu, and R. C. Co-

39.

А. В. Андреев, В. И. Емельянов, Ю. А. Ильинский,

alson, Phys. Rev. A 100, 043617 (2019).

Кооперативныe явления в оптике. Сверхизлуче-

ние. Бистабильность. Фазовые переходы, Наука,

19.

R. Tan, X. Xu, and D. Poletti, Phys. Rev. A 101,

Москва (1988).

023603 (2020).

40.

Y. Luo et al., Phys. Rev. Lett. 122, 233901 (2019).

20.

A. Kaminska and T. Srokowski, Phys. Rev. E 97,

062120 (2018).

41.

P. Kirton and J. Keeling, Phys. Rev. Lett. 118,

123602 (2017).

21.

K. Fujimoto, R. Hamazaki, and M. Ueda, Phys. Rev.

42.

N. Shammah, N. Lambert, F. Nori, and S. De Libe-

Lett. 120, 073002 (2018).

rato, Phys. Rev. A 96, 023863 (2017).

22.

R. Bouganne, M. B. Aguilera, A. Ghermaoui,

43.

P. Weiss, A. Cipris, R. Kaiser, I. M. Sokolov, and

J. Beugnon, and F. Gerbier, Nature Phys. 16, 21

W. Guerin, Phys. Rev. A 103, 023702 (2021).

(2020).

44.

И. В. Рыжов и др., ЖЭТФ 151, 803 (2017).

23.

W. Berdanier, J. Marino, and E. Altman, Phys. Rev.

Lett. 123, 230604 (2019).

45.

Д. Я. Байрамдурдыев и др., ЖЭТФ 158, 269

(2020).

24.

Md. Sariful Sheikh et al., Thin Solid Films 638, 277

(2017).

46.

S. J. Masson et al., Phys. Rev. Lett. 125, 263601

(2020).

25.

R. Metzler and J. Klafter, J. Non-Cryst. Sol. 305, 81

(2002).

47.

A. M. Basharov, Phys. Rev. A 84, 013801 (2011).

26.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 116, 469 (1999).

48.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 158, 978 (2020).

27.

C. W. Gardiner and P. Zoller, Quantum Noise, Sprin-

49.

А. М. Башаров, А. И. Трубилко, ЖЭТФ 155, 654

ger-Verlag, Berlin (2000), (2004).

(2019).

50.

А. М. Башаров, А. И. Трубилко, ЖЭТФ 155, 425

28.

P. Warszawski and H. M. Wiseman, J. Opt. B:

(2019).

Quantum Semiclass. Opt. 5, 1 (2003).

51.

А. С. Холево, в сб. Итоги науки и техники.

29.

P. Warszawski and H. M. Wiseman, J. Opt. B:

Совр. пробл. математики. Фунд. направления,

Quantum Semiclass. Opt. 5, 15 (2003).

ВИНИТИ, Москва 83, 3 (1991).

30.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 109, 699 (2019).

52.

A. M. Chebotarev, Lectures on Quantum Probability,

Sociedad Mathematica Mexicana (2000).

31.

G. L. Lippi, Atoms 9, 6 (2021).

53.

Х.-П. Бройер, Ф. Петруччионе, Теория открытых

32.

L. Lu and X. Yu, Laser Phys. Lett. 14, 115202 (2017).

квантовых систем, Институт компьютерных ис-

следований, Москва (2010).

33.

J. F. Gomez Aguilar, K. M. Saad, and D. Baleanu,

Opt. Quant. Electron. 51, 316 (2019).

54.

К. В. Гардинер, Стохастические методы в есте-

ственных науках, Мир, Москва (1986).

34.

A. N. Pisarchik and R. Jaimes-Reategui, Phys. Lett.

A 374, 228 (2009).

55.

А. А. Боровков, Обобщенные процессы восстанов-

ления, РАН, Москва (2020).

35.

Y. O. Barmenkov et al., J. Appl. Phys. 106, 1 (2009).

56.

Б. А. Севастьянов, в сб. Итоги науки и техники.

36.

A. D. Guzman-Chavez, Y. O. Barmenkov, and

Сер. Теор. вероятн. Мат. стат. Теор. кибернет.,

A. V. Kir’yanov, Appl. Phys. Lett. 92, 1 (2008).

ВИНИТИ, Москва 11, 99 (1974).

37.

C. H. Huang, J. N. Wu, Y. Y. Li, S. C. Cheng, and

57.

Д. Кокс, В. Смит, Теория восстановления, Сов. ра-

W. F. Hsieh, Phys. Rev. A 84, 013802 (2011).

дио, Москва (1967).

38.

M. G. Benedict, A. M. Ermolaev, V. A. Malyshev,

58.

J. Bertoin, Levy Processes, Cambridge Univ. Press,

I. V. Sokolov, and E. D. Trifonov, Super-Radiance:

Cambridge (1996).

Multiatomic Coherent Emission, Institute of Physics

Publ., Bristol, UK (1996).

59.

J. Bertoin, Lect. Notes Math. 1717, 1 (1999).

186