ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 2 (8), стр. 275-282

ПОПЕРЕЧНЫЙ ТЕРМОМАГНИТНЫЙ ЭФФЕКТ

В ДВУМЕРНОМ ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ ПОВЕРХНОСТНОЙ

ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СВЕРХРЕШЕТКИ

А. А. Перов^*, П. В. Пикунов

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

603950, Нижний Новгород, Россия

Поступила в редакцию 15 марта 2021 г.,

после переработки 7 апреля 2021 г.

Принята к публикации 21 апреля 2021 г.

В одноэлектронном приближении во внешнем магнитном поле при наличии градиента температуры рас-

считана поверхностная плотность тока носителей заряда в двумерных двоякопериодических полупро-

водниковых сверхрешетках n-типа. Магнитное поле полагалось постоянным, однородным, приложенным

перпендикулярно плоскости электронного газа. В результате совместного решения уравнения Шрединге-

ра и кинетического уравнения Больцмана показано, что зависимости поверхностной плотности попереч-

ного тока от температуры и модуля градиента температуры имеют существенно нелинейный характер и

на них присутствуют участки с отрицательной поперечной дифференциальной проводимостью. Зависи-

мость времени релаксации от квазиимпульса электрона учтена в модели феноменологически через закон

дисперсии носителей в магнитных подзонах.

DOI: 10.31857/S0044451021080113

дальным законом дисперсии. В сильных магнитных

полях, ориентированных в плоскости слоя сверх-

решетки, при рассеянии носителей на полярных

1. ВВЕДЕНИЕ

оптических фононах коэффициент НЭ менял знак.

Известно, что магнитное поле квантует попереч-

В кристаллах селенида ртути с примесями атомов

ное движение заряженной частицы, а поле кристал-

галлия и железа поперечный эффект НЭ протекал

лической решетки приводит к образованию энерге-

со сменой знака при изменении концентрации

тических зон. В результате в зонах проводимости и в

примесных атомов галлия, определяющих степень

валентной зоне полупроводников в магнитном поле

упорядочения ионов железа в образце [4]. В ра-

формируются «лестницы» уровней Ландау. В дей-

боте

[5] исследованы осцилляции коэффициента

ствительности, как показывают результаты первых

Нернста в щелевом и бесщелевом графене с учетом

теоретических работ, выполненных в середине про-

зависимости положения уровней Ландау от вели-

шлого столетия [1, 2], уровни Ландау в кристаллах

чины электрического поля. В недавней работе [6]

уширяются в зоны экспоненциально малой ширины.

построена квантовая кинетическая теория термо-

Причиной тому является снятие вырождения состо-

электрического транспорта в магнитном поле. Учет

яний в магнитном поле по центру орбиты вследствие

топологической фазы Берри магнитных подзон

взаимодействия заряженной частицы с электроста-

блоховских электронов, приводящей к возникно-

тическим периодическим полем кристалла.

вению аномальной скорости носителей, позволил

Непараболичность закона дисперсии носителей

авторам рассчитать эффект Нернста и показать

в материалах приводит к нетривиальному течению

справедливость соотношений Онзагера в рамках

термомагнитных [3-6], магнитотранспортных [7] и

развитой ими кинетической теории.

магнитооптических [8] эффектов. Так, в работе [3]

рассчитан коэффициент Нернста - Эттинсгаузена

Предметом нашего исследования является дву-

мерный электронный газ в области полупроводни-

(НЭ) в одномерных сверхрешетках с косинусои-

кового гетероперехода с поверхностной двоякопери-

^* E-mail: wkb@inbox.ru

одической сверхрешеткой с периодом a, помещенно-

275

А. А. Перов, П. В. Пикунов

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

упорядоченности квантовых точек была невысокой,

что сказывалось на ожидаемых результатах экспе-

риментов по магнитотранспорту и магнитооптике.

С развитием технологии субмикронной электрон-

ной литографии стало возможным формировать

двоякопериодические сверхрешетки с требуемым

периодом и симметрией элементарной ячейки. Тео-

рия квантовых состояний носителей заряда в таких

поверхностных сверхрешетках опередила создание

самих структур и эксперименты на несколько

десятилетий. К настоящему моменту эксперимен-

тально изучена минизонная структура спектра

электронов в поверхностных двоякопериодических

полупроводниковых сверхрешетках по результатам

магнитотранспортных и магнитооптических изме-

рений [11-13]. Вплоть до настоящего времени идет

Рис. 1. Схема полупроводникового гетероперехода с по-

поиск новых материалов для создания двумерных

верхностной сверхрешеткой, помещенного в перпендику-

искусственных кристаллов [14]. Литографические

лярное магнитное поле H

технологии позволяют в итоге «конструировать»

зонную структуру носителей и изучать, например,

безмассовые дираковские квазичастицы в решет-

го в постоянное однородное перпендикулярное маг-

ке с элементарной ячейкой в виде правильного

нитное поле. На рис. 1 представлена типичная схе-

шестиугольника [15].

ма такой структуры. В присутствии градиента тем-

Для актуальных в современных эксперимен-

пературы в плоскости гетероперехода в направле-

тах параметров полупроводниковых сверхрешеток

нии, перпендикулярном магнитному полю и ∇T ,

[11, 12] и величин напряженности магнитного поля

возникает поверхностный термомагнитный ток. В

порядка нескольких десятков тысяч эрстед типич-

данной работе использована простая модель зна-

ное расщепление в спектре носителей, обусловлен-

копеременного периодического электростатическо-

ное действием электростатического поля сверхре-

го потенциала сверхрешетки, которая, по нашему

шетки на электрон, оказывается много меньше ха-

мнению, призвана отразить фундаментальные свой-

рактерной энергии Ландау ℏω_c. Поэтому становится

ства электронного спектра и особенности возникно-

возможным проводить модельные расчеты кванто-

вения поперечного термомагнитного тока в изучае-

вых состояний электрона в одноуровневом прибли-

мых структурах. Эффект появления нернстовского

жении, когда можно пренебречь примесью состо-

тока сам по себе не является новым, но в рассматри-

яний Ландау в состояниях магнитных блоховских

ваемых модельных структурах ранее в литературе

подзон данного уровня E_S

= ℏω_c(S + 1/2) с за-

не освещался и не обсуждался.

данным значением номера S. Кроме того, посколь-

Идея искусственных периодических структур,

ку характерный период сверхрешеток в несколь-

обладающих свойствами, не реализуемыми в при-

ко десятков нанометров на два порядка превосхо-

родных веществах, была высказана Келдышем

дит масштаб естественной периодичности кристал-

еще в 1962 году [9]. Но реальным содержанием

ла, использование приближения изотропной эффек-

она наполнилась лишь после появления технологии

тивной массы в Γ-точке является оправданным.

молекулярно-лучевой эпитаксии, позволившей изго-

тавливать периодические искусственные структуры

с заранее заданными параметрами слоев. С тех

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОД

пор многие лаборатории стали уделять большое

РАСЧЕТА

внимание поискам новых периодических структур.

На рубеже

1995-1998 годов группой Леденцова

Классификация электронных состояний во

были выращены двоякопериодические планарные

внешних постоянном однородном магнитном и

массивы квантовых точек InAs на подложке из

двоякопериодическом электростатическом полях

арсенида галлия [10]. Такие структуры обладали

по неприводимым проективным представлениям

малой периодичностью порядка 20 нм, но степень

группы магнитных трансляций возможна лишь

276

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Поперечный термомагнитный эффект...

в случае, когда магнитное поле ориентировано

Численное решение задачи на собственные значения

перпендикулярно плоскости газа носителей

[16].

и собственные функции для гамильтониана (1) про-

При этом необходимо также, чтобы число квантов

водилось нами путем унитарных преобразований ба-

магнитного потока, пронизывающего элементарную

зиса, сохраняющих норму вектора.

ячейку кристалла, было рациональным числом:

eHa²

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Φ₀

2πℏc

В результате электронная волновая функция также

Расчеты положения магнитных подзон Ландау

нулевого уровня энергии в магнитном поле в зави-

является собственной функцией оператора магнит-

ной трансляции и удовлетворяет обобщенным усло-

симости от числа квантов магнитного потока че-

рез элементарную ячейку сверхрешетки приведе-

виям Блоха в магнитном поле [17] (условиям Бло-

ха - Пайерлса).

ны на рис. 2. Амплитуда периодического потен-

циала сверхрешетки принята в расчетах равной

Гамильтониан, описывающий квантовомехани-

ческое движение электрона в рассматриваемой сис-

V₀ = 1 мэВ. Количество магнитных подзон совпада-

теме, имеет вид

ет с числителем дроби p/q. Положение уровня Фер-

(

)

ми таково, что заполнена низшая магнитная под-

2πx

2πy

Ĥ= Hˆ₀ + V₀ cos

+ cos

Ê,

(1)

зона Ландау (μ = 1) при p/q = 4/1 и концентра-

ция носителей заряда составляет величину порядка

где V₀

— амплитуда периодического потенциала

n = 10¹¹ см-2. Модуль вектора напряженности маг-

сверхрешетки,

H₀ — гамильтониан электрона в по-

нитного поля при указанных выше значениях перио-

стоянном однородном магнитном поле,

Ê— единич-

да сверхрешетки и числа квантов магнитного потока

ный оператор. Предполагается заполненным низ-

равен H = 6.626 · 10⁴ Э. Ширина расщепленной зон-

ший уровень размерного квантования E₁ в облас-

ной структуры при этом много меньше характерной

ти гетероперехода (см. рис. 1). Эффективная масса

энергии Ландау ℏω_c = 2πℏ²p/m^∗a²q ≈ 11.4 мэВ.

m^∗ электрона в GaAs взята равной 0.067m_e, период

Расчеты законов дисперсии носителей в магнит-

сверхрешетки a = 50 нм.

ных подзонах нулевого уровня Ландау приведены на

Рассчитаем спектр магнитных подзон, образо-

рис. 3 при числе квантов потока p/q = 4/1. Посколь-

вавшихся на месте основного (нулевого) уровня

ку модельный периодический потенциал сверхре-

энергии в магнитном поле, E₀

= ℏω_c/2. Волно-

шетки обладает центром инверсии, согласно теоре-

вая функция электрона в μ-й магнитной подзоне

ме Крамерса, в магнитном поле законы дисперсии

(μ = 1, p), удовлетворяющая обобщенным гранич-

ным условиям Блоха в магнитном поле, представ-

ляется в виде симметризованной линейной комби-

нации базисных состояний Ландау ϕ₀ в постоянном

магнитном поле:

∑

ψμk(x, y) =

C^μn(k)×

n=1

)

∑

⁽x - x₀ - lqa - nqa/p

ϕ₀

l_H

l=-∞

[

(

)]

nqa

× exp(ik_yy) exp ik_x lqa +

[

]

2πiy

× exp

(lp + n) ,

(2)

Рис.

2. Зависимость положения магнитных блоховс-

где l_H — магнитная длина, x₀ = сℏk_y/eH = k_yl2H .

ких подзон, относящихся к основному уровню Лан-

Волновые функции (2) представляют собой p-мер-

дау, от числа квантов магнитного потока через эле-

ное расслоение над двумерным тором — магнитной

ментарную ячейку сверхрешетки в модельной структуре

зоной Бриллюэна (МЗБ):

AlGaAs/GaAs/AlGaAs при параметрах V0 = 1 мэВ, m^∗ =

= 0.067m0, a = 50 нм

≤k_x ≤

≤k_y ≤

277

А. А. Перов, П. В. Пикунов

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

|e|ηζ

∂f^μ(k, ζ)

[f^μ(k, ζ) - F^μ(k)] ,

(4)

ℏ

∂k_x

где F^μ(k) = f^μ(k, 0) — равновесная функция рас-

пределения Ферми - Дирака, ζ = (∇T )_x, η — посто-

янная Зеебека (для GaAs η ≃ 3 · 10^-6 ед. СГС_V /K

[19]).

Зависимость времени релаксации от квазиим-

пульса электрона учтена нами феноменологически

через закон дисперсии двумерных носителей ε(p) в

рамках наиболее подходящей модели, развитой в ра-

боте [20]:

τ (p) ∼ (kT )^β ε(p)α+0.5.

Расчеты поперечного тока были проведены для слу-

чаев рассеяния электрона на нейтральных примесях

(α = 0, β = 0) и акустических фононах (α = -0.5,

β = -1). Проекция вектора скорости υ^μy(k) электро-

на и его эффективная масса в подзоне Ландау су-

щественным образом зависят от точки в МЗБ вслед-

ствие непараболичности спектра. Результаты расче-

тов проекции скорости υ1y(k) и функции распределе-

ния носителей по импульсам f¹(k, ζ) представлены

на рис. 4. Белые контурные линии задают сечения

функции распределения, а тонированные области

соответствуют сечениям проекции скорости υ1y(k) в

МЗБ. Более темные области тона отвечают мень-

шим значениям проекции скорости. При ненулевом

градиенте температуры (рис. 4б,в,г) неравновесная

функция распределения Больцмана, в отличие от

Рис. 3. Законы дисперсии в магнитных подзонах, относя-

щихся к основному уровню Ландау, при p/q = 4/1 в мо-

равновесной (рис. 4а), не обладает симметрией по-

дельной структуре AlGaAs/GaAs/AlGaAs с параметрами

воротной оси четвертого порядка в МЗБ, и в неод-

V0 = 1 мэВ, m^∗ = 0.067m0, a = 50 нм

нородном температурном поле с заданным градиен-

том максимум распределения носителей смещается

электрона в подзонах есть четные функции проек-

от центра МЗБ в y-направлении.

ций квазиимпульса в МЗБ. Положение уровня Фер-

На рис. 5а представлены результаты расчетов

ми показано стрелкой на рис. 3. Симметрия кван-

y-проекции поверхностной плотности тока в изу-

товых состояний носителей такова, что при четных

чаемой модельной структуре в зависимости от ве-

значениях числителя дроби p/q в решетках с тетра-

личины градиента температуры. Зависимости 1 и

гональной элементарной ячейкой центральные маг-

2 на рис. 5а соответствуют случаям рассеяния но-

нитные подзоны касаются друг друга. В случае,

сителей заряда на нейтральных атомах примеси и

когда периодический электростатический потенци-

акустических фононах. Температура электронного

ал поля сверхрешетки есть возмущение общего ти-

газа в области гетероперехода со сверхрешеткой в

па, различные магнитные подзоны спектра остаются

модельных расчетах взята равной T

= 2 K. При

разделенными щелями [18].

малых значениях градиента температуры кинети-

Расчетам поверхностной плотности термомаг-

ческое уравнение Больцмана может быть решено

нитного поперечного тока (в y-направлении)

∫

аналитически [21]. В этом случае неравновесная по-

j^μy =

υ^μyf^μ(k, ζ)dp_xdp_y

(3)

правка к функции распределения линейна по |∇T |,

h²

что и подтверждается численным расчетом. C рос-

в низшей магнитной подзоне Ландау (μ = 1) пред-

том градиента температуры начальный линейный

шествовало численное решение квазиклассическо-

рост функции j1y сменяется участком ее убывания,

го однородного кинетического уравнения Больцма-

плотность термомагнитного тока имеет максимум.

на в релаксационном приближении (время релакса-

По мере роста градиента температуры функция рас-

ции τ > 2πℏ/kT ):

пределения меняется таким образом, что вклад в

278

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Поперечный термомагнитный эффект...

Рис. 4. Линии постоянного уровня функции распределения Больцмана и проекции скорости электрона υ1y(k) в низшей

магнитной подзоне в МЗБ

выражение (3) от состояний носителей с положи-

ка в область меньших значений градиента темпера-

тельной проекцией скорости в подзоне Ландау воз-

туры. Время релаксации становится зависящим от

растает (см. рис. 4б, точка A на рис. 5 а). Это при-

абсолютной температуры газа, и область значений

водит к увеличению значения j1y вплоть до макси-

градиента температуры, отвечающая участку с от-

мального (точка B на рис. 5а, рис. 4в). При даль-

рицательной дифференциальной поперечной прово-

нейшем возрастании модуля градиента температуры

димостью, расширяется (кривая 2 на рис. 5а). Ха-

функция распределения носителей по импульсам не

рактерная ширина пика плотности тока на рис. 5а

имеет ярко выраженного максимума в МЗБ и рав-

становится меньше по сравнению со случаем, когда

новелико учитывает вклад в ток от состояний как

имеет место лишь примесное рассеяние.

с положительной, так и отрицательной y-проекцией

Таким образом, результаты проведенных в

скорости (см. рис. 4г). Имеет место участок с отри-

нашей работе модельных расчетов поверхностной

цательной поперечной дифференциальной проводи-

плотности поперечного термомагнитного тока

мостью (точка C на рис. 5а).

говорят о достаточно высокой чувствительности

При фононном рассеянии становится вполне

эффекта НЭ к механизму рассеяния носителей

оправданным смещение максимума плотности то- заряда.

279

А. А. Перов, П. В. Пикунов

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Рис. 5. Зависимости y-проекции поверхностной плотности термомагнитного тока от величины градиента температуры

при T = 2 K (а) и от температуры электронного газа при ζ = 0.02 K/см (б): 1 — рассеяние на нейтральных атомах

примеси; 2 — рассеяние на акустических фононах

Расчеты плотности тока как функции темпера-

ствием на электрон периодического электростати-

туры электронного газа в гетеропереходе при малом

ческого поля сверхрешетки с указанными в насто-

фиксированном значении ζ = 0.02 K/см представ-

ящей работе параметрами сопоставимы между со-

лены на рис. 5б. Начальный участок зависимости

бой в магнитных полях порядка нескольких десят-

j1y(T) при малом градиенте температуры демонстри-

ков тысяч эрстед. В силу связи спиновых и коор-

рует степенной нелинейный характер, и плотность

динатных степеней свободы электрона его скорость,

тока близка к нулю. С увеличением абсолютной тем-

например, в y-направлении в некотором кванто-

пературы функция распределения носителей по им-

вом состоянии будет определяться проекцией спино-

пульсам ограничивает рост плотности тока.

вой поляризации этого состояния на x-направление

(спин-орбитальное взаимодействие Рашба) (рис. 6)

и y-направление (для спин-орбитального взаимодей-

4. ЭФФЕКТЫ СПИНОВОГО И

ствия Дрессельхауза). На рис. 6 указаны также изо-

СПИН-ОРБИТАЛЬНОГО РАСЩЕПЛЕНИЙ В

энергетические линии магнитной подзоны. Вклад от

СПЕКТРЕ

спиновой поляризации в поперечный поверхностный

термомагнитный ток дается функцией распределе-

Представляется необходимым качественно обсу-

ния носителей по импульсам. Качественные оценки

дить вклад в термомагнитный ток от эффектов спи-

и предварительные расчеты показывают, что можно

нового и спин-орбитального расщеплений в спектре

ожидать некоторого незначительного, определяемо-

носителей. В рамках моделей, эквивалентных рас-

го константой спин-орбитального взаимодействия,

смотренной в данной работе, ранее нами были про-

вклада в ток j1y(ζ) от x-проекции спиновой поля-

ведены расчеты квантовых состояний электронов

ризации состояний в линейной области явления пе-

в двоякопериодических сверхрешетках в перпенди-

реноса при наличии спин-орбитального взаимодей-

кулярном магнитном поле с учетом электронного

ствия по типу Рашба в электронном газе.

спина (см., например, работы [22, 23]). Спин-орби-

тальное взаимодействие в электронном газе учиты-

валось как по типу Рашба, так и по типу Дрес-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

сельхауза для двумерных систем. В обоих случаях

спиновая поляризация квантовых состояний носи-

телей в МЗБ имела вихревую структуру в плоско-

Спектр материалов, в которых теоретически и

сти газа и была отличной от нуля функцией ква-

экспериментально изучаются термомагнитные эф-

зиимпульса с симметрией поворотной оси четверто-

фекты в газе носителей заряда, необычайно широк.

го порядка в направлении магнитного поля. Вели-

Двоякопериодические полупроводниковые сверхре-

чины спинового, спин-орбитального расщеплений в

шетки составляют класс таких материалов, где ис-

спектре, а также расщепления, определяемого дей-

следование транспорта носителей представляет ин-

280

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Поперечный термомагнитный эффект...

Расчет времени релаксации импульса носите-

лей в системах с произвольным законом диспер-

сии является, вообще говоря, задачей нерешаемой.

В двумерных полупроводниковых сверхрешетках во

внешнем перпендикулярном однородном магнитном

поле зависимость энергии электрона от его квазиим-

пульса в МЗБ существенно не параболична, а чис-

ло магнитных блоховских подзон определяется чис-

лом квантов магнитного потока через элементарную

ячейку сверхрешетки. Магнитное поле, таким обра-

зом, не только квантует поперечное движение но-

сителя заряда, но и является управляющим пара-

метром, от величины которого зависит общее чис-

ло магнитных подзон спектра. В то же время из-

вестно, что эффект НЭ в полупроводниках имеет

место благодаря тому, что носители заряда с раз-

личными импульсами по-разному рассеиваются при

взаимодействии с примесями и колебаниями решет-

ки. Поэтому, в контексте возможного использова-

Рис.

6. Спиновая поляризация квантовых состоя-

ния результатов нашей работы при постановке соот-

ний носителей заряда в плоскости электронного га-

ветствующих транспортных экспериментов с элек-

за со спин-орбитальным взаимодействием Рашба в

тронным газом, необходимо отметить роль получен-

низшей магнитной подзоне в модельной структуре

ных в рамках обозначенной в работе модели резуль-

AlGaAs/GaAs/AlGaAs с параметрами V0

= 1 мэВ,

татов как отправной точки при изучении механиз-

m^∗

= 0.067m0 , a

= 50 нм; g-фактор и константа

спин-орбитального взаимодействия соответственно равны

мов рассеяния двумерных электронов двоякоперио-

g = -0.44, α = 2.5 · 10-2 эВ · нм

дических сверхрешеток в магнитном поле. Сверхре-

шетки, созданные методами электронной литогра-

фии, являются предпочтительными в плане прове-

дения магнитотранспортных экспериментов прежде

всего благодаря высокой степени своей периодично-

терес не только с точки зрения фундаментальной

сти. Возможно также создавать сверхрешетки с раз-

науки, но и с позиций прикладного характера. В

личной симметрией элементарной ячейки, нарушать

настоящей работе проведены необходимые расче-

инверсионную симметрию, конструируя двумерный

ты и указаны области магнитных полей и пара-

нецентросимметричный искусственный кристалл.

метров решеточных структур, когда становится воз-

При наложении внешнего магнитного поля

можным экспериментальное изучение эффекта НЭ

законы дисперсии носителей заряда в магнитных

в таких сверхрешетках. Рассчитанные в рамках мо-

блоховских подзонах уже не будут четными функ-

дели зависимости поверхностной плотности тока от

циями квазиимпульса, что, по нашему мнению,

градиента температуры демонстрируют существен-

определенным образом должно отразиться на

но нелинейное поведение. Имеет место эффект отри-

течении эффекта НЭ в двумерном электронном

цательной дифференциальной поперечной проводи-

газе таких структур. Несомненно, потребуется

мости. Установлены причины такой нелинейности,

развитие уже имеющихся экспериментальных

обусловленной различным вкладом в ток магнит-

технологий формирования сверхрешеток малой

ных блоховских состояний электрона в подзоне. Эта

периодичности и магнитотранспортных измерений.

нелинейность, в свою очередь, связана с непарабо-

Кроме того, экспериментальные образцы долж-

личностью электронного спектра, которая обуслов-

ны быть достаточно чистыми, чтобы уширение

ливает возникновение и других, как известно, мно-

магнитных подзон спектра электронов не превыша-

гочисленных нелинейных оптических и электриче-

ло величин разделяющих их энергетических щелей.

ских эффектов в полупроводниковых сверхрешет-

ках: блоховских осцилляций [24], электрофононно-

Финансирование. Работа поддержана Минис-

го резонанса [25], оптического выпрямления [26,27],

терством науки и высшего образования РФ в рамках

самоиндуцированной прозрачности [28].

госзадания №0729-2020-0058.

281

ЖЭТФ, вып. 2 (8)

А. А. Перов, П. В. Пикунов

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

ЛИТЕРАТУРА

15.

M. Polini, F. Guinea, M. Lewenstein et al., Nature

Nanotechnol. 8, 625 (2013).

P. G. Harper, Proc. Phys. Soc. A 68, 874 (1955).

16.

Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Теоретическая

F. A. Butler and E. Brown, Phys. Rev. B 166, 630

физика, т. 9, Наука, Москва (1978), § 60, c. 292.

(1968).

17.

D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale et al.,

С. Р. Фигарова, Г. И. Гусейнов, В. Р. Фигаров,

Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982).

ФТП 52, 712 (2018).

18.

Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, ЖЭТФ 79, 1006

И. Г. Кулеев, А. Т. Лончаков, Г. Л. Штрапенин и

(1980).

др., ФТТ 39, 1767 (1997).

19.

S. K. Sutradhar and D. Chattopadhyay, J. Phys.

З. З. Алисултанов, Письма в ЖЭТФ

99,

813

C 12, 1693 (1979).

(2014).

20.

С. И. Борисенко, ФТП 33, 1240 (1999).

Akihiko Sekine and Naoto Nagaosa, Phys. Rev.

B 101, 155204 (2020).

21.

А. И. Ансельм, Введение в теорию полупроводни-

ков, Наука, Москва (1978).

V. Ya. Demikhovskii and A. A. Perov, Phys. Rev.

B 75, 205307 (2007).

22.

V. Ya. Demikhovskii and A. A. Perov, Europhys.

Lett. 76, 477 (2006).

A. A. Perov, L. V. Solnyshkova, and D. V. Khomitsky,

Phys. Rev. B 82, 165328 (2010).

23.

А. А. Перов, Л. В. Солнышкова, Письма в ЖЭТФ

88, 717 (2008).

Л. В. Келдыш, ФТТ 4, 2265 (1962).

24.

L. Esaki and R. Tsu, IBM J. Res. and Dev. 14, 61

10.

Н. Н. Леденцов, В. М. Устинов, В. А. Щукин и др.,

(1970).

ФТП 32, 385 (1998).

11.

C. Albrecht, J. H. Smet, K. von Klitzing et al., Phys.

25.

Г. М. Шмелев, Г. И. Цуркан, Нгуен Хог Шон, Изв.

Rev. Lett. 86, 147 (2001).

вузов, Физика 2, 84 (1985).

12.

M. C. Geisel, J. H. Smet, V. Umansky et al., Phys.

26.

V. V. Fomin and Е. Р. Pokatilov, Phys. Stat. Sol. (b)

Rev. Lett. 92, 256801 (2004).

97, 161 (1980).

13.

T. Schlösser, K. Ensslin, J. P. Kotthaus et al.,

27.

A. A. Булгаков, O. B. Шрамкова, ФТП 35, 578

Semicond. Sci. Technol. 11, 1582 (1996).

(2001).

14.

Y. K. Ryu, R. Frisenda, and A. Castellanos-Gomez,

28.

А. А. Игнатов, Ю. А. Романов, ФТТ 17, 3338

Chem. Comm. 55, 11498 (2019).

(1975).

282