ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 2 (8), стр. 283-301

НЕЛИНЕЙНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

ПРИ РЕЛЯТИВИСТСКОМ ПЛАЗМЕННОМ РЕЗОНАНСЕ

В НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ

И. И. Метельскийa,b*, В. Ф. Ковалев^b,c, В. Ю. Быченков^a,b

^a Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

^b Центр фундаментальных и прикладных исследований,

ВНИИА им. Н. Л. Духова

127030, Москва, Россия

^c Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук

125047, Москва, Россия

Поступила в редакцию 23 февраля 2021 г.,

после переработки 23 февраля 2021 г.

Принята к публикации 6 апреля 2021 г.

Развита аналитическая теория нелинейного резонансного поглощения электромагнитного излучения в

неоднородной плазме с учетом релятивистской нелинейности возбуждаемого плазменного поля в окрест-

ности критической плотности плазмы, что существенно продвигает границу теоретического описания ре-

зонансного поглощения лазерной плазмой в область высоких интенсивностей лазера. Получен коэффици-

ент нелинейного резонансного поглощения в зависимости от четырех лазерно-плазменных управляющих

параметров — лазерной интенсивности, масштаба неоднородности плазмы, ее температуры и угла па-

дения лазерного излучения на плазму. Продемонстрирован нелинейный эффект подавления амплитуды

поля плазменного резонанса и «отключения» резонансного поглощения с ростом лазерной интенсивнос-

ти, что является следствием релятивистской нелинейности электронной плазмы в области критической

плотности.

DOI: 10.31857/S0044451021080125

нии на неоднородную плазму p-поляризованного ла-

зерного излучения с частотой ω₀, когда в обла-

сти, где она сравнивается с локальной частотой соб-

1. ВВЕДЕНИЕ

ственных колебаний плазмы ω_L, возникает явление

Одним из важнейших механизмов передачи

плазменного резонанса, представляющее собой резо-

энергии лазерного излучения в плазму является

нанс колебаний электронов в лазерном поле и элек-

механизм резонансного поглощения в неоднородной

тронных ленгмюровских колебаний плазмы [9]. Уси-

плазме, при котором вблизи критической плотности

ление таких электростатических плазменных коле-

падающая электромагнитная волна трансформиру-

баний приводит к высоким напряженностям элек-

ется в продольную плазменную волну, обеспечивая

трического поля в окрестности критической плот-

значительный, а иногда определяющий вклад в

ности плазмы и обогащению спектра отраженно-

коэффициент поглощения.

го излучения высшими гармониками, что являет-

Интерес к исследованию резонансного поглоще-

ся неотъемлемым свойством падающего p-поляри-

ния исторически во многом связан с эксперимента-

зованного излучения. Роль поляризации лазерного

ми по лазерному термоядерному синтезу (ЛТС) [1],

импульса в генерации гармоник для разных меха-

с вопросами генерации гармоник [2-5] и образования

низмов обсуждалась различными группами иссле-

быстрых частиц в лазерной плазме [6-8]. Резонанс-

дователей (см., например, обзор [10]).

ное поглощение наблюдается при наклонном паде-

Структура электромагнитного поля плазменного

^* E-mail: metelski@lebedev.ru

резонанса впервые детально исследовалась в рамках

283

И. И. Метельский, В. Ф. Ковалев, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

линейной (по амплитуде падающей волны) теории

вать решения [18,19] в предельных случаях малых и

и гидродинамического приближения [11-14]. Бы-

больших углов падения, а в случае горячей плазмы

ло показано, что в отсутствие эффектов диссипа-

[25] — получить решение в виде степенных рядов,

ции, компонента электрического поля, параллель-

обобщающих предыдущие результаты [17] на весь

ная градиенту неоднородности плазмы, вблизи кри-

диапазон углов. В последующих аналитических ис-

тической плотности, где диэлектрическая проницае-

следованиях линейной конверсии излучения в неод-

мость ε → 0, имеет особенность порядка 1/ε, а попе-

нородной плазме уточнялась зависимость кривой

речная компонента характеризуется логарифмиче-

коэффициента поглощения G(ρ) в случае линейно-

ской особенностью. Конечное значение амплитуды

го профиля плотности плазмы [26], в пределе ма-

электрического поля плазменного резонанса [13,14]

лых углов падения рассматривался профиль плот-

обеспечивается либо столкновительной диссипацией

ности с локальным ступенчатым скачком плотности

плазменных колебаний в случае холодной плазмы,

в окрестности критики [27], исследовалась форма

либо выносом плазменных волн при учете тепло-

кривой G(ρ) для параболического профиля [28-30].

вых эффектов в случае горячей плазмы. В работах

Естественная логика развития лазерных техно-

[13,14] был также вычислен коэффициент усиления

логий привела к тому, что в экспериментах по ла-

поля и было дано качественное описание роли плаз-

зер-плазменному взаимодействию стало рутинным

менного резонанса в процессе поглощения электро-

применение лазеров с интенсивностью, ставящей

магнитного излучения неоднородной плазмой.

под сомнение применимость использования линей-

На основе модели [13,14] авторы статей [15-17]

ной теории резонансного поглощения. Рост интен-

разработали аналитическую теорию линейного ре-

сивности лазерного излучения привел к необходи-

зонансного поглощения соответственно для холод-

мости учитывать как нерелятивистские [4], так и

ной [15, 16] и горячей плазмы [17]. Из теоретиче-

релятивистские [5,31-36] нелинейные эффекты, про-

ских подходов [15-17] следовало, что коэффициент

являющиеся в окрестности критической плотности

резонансного поглощения G не зависит от темпе-

плазмы. В работе [4] впервые аналитически был осу-

ратуры плазмы, частоты столкновений электронов

ществлен выход за рамки теории возмущений [2, 3]

и интенсивности поля накачки, а характеризует-

путем точного учета в исходных уравнениях нели-

ся зависимостью от единственного параметра ρ ≡

нейного (по амплитуде электрического поля) движе-

≡ (ω₀L/c)2/3 sin² θ с максимумом G_m ≈ 0.4 при ρ ≈

ния электронов, но в пренебрежении релятивистски-

≈ 0.2. Здесь θ — угол падения на неоднородную

ми эффектами. При этом плазменный резонанс рас-

плазму с масштабом неоднородности в окрестности

сматривался применительно к задаче о генерации

критической плотности L, c — скорость света в ваку-

гармоник и квазистатических полей в неоднородной

уме. Вследствие приближенности аналитических ре-

плазме, тогда как вопрос о поглощении на основ-

шений уравнений поля для оптимальных значений ρ

ной частоте оставался открытым. Поскольку силь-

количественные оценки эффективности поглощения

ная нелинейность существенно затрудняет аналити-

в [15-17] оказались не совсем точны, что было проде-

ческое исследование, нелинейное резонансное погло-

монстрировано аналитически для холодной плазмы

щение изучается, в основном, методами численного

в пределе малых [18] и больших [19] углов падения

моделирования [31, 32, 34, 37] или с использовани-

лазера на плазму, и позже — методами численно-

ем полуаналитических моделей [35], в которых по-

го решения волнового уравнения [20-22] для произ-

лученные на первом этапе аналитическими метода-

вольных углов. Последовательное описание формы

ми упрощенные относительно исходных нелинейные

резонансной кривой G(ρ) в [20, 22] позволило уточ-

уравнения далее исследуются численно. В числен-

нить значения: G_m ≈ 0.5 при ρ ≈ 0.5. Кроме того,

ных подходах к решению таких задач широко при-

в [22] была продемонстрирована пренебрежимо сла-

меняется кинетическое описание на основе метода

бая температурная зависимость коэффициента по-

«частица в ячейке» (PIC) [31, 32, 34, 37]. Естествен-

глощения от температуры, что подтвердило общий

но, что численные методы затрудняют получение

вывод об определяющей роли параметра ρ для опи-

практически необходимых скейлингов от лазерно-

сания поглощения в линейном режиме. Отметим,

плазменных параметров.

что на существенное поглощение p-поляризованной

В работах [5, 34-36] было показано, что прояв-

электромагнитной волны в окрестности плазменно-

ление релятивистских эффектов движения электро-

го резонанса указывалось также в монографии [23].

нов за счет усиления плазменного поля в облас-

Развитие аналитического подхода для холодной

ти плазменного резонанса имеет место даже в том

плазмы в [24] позволило значительно скорректиро-

случае, если напряженность падающего лазерного

284

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Нелинейное поглощение лазерного излучения...

поля остается существенно ниже релятивистской.

ла. Для амплитуды отраженного от плазмы маг-

Нелинейный плазмерный резонанс качественно ме-

нитного поля в вакууме на основной частоте по-

няет процесс генерации целых гармоник [5], при-

лучено уравнение с правой частью, содержащей в

чем высшие гармоники, которые, согласно стандарт-

качестве источника излучения нелинейный ток, ло-

ной (слабонелинейной) теории возмущений [2,3], бы-

кализованный вблизи критической плотности плаз-

ли экспоненциально малы, становятся существенно

мы. Применяя ренормгрупповой метод, развитый в

выше. Формирование достаточно медленно убываю-

[5], в разд. 3 нами построено решение этого уравне-

щих степенных спектров гармоник является след-

ния с источником, определяющее амплитуду основ-

ствием пространственно-временной модуляции ре-

ной (первой) гармоники магнитного поля в вакуу-

лятивистских плазменных колебаний, что эквива-

ме, подробности вывода которой вынесены в При-

лентно релятивистскому изменению эффективной

ложение А. В разд. 4 найдена нелинейная амплиту-

массы электрона [36]. С таким эффектом авторы ра-

да магнитной составляющей электромагнитного по-

бот [34,35] связывали возможность подавления ре-

ля в точке плазменного резонанса и проведена пере-

зонансного поглощения с ростом лазерной плотно-

нормировка функции источника, что в совокупности

сти потока энергии, хотя последовательная теория

с результатами разд. 2 позволило получить самосо-

нелинейного резонансного поглощения не была по-

гласованные выражения для амплитуды отраженно-

строена. Целью настоящей работы является постро-

го магнитного поля и коэффициента поглощения на

ение аналитической теории резонансного поглоще-

основной частоте. Формулы, связанные с нахожде-

ния в условиях сильной нелинейности, которая свя-

нием нелинейной амплитуды магнитной составляю-

зана как с релятивистскими, так и с нерелятивист-

щей в точке резонанса, помещены в Приложение В.

скими эффектами динамики электронов в окрест-

В разд. 3 также получено (подробности вычисле-

ности критической плотности плазмы, что должно

ний см. в Приложении С) приближенное аналити-

восполнить пробел, все еще существующий в теории.

ческое выражение для искомой нелинейной резо-

Наш теоретический подход строится на основе

нансной амплитуды магнитного поля и обоснована

линейного решения [24] для углов падения θ, при ко-

необходимость учета релятивистских эффектов дви-

торых ρ > 1, с использованием формализма ренорм-

жения электронов плазмы в области критической

групповых преобразований. В развиваемой здесь

плотности при построении нелинейной теории ре-

теории с учетом подходов работ [4, 36] рассмотре-

зонансного поглощения лазерного излучения неод-

ние ведется в рамках гидродинамического прибли-

нородной плазмой, несмотря на нерелятивизм поля

жения, плазма считается холодной и бесстолкнови-

накачки. Показано, что пространственно-временная

тельной, т. е. в исходных уравнениях столкновения и

модуляция фазы релятивистских колебаний элек-

конечная температура электронов не учитываются,

тронов [36] приводит к насыщению нелинейной ам-

хотя конечное значение резонансно усиленного плаз-

плитуды поля плазменного резонанса и подавлению

менного электрического поля обеспечивается введе-

резонансного поглощения, т. е. к уменьшению коэф-

нием ширины плазменного резонанса, определяемой

фициента поглощения с ростом плотности потока

либо малой частотой соударений электронов, ли-

лазерной энергии. С учетом этого эффекта прове-

бо выносом ленгмюровских волн благодаря малым

дена корректировка обсуждавшейся ранее [5,36] об-

тепловым эффектам. Кроме того, рассматривают-

ласти применимости релятивистской гидродинами-

ся достаточно плавные градиенты плотности плаз-

ческой модели плазменного резонанса. В заключи-

мы, что позволяет, как и в классической теории ли-

тельном разд. 5 кратко сформулированы результа-

нейной трансформации [9], аппроксимировать плот-

ты нелинейной теории резонансного поглощения и в

ность в окрестности плазменного резонанса линей-

качестве еще одного примера, для которого важен

ной зависимостью от координаты и пренебречь от-

эффект нелинейности плазменного резонанса, об-

личием ленгмюровской частоты колебаний плазмы

суждается генерация квазистатического электриче-

в окрестности критической плотности от частоты

ского поля при учете релятивизма плазменных волн

лазера.

в окрестности критической плотности неоднородной

Статья построена следующим образом. В разд. 2

плазмы.

для описания процесса поглощения лазерного из-

лучения неоднородной плазмой сформулированы

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

исходные уравнения, которые состоят из системы

уравнений бесстолкновительной гидродинамики хо-

Для описания процесса нелинейного отраже-

лодной электронной плазмы и уравнений Максвел-

ния, поглощения и генерации гармоник p-поляризо-

285

И. И. Метельский, В. Ф. Ковалев, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

γ (∂_tv + av∂_xv + au∂_yv) +

ванной электромагнитной волны, которая падает на

слабонеоднородную вдоль координаты x плазму под

a²γ³

[

vu (∂_tu + av∂_xu + au∂_yu) +

углом θ и характеризуется электрическим E и маг-

c²

]

нитным B полями с частотой ω₀,

+ v2 (∂_tv + av∂_xv + au∂_yv)

= P + (au/c)R,

γ (∂_tu + av∂_xu + au∂_yu) +

[

a²γ

(3)

{0, 0, B₀(x)} exp(ik_yy - iω₀t) + c.c.,

vu (∂_tv + av∂_xv + au∂_yv) +

c²

]

+ u2 (∂_tu + av∂_xu + au∂_yu)

= Q - (av/c)R,

(1)

{E0x(x), E0y(x), 0} exp(ik_yy-iω₀t)+c.c.,

∂_tP + av∂_xP + av∂_yQ - c∂_yR + ω2Lv = 0,

u = 0,

∂_tQ + au∂_xP + au∂_yQ + c∂_xR + ω2L

k_y = k₀ sinθ, k₀ = ω₀/c,

∂_tR + c∂_xQ - c∂_yP = 0.

В этой системе a = -2e|B₁(0)| sinθ/mω²⁰L — безраз-

в качестве исходных уравнений, запишем следую-

щие уравнения бесстолкновительной гидродинами-

мерная постоянная, пропорциональная амплитуде

магнитного поля |B₁(0)| в точке плазменного резо-

ки холодной релятивистской электронной плазмы и

нанса x = 0; B₁(0) — комплексная амплитуда фурье-

уравнения Максвелла:

компоненты магнитного поля в точке x = 0 на час-

(

)

тоте лазера ω₀:

∂_tp + (v∂_r)p = e E +

[vB]

B₁(0) = |B₁(0)| exp[i argB₁(0)] =

mω²⁰La

∂_tn_e + div(n_ev) = 0,

exp[i arg B₁(0)].

(4)

2|e| sin θ

4π

Функции v = v_x/a, u = v_y/a описывают нормиро-

rotE = -

∂_tB, rotB =

∂_tE +

en_ev,

(2)

ванные значения компонент скорости электронов;

√

div B = 0,

γ = 1/

1 - (a²/c²)(v² + u²);

div E = 4π (en_e + e_in_i) ,

= eE_x/ma, Q

= eE_y/ma, R

= eB_z/ma —

нормированные значения компонент электрическо-

p ≡ mvγ =

√

го (E_x, E_y) и магнитного (B_z) полей, ω_L ≡ ω_L(x) =

1 - v²/c²

= (4πe²n₀/m)1/2 — электронная ленгмюровская час-

тота плазмы с плотностью n₀(x), которая в окрест-

Здесь m и e — масса и заряд электрона, n_e, v,

ности плазменного резонанса x = 0 аппроксимиру-

p — плотность, скорость и импульс электронов плаз-

ется линейной зависимостью от координаты x,

мы; E и B — напряженности электрической и маг-

n₀(x) = (1 + x/L)n_c,

нитной составляющих p-поляризованного электро-

магнитного излучения, характеризуемого наличием

где критическая плотность n_c = mω₀₂/4πe² и L —

компоненты электрического поля в (1) в направле-

характерный масштаб неоднородности плотности.

нии градиента неоднородности плазмы. Кроме то-

Отметим, что в рассматриваемом нами случае плав-

го, ионы рассматриваются в качестве неподвижного

ной неоднородности плазмы, L ≫ Δ , 1/k₀, где Δ —

нейтрализующего фона, а эффекты теплового дви-

ширина плазменного резонанса, линейная зависи-

жения и столкновений электронов, не включенные

мость от координаты x справедлива в окрестно-

в уравнения (2), считаются малыми, хотя их роль

сти резонанса для любого монотонного профиля

в регуляризации особенности плазменного резонан-

плотности. Условие слабой неоднородности плазмы

са будет учтена в соответствии с ренормгрупповой

k₀L ≫ 1 является также критически важным для

процедурой построения нелинейного решения [5,36].

эффективного резонансного поглощения. Заметим,

Полагая отличными от нуля x- и y-компоненты

что масштаб неоднородности плазмы может изме-

скорости электронов и электрического поля и z-ком-

няться в результате неучитываемых разлета плаз-

поненту магнитного поля, получим из (2) после ис-

мы и действия лазерной пондеромоторной силы

ключения плотности электронов следующую систе-

[22, 31, 38-40]. В данной работе мы исходим из то-

му уравнений:

го, что такое изменение профиля плотности можно

286

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Нелинейное поглощение лазерного излучения...

учитывать через параметр L, предполагая, однако,

ширины плазменного резонанса Δ ≪ L и оказывает-

что условия слабой неоднородности плазмы не на-

ся существенно сильнее зависимости от поперечной

рушается.

координаты y, которая пропорциональна k_y. Нако-

Представляя входящие в (3) величины скоростей

нец, в рассматриваемом случае слабонеоднородной

и полей v, u, P, Q, R в виде разложения в ряд по гар-

плазмы с характерным масштабом неоднородности

моникам падающей волны (1), поставим в соответст-

L ≫ 1/k₀ можно пренебречь вкладами, пропорци-

вие каждой из этих величин ее фурье-компоненту

ональными градиенту неоднородности в правой ча-

v_n, u_n, P_n, Q_n, R_n:

сти уравнений (6). Собирая перечисленные условия,

приходим к совокупности неравенств, задающих об-

{

}

∑{

}

ласть применимости модели:

v, u, P, Q, R

v, u, P, Q, R_n ×

-∞

k₀L ≫ 1, k_yΔ ≪ 1, Δ ≪ L .

(7)

× exp[-in(ω₀t - k_yy)].

(5)

С учетом сделанных предположений уравнение

Используя разложение (5), из системы уравнений

(6) для случая n = 1 преобразуется к виду

(3) получим следующее уравнение для n-й гармо-

ники магнитного поля:

∂_xε₁

⁽ω₀

)₂ (

)

∂_xxR₁ -

∂_xR₁ +

ε₁ - sin² θ

R₁ =

∂_xε_n

⁽nω₀)2 (

)

ε₁

∂_xxR_n -

∂_xR_n +

ε_n - sin² θ

R_n =

}

ε_n

4π^{ a

a/c

{

}

rotJ₁

ianω₀

4π

x - iΔ

v(∂_xP + ∂_yQ) sin θ +

[

]

c²

ω²

{

}

× u∂_xP - iω₀v∂_x(γu) -

(γ - 1)u

(8)

ω²

av∂_x(γv)+au∂_y(γv)+∂_t(v(γ - 1))-

c²

}

{

}

a^{

a∂_xε

где компоненты вектора J₁ определяются выраже-

−

∂_x(u(∂_xP+∂_yQ))

u(∂_xP + ∂_yQ)

cε_n

нием

{

}

iω2L

∂_x av∂_x(γu)+au∂_y(γu)+∂_t(u(γ-1))+

{

cnω₀

ω²⁰

)

J₁ = v∂_xP - iω₀v∂_x(γv) -

(γ - 1)v,

{

inω₀ε_n

⁽ε_n -1

∂_x

av∂_x(γu) + au∂_y(γu)+

}

ε_n

ω²

}

u∂_xP - iω₀v∂_x(γu) -

(γ - 1)u,

(9)

+ ∂_t(u(γ - 1)) +

(6)

В (8) положено ωL = ω0, т. е. пренебрегается

Здесь ε_n = 1 - (ω2L)/(n²ω²⁰) — комплексная диэлект-

зависимостью частоты ω_L от координаты x. Та-

рическая проницаемость плазмы на частоте nω₀.

кое приближение оправдано для слабонеоднородной

Правая часть уравнения (6) отвечает нелинейному

плазмы, когда область локализации поля плазмен-

источнику генерации гармоник в плазме. В отсутст-

ного резонанса мала по сравнению с характерным

вие нелинейных эффектов (при a → 0) этот источ-

масштабом неоднородности плазмы L. Из уравнения

ник исчезает и уравнение (6) описывает свободное

(8) и соотношения (9) следует, что первая гармони-

распространение в неоднородной плазме p-поляри-

ка магнитного поля в вакууме определяется элек-

зованной электромагнитной волны с частотой nω₀.

трическим полем и скоростью электронов в области

В интересующем нас случае магнитной состав-

плазменного резонанса, которые были найдены на-

ляющей поля на частоте лазера ω₀ примем во вни-

ми ранее [36].

мание, что при n = 1 в (6) наибольший вклад в ис-

точник дают резонансные слагаемые порядка 1/ε₁,

где ε₁ = (iΔ - x)/L. Далее, из результатов работ

[2, 4, 13] следует, что наибольший вклад в нелиней-

3. АМПЛИТУДА МАГНИТНОГО ПОЛЯ В

ные эффекты плазменного резонанса определяет-

ВАКУУМЕ

ся x-компонентой электрического поля и скорости

электронов. Кроме того, зависимость электромаг-

нитных полей и скоростей электронов от координа-

Решение неоднородного уравнения (8) записыва-

ты x вдоль градиента плотности вблизи плазмен-

ется через систему фундаментальных решений од-

ного резонанса обратно пропорциональна величине

нородного уравнения Ψ⁺ и Ψ^- в следующем виде:

287

И. И. Метельский, В. Ф. Ковалев, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

(

)

ω₀

R₁(x) = α⁺¹Ψ⁺¹(x) + α-1Ψ-1(x)+

C-1 = -i exp 2i

L₊(-∞) ×

(

)

∫x

2ω₀

exp

L₊(0)

+ dξ G(x, ξ)f₁(ξ),

(

C⁺¹ -

-∞

2ω₀

exp

L₊(0)

(

)

Ψ⁺¹(x)Ψ-1(ξ) - Ψ⁺¹(ξ)Ψ-1(x)

(

)₂

G(x, ξ) = -

i exp L₊(0) + iZ

Ψ⁺¹(ξ)Ψ-′1(ξ) - Ψ1′(ξ)Ψ¹(ξ)

)

⁽2ω₀

2πω₀| cosθ|k²

exp

L₊(0)

f₁(x) =

(10)

∫

∞

f₁(ξ)

{

(

)

× dξ

(13)

ω20

ξ - iΔ

× ik_y vP_x - iω₀v(γv)_x -

(γ - 1)v

-∞

[

]

До сих пор мы рассматривали нормированную

ω20

uP_x - iω₀v(γu)_x -

(γ - 1)u

на безразмерную амплитуду a величину поля R (и

x - iΔ

соответствующую ей амплитуду

C-1), однако конеч-

[

]

}

ная цель заключается в получении формул для маг-

ω²

- uP_x - iω₀v(γu)_x -

(γ - 1)u

нитного поля B_z (и амплитуды C-1). Уравнение для

фурье-компоненты B₁ получается из уравнения для

/e). При этом связь

R₁ после умножения на (am_e

где G(x, ξ) — функция Грина, а функции Ψ⁺¹ и Ψ-1

между амплитудами

C-1 и C-1 такая же, как меж-

удовлетворяют уравнению

ду R₁ и B₁, поэтому при переходе к формуле для

фурье-компоненты магнитного поля B_z на основной

∂_xε₁

частоте

C-1 следует домножить на (am_e/e).

∂_xxΨ±1 -

∂_xΨ±1 +

ε₁

Окончательно получаем выражение для ампли-

туды первой гармоники магнитного поля в вакууме:

⁽ω₀

)₂ (

)

ε₁ - sin² θ

Ψ±1 = 0.

(11)

m_e

ω³⁰Δ

=Ω₁C⁺¹ +

(2π)3/2

В формулах (10) α±1 — константы, определяемые

(

)1/2

граничными условиями для уравнения (8) примени-

Ω₂I.

(14)

тельно к решению (10). Граничные условия, в свою

cω₀| cosθ|

очередь, следуют из вида магнитного поля R₁(x)

Здесь

при x → ±∞:

[

π^]

(

)

ω₀

Ω₁ = R1/2L exp 2iω0L+(-∞) - i

R₁ =

C⁺¹ exp i

(x + ∞) cos θ

(15)

Ω₂ = (G_L/2)1/2 exp[iZ + i argB₁(0) - iπ],

(

)

ω₀

C-1 exp -i

(x + ∞) cos θ

x → -∞,

(12)



где R_L =

C₁

/C⁺¹2, GL = 1 - RL — коэффициенты

соответственно отражения и поглощения в линейной

R₁ = 0, x → ∞,

теории, а C-1L — амплитуда магнитного поля отра-

женной волны в линейной теории:

где комплексные амплитуды

C⁺¹ и

C-1 отвечают со-

⎛

(

)⎞

ответственно падающей и отраженной волнам.

4ω₀L

exp

sin³ θ

Учитывая, что источник излучения f₁(x) лока-

⎜1-

⎟

R_L =

⎜

(

)⎟

лизован в окрестности плазменного резонанса x ≃ 0,

⎝

4ω₀L

⎠ ,

exp

sin³ θ

для углов θ, удовлетворяющих условию

(

)

(16)

4ω₀L

2 exp

sin³ θ

(ωL/c)2/3 sin² θ ≫ 1,

G_L =

(

))₂ .

4ω₀L

exp

sin³ θ

найдем амплитуду

C-1

(см. Приложение А):

288

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Нелинейное поглощение лазерного излучения...

Интеграл I и входящие в него безразмерные функ-

ции и переменные

P₀ =

P, v₁ =

v, x₀ =

Δω²⁰

Δω₀

найденные нами при построении структуры элект-

рического поля релятивистского плазменного резо-

нанса [36], имеют вид (см. Приложение А)

∫∞

∫

v₁eiτ(χ,l)

I = dl dχ

[∂_χτ∂_l (P₀ - iγv₁) -

x₀ - i

-∞

- ∂_lτ∂_χ (P₀ - iγv₁) -

- (∂_χτ∂_lx₀ - ∂_lτ∂_χx₀) (γ - 1)] ,

Рис. 1. Нелинейный коэффициент отражения на основной

частоте после процедуры перенормировки (синяя кривая)

−

P₀ = -

(l cos χ + sin χ) ,

и величина |C₁

/C⁺¹|² без учета перенормировки (штри-

1+l²

ховая кривая) в зависимости от интенсивности лазерного

B²v²⁰

v₀ = -

(l sin χ - cos χ) , γ = 1 +

поля I0 для температуры T = 2 кэВ и масштаба неод-

1+l²

нородности плазмы L = 30λ при угле падения лазерного

(17)

(1 +¹⁴ B²v²⁰)1/2

излучения θmin = 10^◦. Штриховая вертикальная прямая

x₀ = l - P₀, v₁ = v₀

соответствует границе опрокидывания плазменной волны

1+¹²B²v²

(

)

в точке резонанса в случае использования линейной ам-

τ (χ, l) = χ - ζE(ϕ; k) -

F (ϕ; k) - ϕ

плитуды aL

√

P₀

ζ =

4+B²(v²⁰+P²⁰), ϕ = arcsin

√

плазменного резонанса с амплитудой падающей вол-

v²⁰+P²

ны через коэффициент отражения R_L [17],

√

B²(v²⁰ + P²⁰)



cB20e2 |cosθ|

1/2

4 + B²(v²⁰ + P20 )

a_L =



(1 - R_L)

B₀ = 2C⁺¹.

(19)



πm²

ω⁵⁰L³

Здесь

Ниже, в случаях подстановки конкретных парамет-

Δω₀

B =

;

ров лазера и плазмы, для определенности будем ве-

Δ²

сти обсуждение на языке лазерной интенсивности

F (ϕ; k), E(ϕ; k) — эллиптические интегралы соот-

I₀ [Вт/см²] Nd-лазера с длиной волны λ = 1.06 мкм,

ветственно первого и второго рода [41, 42], а ши-

масштаба неоднородности L [λ], выраженного в дли-

рина плазменного резонанса Δ определяется либо

нах волны лазерного излучения, температуры плаз-

тепловым движением электронов с тепловой скорос-

мы T [кэВ], угла падения лазерного излучения θ

тью V_T , либо малой частотой соударений ν частиц

и параметра ρ ≡ (ω₀L/c)2/3 sin² θ. Исходя из усло-

в плазме:

вия построения нелинейного решения уравнения (8)

с помощью линейных решений однородного уравне-

{

(

)1/3 }

Δ = max

νL/ω₀;

3V2TL/ω²⁰

(18)

ния, которые существуют при не слишком малых

углах, значение параметра

Из вида (14) следует, что амплитуда отраженно-

го магнитного поля представляется суммой линей-

ρ_min ≡ (ωL/c)2/3 sin² θ_min = 1

ного, C-1L, т. е. не зависящего от a, и нелинейного,

может считаться предельным для аналитической

C-1N , слагаемых:

теории, а θ_min — минимально допустимым углом па-

C^- = C-1L + C-1N ,

дения лазерного излучения на плазму при заданных

ω₀ и L.

где зависимость C-1N от лазерной интенсивности за-

Легко проверить, что использование в I величи-

дается интегралом I. В линейной теории безразмер-

ны a_L ∝ B₀ вместо a приводит к завышенным значе-

ная амплитуда a = a_L определяется соотношением,

ниям C-1N при больших интенсивностях лазера (как

связывающим амплитуду магнитного поля в точке

это показано на рис. 1), естественно, при таких зна-

289

И. И. Метельский, В. Ф. Ковалев, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

чениях интенсивности, которые ограничены услови-

ке (4), но уже вне рамок линейного приближения

ем отсутствия опрокидывания плазменной волны в

для амплитуды в резонансе (19), перепишем (20) в

резонансе. Неограниченный рост C-1N (a_L) приводит

виде

к тому, что, начиная с некоторого значения лазер-

⎛

⎞

ной интенсивности, величина C-1N (a_L) превышает

ω²⁰

⎜

ΔI

⎟

амплитуду поля накачки, что физически невозмож-

⎜

⎟

L-

(

[

])

⎝^a

⎠^×

но. Такое поведение нелинейного вклада связано с

2ω₀

π²

exp

L₊(0)

неправомочным использованием в источнике f₁(x)

амплитуды a, задаваемой в линейном приближении

|e|

⁽2c| cosθ|)1/2

(19), которая не учитывает нелинейной связи между

× exp[i argB₁(0)] =

|C⁺¹|

амплитудой плазменного поля в точке x = 0 и ам-

πω₀L

плитудой поля накачки. Этот факт свидетельству-

[

]

exp

L₊(0) + iZ + i argC⁺

ет о необходимости построения самосогласованной

[

]

(21)

2ω₀

нелинейной теории отражения лазерного излучения

exp

L₊(0)

неоднородной плазмой с отличной от (19) амплиту-

дой магнитного поля в точке резонанса a = a_L, учи-

Или, что то же самое, на языке безразмерных пере-

тывающей нелинейную зависимость |B₁(0)| от C⁺¹,

менных(амплитуд) A = aL²/Δ² и A_L = a_LL²/Δ²:

и последующей перенормировкой функции источ-

(

)

ника f₁(x). Как будет показано ниже, неограничен-

)

L/Δ⁽

ный рост нелинейной части коэффициента отраже-

A-

1+R1/2

I exp[i argB₁(0)] =

2π²

ния C-1N (a) в результате такой перенормировки сме-

[

]

няется насыщением. Зависимость полного нелиней-

= AL exp

iZ + i argC⁺¹

(22)

ного коэффициента отражения на основной частоте

R = |C-1 /C+1 |² от лазерной интенсивности после пе-

Поскольку интеграл I (17) является комплексной

ренормировки на нелинейную амплитуду a показана

функцией амплитуды a, т. е. безразмерной ампли-

на рис. 1 синей кривой, а выявлению аналитической

туды A, выражение (22) представляет собой нели-

связи между B₁(0) и C⁺¹ и записи формулы, которая

нейное трансцендентное комплексное уравнение для

и отвечает насыщению нелинейного роста C-1N (a) на

безразмерной амплитуды магнитного поля в точке

рис. 1, посвящен следующий раздел.

плазменного резонанса как функции линейной амп-

литуды A = A(A_L), а значит и как функции ампли-

). Вычисление A из

туды падающей волны A = A(C⁺¹

4. ПЕРЕНОРМИРОВКА АМПЛИТУДЫ

(22) решает поставленную задачу отыскания нели-

МАГНИТНОГО ПОЛЯ В РЕЗОНАНСЕ И

нейной связи амплитуды магнитного поля в точке

НЕЛИНЕЙНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ

x = 0 с амплитудой поля накачки и задачу перенор-

ОТРАЖЕНИЯ

мировки функций в (17) с учетом найденной связи.

Следуя схеме, аналогичной схеме вычисления

Комплексное уравнение (22) эквивалентно сле-

амплитуды

C-1, получим выражение для магнитно-

дующим двум уравнениям для модулей и аргумен-

го поля в точке плазменного резонанса (см. Прило-

тов комплексных функций в правой и левой час-

жение B):

тях (22):

(

)1/2

|F (A)| = A_L, φ + φ₁ = Z + φ₀,

(23)

2c| cosθ|

R₁(0) =

πω₀L sin² θ

где

exp[L₊(0) + iZ]

[

]

C⁺¹ ×

(

)

L/Δ

2ω₀

F (A) = A -

1+R1/2

exp

L₊(0)

2π²

(24)

∞

φ = argF(A), φ₀ = argC+1 , φ₁ = argB₁(0).

∫

i/πk2y

f₁(ξ)

[

]

dξ

(20)

2ω₀

ξ - iΔ

Для вычисления интеграла (17) и решения урав-

exp

L₊(0)_-∞

нения (23) для величины A использовался пакет

компьютерной алгебры ”Wolfram Mathematica” [43].

Переходя от амплитуды

C-1 к амплитуде C-1 путем

На рис. 2 представлены зависимости нелинейной

домножения

C-1 на (am_e/e) и прибегая к нормиров-

амплитуды A от амплитуды по линейной теории A_L

290

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Нелинейное поглощение лазерного излучения...

Рис. 2. Зависимости нелинейной амплитуды A от амплитуды, задаваемой линейным приближением AL (слева) и от плот-

ности потока энергии лазерного излучения I0 (справа), вычисленные для электронной температуры плазмы T = 2 кэВ,

разных масштабов неоднородности L и соответствующих им углов падения лазера на плазму θ = θmin. Черная биссект-

риса (слева) и черные прямые (справа) отвечают пределу линейной теории

для пяти значений масштаба неоднородности L (сле-

ного предельного значения. Падение резонансной

ва) и подобные зависимости A от плотности потока

амплитуды в результате перенормировки сдвигает

энергии лазерного излучения I₀ для трех значений

это пороговое значение в область более высоких

масштаба неоднородности L (справа). Температура

лазерных интенсивностей. Рисунок 3, на котором

плазмы T здесь фиксирована, а углы падения рав-

приведены границы опрокидывания на плоскости

ны минимальным θ = θ_min при соответствующих

(T, I₀) для разных значений масштаба неоднород-

L. Нелинейность в области резонанса приводит к

ности плазмы, подтверждает вывод о расширении

падению амплитуды поля в точке x = 0 в сравне-

границ применимости построенной здесь теории в

нии с результатом линейной теории, и наблюдает-

сторону максимально возможной интенсивности ла-

ся эффект насыщения — замедление роста ампли-

зерного поля, при которой формулы используемой

туды резонансного поля с ростом амплитуды поля

модели бесстолкновительной гидродинамики холод-

накачки. В случае слабонеоднородной плазмы, ког-

ной плазмы, описывающие физические величины,

да L ≃ (10 - 100)λ, отличие A от A_L с увеличением

остаются однозначными. Поскольку, как было

лазерной интенсивности растет весьма существенно,

показано выше, существенное отличие нелинейной

тогда как при сравнительно более резких градиен-

амплитуды от линейной наблюдается при плавных

тах неоднородности L ≃ λ отличие A от амплитуды

градиентах плотности плазмы L ≃ (10 - 100)λ, то

A_L в линейной теории слабо заметно.

и расширение области применимости гидродинами-

Перенормировка амплитуды влечет за собой

ческой модели оказывается в этом случае наиболее

изменение границ применимости рассматриваемой

заметным и сдвигает границу опрокидывания в

здесь гидродинамической модели в сравнении с

область релятивистских лазерных интенсивностей

предыдущими результатами

[5], которые были

далеко за пределы границы, предсказываемой

получены в рамках теории плазменного резонанса

нелинейной нерелятивистской теорией [4] (зеленая

с учетом релятивистских эффектов движения

пунктирная кривая). В случае же более резкого

электронов плазмы, но с использованием линей-

градиента неоднородности (случай L

= 2λ на

ной связи (19) амплитуды магнитной компоненты

рис. 3) положения границ опрокидывания различа-

электромагнитного поля в точке x = 0 с амплиту-

ются несущественно. Заметим также, что условие

дой поля накачки. Область применимости нашей

опрокидывания, полученное в [4], которому соот-

теории в гидродинамическом смысле определяется

ветствует зеленая пунктирная кривая, совпадает с

опрокидыванием плазменной волны в точке ре-

хорошо известным условием k_peE_p/mω2p = 1, где

зонанса [36], которое происходит при достижении

k_p = (λ2DL)-1/3, ω_p ≡ ω_L и E_p — электрическое поле

лазерной плотностью потока энергии определен-

плазмы (см., например, [44]).

291

И. И. Метельский, В. Ф. Ковалев, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Рис. 3. Области применимости теории на плоскости параметров (T, I0) для разных значений L. Сплошная красная кривая

обозначает границу опрокидывания в релятивистской гидродинамике с учетом нелинейной перенормировки амплитуды

в резонансе. Синяя штриховая линия отвечает релятивистской границе опрокидывания, но без учета нелинейной пере-

нормировки. Зеленая пунктирная кривая соответствует порогу опрокидывания в нерелятивистской теории. Углы падения

всюду равны минимальным θ = θmin при соответствующих L



Подставляя интеграл I, найденный из первого

C-1 2



уравнения (23), в C-1 (14), с учетом равенства фаз из



C⁺

второго уравнения (23) получим формулу для амп-



]

литуды отраженного от плазмы магнитного поля на



(

)[

²

1/2



+ 1-R1/2

e^-iφ

(26)

основной частоте:

^R



A_L

Вычисление интеграла I (17) как численным, так

(

)

ω₀

C-1 = -iC⁺¹ exp 2i

L(-∞)

и аналитическим методами (см. Приложение С) по-

казывает, что он представляет собой чисто мнимую

{

]}

(

)[

величину. Поэтому из (23) и (24) вытекают равен-

× R1/2L +

1-R1/2

e^-iφ

(25)

ства

A_L

φ = argF(A) = arccos

= arccos

|F (A)|

(27)

Выражение (25) учитывает нелинейную перенорми-

ровку амплитуды поля в плазменном резонансе, ко-

cosφ = A/A_L,

торая заключается в переходе от амплитуды A_L в

линейной теории отражения к амплитуде A, вычис-

которые позволяют записать коэффициент отраже-

ляемой из (23). Тогда коэффициент отражения за-

ния в более компактной форме. Цепочка тожде-

пишется в виде

ственных преобразований дает

292

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Нелинейное поглощение лазерного излучения...

Рис. 4. Зависимости нелинейного коэффициента поглощения от углового параметра. Слева: графики построены при

заданных значениях температуры плазмы T = 2 кэВ и масштаба неоднородности плазмы L = 30λ для различных ин-

тенсивностей лазера (сплошные цветные линии). Справа: лазерная интенсивность I0 = 5 · 10¹⁷ Вт/см², а разные цвета

сплошных кривых отвечают различным масштабам неоднородности плазмы. Штриховая черная кривая соответствует

коэффициенту поглощения в линейной теории



]

(

)[



1/2

²

с c = ∞ и B = 0 интеграл (17) строго обращается в



+ 1-R1/2

(cos φ-i sin φ)

^R



A_L

нуль (см. Приложение C):

(

)

I|c=∞ = I₀ = 0.

(30)

=1-

(1 - R_L) .

(28)

A_L

При этом из (23) и (29) получаем A = A_L и R = R_L

Окончательно получаем нелинейные коэффициенты

Следовательно, в нерелятивистском пределе нели-

отражения R и поглощения G:

нейный вклад в коэффициент отражения отсутству-

(

)₂

(

)₂

ет и справедлива линейная нормировка (19). По-

R=1-

(1 - R_L) , G =

G_L.

(29)

скольку в нерелятивистском пределе равенство (30)

A_L

выполняется строго, то и отличие R от R_L возника-

Формулы (29) очевидным образом демонстрируют

ет только при учете релятивистской нелинейности

предельный переход в линейную теорию при A →

плазменных волн.

→ A_L, т. е. верхнее ограничение коэффициентов от-

Приближенное аналитическое вычисление I при

ражения R и поглощения G их предельными значе-

малых A и конечных значениях B дает (см. Прило-

ниями R_L и G_L. Уменьшение коэффициента резо-

жение C)

нансного поглощения с ростом лазерной плотности

3iπ²

I ≈I₁ =-

A³B².

(31)

потока энергии показано на рис. 4 (слева), где пред-

ставлены зависимости G от углового параметра ρ

Подставляя (31) в (23), придем к уравнению для

при фиксированных температуре плазмы и масшта-

амплитуды A:

бе неоднородности. Рисунок 4 (справа) демонстри-

)₂

рует, как G уменьшается при переходе к слабоне-

⁽3B²(L/Δ))2 (

A² +

1+R1/2L

A⁶ = A2L,

(32)

однородной плазме, если зафиксировать лазерную

интенсивность.

сводимому к кубическому уравнению в каноничес-

Исследуем интеграл (17) аналитически и пока-

кой форме

жем, что он отличен от нуля только в случае учета

⎛

⎞₂

релятивистской нелинейности. В работе [36], посвя-

64(Δ/L)

щенной построению теории релятивистского плаз-

y³ + py + q = 0, p = ⎝

(

)⎠ ,

менного резонанса, было показано, что параметры

3B²

1+R1/2

(33)

A и B отвечают вкладам соответственно нереляти-

q = -pA2L,

вистской и релятивистской электронной нелинейно-

сти. В условиях только нерелятивистской нелиней-

вещественное решение которого определяет квадрат

ности при конечных значениях параметра A наряду

искомой амплитуды:

293

И. И. Метельский, В. Ф. Ковалев, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Рис. 5. Сравнение зависимостей нелинейной амплитуды от амплитуды в линейном приближении (слева) и от плотности

потока энергии лазерного излучения (справа), полученных с использованием компьютерной алгебры (сплошные линии)

и с помощью формулы (34) (пунктирные кривые). Графики построены для электронной температуры плазмы T = 2 кэВ,

масштабов неоднородности плазмы L = 30λ (красные кривые), L = 50λ (зеленые кривые), L = 100λ(синие кривые)

и соответствующих этим параметрам углов падения лазера на плазму θ = θmin. Черные прямые линии соответствуют

линейному пределу

A² =

ции релятивистских плазменных колебаний, уже от-

(√

)2/3

мечался [5], их строгую количественную характери-

21/3p2/3

12p+81A4L+9A2L

-241/3p

зацию мы оставляем на будущее. Здесь же достиг-

)1/3

(34)

(√

нутый прогресс проиллюстрируем таким примером,

62/3p1/3

12p + 81A4L + 9A²

как генерация квазистационарного электрического

поля в области критической плотности, представля-

На рис. 5 приведены зависимости A(A_L) и A(I₀),

ющего собой среднее по времени значение, E_st, пол-

определяемые формулой (34), и численным решени-

ного продольного электрического поля плазменного

ем уравнения (23). Из сравнения графиков следу-

резонанса [36]:

ет, что аналитическое выражение (34) дает хорошее

приближение для амплитуды A при малых значе-

∫

ниях A_L ≲ 1. Однако с ростом лазерной интенсив-

E_st =

E_px(τ, x)dτ,

(35)

ности и при приближении к границе опрокидыва-

2π

ния отличие от численных результатов становится

все более заметным. Таким образом, формула (34)

где E_px определяется неявным образом посредством

может быть полезна для быстрой и грубой оценки

функций

перенормированной амплитуды и коэффициента по-

P₀(χ, l), v₀(χ, l), x₀(χ, l), τ(χ, l)

глощения.

из (17) через параметрические переменные χ, l

(см. [36]).

5. ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ

На рис. 6 показано пространственное распре-

Развитая выше теория, количественно определя-

деление квазистатического электрического поля в

ющая амплитуду поля плазменного резонанса, поз-

окрестности точки x = 0 при заданных значени-

воляет оценить не только коэффициент нелинейно-

ях температуры плазмы и масштаба неоднородности

го поглощения/отражения на основной частоте, но и

для различных значений лазерной плотности потока

эффективность генерации высших гармоник лазер-

энергии.

ного излучения, а также квазистационарного элек-

Рисунок 6 показывает, что электрическое поле

трического поля в окрестности плазменного резо-

(35), так же как в теории возмущений [45] и в силь-

нанса. Отметим, что хотя эффект формирования

нонелинейной нерелятивистской теории [4], имеет

медленно убывающих (степенных) спектров гармо-

универсальную биполярную форму. При этом нели-

ник, благодаря пространственно-временной модуля-

нейная нерелятивистская теория [4] дает завышен-

294

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Нелинейное поглощение лазерного излучения...

к понижению амплитуды E_st, но (в рамках приме-

нимости нашей теории) допускает достижение того

же максимально возможного поля, благодаря сдвигу

границы опрокидывания плазменной волны в сторо-

ну более высокой интенсивности I₀.

Оценим характерную энергию W ∼ eE_stΔ, при-

обретаемую электроном за счет ускорения квазиста-

тическим электрическим полем на расстоянии по-

рядка ширины плазменного резонанса. Так, для па-

раметров L = 30λ, T = 2 кэВ, I₀ ≈ 10¹⁸ Вт/см²,

θ_min = 10^◦ энергия ускоренных электронов состав-

ляет W ∼ 30 кэВ. При этом отметим, что еще пред-

стоит понять возможные следствия такого механиз-

ма генерации быстрых электронов, хотя уже можно

Рис. 6. Пространственное распределение квазистатическо-

го электрического поля плазменного резонанса, вычислен-

сделать вывод о том, что благодаря биполярности

ное при разных значениях лазерного потока I0, для тем-

электрического поля, быстрые электроны, испыты-

пературы плазмы T = 2 кэВ, масштаба неоднородности

вающие на себе действие разнонаправленной стати-

L = 30λ и угла падения θmin = 10^◦. Синяя и зеленая

ческой электрической силы в плазменном резонансе,

кривые отвечают интенсивностям лазера соответственно

не покидают его узкой пространственной области.

I0 = 10¹⁸ Вт/см² и I0 ≈ 3 · 10¹⁸ Вт/см². Штриховая кри-

Последнее позволяет заключить, что такие электро-

вая дает пространственный профиль поля в пренебреже-

ны не окажут дополнительного паразитного эффек-

нии эффектами релятивистской нелинейности для лазер-

та на предподогрев ЛТС-мишени, ограничение кото-

ного потока опрокидывания I0 ≈ 3 · 10¹⁷ Вт/см² в нереля-

рого составляет одну из важнейших задач выявле-

тивистской теории [4]

ния оптимальных условий реализации ЛТС в схеме

прямого нагрева.

В заключение сформулируем основные получен-

ные результаты. Построена аналитическая теория

ные значения амплитуды поля (см. штриховую ли-

резонансного поглощения лазерного излучения в

нию на рис.6). Так, для заданных значений T, L мак-

неоднородной плазме с учетом релятивистской элек-

симум амплитуды статического поля E_st ≈ 1 ГВ/м

тронной нелинейности в окрестности критической

в нерелятивистской теории достигается уже при

плотности плазмы. Получено уравнение, определя-

I0 ≈ 3 · 1017 Вт/см2, а в релятивистской теории

ющее нелинейную амплитуду магнитной составля-

при той же лазерной интенсивности имеем E_st ≈

ющей электромагнитного поля в точке плазменного

≈ 0.3 ГВ/м.

резонанса, из решения которого следует значитель-

Графики зависимости максимального значения

ное понижение величины этой амплитуды в области

квазистатического электрического поля от плотнос-

сильной нелинейности в сравнении с результатами

ти потока энергии лазерного излучения вплоть до

линейной теории поглощения. Продемонстрирован

порога опрокидывания для разных значений мас-

эффект насыщения резонанса — замедления роста

штаба неоднородности (слева) и температуры плаз-

амплитуды резонансного поля при увеличении ин-

мы (справа) представлены на рис. 7. На нем видно,

тенсивности накачки и показано, что он проявляет-

что теория предсказывает генерацию квазистатиче-

ся наиболее существенно в случае большой плазмен-

ского электрического поля мульти-МВ/м уровня на-

ной короны, при масштабах неоднородности плазмы

чиная с лазерной интенсивности I₀ ≃ 10¹⁶ Вт/см²

L ≳ 100λ, тогда как при достаточно крутой неодно-

вплоть примерно до 1 ГВ/м в допускаемых пре-

родности плазмы, L < 10λ, эффект не столь выра-

делах применимости теории. Увеличение масштаба

жен. Это проиллюстрировано на языке перенорми-

неоднородности сопровождается увеличением мак-

ровки амплитуды поля в области критической плот-

симально возможной амплитуды статического поля.

ности плазмы, возникающей в представленной тео-

Однако более резкая зависимость амплитуды E_st от

рии релятивистского плазменного резонанса. В свою

интенсивности лазера оказывается в случае плазмы

очередь, перенормировка приводит к переопределе-

с более резкими градиентами неоднородности плот-

нию границы области применимости (по лазерной

ности плазмы. Увеличение электронной температу-

интенсивности накачки) релятивистской гидродина-

ры (при заданном масштабе неоднородности) ведет

мической модели благодаря тому, что опрокидыва-

295

И. И. Метельский, В. Ф. Ковалев, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Рис. 7. Зависимости амплитуды квазистатического электрического поля в области плазменного резонанса от плотности

потока энергии лазерного излучения. Слева: кривые построены для T = 2 кэВ и масштабов неоднородности L = 50λ (си-

няя линия), L = 30λ (зеленая линия), L = 10λ (красная линия). Справа: кривые построены для L = 30λ и электронных

температур плазмы T = 2 кэВ (красная линия), T = 3 кэВ (зеленая линия), T = 4 кэВ (синяя линия). Вертикальные

штриховые прямые отмечают границы опрокидывания. Углы падения всюду выбраны θ = θmin при соответствующих

параметрах плазмы

ние плазменной волны возникает при бóльших ла-

поглощения и амплитуды поля в резонансе обу-

зерных интенсивностях.

словлен именно релятивистской нелинейностью

Найден нелинейный коэффициент резонансно-

движения электронов плазмы в окрестности кри-

го поглощения лазерного излучения, который за-

тической плотности и не проявляется при учете

висит от четырех лазерно-плазменных управляю-

лишь нерелятивистской нелинейности [4]. Найдено

щих параметров - лазерной интенсивности, масшта-

приближенное аналитическое выражение для оцен-

ба неоднородности плазмы, ее температуры и уг-

ки амплитуды резонансного поля и нелинейного

ла падения лазерного излучения на плазму. Вы-

коэффициента поглощения, которое дает хорошее

явлено уменьшение нелинейного коэффициента по-

совпадение с результатом их численного расчета

глощения с увеличением лазерной плотности пото-

при умеренных лазерных плотностях потока энер-

ка энергии. Так, например, при угловом параметре

гии I₀ ≃ 10¹⁶-10¹⁷ Вт/см². Исследованы свойства

ρ = 1, масштабе неоднородности L = 30λ, элект-

генерируемого квазистатического электрическо-

ронной температуре плазмы T = 2 кэВ и интенсив-

го поля в окрестности критической плотности в

ности Nd-лазера I₀ ≈ 5 · 10¹⁷ Вт/см² нелинейный

условиях нелинейного резонансного поглощения в

коэффициент поглощения составляет G ≈ 5 · 10-2,

зависимости от лазерно-плазменных параметров.

тогда как классическая линейная теория приводи-

Развитая теория плазменного резонанса открывает

ла бы к G_L ≈ 0.4. Выявленное «отключение» резо-

возможности дальнейшего продвижения теории

нансного поглощения является следствием реляти-

генерации высших гармоник [5] по пути строгой

вистской динамики электронов плазмы в окрестно-

количественной характеризации их интенсивности.

сти критической плотности. Релятивистская нели-

нейность, как эффект увеличения релятивистской

Финансирование. Работа выполнена при

эффективной массы электронов, проявляется в виде

поддержке Российского научного фонда (грант

пространственно-временной модуляции фазы элек-

№17-12-01283).

тронных колебаний [36]. Такое проявление реля-

тивистской нелинейности аналогично качественной

ПРИЛОЖЕНИЕ А

картине, обсуждавшейся в работах [34,35], как при-

Вычисление амплитуды

C-1

чине уменьшения поглощения с ростом лазерной ин-

тенсивности.

В условиях слабой неоднородности плазмы

Проведенное аналитическое исследование до-

k₀L ≫ 1 приближенное решение уравнения (11)

казало, что нелинейный характер коэффициента можно записать через функции Эйри:

296

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Нелинейное поглощение лазерного излучения...

(

)1/6

)1/2

[

]

3ω₀

iΔ - x

⁽ω₀L

ω₀

Ψ⁺(x) = E1

L_-(x)

Ψ⁺¹(x) =

√

exp

L₊(0)

[

]

× I1 ((iΔ - x)k_y), x < 0, x ≃ 0;

(

)2/3

3ω₀

[

]

× Ai -

L_-(x)

x<x₀,

x - iΔ

⁽ω₀L)1/2

ω₀

Ψ⁺¹(x) =

√

exp

L₊(0)

(

)1/6

× I1 ((x - iΔ)k_y), x > 0, x ≃ 0;

3ω₀

Ψ⁺¹(x) = E₁

L₊(x)

√

2(iΔ - x)

⁽ω₀L)1/2

Ψ-1(x) =

πL

[

]

(

)2/3

[

]

(38)

3ω₀

ω₀

× Ai

L₊(x)

x>x₀,

× exp -

L₊(0) K₁ ((iΔ - x)k_y),

x < 0, x ≃ 0;

(36)

(

)1/6

√

)1/2

3ω₀

2(x - iΔ)

⁽ω₀L

Ψ^-1

(x) = E₁

L_-(x)

Ψ-1(x) =

πL

[

]

ω₀

[

]

(

)2/3

× exp -

L₊(0)

3ω₀

× Bi -

L_-(x)

x<x₀,

× [K₁ ((x - iΔ)k_y) + I₁ ((x - iΔ)k_y)] ,

x < 0, x ≃ 0.

(

)1/6

3ω₀

Ψ-1(x) = E₁

L₊(x)

В рассматриваемом нами случае (ωL/c)2/3 sin² θ ≫

≫ 1 решение (36) в области

[

]

(

)2/3

-2/3

3ω₀

sin² θ ≫ (iΔ - x)/L ≫ (ωL/c)

× Bi -

L₊(x)

x>x₀,

совпадает с решением (38), откуда следует, что эти

формулы дают равномерно пригодное представле-

где

ние для функций Ψ±1(x) во всей интересующей нас

области изменения координаты x.

Поскольку источник f₁(ξ) локализован в окрест-

√ε₁

E₁ =

√

ности плазменного резонанса, при вычислении

ε₁ - sin² θ

функции Грина G(x, ξ) следует использовать

∫x0

√

формулы для Ψ⁺, Ψ^- при x

≈ 0. Несложные

вычисления дают

L_-(x) = dτ ε₁ - sin² θ,

(37)

−

Ψ⁺¹(x)Ψ-′1(x) - Ψ1′(x)Ψ

(x)|x≃0 =

∫x0

√

L₊(x) = dτ sin² θ - ε₁.

ω₀ iΔ - x

(39)

πc L

Подставляя (39) в (10), получаем

Здесь x₀ — точка поворота, определяемая услови-

ем ε₁(x₀) = c²k2y/ω²⁰. Формулы (36), определяющие

πcL

R₁(x) = α⁺¹Ψ⁺¹(x) + α-1Ψ-1(x) +

решение однородного уравнения (11) справа и сле-

ω₀

ва от точки поворота, тем не менее, оказываются

∫

f₁(ξ)

[

]

непригодными в окрестности плазменного резонан-

× dξ

Ψ⁺¹(x)Ψ-1(ξ) - Ψ⁺¹(ξ)Ψ-1(x)

(40)

iΔ - ξ

са x = 0, где ε₁ → 0. Решение однородного линей-

−∞

ного уравнения вблизи точки плазменного резонан-

са x = 0 при не слишком малых углах θ, таких

Используя условие обращения магнитного поля

что (ωL/c)2/3 sin² θ ≫ 1, выражается через модифи-

R₁(x) в нуль при x → ∞ и экспоненциальное зату-

цированные функции Бесселя первого порядка, что

хание функции K₁(x), получим из (40) следующее

приводит к следующим формулам для функций Ψ±1:

соотношение, определяющее одну из констант α-1:

297

ЖЭТФ, вып. 2 (8)

И. И. Метельский, В. Ф. Ковалев, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

[

]

)1/2

2ω₀

⁽2cL

Принимая во внимание, что функции полей

α-1 =

α⁺¹ exp

L₊(0)

ω₀

P (x, t), Q(x, t) и скоростей v(x, t), u(x, t) обращают-

∫

∞

ся в нуль при x → ∞, упростим интеграл от источ-

[

]

ω₀

ника f₁(x) в (43) интегрированием по частям, и, как

× exp

L₊(0)

dξ f₁(ξ)K₁ [(ξ - iΔ)k_y] .

(41)

следствие, исключением из подынтегрального выра-

−∞

жения функций поперечных компонент электриче-

В области, где плотность плазмы обращается в нуль,

ского поля u и скорости электронов Q:

т. е. при x → -∞, магнитное поле представляется в

∫

∞

∫

∞

виде линейной комбинации падающей и отраженной

f₁(x)

ik_y

плоских волн с коэффициентами

C⁺¹ и

C-1 (12). Эти

x - iΔ

−∞

-∞

коэффициенты могут быть выражены через α⁺¹ и

[

]

α-1, если использовать в (40) формулы (38) и перей-

ω²

× vP_x - iω₀v(γv)_x -

(γ - 1)v

ти к пределу x → -∞ с учетом асимптотических

выражений для функций Эйри. В результате имеем

∫

∞

∫

aik_y

d(ω₀t - yk_y) ×

(

) exp[-iZ]

2πc

x - iΔ

C⁺¹ =

iα⁺¹ + α^-

√

-∞

π| cosθ|

[

]

aik_y

× vP_x-iω₀v(γv)_x-

(γ-1)v eω0t-yky =

(

) exp[iZ]

2πc

(42)

C-1 =

α-1 - iα⁺

√

π| cosθ|

∫

∞

∫

[

]

ω²

dτ vP_x-iω₀v(γv)_x-

(γ-1)v e^τ =

ω₀

x-iΔ

Z =

L₊(-∞).

−∞

iΔω³⁰k_y

Исключая из (42) коэффициенты α⁺¹ и α-1 с учетом

exp[-iπ + i arg B₁(0)]I,

(44)

2πca

(41) и принимая во внимание, что K₁(x) ≈ 1/x в

где

интересующей нас области локализации источника

∫

∞

∫

(ξ - iΔ)k_y ≪ 1, получим связь коэффициентов

C-1

v₁eiτ(χ,l)

C⁺¹:

I = dl dχ

x₀ - i

-∞

[

]

ω₀

C-1 = -i exp 2i

L₊(-∞)

× [∂_χτ∂_l (P₀ - iγv₁) - ∂_lτ∂_χ (P₀ - iγv₁) -

- (∂_χτ∂_lx₀ - ∂_lτ∂_χx₀) (γ - 1)] ,

[

]

2ω₀

exp

L₊(0)

P₀ = -

(l cos χ + sin χ) ,

1+l²

[

2ω₀

B²v²⁰

exp

L₊(0)

v₀ = -

(l sin χ - cos χ) , γ = 1 +

1+l²

(

)1/2

(

)₂

(45)

i exp[L₊(0) + iZ]

]

B²v

^[2ω₀

2πω₀| cosθ|k²

x₀ = l - P₀, v₁ = v

exp

L₊(0)

B²v

(

)

∫∞

f₁(ξ)

τ (χ, l) = χ - ζE(ϕ; k) -

F (ϕ; k) - ϕ

× dξ

(43)

ξ - iΔ

√

-∞

P₀

ζ =

4+B²(v²⁰+P²⁰), ϕ = arcsin

√

v²⁰+P²⁰

Кроме того, в случае линейного профиля плотнос-

√

ти плазмы, когда координатная зависимость диэлек-

B²(v²⁰ + P²⁰)

трической проницаемости на основной частоте име-

4 + B²(v²⁰ + P²⁰

)

ет вид

Здесь из соображений удобства мы ввели безразмер-

ε₁ = (iΔ - x)/L,

ные функции и переменные P₀, v₁, x₀, которые свя-

справедлива формула

заны с P, v, x следующим образом:

L₊(0) = -(2L/3)sin³ θ.

P₀ =

P, v₁ =

Δω²⁰

Δω₀

298

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Нелинейное поглощение лазерного излучения...

и x₀ = x/Δ (см. [36]). Кроме того, в (44) совершен

значениях аргумента K₁(x)|x≃0 ≃ 1/x, I₁(x)|x≃0 ≃

переход от переменных интегрирования (τ, x) к пе-

≃ x/2:

ременным (χ, l) с якобианом перехода

ω₀ξ(2iΔ - ξ)

Ψ⁺¹(0)Ψ-1(ξ) - Ψ⁺¹(ξ)Ψ-1(0) ≃

D≡∂_χτ∂_lx₀ -∂_lτ∂_χx₀.

2πLc

(48)

ξ(2iΔ - ξ)

Совокупность формул

Λ₂ ≃

Λ₃ ≃

2π(ξ - iΔ)k2y

2(iΔ - ξ)

P₀(χ, l), v₀(χ, l), x₀(χ, l), τ(χ, l)

Из второго условия применимости нашей модели (7)

через параметрические переменные χ, l неявным об-

следует, что Λ₂ ≫ Λ₃, а значит, вкладом Λ₃ можно

разом определяет нелинейную зависимость электри-

пренебречь по параметру малости k2yΔ² ≪ 1. Та-

ческого поля плазменного резонанса. Нелинейная

ким образом, мы получили упрощенное уравнение

зависимость электрического поля и скорости от ко-

для амплитуды магнитного поля в точке плазмен-

ординаты и времени в формулах (11) определяется

ного резонанса:

неявным образом через параметрическую перемен-

ную, а в выражениях (13) для конечных преобразо-

R₁(0) = Λ₁ + Λ₂ = α⁺¹Ψ⁺¹(0) + α-1Ψ-1(0).

(49)

ваний скорости и времени в роли параметрических

переменных выступают уже электрическое поле и

Отсюда, используя связь α⁺¹ с α-1 из (41), а также

скорость.

формулы (42), найдем

(

)1/2

ПРИЛОЖЕНИЕ В

2c| cosθ|

R₁(0) =

πω₀L sin² θ

Вычисление R₁(0)

exp[L₊(0) + iZ]

Исходя из (40), запишем формулу для первой

[

C⁺¹ ×

2ω₀

гармоники магнитного поля в точке x = 0:

exp

L₊(0)

πcL

R₁(0) = α⁺¹Ψ⁺¹(0) + α-1Ψ-1(0) +

∫

∞

ω₀

(i/πk2y)

f₁(ξ)

[

]

dξ

(50)

∫0

2ω₀

ξ - iΔ

f₁(ξ)

[

]

exp

L₊(0)_-∞

× dξ

Ψ⁺¹(0)Ψ-1(ξ) - Ψ⁺¹(ξ)Ψ-1(0)

(46)

iΔ - ξ

−∞

Подставляя в (46) выражение (41), связывающее α-1

ПРИЛОЖЕНИЕ С

с α⁺¹, получим

(

[

]

)

Аналитическая оценка интеграла I

2ω₀

R₁(0) = α⁺¹ Ψ⁺¹(0)+

exp

L₊(0) Ψ-1(0)

Найдем приближенно интеграл (17) для значе-

)1/2

[

]

⁽2cL

ω₀

ний амплитуды A, при которых можно считать, что

Ψ-1(0)exp

L₊(0)

ω₀

A² ≪ 1. В работе [36] было показано, что в реля-

∫∞

тивистском режиме параметр B, отвечающий за ре-

πcL

лятивистскую нелинейность, при температурах T ≃

× dξ f₁(ξ)K₁ [(ξ - iΔ)k_y] +

ω₀

≃ 1 кэВ принимает значения B ≃ 1, а безразмерная

-∞

амплитуда при этом A ≃ 0.5, что указывает на за-

∫0

f₁(ξ)

[

]

конность разложения подынтегральных функций в

× dξ

Ψ⁺¹(0)Ψ-1(ξ) - Ψ⁺¹(ξ)Ψ-1(0)

iΔ - ξ

(17) в ряд по параметру (AB)². Отличием τ от χ при

−∞

этом можно пренебречь. Итак,

=Λ₁ +Λ₂ +Λ₃.

(47)

∫

∞

∫

Сравним два интегральных вклада Λ₂ и Λ₃ в (47).

v₁e^iχ

I ≈ dl dχ

Чтобы оценить интегралы, воспользуемся (38) и

x₀ - i

приближенными формулами для модифицирован-

-∞

ных функций Бесселя первого порядка при малых

× [∂_l (P₀ - iγv₀) - ∂_lx₀(γ - 1)] .

(51)

299

10*

И. И. Метельский, В. Ф. Ковалев, В. Ю. Быченков

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

∫

∞

∫

Выражая скорость v₁ через v₀, а x₀ через P₀ и разла-

B²

v³⁰e^iχ

B²A²

гая функцию v₁ в ряд по параметру (AB)² с точнос-

I₁ = -

dl dχ

x₀ - i

тью до первого порядка малости, получим

−∞

∫

∞

∫

l+i

1-3αz²+3α²z⁴-α³z⁶

∫∞

∫

× dl

(57)

v₀e^iχ

(1+il)³

z²(z - z₁)(z - z₂)

I ≈ dl dχ

−∞

|z|=1

x₀ - i

-∞

[

(

)]

Интеграл по кругу определяется суммой вычетов

B²v²⁰

× ∂l (P₀-iv₀) -

∂_lP₀

подынтегральной функции f(z) в точках z = z₂,

z = 0:

=I₀ +I₁ +I₂.

(52)

∫

∑

1-3αz²+3α²z⁴-α³z

dz f(z) = 2πi

res

Рассмотрим первое слагаемое

z²(z - z₁)(z - z₂)

z=z2,0

|z|=1

3z₁ - z₂

6iπ

∫∞

∫

= 2πi

≈

(58)

v₀e^iχ

z³¹z₂

z²¹z

I₀ = dl dχ

∂_l (P₀ - iv₀),

(53)

x₀ - i

−∞

Последнее приближенное равенство справедливо,

поскольку |z₁| ≫ |z₂|. Переходя в (55) для z1,2 к

которое не зависит от B и соответствует учету нере-

пределу при A² ≪ 1 и вычисляя интеграл по про-

лятивистской нелинейности, т. е. I₀ = I|c=∞. Заме-

странству вновь по теории вычетов, получим

чая, что подынтегральная функция имеет особен-

ность (x₀ - i)-1, вычислим I₀ по теории вычетов,

z₂ ≈ -

заменив интегрирование по χ интегрированием по

2α(1 + l²)

окружности единичного радиуса. Переход к пере-

∫

∞

(59)

3iπA³B²

l²+2il-1

3iπ²

менной z = e^iχ дает

I₁ ≈

A³B².

(1 + l²)³

-∞

A(1 - αz²)

A(1 + αz²)

v₀ =

P₀ = -

Вклад I₂ находится аналогичным образом и равен

2z(1 + il)

2z(l - i)

(54)

A(z - z₁)(z - z₂)

∫

∞

∫

x₀ - i =

e^iχv³⁰∂_lP₀

15iπ²B²A⁵

2z(l + i)

I₂ =

dl dχ

≈-

(60)

x₀ - i

4096

−∞

где

(

√

)

Принимая во внимание, что I₂ ≪ I₁, запишем окон-

чательное приближенное значение интеграла I:

1+l

z1,2 = -

1±

α(1 + l²)²

(55)

3iπ²

I ≈-

A³B².

(61)

l-i

α=

|z₁| > 1,

|z₂| < 1.

z₁z₂

l+i

Тогда интеграл по времени χ сводится к интегралу

ЛИТЕРАТУРА

по кругу |z| = 1, который определяется вычетами в

1. M. J. Rosenberg, A. A. Solodov, J. F. Myatt, W. Se-

точках z = z₂, z = 0 и равен нулю:

ka, P. Michel, M. Hohenberger, R. W. Short, R. Ep-

stein, S. P. Regan, E. M. Campbell, T. Chapman,

∫

1 - αz²

C. Goyon, J. E. Ralph, M. A. Barrios, J. D. Moody,

z(z - z₁)(z - z₂)

and J. W. Bates, Phys. Rev. Lett. 120, 055001 (2018).

|z|=1

2. N. S. Erokhin, S. S. Moiseev, and V. V. Mukhin,

∑

1 - αz²

= 2πi

res

= 0.

(56)

Nuclear Fusion 14, 3 (1974).

z(z - z₁)(z - z₂)

z=z2,0

3. A. B. Vladimirskii and V. P. Silin, Sov. J. Plasma

Phys. 6, 196 (1980).

Таким образом, нерелятивистское слагаемое I₀ не

дает вклада в I. Слагаемое I₁ после замены z = e^iχ

4. V. F. Kovalev and V. V. Pustovalov, Teor. Mat. Fiz.

преобразуется следующим образом:

81, 69 (1989).

300

ЖЭТФ, том 160, вып. 2 (8), 2021

Нелинейное поглощение лазерного излучения...

I. I. Metelskii, V. F. Kovalev, and V. Y. Bychenkov,

25.

G. J. Pert, Plasma Phys. 20, 175 (1978).

Phys. Plasm. 26, 113113 (2019).

26.

D. E. Hinkel-Lipsker, B. D. Fried, and G. J. Morales,

J. Albritton and P. Koch, Phys. Fluids 18, 1136

Phys. Rev. Lett. 62, 2680 (1989).

(1975).

27.

E. Ahedo and J. R. Sanmartin, Plasma Phys.

С. В. Буланов, Л. М. Коврижных, А. С. Сахаров,

Controll. Fusion. 29, 419 (1987).

ЖЭТФ 72, 1869 (1977).

28.

D. E. Hinkel-Lipsker, B. D. Fried, and G. J. Morales,

A. Y. Lee, Y. Nishida, N. C. Lundmann et al., Phys.

Phys. Rev. Lett. 66, 1862 (1991).

Rev. Lett. 48, 319 (1982).

29.

D. E. Hinkel-Lipsker, B. D. Fried, and G. J. Morales,

В. Л. Гинзбург, Распространение электромагнит-

Phys. Fluids B 4, 1772 (1992).

ных волн в плазме, Наука, Москва (1967).

30.

D. E. Hinkel-Lipsker, B. D. Fried, and G. J. Morales,

10.

U. Teubner and P. Gibbon, Rev. Mod. Phys. 81, 445

Phys. Fluids B 5, 1746 (1993).

(2009).

31.

K. G. Estabrook, E. J. Valeo, and W. L. Kruer, Phys.

Fluids 18, 1151 (1975).

11.

K. Forsterling, Arch elect. Ubertr 3, 115; 5,

209

(1949).

32.

S. C. Wilks, Phys. Fluids B 5, 2603 (1993).

12.

K. Forsterling and H. O. Wuster, J Atmos. Terr.

33.

S. V. Bulanov, N. M. Naumova, and F. Pegoraro,

Phys. 2, 22 (1951).

Phys. Plasmas 1, 745 (1994).

13.

N. G. Denisov, Sov. Phys. Sov. Phys. JETP 4, 544

34.

Wen-Jun Ding, Z.-M. Sheng, J. Zhang, and M. Y. Yu,

(1956).

Phys. Plasmas 16, 042315 (2009).

14.

B. N. Gershman, V. L. Ginzburg, and N. G. Denisov,

35.

S. K. Rajouria, K. K. Magesh Kumar, and V. K. Tri-

Usp. Fiz. Nauk 61, 561 (1957).

pathi, Phys. Plasmas 20, 083112 (2013).

15.

P. Hirsch and J. Shmoys, Radio Sci. Res. NAth. Bur.

36.

I. I. Metelskii, V. F. Kovalev, and V. Y. Bychenkov,

Stand. 64D, 521 (1956).

Plasma Phys. Rep. 43, 175 (2017).

16.

P. Hirsch, Radio Sci. 2, 407 (1967).

37.

Hui Xu, Zheng-Ming Sheng, Jie Zhang, and M. Y. Yu,

Phys. Plasmas 13, 123301 (2006).

17.

A. D. Piliya, Sov. Phys. Tech. Phys. 11, 609 (1966).

38.

В. Б. Гильденбург, ЖЭТФ 46, 2156 (1964).

18.

А. Я. Омельченко, К. Н. Степанов, УФЖ 12, 1445

(1967).

39.

В. Б. Гильденбург, И. Г. Кондратьев, Г. А. Марков,

Изв. вузов. Радиофизика 12, 655 (1969).

19.

T. Tang, Radio Sci. 5, 111 (1970).

40.

В. Б. Гильденбург, Г. М. Фрайман, ЖЭТФ 69,

20.

А. Я. Омельченко, В. И. Панченко, К. Н. Степа-

1601 (1975).

нов, Известия ВУЗов, Радиофизика 14, 10 (1971).

41.

А. М. Журавский, Справочник по эллиптическим

21.

D. L. Kelly and Jr. A. Banos, UCLA Plasma Physics

функциям, Изд-во АНСССР, Москва (1941).

Group Report NO. PPG-170 (1974).

42.

А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев,

22.

D. W. Forslund, J. M. Kindel, K. Lee, E. L. Lindman,

Интегралы и ряды, Наука, Москва (1981).

and R. L. Morse, Phys. Rew. A 11, 679 (1975).

43.

https://www.wolfram.com/mathematica/.

23.

K. G. Budden, Radio Waves in the Ionosphere, Cam-

brige University, Cambrige, England (1961).

44.

J. M. Dawson, Phys. Rev. 113, 383 (1959).

24.

Th. Speziale and P. J. Catto, Phys. Fluids 20, № 6

45.

А. Г. Абдуллаев, Ю. М. Алиев, В. Ю. Быченков,

(1977).

А. А. Фролов, Препринт ФИАН №8 (1986).

301