ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 3 (9), стр. 307-326

ЗАКОНЫ ДИСПЕРСИИ ПОЛЯРИТОННОГО ТИПА ДЛЯ

ЧЕТЫРЕХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ С НЕЭКВИДИСТАНТНЫМ

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ СПЕКТРОМ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ

С ТРЕМЯ ИМПУЛЬСАМИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

О. В. Коровай^*

Приднестровский государственный университет им. Т. Г. Шевченко

МD-3300, Тирасполь, Молдова

Поступила в редакцию 19 апреля 2021 г.,

после переработки 19 апреля 2021 г.

Принята к публикации 20 апреля 2021 г.

Изучены особенности поляритонных законов дисперсии четырехуровневых атомов, взаимодействующих

с тремя импульсами когерентного лазерного излучения с частотами, находящимися в резонансе с оп-

тически-разрешенными однофотонными переходами 1 ⇆ 2, 2 ⇆ 3 и 3 ⇆ 4, с учетом двухфотонных

переходов 1 ⇆ 3, 2 ⇆ 4, а также прямого трехфотонного перехода 1 ⇆ 4. Используется приближение

заданной плотности фотонов трех импульсов. Показано, что закон дисперсии состоит из четырех ветвей,

положение и форма которых определяется частотами Раби указанных переходов и плотностями фотонов

трех импульсов. Непосредственный учет всех шести оптических переходов приводит к зависимости зако-

на дисперсии атомных поляритонов от квантовых параметров — разностей фаз между частотами Раби

рассматриваемых переходов. Найдены значения параметров, при которых возможны пересечения ветвей

закона дисперсии.

DOI: 10.31857/S0044451021090017

ческих квантовых ямах смешиваются с оптической

модой микрорезонатора, что приводит к взаимодей-

1. ВВЕДЕНИЕ

ствию этих экситонов между собой и образованию

связанных гибридных поляритонов.

В последнее время повышенное внимание уделя-

ется взаимодействию лазерного излучения с вещест-

Нелинейно-оптические явления в четырех- и

вом в размерно-ограниченных системах. В рабо-

многоуровневых атомных системах исследовались

тах [1-5] изучены обусловленные сильной связью

в работах [8-11]. При этом учитывались однофо-

фотонов с атомными системами явления бозе-эйн-

тонные индуцированные переходы между последо-

штейновской конденсации и сверхтекучести в систе-

вательными парами соседних уровней под действи-

ме экситон-поляритонов в микрорезонаторах. При

ем света, как это представлено в теории каскад-

этом большой интерес представляет установление

ных лазеров. Вместе с тем, в атомных четырехуров-

общности или различий между такими понятиями,

невых системах возможны двухфотонные переходы

как частота нутации либо частота осцилляций Ра-

между первым и третьим уровнями, вторым и чет-

би в системе экситонов Ванье - Мотта и вакуумного

вертым уровнями и трехфотонный переход между

раби-расщепления ансамблем изолированных двух-

первым и четвертым уровнями. В работе [12] ис-

уровневых атомов либо системой экситонов Френ-

следуется когерентное управление нелинейным по-

келя в условиях сильной связи фотонов с матери-

глощением интенсивных лазерных полей в четы-

альными возбуждениями. В работах [6,7] исследова-

рехуровневых атомных лестничных системах. По-

ны поляритонные состояния в микрорезонаторе, где

ле связи создает электромагнитно-индуцированную

энергии экситонов Френкеля в органических кван-

прозрачность с дублетом Аутлера - Таунса для зон-

товых ямах и экситонов Ванье - Мотта в неоргани-

дирующего поля, в то время как управляющее по-

ле отсутствует. При включении управляющего по-

^* E-mail: olesya-korovai@mail.ru

ля появляется большой резонансный пик поглоще-

307

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

ния, который приводит к оптическому переключе-

рехуровневой системе продемонстрировано в рабо-

нию. Теоретическое исследование природы интерфе-

те [20].

ренции между пиками Аутлера - Таунса (или одеты-

В ряде работ изучалось влияние многофо-

ми состояниями) в общей многоуровневой системе

тонных процессов в системах лестничного типа

представлено в работе [13]. Показано, что в четы-

на различные оптические явления. В работе [21]

рехуровневой системе характер взаимовлияния двух

численно исследуются эффекты трехфотонной

крайних пиков Aутлера - Таунса может быть как

когерентности ридберговского состояния в допле-

конструктивным, так и деструктивным в зависимо-

ровской расширенной четырехуровневой лестнич-

сти от мощности управляющего лазера. Динамика

ной атомной системе атомов Rb-85 с резонансным

экситонно-светового поля плоского ансамбля кван-

микроволновым полем. С двух точек зрения

товых точек, встроенных в фотонный резонатор, в

анализируются спектральные характеристики

режиме сильной квантовой связи исследована экспе-

ридберговской трехфотонной когерентности: рас-

риментально [14]. Показано, что при возбуждении

щепление Аутлера - Таунса, ридберговская элект-

коротким лазерным импульсом в резонаторе обна-

ро-индуцированной прозрачность и трехфотонное

руживаются экситон-поляритонное поведение при

электромагнитно-индуцированное поглощение. В

слабом возбуждении и колебания Раби при силь-

работе [22] показано экспериментальное различие

ном возбуждении с резким переходом между этими

наблюдаемого расщепления Аутлера - Таунса от

режимами, что демонстрирует сильную связь меж-

электромагнитно-индуцированной

прозрачности

ду светом и «одетыми» дублетными и триплетными

при учете двухфотонного резонанса.

возбужденными состояниями. При низком уровне

Теоретическая схема достижения сильной фо-

возбуждения наблюдаются обычная верхняя и ниж-

тонной блокады одиночного атома в резонаторе

няя поляритонные ветви закона дисперсии. Однако

представлена в работе [23]. Показано, что взаимо-

при увеличении уровня накачки появляется снача-

действие между квантовой интерференцией и уси-

ла одна, а затем две дополнительные поляритонные

ленным вакуумным расщеплением Раби приводит

ветви.

к сильной фотонной блокаде, которая увеличива-

В работе [15] изучались оптические свойства свя-

ет расщепление одетого состояния между верхней

занных тримеров и тетрамеров. Методом накач-

и нижней поляритонными ветвями. Исследование

ки-зондирования [15, 16] изучены свойства экси-

двухфотонной резонансной флуоресценции на мик-

тон-поляритонов при изменении уровня возбужде-

роволновых частотах с использованием сверхпро-

ния кристалла. Показано, что наблюдается возник-

водящего искусственного атома с энергетическим

новение дополнительных поляритонных ветвей, обу-

спектром лестничного типа, трансмона, сильно свя-

словленных образованием биэкситонных и триэкси-

занного с волноводом, представлено в работе [24].

тонных состояний в кристалле. В работе [17] тео-

Рассматривается мощный двухфотонный переход

ретически и экспериментально исследован спектр

между основным и вторым возбужденными состоя-

пропускания оптического резонатора, связанного

ниями и наблюдается пик резонансной флуоресцен-

с ансамблем холодных четырехуровневых атомов

ции, интенсивность которого становится сравнимой

Rb-85. Получены четыре пика вследствие расщеп-

с однофотонным излучением.

ления нормальных мод пропускания резонатора в

Известно, что в экситонной области спектра име-

режиме сильной связи из-за коллективного увели-

ют место индуцированные светом однофотонные пе-

чения силы связи атом-резонатор ансамблем холод-

реходы из основного состояния кристалла в экси-

ных атомов. При этом закон дисперсии состоит из

тонное и из экситонного в биэкситонное, а также

четырех поляритонных ветвей. Когерентное трех-

прямой двухфотонный переход из основного состо-

фотонное лазерное возбуждение четырехуровневой

яния кристалла на биэкситонный уровень [25]. При

системы ридберговских атомов также изучено тео-

этом однофотонный оптический переход из экситон-

ретически и экспериментально [18]. Показано появ-

ного в биэкситонное состояние и двухфотонный пе-

ление дополнительного спектрального уширения и

реход из основного состояния кристалла в биэкси-

возникновение колебаний Раби на крыльях трехфо-

тонное характеризуются гигантскими силами осцил-

тонных резонансов. Влияние атомной когерентности

лятора по сравнению со случаем экситонного пе-

на поглощение в четырехуровневой атомной систе-

рехода. Отметим, что в работе [26] представлены

ме лестничного типа при учете однофотонных пере-

предварительные результаты исследования двухим-

ходов теоретически исследовано в работе [19]. Фор-

пульсного взаимодействия с экситонами и биэксито-

мирование поляритонов темного состояния в четы-

нами. Показано, что в условиях мощной накачки в

308

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Законы дисперсии поляритонного типа для четырехуровневых атомов.. .

области M-полосы люминесценции закон дисперсии

модействующих с тремя импульсами резонансного

несущей волны имеет три ветви. Были найдены зна-

лазерного излучения. При этом учитываются одно-

чения параметров, при которых может наблюдать-

фотонные переходы между уровнями 1 ⇆ 2, 2 ⇆ 3

ся пересечение ветвей закона дисперсии. В работах

и 3 ⇆ 4, двухфотонные переходы между уровнями

[27, 28] представлены результаты исследования за-

1 и 3, 2 и 4, а также прямой трехфотонный переход

конов дисперсии поляритонного типа для трехуров-

между уровнями 1 и 4 (рис. 1). Гамильтониан взаи-

невого атома с эквидистантым и неэквидистантным

модействия атома и фотонов трех импульсов можно

энергетическими спектрами при учете двухфотон-

записать в виде

ного перехода. Были найдены значения частот Раби

и разности фаз, при которых наблюдается пересече-

Ĥ_int = -g₁₂â†1ĉ†1â₂ - g∗12â†2ĉ₁â₁ - g₂₃â†2ĉ†2â₃ -

ние ветвей законов дисперсии. Влияние двухфотон-

ℏ

ных процессов на поглощение в системе экситонов

-g∗23â†3ĉ₂â₂ - g₃₄â†3ĉ†3â₄ - g∗34â†4ĉ₃â₃-

и биэкситонов при двухимпульсном взаимодействии

-g₁₃â†1ĉ†1ĉ†2â₃ - g∗13â†3ĉ₁ĉ₂â₁ - g₂₄â†2ĉ†2ĉ†3â₄-

изучено в работе [29]. Показано, что учет двухфо-

тонных процессов приводит к возможности наблю-

-g∗24â†4ĉ₂ĉ₃â₂ - g₁₄â†1ĉ†1ĉ†2ĉ†3â₄ - g∗14â†4ĉ₁ĉ₂ĉ₃â₁,

(1)

дения несимметричного расщепления Аутлера - Та-

унса, а учет процессов квантовой интерференции —

где â_j (j = 1-4) — оператор уничтожения атома, на-

к исчезновению эффекта Аутлера - Таунса при опре-

ходящегося на уровне j; ĉ₁, ĉ₂ и ĉ₃ — операторы

деленных значениях полей падающих импульсов.

фотонов, индуцирующих переходы между уровня-

Предсказана возможность управления спектром по-

ми соответственно 1 ⇆ 2, 2 ⇆ 3 и 3 ⇆ 4; g_ij —

глощения при помощи изменения интенсивности по-

константы оптической конверсии атома с уровня i

лей и расстроек резонанса.

на уровень j. Собственные энергии атомов на уров-

Таким образом, можно сделать вывод, что ни в

нях 2, 3 и 4 равны соответственно ℏω₀, ℏω₀₃ и ℏω₀₄

одной из упомянутых выше работ не исследуется си-

(рис. 1). Отсчет энергии атома на возбужденных

стема четырехуровневых атомов с одновременным

уровнях начинается с первого уровня (основного со-

учетом однофотонных, двухфотонных и трехфотон-

стояния атома). Фотоны падающих импульсов, опи-

ных переходов.

сываемые операторами ĉ₁, ĉ₂ и ĉ₃, имеют частоты

соответственно ω₁, ω₂ и ω₃. Фотоны первого (вто-

рого) импульса с энергией ℏω₁ (ℏω₂) возбуждают

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

атом с уровня 1 (2) на уровень 2 (3), фотоны второ-

ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ

го (третьего) импульса с энергией ℏω₃ возбуждают

Ниже представлены результаты исследований

атом с уровня 3 на уровень 4. Эти переходы явля-

закона дисперсии четырехуровневых атомов, взаи-

ются оптически-разрешенными однофотонными пе-

реходами. Кроме того, в атомной системе возможны

также оптически-разрешенные двухфотонные пере-

ходы с уровня 1 на уровень 3 (и обратно) под дей-

ствием импульсов с энергиями ℏω₁ + ℏω₂, с уровня

2 на уровень 4 (и обратно) под действием импуль-

сов с энергиями ℏω₂ + ℏω₃. Наряду с двумя двух-

фотонными переходами в данной системе разрешен

также оптический трехфотонный переход с уровня

1 на уровень 4 (и обратно) под действием тех же са-

мых фотонов с энергиями ℏω₁, ℏω₂, ℏω₃, что отраже-

но последними двумя слагаемыми в выражении (1).

Предполагаем, что три импульса электромагнитно-

го излучения действуют в течение времени, меньше-

го времени релаксации атомов. В этом случае про-

цессами релаксации можно пренебречь.

Используя гамильтониан (1), легко получить

Рис. 1. Схема энергетического спектра четырехуровневого

гейзенберговские уравнения движения для операто-

атома, взаимодействующего с фотонами с частотами ω1,

ров â_j и ĉ_j , после усреднения которых в прибли-

ω2 и ω3

жении среднего поля приходим к системе нелиней-

309

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

ных эволюционных уравнений для амплитуд a_j =

i(c∗2c∗3a₄)^· = (ω₀₄ - ω₃ - ω₂)c∗2c∗3a₄ + g∗23a₂a∗3c∗3a₄ +

= 〈â_j〉 (j = 1, 2, 3, 4) и c_j = 〈ĉ_j〉 (j = 1, 2, 3):

+g∗13a₁c₁a∗3c∗3a₄ + g∗24a₂c₃a∗4c∗3a₄+

+g∗14a₁c₂c₃a∗4c∗3a₄ + g∗34a₃a₄a∗4c∗2+

+g∗24a₂c₂a₄a∗4c∗2 + g∗14a₁c₁c₂a∗4a₄c∗2-

ia₁ = -g₁₂c∗1a₂ - g₁₃c∗1c∗2a₃ - g₁₄c∗1c∗2c∗3a₄,

-g∗34a₃c₃c∗3c∗2 - g∗24a₂c₂c₃c∗2c∗3-

ia₂ =ω₀a₂ -g∗12a₁c₁ -g₂₃c∗2a₃ -g₂₄c∗2c∗3a₄,

-g∗14a₁c₁c₂c₃c∗2c∗3.

ia₃ =ω₀₃a₃ -g∗23a₂c₂ -g₃₄c∗3a₄ -g∗13a₁c₁c₂,

ia₄ = ω₀₄a₄-g∗34a₃c₃-g∗24a₂c₂c₃-g∗14a₁c₁c₂c₃,

(2)

Далее будем считать, что амплитуды фотонов

намного превосходят амплитуды атомов на соответ-

iċ₁ = ω₁c₁-g₁₂a∗1a₂-g₁₄a∗1c∗2c∗3a₄-g₁₃a∗1c∗2a₃,

ствующих уровнях (c₁, c₂, c₃ ≫ a₁, a₂, a₃, a₄) — при-

iċ₂ = ω₂c₂-g₂₃a∗2a₃-g₁₄a∗1c∗2c∗3a₄-g₁₃a∗1c∗2a3 -

ближение заданной плотности фотонов. Тогда ре-

-g₂₄a∗2c∗3a₄,

шение этих уравнений будем искать в виде ci =

iċ₃ = ω₃c₃-g₃₄a∗3a₄-g₂₄a∗2c∗2a₄-g₁₄a∗1c∗1c∗2a₄.

= c0i exp(-iω_it), где c0i — начальные значения амп-

литуд фотонов. Огибающая функции c_i(t) в прибли-

жении заданной плотности фотонов не изменяется

со временем: |c_i|² = |c0i|² ≡ fi0 = const. Пренебре-

Найдем дисперсионное уравнение системы в

гая исчезающе малыми слагаемыми в уравнениях

окрестности частоты второго уровня атома. Ис-

(3), получаем следующую систему уравнений:

пользуя уравнение для

a₂, видим, что скорость

изменения амплитуды a₂ определяется выражения-

ia₂ = ω₀a₂-g∗12(a₁c₁)-g₂₃(c∗2a₃)-g₂₄(c∗2c∗3a₄),

ми a₁c₁, c∗2a₃ и c∗2c∗3a₄. Слагаемое с a₁c₁ описывает

i(a₁c₁)^· = ω₁(a₁c₁)-g₁₂c₁c∗1a₂-g₁₃c∗1c₁c∗2a₃ -

вклад в скорость изменения амплитуды a₂ за счет

-g₁₄c₁c∗1c∗2c∗3a₄,

гибели атома на уровне a₁ и фотона с энергией

ℏω₁, в результате чего атом переходит на уровень 2.

i(a₃c∗2)^· = (ω₀₃-ω₂)(c∗2a₃)-g∗23a₂c∗2c₂ -

(4)

Слагаемое c∗2a₃ описывает процессы гибели атома

-g₃₄c∗3c∗2a₄ - g∗13a₁c₁c₂c∗2,

на уровне 3 с образованием фотона на частоте ω₂,

i(c∗2c∗3a₄)^· = (ω₀₄-ω₃-ω₂)(c∗2c∗3a₄)-g∗34a₃c₃c∗3c∗2 -

в результате чего атом переходит на уровень 2.

-g∗24a₂c₂c₃c∗2c∗3 - g∗14a₁c₁c₂c₃c∗2c∗3.

Аналогично, слагаемое с c∗2c∗3a₄ описывает процесс

гибели атома на уровне

с образованием двух

В приближении заданной плотности фотонов систе-

фотонов с частотами ω₂ и ω₃ и переходом атома на

ма уравнений (4) является линейной. Решения си-

уровень 2. Соответствующие им операторы â₁ĉ₁,

стемы (4) будем искать в виде

ĉ†₂â₃ и ĉ†2ĉ†3â₄ описывают состояния с квазиэнерги-

a₂, a₁c₁, a₃c∗2, c∗2c∗3a₄ ∝ e^-iωt,

ями ℏω₁, ℏ(ω₀₃ - ω₂) и ℏ(ω₀₄ - ω₃ - ω₂), равными

энергии ℏω₀ атома на втором уровне. Следователь-

где ω — искомая собственная частота атомных по-

но, состояние атома на уровне 2, а также реплика

ляритонов. Тогда для стационарных амплитуд по-

возбужденного состояния

3, сдвинутая вниз на

лучаем алгебраическую систему уравнений

энергию фотона ℏω₂, и реплика возбужденного со-

стояния 4, сдвинутая вниз на энергию двух фотонов

(ω - ω₀)a₂ + g∗12(a₁c₁) +

ℏω₂ + ℏω₃, вырождены по энергии.

+g₂₃(c∗2a₃) + g₂₄(c∗2c∗3a₄) = 0,

Используя выражение (2), получаем для ампли-

(ω - ω₁)(a₁c₁) + g₁₂c₁c∗1a₂ + g₁₃c∗1c₁c∗2a₃ +

туд a₁c₁, c∗2a₃ и c∗2c∗3a₄ следующие уравнения:

+g₁₄c₁c∗1c∗2c∗3a₄ = 0,

(5)

(ω-ω₀₃+ω₂)(c∗2a₃)+g∗23a₂c∗2c₂+g₃₄c∗3c∗2a₄ +

+g∗13a₁c₁c₂c∗2 = 0,

i(a₁c₁)^· = ω₁a₁c₁-g₁₂c₁c∗1a₂-g₁₄c∗1c∗2c∗3c₁a₄ -

(ω - ω₀₄ + ω₃ + ω₂)(c∗2c∗3a₄) + g∗34a₃c₃c∗3c∗2 +

- g₁₃c∗1c₁c∗2a₃-g₁₂a₁a∗1a₂-g₁₃a∗1c∗2a₃a1 -

+g∗24a₂c₂c₃c∗2c∗3 + g∗14a₁c₁c₂c₃c∗2c∗3 = 0,

-g₁₄a∗1c∗2c∗3a₄a₁,

i(a₃c∗2)^· = (ω₀₃-ω₂)c∗2a₃-g∗23a₂c∗2c₂-g₃₄c∗3c∗2a₄ -

детерминант которой представляет собой закон

- g∗13a₁c₁c₂c∗2+g∗24a₂c₃a∗4a₃+g∗23a₂a∗3a3 +

дисперсии взаимодействующих атомов с неэквиди-

стантным энергетическим спектром в окрестности

+g∗13a₁c₂a∗3a₃ + g∗24a₂c₃a∗4c∗2+

частоты ω₀ самого низкого возбужденного уровня

+g∗14a₁c₁c₃c∗2a∗4,

(3)

атома:

310

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Законы дисперсии поляритонного типа для четырехуровневых атомов.. .



ω-ω₀

g∗12

g₂₃

g₂₄



g₁₂f₁₀

ω-ω₁

g₁₃f₁₀

g₁₄f₁₀



= 0,

(6)



g∗23f₂₀

g∗13f₂₀

ω-ω₀₃ +ω₂

g₃₄



_g∗

f₂₀f₃₀

g∗14f₂₀f₃₀

g∗34f₃₀

ω-ω₀₄ +ω₃ +ω₂

где f₁₀, f₂₀ и f30 — (заданные) плотности фото-

момента перехода между уровнями 1 и 4 и произве-

нов действующих импульсов. Раскрывая детерми-

дению всех трех плотностей фотонов. Таким обра-

нант (6) и полагая константы

зом, по аналогии с двухуровневыми атомами, взаи-

модействующими с полем электромагнитной волны,

g_nk = |g_nk| exp(iϕ_nk), n = 1-3, k = 1-4,

используемые выражения для частот Раби совпада-

получаем уравнение четвертой степени для опреде-

ют с ранее введенными [27,28]. Выражения (9) опи-

ления частот ω атомных поляритонов:

сывают разности фаз Θ_i, i = 1-4.

Из уравнения (7) видно, что закон дисперсии

(ω - ω₀)(ω - ω₁)(ω - ω₀₃ + ω₂)(ω - ω₀₄ + ω₃ + ω₂) -

атомных поляритонов может иметь четыре действи-

- Ω²¹²(ω - ω₀₃ - ω₂)(ω - ω₀₄ + ω₃ + ω₂)-

тельных корня, которые описывают четыре диспер-

- Ω²²³(ω - ω₁)(ω - ω₀₄ + ω₃ + ω₂)-

сионные ветви в зависимости от частоты фотонов

- Ω²³⁴(ω-ω₀)(ω-ω₁)-Ω²¹³(ω-ω₀)(ω-ω₀₄+ω₃+ω₂)-

ω₁ = ck₁, где k₁ — волновой вектор. Форма и распо-

-Ω²²⁴(ω-ω₁)(ω-ω₀₃+ω₂)-Ω²¹⁴(ω-ω₁)(ω-ω₀₃+ω₂)+

ложение ветвей закона дисперсии определяются ча-

стотами Раби, квадраты которых, в свою очередь,

+Ω²¹²Ω²³⁴ + Ω²²³Ω²¹⁴ + Ω²¹³Ω²²⁴+

определяются плотностями фотонов f₁₀, f₂₀ и f₃₀

+ 2Ω₁₃Ω₃₄Ω₁₄(ω - ω₀)cosΘ₁ +

трех импульсов.

+ 2Ω₁₂Ω₂₃Ω₁₃(ω - ω₀₄ + ω₃ + ω₂)cosΘ₂ +

Второе, третье и четвертое слагаемые в уравне-

+ 2Ω₁₂Ω₁₄Ω₂₄(ω - ω₀₃ + ω₂)cosΘ₄ +

нии (7) описывают последовательные независимые

+ 2Ω₂₃Ω₃₄Ω₂₄(ω - ω₁)cosΘ₃ -

вклады каждого из однофотонных переходов в дис-

- 2Ω₁₂Ω₂₃Ω₁₃Ω₁₄ cos(Θ₁ + Θ₂)-

персионном уравнении. При этом знаки (либо фа-

зы) соответствующих констант взаимодействия по

- 2Ω₁₂Ω₁₃Ω₂₃Ω₃₄ cos(Θ₁ - Θ₄)-

отношению к другим константам взаимодействия

- 2Ω₂₃Ω₁₄Ω₁₃Ω₂₄ cos(Θ₁ - Θ₂) = 0,

(7)

не играют роли. Пятое и шестое слагаемые в урав-

где

нении (7) описывают последовательные независи-

мые вклады каждого из двухфотонных переходов

Ω²¹² = g²¹²f₁₀, Ω²²³ = g²²³f₂₀,

(между уровнями соответственно 1 ⇆ 3 и 2 ⇆ 4).

Ω²³⁴ = g²³⁴f₃₀, Ω²¹³ = g²¹³f₁₀f₂₀,

(8)

Седьмое слагаемое описывает вклад прямого трех-

Ω²²⁴ = g²²⁴f₂₀f₃₀, Ω²¹⁴ = g²

f₁₀f₂₀f₃₀

фотонного перехода между уровнями 1 ⇆ 4. Слагае-

мые с восьмого по десятое определяют вклады, обу-

словленные корреляцией между однофотонными и

Θ₁ = ϕ₁₂ + ϕ₂₄ - ϕ₁₄, Θ₂ = ϕ₁₂ + ϕ₂₃ - ϕ₁₃,

(9)

многофотонными процессами. Слагаемые с одинна-

Θ₃ = ϕ₂₃ + ϕ₃₄ - ϕ₂₄, Θ₄ = ϕ₁₃ + ϕ₃₄ - ϕ₁₄.

дцатого по четырнадцатое пропорциональны произ-

Из соотношений (8) видно, что квадраты частот

ведениям трех частот Раби (трех констант взаимо-

Раби Ω²¹², Ω²²³, Ω²³⁴ однофотонных переходов меж-

действия). Их появление обусловлено одновремен-

ду соседними уровнями пропорциональны квадра-

ным действием (квантовой интерференцией) трех

там матричных элементов g2nk дипольных моментов

процессов. При этом учет знаков между константа-

переходов и плотностям фотонов соответствующих

ми взаимодействия (фазовых соотношений) играет

импульсов. Квадраты частот Раби Ω²¹³, Ω²²⁴ двух-

важную роль, так как закон дисперсии зависит еще

фотонных переходов пропорциональны квадратам

и от разностей фаз между константами соответству-

ющих оптических процессов. Вклад этих слагаемых

матричных элементов g²¹³, g²²⁴ дипольных моментов

переходов между уровнями 1 ⇆ 3, 2 ⇆ 4 и произ-

зависит не только от значений частот Раби, но и от

значений разностей фаз, введенных ранее. Послед-

ведению плотностей фотонов соответствующих им-

пульсов. Квадрат частоты Раби Ω²¹⁴ трехфотонно-

ние три слагаемых учитывают вклад в дисперсион-

го оптически-разрешенного перехода пропорциона-

ное соотношение квантовой интерференции четырех

лен квадрату матричного элемента g²¹⁴ дипольного

процессов. Здесь играют роль корреляции между

311

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

четырьмя константами взаимодействия, обуслов-

F (Δ)

δ₁(Δ) = Δ -

(12)

ленные четырехчастотными процессами. Слагаемые

G(Δ)

с разностью фаз в уравнении (7) являются следстви-

где

ем когерентности процессов взаимодействия фото-

нов с атомами. По этой причине экспериментальное

F (Δ) = Δ²(ω²¹⁴ - ω²¹³ - 1) +

установление особенностей поведения закона дис-

+ Δ(δ₂(ω²¹⁴ - ω²¹³ - 2) - δ₃(ω²¹³ + 1) +

персии при одновременном учете всех оптических

переходов может способствовать установлению фа-

+ 2ω₁₄ω₂₄ cosΘ₁ + 2ω₂₃ω₁₃ cosΘ₂)+

зовых соотношений между различными константа-

+ 2δ₂ω₁₄ω₂₄ cosΘ₁ + 2(δ₂ + δ₃)ω₂₃ω₁₃ cosΘ₂ +

ми взаимодействия.

+ω²²³ω²¹⁴ + ω²²⁴ω²¹³ + ω²³⁴

3. ЗАКОН ДИСПЕРСИИ

ЧЕТЫРЕХУРОВНЕВОГО АТОМА С

- 2ω₃₄ω₂₄ω₁₃ cos(Θ₁ - Θ₄)-

НЕЭКВИДИСТАНТНЫМ

- 2ω₁₄ω₂₃ω₃₄ cos(Θ₂ + Θ₄)-

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ СПЕКТРОМ

- 2ω₁₄ω₂₃ω₂₄ω₁₃ cos(Θ₁ - Θ₂),

(13a)

Обсудим поведение ветвей закона дисперсии

атомных поляритонов четырехуровневого атома.

Будем считать, что частота фотонов первого им-

G(Δ) = Δ³ + (2δ₂ + δ₃)Δ² +

пульса, ω₁ = ck₁, действующего между уровнями 1

+ (δ²² + δ₂δ₃ - (ω²²³ + ω²³⁴ + ω²²⁴))Δ +

и 2, непрерывно изменяется, тогда как частоты ω₂ и

+ 2ω₂₃ω₃₄ω₂₄ cosΘ₃ - δ₂(ω²²³ + ω²²⁴) - δ₃ω²³⁴.

(13b)

ω₃ фотонов второго и третьего импульсов являются

фиксированными параметрами. Используя уравне-

Видно, что поведение функции δ₁(Δ) существен-

ние (7), можно получить явные решения уравнения

но определяется корнями уравнения для G(Δ), ко-

четвертой степени в виде зависимости ω(ω₁). Вве-

торое представляет собой каноническое кубическое

дем в рассмотрение расстройки резонансов Δ, δ₁,

уравнение G(Δ) = 0 относительно Δ. При этом кор-

δ₂, δ₃, нормированные на частоту Раби Ω₁₂:

ни будут являться полюсами функции δ₁(Δ), поло-

ω - ω₀ = Ω₁₂Δ, ω₂ - ω₀₃ + ω₀ = Ω₁₂δ₂,

жение которых изменяется в зависимости от значе-

(10)

ω₁ - ω₀ = Ω₁₂δ₁, ω₃ + ω₀₃ - ω₀₄ = Ω₁₂δ₃.

ний параметров системы.

Рассмотрим случай точного резонанса δ₂ = 0,

Для анализа поведения кривых законов диспер-

δ₃ = 0, тогда выражения (13) можно записать в виде

сии более удобным является рассмотрение решения

уравнения δ₁(Δ) с учетом расстроек резонансов δ_i

(i = 1, 2, 3). Дисперсионное уравнение (7) примет

Δ²(ω²¹⁴ - ω²¹³ - 1)+

вид

+Δ(2ω₁₄ω₂₄ cos Θ₁ + 2ω₂₃ω₁₃ cos Θ₂) +

Δ(Δ-δ₁)(Δ+δ₂)(Δ+δ₂+δ₃)-(Δ+δ₂)(Δ+δ₂+δ₃) -

+ω²²³ω²¹⁴ + ω²²⁴ω²¹³ + ω²³⁴ -

- ω²²³(Δ - δ₁)(Δ + δ₂ + δ₃) - ω²³⁴Δ(Δ - δ₁)-

-ω²¹³Δ(Δ+δ₂+δ₃)-ω²²⁴(Δ-δ₁)(Δ+δ₂)-ω²¹⁴Δ(Δ+δ₂)+

-2ω₃₄ω₂₄ω₁₃ cos(Θ₁ - Θ₄)-

+ ω²³⁴ + ω²²³ω²¹⁴ + ω²¹³ω²²⁴ + 2ω₁₃ω₃₄ω₁₄ΔcosΘ4 +

-2ω₁₄ω₂₃ω₃₄ cos(Θ₂ + Θ₄)-

+2ω₂₃ω₁₃(Δ+δ₂+δ₃)cosΘ₂+2ω₁₄ω₂₄(Δ+δ₂)cosΘ₁ +

-2ω₁₄ω₂₃ω₂₄ω₁₃ cos(Θ₁ - Θ₂) = 0,

(14a)

+2ω₂₃ω₃₄ω₂₄(Δ-δ₁)cosΘ₃-2ω₂₃ω₃₄ω₁₄ cos(Θ₂+Θ₄)-

Δ³ - (ω²²³ + ω²³⁴+ω²²⁴

)Δ +

- 2ω₁₃ω₂₄ω₃₄ cos(Θ₁ - Θ₄)-

+2ω₂₃ω₃₄ω₂₄ cos(Θ₃) = 0.

(14b)

- 2ω₂₃ω₁₄ω₁₃ω₂₄ cos(Θ₁ - Θ₂) = 0,

(11)

где

Второе слагаемое в (14b) описывает взаимодействие

Ω₂₃

Ω₃₄

Ω₁₃

импульса на частоте ω₂ с атомами с квазиэнергией

ω₂₃ =

ω₃₄ =

ω₁₃ =

Ω₁₂

ℏ(ω₀₃ - ω₂) и с частотой Раби ω₂₃ (переход 2 ⇆ 3),

Ω₂₄

Ω₁₄

третье слагаемое в (14b) — взаимодействие импульса

ω₂₄ =

ω₁₄ =

Ω₁₂

на частоте ω₃ с атомами с квазиэнергией ℏ(ω₀₄ - ω₃)

— нормированные на Ω₁₂ частоты Раби. Соответ-

на переходе 3 ⇆ 4 с частотой Раби ω₃₄, четвер-

ственно, уравнение для расстройки резонанса мож-

тое слагаемое в (14b) описывает взаимодействие им-

но записать в виде

пульсов на частотах ω₂ и ω₃ с атомами с квазиэнер-

312

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Законы дисперсии поляритонного типа для четырехуровневых атомов.. .

гией ℏ(ω₀₄-ω₃-ω₂) на переходе 2 ⇆ 4 с частотой Ра-

На рис. 2г,д видно, что если исключить двухфо-

би ω₂₄, пятое слагаемое представляет собой кванто-

тонный переход 2 ⇆ 4, т.е. ω₂₄ = 0, то увеличе-

вую интерференцию трех процессов. При этом вто-

ние значения частоты Раби ω₂₃ приводит к сим-

рое и третье слагаемые описывают однофотонные

метричному смещению корней уравнения друг от-

переходы, тогда как четвертое слагаемое — это след-

носительно друга при увеличении значения частоты

ствие учета двухфотонного перехода 2 ⇆ 4. Корни

ω₃₄ (рис. 2д,е). При ω₂₄ = 0 возникает перестройка

уравнения (14b) являются аналогами поперечных

энергетического спектра четырехуровневого атома

частот теории экситон-поляритонов, т. е. расщепле-

(рис. 2е), корни уравнения (14b) при условии ω₂₃ =

ние первого возбужденного уровня атома опреде-

= ω₃₄ = ω₂₄ принимают значения Δ1,2 = ω₂₃, Δ₃ =

ляется тремя частотами Раби и разностью фаз Θ₃.

= -2ω₂₃ и возникает пересечение кривых в длин-

Очевидно, что если одна из этих частот Раби рав-

новолновой области Δ < 0 (рис. 2ж) при Θ₃ = π,

на нулю либо разность фаз Θ₃ = π/2, то слагаемое,

обусловленное вырождением корней Δ₁ и Δ₂ куби-

описывающее квантовую интерференцию трех про-

ческого уравнения, или корней Δ₁ и Δ₃ в коротко-

цессов, равно нулю.

волновой области Δ > 0 в случае Θ₃ = π (рис. 2з).

Изучим поведение корней уравнения (14b) при

Наличие вырождения можно увидеть, исследуя дис-

различных значениях частот Раби и разности фаз

криминант уравнения (14b)

Θ₃. При Θ₃ = π/2 уравнение имеет три различных

D = -108ω²²³ω²²⁴ω234 cos2 Θ₃ - 4(-ω²²³ - ω²²⁴ - ω²³⁴)³.

корня:

√

Видно, что дискриминант и, следовательно, корни

Δ₁ = 0, Δ2,3 = ± ω²²³ + ω²³⁴ + ω²²⁴,

уравнения (14b) определяются частотами Раби и

разностью фаз Θ₃, входящей в интерференционное

положение которых определяется значениями всех

слагаемое всех трех процессов. Анализ дискрими-

частот Раби, входящих в уравнение. На рис. 2а-в

нанта уравнения позволяет увидеть, что D = 0 при

представлены зависимости Δ(ω₂₃) при различных

|cos² Θ₃| = 1 и ω23 = ω34 = ω24 и, следователь-

значениях частот Раби ω₂₄ и ω₃₄. Видно, что кор-

но, уравнение (14b) имеет один двукратно вырож-

ни Δ2,3 при увеличении частот Раби ω₂₄ и ω₃₄ сим-

денный корень и один отличный от него. Отсюда

метрично удаляются от корня Δ₁ = 0 (рис. 2б), что

следует, что при учете процесса прямого двухфо-

свидетельствует об увеличении расщепления перво-

тонного возбуждения атома с уровня 2 на уровень

го возбужденного уровня атома и о симметричном

4 возникает вырождение корней уравнения (14b), а

смещении расщепленных квазиуровней друг отно-

это, в свою очередь, приводит к пересечению кривых

сительно друга (рис. 2в). В случае ω₂₃ = ω₃₄ = ω₂₄

Δ(ω₂₃) при Θ₃ = 0, π (рис. 2ж,з). Эти особенности

положение корней Δ2,3 определяется только одной

поведения корней уравнения (14b) и кривых функ-

частотой Раби. При Θ₃ = 0, π уравнение (14b) имеет

ции Δ(ω₂₃) в зависимости от значений частот Раби

три различных корня при условии ω₂₃ = ω₃₄ = ω₂₄.

и разности фаз должны проявиться и в поведении

Решение кубического уравнения (14b) в общем слу-

ветвей закона дисперсии Δ(δ₁). В условиях точного

чае можно представить в виде [30]

резонанса второго и третьего импульсов выражение

√

(11) примет вид

⁽α⁾

Δ₁ = -

cos

√

(15)

Δ⁴ - Δ³δ₁ - Δ²(1 + ω²²³ + ω²³⁴ + ω²¹³ + ω²²⁴ + ω²¹⁴)+

⁽α±π⁾

Δ2,3 = -

cos

+ Δ(δ₁(ω²²³ + ω²³⁴ + ω²²⁴) + 2ω₂₃ω₁₃ cos Θ₂ +

+ 2ω₁₄ω₂₄ cosΘ₁ + 2ω₁₃ω₃₄ω₁₄ cosΘ₃ +

где

+ 2ω₂₃ω₃₄ω₂₄ cosΘ₄) + ω²³⁴ + ω²²³ω²¹⁴ + ω²¹³ω²²⁴ -

cosα = -

√

- 2δ₁ω₂₃ω₃₄ω₂₄ cosΘ₄ - 2ω₁₄ω₂₃ω₃₄ cos(Θ₁ + Θ₄)-

-(p/3)³

- 2ω₂₃ω₃₄ω₁₄ cos(Θ₂ + Θ₄)-

p=-

a² + b, q =

a³ -

ab + c,

- 2ω₂₃ω₁₄ω₁₃ω₂₄ cos(Θ₁ + Θ₂) = 0.

(16)

а коэффициенты в условиях точного резонанса име-

Изучим решения уравнения четвертой степени

ют вид

(16) как функцию Δ(δ₁) при постоянных значени-

ях параметров ω₁₄, ω₂₄, ω₃₄, ω₂₃, ω₁₃ и Θ_i (i = 1-4).

a = 1, b = ω²²³ + ω²³⁴ + ω²²⁴, c = 2ω₂₃ω₃₄ω24 cosΘ₃.

Для оценки и анализа природы корней уравнения

313

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Законы дисперсии поляритонного типа для четырехуровневых атомов.. .

храняя свою форму. В случае, когда ω₁₃ = ω₂₄ = 0,

а ω₁₄ ≥ 0 (рис. 4в), при увеличении параметра ω₁₄

наблюдается сближение верхней и средней ветвей в

коротковолновой области Δ > 0 и нижней и сред-

ней ветвей в длинноволновой области Δ < 0. Ветви

сближаются при росте частоты Раби ω₁₄ и одновре-

менно пересекаются при ω₁₄ = 1. Таким образом,

возникают пересечения верхней и средней ветвей за-

кона дисперсии в коротковолновой области Δ > 0 и

нижней и средней ветвей в длинноволновой области

Δ < 0; средние ветви при этом представляют собой

прямые и не зависят от расстройки резонанса δ₁.

Дальнейшее увеличение частоты Раби ω₁₄ приводит

к исчезновению пересечений, при этом наблюдается

сближение средних ветвей и симметричное смеще-

ние верхней и нижней ветвей закона дисперсии.

Рассмотрим теперь поведение ветвей закона дис-

персии при ω₁₄ = ω₂₄ = 1 и ω₁₃ ≥ 0 (рис. 4г). С рос-

том параметра ω₁₃ средние ветви закона дисперсии

сближаются в окрестности точки δ₁ = 0, при этом

верхняя и нижняя поляритонные ветви медленно

удаляются друг от друга, смещаясь в коротковолно-

вой и длинноволновой областях. При ω₁₃ = 2 проис-

ходит пересечение средних ветвей закона дисперсии

Рис. 3. Законы дисперсии Δ(δ1) при δ2 = δ3 = 0 и значе-

в точке δ₁ = 0, при этом одна из ветвей представля-

ниях нормированных частот Раби ω23 = ω34 = ω12 = 1 без

ет собой прямую Δ = 0 и не зависит от δ₁, тогда как

учета многофотонных переходов (ω14 = ω24 = ω13 = 0)

другая монотонно возрастает с ростом δ₁. Дальней-

шее увеличение ω₁₃ приводит к расщеплению сред-

Исследуя уравнение (16), рассмотрим поведе-

них ветвей и к симметричному смещению верхней и

ние кривых закона дисперсии атомных поляритонов

нижней ветвей закона дисперсии, при этом смеще-

(рис. 3). Видно, что закон дисперсии Δ(δ₁) при δ₂ =

ние средних ветвей друг относительно друга слабо

= 0, δ₃ = 0 и без учета многофотонных переходов

зависят от ω₁₃.

(ω₁₄ = ω₂₄ = ω₁₃ = 0) представляет собой структу-

Зафиксируем ω₁₄ = ω₁₃ = 1, ω₂₄ ≥ 0 (рис. 4д).

ру, состоящую из четырех восходящих с ростом δ₁

Увеличение параметра ω₂₄ приводит к симметрич-

ветвей, положение и форма которых определяется

ному удалению верхней и нижней ветвей, к одновре-

параметрами системы.

менному сближению средних ветвей закона диспер-

Анализ выражений (9) и (16) позволяют сделать

сии и к их пересечению при ω₂₄ = 2 в точке δ₁ = 0.

вывод, что разности фаз Θ_i (i = 1-4) могут быть все

При этом одна из ветвей представляет собой прямую

одновременно равны друг другу. Рассмотрим для

Δ = 0. Дальнейший рост параметра ω₂₄ приводит к

начала случай Θ_i = π/2 (i = 1-4) и изучим влияние

расщеплению средних ветвей закона дисперсии, по-

многофотонных переходов на поведение ветвей за-

степенному расталкиванию средних ветвей друг от-

кона дисперсии Δ(δ₁). При ω₁₄ = ω₂₄ = 0, а ω₁₃ ≥ 0

носительно друга и к последующему симметрично-

(рис. 4а) с ростом ω₁₃ наблюдается симметричное

му смещению всех четырех ветвей закона дисперсии.

удаление друг от друга верхней и нижней ветвей за-

Случай ω₁₃ = ω₂₄ = 1 и ω₁₄ ≥ 0 представлен на

кона дисперсии и сильное сближение средних вет-

рис. 4е. При ω₁₄ = 0 наблюдается пересечение двух

вей на всем диапазоне значений δ₁ с изменением их

средних ветвей закона дисперсии в точке δ₁ = 0.

формы. Если ω₁₄ = ω₁₃ = 0, а ω₂₄ ≥ 0 (рис. 4б), то с

При этом одна из них носит восходящий с ростом

ростом ω₂₄ верхняя и нижняя поляритонные ветви

δ₁ характер, тогда как другая представляет собой

удаляются друг от друга (смещаясь соответственно

прямую Δ = 0. При увеличении параметра ω₁₄ пе-

в длинноволновую Δ < 0 и коротковолновую Δ > 0

ресечение исчезает, возникает расщепление средних

области), тогда как средние ветви закона диспер-

ветвей в окрестности δ₁ = 0, которое увеличивается

сии сильно сближаются в окрестности Δ = 0, со-

с ростом ω₁₄, формируя две восходящие средние вет-

315

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Рис. 4. Законы дисперсии Δ(δ1), когда δ2 = δ3 = 0, разность фаз Θi = π/2 (i = 1-4) и нормированные частоты Раби

ω23 = ω34 = ω12 = 1: а — ω14 = ω24 = 0 и различные ω13; б — ω14 = ω13 = 0 и различные ω24; в — ω24 = ω13 = 0 и

различные ω14; г — ω14 = ω24 = 1 и различные ω13; д — ω14 = ω13 = 1 и различные ω24; е — ω24 = ω13 = 1 и различные

ω14. На всех рисунках тип линии соответствует следующим значениям нормированных изменяющихся частот Раби ω13,

ω24, ω14: 0 — сплошные; 1 — штриховые; 2 — штрихпунктирные; 3 — пунктирные

ви закона дисперсии, которые отталкиваются друг

ней ветвей в длинноволновой области спектра. За-

от друга. При этом увеличение ω₁₄ также приводит

тем нижняя и средняя ветви расталкиваются, и про-

к симметричному смещению верхней и нижней по-

исходит дальнейшее сближение средней и верхней

ляритонных ветвей относительно Δ = 0.

ветвей. Дальнейший рост ω₁₃ приводит к отталки-

ванию верхней и нижней ветвей и сближению сред-

Рассмотрим поведение ветвей закона дисперсии

них ветвей в области δ₁ > 0. В случае ω₁₄ = ω₁₃ = 0,

Δ(δ₁) и изучим влияние многофотонных переходов

а ω₂₄ ≥ 0 на рис. 5б видно, что при ω₂₄ = 1 сред-

в случае, когда разности фаз Θ_i = 0 (i = 1-4) при

няя ветвь закона дисперсии представляет собой пря-

ω₁₄ = ω₂₄ = 0, а ω₁₃ ≥ 0 (рис. 5а). С ростом пара-

мую Δ = 1. Дальнейший рост параметра ω₂₄ приво-

метра ω₁₃ происходит сближение верхней и средней

дит к восстановлению восходящего характера сред-

поляритонных ветвей закона дисперсии в коротко-

ней ветви с ростом δ₁, постепенному расталкиванию

волновой области спектра, а также средней и ниж-

средних ветвей и последующему смещению всех че-

316

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Законы дисперсии поляритонного типа для четырехуровневых атомов.. .

Рис. 5. То же, что на рис. 4, но для разности фаз Θi = 0 (i = 1-4)

тырех ветвей закона дисперсии в длинноволновую

тогда как другая монотонно возрастает с ростом

и коротковолновую области. При ω₁₃ = ω₂₄ = 0, а

δ₁. Увеличение параметра ω₁₃ приводит к сильно-

ω₁₄ ≥ 0 (рис. 5в) с ростом параметра ω₁₄ наблюда-

му сближению верхней и обеих средних ветвей за-

ется сближение средних ветвей. При ω₁₄ = 1 про-

кона дисперсии. При ω₁₃ = 1 возникает пересечение

исходит пересечение в точке δ₁ = 0, одна из ветвей

трех ветвей закона дисперсии в точке δ₁ = 0, при

представляет собой прямую Δ = 0, тогда как дру-

этом происходит изменение структуры закона дис-

гая монотонно возрастает с ростом δ₁. Дальнейший

персии — он состоит из трех ветвей, поскольку ко-

рост параметра приводит к смещению всех четырех

рень Δ = 1 уравнения (16) становится двукратно

ветвей закона дисперсии в длинноволновую и корот-

вырожденным. Дальнейшее увеличение параметра

коволновую области.

приводит к расталкиванию средних и верхней вет-

вей и последующему смещению всех четырех ветвей

При ω₁₄ = ω₂₄ = 1, а ω₁₃ ≥ 0 закон диспер-

закона дисперсии в длинноволновую и коротковол-

сии (рис. 5г) состоит из четырех ветвей. Одна из

новую области, при этом средняя ветвь представля-

средних ветвей представляет собой прямую Δ = 1,

ет собой прямую Δ = 1.

317

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

При ω₁₄ = ω₁₃ = 1, а ω₂₄ ≥ 0 (рис. 5д) закон

При одновременном учете двухфотонных и трехфо-

дисперсии состоит из четырех ветвей, одна из сред-

тонных процессов (ω₁₃ = ω₂₄ = 1, ω₁₄ = 2) и зна-

них ветвей представляет собой прямую Δ = 0, тогда

чениях разностей фаз Θ_i = 0 наблюдается вырож-

как другая монотонно возрастает с ростом δ₁. При

дение средних ветвей в одну и пересечение с верх-

этом имеет место пересечение средних ветвей зако-

ней поляритонной ветвью в коротковолновой обла-

на дисперсии. С ростом параметра обе средние вет-

сти при условии равенства частот Раби Ω₁₂, Ω₁₃,

ви вырождаются в прямую Δ = 1 и по-прежнему

Ω₂₄ и Ω₁₄. Следовательно, если изменять плотно-

пересекают верхнюю ветвь. В данном случае нали-

сти второго f₂₀ и третьего f₃₀ импульсов, то часто-

чие точки пересечения свидетельствует о существо-

ты Раби становятся одинаковыми при определенных

вании только одной частоты нутации атомных поля-

значениях f₂₀ и f₃₀. Дальнейший рост плотностей

ритонов. Дальнейшее увеличение параметра приво-

f20 и f30 снимает пересечение ветвей закона дис-

дит к восстановлению структуры из четырех ветвей,

персии, и снова восстанавливается структура из че-

при этом наблюдается сильное смещение в коротко-

тырех непересекающихся ветвей. Сближение и уда-

волновую область средней ветви, которая представ-

ление поляритонных ветвей при изменении плотно-

ляет собой прямую. В этом случае существует точка

стей фотонов f₂₀ и f₃₀ соответствует изменению по-

пересечения между верхней и средней ветвями за-

ляритонных частот Раби и возникновению эффекта

кона дисперсии, тогда как нижняя ветвь смещается

индуцированной мощным полем первого импульса

незначительно.

оптической связи атома с излучением.

Рассмотрим теперь поведение ветвей закона дис-

Представленные на рис. 4, 5 результаты свиде-

персии, когда ω₁₃ = ω₂₄ = 1, ω₁₄ ≥ 0 (рис. 5е). В этом

тельствуют о том, что нормированные частоты Раби

случае поведение ветвей закона дисперсии в точно-

двухфотонных ω₁₃, ω₂₄ и трехфотонного ω₁₄ пере-

сти повторяет поведение ветвей при ω₁₄ = ω₂₄ = 1 и

ходов являются важными параметрами, определя-

ω₁₃ ≥ 0 (см. рис. 5г), что свидетельствует об одина-

ющими особенности поведения ветвей закона дис-

ковом влиянии учета двухфотонного перехода 1 ⇆ 3

персии атомных поляритонов.

и трехфотонного перехода. В случае, когда разности

Будем считать, что частота ω₂ = ck₂ фотонов

фаз Θ_i = π (i = 1-4), поведение ветвей закона дис-

второго импульса, действующего между уровнями

персии будет аналогично описанному при Θ_i = 0 с

2 и 3, непрерывно изменяется, тогда как частоты ω₁

сохранением характера изменений поведения ветвей

и ω₃, фотонов первого и третьего импульсов являют-

в длинноволновой области Δ < 0.

ся фиксированными параметрами, δ₁ = δ₃ = const.

На рис. 4, 5 видно, что при учете процессов двух-

В условиях точного резонанса (δ₁ = δ₃ = 0) выра-

фотонного возбуждения атома в условиях точного

жение (11) примет вид

резонанса второго и третьего импульсов (δ2 = 0,

δ₃ = 0) возникают эффекты пересечения верхней и

Δ⁴+2Δ³δ₂-Δ²(1+ω²¹³+ω²¹⁴+ω²²³+ω²²⁴+ω²³⁴-δ²²)+

средней ветвей в коротковолновой области спектра

+ Δ(2ω₁₃ω₃₄ω₁₄ cos Θ₄ + 2ω₂₃ω₃₄ω₂₄ cos Θ₃ +

при Θ_i = 0. При Θ_i = π/2 возникает эффект пе-

+ 2ω₁₄ω₂₄ cosΘ₁ + 2ω₂₃ω₁₃ cosΘ₂ -

ресечения средних ветвей закона дисперсии в точ-

ке δ₁ = 0 при ω₁₃ = 1, ω₂₄ = 1, т. е. при условии

- δ₂(ω²¹³ + ω²¹⁴ + ω²²³ + ω²²⁴ + 2))-

равенства частот Раби Ω₁₂, Ω₁₃ и Ω₂₄. На рис. 4б

- 2ω₂₃ω₃₄ω₁₄ cos(Θ₂ + Θ₄)-

видно, что учет трехфотонного процесса возбужде-

- 2ω₁₃ω₂₄ω₃₄ cos(Θ₁ - Θ₄)-

ния атома при отсутствии двухфотонных процессов

- 2ω₂₃ω₁₄ω₁₃ω₂₄ cos(Θ₁ - Θ₂)+

(ω₁₃ = 0, ω₂₄ = 0) приводит к возникновению эф-

фекта пересечения верхней и средней ветвей в точке

+ 2ω₂₃ω₁₃δ₂ cosΘ₂ + 2ω₁₄ω₂₄δ₂ cosΘ₁ +

√

Δ =

2 и нижней и средней поляритонных ветвей

+ ω²³⁴ + ω²²³ω²¹⁴ + ω²¹³ω²²⁴ - δ³² = 0.

(18)

√

закона дисперсии в точке Δ = -

2 при Θ_i = π/2.

Это обусловлено преобразованием выражения (16)

Закон дисперсии атомных поляритонов пред-

в биквадратное уравнение вида ax⁴ + cx² + e = 0

ставляет собой уравнение четвертой степени. Для

c действительными коэффициентами и a = 0 [33].

построения графиков Δ(δ₂) и анализа корней урав-

Наличие точек пересечения в этом случае означает,

нения (18) воспользуемся подходом, развитым в ра-

что существует только одна частота нутации атом-

ботах [31,32]. Закон дисперсии атомных полярито-

ных поляритонов.

нов в зависимости от непрерывно изменяющейся

При Θ_i = 0 наблюдается пересечение средних

расстройки δ₂ фотонов второго импульса, действую-

ветвей в точке δ₁ = 0 при ω₁₃ = ω₂₄ = ω₁₄ = 1.

щего между уровнями 2 и 3, представлен на рис. 6, 7.

318

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Законы дисперсии поляритонного типа для четырехуровневых атомов.. .

Рис. 6. Законы дисперсии Δ(δ2), когда δ1 = δ3 = 0, разность фаз Θi = π/2 и нормированные частоты Раби

ω23 = ω34 = ω12 = 1 (остальные обозначения, как на рис. 4)

Видно, что закон дисперсии Δ(δ₂) в этом случае со-

точности повторяет рис. 6б, что позволяет сделать

стоит из четырех ниспадающих ветвей.

вывод об одинаковом влиянии учета двухфотонных

переходов на поведение ветвей закона дисперсии.

Рассмотрим поведение ветвей при Θ_i = π/2 (i =

= 1-4) и изучим влияние многофотонных переходов.

При ω₁₃ = ω₂₄ = 1, а ω14 ≥ 0 наблюдается

Если ω₁₄ = ω₂₄ = 0, а ω₁₃ ≥ 0 (рис. 6а), то с ростом

сближение между верхней и средней ветвями в ко-

ω₁₃ средние поляритонные ветви медленно сближа-

ротковолновой области Δ > 0 и между нижней и

ются, изменяя свою форму в окрестности δ₂ = 0;

средней ветвями в длинноволновой области Δ < 0

при этом верхняя и нижняя поляритонные ветви

(рис. 6в). Ветви сближаются при росте частоты Ра-

симметрично удаляются друг от друга, смещаясь со-

би ω₁₄, и при ω₁₄ = 1 возникает пересечение ветвей

ответственно в коротковолновую и длинноволновую

закона дисперсии. Дальнейший рост ω₁₄ приводит

области спектра. Если положить ω₁₄ = ω₁₃ = 0, а

к симметричному расталкиванию ветвей и восста-

ω₂₄ ≥ 0 и увеличивать ω₂₄, то закон дисперсии в

новлению структуры из четырех непересекающихся

319

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Рис. 7. То же, что на рис. 6, но для разности фаз Θi = 0 (i = 1-4)

нисходящих ветвей, которые постепенно смещают-

приводит к сближению средних ветвей закона дис-

ся — верхняя и средняя в коротковолновую область

персии в окрестности δ₂ = 0, и при значении ω₂₄ = 2

Δ > 0, а нижняя и средняя в длинноволновую об-

либо ω₁₃ = 2 возникает пересечение средних ветвей

ласть Δ < 0 (рис. 6в).

в точке δ₂ = 0. Дальнейшее увеличение параметров

приводит к восстановлению структуры из четырех

Если положить ω₂₄ = ω₁₄ = 1 и изменять ω₁₃

ниспадающих ветвей.

либо положить ω₁₃ = ω₁₄ = 1 и изменять ω₂₄, т. е.

если изучать влияние двухфотонных переходов на

Рассмотрим теперь поведение ветвей закона дис-

поведение ветвей закона дисперсии, то на рис. 6г,д

персии в случае, когда ω₁₃ = ω₂₄ = 1, а ω₁₄ ≥ 0

видно, что поведение ветвей одинаково. При ω₂₄ = 0

(рис. 6е). При ω₁₄ = 0 наблюдается пересечение двух

либо ω₁₃ = 0, т. е. при включенном одном из двух-

средних ветвей закона дисперсии, обе ветви прохо-

фотонных переходов, наблюдается сближение меж-

дят через точку δ₂ = 0, при этом одна из них носит

ду верхней и средней и нижней и средней поляри-

нисходящий с ростом δ₂ характер и представляет

тонными ветвями; увеличение одного из параметров

собой прямую. Увеличение параметра ω₁₄ приводит

320

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Законы дисперсии поляритонного типа для четырехуровневых атомов.. .

к симметричному расталкиванию средних ветвей и

ласть Δ > 0, а нижняя и средняя в длинноволновую

одновременному смещению верхней и средней вет-

область Δ < 0 (рис. 7г).

вей в коротковолновую область Δ > 0 и нижней и

На рис. 7д видно, что идентичное поведение вет-

средней ветвей в длинноволновую область Δ < 0

вей закона дисперсии можно наблюдать, если ω₁₃ =

(рис. 6е).

= ω₁₄ = 1 и изменяется частота двухфотонного пе-

Рассмотрим поведение ветвей закона дисперсии

рехода ω₂₄, а также, если ω₂₄ = ω₁₃ = 1 и изменя-

Δ(δ₂) и изучим влияние многофотонных переходов

ется частота трехфотонного перехода ω₁₄ (рис. 7е).

в случае, если разности фаз Θ_i = 0 (i = 1-4). При

Наличие точки пересечения трех ветвей закона дис-

ω₁₄ = ω₂₄ = 0, а ω₁₃ ≥ 0 (рис. 7а) при увеличе-

персии означает, что при данных значениях частот

нии ω₁₃ происходит сближение верхней и средних

существует только одна частота нутации атомных

ветвей, при этом изменяется форма средних вет-

поляритонов, а учет одного из многофотонных пере-

вей закона дисперсии, и при ω₁₃ = 1 одновремен-

ходов приводит к перестройке энергетического спек-

но возникают два пересечения средних ветвей в об-

тра четырехуровневого атома.

ласти δ₂ > 0 и средней и верхней ветвей в обла-

Будем считать, что частота ω₃ = ck₃ фотонов

сти δ₂ < 0. Дальнейшее увеличение параметра ω₁₃

третьего импульса, действующего между уровнями

приводит к восстановлению структуры из четырех

3 и 4, непрерывно изменяется, тогда как частоты ω₁

непересекающихся нисходящих ветвей, которые по-

и ω₂ фотонов первого и второго импульсов являют-

степенно смещаются — верхняя и средняя в корот-

ся фиксированными параметрами, δ₁ = δ₂ = const.

коволновую область Δ > 0, а нижняя и средняя в

В условиях точного резонанса (δ₁ = δ₂ = 0) выра-

длинноволновую область Δ < 0.

жение (11) примет вид

Если положить ω₁₄ = ω₁₃ = 0, а ω₂₄ ≥ 0 и уве-

личивать ω₂₄ (рис. 7б), то при увеличении ω₂₄ про-

Δ⁴+Δ³δ₃-Δ²(1+ω²¹³+ω²¹⁴+ω²²³+ω²²⁴+ω²³⁴)+

исходит сближение нижней и средней ветвей зако-

+ Δ(2ω₁₃ω₃₄ω₁₄ cos Θ₄ + 2ω₂₃ω₃₄ω₂₄ cos Θ₃ +

на дисперсии с изменением формы средних ветвей;

одновременно возникают два пересечения средних

+ 2ω₁₄ω₂₄ cosΘ₁ + 2ω₂₃ω₁₃ cosΘ₂ -

ветвей в области δ₂ < 0 и средней и нижней ветвей

- δ₃(ω²¹³+ω²²³+1))-2ω₂₃ω₃₄ω14 cos(Θ₂+Θ₄)-

в области δ₂ > 0. Дальнейшее увеличение параметра

- 2ω₁₃ω₂₄ω₃₄ cos(Θ₁ - Θ₄)-

ω₂₄ приводит к восстановлению структуры из четы-

- 2ω₂₃ω₁₄ω₁₃ω₂₄ cos(Θ₁ - Θ₂)+

рех непересекающихся ветвей.

+ 2ω₂₃ω₁₃δ₃ cosΘ₂+ω²³⁴+ω²²³ω²¹⁴+ω²¹³ω²²⁴ = 0.

(19)

При ω₁₃ = ω₂₄ = 0, а ω₁₄ ≥ 0 (рис. 7в) сред-

ние ветви сближаются при росте частоты Раби ω₁₄

и пересекаются при ω₁₄ = 1. Дальнейший рост ω₁₄

Закон дисперсии атомных поляритонов пред-

приводит к симметричному расталкиванию ветвей

ставляет собой уравнение четвертой степени. Для

закона дисперсии и восстановлению структуры из

построения графиков Δ(δ₃) и анализа корней урав-

четырех непересекающихся нисходящих ветвей, ко-

нения (19) воспользуемся подходом, описанным вы-

торые постепенно смещаются — верхняя и средняя

ше. Закон дисперсии атомных поляритонов в зави-

в коротковолновую область Δ > 0, а нижняя и сред-

симости от непрерывно изменяющейся расстройки

няя в длинноволновую область Δ < 0 (рис. 7в).

δ₃ фотонов третьего импульса, действующего меж-

Рассмотрим теперь поведение ветвей закона дис-

ду уровнями 3 и 4, представлен на рис. 8, 9. Видно,

персии в случае, когда ω₂₄ = ω₁₄ = 1 и изменя-

что закон дисперсии Δ(δ₃) в этом случае состоит из

ется одна из частот двухфотонного перехода ω₁₃

четырех ниспадающих ветвей.

(рис. 7г). При увеличении ω₁₃ происходит сильное

Рассмотрим поведение ветвей закона дисперсии

сближение средних и верхней ветвей закона диспер-

Δ(δ₃) при Θ_i = π/2 (i = 1-4) и изучим влияние

сии в окрестности δ₂ = 0, затем при ω₁₃ = 1 — пе-

многофотонных переходов. Если положить ω₁₄ =

ресечение трех ветвей (двух средних и верхней) в

= ω₂₄ = 0, а ω₁₃ ≥ 0 и увеличивать ω₁₃, то средние

коротковолновой области Δ > 0 в точке δ₂ = 0; при

ветви закона дисперсии сближаются в окрестности

этом существенно изменяется форма верхней сред-

δ₃ = 0 и одновременно возникают области сужения

ней и верхней ветвей — они представляют собой пря-

между средней и верхней ветвями в области δ₃ < 0 и

мые (рис. 7г). Дальнейшее увеличение параметра

средней и нижней ветвями в области δ₃ > 0 (рис. 8а).

приводит к восстановлению структуры из четырех

Если ω₁₄ = ω₁₃ = 0, а ω₂₄ ≥ 0, (рис. 8б), то с рос-

непересекающихся ветвей, которые постепенно сме-

том ω₂₄ происходит сближение средних ветвей за-

щаются — верхняя и средняя в коротковолновую об-

кона дисперсии и симметричное смещение верхней

321

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Рис. 8. Законы дисперсии Δ(δ3), когда δ1 = δ2 = 0, разность фаз Θi = π/2 (i = 1-4) и нормированные частоты Раби

ω23 = ω34 = ω12 = 1 (остальные параметры такие же, как на рис. 4)

и нижней ветвей соответственно в коротковолновую

то с ростом ω₁₃ происходит сближение средних вет-

область Δ > 0 и в длинноволновую область Δ < 0.

вей закона дисперсии в окрестности δ₃ = 0 и одно-

временное смещение верхней и средней ветвей со-

При ω₁₃ = ω₂₄ = 0, а ω₁₄ ≥ 0 пересечение верх-

ответственно в область Δ > 0 и в область Δ < 0.

ней и средней ветвей и нижней и средней ветвей

При ω₁₃ = 2 возникает пересечение средних ветвей

наблюдается при ω₁₄ = 1, при этом средние вет-

в точке δ₃ = 0 (рис. 8г).

ви представляют собой прямые, не зависящие от δ₃

(рис. 8в). Дальнейший рост ω₁₄ приводит к восста-

Рассмотрим теперь поведение ветвей закона дис-

новлению структуры из четырех непересекающихся

персии в случае, когда ω₁₃ = ω₁₄ = 1 и ω₂₄ ≥ 0

нисходящих ветвей с симметричным расталкивани-

(рис. 8д). При ω₂₄ = 0 средние ветви закона дис-

ем ветвей и смещением в коротковолновую Δ > 0

персии пересекаются в точке δ3 = 0, причем од-

и длинноволновую Δ < 0 области (рис. 8в). В слу-

на из них представляет собой прямую Δ = 0, уве-

чае, если положить ω₂₄ = ω₁₄ = 1 и изменять ω₁₃,

личение частоты Раби ω₂₄ двухфотонного перехо-

322

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Законы дисперсии поляритонного типа для четырехуровневых атомов.. .

Рис. 9. То же, что на рис. 7, но для разности фаз Θi = 0 (i = 1-4)

да приводит к симметричному расталкиванию сред-

новой области спектра, а затем сильное сближение

них ветвей и одновременному смещению верхней и

средних ветвей и одновременное смещение верхней

нижней ветвей соответственно в коротковолновую

и нижней ветвей друг относительно друга (рис. 9а).

область Δ > 0 и в длинноволновую область Δ < 0

При ω₁₃ = 1 наблюдается изменение формы одной

(рис. 8д). Если положить ω₁₃ = ω₂₄ = 1 и изменять

из средних ветвей закона дисперсии — она представ-

ω₁₄ (рис. 8е), то поведение ветвей закона дисперсии

ляет собой прямую Δ = 0, не зависящую от δ₃. При

качественно повторяет рис. 8д.

ω₁₄ = ω₁₃ = 0, а ω₂₄ ≥ 0 (рис. 9б) увеличение ω₂₄

Рассмотрим поведение ветвей закона дисперсии

приводит к несимметричному сближению средних

Δ(δ₃) и изучим влияние многофотонных переходов

ветвей и сближению средней и верхней ветвей за-

в случае, если разности фаз Θ_i = 0 (i = 1-4). При

кона дисперсии. Дальнейшее увеличение ω₂₄ ведет

ω₁₄ = ω₂₄ = 0, а ω₁₃ ≥ 0 с ростом параметра ω₁₃ про-

к расталкиванию ветвей закона дисперсии и смеще-

исходит сильное сближение верхней и средней по-

нию в коротковолновую область Δ > 0 и в длинно-

ляритонных ветвей закона дисперсии в коротковол-

волновую область Δ < 0 (рис. 9б).

323

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

При ω₂₄ = ω₁₃ = 0, а ω₁₄ ≥ 0 (рис. 9в) с ростом

параметра ω₁₄ наблюдается сближение средних вет-

вей, при ω₁₄ = 1 происходит их схлопывание с воз-

никновением пересечения в точке δ₃ = 0; при этом

одна из ветвей представляет собой прямую Δ = 0 и

не зависит от δ₃, тогда как другая монотонно возрас-

тает с ростом δ₃. Дальнейший рост параметра при-

водит к восстановлению структуры ветвей закона

дисперсии и одновременному симметричному рас-

талкиванию средних ветвей и последующему сим-

метричному смещению всех четырех ветвей зако-

на дисперсии в длинноволновую и коротковолновую

области.

Рассмотрим теперь поведение ветвей закона дис-

персии в случае, когда ω₂₄ = ω₁₄ = 1, и будем изме-

нять значение параметра ω₁₃ (рис. 9г). При ω₁₃ = 0

Рис. 10. Законы дисперсии Δ(δ2) при δ1 = δ3 = 0 (а) и

Δ(δ3) при δ1 = δ2 = 0 (б) и значениях нормированных час-

можно наблюдать пересечение средних ветвей зако-

тот Раби ω23 = ω34 = ω12 = 1 без учета многофотонных

на дисперсии, одна из которых представляет собой

переходов (ω14 = ω24 = ω13 = 0)

прямую, не зависящую от δ₃ в области δ₃ < 0, и

сильное сближение нижней и средней ветвей в об-

ляритонов являются расстройка резонанса δ₂ второ-

ласти δ₃ = 0. С ростом ω₁₃ происходит смещение

го импульса в области перехода между уровнями 2

пресечения средних ветвей в область меньших рас-

и 3 и расстройка резонанса δ₃ третьего импульса в

строек резонанса δ₃; при этом верхняя ветвь закона

области перехода между уровнями 3 и 4 (рис. 10).

дисперсии изменяет свою форму и пересекается со

Следует отметить, что если в уравнении (7) по-

средней ветвью, представляя собой прямую, не за-

ложить Ω₁₃ = 0, Ω₂₄ = 0, Ω₁₄ = 0, т. е. пренебречь

висящую от δ₃ и образуя пересечение в точке δ₃ = 0

процессами двухфотонного и трехфотоннного воз-

(рис. 9г).

буждения атома, то закон дисперсии представляет-

Дальнейшее увеличение приводит к расщепле-

ся укороченным уравнением четвертой степени для

нию ветвей закона дисперсии; при этом средняя

определения собственных частот атомных поляри-

ветвь по-прежнему пресекается с верхней ветвью в

тонов:

области δ₃ > 0. Если положить ω₁₃ = ω₁₄ = 1 и из-

(ω-ω₀)(ω-ω₁)(ω-ω₀₃-ω₂)(ω-ω₀₄-ω₃-ω₂) -

менять ω₂₄, то закон дисперсии представляет собой

структуру из четырех непересекающихся нисходя-

- Ω²¹²(ω - ω₀₃ - ω₂)(ω - ω₀₄ - ω₃ - ω₂)-

щих ветвей, одна из средних ветвей представляет

- Ω²²³(ω-ω₁)(ω-ω₀₄-ω₃-ω₂)-Ω²³⁴(ω-ω₀)(ω-ω₁)+

собой прямую Δ = 0 и не зависит от δ₃ (рис. 9д).

+ Ω²¹²Ω²³⁴ = 0.

(20)

При ω₂₄ = 1 возникает сближение средней и верх-

ней ветвей закона дисперсии, ветви преобразуются

Видно, что в нем отсутствуют слагаемые с разно-

в прямую, не зависящую от δ₃, и возникает пере-

стями фаз. Это означает, что процессы трех- и че-

сечение средней и верхней ветвей закона дисперсии

тырехчастичной когерентной интерференции исче-

в точке δ₃ = 0. Дальнейшее увеличение ω₂₄ приво-

зают. Используя анализ (см. Приложение), легко

дит к восстановлению структуры из четырех непе-

показать, что в этом случае при любых значениях

ресекающихся ветвей закона дисперсии и последую-

частот Раби однофотонных переходов корни урав-

щему симметричному смещению всех четырех вет-

нения (20) всегда действительны и различны. Сле-

вей в длинноволновую и коротковолновую области

довательно, пересечение ветвей закона дисперсии не

(рис. 9д). При ω₁₃ = ω₂₄ = 1 и ω₁₄ ≥ 0 на рис. 9е

наблюдается. Наличие четырех неперекрывающих-

можно видеть, что поведение ветвей закона диспер-

ся областей свидетельствует о возникновении четы-

сии полностью повторяет случай, представленный

рех частот нутации атомных поляритонов при раз-

на рис. 9д.

личных значениях частот Раби. Отсюда можно сде-

Из анализа выражений (18), (19) и представлен-

лать вывод, что при одновременном учете одно-,

ных на рис. 6- 9 результатов можно сделать вывод,

двух- и трехфотонных оптических переходов воз-

что важным параметром, определяющим особенно-

никает существенная перестройка энергетического

сти поведения ветвей закона дисперсии атомных по-

спектра четырехуровневого атома.

324

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Законы дисперсии поляритонного типа для четырехуровневых атомов.. .

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

D₀ = c² - 3bd + 12ae,

D = 64a³e - 16a²c² + 16ab²c - 16a²bd - 3b⁴.

В заключение отметим, что в настоящей рабо-

те представлены результаты исследования особен-

Возможные следующие разновидности корней.

ностей поведения закона дисперсии атомных поля-

1. Если Discr > 0, то все четыре корня уравнения

ритонов для четырехуровневых атомов, взаимодей-

действительны, если P < 0 и D < 0, то все четыре

ствующих с тремя импульсами когерентного лазер-

корня действительны и различны.

ного излучения с частотами фотонов, находящими-

2. Если Discr = 0, то тогда (и только тогда) мно-

ся в резонансе с оптически-разрешенными однофо-

гочлен имеет кратный корень:

тонными переходами между соседними уровнями, а

а) если P < 0, D < 0 и D₀ = 0, то существуют

также с учетом прямых двухфотонных переходов и

действительный двойной корень и два веществен-

прямого трехфотонного перехода в приближении за-

ных простых корня;

данных плотностей фотонов трех импульсов. Пока-

б) если D₀ = 0, D = 0, то существуют тройной

зано, что в такой системе закон дисперсии представ-

корень и простой корень, все действительные;

ляет собой структуру из четырех ветвей, положение

в) если P < 0, то есть два действительных двой-

и форма которых определяется частотами Раби ука-

ных корня;

занных шести оптических переходов, расстройками

г) если D₀ = 0, то все четыре корня равны -b/4a.

резонанса и плотностями фотонов трех импульсов.

Непосредственный учет многофотонных переходов

(двух- и трехфотонного) приводит к зависимости

ЛИТЕРАТУРА

закона дисперсии атомных поляритонов от кванто-

H. Deng, H. Haug, and Y. Yamamoto, Rev. Mod.

вых параметров — разностей фаз между констан-

Phys. 82, 1489 (2010).

тами взаимодействия, определяющими частоты Ра-

би соответствующих переходов. Найдены значения

I. Carusotto and C. Ciuti, Rev. Mod. Phys. 85, 299

параметров системы, при которых наблюдается пе-

(2013).

ресечение ветвей закона дисперсии, что свидетель-

Y. Kasprzak, M. Richard, S. Kindermann, A. Baas,

ствует о возможности влияния одновременного уче-

P. Jeambrun, J.M.J. Keeling, F. M. Marchetti,

та одно-, двух- и трехфотонных переходов на пере-

M. H. Szymanska, R. Andre, J. L. Staehli, V. Savona,

стройку энергетического спектра в окрестности вто-

P. B. Littlewоod, B. Deveaud, and L. S. Dang, Nature

рого уровня четырехуровневого атома.

443, 409 (2006).

R. Balili, V. Hartwell, D. Snoke, L. Pfeiffer, and

K. West, Science 316, 1007 (2007).

ПРИЛОЖЕНИЕ

A. Kogar, M. S. Rak, S. Vig, A. A. Husain, F. Fli-

Выражение (16) описывает кривую четвертой

cker, Y. I. Joe, L. Venema, G. J. MacDougall,

степени вида

T. C. Chiang, E. Fradkin, Y. van Vezel, and P. Abba-

monte, Science 358, 1314 (2017).

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

V. Agranovich, H. Benisty, and C. Weisbuch, Sol. St.

c действительными коэффициентами и a = 0. Ха-

Comm. 102, 631 (1997).

рактер корней выражения (16) определяется знаком

O. A. Дубовский, В. М. Агранович, ФТТ 58, 1371

его дискриминанта

(2016).

М. Л. Тер-Микаелян, УФН 167, 1249 (1997).

Discr = 256a³e³ - 192a²bde² - 128a²c²e² +

+ 144a²cd²e - 27a²d⁴ + 144ab²ce² - 6ab²d²e -

Э. Г. Канецян, Научные труды НУАСА III(5), 144

(2014).

- 80abc²de + 18abcd² + 16ac⁴e - 4ac³d² - 27b⁴e² +

+ 18b³cde - 4b³d³ - 4b²c³e + b²c²d².

10.

S. N. Sandhya, J. Phys. B 40, 837 (2007).

11.

G. Solookinejad, M. Jabbari, M. Nafar, E. Ahmadi

Введем вспомогательные многочлены

Sangachin, and S. H. Asadpour, Int. J. Theor. Phys.

58, 1359 (2019).

P = 8ac - 3b²,

12.

P. Kumar and Sh. Dasgupta, Phys. Rev. A 94,

R = b³ + 8da² - 4abc,

023851, (2016).

325

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

13. E. O. Nyakang’o, D. Shylla, K. Indumathi, and

23.

J. Tang, Yu. Deng, and C. Lee, Phys. Rev. Appl. 12,

K. Pandey, Eur. Phys. J. D 74(9), 187 (2020).

044065 (2019).

14. T. M. Autry, G. Nardin, C. L. Smallwood, K. Silver-

24.

S. Gasparinetti, J.-C. Besse, M. Pechal, R. D. Buijs,

man, D. Bajoni, A. Lemaˆıtre, S. Bouchoule, J. Bloch,

C. Eichler, H. J. Carmichael, and A. Wallraff, Phys.

Rev. A 100, 033802 (2019).

and S. Cundif, arXiv:2004.10845v1, 22 April 2020.

25.

П. И. Хаджи, Нелинейные оптические процессы в

15. E. D. Valle, S. Zippilli, F. P. Laussy, A. Gonzalez-Tu-

системе экситонов и биэкситонов в полупровод-

dela, G. Morigi, and C. Tejedor, Phys. Rev. B 81,

никах, Штиинца, Кишинев (1985), с. 209.

035302 (2010).

26.

П. И. Хаджи, Л. Ю. Надькин, Д. А. Марков, ФТТ

16. S. M. Yoshida, S. Endo, J. Levinsen, and M. M. Pa-

60, 660 (2018).

rish, Phys. Rev. X 8, 011024 (2018).

27.

П. И. Хаджи, О. В. Коровай, Л. Ю. Надькин,

17. Z. Tan, L. Wang, M. Liu, Y. Zhu, J. Wang, and

ЖЭТФ 155, 620 (2019).

M. Zhan, arXiv:1901.00127v1, 1 Jan 2019.

28.

П. И. Хаджи, О. В. Коровай, Л. Ю. Надькин,

18. Е. А. Якшина, Д. Б. Третьяков, В. М. Энтин,

Письма в ЖЭТФ 107, 623 (2018).

И. И. Бетеров, И. И. Рябцев, КЭ 48, 10, 886 (2018).

29.

Л. Ю. Надькин, О. В. Коровай, Д. А. Марков, Опт.

19. B. K. Dutta and P. Panchadhyayee, Laser Phys. 28,

и спектр. 3, 272 (2021).

045201 (2018).

30.

Г. А. Корн, Т. М. Корн Справочник по математи-

ке для научных работников и инженеров, Наука,

20. F. E. Zimmer, J. Otterbach, R. G. Unanyan,

Москва, (1978), с. 44.

B. W. Shore, and M. Fleischhauer, Phys. Rev. A 77,

063823 (2008).

31.

M. D. Yacoub and G. Fraidenraich, Math. Gazette

96(536), 271 (2012).

21. H. M. Kwak, T. Jeong, Y.-S. Lee, and H. S. Moon,

Opt. Comm. 380, 168 (2016).

32.

William F. Carpenter, Math. Magazine 39, 28 (1966).

22. S. K. Nath, V. Naik, A. Chakrabarti, and A. Ray, J.

33.

С. Арушанян, А. Меликян, С. Саакян, КЭ 41, 483

Opt. Soc. Amer. B 36, 2610 (2019).

(2011).

326