ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 3 (9), стр. 415-425

ПРОИСХОЖДЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА НА ТЕМПЕРАТУРНОЙ

ЗАВИСИМОСТИ ЛОНДОНОВСКОЙ ГЛУБИНЫ

В ДЫРОЧНО-ЛЕГИРОВАННЫХ КУПРАТНЫХ

ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКАХ

К. К. Комаров^*, Д. М. Дзебисашвили^**

Институт физики им. Л. В. Киренского Сибирского отделения Российской академии наук

660036, Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 1 апреля 2021 г.,

после переработки 20 апреля 2021 г.

Принята к публикации 20 апреля 2021 г.

В рамках концепции спинового полярона обсуждается сценарий формирования наблюдаемой экспери-

ментально точки перегиба на температурной зависимости лондоновской глубины проникновения λ в

купратных высокотемпературных сверхпроводниках при оптимальном дырочном легировании. Показано,

что причина возникновения точки перегиба на зависимости 1/λ²(T ) обусловлена особенностями энер-

гетического спектра спин-поляронных квазичастиц в сверхпроводящей фазе, а также специфической

температурной зависимостью их спектральной плотности.

DOI: 10.31857/S004445102109008X

d-типа, и существенно отличается от известной зави-

симости 1/λ²(T), наблюдаемой в обычных сверхпро-

водниках с s-типом симметрии параметра порядка и

1. ВВЕДЕНИЕ

прекрасно описываемой в рамках теории БКШ [2,3].

Линейный ход функции 1/λ²(T ) на начальном

Эксперименты по измерению температурной за-

участке наблюдается во многих известных куп-

висимости глубины проникновения магнитного по-

ратных высокотемпературных сверхпроводниках

ля (или лондоновской глубины) λ дают важную ин-

(ВТСП)

[4-18] и традиционно рассматривается

формацию о симметрии сверхпроводящего парамет-

как свидетельство в пользу d-волновой симметрии

ра порядка. Возможность извлекать информацию о

параметра порядка в этих соединениях.

структуре сверхпроводящей щели на основе таких

измерений обусловлена тем, что характер темпера-

Другая интересная особенность, наблюдаемая на

турной эволюции лондоновской глубины определя-

температурной зависимости 1/λ² в некоторых куп-

ется главным образом плотностью квазичастичных

ратных ВТСП, связана с так называемой точкой

перегиба. Эта точка определяется значением неко-

состояний, доступных для термического возбужде-

ния.

торой температуры T_i, в окрестности которой кри-

вая 1/λ²(T) меняет кривизну. Тот факт, что точка

В частности, температурная зависимость вели-

перегиба наблюдается не во всех купратах, по-ви-

чины 1/λ², полученная в работе [1] на монокристал-

димому, обусловлен выбором методики измерения и

ле YBa₂Cu₃O7-δ, имеет ярко выраженный линей-

качеством образцов [10]. Так, например, точка пе-

ный вид в области низких температур и характери-

региба обнаруживает себя только в экспериментах,

зуется конечным наклоном при T = 0. Такое пове-

основанных на спин-вращательной мюонной (μSR)

дение функции 1/λ²(T ) объясняется наличием ну-

спектроскопии. В достаточно большом числе работ

лей в спектре боголюбовских возбуждений в точках

[8, 16, 17, 19-25], использовавших метод μSR-спект-

k-пространства, расположенных на пересечении по-

роскопии, точка перегиба была обнаружена, одна-

верхности Ферми и линии нулей параметра порядка

ко в некоторых экспериментах [26-29], выполнен-

^* E-mail: constlike@gmail.com

ных в рамках той же методики, точка перегиба себя

^** E-mail: ddm@iph.krasn.ru

не проявила. При исследовании лондоновской глу-

415

К. К. Комаров, Д. М. Дзебисашвили

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

бины в ВТСП-купратах на основе других экспери-

d-типа, характерного для купратов, точка переги-

ментальных методов данная особенность не была за-

ба не наблюдалась. Интересны сценарии появления

фиксирована [4, 8, 11, 14].

точки перегиба, предполагающие сосуществование

Описание и сравнение экспериментальных тех-

двух сверхпроводящих щелей [21,22,33]. При этом в

ник, используемых для измерения глубины проник-

работах [21,22] рассматривался случай щелей с s- и

новения магнитного поля, можно найти, например,

d_x2-y2 -типами симметрии, а в работе [33] — случай

в работах [30, 31] или в приведенных выше. Мы же

щелей d_xy- и d_x2_-y2 -типа.

отметим важное преимущество μSR-экспериментов,

В данной работе предлагается альтернативный

которое состоит в том, что эта техника позволяет

механизм возникновения точки перегиба на темпе-

напрямую измерять абсолютные значения величины

ратурной зависимости обратного квадрата лондо-

λ-2(T) [8]. При использовании других, как правило

новской глубины в купратных сверхпроводниках.

косвенных, экспериментальных методов измерения

Этот механизм не требует изменения симметрии

лондоновской глубины полученные данные необхо-

сверхпроводящего параметра порядка и естествен-

димо нормировать на 1/λ² при T = 0.

ным образом вытекает из рассмотрения подсистемы

Наиболее четко точка перегиба заметна в тех об-

носителей заряда в CuO₂-плоскости в рамках кон-

разцах, значения легирования которых близки к оп-

цепции спинового полярона [34,35].

тимальным. Так, в системах Bi2.15Sr1.85CaCu₂O8+δ

Исходным положением этой концепции являет-

и Bi2.1Sr1.9Ca0.85Y0.15Cu₂O8+δ, исследованных в ра-

ся сильная связь между спиновыми и зарядовы-

боте [25], точка перегиба на зависимости λ-2(T) осо-

ми степенями свободы, которая реализуется в куп-

бенно ярко проявилась в образцах с легированием

ратах благодаря сильным электронным корреляци-

чуть выше оптимального. Примерно в этой же об-

ям и значительной величине гибридизации меж-

ласти легирования точка перегиба наблюдается и в

ду d-состояниями ионов меди и p-состояниями на

некоторых других соединениях купратов.

ионах кислорода. В рамках спин-поляронного под-

Для изучения устойчивости точки перегиба к

хода спин-зарядовая связь учитывается точно, что

внешним воздействиям в работе [24] было прове-

приводит к возникновению фермиевской квазича-

дено несколько циклов охлаждения образцов, но

стицы, движение которой жестко скоррелированно

результаты экспериментов практически не изменя-

с динамикой локализованных спинов на ближайших

лись. При этом с увеличением магнитного поля за-

ионах меди. Такую квазичастицу принято называть

висимость λ-2(T) при температурах, меньших T_i,

спиновым поляроном.

становилась более пологой [16,29]. Это приводило к

Концепция спинового полярона развивалась на

тому, что изменение кривизны зависимости λ-2(T)

основе модели решетки Кондо [36-38], а также в

в точке перегиба становилось менее заметным. Ана-

рамках спин-фермионной модели (СФМ). Во втором

логичное поведение функции λ-2(T ) наблюдалось и

случае спин-поляронный подход оказался особенно

в работе [17], где измерения проводились при изме-

успешным при описании свойств купратов как в

нении давления. Отмеченные факты дают основа-

нормальной [39-43], так и в сверхпроводящей [44,45]

ние полагать, что причина появления точки переги-

d-фазе.

ба на температурной зависимости обратного квад-

В работе авторов [46] в рамках концепции спи-

рата лондоновской глубины не связана с внешними

нового полярона была исследована температурная

факторами, а является внутренней по своему про-

зависимость лондоновской глубины в дырочно-ле-

исхождению.

гированных купратных ВТСП. На рассчитанных в

Было предложено несколько сценариев возник-

этой работе кривых λ-2(T) была получена точка пе-

новения точки перегиба. Так, в работе [32] уве-

региба при значениях легирования, как и в экспе-

личение скорости роста плотности сверхпроводя-

рименте, близких к оптимальному. Однако причина

щего тока при охлаждении в области температур,

появления указанной особенности на соответствую-

меньших T_i, в соединении YBa₂Cu₃O7-δ связыва-

щих кривых не была вскрыта.

лось с термическим депиннингом вихрей Абрикосо-

В данной работе будут представлены резуль-

ва. Аналогичный сценарий обсуждался и в работе

таты дополнительного анализа, проясняющие при-

[24] при изучении лондоновской глубины в соедине-

роду точки перегиба. В частности, будет пока-

нии La2-xSr_xCuO₄. Однако аналитические расчеты,

зано, что причина возникновения точки переги-

выполненные в этих работах, показали наличие точ-

ба на зависимости λ-2(T) связана с особенностя-

ки перегиба только для параметра порядка с s-ти-

ми фермиевского спектра спин-поляронных ква-

пом симметрии, тогда как для параметра порядка

зичастиц. Последнее обстоятельство можно рас-

416

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Происхождение точки перегиба на температурной зависимости.. .

сматривать как дополнительное обоснование пра-

ная разнесенность дырочных состояний на ионе ме-

вомерности использования спин-поляронного под-

ди и двух ионах кислорода в одной элементар-

хода для изучения свойств дырочно-легированных

ной ячейке CuO₂-плоскости. Важнейшим взаимо-

ВТСП медно-оксидной группы.

действием в СФМ является обменное взаимодей-

Дальнейшее изложение организовано следую-

ствие между локализованным на ионе меди спи-

щим образом. В разд. 2 описывается СФМ и отме-

ном и дыркой на ближайшем ионе кислорода. Энер-

чаются успехи, достигнутые в рамках этой модели

гия этого взаимодействия определяется парамет-

при описании свойств купратов в сверхпроводящей

ром J. Этот же параметр описывает и интенсив-

фазе. В разд. 3 формулируется гамильтониан СФМ

ность спин-коррелированных перескоков, аналогич-

при учете слабого магнитного поля. В этом же раз-

ных трехцентровым взаимодействиям в t-J^∗-моде-

деле описывается метод получения выражения для

ли, важность которых для реализации сверхпрово-

расчета температурной зависимости лондоновской

дящей d-фазы отмечалась в работе [55]. Кроме того,

глубины в системе спин-поляронных квазичастиц.

в СФМ учитывается суперобменное взаимодействие

Причина возникновения точки перегиба на теорети-

в локализованной спиновой подсистеме (с обмен-

ческой зависимости лондоновской глубины от тем-

ным интегралом I), а также кулоновское взаимодей-

пературы вскрывается в разд. 4. В заключительном

ствие между дырками на ионах кислорода. В дан-

разд. 5 обсуждается предложенный сценарий фор-

ной работе, как и ранее в работах авторов [46, 56],

мирования точки перегиба и формулируются выво-

будет учитываться кулоновское отталкивание двух

ды.

дырок на одном ионе кислорода с энергией взаи-

модействия U_p, а также взаимодействие дырок на

разных ионах — ближайших (V₁) и следующих за

2. СПИН-ФЕРМИОННАЯ МОДЕЛЬ

ближайшими (V₂). Гамильтониан СФМ приведен в

следующем разделе с учетом дополнительных взаи-

Наиболее важные особенности кристаллическо-

модействий, обусловленных включением магнитно-

го строения CuO₂-плоскости и все основные типы

го поля.

взаимодействий в электронной подсистеме купрат-

Ранее СФМ использовалась при построении тео-

ных дырочно-легированных ВТСП учитываются в

рии сверхпроводящей d-фазы купратов в рамках

рамках модели Эмери или трехзонной p-d-модели

концепции спинового полярона [44,45,57,58]. В част-

[47-49]. Основными параметрами этой модели явля-

ности, было показано, что куперовская неустойчи-

ются интеграл перескока дырок между ионами кис-

вость развивается в ансамбле спиновых поляронов,

лорода, t_pp, кулоновское взаимодействие двух ды-

а обменное взаимодействие между локализованны-

рок на ионе меди, U_d, параметр гибридизации p- и

ми на ионах меди спинами (I) обусловливает эффек-

d-орбиталей на ионах кислорода и меди, t_pd, а так-

тивное притяжение между спин-поляронными ква-

же щель с переносом заряда Δ_pd = ε_p - ε_d, где ε_p и

зичастицами и выступает в качестве механизма вы-

ε_d — энергии связи дырок на ионах соответственно

сокотемпературной сверхпроводимости.

кислорода и меди.

Задачей данной работы является анализ выра-

Важно отметить, что количественные соотноше-

жения для глубины проникновения магнитного по-

ния между этими параметрам, характерные для

ля, полученного в рамках теории линейного отклика

купратов, соответствуют режиму сильных элек-

на основе гамильтониана СФМ и концепции спино-

тронных корреляций:

вого полярона. Методика получения выражения для

U_d - Δ_pd, Δ_pd ≫ t_pd > t_pp.

λ-²(T ) детально изложена в работе [46]. Поэтому в

следующем разделе, следуя этой работе, мы лишь

Большие величины параметров U_d и Δ_pd, с од-

кратко опишем основные моменты получения выра-

ной стороны, существенно усложняют теоретичес-

жения для лондоновской глубины.

кое описание низкотемпературных свойств купра-

тов, а с другой, позволяют проинтегрировать вы-

сокоэнергетические степени свободы в модели Эме-

3. РАСЧЕТ ФУНКЦИИ ОТКЛИКА В

ри и получить формально более простую СФМ

АНСАМБЛЕ СПИНОВЫХ ПОЛЯРОНОВ

[50-54]. Существенно, что в СФМ, в отличие от

других эффективных низкоэнергетических моде-

Вычисление отклика спин-поляронных квази-

лей купратов, таких, например, как модель Хаб-

частиц на слабое магнитное поле можно провести в

барда или t-J-модель, учитывается пространствен-

рамках теории Лондонов, учитывающей связь меж-

417

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

К. К. Комаров, Д. М. Дзебисашвили

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

ду плотностью сверхпроводящего тока j и вектор-

сохранения вектора Aq=0 в показателе экспоненты

ным потенциалом магнитного поля A в локальном

и последующего перехода в квазиимпульсное пред-

приближении:

ставление гамильтониан СФМ принимает особенно

j=-

удобный вид [44]:

4πλ²

где c — скорость света. Условием применимости

∑(

теории Лондонов является соотношение λ ≫ ξ_L,

Ĥsp-f =

ξ_k,xa^†kαa_kα + ξ_k,yb^†kαb_kα +

где ξL — длина когерентности куперовских пар.

kα

Для купратных ВТСП это условие выполняется, по-

(

))

скольку для них λ ≈ 2540Å, ξ_L ≈ 250Å (см., на-

+Γ_k

a^†kαb_kα + b^†kαa_kα

пример, обзор [59]). Локальный характер уравнения

∑

I^∑

u^†kαL_kα +

S_f · Sf+2δ +

Ĥ_C.

(1)

Лондонов позволяет рассматривать векторный по-

kα

fδ

тенциал в длинноволновом пределе (A = Aq=0), а

саму величину Aq=0 считать малой.

Для вычисления сверхпроводящего тока j необ-

При записи этого выражения использованы следу-

ходимо провести обобщение гамильтониана СФМ,

ющие обозначения:

включив в него вектор-потенциал A, используя, на-

пример, подстановку Пайерлса [60,61]. Суть подста-

новки состоит в ренормировке интегралов перескока

ξk,x(y) = ε_p - μ + 2τs2k,x(y),

дырок (как между ионами кислорода и меди, так и

∑

Γ_k = (2τ - 4t_pp)s_k,xs_k,y, L_kα =

S^αβk-qu_qβ,

между ионами только кислорода) фазовым множи-

qβ

телем

⎧

⎫

1^∑

(2)

S_k =

exp(-ikR_f )(S_f · σ),

⎨

∫

⎬

}

^{ ie

exp

drA(r)

= exp

R_jj′ Aq=0

⎩cℏ

⎭

cℏ

u_kα = s_k,xa_kα + s_k,yb_kα

Rj′

(

)

(

)

s_k,x = sin

k_x/2 - α_x

s_k,y = sin

k_y/2

где R_j — радиус-вектор иона кислорода с индексом

j, R_jj′ = R_j - R_j′, e — заряд дырки.

В рамках традиционного подхода [2,3,62,63] при-

где μ — химический потенциал, τ — интенсивность

нято далее раскладывать в ряд экспоненциальные

перескоков дырок, обусловленных процессами ги-

множители по малой величине векторного потенци-

бридизации в исходной модели Эмери во втором по-

ала с точностью до второго порядка по Aq=0, что,

рядке теории возмущений, N — число элементарных

в частности, позволяет по отдельности анализиро-

ячеек в CuO₂-плоскости, σ = (σ^x, σ^y, σ^z ) — вектор,

вать парамагнитную и диамагнитную части полного

составленный из матриц Паули σⁱ (i = x, y, z), S_f —

сверхпроводящего тока.

векторный оператор спина на ионе меди. Функции

Однако при использовании проекционной техни-

sk,x(y) возникают при переходе в k-представление

ки Цванциага - Мори [64,65] (в рамках которой реа-

и наряду с симметрией CuO₂-плоскости учитывают

лизуется спин-поляронная концепция в цитирован-

также соотношения между фазами p- и d-орбиталей.

ных выше работах) такой подход приводит к труд-

Первая сумма в выражении (1) отвечает кине-

ности, связанной с появлением новых операторов, не

тической энергии дырок, возникающих при легиро-

входящих в исходный базис. Это обстоятельство не

вании. Операторы a^†kα (a_kα) и b^†kα (b_kα) рождают

позволяет без расширения базиса получить замкну-

(уничтожают) дырку в состоянии с квазиимпульсом

тое относительно исходного набора операторов вы-

k и проекцией спина α = ±1/2 в подсистеме ионов

ражение для сверхпроводящего тока j(q = 0). Пред-

кислорода соответственно с p_x- и p_y-орбиталями. Во

ложенное в работе [46] решение данной проблемы

второй сумме произведение операторов u_kα и L_kα

заключалось в том, чтобы после подстановки Пай-

описывает движение дырки по ионам кислорода,

ерлса не пытаться сразу выделять линейные и квад-

коррелированное с состоянием спина на ближайшем

ратичные по Aq=0 поправки, а сохранить вектор-по-

ионе меди. Третья сумма — оператор энергии супер-

тенциал в показателе экспоненты. Оказывается, что

обменного взаимодействия.

при таком подходе происходит лишь небольшое из-

менение определений базисных операторов, но их

Последнее слагаемое в выражении (1) учитывает

общее число не возрастает. Кроме того, в результате

энергию кулоновского взаимодействия. В приближе-

418

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Происхождение точки перегиба на температурной зависимости.. .

нии, указанном в разд. 2, оно имеет вид

системы уравнений для d-волнового параметра по-

рядка.

U_p ∑(

)

Ĥ_C =

a†1↑a†2↓a3↓a4↑ + (a → b)

δ1+2-3-4 +

Выражение для плотности сверхпроводящего то-

ка получается, как обычно [61], варьированием га-

4V₁

¹²³⁴∑

мильтониана по полю векторного потенциала и

φ3-2a†1αb†2βb3βa4αδ1+2-3-4 +

последующим усреднением по термодинамическо-

1234

αβ

му ансамблю. Причем матрица плотности, с кото-

∑(

V₂

рой проводится усреднение, должна учитывать поле

θxy2-3a†1αa†2βa3βa4α +

Aq=0. В результате выражение для плотности сверх-

1234

αβ

проводящего тока получается в виде

)

+ θyx2-3(a → b)

δ1+2-3-4,

(3)

∑

)(

⁽k_x

j_x(q = 0) =

cos

-α_x

2τs_k,x〈a^†kαa_kα〉+

где функции

ℏ

kα

)

(

)

θxy(yx)k = exp(ikx(y))+exp(-iky(x)),

τ - 2t_pp

s_k,y〈a^†kαb_kα〉 + J〈a^†kαL_kα〉 ,

(6)

(

)

(

)

(4)

φ_k = cos

k_x/2

cos

k_y/2

где зависимость от поля векторного потенциала

возникли аналогично функциям sk,x(y) при переходе

Axq=0 определяется только как аддитивная ренор-

в квазиимпульсное представление и учитывают сим-

мировка квазиимпульса k_x на величину α_x. Эта ре-

метрию CuO₂-плоскости. Цифрами в выражении (3)

нормировка в формуле (6) учитывается как явным

для простоты обозначены квазиимпульсы, закон со-

образом — в аргументе косинуса и в функции s_k,x,

хранения которых обеспечивают символы Кронеке-

так и неявным — в термодинамических средних.

ра δ1+2-3-4.

Отметим, что полученное выражение (6) дает

Отмеченное выше удобство записи гамильтони-

правильное предельное поведение плотности сверх-

ана СФМ в форме (1) обусловлено тем, что зави-

проводящего тока при переходе в нормальную фа-

симость от поля векторного потенциала Aq=0, на-

зу. Как показано в работе [46], в пределе T → Tc

правление которого выбрано вдоль оси x, вырази-

правая часть выражения (6), как и должно быть,

лась лишь в фазовом сдвиге в аргументе тригоно-

тождественно обращается в нуль.

метрической функции s_k,x (2). Величина сдвига α_x

Выражение для глубины проникновения магнит-

определяется выражением

ного поля следует из уравнения Лондонов

eg_x

α_x =

Axq=0,

(5)

j=-

2cℏ

4πλ²

где g_x — параметр элементарной ячейки в направ-

и имеет вид

лении оси x.

2eπ j_x(q = 0)

(7)

Зеемановская энергия, обусловленная взаимо-

λ²

c²ℏg_yg_z Nα_x

действием поля со спинами дырок, в гамильтони-

ане (1) не учитывается, поскольку в длинноволно-

где gy(z) — параметр решетки вдоль оси y(z), а плот-

ность тока j_x(q = 0) определяется выражением (6).

вом пределе (q → 0) эта энергия обращается в нуль.

Для параметров СФМ использовались следую-

Поскольку значения λ-2 должны вычисляться

по формуле (7) в пределе Axq=0 → 0, вторая дробь,

щие численные значения (в эВ):

стоящая в правой части выражения (7), есть с точ-

τ = 0.1, J = 3.4, I = 0.136 [66],

ностью до константы просто производная плотности

тока по вектор-потенциалу в точке Axq=0 = 0. Это

t_pp = 0.11 [43, 67], U_p = 4.0 [68, 69],

означает, что при определении лондоновской глуби-

V₁ = 1.5 [70], V₂ = 0.12 [71].

ны фактически учитываются только линейные по

Мы не будем останавливаться на обсуждении значе-

Axq=0 поправки к плотности тока j_x(q = 0), как это

ний этих параметров, так как этот вопрос подробно

и должно быть в теории линейного отклика.

рассматривался в соответствующих цитированных

Явная зависимость плотности тока от вектор-

работах. Отметим только, что согласно результатам

ного потенциала, вследствие используемого проек-

работы [67], параметр V₁, отвечающий интенсивно-

ционного метода, оказывается довольно сложной.

сти кулоновского взаимодействия дырок на ближай-

Несмотря на то, что аналитическое вычисление про-

ших ионах кислорода, не влияет на значение T_c, по-

изводной плотности тока по α_x, в принципе, возмож-

скольку по симметрийным причинам выпадает из

но, более простым решением оказывается численное

419

К. К. Комаров, Д. М. Дзебисашвили

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

дифференцирование. При этом, разумеется, значе-

это операторы a_k↑, b_k↑ и L_k↑. Базис этих операто-

ния α_x необходимо выбирать из того интервала, в

ров достаточен для удовлетворительного описания,

котором функция j_x(α_x) линейна [46].

например, спектральных свойств купратов в нор-

мальной фазе (см. рис. 1). При этом следует обра-

тить внимание на исключительную важность опера-

4. ПРОИСХОЖДЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

тора L_kα. Включение в базис именно L_kα позволя-

НА ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

ет корректно учесть сильную связь локализованного

ЛОНДОНОВСКОЙ ГЛУБИНЫ

на ионе меди спина и дырки, движущейся по четы-

Существенным для вычисления плотности тока

рем ближайшим ионам кислорода [42]. Для описа-

ния аномальных свойств ансамбля спиновых поля-

является тот факт, что в определении термодина-

мических средних в формуле (6) фигурируют толь-

ронов в базис операторов необходимо добавить еще

три оператора: a^†-k↓, b^†-k↓ и L^†-k↓ [44].

ко три оператора: a_kα, b_kα и L_kα, и именно те, ко-

торые используются в определении гамильтониана

В работе [46] указанный базис из шести операто-

СФМ (1). Если бы в гамильтониане (1) было про-

ров, a_k↑, b_k↑, L_k↑, a^†-k↓, b^†-k↓ и L^†-k↓, использовался

ведено разложение соответствующих экспонент до

для вычисления термодинамических средних, вхо-

второго порядка по потенциалу Axq=0, как это обыч-

дящих в выражение (6) для сверхпроводящего то-

но принято, то в выражении для тока возник бы

ка. Расчет проводился в рамках проекционного ме-

дополнительный составной оператор вида

тода Цванцига - Мори [64, 65], на основе которого в

)

]

предыдущих работах [39, 42] была реализована кон-

⁽q

∑ ˜_Sαβ^[

cos

a_qβ + s_q,yb_qβ

k-q

цепция спинового полярона. В результате расчета

qβ

термодинамических средних в формуле (6) и подста-

который, очевидно, не сводится к линейной комби-

новки полученного результата для тока в формулу

нации исходных трех операторов a_kα, b_kα и L_kα.

(7) было найдено выражение для обратного квад-

Таким образом, в рамках предложенной схемы

рата глубины проникновения. В силу объемности

расчета плотности сверхпроводящего тока базисны-

этого выражения мы не станем его воспроизводить

ми можно считать шесть операторов. Первые три —

здесь полностью, но чуть ниже приведем только ту

его часть, которая будет необходима для наших це-

лей.

Пример зависимости λ-2(T), полученной в рабо-

те [46] для значения легирования x = 0.17 на основе

самосогласованных численных расчетов уравнения

для j_x(q = 0) (совместно с уравнением для пара-

метра порядка и химического потенциала), проде-

монстрирован на рис. 2 сплошной кривой. Важным

результатом этих численных расчетов стало обна-

ружение на теоретической зависимости λ-2(T) точ-

ки перегиба, которая неплохо воспроизвела анало-

гичную особенность на экспериментальной зависи-

мости, представленной на этом же рис. 2 символами

в виде квадратов. Однако физическая причина воз-

никновения точки перегиба на теоретических кри-

вых в цитированных работах не была вскрыта.

Рис. 1. (В цвете онлайн) СФМ-спектр фермиевских воз-

Как следует из выражения (7), для ответа на

буждений в нормальной фазе. Нижняя зона ε1k соответ-

данный вопрос необходимо взять производную по

ствует спин-поляронным состояниям (синие кривые), фор-

фазе α_x от довольно сложного выражения для то-

мирующимся за счет сильной спин-фермионной связи J.

ка j_x(q = 0), полученного ранее [46]. В результате

Верхние зоны, ε2k и ε3k, образованы в основном чисто ды-

возникает большая совокупность слагаемых, каж-

рочными состояниями. Эти зоны в режиме низкой плотно-

дое из которых следует проанализировать. К сча-

сти, когда химический потенциал (зеленая прямая) лежит

стью, выписывать все эти слагаемые здесь нет необ-

в нижней спин-поляронной зоне, остаются пустыми. Осо-

ходимости, поскольку, как показал численный ана-

бенность спин-поляронного спектра характеризуется нали-

чием минимума в окрестности точек (±π/2, ±π/2) [43,72]

лиз, только одно из них приводит к точке перегиба

на кривой 1/λ²(T ). Это слагаемое имеет вид

420

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Происхождение точки перегиба на температурной зависимости.. .

Рис. 3. (В цвете онлайн) Возникновение точки перегиба на

зависимости 1/λ²(T ) в рамках концепции спинового поля-

рона. а) Две окрестности точек пересечения линии нулей

параметра порядка и поверхности Ферми в первом квад-

ранте зоны Бриллюэна показаны синим и красным цве-

Рис. 2. Точка перегиба на экспериментальной и теоре-

том (допирование x = 0.17 и T = 20 К); проекции ско-

тической температурных зависимостях обратного квадра-

ростей на горизонтальную ось для квазичастиц из крас-

та лондоновской глубины при x = 0.17. Сплошная кри-

ной области противоположны по знаку соответствующим

вая рассчитана в спин-поляронном подходе, символы —

проекциям скоростей для квазичастиц из синей области.

экспериментальные данные для La1.83Sr0.17CuO4 [21, 24].

б) Вклады в температурную зависимость выражения (8) от

Штрихпунктирная линия при T

< Ti — экстраполяция

красной и синей областей зоны Бриллюэна обозначены со-

функции λ-2(T ) с правой стороны от точки перегиба Ti.

ответственно красным и синим цветом; конкуренция двух

Нижняя пунктирная кривая демонстрирует температурную

этих вкладов в итоге и приводит к появлению точки пере-

зависимость слагаемого (8), выделенного из правой части

гиба на температурной зависимости λ-2(T ), представлен-

выражения (7) для λ-2. Верхняя штриховая кривая отра-

ной на рис. 2 сплошной линией, а на рис. 3б — штриховой.

жает сумму остальных слагаемых в правой части формулы

Параметры модели такие же, как и на рис. 2

(7). Сумма пунктирной и штриховой кривых есть сплош-

ная кривая. Параметры модели (в эВ): J = 3.4, τ = 0.1,

I = 0.136, tpp = 0.11, Up = 4.0, V2 = 0.12

λ-2, полный вид которого приведен в работе [46]. В

окрестности 12 K на этой кривой наблюдается сме-

3πg_xe²

(

) 1

J²

ε_p - μ

на кривизны, отвечающая точке перегиба. Верхней

ℏg_yg_zc²

штриховой линией показана температурная зависи-

∑

f^′(E_k/T)sin(k_x)ε2kε3k

(

)(

) v^s-pk,x.

(8)

мость всех остальных вкладов, оставшихся в вы-

E2k - ε22k

E2k - ε²

ражении для λ-2 после выделения слагаемого (8).

Видно, что температурная зависимость этих вкла-

В выражении (8) штрих у функции распределения

дов не обнаруживает особенностей, указывающих на

Ферми - Дирака f(x) = (e^x + 1)-1 означает ее про-

наличие точки перегиба. Сплошная линия на рис. 2

изводную по энергии боголюбовских возбуждений

√

является суммой пунктирной и штриховой линий и

E_k =

(ε1k - μ)² + |Δ_k|², где |Δ_k|² — функция ще-

описывает, как уже говорилось выше, температур-

ли d_x2_-y2 -типа симметрии [73]; T — температура.

ную зависимость обратного квадрата лондоновской

Три ветви спектра ε_jk (j = 1, 2, 3) описывают зон-

глубины при легировании x = 0.17. Таким образом,

ную структуру спин-поляронных квазичастиц в нор-

мы видим, что наличие точки перегиба на результи-

мальной фазе (см. рис. 1). Посредством v^s-pk,x обозна-

рующей кривой λ-2(T ) обусловлено исключительно

чена проекция скорости спин-поляронных квазича-

слагаемым (8).

стиц на ось x:

1 dε1k

Анализ структуры выражения

(8) позволяет

v^s-pk,x =

(9)

ℏ dk_x

вскрыть причину аномального температурного по-

На рис. 2 пунктирной нижней кривой проде-

ведения λ-2. Действительно, поскольку при низких

монстрирована температурная зависимость слага-

температурах производная функции Ферми- Дира-

емого (8), выделенного из общего выражения для

ка в формуле (8) пропорциональна дельта-функции,

421

К. К. Комаров, Д. М. Дзебисашвили

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

основной вклад в сумме по квазиимпульсу k наби-

удаленной от Γ-точки окрестности (красная область

рается в окрестности точек зоны Бриллюэна, где E_k

на рис. 3а) выгнута вверх. Последнее обстоятель-

обращается в нуль, т.е. на пересечении поверхности

ство обусловлено разной температурной зависимо-

Ферми (дырочных карманов) и линий нулей пара-

стью спектрального веса квазичастиц из указанных

метра порядка d-типа. В каждом квадранте зоны

двух окрестностей точек пересечения поверхности

Бриллюэна таких точек две. На рис. 3а окрестности

Ферми и линии нулей параметра порядка. Очевид-

этих точек выделены синим и красным цветом.

но, что специфика этой зависимости обусловлена

Важным обстоятельством для объяснения воз-

спин-поляронной природой фермиевских квазича-

никновения точки перегиба на кривой 1/λ²(T ) явля-

стиц.

ется то, что групповые скорости фермиевских ква-

В данной работе анализ причины возникновения

зичастиц в этих двух областях имеют противопо-

точки перегиба на температурной зависимости лон-

ложные знаки. Это приводит к тому, что вклады

доновской глубины в купратных ВТСП был прове-

от красной и синей областей в сумму в выражении

ден при значении легирования x = 0.17, близком к

(8) оказываются противоположными по знаку. Тем-

оптимальному. Выбор этого значения x обусловлен

пературные зависимости вкладов в интеграл (8) по

прежде всего тем, что именно в области оптималь-

отдельности от красной и синей областей (увеличи-

ного легирования точка перегиба эксперименталь-

вающихся по площади при возрастании температу-

но определяется наиболее четко. С другой стороны,

ры) представлены на рис. 3б соответственно крас-

теоретические температурные зависимости λ-2, по-

ной и синей линиями. Вклад от синей области (рас-

лученные в работе [46], лучше всего согласуются с

положенной ближе к Γ-точке зоны Бриллюэна) —

экспериментальными кривыми для значений x из

отрицательный, а его зависимость от температуры

интервала 0.12 < x < 0.2, включающем в себя об-

имеет вогнутый вниз вид. Вклад от красной области

ласть оптимального легирования. При этом с уве-

(расположенной дальше от Γ-точки), напротив, —

личением легирования точка перегиба смещается в

положительный, а его температурная зависимость

область более низких температур, а при уменьше-

выгнута вверх. В результате конкуренции вкладов в

нии x — в область более высоких T . За пределами

интеграл (8) от этих двух областей и возникает точ-

интервала 0.12 < x < 0.2 согласие с эксперимен-

ка перегиба на итоговой зависимости 1/λ²(T ), пред-

том ухудшается по следующим, как нам видится,

ставленной на рис. 2 сплошной линией.

причинам: при значениях x > 0.2 использованное в

работе приближение низкой плотности оказывается

недостаточным, а при x < 0.12 важными становятся

5. ОБСУЖДЕНИЕ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

псевдощелевые эффекты, которые в данной теории

не учитываются.

Проведенный в рамках концепции спинового по-

Необходимо также сделать следующее замеча-

лярона анализ показал, что причина возникнове-

ние относительно топологии поверхности Ферми.

ния точки перегиба на температурной зависимости

Представление о поверхности Ферми в слаболеги-

обратного квадрата лондоновской глубины в куп-

рованных купратных ВТСП в виде четырех дыроч-

ратных ВТСП обусловлена особенностями спектра

ных карманов, центрированных в окрестности то-

спин-поляронных квазичастиц, связанными с нали-

чек (±π/2, ±π/2) зоны Бриллюэна, есть результат

чием в каждом квадранте зоны Бриллюэна двух то-

численных расчетов, основанных по большей части

чек пересечения поверхности Ферми с линией нулей

на модельных гамильтонианах. Экспериментально

d-волнового параметра порядка.

же наблюдается только ближний к Γ-точке зоны

Важное значение для появления точки переги-

Бриллюэна край дырочного кармана — так называ-

ба имеет не только тот факт, что состояния фер-

емые ферми-арки (синяя область на рис. 3а). Даль-

миевских спин-поляронных квазичастиц в окрестно-

ний край дырочного кармана (красная область на

сти отмеченных двух точек пересечения дают кон-

рис. 3а) обычно (например, в ARPES-экспериментах

курирующий по знаку вклад в выражение для 1/λ²,

[74, 75]) не виден. Считается, что спектральный

но и то, что характер температурной зависимости

вес этих состояний существенно подавлен вслед-

этих вкладов — разный (см. рис. 3б). Температур-

ствие значительного спин-флуктуационного рассея-

ная зависимость вклада от состояний из ближай-

ния [76, 77]. Подавление спектрального веса состо-

шей к Γ-точке зоны Бриллюэна окрестности (си-

яний, отвечающих красной области, приведет, оче-

няя область на рис. 3а) имеет вогнутый вниз вид,

видно, к уменьшению их вклада в выражение (8)

тогда как температурная зависимость вкладов от

для 1/λ² и, соответственно, к увеличению относи-

422

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Происхождение точки перегиба на температурной зависимости.. .

тельного вклада состояний из синей области. Как

R. F. Wang, S. P. Zhao, G. H. Chen, and Q. S. Yang,

видно из сравнения соответствующих кривых на

Appl. Phys. Lett. 75, 3865 (1999).

рис. 3б, это должно привести к еще большему на-

10.

K. M. Paget, S. Guha, M. Z. Cieplak, I. E. Trofimov,

клону результирующей зависимости 1/λ²(T ) в об-

S. J. Turneaure, and T. R. Lemberger, Phys. Rev.

ласти низких температур, и, как следствие, можно

B 59, 641 (1999).

ожидать еще более сильного проявления точки пе-

региба.

11.

A. Hosseini, R. Harris, S. Kamal, P. Dosanjh, J. Pres-

Отметим, наконец, что отличительная черта

ton, R. Liang, W. N. Hardy, and D. A. Bonn, Phys.

Rev. B 60, 1349 (1999).

предложенного в данной работе сценария появле-

ния точки перегиба на зависимости 1/λ²(T ) состоит

12.

D. M. Broun, W. A. Huttema, P. J. Turner, S.

Özcan,

в отсутствии необходимости модифицировать сим-

B. Morgan, R. Liang, W. N. Hardy, and D. A. Bonn,

метрию d-волнового параметра порядка, например,

Phys. Rev. Lett. 99, 237003 (2007).

добавлением s-компоненты, как это было сделано

13.

T. R. Lemberger, I. Hetel, A. Tsukada, and M. Naito,

в работах

[21, 22]. В рамках спин-поляронного

Phys. Rev. B 82, 214513 (2010).

подхода точка перегиба возникает естественным об-

разом, и поэтому ее экспериментальное наблюдение

14.

T. R. Lemberger, I. Hetel, A. Tsukada, M. Naito, and

может рассматриваться как обоснование правомер-

M. Randeria, Phys. Rev. B 83, 140507(R) (2011).

ности использования концепции спин-поляронных

15.

A. V. Pronin, T. Fischer, J. Wosnitza, A. Ikeda, and

квазичастиц для описания спектральных и сверх-

M. Naito, Physica C 473, 11 (2012).

проводящих свойств купратных сверхпроводников.

16.

J. E. Sonier, J. Phys. Soc. Jpn. 85, 091005 (2016).

Финансирование. Исследование выполнено

17.

Z. Guguchia, R. Khasanov, A. Shengelaya, E. Pomja-

при финансовой поддержке Российского фон-

kushina, S. J. L. Billinge, A. Amato, E. Morenzoni,

да фундаментальных исследований (проекты

and H. Keller, Phys. Rev. B 94, 214511 (2016).

№№ 18-02-00837, 20-32-70059).

18.

I. Božović, X. He, J. Wu, and A. T. Bollinger, Nature

536, 309 (2016).

ЛИТЕРАТУРА

19.

J. E. Sonier, J. H. Brewer, R. F. Kiefl, G. D. Morris,

1. W. N. Hardy, D. A. Bonn, D. C. Morgan, R. Liang,

R. I. Miller, D. A. Bonn, J. Chakhalian, R. H. Heffner,

and K. Zhang, Phys. Rev. Lett. 70, 3999 (1993).

W. N. Hardy, and R. Liang, Phys. Rev. Lett. 83, 4156

(1999).

2. M. Tinkham, Introduction to Superconductivity,

Courier Corporation, North Chelmsford, Massachu-

20.

A. T. Savici, A. Fukaya, I. M. Gat-Malureanu, T. Ito,

setts, US (2004).

P. L. Russo, Y. J. Uemura, C. R. Wiebe, P. P. Ky-

riakou, G. J. MacDougall, M. T. Rovers, G. M. Luke,

3. J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, CRC

K. M. Kojima, M. Goto, S. Uchida, R. Kadono,

Press, Boca Raton, Florida, US (2018).

K. Yamada, S. Tajima, T. Masui, H. Eisaki, N. Ka-

4. T. Jacobs, S. Sridhar, Qiang Li, G. D. Gu, and

neko, M. Greven, and G. D. Gu, Phys. Rev. Lett. 95,

157001 (2005).

N. Koshizuka, Phys. Rev. Lett. 75, 4516 (1995).

5. C. Panagopoulos, J. R. Cooper, G. B. Peacock,

21.

R. Khasanov, A. Shengelaya, A. Maisuradze,

I. Gameson, P. P. Edwards, W. Schmidbauer, and

F. La Mattina, A. Bussmann-Holder, H. Keller, and

J. W. Hodby, Phys. Rev. B 53, R2999(R) (1996).

K. A. Müller, Phys. Rev. Lett. 98, 057007 (2007).

6. D. M. Broun, D. C. Morgan, R. J. Ormeno, S. F. Lee,

22.

R. Khasanov, S. Strässle, D. Di Castro, T. Masui,

A. W. Tyler, A. P. Mackenzie, and J. R. Waldram,

S. Miyasaka, S. Tajima, A. Bussmann-Holder, and

Phys. Rev. B 56, R11443(R) (1997).

H. Keller, Phys. Rev. Lett. 99, 237601 (2007).

7. C. Panagopoulos, J. R. Cooper, and T. Xiang, Phys.

23.

R. Khasanov, A. Shengelaya, J. Karpinski, A. Buss-

Rev. B 57, 13422 (1998).

mann-Holder, H. Keller, and K. A. Müller, J. Super-

cond. Nov. Magn. 21, 81 (2008).

8. C. Panagopoulos, B. D. Rainford, J. R. Cooper,

W. Lo, J. L. Tallon, J. W. Loram, J. Betouras,

24.

B. M. Wojek, S. Weyeneth, S. Bosma, E. Pomja-

Y. S. Wang, and C. W. Chu, Phys. Rev. B 60, 14617

kushina, and R. Puzniak, Phys. Rev. B 84, 144521

(1999).

(2011).

423

К. К. Комаров, Д. М. Дзебисашвили

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

25.

W. Anukool, S. Barakat, C. Panagopoulos, and

41.

R. O. Kuzian, R. Hayn, and A. F. Barabanov, Phys.

J. R. Cooper, Phys. Rev. B 80, 024516 (2009).

Rev. B 68, 195106 (2003).

26.

C. Bernhard, Ch. Niedermayer, U. Binninger, A. Ho-

42.

А. Ф. Барабанов, Р. Хайн, А. А. Ковалев,

fer, Ch. Wenger, J. L. Tallon, G. V. M. Williams,

О. В. Уразаев, А. М. Белемук, ЖЭТФ 119, 777

E. J. Ansaldo, J. I. Budnick, C. E. Stronach,

(2001) [JETP 92, 677 (2001)].

D. R. Noakes, and M. A. Blankson-Mills, Phys. Rev.

43.

Д. М. Дзебисашвили, В. В. Вальков, А. Ф. Бараба-

B 52, 10488 (1995).

нов, Письма в ЖЭТФ 98, 596 (2013) [JETP Lett.

27.

P. Zimmermann, H. Keller, S. L. Lee, I. M. Savić,

98, 528 (2013)].

M. Warden, D. Zech, R. Cubitt, E. M. Forgan,

44.

V. V. Val’kov, D. M. Dzebisashvili, and A. F. Bara-

E. Kaldis, J. Karpinski, and C. Krüger, Phys. Rev.

banov, Phys. Lett. A 379, 421 (2015).

B 52, 541 (1995).

45.

V. V. Val’kov, D. M. Dzebisashvili, M. M. Koro-

28.

A. Suter, G. Logvenov, A. V. Boris, F. Baiutti,

vushkin, and A. F. Barabanov, J. Magn. Magn.

F. Wrobel, L. Howald, E. Stilp, Z. Salman, T. Prok-

Mater. 440, 123 (2017).

scha, and B. Keimer, Phys. Rev. B 97, 134522 (2018).

46.

D. M. Dzebisashvili and K. K. Komarov, Eur. Phys.

29.

L. Howald, E. Stilp, F. Baiutti, C. Dietl, F. Wrobel,

J. B 91, 278 (2018).

G. Logvenov, T. Prokscha, Z. Salman, N. Wooding,

D. Pavuna, H. Keller, and A. Suter, Phys. Rev. B 97,

47.

V. J. Emery, Phys. Rev. Lett. 58, 2794 (1987).

094514 (2018).

48.

C. M. Varma, S. Schmitt-Rink, and E. Abrahams,

30.

W. N. Hardy, S. Kamal, and D. A. Bonn, Magnetic

Sol. St. Comm. 62, 681 (1987).

Penetration Depths in Cuprates: a Short Review

of Measurement Techniques and Results, Springer,

49.

J. E. Hirsch, Phys. Rev. Lett. 59, 228 (1987).

Boston, MA (2002), NATO Science Ser. B, Vol. 371.

50.

J. Zaanen and A. M. Oles, Phys. Rev. B 37, 9423

31.

R. Prozorov and R. W. Giannetta, Supercond. Sci.

(1988).

Technol. 19, R41 (2006).

51.

V. J. Emery and G. Reiter, Phys. Rev. B 38, 4547

32.

D. R. Harshman and A. T. Fiory, J. Phys.: Condens.

(1988).

Matter 23, 315702 (2011).

52.

P. Prelovšek, Phys. Lett. A 126, 287 (1988).

33.

A. Valli, G. Sangiovanni, M. Capone, and C. Di Cast-

53.

E. B. Stechel and D. R. Jennison, Phys. Rev. B 38,

ro, Phys. Rev. B 82, 132504 (2010).

4632 (1988).

34.

A. F. Barabanov, L. A. Maksimov, and A. V. Mikhe-

54.

А. Ф. Барабанов, Л. А. Максимов, Г. В. Уймин,

yenkov, AIP Conf. Proc. 527, 1 (2000).

ЖЭТФ 96, 665 (1989) [Sov. Phys. JETP 69, 371

(1989)].

35.

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, М. М. Коро-

вушкин, А. Ф. Барабанов, УФН 191(7) (2021).

55.

V. V. Val’kov, T. A. Val’kova, D. M. Dzebisashvili,

and S. G. Ovchinnikov, Mod. Phys. Lett. B 17, 441

36.

L. A. Maksimov, A. F. Barabanov, and R. O. Kuzian,

(2003).

Phys. Lett. A 232, 286 (1997).

56.

K. K. Komarov and D. M. Dzebisashvili, Phys. Scr.

37.

L. A. Maksimov, R. Hayn, and A. F. Barabanov,

95, 065806 (2020).

Phys. Lett. A 238, 288 (1998).

57.

V. V. Val’kov, D. M. Dzebisashvili, and A. F. Bara-

38.

В. В. Вальков, М. М. Коровушкин, А. Ф. Бараба-

banov, J. Low Temp. Phys. 181, 134 (2015).

нов, Письма в ЖЭТФ 88, 426 (2008) [JETP Lett.

88, 370 (2008)].

58.

В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, М. М. Коро-

вушкин, А. Ф. Барабанов, ЖЭТФ 152, 957 (2017)

39.

А. Ф. Барабанов, В. М. Березовский, Э. Жасинас,

[JETP 125, 810 (2017)].

Л. А. Максимов, ЖЭТФ 110, 1480 (1996) [JETP

83, 819 (1996)].

59.

C. W. Chu, L. Z. Deng, and B. Lv, Physica C 514,

290 (2015).

40.

A. F. Barabanov, E.

Žsinas, O. V. Urazaev, and

L. A. Maksimov, Письма в ЖЭТФ 66, 173 (1997)

60.

R. E. Peierls, Z. Phys. 80, 763 (1933).

[JETP Lett. 66, 182 (1997)].

424

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Происхождение точки перегиба на температурной зависимости.. .

61. Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Статистичес-

71. R. O. Zaitsev, Phys. Lett. A 134, 199 (1988).

кая физика, ч. 2, Физматлит, Москва (2015).

ˇasinas, and

72. A. F. Barabanov, V. M. Beresovsky, E.

L. A. Maksimov, Physica C 252, 308 (1995).

62. M. V. Eremin, I. A. Larionov, and I. E. Lyubin,

J. Phys.: Condens. Matter 22, 185704 (2010).

73. В. В. Вальков, Д. М. Дзебисашвили, А. Ф. Бараба-

нов, Письма в ЖЭТФ 104, 745 (2016) [JETP Lett.

63. Zh. Huang, H. Zhao, and Sh. Feng, Phys. Rev. B 83,

104, 730 (2016)].

144524 (2011).

74. A. Damascelli, Z. Hussain, and Zh.-X. Shen, Rev.

64. R. Zwanzig, Phys. Rev. 124, 983 (1961).

Mod. Phys. 75, 473 (2003).

65. H. Mori, Prog. Theor. Phys. 33, 423 (1965).

75. T. Yoshida, X. J. Zhou, D. H. Lu, S. Komiya, Yo. An-

do, H. Eisaki, T. Kakeshita, S. Uchida, Z. Hussain,

66. G. Shirane, Y. Endoh, R. J. Birgeneau, M. A. Kast-

Z.-X. Shen, and A. Fujimori, J. Phys.: Condens.

ner, Y. Hidaka, M. Oda, M. Suzuki, and T. Mura-

Matter 19, 125209 (2007).

kami, Phys. Rev. Lett. 59, 1613 (1987).

76. N. Doiron-Leyraud, C. Proust, D. LeBoeuf, J. Le-

67. V. V. Val’kov, D. M. Dzebisashvili, and A. F. Bara-

vallois, J.-B. Bonnemaison, R. Liang, D. A. Bonn,

banov, J. Supercond. Nov. Magn. 29, 1049 (2016).

W. N. Hardy, and L. Taillefer, Nature 447, 565

(2007).

68. M. S. Hybertsen, M. Schlüter, and N. E. Christensen,

Phys. Rev. B 39, 9028 (1989).

77. E. Razzoli, Y. Sassa, G. Drachuck, M. Mansson,

A. Keren, M. Shay, M. H. Berntsen, O. Tjernberg,

69. A. K. McMahan, J. F. Annett, and R. M. Martin,

M. Radovic, J. Chang, S. Pailhés, N. Momono,

Phys. Rev. B 10, 6268 (1990).

M. Oda, M. Ido, O. J. Lipscombe, S. M. Hayden,

L. Patthey, J. Mesot, and M. Shi, New J. Phys. 12,

70. M. H. Fischer, Phys. Rev. B 84, 144502 (2011).

125003 (2010).

425