ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 3 (9), стр. 434-442

ЭЛЕКТРОН-ФОНОННАЯ ПЕРЕНОРМИРОВКА МАССЫ

В МЕТАЛЛЕ ЗА ПРЕДЕЛАМИ АДИАБАТИЧЕСКОГО

ПРИБЛИЖЕНИЯ

Э. З. Кучинский^*, Н. А. Кулеева

Институт электрофизики Уральского отделения Российской академии наук

620016, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 8 апреля 2021 г.,

после переработки 8 апреля 2021 г.

Принята к публикации 9 апреля 2021 г.

Проанализирована перенормировка массы электрона в металле за счет электрон-фононного взаимодей-

ствия и связанная с ней константа взаимодействия λ в моделях как акустических, так и оптических

фононов в широком интервале величины характерной частоты фононов ω0 как в адиабатическом пре-

деле, когда эта частота существенно меньше энергии Ферми εF , так и в антиадиабатическом, когда

характерная частота существенно больше ширины затравочной электронной зоны. Показано, что в ан-

тиадиабатическом пределе λ обратно пропорциональна характерной частоте фононов, и вследствие ма-

лости этой константы теорема Мигдала справедлива и в этом пределе. Рассмотрено влияние беспорядка

и сильных электронных корреляций на электрон-фононную перенормировку массы и константу λ. В

адиабатическом пределе перенормировка массы λ несколько подавляется примесным рассеянием, что

связано с уменьшением плотности состояний на уровне Ферми. Электронные корреляции в этом пре-

деле совсем незначительно подавляют электрон-фононную константу λ в коррелированном металле, а

в моттовском диэлектрике λ ≈ 0. Электрон-фононное взаимодействие затрудняет моттовский переход

металл-диэлектрик, что в диэлектрике вблизи моттовского перехода приводит к возможности восста-

новления квазичастичного пика и резкого роста константы λ с ростом дебаевской частоты. В антиа-

диабатическом пределе ни беспорядок, ни сильные электронные корреляции практически не влияют на

электрон-фононную перенормировку массы и эффективную константу λ ∼ εF /ω0.

DOI: 10.31857/S0044451021090108

В последнее время был открыт ряд сверхпро-

водников, где адиабатическое приближение не мо-

жет считаться выполненным, а характерные часто-

1. ВВЕДЕНИЕ

ты фононов порядка или даже превышают энергию

Ферми электронов. Имеются в виду, главным обра-

Стандартная теория электрон-фононного взаи-

зом, высокотемпературные сверхпроводники на ос-

модействия, как и теория сверхпроводимости Эли-

нове монослоев FeSe, прежде всего системы типа

ашберга - Макмиллана [1-3], целиком основана на

моноатомного слоя FeSe на подложке типа SrTiO₃

применимости адиабатического приближения и тео-

(FeSe/STO) [5]. Впервые на это обстоятельство в

реме Мигдала [4], позволяющей пренебречь вершин-

применении к таким системам обратил внимание

ными поправками при расчетах электрон-фононно-

Горьков [6, 7] при обсуждении идеи о возможном

го взаимодействия в типичных металлах. На самом

механизме повышения температуры сверхпроводя-

деле реальным параметром малости теории возму-

щего перехода T_c в системе FeSe/STO за счет взаи-

щений в таком пределе является λω₀/ε_F ≪ 1, где

модействия с высокоэнергетическими оптическими

λ — безразмерная константа электрон-фононного

фононами в SrTiO₃ [5].

взаимодействия, ω₀ — характерная частота фоно-

В недавних работах Садовского [8-10] электрон-

нов, ε_F — энергия Ферми.

фононная связь за пределами адиабатического при-

ближения была исследована в рамках теории Эли-

^* E-mail: kuchinsk@iep.uran.ru

ашберга - Макмиллана. В этих работах было проде-

434

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Электрон-фононная перенормировка массы в металле. ..

монстрировано, что в антиадиабатическом пределе

D( ,k)

эффективная константа электрон-фононного взаи-

модействия, определяющая перенормировку массы,

имеет вид

λ=λ₀

G( +

, p + k)

ω₀

Рис. 1. Диаграмма первого порядка для собственно-энер-

где λ0 — стандартная элиашберговская констан-

гетической части

та электрон-фононного взаимодействия, а D — по-

луширина зоны. Таким образом, в антиадиабати-

ческом пределе эффективная константа электрон-

2. КОНСТАНТА ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО

фононной связи оказывается малой в силу малости

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. ПРИБЛИЖЕНИЕ

СЛАБОЙ СВЯЗИ

D/ω₀. Такой сильный результат был получен непо-

средственно в рамках теории Элиашберга - Макмил-

Предполагая слабость электрон-фононной свя-

лана, где для упрощения анализа делается усред-

зи, ограничимся простейшим вкладом первого по-

нение по электронным импульсам, лежащим на

рядка для Σ_ph(ε, p), показанным диаграммой на

поверхности Ферми (в антиадиабатическом случае

рис. 1. В адиабатическом пределе рассмотрение та-

усреднение по импульсам рассеянного на фононе

кого вклада связано с действием теоремы Мигдала и

электрона идет по изоэнергетической поверхности

с возможностью пренебречь вершинными поправка-

с энергией ε_F + ω₀). Естественно, в антиадиаба-

ми к такой диаграмме. В антиадиабатическом пре-

тическом пределе, когда частота рассеяния замет-

деле, как будет продемонстрировано ниже, эффек-

но больше энергии Ферми, это является достаточно

тивная константа электрон-фононного взаимодей-

грубым приближением. Кроме того, в работах Са-

ствия λ оказывается существенно меньше затравоч-

довского [8-10] рассматривалась лишь эйнштейнов-

ной константы электрон-фононного взаимодействия

ская модель оптических фононов.

λ₀, что и оправдывает использование приближения

В данной работе мы последовательно рассмот-

слабой связи. В таком приближении имеем

рим эффективную константу электрон-фононного

∫

взаимодействия, определяющую перенормировку

dω^∑

Σ_ph(ε, p) = ig2

D(ω, k)G(ε+ω, p+k), (1)

массы в пределе слабой связи, не используя прибли-

2π

жение Элиашберга - Макмиллана, и покажем, что и

-∞

для оптических, и для акустических фононов в ан-

где g — обычная константа электрон-фононного вза-

тиадиабатическом пределе λ ∼ λ₀D/ω₀. Также мы

имодействия,

исследуем влияние примесного рассеяния и сильных

электронных корреляций (в рамках DMFT+Σ-под-

G(ε, p) = [ε+μ-ξ(p)-Σ_imp(ε)-Σ_ph(ε, p)]-1 ,

(2)

хода) на электрон-фононную перенормировку

G(ε, p) — одночастичная функция Грина, одетая

массы и продемонстрируем, что в антиадиабати-

рассеянием на фононах и беспорядке, ξ(p) — «за-

ческом пределе такое влияние несущественно и

травочная» электронная дисперсия, μ — химичес-

поведение λ ∼ λ₀D/ω₀ сохраняется.

кий потенциал, определяемый заполнением зоны,

Далее мы будем рассматривать область доста-

Σ_imp(ε) — собственно-энергетическая часть (СЭЧ),

точно слабой силы связи λ₀

< 1, где можно

связанная с рассеянием на примесях, для которой

пренебречь возможными поляронными эффекта-

будем использовать простейшее самосогласованное

ми [11, 12].

борновское приближение:

Необходимо подчеркнуть, что в данной работе

∑

Σ_imp(ε) = Δ2

G(ε, p),

(3)

мы будем рассматривать лишь эффективную кон-

станту электрон-фононного взаимодействия, свя-

занную с перенормировкой массы, которая в адиаба-

где G(ε, p) — одноэлектронная функция Грина (2), а

тическом пределе определяет и температуру сверх-

Δ — амплитуда случайного гауссовского поля (ши-

проводящего перехода T_c. В антиадиабатическом

рина распределения Гаусса случайных энергетичес-

пределе это не так и критическая температура T_c

ких уровней на узлах решетки), которая служит ме-

определяется скорее константой λ₀ [8-10].

рой силы беспорядка.

435

Э. З. Кучинский, Н. А. Кулеева

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Далее мы будем рассматривать модель «затра-

Удобно ввести затравочную безразмерную конс-

вочной» зоны с полуэллиптической плотностью со-

танту электрон-фононного взаимодействия:

стояний (на элементарную ячейку и один спин):

g²N₀(ε_F )

λ₀ =

(10)

√

ω_D

N₀(ξ) =

D² - ξ²,

(4)

πD²

которая в отсутствие примесного рассеяния в глу-

которая является неплохим приближением в трех-

боко адиабатическом пределе (ω_D ≪ D) совпадает

мерном случае. Здесь D определяет полуширину зо-

с эффективной λ, ответственной за перенормировку

ны проводимости.

масс.

Фононный пропагатор имеет вид

В российской литературе [15,16] достаточно час-

то в качестве фононного пропагатора используют

2ω₀(k)

D(ω, k) =

(5)

ω² - ω²⁰(k) + iδ

ω²⁰(k)

D(ω, k) =

(11)

ω² - ω²⁰(k) + iδ

где ω₀(k)

— фононная дисперсия, которая в стан-

дартной модели Дебая или Эйнштейна имеет вид

В этом случае [13]

{

u|k|,

|k| < ω_D/u,

∫

ω₀(k) =

(6)

-ig²

dω

Σ_ph(ε) =

ω₀,

|k| < k₀.

4ω²

2π

D -∞

{



}

Здесь u — скорость звука, ω_D, ω₀ — частоты Дебая

ω2D - ω2 



× ω2D +ω²ln

iπω²θ(ω2D - ω²)

и Эйнштейна, обрезание k₀ порядка импульса Фер-



⁺

ω²

ми p_F (в дальнейшем во всех расчетах мы брали

× I(ε + ω).

(12)

k₀ = p_F ).

Фактически Σ_ph(ε, p), определенная выражени-

Естественно переопределение фононного пропагато-

ем (1), имеет слабую импульсную зависимость, ко-

ра ведет к переопределению константы g и затравоч-

торой мы можем пренебречь и учитывать только

ной безразмерной константы электрон-фононного

существенную частотную зависимость. Прямые вы-

взаимодействия:

числения (см., например, [13, 14]) в случае дебаев-

ского спектра (6) позволяют переписать выражение

λ₀ = g²N₀(ε_F )/4.

(13)

(1) в виде

В случае эйнштейновского спектра фононов [14]:

∫

-ig²ω_D

dω

Σ_ph(ε) =

ig²ω₀ {

ω2c

2π

Σ_ph(ε) =

-iπ(I(ε + ω₀) + I(ε - ω₀))+

16π

-∞

{



}

∫

∞

ω/ωD + 1

ω²

ln



iπ

θ(ω2D-ω²)

+ dω [I(ε + ω₀ + ω) + I(ε - ω₀ - ω) -

⁺

2 ω_D

^ω/ω_D - 1

ω²

× I(ε + ω).

(7)

}

- I(ε + ω₀ - ω) - I(ε - ω₀ + ω)]/ω .

(14)

∑

Здесь I(ε) =_p G(ε, p) — локальная функция Гри-

на,

В такой модели фононного спектра (и в предположе-

+^D

нии k₀ = p_F ) затравочная безразмерная константа

N₀(ξ)

I(ε) =

dξ

(8)

электрон-фононного взаимодействия также опреде-

E_ε - ξ

ляется выражением (13) [14].

−D

Для упрощения нашего анализа мы не проводим

где E_ε = ε + μ - Σ_imp(ε) - Σ_ph(ε) и ω_c = p_F u —

полностью самосогласованные расчеты, пренебре-

характерная частота порядка ω_D. Далее везде мы

гая перенормировкой фононов вследствие электрон-

будем полагать ω_c = ω_D. В случае полуэллиптиче-

фононного взаимодействия, поскольку предполага-

ской «затравочной» плотности состояний N₀(ε) (4)

ем, что фононный спектр (6) фиксируется экспери-

с полушириной зоны D мы получаем

ментом.

(

√

)

Далее нас в основном будет интересовать антиа-

I(ε) =

E_ε -

E2ε

−D²

(9)

диабатический предел, который на практике возмо-

D²

436

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Электрон-фононная перенормировка массы в металле. ..

жен лишь для достаточно узкозонных систем. В та-

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ких системах обычно весьма существенны электрон-

Поскольку нашей задачей является выяснение

ные корреляции, которые могут быть неплохо опи-

качественной зависимости константы λ от характер-

саны в рамках теории динамического среднего по-

ной частоты фононов, дальше мы везде рассматри-

ля (DMFT) [17-19] для модели Хаббарда, но воз-

ваем случай с половинным заполнением электрон-

никает вопрос о взаимовлиянии этих корреляций и

ной зоны, т. е. μ = U/2 или μ = 0, в отсутствие хаб-

электрон-фононного взаимодействия. Для описания

бардовского взаимодействия U. На рис. 2 приведены

такого взаимовлияния воспользуемся, следуя [13],

плотности состояний для различных значений деба-

DMFT+Σ-подходом [20-22]. В этом подходе одно-

евской частоты (при выборе фононного пропагатора

электроннная функция Грина имеет вид¹⁾

в виде (5)). В адиабатическом пределе ω_D/2D ≪ 1

мы видим стандартное изменение плотности состоя-

G(ε, p) = 1/ [ε + μ - ξ(p) - Σ(ε) - Σ_ph(ε)] ,

(15)

ний в окрестности ±ω_D вокруг уровня Ферми. В ан-

тиадиабатическом пределе, когда дебаевская часто-

где Σ(ε) — локальная DMFT СЭЧ. Такой под-

та больше ширины зоны, наблюдаются пики в плот-

ход позволяет сохранить систему самосогласован-

ности состояний в окрестности дебаевской частоты,

ных уравнений стандартной DMFT, только на каж-

располагающиеся в этом пределе уже за краями за-

дой DMFT-итерации мы пересчитываем соответ-

травочной зоны (см. вставку на рис. 2). С ростом

ствующую электрон-фононную СЭЧ Σ_ph(ε), кото-

дебаевской частоты интенсивность этих пиков за-

рая в приближении слабой связи по-прежнему в за-

метно уменьшается. Качественно абсолютно такая

висимости от модели фононов определяется выра-

же картина эволюции плотности состояний с ростом

жениями (7), (12) или (14) с I(ε), совпадающей с

характерной частоты фононов наблюдается и при

локальной функцией Грина эффективной однопри-

другом выборе фононного пропагатора (11) в деба-

месной задачи:

евской модели и для эйнштейновской модели опти-

ческих фононов.

N₀(ξ)

Зависимости эффективной константы элект-

G_ii(ε) = I(ε) =

dξ

(16)

ε+μ-ξ-Σ(ε)-Σ_ph(ε)

рон-фононного взаимодействия от характерной

−D

частоты фононов, полученные из перенормировки

массы (17), приведены на рис. 3. Видим, что во всех

Эффективную константу электрон-фононного

моделях в адиабатическом пределе эффективная

взаимодействия будем определять через перенор-

константа λ линейно уменьшается с ростом ха-

мировку массы квазичастиц:

рактерной частоты фононов достаточно слабо (см.



вставки на рис. 3). В антиадиабатическом пределе

m^⋆

d Re Σ_ph(ε)



=1+λ=1-

(17)



dε

ε=0

Тогда



d Re Σ_ph(ε)

λ=-



(18)



dε

ε=0

Естественно, в адиабатическом пределе, когда

характерная фононная частота много меньше

энергии Ферми, эффективная константа электрон-

фононного взаимодействия практически совпадает

с затравочной константой λ₀. В антиадиабатиче-

ском пределе это не так и эффективная константа

λ ∼ λ₀D/ω_D, как следует из подхода на основе

теории Элиашберга - Макмиллана [1-3] и как бу-

дет продемонстрировано в дальнейшем в нашем

подходе.

Рис. 2. Плотность состояний для различных значений де-

баевской частоты. На вставке пики плотности состояний

¹⁾ Далее при учете электронных корреляций мы будем пре-

на дебаевской частоте в антиадиабатическом пределе

небрегать примесным рассеянием.

437

Э. З. Кучинский, Н. А. Кулеева

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

/₀

1.0

= 0.5

1.0

0.9

= 0.8

0.8

D/(₀ + D)

0.7

0.6

Рис. 3. Зависимость эффективной константы электрон-

0.6

0.4

фононного взаимодействия от характерной фононной час-

0.5

тоты. Для двух вариантов фононного пропагатора в мо-

0.2

0.4

дели Дебая: а — пропагатор (5), б — пропагатор (11). В

модели Эйнштейна — в. Штриховыми кривыми на а и б

0.3

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

приведено полученное из численных данных асимптотиче-

0.2

0/2D

ское поведение λ ∼ D/ωD в антиадиабатическом пределе,

0.1

на в результат (20) работы [8]. На вставках — область ма-

лых характерных фононных частот (адиабатический пре-

дел)

/2D

эффективная константа электрон-фононного взаи-

(20) хорошо описывает адиабатический и антиа-

модействия обратно пропорциональна характерной

диабатический пределы, а в промежуточной обла-

частоте фононов:

сти несколько завышает значение λ. Существенное

уменьшение эффективной константы в антиадиаба-

λ∼

(19)

ω_D

ω₀

тическом пределе, где формально перестает рабо-

В полном соответствии с предсказаниями работ

тать теорема Мигдала и казалось бы нельзя пре-

[8-10], где эта константа анализировалась в подхо-

небрегать вершинными поправками, позволяет ис-

де Элиашберга. Такое асимптотическое поведение λ,

пользовать применяемое нами приближение первого

полученное непосредственно из численных данных

порядка для СЭЧ.

для модели Дебая в антиадиабатическом пределе,

Перейдем к анализу влияния беспорядка на

приведено штриховыми кривыми на рис. 3а,б. В ра-

плотность состояний и эффективную константу

боте [8] в рамках теории Элиашберга - Макмилла-

электрон-фононного взаимодействия. На рис. 4 при-

на для эйнштейновской модели оптических фононов

ведена эволюция плотности состояний с ростом бес-

было получено общее интерполяционное выражение

порядка. В адиабатическом пределе (рис. 4a) особен-

для эффективной константы электрон-фононного

ность в плотности состояний, связанная с электрон-

взаимодействия:

фононным взаимодействием, лежит в энергетиче-

ской полосе ±ω_D вокруг уровня Ферми, и с рос-

λ=λ₀

(20)

ω₀ + D

том беспорядка ширина этой энергетической обла-

описывающее и адиабатический и антиадиабатичес-

сти практически не меняется. Беспорядок приводит

кий пределы. Константа λ, определяемая (20), при-

к уширению затравочной зоны с падением плот-

ведена штриховой кривой на рис. 3в. Видим, что

ности состояний на уровне Ферми, что вызывает

438

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Электрон-фононная перенормировка массы в металле. ..

Рис. 4. Эволюция плотности состояний с ростом беспорядка в адиабатическом (а) и антиадиабатическом (б) пределах

Рис. 5. Зависимость эффективной константы λ от характерной частоты фононов для различных степеней беспорядка в

модели Дебая (а) и в модели Эйнштейна (б). На вставках область малых характерных фононных частот (адиабатический

предел)

уменьшение константы λ с ростом беспорядка (см.

фононов с ростом беспорядка. Видим, что в обе-

рис. 5). В антиадиабатическом пределе пики в плот-

их моделях фононов в адиабатическом пределе кон-

ности состояний, связанные с электрон-фононным

станта λ несколько уменьшается с ростом беспоряд-

взаимодействием, располагаются за пределами за-

ка, что связано с уменьшением плотности состоя-

травочной зоны на энергии ±ω_D от уровня Ферми

ний на уровне Ферми. В антиадиабатическом пре-

(см. вставку рис. 4б) и практически не изменяются

деле λ ∼ D/ω_D; D/ω₀ и фактически никак не зави-

с ростом беспорядка (ни их положение, ни их ин-

сит от беспорядка, что связано, как уже отмечалось

тенсивность). Это приводит к тому, что беспорядок

выше, с отсутствием влияния беспорядка на пики

никак не влияет на величину константы электрон-

плотности состояний на энергии ±ω_D, связанные с

фононного взаимодействия в антиадиабатическом

электрон-фононным рассеянием.

пределе. В эйнштейновской модели оптических фо-

Наконец перейдем к изучению влияния сильных

нонов качественно эволюция плотности состояний с

электронных корреляций на электрон-фононную

ростом беспорядка является аналогичной.

перенормировку массы электрона. В рамках

На рис. 5 приведена эволюция зависимости эф-

DMFT+Σ подхода, когда полная СЭЧ есть прямая

фективной константы λ от характерной частоты сумма электронной СЭЧ Σ(ε) и электрон-фононной

439

Э. З. Кучинский, Н. А. Кулеева

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Рис. 6. Плотность состояний при различных значениях дебаевской частоты (λ0 = 0.5) и в отсутствие электрон-фононного

взаимодействия (λ0 = 0) для разной силы электронных корреляций: (а) — металлическая фаза, (б) — вблизи перехода

Мотта (металл), (в) — вблизи перехода Мотта (диэлектрик), (г) — диэлектрическсая фаза

Σ_ph(ε), полная перенормировка массы m^⋆/m = 1+λ,

вклады. В данной работе мы будем изучать именно

где λ = λ_ee + λ_ph — есть также прямая сумма без-

электрон-фононный вклад в перенормировку массы.

размерных констант межэлектронного



На рис. 6 приведена эволюция плотности состо-

d Re Σ(ε)



яний с увеличением дебаевской частоты от адиа-

λ_ee = -



dε

батического до антиадиабатического предела при

ε=0

λ₀ = 0.5 для различной силы хаббардовского вза-

и электрон-фононного

имодействия U. В металлической фазе (рис. 6а,б)



электрон-фононное взаимодействие приводит к пе-

d Re Σ_ph(ε)



λ_ph = -



реносу части спектрального веса из верхней и ниж-

dε

ε=0

ней хаббардовских зон на квазичастичный пик на

взаимодействий. Причем в условиях сильных элект-

уровне Ферми и этот пик уширяется с увеличени-

ронных корреляций обычно λ_ee

≫ λ_ph, но по-

ем ω_D вплоть до ω_D/2D ∼ 1, однако с дальней-

скольку энергетические масштабы перенормиров-

шим увеличением ω_D в антиадиабатическом пределе

ки электронного спектра за счет межэлектронного

квазичастичный пик опять начинает сужаться. Это

и электрон-фононного взаимодействий существенно

связано с уменьшением эффективной константы

различны, всегда есть возможность разделить эти

электрон-фононного взаимодействия λ с ростом час-

440

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

Электрон-фононная перенормировка массы в металле. ..

и случай U/2D = 1.45 на рис. 7) само электрон-

фононное взаимодействие может (когда ω_D превы-

шает ширину моттовской щели) приводить к закры-

тию моттовской щели и восстановлению квазича-

стичного пика на уровне Ферми. Это приводит к

быстрому росту константы λ с ростом ω_D в адиа-

батическом пределе, однако с дальнейшим ростом

частоты Дебая в антиадиабатическом пределе кон-

станта λ начинает уменьшаться. В антиадиабати-

ческом пределе λ практически не зависит от силы

электронных корреляций и даже глубоко в моттов-

ском диэлектрике поведение эффективной констан-

ты λ ≈ λ₀D/ω_D, полученное в работе Садовского

[8], сохраняется.

Рис. 7. Зависимость эффективной константы λ от дебаев-

ской частоты для разной силы хаббардовского взаимодей-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ствия. На вставке область малых частот Дебая (адиабати-

ческий предел)

В пределе слабой связи мы проанализировали

эффективную константу электрон-фононного взаи-

модействия λ, связанную с перенормировкой мас-

тоты Дебая в антиадиабатическом пределе. Ушире-

сы, в моделях акустических и оптических фононов

ние квазичастичного пика электрон-фононным вза-

в широком интервале величины характерной часто-

имодействием свидетельствует, что это взаимодей-

ты фононов как в адиабатическом пределе, так и в

ствие затрудняет моттовский переход металл-ди-

антиадиабатическом, когда характерная фононная

электрик [13]. Соответственно в диэлектрической

частота много больше ширины затравочной элект-

фазе вблизи моттовского перехода (рис. 6в) рост

ронной зоны 2D. Во всех рассмотренных моделях

ω_D приводит к восстановлению квазичастичного пи-

фононного спектра в антиадиабатическом пределе

ка и переходу диэлектрик-металл, однако дальней-

эффективная константа λ обратно пропорциональ-

ший рост дебаевской частоты в антиадиабатиче-

на характерной частоте фононов.

ском пределе приводит к сужению этого пика и его

Мы изучили влияние беспорядка на эффектив-

исчезновению (переходу металл-диэлектрик) при

ную константу электрон-фононного взаимодейст-

дальнейшем росте ω_D. Достаточно глубоко в фазе

вия. В адиабатическом пределе λ несколько по-

моттовского диэлектрика (рис. 6г) силы электрон-

давляется беспорядком, что связано с уменьшени-

фононного взаимодействия оказывается недостаточ-

ем плотности состояний на уровне Ферми вслед-

но для закрытия моттовской щели, но наиболь-

ствие размытия затравочной плотности состояний

шее влияние электрон-фононного взаимодействия

беспорядком. В антиадиабатическом пределе беспо-

на плотность состояний в области верхней и нижней

рядок не оказывает никакого влияния на константу

хаббардовских зон по-прежнему наблюдается при

электрон-фононного взаимодействия, несмотря на

ω_D/2D ∼ 1, а дальнейшее увеличение ω_D уменьшает

то что плотность состояний на уровне Ферми так-

λ и ослабляет это влияние.

же заметно уменьшается с ростом беспорядка.

На рис. 7 приведена зависимость эффективной

В рамках DMFT+Σ-подхода мы также ис-

константы электрон-фононного взаимодействия λ

следовали взаимовлияние сильных электронных

от дебаевской частоты для разной силы электрон-

корреляций и электрон-фононного взаимодействия

ных корреляций. В сильном адиабатическом преде-

и изучили влияние электронных корреляций на

ле (ω_D ≪ D) эффективная константа λ в металли-

электрон-фононную перенормировку массы. В

ческой фазе мало отличается от затравочной λ₀ при

сильном адиабатическом пределе эффективная

U = 0, в диэлектрической фазе на уровне Ферми от-

константа электрон-фононного взаимодействия

крывается моттовская щель и пока дебаевская час-

λ ≈ λ₀ в металлической фазе и λ ≈ 0 в моттовс-

тота меньше этой щели λ ≈ 0, электрон-фононная

ком диэлектрике. Однако электрон-фононное

перенормировка массы отсутствует. Однако в ди-

взаимодействие затрудняет моттовский переход

электрике вблизи моттовского перехода (см. рис. 6в

металл-диэлектрик, приводя к возможности вос-

441

Э. З. Кучинский, Н. А. Кулеева

ЖЭТФ, том 160, вып. 3 (9), 2021

становления квазичастичного пика с ростом λ₀ или

М. В. Садовский, Письма ЖЭТФ 109, 165 (2019);

дебаевской частоты. Поэтому в диэлектрике вблизи

arXiv:1811.10184.

моттовского перехода рост дебаевской частоты (при

10.

M. V. Sadovskii, J. Supercond. Novel Magn. 33, 19

ω_D порядка ширины щели) приводит к резкому

(2020); arXiv:1908.00718.

росту константы λ. В антиадиабатическом пределе

электронные корреляции практически не влияют

11.

А. С. Александров, А. Б. Кребс, УФН 162, 1

на эффективную константу λ и электрон-фононную

(1992).

перенормировку массы. Таким образом, в антиа-

12.

I. Esterlis, B. Nosarzewski, E. W. Huang, D. Moritz,

диабатическом пределе поведение λ ∼ D/ω_D; D/ω₀

T. P. Devereux, D. J. Scalapino, and S. A. Kivelson,

сохраняется и в присутствии сильных электронных

Phys. Rev. B 97, 140501(R) (2018).

корреляций и примесного рассеяния.

13.

E. Z. Kuchinskii, I. A. Nekrasov, and M. V. Sadovskii,

Phys. Rev. B 80, 115124 (2009); arXiv:0906.3865.

Благодарности. Авторы благодарны М. В. Са-

довскому за полезное обсуждение результатов рабо-

14.

E. Z. Kuchinskii, I. A. Nekrasov, and M. V. Sadovskii,

ты.

J. Phys. Chem. Sol. 72, 366 (2011); arXiv:1006.0294.

Финансирование. Работа выполнена при час-

15.

А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошин-

тичной поддержке Российского фонда фундамен-

ский, Методы квантовой теории поля в статис-

тальных исследований (грант № 20-02-00011).

тической физике, Физматгиз, Москва (1963).

16.

М. В. Садовский, Диаграмматика, ИКИ, Москва -

Ижевск (2010).

ЛИТЕРАТУРА

17.

Th. Pruschke, M. Jarrell, and J. K. Freericks, Adv.

Phys. 44, 187 (1995).

1. D. J. Scalapino, in Superconductivity, ed. by

R. D. Parks, Marcel Dekker, New York (1969), p. 449.

18.

A. Georges, G. Kotliar, W. Krauth, and M. J. Rozen-

berg, Rev. Mod. Phys. 68, 13 (1996).

2. С. В. Вонсовский, Ю. А. Изюмов, Э. З. Курма-

ев, Сверхпроводимость переходных металлов их

19.

D. Vollhardt, in Lectures on the Physics of Strongly

сплавов и соединений, Наука, Москва (1977).

Correlated Systems XIV, ed. by A. Avella and

F. Mancini, AIP Conference Proceedings, Vol. 1297

3. P. B. Allen and B. Mitrović, Solid State Physics,

(AIP, Melville, New York, 2010), p. 339; arXiV:1004.

Vol. 37, ed. by F. Seitz, D. Turnbull, and H. Ehren-

5069.

reich, Academic Press, New York (1982), p. 1.

20.

E. Z. Kuchinskii, I. A. Nekrasov, and M. V. Sadovskii,

4. А. Б. Мигдал, ЖЭТФ 34, 1438 (1958).

Письма в ЖЭТФ 82, 217 (2005) [JETP Letters 82,

5. М. В. Садовский, УФН 186, 1035 (2016); arXiv:

198 (2005)]; arXiv:cond-mat/0506215.

1605.04426.

21.

M. V. Sadovskii, I. A. Nekrasov, E. Z. Kuchinskii,

6. L. P. Gor’kov, Phys. Rev. B 93, 054517 (2016).

Th. Prushke, and V. I. Anisimov. Phys. Rev. B 72,

155105 (2005); arXiV:cond-mat/0508585.

7. L. P. Gor’kov, Phys. Rev. B 93, 060507 (2016).

22.

Э. З. Кучинский, И. А. Некрасов, М. В. Садовс-

8. М. В. Садовский, ЖЭТФ 155, 527 (2019); arXiv:

кий, УФН 182, 345 (2012) [Physics Uspekhi 53, 325

1809.02531.

(2012)]; arXiv:1109.2305.

442