ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 5 (11), стр. 611-620

ОСОБЕННОСТИ СОВМЕСТНОГО ВЛИЯНИЯ ДВИЖЕНИЯ

АТОМОВ И СВЕРХТОНКОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

ВОЗБУЖДЕННОГО СОСТОЯНИЯ НА ФОРМУ РЕЗОНАНСА

КОГЕРЕНТНОГО ПЛЕНЕНИЯ НАСЕЛЕННОСТЕЙ

В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ

К. А. Баранцев, А. С. Курапцев, А. Н. Литвинов^*

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

195251, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 25 марта 2021 г.,

после переработки 24 мая 2021 г.

Принята к публикации 24 мая 2021 г.

Исследовано совместное влияние движения атомов и сверхтонкого расщепления на форму резонанса ко-

герентного пленения населенностей (КПН) в разреженном газе. Показано, что при наличии сверхтонкой

структуры возбужденного уровня движение атомов приводит к световому сдвигу КПН-резонанса. Полу-

чено аналитическое выражение этого сдвига для отдельных скоростных групп атомов. Обнаружено, что

имеет место дополнительный КПН-резонанс, возникающий вследствие взаимодействия с нерезонансным

возбужденным сверхтонким уровнем. Рассмотрено влияние величины сверхтонкого расщепления основ-

ного и возбужденного состояний, а также температуры на величину сдвига КПН-резонанса.

DOI: 10.31857/S0044451021110018

никающее просветление среды принято ассоцииро-

вать с эффектом электромагнитно-индуцированной

1. ВВЕДЕНИЕ

прозрачности (ЭИП) [5, 6]. Характерные особенно-

сти, присущие эффектам КПН и ЭИП, позволяют

Среди двухфотонных резонансов в газах, кото-

их использовать в таких приложениях, как кванто-

рые позволяют избавиться от доплеровского уши-

вые стандарты частоты [7-10], спектроскопия сверх-

рения, особое место занимает явление когерентного

высокого разрешения [11, 12], лазеры без инверсии

пленения населенностей (КПН) [1-4]. При взаимо-

[13-15], квантовые магнитометры [16,17], устройства

действии бихроматического лазерного поля с трех-

записи и обработки квантовой информации [18-21].

уровневой (в простейшем случае) квантовой систе-

Исторически так сложилось, что преобладающая

мой возникает такое квантовое суперпозиционное

часть работ по исследованию явления КПН была

состояние, которое не взаимодействует с излучени-

выполнена в ячейках, содержащих активные ато-

ем. В эксперименте это проявляется как возникно-

мы и буферный газ. В таких ячейках давление па-

вение пика пропускания в спектре поглощения из-

ров буферного газа для снижения длины свободного

лучения, причем ширина этого пика может быть на

пробега щелочных атомов примерно на шесть (и бо-

несколько порядков уже, чем естественная ширина

лее) порядков превосходит давление паров щелочно-

линии оптического перехода. В случае, когда име-

го металла. В этом случае негативное влияние сте-

ют место данные особенности, говорят о явлении

нок существенно снижается, и в эксперименте на-

КПН. Возбуждение эффекта КПН подразумевает,

блюдается сужение резонанса КПН. С другой сторо-

чтобы оба оптических поля были сопоставимы по

ны, в отсутствие буферного газа атомы щелочного

интенсивностям. Однако резонанс КПН может так-

металла могут двигаться практически без столкно-

же иметь место, когда одно поле является сильным,

вений. В этом случае движение атомов приводит к

а другое пробным. Такой тип возбуждения и воз-

иным эффектам по сравнению со случаем наличия

буферного газа.

^* E-mail: andrey.litvinov@mail.ru

611

К. А. Баранцев, А. С. Курапцев, А. Н. Литвинов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

При формировании КПН-резонанса возникает

анализируются суммарный сигнал резонанса КПН

ряд нетривиальных особенностей. В частности, в

(проинтегрированный по скоростям) и зависимость

разреженном газе движение приводит к сужению

его формы от температуры, величины сверхтонко-

двухфотонного резонанса [22]. Авторами работы [22]

го расщепления основного и возбужденного состоя-

было теоретически рассмотрено возбуждение Λ-схе-

ний. В конце этого раздела приводятся зависимости

мы методом спектроскопии пробного поля (интен-

светового сдвига КПН-резонанса от величины сверх-

сивность пробной волны много меньше интенсив-

тонкого расщепления для различных частот Раби.

ности сильного поля) и показано, что при движе-

В данной работе мы ограничимся рассмотрением

нии атомов КПН-резонанс испытывает существен-

только D₁-линии щелочных атомов, поскольку она

ное сужение по сравнению со случаем неподвиж-

состоит из двух уровней, что позволяет наиболее яр-

ных атомов. В работе [23] продемонстрировано, что

ко и физически прозрачно наблюдать особенности,

при относительно небольшой величине вынуждаю-

связанные с совместным влиянием движения атомов

щего поля ширина линии ЭИП пропорциональна

и наличия сверхтонкой структуры возбужденного

квадратному корню из интенсивности и не зави-

уровня. При этом стоить отметить, что для D₂-ли-

сит от доплеровской ширины. Данный эффект был

нии картина более сложная ввиду наличия больше-

также рассмотрен для Λ-схемы. Наблюдаемый эф-

го количества сверхтонких подуровней, что приво-

фект схож с эффектом лазерно-индуцированного

дит к ухудшению контраста резонансов КПН, как

сужения [24]. В работе [25] были экспериментально

показано в работах [31,32]. Полученные результаты,

подтверждены особенности, обнаруженные в рабо-

в первую очередь, носят фундаментальный харак-

тах [22,23]. Рассмотренные выше особенности линии

тер и позволяют понять, как формируется сигнал

КПН-резонанса были выполнены в модели Λ-схемы,

КПН-резонанса каждой скоростной группой атомов

а в качестве возбуждения использовался метод спек-

при наличии сверхтонкого расщепления возбужден-

троскопии пробного поля (возбуждался ЭИП-резо-

ного уровня. Здесь важно отметить, что движение

нанс). В работах [26, 27] обнаружено, что наличие

атомов является дополнительной степенью свободы,

сверхтонкого расщепления возбужденного уровня

поэтому приводит к новым физическим явлениям.

может приводить к искажению крыльев ЭИП-ре-

зонанса. Экспериментальные подтверждения дан-

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ных особенностей были исследованы в работе [28].

В случае, когда частоты Раби возбуждающих полей

Рассмотрим ансамбль щелочных атомов при

примерно равны (имеет место эффект КПН), фор-

ненулевой температуре в поле плоской электромаг-

ма КПН-резонанса также искажается. Кроме того,

нитной волны с двумя несущими частотами (рис. 1).

в ячейках с буферным газом это также приводит

Волна распространяется вдоль оси z, и вектор ее на-

к сдвигу КПН-резонанса [29, 30]. Можно ожидать,

пряженности может быть записан следующим обра-

что в разреженном газе эффект, связанный с сов-

зом:

местным влиянием движения атомов и сверхтонкого

расщепления возбужденного уровня, должен значи-

E(z, t) = e₁E₁ exp[-i(ω₁t - k₁z)] +

тельно усилиться.

+ e₂E2 exp[-i(ω₂t - k₂z)] + c.c.,

(1)

Настоящая работа посвящена исследованию сов-

местного влияния движения атомов и сверхтонко-

где E_j , e_j , k_j — в общем случае комплексная ампли-

го расщепления возбужденного состояния на фор-

туда напряженности электрического поля, единич-

му резонанса КПН в разреженном газе. Главный

ный вектор вдоль направления поляризации элект-

результат работы — установление факта появления

рического поля и волновое число (j = 1, 2).

светового сдвига КПН-резонанса в такой системе. В

Разобьем нашу систему на две подсистемы. Одна

разд. 2 подробно рассматривается теоретическая мо-

соответствует атомам, двигающимся вдоль направ-

дель, выводятся основные уравнения для матрицы

ления распространения электромагнитной волны, а

плотности в адиабатическом приближении. Полу-

другая — в противоположном. Будем рассматривать

чено алгебраическое уравнение, позволяющее най-

модель, в которой атомы имеют четыре энергетичес-

ти световой сдвиг КПН-резонанса для конкретной

ких уровня: два основных, |1〉 и |2〉, соответствую-

скоростной группы. В разд. 3.1 представлена форма

щих сверхтонкому расщеплению s-состояния, и два

резонанса КПН для каждой скоростной группы ато-

возбужденных, |3〉 и |4〉, соответствующих расщеп-

мов. Подробно рассматривается влияние сверхтон-

лению p-состояния (см. рис. 1). Частоты поля ω₁ и

кой структуры возбужденного уровня. В разд. 3.2

ω₂ близки к частотам переходов |1〉 ↔ |3〉 и |2〉 ↔ |3〉

612

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Особенности совместного влияния движения атомов...

V = -d · E = ℏΩ1 exp[-i(ω₁t - k₁z)]|3〉〈1|+

+ ℏΩ₂ exp[-i(ω₂t - k₂z)]|3〉〈2| +

+ ℏκΩ₁ exp[-i(ω₁t - k₁z)]|4〉〈1| +

+ ℏqΩ2 exp[-i(ω₂t - k₂z)]|4〉〈2| + h.c.,

(4)

где

d=e

d — оператор вектора дипольного момен-

та атомов, Ω_j = E_j d3j /ℏ — частоты Раби падающих

полей (j = 1, 2). Здесь предположено, что поляри-

зации падающих волн сонаправлены c вектором ди-

польного момента атомов (e_d · e1,2 = 1), а элементы

матрицы дипольного момента d₁₂ = 0 в силу того,

что электродипольный переход |1〉 ↔ |2〉 запрещен;

κ = d₄₁/d₃₁, q = d₄₂/d₃₂ — отношения матричных

элементов дипольного момента.

Будем рассматривать одномерную задачу, в ко-

торой мы полагаем, что фронт падающей вол-

Рис. 1. Схема энергетических уровней активных атомов и

ны является плоским и бесконечным (см. форму-

возбуждаемые переходы; ω_hfs и ω34 — частоты сверхтон-

лу (1)). Тогда матрица плотности будет зависеть

кого расщепления соответственно основного и возбужден-

только от проекции скорости атома на направление

ного уровней

распространения излучения, т. е. от координаты z:

ρ(p, r, t) = ρ(v, z, t), где v = v_z .

Выполним замену, выделяющую в недиагональ-

с отстройками соответственно Δ₁ и Δ₂, ω₃₄ — часто-

ных элементах матрицы плотности быстроосцилли-

та сверхтонкого перехода между уровнями возбуж-

рующий множитель:

денного состояния |3〉 и |4〉

Атомный ансамбль считаем разреженным. Кол-

ρge = ρge exp [-i(ωgt - kgz)] ,

(5)

лективными эффектами, обусловленными резонанс-

g = 1,2, e = 3,4,

ным диполь-дипольным межатомным взаимодей-

ствием, будем пренебрегать [33, 34]. Состояние ан-

самбля будем описывать с помощью одноатомной

ρ₁₂ = ρ₁₂ exp[-i(ω₁ - ω₂)t + i(k₁ - k₂)z)],

(6)

матрицы плотности ρ(p, r, t), которая в представле-

нии Вигнера по поступательным степеням свободы

где ρ_nm(v, z) = 〈n|ρ(v, z)|n〉, после чего восполь-

атома удовлетворяет следующему квантовому кине-

зуемся приближением вращающейся волны. Тогда,

тическому уравнению:

пренебрегая когерентностями ρ₃₄, получим систе-

му уравнений для одноатомной матрицы плотнос-

(

)

∂

ти [29]:

▽ ρ(p, r, t) =

∂t

[

]

∂ρ₁₁

H, ρ(p,r,t) +

R{ρ(p,r,t)},

(2)

= -iΩ₁ ρ₁₃ + iΩ∗1 ρ₃₁ - iκΩ₁ ρ₁₄ +

ℏ

∂t

∂z

(

)

+ iκ^∗Ω∗1 ρ₄₁ +

ρ₃₃ + κ²ρ₄₄

+ Γ∥ (ρ₂₂ - ρ₁₁),

(7)

где p = mv — импульс атома, m — масса атома,

H_—

гамильтониан, учитывающий взаимодействие атома

с внешним полем,

R — оператор релаксации.

∂ρ₂₂

Гамильтониан представим в виде

H =

H₀ +

= -iΩ₂ ρ₂₃ + iΩ∗2 ρ₃₂ - iqΩ₂ ρ₂₄ +

∂t

∂z

где

(

)

+iq^∗Ω∗2ρ₄₂ +

ρ₃₃ + q²ρ₄₄

+ Γ∥ (ρ₁₁ - ρ₂₂),

(8)

∑

H₀ =

ε_n|n〉〈n|, n = 1, . . ., 4

(3)

∂ρ₃₃

— гамильтониан системы в отсутствие поля, а

V —

= iΩ₁ ρ₁₃ - iΩ∗1 ρ₃₁ + iΩ₂ ρ₂₃ -

∂t

∂z

оператор взаимодействия с полем, в дипольном при-

- iΩ∗2 ρ₃₂ - γρ₃₃,

(9)

ближении имеющий вид

613

К. А. Баранцев, А. С. Курапцев, А. Н. Литвинов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

∂ρ₄₄

ρ₃₃, ρ₄₄ возбужденных состояний и оптических ко-

= iκΩ₁ ρ₁₄ - iκ^∗Ω∗1 ρ₄₁ + iqΩ₂ ρ₂₄ -

∂t

∂z

герентностей ρ₁₃, ρ₂₃, ρ₁₄, ρ₂₄. Используя условие

-iq^∗Ω∗2ρ₄₂ -

(κ² + q²)ρ₄₄,

(10)

нормировки

^∑ρ_ii(v) = 1, получим систему уравне-

ний для населенностей ρ₁₁, ρ₂₂ нижних уровней и

, которая может быть выражена

когерентности ρ₁₂

∂ρ₁₂

= iΩ∗1 ρ₃₂ - iΩ₂ ρ₁₃ + iκ^∗Ω∗1 ρ₄₂ -

через вещественную R и мнимую J части:

∂t

∂z

− iqΩ₂ρ₁₄+(i[(Δ₂-Δ₁)+(k₁-k₂)v]-Γ₁₂])ρ₁₂,

(11)

∂ρ₁₁

2Ω2R

(G + G₃₄)(ρ₁₁ - ρ₂₂) -

∂t

γ^′

4Ω2R

∂ρ₁₃

(F + F₃₄)J + 2Γ_∥(ρ₂₂ - ρ₁₁),

(16)

= -iΩ∗1ρ₁₁ - iΩ∗2 ρ₁₂ + iΩ∗1ρ₃₃ +

γ^′

∂t

∂z

+ [-i(Δ₁ - k₁v) - γ^′]ρ₁₃,

(12)

∂ρ₂₂

2Ω2R

(G + G₃₄)(ρ₁₁ - ρ₂₂) +

∂t

γ^′

4Ω2R

∂ρ₁₄

(F + F₃₄)J + 2Γ_∥(ρ₁₁ - ρ₂₂),

(17)

= -iκ^∗Ω∗1ρ₁₁ - iq^∗Ω∗2 ρ₁₂ +

γ^′

∂t

∂z

+ iκ^∗Ω∗1ρ₄₄ + [-i(Δ₁ - ω₃₄ - k₁v) - γ^′]ρ₁₄,

(13)

∂R

= RΓ₁₂ + J(δ_R + Δk_sv)-

∂t

2Ω2R

Ω2R

∂ρ₂₃

(G + G₃₄)R -

(G + G₃₄)(ρ₁₁ + ρ₂₂),

(18)

= -iΩ∗1 ρ₂₁ - iΩ∗2ρ₂₂ + iΩ∗2ρ₃₃ +

γ^′

∂t

∂z

+ [-i(Δ₂ - k₂v) - γ^′]ρ₂₃,

(14)

∂J

= -R(δ_R + Δk_sv) - JΓ₁₂ -

∂t

2Ω2R

Ω2R

∂ρ₂₄

(G + G₃₄)J +

(F + F₃₄)(ρ₁₁ - ρ₂₂).

(19)

= -iκ^∗Ω∗1 ρ₂₁ - iq^∗Ω∗2ρ₂₂ +

γ^′

∂t

∂z

В системе уравнений (16)-(19) введены следую-

+ iq^∗Ω∗2ρ₄₄ + [-i(Δ₂ - ω₃₄ - k₂v) - γ^′]ρ₂₄.

(15)

щие обозначения:

Здесь γ — скорость спонтанного распада возбужден-

γ′2

ного состояния, γ^′ — скорость распада оптических

γ′2 + (Δ_L - k_sv)²

(20)

когерентностей, Γ_∥ — продольная скорость релак-

γ′2

сации основного состояния, Γ₁₂ — поперечная ско-

G₃₄ =

γ′2 + (Δ_L - k_sv - ω₃₄)

рость релаксации основного состояния (Γ_∥ ≈ Γ₁₂/2).

Все эти скорости распада обусловлены взаимодей-

(Δ_L - k_sv) γ^′

F =

ствием атома с вакуумным термостатом.

γ′2 + (Δ_L - k_sv)²

(21)

Система уравнений (7)-(15) может быть решена

(Δ_L - k_sv - ω₃₄) γ^′

только численно. Далее мы рассмотрим адиабати-

F₃₄ =

γ′2 + (Δ_L - k_sv - ω₃₄)

ческое приближение, в котором будем полагать

Уравнения для населенностей ρ₃₃ и ρ₄₄ возбуж-

Ω₁₂ ≪ γ^′, γ, ρ₃₃, ρ₄₄ ≪ ρ₁₁, ρ₂₂.

денных состояний, а также суммарная населенность

возбужденного состояния для конкретной ско-

ρ_exc

Мы также будем пренебрегать многократным рассе-

ростной группы могут быть выражены следующим

янием фотонов в среде [35, 36] и положим, что сре-

образом:

да является оптически-тонкой. Кроме того, не бу-

2Ω2R

дем рассматривать эффекты, связанные с конечной

ρ₃₃(v) =

G(v)(1 + 2R(v)),

γγ^′

длиной ячейки, т. е. ∂ρ/∂z = 0. Также сделаем сле-

(22)

дующие допущения:

2Ω

ρ₄₄(v) =

G₃₄(v)(1 + 2R(v)),

κ = q= 1, Ω₁ = Ω₂ = Ω_R, k₁ ≈ k₂ = k_s,

γγ^′

ρ_exc(v) = ρ₃₃(v) + ρ₄₄(v).

(23)

Δ₁ ≈ Δ₂ = Δ_L.

Обозначим k₁ - k₂ = Δk_s, Δ₁ - Δ₂ = δ_R — двух-

Нетрудно видеть, что система уравнений (16)-(19)

переходит при устремлении ω₃₄

→ ∞ в систему

фотонная отстройка, ρ₁₂ = R + iJ. Проведем адиа-

батическое исключение переменных населенностей

уравнений для Λ-схемы [9].

614

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Особенности совместного влияния движения атомов...

Рассмотрим стационарный режим, т. е. положим

цы плотности и исключая одно уравнение, например

∂/∂t = 0 в системе уравнений (16)-(19). Используя

(17), найдем аналитические выражения для ρ₁₂(v),

условие нормировки ρ₁₁(v) + ρ₂₂(v) = 1 для матри-

R(v), J(v):

Fγ^′(δ_R + Δkv)Ω2R - γ′2(δ_R + Δkv)² - 4Ω4R

F² +

G²)

ρ₁₂(v) = -

(24)

γ′2(δ_R + Δkv)² + Ω4R

F² +

G²)

2Ω2R

F² +

G²)

отстройка Δ_L = 0, получим алгебраическое уравне-

R(v) =

(25)

γ′2(δ_R + Δkv)² + Ω4R

F² +

G²)

ние, которое определяет все основные экстремумы.

Один из этих экстремумов соответствует световому

γ^′Ω2R

^G(δ_R + Δkv)

сдвигу δ_LS КПН-резонанса для определенной ско-

J (v) =

(26)

γ′2(δ_R + Δkv)² + Ω4R

F² +

G²)

ростной группы:

(

)

где Δk — однофотонная отстройка. Подставляя эти

F2- +

выражения в (22), (23), найдем суммарную населен-

γ′2 + (k_sv)²

γ′2 + (k_sv + ω₃₄)²

ность возбужденного уровня:

(

)

δ_LS + Δkv

2Ω2R

γ′2(δ_LS + Δkv)² + 4Ω4R

F2- +

)

ρ_exc(v) =

γγ^′

(

)

(

)

F²⁺ +

4Ω2R

F² +

G²)

γ′2 + (k_sv)²

γ′2 + (k_sv - ω₃₄)²

× G(v)

(27)

(

)

γ′2(δ_R+Δkv)²+Ω4R

F²+G2)

δ_LS - Δkv

(31)

Здесь введены следующие обозначения:

γ′2(δ_LS - Δkv)² + 4Ω4R

F²⁺ +

)

^G(v) = G(v) + G₃₄(v),

(28)

3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

F (v) = F (v) + F₃₄(v).

(29)

Экспериментальная реализация эффекта КПН в

большинстве случаев предполагает, что регистриру-

Перейдем к рассмотрению атомов, находящихся

емый сигнал сформирован атомами от всех скорост-

в двух скоростных группах, +k_sv и -k_sv. Это отра-

ных групп. Такая ситуация наблюдается, когда ато-

жает ситуацию, когда имеются две скоростные груп-

мы имеют тепловое распределение. С другой сторо-

пы атомов — одни двигаются вдоль направления

ны, в эксперименте может быть реализована такая

распространения лазерного излучения, другие — в

ситуация, когда имеет место селекция по скоростям

обратном. Далее будем использовать индексы «+»

атомов, которая типична для пучковых стандартов

и «-» в выражениях для

^G(v),

F (v) и ρ_exc(v), со-

частоты [37]. Один из вариантов такого стандарта

ответствующие двум скоростным группам, +k_sv и

частоты может быть реализован на эффекте КПН

-k_sv. Найдем суммарную населенность ρ^sexc(v), со-

[38,39]. Ниже мы исследуем обе ситуации: в разд. 3.1

ответствующую двум скоростным группам:

рассматривается форма резонанса КПН для отдель-

ных скоростных групп атомов; в разд. 3.2 — суммар-

2Ω2R

ρ^sexc(v) =

(G+(v) +

G_-(v))+

ный вклад от всех скоростных групп атомов в фор-

γγ^′

му резонанса КПН. Отметим, что мы пренебрегаем

(

)

влиянием стенок и рассматриваем модель так назы-

2Ω2R

4Ω2R

F²⁺ +

)G+(v)

ваемой бесконечной среды. Такой подход оправдан

γγ^′ γ′2(δ_R +Δkv)² +Ω4R

F²⁺ +

)

и имеет место на практике в случае, когда размеры

(

)

ячейки значительно (в несколько раз) превосходят

2Ω2R

4Ω2R

F2- +

)G-(v)

(30)

длину волны λ микроволнового перехода. Типичные

γγ^′ γ′2(δ_R -Δkv)² +Ω4R

F2- +

)

значения λ = 4.4 см в атомарных парах⁸⁷Rb, λ =

= 3.3 см в¹³³Cs. В работе [40] проводились экспе-

Для того чтобы найти сдвиг КПН-резонанса, нам

рименты, где длина ячейки с метаном составляла

необходимо взять производную от суммарной насе-

8 м, а в [41] использовалась многопроходная погло-

ленности по двухфотонной отстройке и приравнять

щающая ячейка длиной 18 м, причем эффективная

ее к нулю (∂ρ^sexc(v)/∂t = 0). Полагая, что лазерная

длина взаимодействия составила 108 м.

615

К. А. Баранцев, А. С. Курапцев, А. Н. Литвинов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

3.1. Форма резонанса КПН для отдельной

ражении (31). Тогда можно получить следующую

скоростной группы атомов

оценку для величины сдвига КПН-резонанса:

Рассмотрим атомы, двигающиеся со скоростями

2k_sΔkv²(Δk²v²(γ² + k2sv²) - 4Ω4R)

δ_LS (|v|) =

(34)

+v и -v. В этом случае суммарные населенности

(3Δk²v²(γ² + k2sv²) - 4Ω4R)ω₃₄

ρs,+exc(v) и ρ^s,-exc(v) возбужденного уровня для этих

откуда видно, что зависимость δ_LS от ω₃₄ носит ги-

скоростных групп могут быть определены следую-

перболический характер. По мере роста величины

щими выражениями:

ω₃₄ вклад от уровня |4〉 уменьшается. Это связано с

тем, что чем больше ω₃₄, тем выше должна быть ско-

2Ω2R

ρs,+exc(v) =

рость атомов, которые могли бы взаимодействовать

γγ^′

[

]

с уровнем |4〉. Однако доля таких атомов значитель-

4Ω2R

F²⁺+G2+)G+(v)

но меньше, и это приводит к уменьшению влияния

G₊(v)+

(32)

γ′2(δ_R+Δkv)²+Ω4R

F²⁺+G2+)

уровня |4〉.

3.2. Форма резонанса КПН для суммарного

вклада от всех скоростных групп

2Ω2R

ρ^s,-exc(v) =

γγ^′

В этом разделе мы проанализируем суммарный

[

]

4Ω2R

F2-+G2-)G-(v)

сигнал КПН-резонанса от всех скоростных групп.

G_-(v)+

(33)

Полагая, что атомы имеют равновесное распределе-

γ′2(δ_R-Δkv)²+Ω4R

F2-+G2-)

ние по скоростям, запишем выражение для суммар-

ного сигнала КПН-резонанса:

На рис.

представлены зависимости ρs,+exc(v) и

∫

∞

ρ^s,-exc(v) от двухфотонной отстройки для трех

скоростных групп: v

= ±v_T /100, v

= ±v_T /33,

ρ_exc =

ρ^sexc(v)M(v)dv,

v = ±v_T/10 (v_T — наиболее вероятная скорость).

-∞

(35)

(

)

В случае, когда скорость атомов равняется v

v²

M (v) =

exp

= ±v_T /100 (рис. 2a), провалы, соответствующие

√π v_T

v²

резонансу КПН, расположены достаточно близко.

Их сдвиг определяется величиной δ_LS = ±Δk_sv. На

Контрастом КПН-сигнала будем называть величину

вставке к рис. 2a можно наблюдать, что КПН-ре-

ρ_exc(δ_R)

зонанс, соответствующий ρ^sexc(v)

[ρs,+exc(v) +

C(δ_R) = 1 -

(36)

ρ^N

exc

+ ρ^s,-exc(v)]/2, сдвинут в положительную область

отстроек. Отличие от нуля светового сдвига связано

где ρ^Nexc — населенность возбужденного состояния в

с достаточно близким (ω₃₄ = 20γ) расположением

отсутствие двухфотонного резонанса.

уровня 4. Атомы, двигающиеся со скоростями +v

На рис. 3 представлен контраст КПН-резонанса

и -v, по-разному «воспринимают» этот уровень,

в зависимости от двухфотонной отстройки. Проана-

поскольку расстояния до него равны соответственно

лизируем вначале его зависимость для различных

ω₃₄ - Δk_sv и ω₃₄ + Δk_sv.

значений ω₃₄ (рис. 3a). На этом рисунке можно ви-

С ростом скорости атомов расщепление меж-

деть, что имеет место КПН-резонанс, который цен-

ду пиками КПН-резонанса, соответствующими

трирован вблизи нулевой двухфотонной отстройки.

ρs,+exc(v) и ρ^s,-exc(v), увеличивается. При скорос-

Этот пик обусловлен уровнем, находящимся в усло-

тях v

= ±v_T /33 наблюдается дублет резонанса

виях однофотонного резонанса (в нашем случае это

КПН (рис. 2б). Дальнейшее увеличение скорости

уровень |3〉). Также можно наблюдать, что имеет ме-

приводит к тому, что расщепление между КПН-ре-

сто второй пик, положение которого зависит от ве-

зонансами растет. При v

= ±v_T /10 суммарный

личины ω₃₄, причем чем сильнее расщепление ω₃₄,

сигнал КПН-резонанса представляет собой два

тем больше величина сдвига этого пика относитель-

отдельных провала (рис. 2в).

но нулевого (δ_R = 0) резонанса. Наличие этого пи-

Величина сдвига КПН-резонанса, определяемо-

ка обусловлено нерезонансным влиянием уровня |4〉.

го ρ^sexc(v), задается формулой (31). В случае, когда

Стоит отметить, что при увеличении частоты Раби

Ω_R ≪ γ^′ ≪ ω₃₄, мы можем пренебречь скоростью

и при ω₃₄ < 25γ для выбранных параметров расчета

релаксации низкочастотных когерентностей в вы-

этот пик начинает сливаться с нулевым резонансом.

616

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Особенности совместного влияния движения атомов...

Рис. 2. Населенности ρ^iexs, i = s, + (кривые 1), i = s, - (2), i = s (3) возбужденного состояния в зависимости от

двухфотонной отстройки для разных скоростных групп при v = vT /100 (а), vT /33 (б), vT /10 (в). Параметры расчета

следующие: ΩR = 2 · 10⁵ с-1, ΓL = 0.5γ, ω34 = 20γ, T = 55^◦C. На вставке приведена кривая 3 в увеличенном масштабе

Рис. 3. (В цвете онлайн) Контраст КПН-резонанса в зависимости от двухфотонной отстройки для различных значений

величины сверхтонкого расщепления возбужденного уровня при T = 55^◦C (а) и различных значений температуры при

ω34 = 75γ (б). Параметры расчета следующие: ΩR = 2 · 10⁵ с-1, ΓL = 0.5γ

Теперь обратимся к зависимости контраста

Подчеркнем, что ширина второго пика практиче-

КПН-резонанса для разных температур (рис. 3б).

ски такая же, как и основного. Его положение может

Видно, что амплитуда второго пика существенно

быть описано оценочной формулой

зависит от температуры, а именно, при понижении

δk

температуры его амплитуда уменьшается. Одно-

δp2 =

ω₃₄.

временно с этим происходит увеличение амплитуды

основного пика.

Эта формула имеет следующий физический смысл:

ω₃₄/k — скорость атомов, доплеровский сдвиг кото-

617

К. А. Баранцев, А. С. Курапцев, А. Н. Литвинов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Рис. 4. (В цвете онлайн) Контраст КПН-резонанса в зави-

Рис. 5. Зависимости светового сдвига от величины сверх-

симости от двухфотонной отстройки для различных значе-

тонкого расщепления возбужденного уровня для раз-

ний Δk. Параметры расчета следующие: ΩR = 2 · 10⁵ с-1,

личных частот Раби. Параметры расчета следующие:

ΓL = 0.5γ, ω34 = 75γ, T = 55^◦C

ΓL = 0.5γ, T = 55^◦C

области ω₃₄ < 20γ сдвиг КПН-резонанса значитель-

рых равен ω₃₄. Для атомов, двигающихся с такой

но увеличивается. Это связано с гиперболической

скоростью, внешние поля квазирезонансны перехо-

зависимостью сдвига от ω₃₄. В пределе, если мы

дам |1〉 → |4〉 и |2〉 → |4〉 . Эти атомы и формируют

устремим ω₃₄ → 0, то сдвиг пропадет. В этом слу-

двухфотонный резонанс, отстроенный на δ_R. В то

чае отсутствует сверхтонкое расщепление, а уровень

же время число таких атомов уменьшается с ростом

|3〉 будет действовать с удвоенной силой. С другой

как температуры, так и расщепления ω₃₄ (уменьша-

стороны, по мере роста ω₃₄ величина сдвига будет

ется число атомов в хвосте максвелловского распре-

уменьшаться, поскольку как уже было сказано вы-

деления). Поэтому на рисунках и наблюдается соот-

ше, уровень |4〉 отдаляется и доля атомов, которые

ветствующее уменьшение амплитуды второго пика.

могут взаимодействовать с уровнем |4〉, уменьшает-

Отметим, что если в расчете ограничить диапазон

ся. Это приводит к тому, что сдвиг КПН-резонанса

скоростей так, чтобы исключить из него атомы со

стремится к нулю. Таким образом, имеет место экс-

скоростью ω₃₄/k, то этот вторичный пик исчезнет.

тремум для данной зависимости, т. е. существует об-

Зависимость положения второго пика от двух-

ласть, где этот сдвиг максимален. Для наших значе-

фотонной отстройки для разных Δk представлена

ний частот Раби этот экстремум лежит в диапазоне

на рис. 4. Для вырожденного случая (Δk = 0) вто-

3γ < ω₃₄ < 15γ. С ростом частоты Раби величина

рой пик сливается с первым, и мы наблюдаем один

сдвига растет, так как увеличивается скорость оп-

нулевой резонанс. При этом амплитуда основного

тической накачки.

пика возрастает, и он становится более узким. Ес-

ли состояние не вырождено (это имеет место при

возбуждении КПН на сверхтонких переходах ще-

лочных атомов), то контур более широкий. В этом

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

случае можно наблюдать появление второго пика. В

то же время наиболее существенное различие про-

В работе рассмотрено совместное влияние

является для относительно небольших частот Раби,

движения атомов и сверхтонкого расщепле-

поскольку в этом случае световое уширение мало

ния возбужденного состояния на формирование

и, следовательно, влияние доплеровских эффектов

КПН-резонанса в разреженном газе. Получено ал-

становится значительнее.

гебраическое уравнение, описывающее суммарный

Рассмотрим зависимость сдвига δ_LS КПН-резо-

сдвиг КПН-резонанса для конкретной скорост-

нанса от величины сверхтонкого расщепления воз-

ной группы. Показано, что наличие сверхтонкого

бужденного уровня. Эти зависимости представлены

расщепления приводит к световому сдвигу КПН-ре-

на рис. 5 для различных значений частот Раби. В

зонанса как для отдельных скоростных групп, так

618

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Особенности совместного влияния движения атомов...

и для суммарного сигнала по всем скоростным

13.

О. А. Кочаровская, Я. И. Ханин, Письма в ЖЭТФ

группам атомов. Установлено, что в определенном

48, 581 (1988).

диапазоне значений сверхтонкого расщепления

14.

S. Harris, Phys. Rev. Lett. 62, 1022 (1989).

возбужденного уровня возникает дополнительный

пик, соответствующий КПН-резонансу на втором

15.

A. Imamoglu and S. Harris, Opt. Lett. 14, 1344

«нерезонансном» сверхтонком уровне. Проанали-

(1989).

зированы зависимости амплитуды и положения

этого пика от величины сверхтонкого расщепления,

16.

M. Stahler, R. Wynands, S. Knappe et al., Opt. Lett.

температуры и от разности волновых векторов двух

27, 1472 (2002).

оптических переходов.

17.

A. Akulshin, A. Celikov, and V. Velichansky, Opt.

Comm. 84, 139 (1991).

Благодарности.

Авторы

признательны

И. М. Соколову за полезные обсуждения.

18.

M. D. Lukin, Rev. Mod. Phys. 75, 457 (2003).

Финансирование. Работа выполнена при фи-

нансовой поддержке Министерства науки и высше-

19.

M. Fleischhauer, A. Imamoglu, and J. P. Marangos,

го образования в рамках Государственного задания

Rev. Mod. Phys. 77, 633 (2005).

(базовая часть), проект № FSEG-2020-0024.

20.

R. Zhang and X.-B. Wang, Phys. Rev. A 94, 063856

(2016).

ЛИТЕРАТУРА

21.

V. M. Datsyuk, I. M. Sokolov, D. V. Kupriyanov, and

M. D. Havey, Phys. Rev. A 77, 033823 (2008).

G. Alzetta, L. Moi, and G. Orriols, Nuovo Cim. B 36,

22.

А. В. Тайченачев, А. М. Тумайкин, В. И. Юдин,

5 (1976).

Письма в ЖЭТФ 72, 173 (2000).

E. Arimondo and G. Orriols, Lett. Nuovo Cim. 17,

23.

C. Y. Ye and A. S. Zibrov, Phys. Rev. A 65, 023806

333 (1976).

(2002).

H. R. Gray, R. M. Whitley, and C. R. Stroud, Opt.

24.

M. S. Feld and A. Javan, Phys. Rev. A 2, 177 (1969).

Lett. 3, 218 (1978).

25.

H. Lee, Yu. Rostovtsev, C. J. Bednar, and A. Javan,

Б. Д. Агапьев, М. Б. Горный, Б. Г. Матисов и др.,

Appl. Phys. B 76, 33 (2003).

УФН 163, 1 (1993).

26.

A. S. Sheremet, L. V. Gerasimov, I. M. Sokolov et al.,

М. Б. Горный, Б. Г. Матисов, Ю. В. Рождествен-

Phys. Rev. A 82, 033838 (2010).

ский, ЖЭТФ 68, 728 (1989).

27.

K. A. Barantsev, S. V. Bozhokin, A. S. Kuraptsev et

E. Arimondo, Prog. Opt. 35, 257 (1996).

al., JOSA B 38, 1613 (2021).

J. Vanier, Appl. Phys. B 81, 421 (2005).

28.

M. Bhattarai, V. Bharti, V. Natarajan et al., Phys.

Lett. A 383, 191 (2019).

С. А. Зибров, В. Л. Величанский, А. С. Зибров и

др., Письма в ЖЭТФ 82, 534 (2005).

29.

G. V. Voloshin, K. A. Barantsev, and A. N. Litvinov,

Quant. Electr. 50, 1023 (2020).

G. Kazakov, B. Matisov, A. Litvinov, and I. Mazets,

J. Phys. B 40, 3851 (2007).

30.

Г. В. Волошин, К. А. Баранцев, Е. Н. Попов,

А. Н. Литвинов, ЖЭТФ 156, 5 (2019).

10.

S. A. Zibrov, I. Novikova, D. F. Phillips et al., Phys.

Rev. A 81, 013833 (2010).

31.

M. Stahler, R. Wynands, S. Knappe et al., Opt. Lett.

27, 1472 (2002).

11.

D. Peter, D. Schwindt, S. Knappe et al., Appl. Phys.

32.

A. V. Taichenachev, V. I. Yudin, V. L. Velichansky

Lett. 85, 6409 (20004).

et al., Phys. Rev. A 73, 013812 (2006).

12.

V. V. Yashuk, J. Granwehr, D. F. Kimbal et al., Phys.

33.

A. S. Kuraptsev and I. M. Sokolov, Phys. Rev. A 90,

Rev. Lett. 93, 160801 (2004).

012511 (2014).

619