ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 5 (11), стр. 631-642

УСТОЙЧИВАЯ ГЕНЕРАЦИЯ БОКОВОЙ ПОЛОСЫ ВТОРОГО

ПОРЯДКА В ОПТОМЕХАНИЧЕСКОЙ ФОТОН-МОЛЕКУЛЯРНОЙ

СИСТЕМЕ С НАКАЧКОЙ ФОНОНАМИ

Хуа-Цзюнь Чен^*, Юн-Лэй Чен, Пхэн-Цзие Чжу, Бао-Чхэн Хоу

School of Mechanics and Photoelectric Physics,

Anhui University of Science and Technology

Huainan Anhui 232001, China

Поступила в редакцию 30 апреля 2021 г.,

после переработки 30 апреля 2021 г.

Принята к публикации 28 мая 2021 г.

(Перевод с английского)

ROBUST SECOND-ORDER SIDEBAND GENERATION IN A PHOTONIC-MOLECULE

OPTOMECHANICS WITH PHONON PUMP

Hua-Jun Chen, Yong-Lei Chen, Peng-Jie Zhu, Bao-Cheng Hou

Теоретически изучена генерация боковой полосы второго порядка (ГБПВП) при помощи фононной на-

качки оптомеханической фотон-молекулярной системы при резонансных условиях и вдали от резонанса.

Обнаружено, что частотная зависимость эффективности генерации имеет четыре боковых пика в резо-

нансе при изменении разных параметров, включая константу связи резонаторов J, отношение δ, харак-

теризующее два резонатора, амплитуду f и фазу φm фононной накачки. Эффективность ГБПВП может

быть существенно увеличена при одновременном использовании связи резонаторов и накачки фононами.

Более того, ГБПВП наблюдается и в состояниях вдали от резонанса, в которых происходит расщепле-

ние мод в зависимости от значения разных параметров. В нашей работе найден перспективный способ

создания управляемой оптической нелинейности.

DOI: 10.31857/S0044451021110031

проведены измерения массы

[14-17]. С другой

стороны, ОМСИ дают возможность изучать нели-

нейные явления, связанные со взаимодействием

1. ВВЕДЕНИЕ

света и вещества, в том числе оптическую биста-

бильность [18-22] и четырехволновое смешивание

В течение последних лет оптомеханические

(ЧВС) [23-26]. Недавно в различных ОМСИ был

системы (ОМСИ), в которых происходит взаи-

обнаружен еще один нелинейный оптомеханический

модействие оптических и фононных мод, стали

эффект — генерация боковой полосы высшего по-

активно исследоваться [1]. Были изучены различ-

рядка [27-39]. При использовании в ОМСИ мощного

ные оптомеханические явления, которые могут

лазера накачки (частоты ω_p) и маломощного лазера

способствовать применению оптомеханических

зондирования (частоты ω_s) ГБПВП появляется на

устройств, в том числе охлаждение к основному

частотах ω_p ± 2δ (δ = ω_s - ω_p — это отстройка час-

состоянию [2-4], оптомеханически-индуцированная

тоты зондирования от частоты накачки), где знак

прозрачность (ОМИП) [5-8], явления медленного

«+» («-») соответствует верхней (нижней) частоте

и быстрого света [8-10], сжатого света [11-13] и

боковой полосы второго порядка. Изучение боковой

полосы второго порядка важно для исследования

^* E-mail: chenphysics@126.com

631

Хуа-Цзюнь Чен, Юн-Лэй Чен, Пхэн-Цзие Чжу, Бао-Чхэн Хоу

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

нелинейных оптомеханических взаимодействий

[40-43], а ее генерация позволит с большей точ-

ностью измерять электрический заряд [44, 45] и

микромассы

[46], управлять распространением

света

[30, 47], генерировать оптические частот-

ные гребенки

[35] и создавать преобразователи

частоты [48].

Однако поскольку ГБПВП в ОМСИ является

достаточно слабой, важным становится вопрос о

том, как получить и усилить ГБПВП. Усилению

ГБПВП было уделено большое внимание, и этого

удалось достичь в разных оптомеханических систе-

мах, например, в изготовленных из нелинейного ма-

Рис. 1. Схематическое изображение оптомеханической фо-

териала Керра [36], в оптомеханических системах с

тон-молекулярной системы с фононной накачкой, которая

механической накачкой [28], а также в гибридной

состоит из оптомеханического резонатора c, возбуждаемо-

оптомеханической связанной двухуровневой систе-

го двухтоновым лазерным излучением, и вспомогательно-

ме [37]. В настоящей работе для получения усиления

го резонатора a высокой добротности. Параметр J харак-

ГБПВП мы исследуем оптомеханическую фотон-

теризует силу связи двух резонаторов посредством затуха-

молекулярную систему, которая содержит два резо-

ющего поля

натора с модами шепчущей галереи (МШГ), один из

которых является оптомеханическим резонатором, а

второй — обычным оптическим. Механические коле-

c и механической модой b посредством давления

бания в системе возбуждаются посредством слабой

излучения, введем силу оптомеханической связи

когерентной фононной накачки, а связь обоих резо-

g = g0x0 (g0 = ωc/R и R — радиус резонатора

наторов J контролируется изменением расстояния

c). Нулевые колебания положения механического

√

между ними, как это наблюдалось эксперименталь-

осциллятора даются величиной x₀

ℏ/2Mω_m

но [49]. Усиление ГБПВП достигается путем управ-

— эффективная масса МШГ-резонатора c)

ления амплитудой f и фазой φ_m механической на-

[5]. Второй МШГ-резонатор является вспомога-

качки, отношением уровней затухания в резонато-

тельным, в нем возбуждается оптическая мода a,

рах δ и силой их связи J соответственно в резонанс-

характеризуемая затуханием κ_a и частотой ω_a.

ном режиме и в режиме разбалансировки.

Этот резонатор связан с оптомеханическим резона-

тором посредством затухающего поля. В системе

отсчета, которая вращается с частотой накачки ω_p,

полный гамильтониан оптомеханической фотон-мо-

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

лекулярной системы можно разбить на три части

На рис. 1 показано схематическое изображение

[1, 5, 43, 50]:

оптомеханической фотон-молекулярной системы,

H₀ = ℏΔ_cc^†c + ℏΔ_aa^†a + ℏω_mb^†b,

которая состоит из двух МШГ-микрорезонаторов,

имеющих непосредственную связь [5,49,50]. Первый

H_int = ℏJ(a^†c + ac^†) - ℏgc^†c(b^† + b),

(1)

МШГ-резонатор c является оптомеханическим

H_dri = iℏ√κceεp(c† - c) + iℏ√κaeεs ×

резонатором, который характеризуется затуханием

×(c^†e^-iδt - ce^iδt) + 2qF_m cos(ω_qt + φ_m),

κ_c и частотой ω_c резонаторной моды, возбуждаемой

сильным полем накачки в присутствии слабого

где H₀, H_int и H_dri — соответственно гамильтониа-

зондирующего поля, проходящего по коническому

ны свободной системы, взаимодействия и накачки,

оптоволокну. Вследствие действия силы светово-

а Δ_c = ω_c - ω_p и Δ_a = ω_a - ω_p — соответствующее

го давления поле световой волны, заведенное в

рассогласование частот резонатора и поля накачки,

оптомеханический резонатор c, индуцирует ради-

c(a) и c^†(a^†) — бозонные операторы уничтожения и

альную дыхательную моду(механическую моду b)

рождения резонаторных мод c и a, b^†(b) — оператор

с частотой ω_m и скоростью затухания γ_m. Кроме

рождения (уничтожения) механической моды.

того, на механическую моду b оказывает влияние

В гамильтониане H_int первый член описывает

слабая когерентная накачка фононами. Чтобы

взаимодействие между двумя модами оптического

учесть взаимодействие между оптической модой

МШГ-резонатора, где J — величина связи двух ре-

632

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Устойчивая генерация боковой полосы второго порядка. . .

√

зонаторов, которой можно управлять, меняя рассто-

∂_ta = -(iΔ_a + κ_a)a - iJc +

2κ_aa_in,

(3)

яние между резонаторами [49, 51]. Когда связь J

между двумя резонаторами слабая, энергия не мо-

∂2tq + γ_m∂_tq + ω2mq = 2gω_mc^†c -

жет легко передаваться от резонатора c резонато-

- 2qF_m cos(ω_qt + φ_m) + ξ,

(4)

ру a. В обратном случае с ростом величины связи

J при уменьшении расстояния между резонаторами

где вакуумные шумы на входе резонатора обозначе-

энергия может легко перетекать между ними [52].

ны c_in и a_in с нулевым средним значением, а ξ —

Второй член соответствует оптомеханическому вза-

сила Ланжевена, которая возникает, благодаря вза-

имодействию, характеризуемому связью g.

имодействию между механическим резонатором и

Гамильтониан накачки H_dri состоит из трех чле-

его окружением. Поскольку поле зондирования зна-

нов. Первые два из них содержат классические по-

чительно слабее поля накачки, то, следуя обычным

ля, распространяющиеся по волноводу при накач-

процедурам квантовой оптики, мы записали каж-

ке оптомеханической фотон-молекулярной системы.

дый из гейзенберговских операторов в виде суммы

Это поле накачки (частоты ω_p) и поле зондирова-

его среднего значения в стационарном состоянии и

ния (частоты ω_s). Их амплитуды определяются вы-

малых флуктуаций с нулевым средним значением:

√

ражениями соответственно ε_p =

P_c/ℏω_p и ε_s =

√

O = O_s + δO (O = c,a,q).

P_s/ℏω_s; δ = ω_s - ω_p — рассогласование частот

накачки и зондирования. Поле лазерного излучения

Стационарные значения определяются из следую-

из оптоволокна заводится в резонатор c и характе-

щих уравнений:

ризуется скоростью ухода фотонов во внешнюю сре-

(iΔ^′ + κ_c)c_s - iJa_s =

√κ_ceε_p,

(5)

ду κ_ce, после чего мощность заведенного излучения

определяется при помощи сбалансированной схемы

(iΔ_a + κ_a)a_s + iJc_s = 0,

(6)

гомодинного детектирования. В адиабатическом ре-

2g |c_s|²

q_s =

(7)

жиме происходит накачка только одной моды ре-

ω_m

зонатора ω_c, а спектральный диапазон уединенно-

где Δ^′ = Δ_c - gq_s.

го резонатора c/2πR (c — скорость света в вакууме,

Следует заметить, что всем операторам можно

а R — радиус МШГ-резонатора) значительно пре-

поставить в соответствие их ожидаемые значения

вышает частоту его колебаний. Следовательно, рас-

в приближении среднего поля 〈Qc〉 = 〈Q〉〈c〉 [6].

сеянием фотонов в другие моды резонатора мож-

Для простоты мы пренебрегаем некоторыми незна-

но пренебречь. Затухание резонаторной моды κ =

чительными квантовыми корреляциями без потери

= κ_c = κ_a = κ_ex + κ₀, где κ₀ — собственное зату-

общности. После линеаризации путем пренебреже-

хание фотона, а κ_ex — затухание за счет того, что

ния нелинейными флуктуационными членами урав-

энергия покидает оптический резонатор, переходя в

нения Ланжевена для ожидаемых значений записы-

форму распространяющейся волны [5]. Для просто-

ваются в виде нелинейных уравнений

ты мы используем условие κ_ex = κ₀ = κ_ae = κ_ce и

считаем, что ω_c = ω_a. Последний член определяет

〈∂_tδc〉 = -(iΔ^′ + κ_c)〈δc〉 + igc_s 〈δq〉 - iJ 〈δa〉 +

возбуждение механической моды b слабой когерент-

ной фононной накачкой, параметр F_m определяется

√κ_ceε_se^-iδt + ig 〈δc〉〈δq〉,

(8)

как

√

〈∂_tδa〉 = -(iΔ_a + κ_a)〈δa〉 - iJ 〈δc〉,

(9)

ℏ

Fm =

2ℏ Mω_m

∂2tδq + γm 〈∂tδq〉 + ω2m 〈δq〉 = 2gωm(c∗s 〈δc〉 +

где f — амплитуда накачки, φ_m — фаза, а частота

ω_q = ω_s - ω_p.

+c_s δc† + δc† 〈δc〉) - 2qFm cos(ωqt + φm)

(10)

Квантовые уравнения Ланжевена, которые опи-

и частотный отклик в стационарном состоянии со-

сывают эволюцию системы, можно получить, добав-

держит множество частотных компонент.

ляя к уравнению Гейзенберга члены, описывающие

Учитывая ГБПВП, но пренебрегая более высо-

затухание и входной шум резонатора и механиче-

кими порядками, мы используем следующий анзац:

ских мод [1, 5, 50]:

〈δO〉 = O₁₊e^-iδt + O1-e^iδt + O₂₊e-i2δt +

∂_tc = -(iΔ_c + κ_c)c + igcq - iJa +

√κ_ce ×

√

+O2-ei2δt,

(11)

× (ε_p + ε_se^-iδt) +

2κ_cc_in,

(2)

633

Хуа-Цзюнь Чен, Юн-Лэй Чен, Пхэн-Цзие Чжу, Бао-Чхэн Хоу

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

где O₁₊ (O1- ) и O₂₊ (O2-) соответствуют верх-

(iΔ^′ +κ_c-iδ)c₁₊ = -igc_sq₁₊-iJa₁₊+√κ_exε_s,

ним (нижним) боковым полосам первого и второго

порядков. Подставляя уравнение (11) в уравнения

(iΔ_a + κ_a - iδ)a₁₊ = -iJc₁₊,

(12)

(8)-(10) и пренебрегая членами порядка малости вы-

ше второго, мы получаем три группы уравнений сле-

q₁₊ = 2gλ₁(c^∗sc₁₊ + c_sc∗1-) + F_mλ₁e-iφm.

дующего вида. Первая группа описывает эволюцию

боковой полосы первого порядка

Решая эти уравнения, мы получаем

igc_sΛ∗2F_mλ₁e-iφm + (Λ∗2 - 2ig²λ₁ |c_s|²)√κ_exε_s

c₁₊ =

(13)

Λ₁(Λ∗2 - 2ig²λ₁ |c_s|²) - 2ig²Λ∗2λ₁ |c_s|²

igc^∗sλ₁(Λ∗2 - 2ig²λ₁ |c_s|²)(2gc^∗s√κ_exε_s - F_mΛ₁e^-iφm )

c∗1- =

(14)

(Λ∗2 - 2ig²λ₁ |c_s|²)[Λ₁(Λ∗2 - 2ig²λ₁ |c_s|²) + 2ig²λ₁Λ∗2 |c_s|²]

λ₁Λ∗2(Λ∗2 - 2ig²λ₁ |c_s|²)(2gc^∗s√κ_exε_s - F_mΛ₁e^-iφm )

q₁₊ =

(15)

(Λ∗2 - 2ig²λ₁ |c_s|²)[Λ₁(Λ∗2 - 2ig²λ₁ |c_s|²) + 2ig²λ₁Λ∗2 |c_s|²]

где

Λ₁ = -iΔ^′ + κ_c - iδ + iJη₁, Λ₂ = iΔ^′ + κ_c + iδ + iJη₂,

η₁ = -iJ/(iΔ_a + κ_a - iδ), η₂ = -iJ/(iΔ_a + κ_a + iδ),

λ₁ = ω_m/(ω2m - iγ_mδ - δ²).

Вторая группа уравнений описывает эволюцию ГБПВП

igc₁₊q₁₊(Λ∗4 - 2ig²λ₂ |c_s|²) - 2ig²λ₂c_sΛ∗4c₁₊c∗1- - 2g³ |c_s|² λ₂c∗1-q₁₊

c₂₊ =

(16)

Λ₃(Λ∗4 - 2ig²λ₂ |a₀|²) + 2ig²Λ∗4λ₂ |a₀|²

Решая эти уравнения, мы получаем

igc₁₊q₁₊(Λ∗4 - 2ig²λ₂ |c_s|²) - 2ig²λ₂c_sΛ∗4c₁₊c∗1- - 2g³ |c_s|² λ₂c∗1-q₁₊

c₂₊ =

(17)

Λ₃(Λ∗4 - 2ig²λ₂ |a₀|²) + 2ig²Λ∗4λ₂ |a₀|²

где

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Λ₃ = -iΔ^′ + κ_c - 2iδ + iJη₃,

3.1. Генерация боковой полосы второго

порядка при Δ_c

Λ₅ = -iΔ^′ + κ_c + 2iδ + iJη₄,

Мы используем следующие значения парамет-

η₃ = -iJ/(iΔ_a + κ_a - 2iδ),

ров

[5]: сила оптомеханической связи g₀/2π

η₂ = -iJ/(iΔ_a + κ_a + 2iδ),

= 12 ГГц/нм, коэффициент механического затуха-

ния γ_m/2π = 41 кГц, частота механического резо-

λ₂ = ω_m/(ω2m - 2iγ_mδ - 4δ²).

натора ω_m/2π = 51.8 МГц, коэффициенты затуха-

ния двух резонаторов κ_c/2π = κ_a/2π = 15 МГц, эф-

В случае ГБПВП здесь нас интересует поведе-

фективная масса M = 20 нг, длина волны лазера

ние верхней боковой полосы второго порядка. Для

λ₀ = 750 нм, добротность механической моды Q =

удобства мы определяем эффективность генерации

= 1500. Связь J между двумя резонаторными мода-

боковой полосы второго порядка следующим обра-

ми играет ключевую роль и может влиять на рас-

зом:



пространение зондирующего луча. Эксперименталь-

_-

√κ_exc₂₊



η=

(18)

но установлено, что связь J зависит от расстояния



.

ε_s

между резонатором c и резонатором a [49] (с ростом

Это безразмерный параметр, характеризующий эф-

расстояния между резонаторами сила связи умень-

фективность ГБПВП.

шается экспоненциально). В данном случае сила

634

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Устойчивая генерация боковой полосы второго порядка. . .

Рис. 2. Эффективность ГБПВП η при разных значениях параметров J, f и Δc = 0

связи J ∼

√κ_cκ_a. Эффективность ГБПВП можно

сти эффективности ГБПВП η можно видеть пять

определить при помощи уравнения (18). Вследствие

пиков. Из них один лоренцевский пик находится

оптомеханических взаимодействий могут излучать-

вблизи Δ_s = 0, два боковых пика располагаются

ся поля с частотами ω_p ± 2nδ, где n — целое число,

около Δ_s = ±ω_m и два других боковых пика рас-

характеризующее порядок боковых полос [27]. Из-

полагаются около Δ_s = ±0.5ω_m. При учете второго

лучаемое поле с частотой ω_p + 2δ связано с верхней

вспомогательного оптического резонатора a фотоны

боковой полосой второго порядка, а поле с частотой

будут перетекать из одного оптического резонатора

ω_p - 2δ связано с нижней боковой полосой второго

в другой. Эффективность ГБПВП η изображена на

порядка. В данной работе мы рассматриваем толь-

рис. 2б как функция Δ_s/ω_m для J = 0.5κ_c и f = 0.

ко верхнюю боковую полосу второго порядка и ис-

Видно, что четыре боковых пика, расположенных

следуем ГБПВП при разных рассогласованиях час-

соответственно при Δ_s = ±ω_m и Δ_s = ±0.5ω_m су-

тот. На рис. 2 мы исследуем разные режимы с точ-

щественно увеличены, а высота лоренцевского пика

ки зрения двух ключевых параметров, влияющих

при Δ_s = 0 меньше, чем на рис. 2а. Это объясняет-

на ГБПВП: силы связи резонаторов J и амплиту-

ся тем, что между двумя резонаторами происходит

ды накачки f. На рис. 2a эффективность ГБПВП

перенос энергии (который определяется числом фо-

показана как функция нормированного рассогласо-

тонов в резонаторе). На рис. 2в изображен случай

вания частоты зондирования Δ_s/ω_m со значениями

J = 0 и f = 0.5фН (1 фН=10-15Н), т.е. рассмот-

J = 0 и f = 0, т.е. в системе, куда входит лишь

рен только один оптомеханический резонатор c без

один оптомеханический резонатор c. На зависимо-

вспомогательного резонатора a, а механическая мо-

635

Хуа-Цзюнь Чен, Юн-Лэй Чен, Пхэн-Цзие Чжу, Бао-Чхэн Хоу

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Рис. 3. Эффективность ГБПВП η как функция Δs/ωm при разных значениях параметров

да b в оптомеханическом резонаторе возбуждается

Δ_s = ω_m, заметно увеличивается с ростом амплиту-

при помощи накачки фононами. Видно, что четыре

ды возбуждения f. При этом величины других боко-

боковых пика эффективности ГБПВП η в Δ_s = ±ω_m

вых пиков, расположенных при Δ_s = ±0.5ω_m, меня-

и Δ_s = ±0.5ω_m инвертированы по сравнению со слу-

ются слабо. Кроме того, на рис. 3д-з изучено влия-

чаем, изображенным на рис. 2а. Если взять оба па-

ние фазы φ_m на ГБПВП при постоянной амплитуде

раметра, J и f, ненулевыми, то инвертированные,

возбуждения f = 0.2 фН. С ростом фазы φ_m от зна-

как и на рис. 2в, пики интенсивности ГБПВП стано-

чения φ_m = π/3 до значения φ_m = 3π/2 величина

вятся более выраженными, как показано на рис. 2г,

бокового пика ГБПВП η при Δ_s = -ω_m растет, а

если сравнивать их амплитуды с амплитудами пи-

величина пика при Δ_s = ω_m уменьшается, в то вре-

ков на рис. 2а.

мя как боковые пики при Δ_s = ±0.5ω_m меняются

слабо. Следовательно, амплитуда возбуждения f и

Из данных на рис. 2 следует, что оба парамет-

фаза φ_m являются двумя параметрами, которые мо-

ра J и f влияют на эффективность ГБПВП η. Ни-

гут влиять на боковые пики эффективности ГБПВП

же мы обсуждаем эти параметры подробнее. На

η при Δ_s = ±ω_m.

рис. 3а-г показана эффективность ГБПВП η как

функция величины Δ_s при увеличении амплитуды

Чтобы исследовать влияние вспомогательного

возбуждения f от значения f = 0.2 фН до значения

оптического резонатора, рассмотрим отношение δ =

f = 0.8фН при постоянной мощности P_c = 0.1 мВт,

= κ_a/κ_c (κ_c = ω_c/Q_c и κ_a = ω_a/Q_a, где Q_c и Q_a —

а также постоянных силе связи J = 0.5κc и фа-

добротности двух оптических резонаторов). Наша

зе φ_m

= π/2. На этих рисунках хорошо видно,

цель состоит в том, чтобы изучить параметры, вли-

что величина бокового пика эффективности ГБПВП

яющие на ГБПВП. κ — время жизни моды в резона-

η, расположенного при Δ_s

= -ω_m, уменьшает-

торе, которое зависит от частоты и от добротности

ся, а величина бокового пика, расположенного при

резонатора. Известно, что в случае моды в резонато-

636

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Устойчивая генерация боковой полосы второго порядка. . .

Рис. 4. Эффективность ГБПВП η как функция Δs при разных значениях параметра δ и Δc = 0

ре трудно достичь одновременно больших значений

значения δ = 0.2 до значения δ = 2.0. При этом

Q и малых V вследствие дифракционного предела.

проявляются две интересные особенности. Первая

Для оптического резонатора маленькие значения V

из них заключается в том, что величина боково-

достигаются за счет большого коэффициента ради-

го пика эффективности ГБПВП η при Δ_s = ω_m

ационного затухания, что приводит к уменьшению

больше, чем пика при Δ_s = -ω_m в случае, когда

Q. Несмотря на то, что различные типы резонато-

δ < 1. В случае δ > 1, наоборот, величина боко-

ров обладают собственными уникальными свойства-

вого пика при Δ_s = ω_m меньше, чем величина пи-

ми, приходится искать компромисс между больши-

ка при Δ_s = -ω_m. Вторая особенность заключается

ми значениями Q и малыми значениями V . Тем не

в том, что при δ < 1 на зависимости эффективно-

менее, если связать исходный оптомеханический ре-

сти ГБПВП η наблюдается расщепление моды (окно

зонатор c с большим затуханием со вспомогатель-

прозрачности), в то время как для δ > 1 расщеп-

ный модой резонатора a, имеющей большое значе-

ление пропадает и на зависимости эффективности

ние Q, но и большое значение V , можно сильно по-

ГБПВП η проявляется лоренцевский пик. Для при-

влиять на ГБПВП. На рис. 4 изображена эффек-

мера в случае δ = 0.2, соответствующем условию

тивность ГБПВП η как функция Δ_s для несколь-

δ < 1, κa = 0.2κc, т. е. Qa > Qc, а если δ = 2.0,

ких различных значений отношения δ. Видно, что

что соответствует случаю δ > 1, κ_a = 2.0κ_c, т. е.

величины четырех боковых пиков эффективности

Q_a < Q_c. Следовательно, при изучении генерации

ГБПВП η при Δ_s = ±ω_m и Δ_s = ±0.5ω_m после-

боковых полос высоких порядков в ОМСИ можно

довательно уменьшаются с ростом отношения δ от

рассматривать оптомеханический резонатор с боль-

637

Хуа-Цзюнь Чен, Юн-Лэй Чен, Пхэн-Цзие Чжу, Бао-Чхэн Хоу

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Рис. 5. Эффективность ГБПВП η при разных значениях параметров J, f и Δc = ωm

шим затуханием κ, не принимая во внимание другие

один минимум без пиков при Δ_s = 0.5ω_m. Мы рас-

параметры, если этот резонатор соединен со вспомо-

считали пик с меньшей частотой (левый пик, рас-

гательным оптическим резонатором с регулируемой

положенный при Δ_s = 0.97ω_m, нормированная ин-

добротностью Q. Это предложение можно использо-

тенсивность которого примерно равна 0.74 %), а так-

вать как основу для изучения нелинейных явлений

же пик с большей частотой (правый пик, располо-

в составных ОМСИ.

женный при Δ_s = 1.03ω_m, с нормированной интен-

сивностью, равной примерно 0.58 %). Как показа-

но на рис. 5б, в случае оптомеханической фотон-

3.2. ГБПВП при Δ_c = ω_m

молекулярной системы с дополнительным резона-

тором a (при J = 1.5κ_c) амплитуда двойного пи-

Сместим величину отстройки от резонанса

(Δc = 0) в сторону красной полосы (Δc = ωm)

ка эффективности ГБПВП η уменьшается и вели-

чины обоих пиков становятся примерно одинаковы-

и изучим ГБПВП в области различных парамет-

ров. На рис. 5 построена зависимость эффективно-

ми (величина левого пика порядка 0.25 % и вели-

чина правого пика порядка 0.23 %). Вдобавок, по

сти ГБПВП η от Δ_s при разных значениях двух

сравнению с рис. 5а, на зависимости эффективности

параметров J и f в случае, когда выполнено усло-

ГБПВП появляются еще два пика, а именно пик a,

вие Δ_c = Δ_a = ω_m. Как показано на рис. 5а, для

расположенный при 0.34ω_m, и имеющий интенсив-

системы с одним оптомеханическим резонатором c

ность 0.05 %, и пик b, расположенный при 0.71ω_m,

на зависимости эффективности ГБПВП η имеется

и имеющий интенсивность 0.08 %. Чтобы продемон-

структура, состоящая из двух пиков с минимумом

между ними, расположенным при Δ_s = ω_m, и еще

стрировать влияние фононной накачки, на рис. 5в

638

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Устойчивая генерация боковой полосы второго порядка. . .

Рис. 6. Эффективность ГБПВП η как функция Δs/ωm при фиксированном значении фазы φm = π/2 и разных значениях

амплитуды возбуждения f (а) и при фиксированном значении f = 0.1 фН и разных значениях фазы φm (б)

изображены результаты для системы с единствен-

Поскольку амплитуда возбуждения влияет на

ным оптомеханическим резонатором c, возбуждае-

эффективность ГБПВП η, исследуем эту амплиту-

мым фононной накачкой с амплитудой f = 0.1 фН.

ду f и связанный с ней параметр — фазу φ_m. На

Если сравнивать с рис. 5а, то амплитуда двойно-

рис. 6а построена эффективность ГБПВП η для че-

го пика на зависимости эффективности ГБПВП η

тырех разных значений амплитуды возбуждения f

увеличивается, при этом величина левого пика при-

и для мощности накачки P_c = 0.1 мВт, силы связи

мерно равна 0.81 %, а величина правого пика при-

J = 1.5κ_c и фазы φ_m = π/2. Без фононной накач-

мерно равна 0.62 %. Таким образом, можно утвер-

ки (черная кривая на рис. 6а) ГБПВП характери-

ждать, что эффективность ГБПВП η увеличивается

зуется расщеплением мод, но с ростом f от значе-

при фононной накачке. Наконец, если оба парамет-

ния f = 0 до значения f = 0.2 фН ГБПВП транс-

ра J и f отличны от нуля, то на зависимости эф-

формируется, усиливаясь по величине при одновре-

фективности ГБПВП η увеличиваются амплитуды

менном уменьшении расщепления при Δ_s = ω_m. На

как двойного пика, так и пиков a и b, если прово-

рис. 6б построена эффективность ГБПВП η для че-

дить сравнение с рис. 5б, то при этом величина ле-

тырех различных значений фазы φ_m при фиксиро-

вого пика примерно равна 0.34 %, величина правого

ванной амплитуде возбуждения f = 0.1 фН. Для

пика — 0.27 %, а величины пиков a и b составляют

Δ_s = ω_m в случае, когда φ_m < π, например, когда

соответственно 0.055 % и 0.1 %.

φm = π/3 или φm = π/2, амплитуда левого пика на

639

Хуа-Цзюнь Чен, Юн-Лэй Чен, Пхэн-Цзие Чжу, Бао-Чхэн Хоу

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Рис. 7. Эффективность ГБПВП η как функция Δs при разных значениях параметра δ и Δc = ωm

зависимости интенсивности ГБПВП η больше, чем

ный при 0.68ω_m с амплитудой 0.21 %. Как показано

правого. В случае, когда φ_m > π, например, когда

на рис. 7б, с ростом отношения δ до значения δ = 0.5

φm = 4π/3 или φm = 3π/2, наблюдается обратное со-

правый пик на зависимости эффективности ГБПВП

отношение, т. е. для Δ_s = ω_m амплитуда левого пи-

η, являющийся частью двойного пика при Δ_s = ω_m,

ка на зависимости интенсивности ГБПВП η меньше,

увеличивается, а расщепление моды при Δ_s = 0.5ω_m

чем правого, при меньшей величине особенностей.

пропадает. Кроме того, уменьшаются величины пи-

На вставках более подробно показаны участки зави-

ков a и b. Как видно на рис. 7в, при δ = 1 величины

симости эффективности ГБПВП η при Δ_s = 0.5ω_m

пиков a и b уменьшаются еще больше, а эффектив-

и Δ_s =ω_m.

ность ГБПВП η при Δ_s = 0.5ω_m и при Δ_s = ω_m уве-

личивается. В случае δ > 1, как показано на рис. 7г,

В случае отстройки в сторону красной полосы,

на зависимости эффективности ГБПВП η наблюда-

т. е. при Δ_c = ω_m, мы приводим данные для раз-

ется только одна структура с двойным пиком и ми-

ных значений отношения δ, которое является еще

нимумом при Δ_s = ω_m, а также еще один минимум

одним параметром, влияющим на эффективность

без окружающих его пиков при Δ_s = 0.5ω_m. При

ГБПВП η. С ростом этого отношения δ от значения

этом два лоренцевских пика a и b не наблюдаются.

δ = 0.2 до значения δ = 2.0 эффективность ГБПВП

η заметно меняется. На рис. 7а, когда δ = 0.2, по-

мимо структур с двойными пиками и минимумами

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

при Δ_s = 0.5ω_m и Δ_s = ω_m появляются два но-

вых пика, лоренцевский пик a, расположенный при

Мы теоретически изучили ГБПВП в оптоме-

0.32ω_m с амплитудой 0.087 %, и пик b, расположен- ханической фотон-молекулярной системе, которая

640

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Устойчивая генерация боковой полосы второго порядка. . .

возбуждается двухтоновым лазерным излучением

11.

D. W. C. Brooks, T. Botter, S. Schreppler et al.,

и слабой когерентной фононной накачкой. В режи-

Nature 488, 476 (2012).

ме резонанса ГБПВП существенно возрастает при

12.

A. H. Safavi-Naeini, S. Gröblacher, J. T. Hill et al.,

изменении силы связи резонаторов J, отношения δ,

Nature 500, 185 (2013).

характеризующего оба резонатора, а также ампли-

13.

T. P. Purdy, P. L. Yu, R. W. Peterson et al., Phys.

туды f и фазы φ_m фононной накачки. При этом по-

Rev. X 3, 031012 (2013).

являются четыре боковых пика, расположенных со-

ответственно при Δ_s = ±ω_m и Δ_s = ±0.5ω_m. Вдали

14.

J. Zhu, S. K. Ozdemir, Y.-F. Xiao et al., Nat. Photon.

от резонанса зависимость эффективности ГБПВП

4, 46 (2010).

η демонстрирует переход от режима одного пика

15.

J. J. Li and K. D. Zhu, Phys. Rep. 525, 223 (2013).

к режиму расщепления мод, что напоминает яв-

ление линейной оптомеханически-индуцированной

16.

F. Liu and M. Hossein-Zadeh, IEEE Sensors J. 13,

прозрачности. В частности, при изменении двух па-

146 (2013).

раметров J и δ на зависимости ГБПВП появляются

17.

F. Liu, S. Alaie, Z. C. Leseman, and M. Hossein-Za-

два дополнительных пика. В нашей работе указаны

deh, Opt. Express 21, 19555 (2013).

способы увеличивать ГБПВП, не требующие усиле-

18.

E. A. Sete and H. Eleuch, Phys. Rev. A 85, 043824

ния сигналов, что позволит ослабить требования к

(2012).

эксперименту.

19.

R. Kanamoto and P. Meystre, Phys. Rev. Lett. 104,

Финансирование. Работа Хуа-Цзюнь Чена вы-

063601 (2010).

полнена при поддержке Государственного фонда

20.

T. P. Purdy, D. W. C. Brooks, T. Botter et al., Phys.

естественных наук Китая (гранты

№№ 11647001,

Rev. Lett. 105, 133602 (2010).

11804004), научного фонда китайской докторантуры

21.

D. Yan, Z. H. Wang, C. N. Ren et al., Phys. Rev.

(грант № 2020M681973) и фонда естественных наук

A 91, 023813 (2015).

провинции Аньхой (грант №1708085QA11).

22.

W. Xiong, D. Y. Jin, Y. Qiu et al., Phys. Rev. A 93,

023844 (2016).

ЛИТЕРАТУРА

23.

S. Huang and G. S. Agarwal, Phys. Rev. A 81, 033830

(2010).

1. M. Aspelmeyer, T. J. Kippenberg, and F. Marquardt,

Rev. Mod. Phys. 86, 1391 (2014).

24.

W. Z. Jia, L. F. Wei, Y. Li, and Y. X. Liu, Phys. Rev.

A 91, 043843 (2015).

2. A. D. O’Connell, M. Hofheinz, M. Ansmann et al.,

Nature 464, 697 (2010).

25.

X. W. Xu and Y. Li, Phys. Rev. A 92, 023855 (2015).

3. J. Chan, T. P. M. Alegre, A. H. Safavi-Naeini et al.,

26.

H. J. Chen, H. W. Wu, J. Y. Yang et al., Nanoscale

Nature 478, 89 (2011).

Res. Lett. 14, 73 (2019).

4. J. D. Teufel, T. Donner, D. Li et al., Nature 475, 359

27.

H. Xiong, L.-G. Si, A.-S. Zheng et al., Phys. Rev.

(2011).

A 86, 013815 (2012).

28.

H. Suzuki, E. Brown, and R. Sterling, Phys. Rev.

5. S. Weis, R. Rivière, S. Deléglise et al., Science 330,

A 92, 033823 (2015).

1520 (2010).

29.

C. Cao, S.-C. Mi, Y.-P. Gao et al., Sci. Rep. 6, 22920

6. G. S. Agarwal and S. Huang, Phys. Rev. A 81, 041803

(2016).

(2010).

30.

Y. Jiao, H. Lu, J. Qian et al., New J. Phys. 18, 083034

7. J. D. Teufel, D. Li, M. S. Allman et al., Nature 471,

(2016).

204 (2011).

31.

J. Li, Q. Xiao, and Y. Wu, Phys. Rev. A 93, 063814

8. A. H. Safavi-Naeini, T. P. M. Alegre, J. Chan et al.,

(2016).

Nature 472, 69 (2011).

32.

H. Xiong, L.-G. Si, X.-Y. Lu, and Y. Wu, Opt.

9. M. J. Akram, M. M. Khan, and F. Saif, Phys. Rev.

Express 24, 5773 (2016).

A 92, 023846 (2015).

33.

H. Xiong, Y.-W. Fan, X. Yang, and Y. Wu, Appl.

10. H. J. Chen, J. Appl. Phys. 124, 153102 (2018).

Phys. Lett. 109, 061108 (2016).

641

ЖЭТФ, вып. 5 (11)

Хуа-Цзюнь Чен, Юн-Лэй Чен, Пхэн-Цзие Чжу, Бао-Чхэн Хоу

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

34. C. Kong, H. Xiong, and Y. Wu, Phys. Rev. A 95,

44. C. Kong, H. Xiong, and Y. Wu, Phys. Rev. A 95,

033820 (2017).

35. L.-G. Si, L.-X. Guo, H. Xiong, and Y. Wu, Phys. Rev.

45. H. Xiong, L.-G. Si, and Y. Wu, Appl. Phys. Lett. 110,

A 97, 023805 (2018).

171102 (2017).

36. Y.-F. Jiao, T.-X. Lu, and H. Jing, Phys. Rev. A 97,

46. B. Wang, Z. X. Liu, H. Xiong, and Y. Wu, IEEE

013843 (2018).

Photon. J. 10, 6803908 (2018).

37. C. Kong, S. Li, C. You et al., Sci. Rep. 8, 1060 (2018).

47. L. D. Wang, J. K. Yan, X. F. Zhu, and B. Chen,

Physica E 89, 134 (2017).

38. K. C. Yellapragada, N. Pramanik, S. Singh, and

P. A. Lakshmi, Phys. Rev. A 98, 053822 (2018).

48. B. Chen, L. D. Wang, J. Zhang et al., Phys. Lett.

A 380, 798 (2016).

39. B. Chen, L. Shang, X.-F. Wang et al., Phys. Rev.

A 99, 063810 (2019).

49. B. Peng, S. K. Ozdemir, F. Lei et al., Nat. Phys. 10,

394 (2014).

40. K. Børkje, A. Nunnenkamp, J. D. Teufel, and

S. M. Girvin, Phys. Rev. Lett. 111, 053603 (2013).

50. H. Jing, S. K. Ozdemir, X. Y. Lü et al., Phys. Rev.

Lett. 113, 053604 (2014).

41. A. Kronwald and F. Marquardt, Phys. Rev. Lett.

111, 133601 (2013).

51. H. J. Chen, C. Z. Chen, Y. Li et al., Opt. Commun.

382, 73 (2017).

42. M.-A. Lemonde, N. Didier, and A. A. Clerk, Phys.

Rev. Lett. 111, 053602 (2013).

52. H. J. Chen, J. Appl. Phys. 124, 153102 (2018).

43. Y. C. Liu, Y. F. Xiao, Y. L. Chen et al., Phys. Rev.

53. D. B. Sohn, S. Kim, and G. Bahl, Nat. Photon. 12,

Lett. 111, 083601 (2013).

91 (2018).

642