ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 5 (11), стр. 643-660

ИСПАРЕНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ЧЕРНЫХ ДЫР,

БАРИОННАЯ АСИММЕТРИЯ И ТЕМНАЯ МАТЕРИЯ

А. Чаудхури^*, А. Долгов^**

Физико-астрономический факультет, Новосибирский государственный университет

630090, Новосибирск, Россия

Поступила в редакцию 22 марта 2021 г.,

после переработки 2 июля 2021 г.

Принята к публикации 3 июля 2021 г.

Достаточно легкие первичные черные дыры (ПЧД) могли испариться в очень ранней Вселенной и умень-

шить существовавшую ранее барионную асимметрию и/или замороженную плотность стабильных ре-

ликтовых частиц. Эффект особенно силен в случае распада ПЧД, когда и если они доминировали в

космологической плотности энергии. Величина уменьшения сначала рассчитывается аналитически при

упрощенном предположении о дельта-образном спектре масс ПЧД и в приближении мгновенного рас-

пада. В реалистичном случае экспоненциального распада и для широкого спектра масс ПЧД расчеты

выполнены численно. Возникающее в результате уменьшение асимптотической плотности суперсиммет-

ричных реликтов открывает для них более широкое окно по массам, чтобы стать жизнеспособными

кандидатами на роль носителей темной материи.

DOI: 10.31857/S0044451021110043

Масса внутри горизонта во Вселенной на стадии

доминирования излучения (RD) составляет

1. ВВЕДЕНИЕ

M_hor = m2Plt,

(1)

Первичные черные дыры могут быть достаточ-

где масса Планка равна m_Pl ≈ 2.176 · 10-5 г, а t —

но обильны в ранней Вселенной и даже какое-то

космологическое время (возраст Вселенной). Соот-

время доминировать в космологической плотности

ветственно, согласно пионерским оценкам ЗН, на-

энергии. В последнем случае они могут оказать су-

чальный момент создания ПЧД с массой M можно

щественное влияние на барионную асимметрию Все-

принять равным

ленной, на долю частиц темной материи, а также

привести к росту возмущений плотности на относи-

t_in(M) =

(2)

тельно небольших масштабах.

m²

Обычно считается, что первичные черные ды-

Более точные расчеты с учетом уравнения состоя-

ры (ПЧД) создаются согласно механизму Зельдо-

ния первичной плазмы приводят к несколько иному

вича - Новикова (ЗН) [1] (см. также [2]). Согласно

результату, но для наших приближенных оценок это

ЗН, ПЧД могли бы возникнуть, если возмущение

не слишком существенно.

плотности δρ/ρ на размере горизонта оказалось бы

Как правило, предполагается, что спектр масс

больше единицы. В таком случае эта область с более

ПЧД, созданных механизмом ЗН, очень узок. Для

высокой плотностью окажется внутри своего соб-

него обычно принимается степенная форма или да-

ственного гравитационного радиуса и превратится

же дельта-функция. Однако существует довольно

в черную дыру. В предположении спектра Харрисо-

много других сценариев образования ПЧД. Можно

на - Зельдовича [3, 4] первичных возмущений плот-

упомянуть, в частности, механизм, предложенный

ности подобный процесс создания ПЧД может при-

в работах [5, 6], который приводит к логнормаль-

вести к их значительной плотности.

ному распределению по массам и может, в прин-

^* E-mail: arnabchaudhuri.7@gmail.com

ципе, создавать ПЧД с массами до тысяч и даже

^** E-mail: dolgov@fe.infn.it

миллионов солнечных масс благодаря образованию

643

А. Чаудхури, А. Долгов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

зародышей ЧД во время космологической инфля-

сти на ранней стадии доминирования вещества. Ес-

ции. Другие механизмы образования ПЧД, стиму-

ли бы существовала эпоха доминирования ранних

лированные инфляцией, рассмотрены, например, в

ПЧД, возрастающие возмущения плотности могли

статьях [7, 8]. Работы по образованию ПЧД с рас-

бы создать небольшие скопления материи в совре-

ширенным спектром масс включают, в частности,

менной Вселенной, такие как шаровые скопления

статьи [9-12]. Возникновение ПЧД вследствие фа-

или даже карликовые галактики.

зового перехода в первичной плазме исследуется в

В рассмотренном ниже сценарии предполагает-

работе [13]. Недавний обзор образования массивных

ся, что Вселенная изначально находилась в состоя-

ПЧД можно найти в [14].

нии доминирования излучения, на так называемой

Логнормальный спектр масс стал довольно по-

RD-стадии, когда космологическая материя в основ-

пулярным в течение последних нескольких лет, по-

ном состояла из релятивистских частиц. Космологи-

скольку он хорошо описывает наблюдаемые массив-

ческая плотность энергии в эту эпоху была равна

ные черные дыры в современной Вселенной. В част-

3m2Pl

ности, анализ распределения по «чирп»-массам со-

ρ(1)rel =

(3)

32πt²

бытий, зарегистрированных LIGO, замечательно со-

гласуется с логнормальным спектром [15]. Разумеет-

а масштабный фактор эволюционировал как

ся, возможны другие спектры масс ПЧД, но задача

(

)1/2

изучения всех возможных спектров весьма сложна,

a_rel(t) = a(in)

(4)

поэтому мы ограничимся спектром в форме дель-

t_in

та-функции и приведем два примера расширенных

Если бы в этот период была создана достаточ-

спектров, а именно, плоский спектр и степенной

но большая плотность ПЧД и если бы ПЧД были

спектр, близкий по форме к логнормальному. Для

достаточно массивными, чтобы дожить до того мо-

обоих типов расширенных спектров предполагает-

мента, когда они начали доминировать во Вселен-

ся, что массы ПЧД ограничены некоторыми M_min

ной, то закон космологического расширения превра-

и M_max. Все три типа спектров приводят к срав-

тился бы в нерелятивистский, а плотность энергии

нимым результатам для коэффициентов подавления

стала бы асимптотически стремиться к

энтропии.

Мы будем рассматривать достаточно малые мас-

m2Pl

ρ_nr =

(5)

сы ПЧД, такие что черные дыры испарятся доста-

6π(t + t₁)²

точно рано, ранее первичного нуклеосинтеза (BBN).

Хотя такие короткоживущие ПЧД исчезли задолго

где t₁ определяется из условия равенства плотно-

стей энергии ρ_nr (5) и ρ(1)rel (3), что произошло бы в

до нашего времени, их влияние на современную Все-

ленную может быть хорошо заметно. С одной сторо-

момент равновесия, который мы обозначим как t_eq.

ны, распады ПЧД могут привести к значительному

Сравнивая эти два выражения, находим, что t₁ =

выбросу количества энтропии в первичную плазму

= t_eq/3, а t_eq можно найти из уравнений

и уменьшить величину ранее созданной барионной

)1/2

a_in

⁽t_in

ρ(in)BH

асимметрии или уменьшить относительную (по от-

ношению к фону реликтовых фотонов) плотность

a_eq

t_eq

ρ(in)

rel

частиц темной материи [16, 17]. С другой стороны,

см. ниже.

барионная асимметрия могла возникнуть при испа-

В конечном итоге все или значительная часть

рении ПЧД [18,19], да и темная материя также мог-

ПЧД испарилась, образовав релятивистскую мате-

ла быть создана в таком процессе. Однако мы пре-

рию, и при t = t₂ режим расширения вернулся к

небрежем вторым видом процессов и будем рассмат-

релятивистскому:

ривать лишь разбавление барионов и частиц темной

материи испарением ПЧД. Действительно, можно

3m2Pl

ρ(2)rel =

(6)

показать, что при выбранных значениях парамет-

32π(t + t₂)²

ров стабильные суперсимметричные реликты, обра-

зующиеся в процессе испарения ПЧД, будут давать

где t₂ определяется условием равенства ρ_nr (5) и ρ(2)rel

пренебрежимо малый вклад в плотность темной ма-

(6) в момент распада ПЧД, т. е. при t = τ_BH .

терии, см. Приложение A.

Конечно, приведенные выше оценки являются

Интересный хорошо известный эффект, не затро-

приблизительными и представлены здесь, чтобы по-

нутый в этой работе, — это рост возмущений плотно-

нять суть эффекта. Тем не менее они применяются

644

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Испарение первичных черных дыр, барионная асимметрия. ..

ниже для расчетов в приближении мгновенного рас-

ление плотности слабо взаимодействующих массив-

пада для мгновенного изменения режима расшире-

ных частиц (WIMP), может быть достаточно силь-

ния. Сравнение с точными расчетами продемонстри-

ным, чтобы позволить им быть реалистическими

ровало, что эти «мгновенные» результаты оказались

кандидатами на роль носителей темной материи,

довольно точными.

несмотря на то, что сила их взаимодействия типич-

В тепловом равновесии плотность энергии реля-

на для суперсимметрии, в частности, при сечении

тивистских частиц равна

аннигиляции, равном σ_annv ≈ α²/m2X при α ∼ 10-2.

Здесь m_X — масса X-частицы.

π²g_∗(T)T

ρ_rel =

(7)

Пространство параметров суперсимметрии, как

известно, существенно ограничено данными Боль-

где T — температура плазмы, g_∗(T ) — количество

шого адронного коллайдера (БАК) [22], но неко-

типов релятивистских частиц в плазме при темпе-

торые типы легчайших суперсимметричных частиц

ратуре T .

все еще остаются жизнеспособными кандидатами на

Как известно, см., например, [20, 21], энтропия

роль частиц темной материи [23, 24]. Дополнитель-

равновесной космологической плазмы с нулевым хи-

ное выделение энтропии, обсуждаемое в этой статье,

мическим потенциалом сохраняется в сопутствую-

может привести к более широкому классу возмож-

щем объеме:

ных легчайших суперсимметричных частиц носите-

ρ+P

a³ = const,

(8)

лей темной материи.

Работа построена следующим образом. В разд. 2

где ρ — плотность энергии плазмы, P — ее давление.

мы приводим простую оценку величины выделения

В обычных сценариях бариогенезиса несохране-

энтропии для случая ПЧД, имеющих фиксирован-

ние барионного числа происходило при очень высо-

ную массу (дельта-функция), приближения мгно-

ких температурах, а при низких температурах ба-

венного распада ПЧД и мгновенного перехода от

рионы эффективно сохранялись. Соответственно, в

начальной RD-стадии к стадии доминантности нере-

поздние космологические эпохи плотность барион-

лятивистской материи, или MD-стадии, и обратно.

ного числа N_B также сохранялась в сопутствующем

В разд. 3 численно получены решения для закона

объеме. Поэтому барионная асимметрия оставалась

космологической эволюции и выделения энтропии в

постоянной в ходе расширения Вселенной, если не

случае смеси релятивистской материи и распадаю-

было притока энтропии в плазму, т. е. имело место

щихся ПЧД с дельта-функционным спектром масс.

соотношение

Раздел 4 посвящен изучению эволюции для двух

примеров широкого распределения ПЧД по массам.

β = N_B/s = const.

(9)

В разд. 5 мы анализируем результаты и формули-

Есть несколько реалистичных механизмов про-

руем выводы. Приложение А посвящено расчетам

изводства энтропии в ранней Вселенной. Например,

плотности числа X-частиц, возникающих при испа-

энтропия вырастала в процессе электрослабого фа-

рении ПЧД, тема, которая несколько удалена от ос-

зового перехода, даже если это был переход второ-

новной линии статьи. Мы показываем там, что плот-

го рода (или мягкий кроссовер). Рост энтропии мог

ность частиц темной материи, образующихся при

быть на уровне порядка 10 % [17]. Если в ходе космо-

испарении ПЧД, недостаточно велика, чтобы ком-

логической эволюции произошел фазовый переход

пенсировать подавление энтропии. В Приложении B

первого рода, например в фазовом переходе КХД,

представлены выражения для аналитически вычис-

рост энтропии может быть гигантским. Некоторый

ленных интегралов, входящих в уравнения эволю-

рост энтропии может быть также вызван остаточ-

ции.

ной аннигиляцией неравновесных нерелятивистских

частиц темной материи после того, как они практи-

2. МГНОВЕННАЯ СМЕНА РЕЖИМОВ

чески отключились от плазмы (заморозились).

РАСШИРЕНИЯ И МГНОВЕННОЕ

В этой работе мы рассматриваем гипотетический

ИСПАРЕНИЕ

случай Вселенной, в которой на каком-то этапе до-

Рассмотрим простейшую модель ПЧД с фикси-

минировали ПЧД, и вычисляем уменьшение пред-

рованной массой M₀ и плотностью, на момент воз-

шествующей барионной асимметрии, а также от-

никновения равной

носительное уменьшение плотности частиц темной

материи (далее называемых X-частицами). Мы по-

dN_BH

кажем, что при разумном количестве ПЧД подав-

= μ31 δ(M - M₀),

(10)

645

А. Чаудхури, А. Долгов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

где μ₁ — постоянный параметр размерности массы.

Таким образом, условие достижения равенства

Все эти ПЧД были созданы одновременно в мо-

плотностей энергий релятивистской и нереляти-

мент времени t_in(M₀) = M₀/m2Pl, см. уравнение (2).

вистской компонент первичной плазмы до распада

Предположим, что доля плотности энергии (массы)

ЧД выглядит следующим образом:

ПЧД при рождении составляла

(

)]1/2

^[m

m_Pl

M_BH >

-1

≈

√

(17)

C ϵ²

Cϵ

ρ(in)BH

= ϵ ≪ 1.

(11)

ρ(in)

Согласно предположению о мгновенной смене ре-

rel

жима расширения масштабный фактор после того,

Если пренебречь испарением ПЧД и если взаи-

как достигается момент равенства плотностей энер-

модействием ПЧД с релятивистской материей мож-

гий релятивистской и нерелятивистской компонент,

но пренебречь, то оба ингредиента космической

т. е. при t > t_eq , начинает эволюционировать соглас-

плазмы эволюционируют независимо согласно зако-

но закону

нам

⁽t + t_eq/3)2/3

(in)

⁽a

a_nr(t) = a_rel(t_eq)

(18)

ρ_rel(t) =

ρ(in)rel,

4t_eq/3

a(t)

(12)

а космологическая плотность энергии убывает по

(in)

⁽a

ρ_BH(t) =

ρ(in)BH.

нерелятивистскому закону расширения:

a(t)

m2Pl

Рассмотрим случай, когда плотности реляти-

ρ_BH =

(19)

6π (t + t_eq/3)²

вистской и нерелятивистской (ПЧД) материи стали

равны при t = t_eq до распада ПЧД. Согласно урав-

Такие формы уравнений (18) и (19) продиктова-

нениям (11) и (12) это происходит, когда

ны непрерывностью параметра Хаббла и плотности

энергии (т. е. равенством ρ_rel и ρ_BH ) при t = t_eq.

ρ_BH(t_eq)

a(t_eq)

MD-режим (19) длился до t = τ_BH , когда мгно-

=ϵ

= 1.

(13)

ρ_rel(t_eq)

a_in

венный взрыв ПЧД создал новую релятивистскую

плазму с температурой

В этом разделе мы предполагаем, что при t < t_eq

5m2Pl

расширение Вселенной описывается чисто реляти-

T4heat =

(20)

вистским законом, когда масштабный фактор изме-

π³g_∗(T_heat)(τ_BH + t_eq/3)²

няется в соответствии с уравнением (4). Соответ-

Здесь предполагается мгновенная термализация.

ственно находим

Температура релятивистской плазмы, сосуще-

ствующей с доминирующими ПЧД, уменьшалась

t_eq = t_in/ϵ².

(14)

как масштабный фактор:

(

)2/3

ПЧД выжили бы в первичной плазме до момента ра-

a_eq

4t_eq

T_rel = T_eq

=T_eq

(21)

венства плотностей релятивистской и нерелятивист-

a_nr(τ_BH

)

3τ_BH + t_eq

ской материи, если бы выполнялось условие t_eq -

Соответственно, температура вновь созданной

- t_in < τ_BH, где время жизни ПЧД по отношению

релятивистской плазмы, возникающей в результа-

к испарению дается выражением [25]

те распада ПЧД, могла быть намного выше, чем

T_rel, даваемая уравнением (21). Коэффициент по-

M3BH

τ_BH ≈ 3 · 10³N-1effM3BHm-4Pl ≡ C

(15)

давления энтропии, равный кубу отношения темпе-

m⁴

ратуры новой релятивистской плазмы, создаваемой

где C ≈ 30 и N_eff — эффективное количество раз-

мгновенным испарением ПЧД, и температуры «ста-

новидностей частиц с массами, меньшими темпера-

рой» релятивистской плазмы плюс единица, запи-

туры черной дыры. Для выбранных значений масс

сывается как

ПЧД N_eff ≈ 100. (На самом деле g_∗ ближе к 200, но

)₃

⁽T_heat

эта разница не имеет большого значения.) Темпера-

S =1+

=1+

⁽a(τ_BH))3/4 =

T_rel

a_eq

тура черной дыры равна

√

(

)1/2

3τ_BH

t_eq

m2Pl

=1+

(22)

T_BH =

(16)

4t_eq

3τ_BH

8πM_BH

646

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Испарение первичных черных дыр, барионная асимметрия. ..

Наш подход действителен для τ_BH ≥ t_eq, а в пре-

дельном случае τ_BH = t_eq коэффициент подавления

энтропии составляет S = 2, происходящий из ре-

лятивистской материи и от ПЧД в равных долях.

Поскольку минимальное значение отношения

τ_BH

CM2BHϵ²

(23)

t_eq

m²

равно единице, минимальная масса ПЧД, для кото-

рой можно доверять приближенным расчетам, при-

веденным выше, равна

-12

m_Pl

M_BH > Mmin1 ≡

√

≈ 4 · 106 г ·

(24)

где C = 30 согласно формуле (15).

Для больших τ ≫ t_eq , когда S велико, это подав-

ление примерно равно

√

3τ_BH

3C ϵM

S ≈

4t_eq

2m_Pl

= 2.14 · 10-7

(25)

10-12

Масса ПЧД ограничена сверху условием, что

температура нагрева после испарения должна быть

выше температуры BBN, составляющей примерно

1 МэВ. Из уравнения (20) следует, что

Рис. 1. Коэффициент подавления энтропии из-за распа-

(

)3/2

m_Pl

да ПЧД в приближении мгновенного распада как функция

T_heat ≈ 0.06m_Pl

(26)

массы ЧД, начиная с Mmin1 до M = 10⁸ г (а), 10⁹ г (б)

M_BH

для ϵ = 10-12

Следовательно, массы ПЧД должны быть меньше

10⁹ г.

Коэффициенты подавления энтропии для ϵ =

Представим плотности энергии ПЧД и реляти-

= 10-12 в зависимости от M_BH представлены на

вистской материи соответственно в следующем ви-

рис. 1 для малых и больших масс.

де:

(in)

y_BH(η)

ρ_BH = ρ_B

exp(-η + η_in)

(29)

3. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ

z³(η)

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИОННОГО СПЕКТРА

ρ_rel = ρ(in) y^rel(η)rel

(30)

МАСС ПЕРВИЧНЫХ ЧЕРНЫХ ДЫР

z⁴(η)

Здесь мы откажемся от приближения мгновен-

где y(in)rel = y(in)BH = 1 и

ного распада и мгновенного изменения режимов

космологического расширения и численно решим

m2Pl

η_in =

≪ 1.

(31)

уравнения, описывающие эволюцию космологичес-

CM²

ких плотностей энергии нерелятивистских ПЧД и

Постоянная C определяется в уравнении (15).

релятивистской материи. Удобно работать с безраз-

Красное смещение z(η) = a(η)/a_in удовлетворяет

мерной переменной времени η = t/τ_BH , когда урав-

уравнению

нения можно записать как

dρ_BH

= -(3Hτ_BH + 1)ρ_BH,

(27)

=Hτ_BH z,

(32)

dη

dρ_rel

где параметр Хаббла H определяется обычным вы-

= -4Hτ_BHρ_rel + ρ_BH.

(28)

dη

ражением для пространственно-плоской Вселенной:

647

А. Чаудхури, А. Долгов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

3H²m2Pl

=ρ_rel +ρ_BH.

(33)

8π

Используя уравнения (30) и (29) с ρ(in)rel, определен-

ной формулой (3) при t = t_in, и учитывая, что

ρ(in)BH = ϵρ(in)rel, находим

)1/2

C M2BH

⁽y_rel

Hτ_BH =

(34)

m²

z⁴

z³e^η-ηin

Очевидно, уравнение (27) c ρ_BH , данной уравне-

нием (29), имеет решение

y_BH(η) = y(in)BH = 1,

(35)

а ρ_rel(η) удовлетворяет уравнению

dy_rel

= ϵz(η)e-η+ηin .

(36)

dη

Уравнения (32) и (36) можно решить численно с на-

чальными условиями при η = η_in

y_bh = y_rel = z = 1.

(37)

Однако большое значение коэффициента Hτ де-

лает численную процедуру весьма медленной. Что-

бы этого избежать, введем новую функцию W со-

гласно соотношению

√

W/ϵ

(38)

и придем к уравнениям

(

)₂ (

)1/2

√

=Cϵ²

y_rel +

We-η+ηin

(39)

dη

m_Pl

dy_rel

√

We-η+ηin,

(40)

dη

Рис. 2. Временная эволюция S для MBH = 107 г (а),

10⁸ г (б), 10⁹ г (в) и ϵ = 10-12

где W (η_in) = ϵ². Выделение энтропии от испарения

ПЧД можно рассчитать следующим образом. В от-

сутствие ПЧД величины, сохраняющиеся в сопут-

При больших η (фактически при η > 15) коэф-

ствующем объеме, эволюционировали бы как 1/z³.

фициент подавления S, как и ожидалось, стремится

С учетом дополнительного излучения, исходяще-

к постоянному значению. Результаты, представлен-

го от испарения ПЧД, энтропия изменяется как

ные на рис. 2, очень хорошо согласуются с прибли-

y3/4rel/z³, см. уравнение (30). Отсюда коэффициент

зительными значениями, показанными на рис. 1.

подавления относительной численности заморожен-

На рис. 3 представлены асимптотические значе-

ных частиц темной материи или ранее сгенериро-

ния коэффициента подавления энтропии для раз-

ванной барионной асимметрии стремится к

ных масс ПЧД и ϵ = 10-12. Они также очень близки

к предельным значениям, которые можно извлечь

S = [y_rel(η)]3/4

(41)

из рис.

при времени, стремящемся к бесконечности. Эволю-

Отношение коэффициента подавления энтропии

ция S показана на рис. 2 для значений M_BH = 10⁷,

для точных расчетов при фиксированной массе

10⁸, 10⁹ г и ϵ = 10-12.

ПЧД к коэффициенту, полученному в приближе-

648

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Испарение первичных черных дыр, барионная асимметрия. ..

dN_BH

= f(M,t),

(42)

где N — плотность числа ПЧД. Поскольку ПЧД

нерелятивистские, их дифференциальная плотность

энергии равна

dρ_BH

≡ σ(M, t) = Mf(M, t).

(43)

Первичные черные дыры, созданные старым

традиционным механизмом [1,2], должны иметь ост-

рый спектр масс, близкий к дельта-функции. Од-

нако в нескольких более поздних работах были ис-

Рис. 3. Коэффициент подавления энтропии как функция

следованы механизмы, приводящие к расширенному

массы для ϵ = 10-12

спектру масс, см., например, ранние статьи [5-8].

В последующем рассмотрении мы предполагаем,

что плотности числа и энергии ПЧД в единице объ-

ема заключены в пределах между M_min и M_max.

Значение M_max должно быть ниже верхнего предела

M = 10⁹ г, который налагается условием, что испа-

рение ПЧД не исказило бы успешных результатов

теории первичного нуклеосинтеза. Однако неболь-

шая часть ПЧД может иметь массы больше 10⁹ г, и

их влияние на BBN может быть интересным, хотя

еще не исследовано в полной мере.

Минимальное значение массы ПЧД, M_min,

должно быть больше, чем Mmin1, заданное фор-

мулой (24), чтобы реализовалось предположение

τ_BH

≥ t_eq, необходимое для того, чтобы доля

подавления энтропии была больше единицы, иначе

Рис. 4. (В цвете онлайн) Отношение коэффициента по-

влияние масс, меньших M_min, было бы несуще-

давления энтропии для точных вычислений при фиксиро-

ственным.

ванной массе (красная кривая) и того же коэффициента,

Параметризуем значение массы ПЧД безразмер-

вычисленного в приближении мгновенного распада и мгно-

ным параметром x, таким что M_BH = xM₀, где

венного изменения режима расширения. Синяя линия опи-

M₀ — среднее значение распределения плотности

сывает гипотетическое отношение, равное единице

массы, или значение, при котором σ(M, t) достигает

максимума. Очевидно, что x имеет ненулевое значе-

ние в следующих пределах:

нии мгновенного распада и мгновенного изменения

M_min

M_max

режима расширения, как функция массы для ϵ =

x_min ≡

≤x≤x_max ≡

(44)

M₀

= 10-12, представлено на рис. 4. Рост этого отно-

шения при малых M можно объяснить недооцен-

Определим теперь безразмерное «время» η как

кой выделения энтропии в мгновенном приближе-

η = t/τ(M₀), где τ(M₀) ≡ τ₀ — время жизни ПЧД с

нии. Действительно, для M, меньших граничного

массой M₀. Все ПЧД имеют разную массу и, следо-

значения, заданного формулой (24), высвобождение

вательно, время их жизни (15) и моменты возник-

энтропии будет равно нулю, в то время как точные

новения (2) разные.

вычисления приводят к ненулевому результату, по-

Временная эволюция дифференциальной плот-

этому их отношение стремится к бесконечности.

ности энергии ПЧД определяется уравнением

σ(M, t) = - [3H + Γ(M)] σ(M, t),

(45)

4. РАСШИРЕННЫЙ СПЕКТР МАСС

где

Γ(M) =

τ (M)

CM³

Рассмотрим теперь вместо дельта-функции бо-

лее широкое распределение по массам:

см. уравнение (15).

649

А. Чаудхури, А. Долгов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

В терминах безразмерного времени η это уравне-

σ(M, η_f (M)) = ϵ(M)ρ_rel(η_f (M))/M,

(53)

ние принимает вид

где ϵ(M) зависит от сценария образования ПЧД

[

]

)₃

dσ

⁽M₀

и будет взята ниже в соответствии с некоторыми

≡ σ^′ = - 3Hτ₀ +

σ.

(46)

разумными предположениями. В любом случае мы

dη

предполагаем, что ϵ(M) обращается в нуль, если

Начальное значение η — момент образования ЧД.

M <M_min иM >M_max.

Оно зависит от M и, согласно уравнению (31), рав-

Предположим, что на временном интервале

но

η_f (M_min) < η < η_f (M_max) общая доля массовой

плотности ПБД пренебрежимо мала по сравнению

m2PlM

η_form(M) =

(47)

с плотностью энергии релятивистской материи,

CM₀

поэтому режим расширения является невозму-

Очевидно, что σ(M) = 0, когда η(M) < η_form.

щенным релятивистским, см. формулы

(3),

(4).

Уравнение, описывающее эволюцию плотности

Соответственно с помощью уравнения (2) находим,

энергии релятивистской материи, теперь принима-

что плотность энергии релятивистской материи на

ет вид

момент создания «первых» легчайших черных дыр

равна

dρ_rel

≡ρ^′rel =

dη

ρ_rel(t_in) =

(54)

∫

32π M²

min

⁽M₀)³

= -4Hτ₀ρ_rel + dM

σ(M).

(48)

Если плотность энергии ПЧД остается небольшой

по сравнению с плотностью релятивистской мате-

По аналогии с предыдущим разделом мы вво-

рии до образования наиболее тяжелых ПЧД, то по-

дим красное смещение, нормированное на значение

следним членом в правой части уравнения (48) мож-

масштабного фактора, когда образовалась наименее

но пренебречь, и поэтому во временном интервале

массивная ПЧД:

η(M_min) < η < η(M_max) плотность энергии ρ_rel рав-

на

z(η) = a(η)/a [η_form(M_min)] .

(49)

m6Pl

ρ_rel =

(55)

Эволюция z(η) определяется уравнением, аналогич-

32π M²

z(η)⁴

min

ным уравнению (32):

Следовательно, дифференциальная плотность энер-

гии ПЧД эволюционирует как

=Hτ₀z,

(50)

dη

3m6Pl

ϵ(M)

с параметром Хаббла, который теперь определяется

σ(M, η) =

32πMM2min z(η_f (M))

выражением

θ(η - η_f (M))

∫

(56)

3H²m²

× z3(η)exp [(M₀/M)3(η - η_f(M))]^.

= ρ_rel + ρ_BH = ρ_rel + dMσ(M).

(51)

8π

В этом уравнении η заключено в пределах

Уравнение (46) имеет следующее решение:

η(M_min) < η < η(M_max) или η_f (M) < η < η(M_max)

в зависимости от того, какой нижний предел

σ(M, η) = θ (η - η_f ) σ(M, η_f ) ×

больше.

[

Поскольку

⁽M₀)³](z(η_f)⁾

× exp (η_f - η)

(52)

(

)₃

z(η)

M₀

m2Pl

η_f (M) =

≪1

CM²

где для краткости введено новое обозначение η_f ≡

≡ η_form(M), а тета-функция обеспечивает обраще-

для любого η, экспоненту можно разложить как

ние в нуль решения для η < η_f . Начальное значе-

[

]

⁽M₀)³

ние плотности ПЧД в момент образования σ(η_f (M))

exp

(η - η_f (M))

(47) определяется долей ϵ(M) плотности энергии

[

ПЧД с массой M по отношению к плотности энер-

)

⁽M₀)³ ](

m2Pl

гии релятивистской материи в момент образования

= exp

(57)

CM²

ПЧД:

650

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Испарение первичных черных дыр, барионная асимметрия. ..

В связи с необходимостью интегрирования по M

соответствующие эволюционные уравнения оказы-

ваются интегродифференциальными и численные

расчеты обычно становятся довольно громоздки-

ми. Однако мы рассмотрим некоторые упрощенные

формы начальных распределений ПЧД по массам,

для которых интегралы по M можно взять аналити-

чески, а затем дифференциальные уравнения мож-

но быстро и просто решить численно. Используя

такие игрушечные модели, мы можем понять суть

особенности производства энтропии ПЧД с расши-

ренным спектром масс ПЧД. К сожалению, мы не

смогли найти работоспособную игрушечную модель

для реалистичного логнормального спектра масс,

Рис. 5. (В цвете онлайн) Модельная функция спектра масс

см. [12]. Тем не менее спектры, которые допускают

F2 (красная кривая) и логнормальный спектр (синяя кри-

вая) от x = M/M0

аналитическое интегрирование, могут быть числен-

но довольно близкими к логнормальному.

Далее рассмотрим пару иллюстративных приме-

b = 30 проведем сравнение F2 с логнормальной

ров, предполагая, что функция

функцией:

F (x) = ϵ(M)/z(η_f (M))

(58)

[

(

)]

FLN = ϵ exp

-1.5

ln²(15x)

(62)

заключена между x_min

= M_min/M₀ и x_max

При выбранных значениях параметров функции

= M_max/M₀. Здесь согласно формуле (53) ϵ(M) —

F₂(x) и F_LN(x) представлены на рис. 5.

доля плотности энергии ПЧД с массой M на мо-

В уравнение эволюции входят два следующих

мент создания ПЧД. Для простоты мы предполага-

интеграла (51) и (48):

ем, что F (x) — полиномиальная функция по целым

∫

степеням x, хотя в последнем нет необходимости.

I₀ = dMσ(M, η)

(63)

Возьмем два примера для F :

ϵ₀

F₁(x) =

(59)

x_max - x_min

∫

)₃

⁽M

I₃ = dM

σ(M, η).

(64)

для x_min < x < x_max и F₁ = 0 для x вне этого интер-

вала. Очевидно, что точка x = 1 должна находиться

Мы можем вычислить их явно, сделав некоторые

внутри этого интервала.

упрощающие предположения о форме F (58), кото-

Еще одна интересная форма F :

рые обсуждаются в разд. 4.1, 4.2.

)₂ (

)₂

ϵ₀

⁽1

F₂(x) =

a² b²

(60)

4.1. Расчеты для плоского спектра

Здесь N — нормировочный коэффициент, выбран-

Здесь мы найдем коэффициент подавления энт-

ный таким образом, чтобы максимальное значение

ропии для «плоского» спектра F₁ (x):

F₂/ϵ = 1. Эта функция обращается в нуль при x =

ϵ(M)

ϵ₀

= x_min ≡ a и x = x_max ≡ b, с исчезающими про-

F₁(x) =

= const,

(65)

изводными в этих точках, и F₂ тождественно равна

z(η_f (M))

b-a

нулю вне этого интервала. Функция F₂ достигает

если x находится в пределах a ≡ x_min < x < b ≡ x_max

максимума при x₀ = 2ab/(a + b):

и F₁(x) = 0 за пределами этого отрезка. Параметры

)₄

a и b здесь и ниже, см. формулу (75), определяют

ϵ₀

⁽1

F(max)2 =

Na²b²

= 1.

(61)

ширину спектра масс. Величина S довольно слабо

зависит от них. Поскольку нет значительной раз-

F₂ может быть численно довольно близка к логнор-

ницы между величинами подавления энтропии для

мальному распределению при правильном выборе

расширенного и дельта-образного спектров масс,

параметров. В качестве рабочего примера при a = 1,

вариация a и b не имеет существенного значения.

651

А. Чаудхури, А. Долгов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Используя уравнение (56), находим

для которой получим

(

)1/2

∫

dW_e

Cϵ²⁰M³⁰

√

3m6Plϵ₀

y_rel +

W_e j₍₁₀₎

≡

I⁽¹⁾⁰ =

dMσ(M, η) =

dη

m2PlM_min

32πz³(η)M2min(b - a)

(

√

)1/2

Mmin

Cϵ²⁰M²⁰

∫

≡

y_rel +

W_e j₍₁₀₎

(73)

θ[η - η_f (M)]

m2Pla

M exp[(M₀/M)³(η - η_f (M))]

∫

K(η)

θ[η - η_f (M)]

dy_rel

√

≡

W_e j₍₁₃₎

(74)

b-a

x exp[x³(η - η_f (M))]

dη

K(η)

≡

j₍₁₀₎(a, b, η, η_f ),

(66)

с начальными условиями

= ϵ² и y(in)rel = 1.

b-a

Эти уравнения можно проинтегрировать числен-

где x = M₀/M и

но. Асимптотическое значение y3/4rel при больших η,

которое, согласно уравнению (41), представляет со-

3m6Plϵ₀

бой коэффициент подавления энтропии, изображе-

K(η) =

(67)

32πz³(η)M²

min

но на рис. 6, 7 для разных значений ϵ = 10-12,

x_min = 1/3 и x_max = 5/3. Результат пропорционален

M_BH и достаточно хорошо согласуется с приблизи-

∫

тельными результатами, рассчитанными в прибли-

⁽M₀)³

I⁽¹⁾³ =

σ(M, η) =

жении мгновенного распада и мгновенной смены ре-

Mmin

жима (25).

∫

K(η)

θ[η - η_f (M)]

≡

b-a

x⁴ exp[x³(η - η_f (M))]

4.2. Расчеты с непрерывным почти

xmin

логнормальным спектром масс

K(η)

≡

j₁₃(x_min, x_max, η, η_f ).

(68)

b-a

Здесь мы предполагаем, что спектр масс имеет

вид

Вычислим интегралы j₍₁₀₎ и j₍₁₃₎ аналитически,

используя Mathematica, и подставим их в уравне-

ϵ(M)

ния (47)-(49), которые решим численно. Поскольку

F₂(x) =

z(η_f (M))

η_f (M) ≪ η почти на всем интервале интегрирова-

ϵ₀ a² b²(1/a - 1/x)² (1/x - 1/b)²

ния, мы пренебрегаем η_f , см. также уравнение (57).

(75)

Результаты представлены в Приложении B.

16a²b² (1/a - 1/b)⁴

Будем искать решение, как это делается в

Соответственно уравнения (66) и (68) модифици-

разд. 4, принимая, что ρ_rel имеет вид

руются добавлением множителя F₂(x) в подынте-

гральные выражения. Выражения для j₍₂₀₎ и j₍₂₃₎

ρ_rel = y_rel ρ(in)rel/z⁴,

(69)

представлены в Приложении B.

где

Уравнения эволюции совпадают с уравнениями

3m6Pl

разд. 4.1 после замены j₍₁₀₎ → j₍₂₀₎ и j₍₁₃₎ → j₍₂₃₎.

ρ(in)rel =

32πM²

Коэффициенты подавления энтропии для непре-

min

рывного спектра масс и различных значений пара-

и поэтому y_rel и z удовлетворяют уравнениям

метров представлены на рис. 8, 9.

y^′rel = ϵ₀ z(η)j₍₁₃₎,

(70)

Мы видим, что коэффициенты подавления энт-

)1/2

ропии для обеих форм расширенных спектров масс,

CM³⁰

⁽y_rel

ϵ₀

z^′(η) =

j₍₁₀₎

(71)

прямоугольной и более реалистичной логнормаль-

2m2PlM_min z⁴

z³

ной, ведут себя как функция центрального значения

По аналогии с уравнением

(38) вводим новую

массы ПЧД и ϵ по существу аналогично вычислен-

функцию W_e согласно

ному для дельта-функционного спектра масс, рас-

смотренного в разд. 2 и 3, и изменяются от величи-

√

W_e/ϵ₀,

(72)

ны 2-3 для M = 10⁷ г до 100-300 для M = 10⁹ г.

652

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Испарение первичных черных дыр, барионная асимметрия. ..

Рис. 7. (В цвете онлайн) То же, что на рис. 6, но с a = 0.95

Рис. 6. (В цвете онлайн) Эволюция подавления энтропии

и b = 1.05 (синие кривые). M0 = 10⁷ г (а), 10⁸ г (б),

y3/4rel для плоского спектра масс (65) при MBH = 107 г

10⁹ г (в). Красные линии — коэффициент подавления эн-

и ϵ = 10-12 как функция безразмерного времени η для

тропии, приближенно рассчитанный в мгновенном прибли-

a = 1/3, b = 4/3 (синие кривые). M0 = 10⁷ г (а), 10⁸ г (б),

жении (25)

10⁹ г (в). Красные линии — коэффициент подавления эн-

тропии, приближенно рассчитанный в мгновенном прибли-

жении (25)

симость от ϵ в точности такая же, как это было об-

наружено в аналитических расчетах в разд. 2.

Все же нужно заметить, что сравнение неоднознач-

но, так как оно зависит от нормировки спектров, на-

пример, мы можем сравнивать их при равных плот-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ностях масс ПЧД или при их равных числах в еди-

нице объема. Результаты сравнения также зависят

Как показано в данной работе, подавление за-

от ширины расширенных спектров. В любом случае

мороженной плотности реликтовых частиц или кос-

результаты совпадают по порядку величины. Зави-

мологической барионной асимметрии может быть

653

А. Чаудхури, А. Долгов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Рис. 8. (В цвете онлайн) То же, что на рис. 6, но с непре-

Рис. 9. (В цвете онлайн) То же, что на рис. 6, но с непре-

рывным спектром масс и с a = 1/3, b = 4/3 (синие кри-

рывным спектром масс и с a = 0.95 и b = 1.05 (синие кри-

вые). M0 = 10⁷ г (а), 10⁸ г (б), 10⁹ г (в). Красные линии —

коэффициент подавления энтропии, приблизительно рас-

считанный в мгновенном приближении (25)

с дельта-функционным спектром масс, находятся в

весьма значительным, если они были образованы

очень хорошем совпадении с приблизительными.

до испарения ПЧД. При упрощенных приближени-

ях о дельта-функционном спектре масс ПЧД, мгно-

Величина подавления пропорциональна произве-

венном распаде ПЧД и мгновенном изменении ре-

дению ϵM_BH и, например, для M_BH = 10⁹ г и ϵ =

жимов расширения от начального доминирования

= 10-12 коэффициент подавления составляет S ≈

релятивистской материи до нерелятивистского до-

≈ 400. Масса черной дыры 10⁹ г составляет мак-

минирования ЧД и обратно коэффициент подавле-

симальное значение, разрешенное первичным нук-

ния энтропии, S, может быть вычислен аналитичес-

леосинтезом, см. вывод после уравнения (26). Это

ки, см. уравнение (25). Точные расчеты, но все еще

ограничение справедливо, если ПЧД доминировали

654

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Испарение первичных черных дыр, барионная асимметрия. ..

в ранней Вселенной до эпохи BBN, что могло про-

В некоторых моделях параметры CP-нарушающих

изойти, если минимальная масса ПЧД определялась

распадов этого тяжелого нейтрино можно выразить

уравнением (24).

через CP-нечетные фазы осцилляций легких ней-

Расчеты с более реалистичными расширенны-

трино, что позволяет предсказать величину и знак

ми спектрами масс ПЧД показывают аналогичные

лептонной асимметрии. Однако, если в прошлом

черты коэффициента подавления S, который также

существовало энтропийное разбавление асимметрии

пропорционален ϵ и центральному значению массы

с величиной, зависящей от модели, ее величина не

в массовом распределении. Имеется некоторая за-

может быть предсказана, но знак, вероятно, может.

висимость от формы спектра и от значений M_max и

M_min, но они существенно не меняют наших резуль-

татов.

Финансирование. Работа выполнена при

Существенное ограничение пространства пара-

поддержке Российского научного фонда (грант

метров минимальной суперсимметричной модели,

№19-42-02004).

полученное на БАК, привело к сомнениям относи-

тельно гипотезы, что носители темной материи со-

ПРИЛОЖЕНИЕ A

стоят из легчайших суперсимметричных частиц. Бо-

лее того, обычные слабо взаимодействующие мас-

Здесь мы оценим плотность стабильных супер-

сивные частицы (WIMP) с массой ниже тераэлек-

симметричных реликтов, образующихся при испа-

тронвольт также кажутся исключенными. Рассмот-

рении ПЧД, и покажем, что их вклад в космологи-

ренный здесь механизм позволяет спасти относи-

ческую темную материю незначителен из-за очень

тельно легкие WIMP и расширить пространство

низкой плотности ПЧД и из-за их быстрого охлаж-

параметров для суперсимметричной темной мате-

дения фоновыми релятивистскими частицами. С

рии. Поскольку, согласно известному результату, от-

этой целью представим здесь несколько простых

ношение космологической плотности энергии мас-

оценок и численных значений.

сивных реликтов к плотности энтропии пропорци-

Момент образования ПЧД с массой M равен (2)

онально квадрату массы этих частиц, возможное

повышение плотности энтропии в 100 раз позволя-

t_in =

= 2.5 · 10-31 M₈ с,

(76)

ет увеличить допустимую массу частиц в 10 раз,

m²

что открывает возможность для суперсимметрич-

где M₈ = M/(10⁸ г).

ной (SUSY) темной материи с массой, превышаю-

По предположению, в момент образования чер-

щей ограничения, установленные БАК.

ные дыры составляют небольшую долю ϵ ≪ 1 плот-

Уменьшение космологической барионной асим-

ности энергии релятивистской материи.

метрии за счет указанного здесь механизма до-

Таким образом, плотности энергии и числа ПЧД

полнительного высвобождения энтропии может

при t = t_in соответственно равны

показаться не столь существенным, потому что

теоретические оценки асимметрии довольно неопре-

3ϵ m6Pl

ρ(in)BH =

n(in)BH =

(77)

деленны в силу того, что они сильно зависят

32π M²

32π M³

от неизвестных параметров теории при высоких

Плотность энергии релятивистской материи при t =

энергиях. Однако есть несколько исключений,

= t_in равна

для которых энтропийное разбавление может

представлять интерес. Во-первых, это механизм

m6Pl

π²g∗in)

ρ(in)rel =

T4in,

(78)

Аффлека - Дайна [26], который естественно приво-

32π M²

дит к величине барионной асимметрии, существенно

где g∗in) ≈ 100 — количество типов релятивистских

превышающей наблюдаемую. Подавление на 1-2

частиц при T = T_in. Соответственно температура

порядка может быть полезно, но не всегда дос-

релятивистской космологической плазмы на момент

таточно. Во-вторых, это сценарий бариогенезиса

рождения ПЧД равна

посредством лептогенеза [27], описание которого

√

можно найти, например, в обзорах [28]. Согласно

T_in ≈ 1.72 · 10¹² ГэВ/

M₈.

(79)

этой модели космологическая барионная асим-

метрия возникла из первоначально созданной

Отношение плотности ПЧД к плотности реляти-

лептонной асимметрии, которая возникла в резуль-

вистских частиц в момент рождения можно оценить

тате распадов тяжелых майорановских нейтрино.

как

655

А. Чаудхури, А. Долгов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

(in)

n_B

ρ(in)BH

T_in

Соответственно, плотность энергии ПЧД непосред-

rin =

= 0.9 · 10-31ϵ₁₂M-3/28, (80)

0.3M

ственно перед моментом их распада будет больше,

n(in)rel

ρ(in)

rel

чем плотность энергии релятивистского фона, на

где ϵ₁₂ = 10¹²ϵ и n_rel ≈ 0.3ρ_rel/T .

этот фактор красного смещения, z(τ):

Это отношение остается примерно постоянным

до распада ПЧД, поскольку обе плотности практи-

ρ_BH(τ)

= 74 (ϵ₁₂M₈)4/3.

(88)

чески сохраняются в сопутствующем объеме с точ-

ρ_rel(τ)

ностью до возможного вброса энтропии, созданного

аннигиляцией массивных частиц. Как мы увидим

Температура релятивистского фона непосредствен-

ниже, температура релятивистской материи в мо-

но перед распадом черной дыры была равна

мент распада ПЧД составляет около 20-30 МэВ и

поэтому в этот момент g_∗ ∼ 10.

T_eq

T_cool ≡ T_rel(τ) =

= 50 ϵ-1/312M-11/68 МэВ.

(89)

Следовательно, отношение r уменьшается в

z(τ)

10 раз.

Температура частиц, образующихся при распаде

Среднее расстояние между ПЧД на момент их

ЧД, равна

создания составляет

(

)-1/3

m2Pl

d(BH)in = n(in)BH

= 2.4 · 10-16 M₈ϵ-1/312 см.

(81)

T_BH =

= 10⁵M-18 ГэВ.

(90)

8πM

В момент равновесия, когда плотности ЧД и реля-

Итак, легчайшие суперсимметричные частицы ми-

тивистской материи сравнялись, среднее расстояние

нимальной SUSY-модели с массой m_X ∼ 10³ ГэВ

между ЧД было

должны обильно образовываться в процессе испаре-

(BH)

ния ПЧД с T_BH ≫ m_X , что составляет около 0.01-

0.1 от общего количества образовавшихся частиц.

d(BH)eq =

= 2.4 · 10-4 M₈ ϵ-4/3 см.

(82)

Поскольку ПЧД образовывались при температу-

Температура релятивистской материи в момент рав-

рах, намного превышающих температуру окружаю-

новесия составляла

щей релятивистской плазмы, первоначально они не

теряли массу из-за испарения, а вместо этого приоб-

T_eq = ϵT_inS1/3eq = 3.7ϵ₁₂ M-1/28 ГэВ,

(83)

ретали ее за счет аккреции окружающего вещества.

Однако этот эффект оказывается незначительным.

где S_eq — отношение количества типов частиц при

Действительно, площадь поверхности ПЧД равна

T = T_in к количеству типов частиц при T = T_eq:

4πr2g и поток внешнего излучения будет порядка T⁴.

g_∗(10⁵ ГэВ)

Таким образом, скорость увеличения массы будет

S_eq =

≈ 10.

(84)

g_∗(3 ГэВ)

равна

Поскольку до достижения равновесия Вселенная

= 4πr2gT⁴.

(91)

расширялась в релятивистском режиме, когда мас-

штабный фактор увеличивался как a(t) ∼ t1/2, рав-

Согласно уравнению (3) T²t ≈ m_Pl/30, и поэтому

новесие достигалось в момент времени

m_PldT

t_in

dt = -

t_eq =

= 2.5 · 10-7M₈ϵ-212 с.

(85)

15T³

ϵ²

Следовательно, увеличение массы составит

После этого и до момента распада ЧД при

4π

30 M3BH

ΔM =

m_Plr2gT2in,

(92)

t=τ =

= 1.6 · 10-4M³⁸ с

(86)

m⁴

где T_in задается формулой (79). Итак, окончательно

Вселенная расширялась в режиме доминантности

получаем

нерелятивистской материи по закону a(t) ∼ t2/3. Та-

ким образом, на этом MD-этапе масштабный фактор

ΔM

≈ 0.1.

(93)

увеличивался как

(

)2/3

Интересно, что относительное увеличение массы не

z(τ) ≡

= 74 (ϵ₁₂M₈)4/3.

(87)

t_eq

зависит от значения массы ПЧД.

656

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Испарение первичных черных дыр, барионная асимметрия. ..

Этот результат противоречит работе [2], как ука-

поэтому плотность их числа непосредственно перед

зал нам рецензент. Действительно, основанные на

распадом была

оценке скорости аккреции, полученной в работе [1],

n_BH(τ) = d-3(τ) = 1.9 · 10⁵M-78 см-3.

(98)

расчеты [2] привели к огромному увеличению мас-

сы ПЧД до миллиардов масс Солнца или даже на-

Плотность горячих частиц с температурой T_BH , со-

много больше. Это определенно весьма завышенная

зданных испарением этого набора черных дыр, рав-

оценка. Аргументы работ [1, 2] основаны на при-

на

менении механизма аккреции Бонди к ранней Все-

ленной. Однако физические ситуации в современ-

n_hot = n_BH(τ)N_hot = 3.4 · 10³¹M-58 см-3.

(99)

ной Вселенной в эпоху доминантности материи и в

Плотность холодных фоновых частиц с температу-

ранней Вселенной в эпоху доминантности излучения

рой T_cool (89) равна

были совершенно различны. Предполагается, что в

ранней Вселенной ПЧД покоились в сопутствующей

n_cool = 0.1g_∗T3cool = 1.6 · 10³⁷ϵ-112M-11/28 см-3,

(100)

системе отсчета, а поток релятивистских частиц на

них индуцировался лишь процессом гравитационно-

где мы взяли g_∗ = 10 при T < 100 МэВ. Отметим,

го притяжения окружающих релятивистских час-

что n_cool ≫ n_hot.

тиц, который имеет исключительно низкую эффек-

Частицы, образующиеся при испарении ПЧД, со-

тивность, в частности, из-за хаббловского расшире-

стоят преимущественно из разновидностей легких

ния. В работе [29] рассмотрен и выполнен расчет эф-

или быстро распадающихся частиц и небольшого ко-

фективности аккреции в разные эпохи космологи-

личества стабильных легчайших суперсимметрич-

ческой эволюции. Приведем цитату из этой работы:

ных частиц (или любых других стабильных частиц,

«Для ПЧД, размер которых намного меньше M_cr,

предполагаемых частиц темной материи), обозна-

аккреция совершенно не важна», где M_cr составляет

чим их как X. Поскольку по предположению T_BH

примерно 5·10¹⁴ г. ПЧД с массой больше M_cr может

выше, чем масштаб масс SUSY, общее количество

дожить до настоящего времени, в то время как бо-

всех суперсимметричных партнеров, созданных за

лее легкие ПЧД испарятся прежде, чем достигнут

счет испарения, должно быть равно количеству всех

времени, благоприятного для аккреции. Поскольку

других частиц. Каждый SUSY-партнер создает од-

мы имеем дело с ПЧД с массами не больше 10⁹ г, мо-

ну легчайшую суперсимметричную частицу (X-час-

жем пренебречь возможным увеличением их массы

тицу) в процессе своего распада и несколько других

после образования.

видов частиц. Таким образом, количество X-час-

Среднее расстояние между ПЧД непосредствен-

тиц будет около одного процента от числа других

но перед их распадом составляло

частиц. Более точное значение здесь не так важно.

Это соотношение должно еще больше уменьшиться

d^BH(τ) = d(BH)eqz(τ) ≈ 1.75 · 10-2 M7/38 .

(94)

в процессе термализации, см. ниже.

Общее количество энергичных частиц, образовав-

Выброшенные черными дырами энергичные час-

шихся при распаде одной ЧД, равно

тицы распространяются на фоне гораздо более хо-

лодной плазмы и остывают, одновременно нагре-

(

)₂

M_BH

8π

вая фон. Охлаждение происходит, в частности, за

N_hot ≈

= 1.8 · 10²⁶M²⁸.

(95)

3T_BH

m_Pl

счет кулоновского рассеяния, поэтому импульс горя-

чих частиц уменьшается согласно уравнению (сла-

Мы предполагаем следующую модель: в резуль-

гаемое, связанное с расширением Вселенной, в этом

тате мгновенного испарения ЧД каждая черная ды-

уравнении не учитывается, поскольку характерный

ра превращается в облако энергичных частиц с тем-

временной масштаб остывания намного меньше, чем

пературой T_BH = 10⁵M-18 ГэВ и радиусом τ_BH , см.,

время Хаббла при T ∼ 100 МэВ):

например, формулу (86):

Ė_hot = -σvn_coolδE,

(101)

τ_BH = 4.8 · 10⁶M³⁸ см.

(96)

где δE — передача импульса от горячих частиц к

Этот радиус намного больше среднего расстояния

холодным. Сечение рассеяния можно аппроксими-

между ЧД (94) и число ПЧД в этом общем облаке

ровать как σ = α²g_∗/|p₁ - p₂|². Для безмассовых

составляет

частиц

(

)₃

τ_BH

N_cloud =

= 2 · 10²⁵M⁷⁸,

(97)

q² ≡ (p₁ - p₂)² = -2(E₁E₂ - p₁ · p₂).

(102)

d_BH(τ)

657

ЖЭТФ, вып. 5 (11)

А. Чаудхури, А. Долгов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Здесь E₁ и E₂ — начальная и конечная энергии хо-

но кинетическое равновесие устанавливается очень

лодных частиц,

быстро, что приведет к распределению по энергии,

близкому к равновесному с ненулевыми и равны-

E₁ ∼ T_cool, δE ≡ (E₂ - E₁) ∼ E₂.

ми химическими потенциалами частиц X и анти-X,

Для заметной передачи энергии необходимо рассея-

в предположении нулевой X/

^X-асимметрии. Если

ние на большие углы, так что q² ∼ E₁E₂. Оконча-

бы установилось полное кинетическое и химическое

тельно получим

равновесие, то плотности X (и

^X) были бы чрез-

вычайно малы и проблема избытка таких частиц не

0.1g_∗T3coolα

Ė₌

≈ 10-4T2cool =

возникла бы. Ключевым моментом здесь является

E₁

быстрое охлаждение плазмы образовавшихся горя-

= 6 · 10¹⁸ МэВ/с.

(103)

чих частиц, намного более быстрое, чем космологи-

ческое расширение, см. уравнение (104).

Соответственно величина потерь энергии горячих

Параметр Хаббла H, входящий в уравнение

частиц, по порядку величины равная их температу-

(108), определяется выражением

ре (90), будет достигнута в течение очень короткого

времени:

⁽8π³g_∗ )1/2 T²

0.4 T

H =

≈

(109)

m_Pl

z²m_Pl

t_cool ≈ 10-10 с.

(104)

/a — отношение начального масштабного

где z = a_in

Такое быстрое охлаждение обеспечивается за счет

коэффициента к текущему, а для начального зна-

огромной плотности холодных частиц: их около

чения температуры T_in мы возьмем T_fin, заданное

миллиона на каждую горячую частицу, см. уравне-

уравнением (105). Надеемся, это не приведет к пу-

ния (99), (100).

танице.

В результате смешения и термализации двух

Вводя r = n_Xz³ и меняя временную переменную

компонентов, горячего и холодного, температура об-

на z, мы приходим к уравнению

разующейся плазмы станет

r²

σ_annvm_Pl

r²

)1/4

= -σ_annv

(110)

⁽ρ_hot

Hz⁴

0.4T²

z²

T_fin = T_cool

≈ 147M-3/28 МэВ.

(105)

ρ_cool

которое легко интегрируется, приводя к следующе-

Соответственно, полная плотность релятивистских

му результату:

частиц будет равна

n_in

n_X =

→

(111)

z³ (1 - 1/z)

n_rel = 0.1g_∗T3fin = 4 · 10³⁸M-9/28/см³.

(106)

где Q = σv m_Pl/(0.4T2in

Согласно формуле

(99) плотность числа X-час-

Полное сечение аннигиляции может быть зафик-

тиц сразу после испарения должна быть около

сировано условием, что X-частицы являются до-

10³⁰M-58 см-3. После быстрой термализации отно-

минирующими носителями космологической темной

шение плотности X-частиц к плотности всех реля-

материи. Согласно многочисленным наблюдатель-

тивистских частиц становится равным

ным данным,

n_X/n_rel = 3 · 10-9.

(107)

Ω_DM = 0.26, Ω_CMB = 5.5 · 10-5,

(112)

Эволюция плотности X-частиц определяется

или (ρ_X /ρ_γ )_obs ≈ 5 · 10³.

уравнением

По расчетам, приведенным, например, в книге

[30], замороженная космологическая плотность мас-

n_X + 3Hn_X = -σ(ann)Xvn2X,

(108)

сы X-частиц определяется уравнением

где слагаемое, отвечающее обратной аннигиляции,

10⁹x_f

не учитывается, поскольку горячие частицы от ис-

Ω_Xh² ≈

≈ 0.12,

(113)

m_Pl ГэВ (σ_annv)

паряющихся ПЧД очень быстро остывают с харак-

терным временем (104) и, следовательно, темпера-

где h ≈ 0.67 — безразмерный параметр Хаббла, а

тура плазмы станет намного меньше M_X. Очевидно,

xf = Tf /mX = 20-30 — отношение температуры за-

поскольку m_X ≫ T_fin (105), распределение X-час-

мерзания к массе X. Последний член в приведенном

тиц будет сильно отличаться от равновесного рас-

выше соотношении является наблюдаемым значени-

пределения Бозе - Эйнштейна или Ферми - Дирака,

ем. Следовательно,

658

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Испарение первичных черных дыр, барионная асимметрия. ..

σ_annvm_Pl ≈ 3 · 10¹¹ ГэВ-1

(114)

ла заполнена более холодной релятивистской плаз-

мой. Во-вторых, не учитывается остаточная анниги-

ляция созданных частиц темной материи, в то вре-

мя как выше было показано, что это очень важно.

n_X ≈ 10-12z-3T2in ГэВ.

(115)

С другой стороны, охлаждение частиц темной мате-

рии идет настолько быстро, что их обратной анни-

Итак, для отношения плотности X к плотности ре-

гиляции не происходит, поэтому они не создаются в

лятивистских частиц находим

этом процессе.

n_X

10-12 ГэВ

→

≈ 7 · 10-12,

(116)

n_rel

T_in

ПРИЛОЖЕНИЕ B

так что отношение соответствующих плотностей

Здесь мы приведем аналитические выражения

энергии в настоящее время равно

для интегралов I₀ (63) и I₃ (64) для двух форм спек-

ρ_X

m_X n_X g_∗(0.1 МэВ)

тра масс ПЧД: плоского (первый индекс j равен 1)

ρ_CMB

3T_CMB n_rel g_∗(150 МэВ)

и непрерывного гладкого спектра, который числен-

m_X

но близок к логнормальному (первый индекс j ра-

< 10³

(117)

ТэВ

вен 2), см. уравнение (60) и выше. Вторые индексы

1 или 3 соответствуют I₀ и I₃ соответственно. Для

что безопасно ниже наблюдательного значения

краткости мы используем обозначения t вместо η.

ρ_X/ρ_CMB = 5·10³, особенно если m_X < 1 ТэВ. Здесь

[

]

[

]]

мы взяли g_∗ = 50 при T = 150 МэВ и g_∗ < 10 при

j₁₀(t, a, b) =

-Γ 0,

+ Γ 0,

(118)

T = 0.1 МэВ.

a³

b³

Результаты, представленные в этом приложении,

— аналитический результат для интеграла j₁₀, опре-

не согласуются с опубликованными в работах [31,32]

деленного в уравнении (66).

о рождении возможных частиц темной материи ис-

парением ПЧД. Но это разногласие естественно, по-

- exp[-t/a³] + exp[-t/b³]

скольку в этих работах не учитывается ряд суще-

j₁₃(t, a, b) =

(119)

ственных физических эффектов. Во-первых, в этих

работах предполагается, что испарение идет в пу-

— аналитический результат для интеграла j₁₃, опре-

стое пространство, а в нашем случае Вселенная бы-

деленного в уравнении (68).

(

[

]

√

8aΓ [-2/3]

3aπ

8bΓ[-2/3, t/a³]

j₂₀(t, a, b) = -

8a²b²

27 exp -

9(a - b)⁴

a³

t1/3

t1/3Γ[-1/3]

t1/3

)

2b(4a+b)Γ[-1/3, t/a³]

2a²b²Γ[1/3, t/a³]

36aΓ[4/3, t/a³]

9a²Γ[5/3, t/a³]

+6Γ[0, t/a³]+

t2/3

t4/3

t1/3

t2/3

9(a - b)⁴

(

[

]

√

8bΓ [-2/3]

3bπ

8aΓ[-2/3, t/b³]

2a(4b + a)Γ[-1/3, t/b³]

× 8a²b²

27 exp -

b³

t1/3

t1/3Γ[-1/3]

t1/3

t2/3

)

2a²b²Γ[1/3, t/b³]

36bΓ[4/3, t/b³]

9b²Γ[5/3, t/b³]

+ 6Γ[0, t/b³] +

(120)

t4/3

t1/3

t2/3

— аналитический результат для интеграла j₂₀, как объяснено в разд. 4.2.

j₂₃(t, a, b) = -

16a²b²(-6atΓ[1/3, t/a³] + 6a²t2/3Γ[2/3, t/a³] + b[-18a² exp[-t/a³]t1/3 -

27(a - b)⁴t7/3

√

4/3

18 exp[-t/a³]t

18b exp[-t/a³]t4/3

3a²bπ

- 18ab exp[-t/a³]t1/3-

-9a²bΓ[7/3] - 18tΓ[4/3, t/a³] +

a²

Γ[-1/3]

+ 9(4a+b)t2/3Γ[5/3, t/a³]+9a²bΓ[7/3, t/a³]])+

16a²b²(-6btΓ[1/3, t/b³]+6b²t2/3Γ[2/3, t/b³] +

27(a-b)⁴t7/3

√

4/3

18 exp[-t/b³]t

18a exp[-t/b³]t4/3

3b²aπ

+ a[-18b² exp[-t/b³]t1/3 - 18ab exp[-t/b³]t1/3 -

b²

Γ[-1/3]

− 9b²aΓ[7/3] - 18tΓ[4/3, t/b³] + 9(a + 4b)t2/3Γ[5/3, t/b³] + 9b²aΓ[7/3, t/b³]])

(121)

659

А. Чаудхури, А. Долгов

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

— аналитический результат для интеграла j₂₃, как

17.

A. Chaudhuri and A. Dolgov, JCAP 2018(01), 32

объяснено в разд. 4.2.

(2018); arXiv:1711.01801v1.

18.

Ya. B. Zel’dovich, Pis’ma v Zh. Eksp. Teor. Fiz. 24,

29 (1976) [JETP Lett. 24, 25 (1976)].

ЛИТЕРАТУРА

19.

A. D. Dolgov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 79, 337 (1980)

Y. Zel’dovich and I. Novikov, Sov. Astron. 10, 602

[JETP Lett. 52, 169 (1980)].

(1967).

20.

D. S. Gorbunov and V. A. Rubakov, Introduction to

B. J. Carr and S. W. Hawking, Month. Not. Roy.

the Theory of Early Universe — Hot Big Bang Theo-

Astron. Soc. 168, 399 (1974).

ry, World Sci. (2011).

E. R. Harrison, Phys. Rev. D 1, 2726 (1970).

21.

C. Bambi and A. Dolgov, Introduction to Particle

Cosmology. The Standard Model of Cosmology and

Y. Zeldovich, Month. Not. Roy. Astron. Soc. 160, 1P

its Open Problems, Springer (2015).

(1972).

22.

S. Chatrchyan et al., Phys. Rev. Lett. 107, 221804

A. Dolgov and J. Silk, Phys. Rev. D 47, 4244 (1993).

(2011).

A. Dolgov, M. Kawasaki, and N. Kevlishvili, arXiv:

23.

M. Cirelli, F. Sala, and M. Taoso, JHEP 2015(01),

0806.2986.

41 (2015); arXiv:1407.7058.

P. Ivanov, P. Naselsky, and I. Novikov, Phys. Rev.

24.

N. Nagata and S. Shirai, JHEP 2015(01), 29 (2015);

D 50, 7173 (1994).

arXiv:1410.4549v2.

J. Garcia-Bellido, A. D. Linde, and D. Wands, Phys.

25.

D. N. Page, Phys. Rev. D 13, 198 (1976).

Rev. D 54, 60406058 (1996); arXiv:astro-ph/9605094.

26.

I. Affleck and M. Dine, Nucl. Phys. B 249, 361 (1985);

E. Kotok and P. Naselsky, Phys. Rev. D 58, 103517

M. Dine, L. Randall, and S. Thomas, Nucl. Phys.

(1998); arXiv:astro-ph/9806139v1.

B 458, 291 (1996).

10.

B. Basset and S. Tsujikawa, Phys. Rev. D 63, 123503

27.

M. Fukugita and T. Yanagita, Phys. Lett. B 174, 45

(2001); arXiv:hep-ph/0008328.

(1986).

11.

A. Green and K. Malik, Phys. Rev. D 64, 021301

28.

W. Buchmuller, R. D. Peccei, and T. Yanagida,

(2001); arXiv:hep-ph/0008113.

10.1146/annurev.nucl.55.090704.151558,hep-ph/

0502169.

12.

M. Kawasaki and K. Murai, JCAP 2019(01), 27

(2019); arXiv:1907.02273.

29.

J. R. Rice and B. Zhang, J. High Energy Astrophys.

13, 22 (2017).

13.

S. G. Rubin, M. Yu. Khlopov, and A. S. Sakharov,

Grav. Cosmol. 6, 51 (2000); arXiv:hep-ph/0005271.

30.

E. W. Kolb and M. S. Turner, The Early Universe,

Addison-Wesley, Redwood City, CA (1980).

14.

V. I. Dokuchaev, Yu. N. Eroshenko, and S. G. Rubin,

arXiv:0709.0070.

31.

T. Fujita, M. Kawasaki, K. Harigaya, and R. Ma-

tsuda, Phys. Rev. D 89, 103501 (2014); arXiv:1401.

15.

A. D. Dolgov, A. G. Kuranov, N. A. Mitichkin et al.,

1909v2.

arXiv:2005.00892.

32.

O. Lennon, J. March-Russell, R. Petrossian-Byrne,

16.

A. D. Dolgov, P. D. Naselsky, and I. D. Novikov,

and H. Tillim, JCAP 2018(04), 009 (2018); arXiv:

arXiv:astro-ph/0009407.

1712.07664v2 (2018).

660