ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 5 (11), стр. 678-688

МАГНИТООПТИЧЕСКИЙ ПАРАМЕТР Q ДЛЯ СТРУКТУР

С ОДНООСНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

О. А. Максимоваa,b*, С. А. Лященко^a, С. Н. Варнаков^a, С. Г. Овчинников^a,b

^a Институт физики им. Л. В. Киренского Сибирского отделения Российской академии наук —

обособленное подразделение Федерального исследовательского центра

«Красноярский научный центр Сибирского отделения РАН»

660036, Красноярск, Россия

^b Сибирский федеральный университет

660041, Красноярск, Россия

Поступила в редакцию 29 июня 2021 г.,

после переработки 29 июня 2021 г.

Принята к публикации 1 июля 2021 г.

Работа посвящена развитию метода магнитооптической эллипсометрии на отражение. Решена обрат-

ная задача для структур с оптической одноосной анизотропией: найдены коэффициенты отражения для

границы раздела внешняя среда-образец, получено аналитическое выражение для магнитооптического

параметра, пропорционального намагниченности, позволяющее определить его исключительно по экс-

периментальным данным, измеряемым с помощью магнитооптической эллипсометрии. Представлен по-

дробный алгоритм для проведения эксперимента по нахождению тензора диэлектрической проницаемо-

сти при экваториальной геометрии.

DOI: 10.31857/S0044451021110079

ся фотонные кристаллы [3], полимерные пленки [4],

ориентированные массивы углеродных нанотрубок

[5,6]. В последние годы также активно исследуются

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

оптические свойства анизотропных двумерных сис-

тем MXnes [7, 8] и MAX-фаз [9-11] (ab initio-расче-

Магнитооптическая эллипсометрия (МЭ) одно-

ты). Если рассматривать магнитооптические свой-

временно обладает высокой чувствительностью к

ства такой структуры, то кроме уже имеющейся оп-

магнитному состоянию и оптическим свойствам от-

тической анизотропии необходимо учитывать и вы-

ражающей поверхности. Этот метод широко исполь-

нужденную анизотропию [12], обусловленную при-

зуется и является очень удобным для контроля оп-

ложением внешнего магнитного поля, что неизбеж-

тических, структурных, магнитных, магнитоопти-

но усложняет расчет и анализ полного тензора ди-

ческих (МО) свойств наноструктурированных мате-

электрической проницаемости. Поэтому в литерату-

риалов. По причине громоздкости математического

ре такому подходу пока уделяется мало внимания.

аппарата МЭ, большинство измерений проводятся с

Преимущественно это работы [13-15], основанные на

целью простого анализа магнитных характеристик

формализме матриц 4×4 [16], который хорошо про-

по полевым зависимостям эллипсометрических уг-

работан для МЭ, но не всегда применим, так как

лов, либо рассмотрением простых изотропных и од-

для определения всех матричных элементов необ-

нородных сред. Однако многие материалы, особен-

ходимо проводить измерения в разных геометриях,

но в пленочном и диспергированном состояниях, об-

следовательно, вращать образец.

ладают зависимостью структуры от направления и,

как следствие, имеют одноосную оптическую ани-

Мы разработали оригинальный метод определе-

зотропию. У таких материалов отличаются оптиче-

ния всех компонент тензора диэлектрической про-

ские свойства в плоскости пленки и перпендикуляр-

ницаемости тонких магнитных слоев по данным

но к ней [1, 2]. Примерами этих структур являют-

МЭ-характеризации оптически изотропных объем-

ных сред и многослойных структур [17-21], который

^* E-mail: maximo.a@mail.ru

заключается в сочетании классических эллипсомет-

678

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Магнитооптический параметр Q...

тооптическому эффекту Керра (рисунок). При эква-

ториальной конфигурации МО-эффекта Керра на-

магниченность лежит в плоскости образца. Выбе-

рем направление оси z традиционно [12,17-22,29,30]

параллельно направлению намагниченности. Таким

образом, плоскость yz — граничная плоскость по-

верхности отражения, xy — плоскость падения света

на образец.

В общем случае оптически анизотропных сред

тензор диэлектрической проницаемости представля-

Геометрия экваториального магнитооптического эффекта

ют [13, 14] следующим образом:

Керра

⎡

⎤

ε_x

-iQ_zM_z

-iQ_yM_y

⎥

ε^MO =^⎣iQzMz

ε_y

-iQ_xM_x⎦,

(2)

рических измерений эллипсометричеcких углов ψ₀,

iQ_yM_y iQ_xM_x

ε_z

Δ₀ без приложения внешнего магнитного поля и

где Q

= (Q_x , Q_y , Q_z ) — магнитооптический па-

проведении эллипсометрических измерений при пе-

ремагничивании образца во внешнем магнитном по-

раметр, не зависящий от намагниченности, а

ле (измерение δψ, δΔ) в экваториальной конфигура-

M = (M_x,M_y,M_z) — намагниченность.

ции. Эти измерения можно проводить при различ-

C другой стороны, есть традиция не выделять в

ных углах падения света и при разных длинах волн

компонентах тензора диэлектрической проницаемо-

падающего излучения. Решение обратной задачи за-

сти отдельно намагниченность, а вместо этого счи-

ключается в нахождении физических величин, та-

тать Q пропорциональным намагниченности магни-

ких как компоненты тензора диэлектрической про-

тооптическим параметром, именуемым также векто-

ницаемости, по набору данных ψ₀, Δ₀, δψ, δΔ по-

ром Фохта [12,29-34]. В этом случае для изотропных

сред, когда все диагональные компоненты тензора

средством рассмотрения системы основных уравне-

ний эллипсометрии:

равны и имеют некое значение ε₀, недиагональные

компоненты тензора диэлектрической проницаемо-

Rp0

сти представляют собой произведение диагональной

tg(ψ₀) exp(iΔ₀) =

Rs0

компоненты на компоненту вектора Фохта:

(1)

Rp0 + Rp1

tg(ψ₀ + δψ) exp(i(Δ₀ + δΔ)) =

ε_ij = -iε₀Q_k,

(3)

Rs0 + Rs1

где i, j, k принимают значение x, y, z. Из геомет-

где нижний индекс «0» — это индекс для измере-

рии решаемой нами МЭ-задачи следует, что для оп-

ний, проводимых без приложения внешнего магнит-

тической одноосной анизотропной полубесконечной

ного поля, «1» — для измерений при приложении

ферромагнитной структуры коэффициенты прелом-

внешнего магнитного поля. Здесь индексы «s», «p»

ления в плоскости yz одинаковы:

соответствуют s- и p-поляризации света.

В настоящей работе мы предлагаем расширить

N_x = N_y = N_z,

(4)

этот подход на магнитные оптически анизотроп-

ные материалы, а именно, для начала решить об-

что означает, что диагональные компоненты тензо-

ратную задачу МЭ для полубесконечных струк-

ра диэлектрической проницаемости в плоскости об-

тур с оптической одноосной анизотропией. При-

разца также одинаковы:

мерами подобных материалов являются толстые

ε_xx = ε_yy = ε_zz.

(5)

атомно-слоистые MAX-пленки [22], столбчатые фер-

ромагнитные пленки [23-25] и различные низко-

Таким образом, принимая во внимание рабо-

симметричные магнитооптически-активные объем-

ты [12,14], для случая одноосной анизотропии тен-

ные кристаллы [26-28]. Новый подход позволяет

зор диэлектрической проницаемости можно пред-

получать информацию о МО-свойствах образца из

ставить в виде

МЭ-измерений без вращения образца и электромаг-

⎡

⎤

ε_xx

-iε_zzQ

нита, создающего внешнее магнитное поле.

⎢

⎥

ε=

⎣ iε_zzQ

ε_zz

⎦,

(6)

Рассмотрим геометрию МЭ-измерений на отра-

жение, соответствующую экваториальному магни-

ε_zz

679

О. А. Максимова, С. А. Лященко, С. Н. Варнаков, С. Г. Овчинников

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

√

где Q=Q₁-iQ₂ — комплексный магнитооптический

N2x - N²⁰ sin²(ϕ₀)

параметр, пропорциональный намагниченности, ле-

cos(ϕ_tp) =

(13)

N_x

жащей в плоскости пленки, ε_xx = ε^′xx - iε^′′xx, ε_zz =

В работе [36] сразу учтен знак минус в соотноше-

= ε^′zz -iε^′′zz (вещественные части обозначены одним

нии N = n-ik, что традиционно для представления

штрихом, мнимые части — двумя). Квадратичные

по намагниченности эффекты в данном случае не

коэффициента преломления в эллипсометрии и МЭ.

В изотропном пределе N_x = N_y = N₁ из уравнений

учитываются.

Для изотропных структур коэффициенты отра-

(10), (11) следуют стандартные коэффициенты Фре-

неля [35].

жения, учитывающие магнитооптический отклик,

хорошо известны [12, 29]:

Однако коэффициенты отражения (10), (11) в

[36] не учитывают влияния внешнего магнитного

N₀ cos(ϕ₀) - N₁ cos(ϕ₁)

поля, и их недостаточно для анализа магнитооп-

R_s =

(7)

N₀ cos(ϕ₀) + N₁ cos(ϕ₁)

тических свойств образца. Выражения, учитываю-

щие магнитооптический отклик, нам и необходимо

добавить к уже известным в литературе формулам

N₁ cos(ϕ₀) - N₀ cos(ϕ₁)

R_p =

для коэффициентов отражения анизотропных сред,

N₁ cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ₁)

связать с измеряемыми методом магнитооптической

N²⁰ sin(2ϕ₀)

- iQ

(8)

эллипсометрии параметрами и определить выраже-

(N₁ cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ₁))²

ния для получения информации о магнитооптиче-

где N0 — комплексный показатель преломления

ском параметре Q = Q₁ - iQ₂ и о полном тензоре

внешней среды, N₁ — комплексный показатель пре-

диэлектрической проницаемости (6).

ломления ферромагнитного материала, ϕ₀ — угол

падения света на образец. Эти выражения исполь-

2. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ

зуются в основанном на матрицах Джонса мето-

ОТРАЖЕНИЯ ДЛЯ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА

де определения компонент тензора диэлектрической

ВНЕШНЯЯ СРЕДА — ОПТИЧЕСКИ

проницаемости изотропных образцов, разработан-

АНИЗОТРОПНЫЙ ОДНООСНЫЙ

ном в работах [17-20].

ОБЪЕМНЫЙ ОБРАЗЕЦ С УЧЕТОМ

Работать с анизотропными средами, продолжая

МАГНИТООПТИЧЕСКОГО ОТКЛИКА

использовать матрицы Джонса и коэффициенты

Френеля, можно, когда выполняется условие ра-

Для того чтобы учесть магнитооптический от-

венства нулю недиагональных элементов матрицы

клик в выражених (10), (11), обратимся к тому,

Джонса коэффициентов отражения [35, 36]

как он учитывался в работах Соколова и Кринчика

[12, 29], где рассматривался случай границы разде-

r_ps = r_sp = 0.

(9)

ла двух изотропных сред. Для учета экваториаль-

ного МО-эффекта Керра (TMOKE) при рассмотре-

В нашей геометрии выражение (9) справедли-

нии отражения на границе внешней среды с оптиче-

во, поскольку в случае одноосной оптической анизо-

ски анизотропным объемным образцом необходимо

тропии объемного образца для его выполнения до-

пройти те же шаги, что и при его учете на границе

статочно того, что оптическая ось параллельна или

перпендикулярна плоскости падения света [35, 36].

с изотропным образцом. Все выкладки ниже спра-

ведливы для видимого спектрального диапазона и

Для анизотропных систем с выбранной нами гео-

метрией (рисунок) получение коэффициентов отра-

проведены в предположении, что μ ≈ μ₀ ≈ 1, а маг-

нитооптический параметр Q ≪ 1 [12, 30, 32, 37].

жения описано в работе [36]. Их можно представить

Используем тензор

(6) и решаем уравнения

в виде

N₀ cos(ϕ₀) - N_zcos(ϕ_ts)

Максвелла со следующей связью между напряжен-

r_ss =

(10)

N₀ cos(ϕ₀) + N_z cos(ϕ_ts)

ностью и индукцией:

N_y cos(ϕ₀) - N₀ cos(ϕ_tp)

rpp =

(11)

D_x = ε_xxE_x - iε_zzQE_y,

N_y cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp)

D_y = iε_zzQE_x + ε_zzE_y,

(14)

где углы ϕ_ts и ϕ_tp — углы преломления, определя-

ющиеся выражениями

D_z = ε_zzE_z.

√

Решение ищем в виде плоской неоднородной вол-

sin²(ϕ₀)

N2z - N²

cos(ϕ_ts) =

(12)

ны, распространяющейся в магнитной среде:

N_z

680

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Магнитооптический параметр Q...

( (

))

α^∗x + β^∗y + γ^∗z

отражения для анизотропных сред в отсутствие

E = E0 exp iω t -

(15)

υ^∗

внешнего магнитного поля (10):

где α^∗, β^∗, γ^∗ — направляющие косинусы, υ^∗ — ско-

N₀ cos(ϕ₀) - N_z cos(ϕ_ts)

рость распространения волны в среде. Тогда полу-

rs T MOKE =

(22)

N₀ cos(ϕ₀) + N_z cos(ϕ_ts)

чим систему уравнений

соответственно, для s-поляризации влияние магнит-

ε_xxE_x - iε_zzQE_y =

ного поля на коэффициент отражения при реали-

= N2x[E_x - α^∗(α^∗E_x + β^∗E_y + γ^∗E_z)],

зации экваториальной конфигурации МО-эффекта

iε_zzQE_x + ε_zzE_y =

Керра отсутствует не только для изотропных сис-

(16)

тем, но и анизотропных тоже:

= N2y[E_y - β^∗(α^∗E_x + β^∗E_y + γ^∗E_z)],

ε_zzE_z =

Rs1 = 0.

(23)

= N2z[E_z - γ^∗(α^∗E_x + β^∗E_y + γ^∗E_z)].

Коэффициент отражения для p-поляризации

В результате ряда преобразований (см. Прило-

при TMOKE получаем из (20), (21), к которым до-

жение A) с учетом (4), (5) получим

бавлено выражение для условия связи между Ed1 и

Ed2

(см. Приложение A):

(ε_xxε_zz cos(ϕ_tp) + iε_xxε_zzQ sin(ϕ_tp))E_x +

+ (ε_xxε_zz sin(ϕ_tp) - iε2zzQ cos(ϕ_tp))E_y = 0.

(17)

E0rp

cos(ϕ₀) - FN₀

r_ppTMOKE =

(24)

E0ip

cos(ϕ₀) + FN₀

С учетом введенной нами системы координат

где

граничные условия для s-поляризации:

cos(ϕ_tp) + iQ sin(ϕ_tp)

E0is + E0rs = Ed3 = E_ts,

(18)

F =

(25)

N_z(1 + i(1 - ε_zz/ε_xx)Q sin(ϕ_tp)cos(ϕ_tp))

N₀ cos(ϕ₀)(E0is - E0rs) = N_z cos(ϕ_ts)E_ts,

(19)

Поскольку во время эксперимента для учета

для p-поляризации:

МО-вклада измеряются изменения эллипсометриче-

ских параметров, т. е. наблюдается изменение коэф-

cos(ϕ₀)(E0ip - E0rp) = Ed2,

(20)

фициента отражения по сравнению с выражением

(11), характеризующим поведение света в ситуации

N₀(E0ip + E0rp) =

без приложения внешнего магнитного поля, то хоте-

лось бы увидеть в явном виде изменение коэффици-

= N_y(cos(ϕ_tp)Ed2 - sin(ϕ_tp)Ed1),

(21)

ента отражения Rp1. Поэтому представим выраже-

где нижний индекс i при E соответствует падающей

ние (24) для r_ppTMOKE в виде суммы r_pp без учета

волне, r — отраженной, d — прошедшей в среду, Ed1,

внешнего магнитного поля, т. е. выражения (11), и

Ed2, Ed3 — это соответственно x-, y-, z-компонен-

слагаемого, отвечающего за вклад экваториально-

ты амплитуды напряженности электрического поля

го МО-эффекта Керра (см. Приложение A). Таким

прошедшей волны [12, 29].

образом, получаем коэффициент отражения для p-

Полученный

коэффициент

отражения

поляризации с учетом МО-отклика в геометрии эк-

rss T MOKE полностью совпадает с коэффициентом

ваториального МО-эффекта Керра:

(

)

N_z cos(ϕ₀) - N₀ cos(ϕ_tp)

2N₀N_z sin(ϕ_tp)cos(ϕ₀)

1-N²

/N2x

cos²(ϕ_tp)

rpp T MOKE =

- iQ

(26)

N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp)

(N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp))²

Из (26) можно получить выражение для коэффи-

N₁ cos(ϕ₀) - N₀ cos(ϕ₁)

rp =

циента отражения для границы раздела с изотроп-

N₁ cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ₁)

ным кристаллом при учете того, что N_x = N_z = N₁

)

2N₀N₁ sin(ϕ₁)cos(ϕ₀

и ϕ_tp =ϕ₁:

- iQ

(27)

(N₁ cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ₁))²

681

О. А. Максимова, С. А. Лященко, С. Н. Варнаков, С. Г. Овчинников

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Воспользуемся законом Снелла

при наличии внешнего магнитного поля (TMOKE).

Эти малые параметры связаны с измеряемыми эл-

N₁ sin(ϕ₁) = N₀ sin(ϕ₀)

(28)

липсометрическими (ψ₀, Δ₀) и магнитоэллипсомет-

рическими (δψ, δΔ) параметрами следующим обра-

и тогда получаем известное выражение (8) для ко-

зом [20]:

эффициента отражения для p-поляризации на гра-

нице раздела двух изотропных сред [12, 38].

δψ(1 + tg²(ψ₀))

R′′p0

α≈

δΔ,

(31)

tg(ψ₀)

R′p0

3. АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ

δψ(1 + tg²(ψ₀))

R′p0

МАГНИТООПТИЧЕСКОГО ПАРАМЕТРА Q

β ≈

δΔ,

(32)

′′

tg(ψ₀)

Как было показано нами в предыдущих рабо-

т. е. коэффициент отражения для p-поляризации

тах по изучению МО-свойств изотропных структур

можно записать следующим образом:

[20, 39], в случае, когда вклад от магнитного поля

в коэффициенты отражения мал, можно использо-

R_p = Rp0 + Rp1 = R′p0 - iR′′p0 + R′p1 - iR′′p1,

(33)

вать в расчетах малые параметры как отношения

магнитной к немагнитной частей коэффициента от-

Rp0 = R′p0 - iR′′p0,

(34)

ражения для p-поляризации:

Rp1 = R′p1 - iR′′p1 = αR′p0 - iβR′′p0.

(35)

α = R′p1/R′p0,

(29)

Сопоставим выражения (34), (35) с полученным

выше выражением (26)

β = R′′p1/R′′p0,

(30)

где индекс «0» соответствует измерениям, проводи-

N_z cos(ϕ₀) - N₀ cos(ϕ_tp)

R′p0 - iR′′p0 =

(36)

мым в отсутствие внешнего магнитного поля, «1» —

N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp)

(

)

2N₀N_z sin(ϕ_tp)cos(ϕ₀)

1-N²

/N2x

cos²(ϕ_tp)

αR′p0 - iβR′′p0 = -iQ

(37)

(N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp))²

Учтем (31), (32) и выразим отсюда Q (см. Приложение B):

(

)

N²⁰ cos²(ϕ_tp) - N2z cos²(ϕ₀)

δψ(1 + tg²(ψ₀))

δΔ - i

(38)

2N₀N_z sin(ϕ_tp)cos(ϕ₀)(1 - (1 - N2z/N2x)cos²(ϕ_tp))

tg(ψ₀)

Таким образом, для одноосного анизотропного

N²⁰ cos²(ϕ₁) - N²¹ cos²(ϕ₀)

объемного кристалла можно аналитически рассчи-

N²⁰ sin(2ϕ₀)

(

)

тать магнитооптический параметр по результатам

δψ(1 + tg²(ψ₀))

× δΔ - i

(40)

МЭ-измерений, проведенных в экваториальной кон-

tg(ψ₀)

фигурации МО-эффекта Керра.

Если в (37) положить, что N_x = N_z = N₁ и ϕ_tp =

= ϕ₁, полученное выражение (37) переходит в вы-

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

ражение

Как следует из полученного выражения (37),

для расчета всех компонент тензора диэлектричес-

N²⁰ cos²(ϕ₁) - N²¹ cos²(ϕ₀)

кой проницаемости (6) достаточно иметь информа-

2N₀N₁ sin(ϕ₁)cos(ϕ₀)

(

)

цию об

δψ(1 + tg²(ψ₀))

× δΔ - i

(39)

— угле падения света ϕ₀,

tg(ψ₀)

— коэффициенте преломления внешней сре-

ды N₀,

Воспользуемся законом Снелла (28) и получим

— коэффициентах преломления анизотропной

выражение, полностью совпадающее со значением

структуры в плоскости образца N_y = N_z и перпен-

МО-параметра для изотропного кристалла [20]:

дикулярно ей N_x,

682

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Магнитооптический параметр Q...

— эллипсометрическом параметре ψ₀, измеряе-

измерений, т. е. если образец ферромагнитен, то ве-

мом без приложения магнитного поля,

личину H целесообразно выбрать из условия фер-

— магнитоэллипсометрических параметрах

ромагнитного насыщения образца.

4) Для заданного угла ϕ₀ измеряем спектраль-

δψ = ψ(+H)-ψ(-H), δΔ = Δ(+H)-Δ(-H),

ные зависимости ψ₀, Δ₀ размагниченного образца и

измеряемых в экваториальной конфигурации маг-

изменения δψ, δΔ при перемагничивании образца в

нитооптического эффекта Керра, где ±H — внешнее

полях ±H;

магнитное поле на образце.

5) Задаем второй выбранный угол падения ϕ₀ и

Экспериментальные подходы и математические

измеряем спектральные зависимости ψ₀, Δ₀ размаг-

инструменты для измерения коэффициентов пре-

ниченного образца;

ломления анизотропной пленки произвольной тол-

6) Для размагниченного состояния образца чис-

щины (в том числе непрозрачной) методом эллипсо-

ленными методами получаем комплексные величи-

метрии уже давно разработаны и не требуют допол-

ны N_x и N_z = N_y, из которых по (37) вычисляет-

нительных пояснений [40-42]. Реализация конкрет-

ся Q.

ного подхода может зависеть от условий экспери-

Получив значения магнитооптического парамет-

мента и имеющейся приборной базы эксперимента-

ра Q и коэффициентов преломления N_x, N_y, N_z,

тора.

можно рассчитать все компоненты тензора диэлект-

Следует учитывать, что предлагаемый нами ме-

рической проницаемости (6).

тод расчета Q ограничен не только особенностями

модели однородной полубесконечной среды и гео-

5. ВЫВОДЫ

метрией экваториального МО-эффекта Керра, но

также и условием малости МО-вклада в коэффици-

Таким образом, получены выражения для коэф-

ент отражения R_p для условия малости параметров

фициентов отражения для p- и s-поляризации для

α, β [20]. Последнее условие может быть нарушено

границы раздела внешней среды и образца с опти-

при близости к углу Брюстера, особенно для сла-

ческой одноосной анизотропией, учитывающие маг-

бопоглощающих образцов. Поэтому, на наш взгляд,

нитооптический отклик при геометрии экватори-

наиболее надежен подход, представляющий много-

ального магнитооптического эффекта Керра. Ана-

угловые эллипсометрические измерения, из-за про-

литически рассчитан магнитооптический параметр

стоты оптической схемы и возможности избежать

Q для выбранной геометрии эксперимента. Пока-

угол Брюстера. Образец обязан иметь гладкую от-

зана схема проведения магнитоэллипсометрических

ражающую поверхность, непрозрачную в использу-

измерений для получения всех компонент тензора

емом спектральном диапазоне, и насколько возмож-

диэлектрической проницаемости одноосного анизо-

но тонкий неферромагнитный оксидный слой на по-

тропного материала, например, MAX-фаз.

верхности. В этом случае можно представить алго-

ритм проведения магнитоэллипсометрического экс-

Финансирование. Исследование выполнено

перимента в следующем виде.

при поддержке Российского научного фонда (грант

1) Измеряем спектральные зависимости ψ₀, Δ₀

№21-12-00226, http://rscf.ru/project/21-12-00226/).

без магнитного поля для произвольного угла ϕ₀.

Вычисляем спектральную зависимость веществен-

ной компоненты угла Брюстера для образца в при-

ПРИЛОЖЕНИЕ A

ближении изотропной полубесконечной среды. Вы-

бираем не менее двух углов падения ϕ₀, которые

Ниже представлен вывод коэффициентов отра-

доступны для установки на магнитоэллипсометре и

жения на границе раздела внешней среды и объем-

не попадают на значения угла Брюстера в нужном

ной среды с одноосной оптической анизотропией и

спектральном диапазоне.

тензором диэлектрической проницаемости:

2) На одном из выбранных углов ϕ₀ измеря-

⎡

⎤

ε_xx

-iε_zzQ

ем полевые зависимости ψ₀, Δ₀ при фиксированной

⎢

⎥

длине волны, соответствующей максимальной вели-

ε=

⎣iε_zzQ

ε_zz

⎦.

(A.1)

чине сигнал/шум магнитоэллипсометра.

ε_zz

3) По полевой зависимости ψ₀, Δ₀ выбираем оп-

тимальные значения магнитного поля ±H для даль-

Все выкладки ниже справедливы для видимого

нейших спектральных магнитоэллипсометрических

спектрального диапазона и проведены в предполо-

683

О. А. Максимова, С. А. Лященко, С. Н. Варнаков, С. Г. Овчинников

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

жении, что μ ≈ μ₀ ≈ 1, а магнитооптический пара-

N₀ cos(ϕ₀)(E0is - E0rs) = N_z cos(ϕ_ts)E_ts, (A.8)

метр Q ≪ 1 [12].

Ищем решение уравнений Максвелла

для p-поляризации:

D_x = ε_xxE_x - iε_zzQE_y,

cos(ϕ₀)(E0ip - E0rp) = Ed2,

(A.9)

D_y = iε_zzQE_x + ε_zzE_y,

(A.2)

D_z = ε_zzE_z.

N₀(E0ip + E0rp) =

в виде плоской неоднородной волны, распростра-

= N_y(cos(ϕ_tp)Ed2 - sin(ϕ_tp)Ed1), (A.10)

няющейся в магнитной среде:

( (

))

где нижний индекс i при E соответствует падаю-

α^∗x + β^∗y + γ^∗z

E = E0 exp iω t -

(A.3)

щей волне, r — отраженной, d — прошедшей в сре-

υ^∗

ду, Ed1, Ed2, Ed3 — это соответственно x-, y- и z-ком-

где α^∗, β^∗, γ^∗ — направляющие косинусы, υ^∗ — ско-

поненты амплитуды напряженности электрического

рость распространения волны в среде. Тогда полу-

поля прошедшей волны [12, 29].

чим систему уравнений

Для s-поляризации коэффициент отражения при

реализации экваториальной конфигурации МО-эф-

ε_xxE_x - iε_zzQE_y =

фекта Керра (TMOKE) имеет вид

= N2x[E_x - α^∗(α^∗E_x + β^∗E_y + γ^∗E_z)],

N₀ cos(ϕ₀) - N_z cos(ϕ_ts)

iε_zzQE_x + ε_zzE_y =

(A.4)

rss T MOKE =

(A.11)

N₀ cos(ϕ₀) + N_z cos(ϕ_ts)

= N2y[E_y - β^∗(α^∗E_x + β^∗E_y + γ^∗E_z)],

ε_zzE_z = N2z[E_z - γ^∗(α^∗E_x + β^∗E_y + γ^∗E_z)].

Коэффициент отражения для p-поляризации

при TMOKE получаем из (A.9), (A.10), к которым

Домножим строки системы (A.4) соответствен-

необходимо добавить еще условие связи между Ed1 и

но на N2yN2zα^∗, N2zN2xβ^∗, N2xN2yγ^∗, просуммируем их

Ed2. Искомое соотношение можно получить из (A.6):

и учтем, что N_y = N_z, ε = N², а направляющие

косинусы α^∗ = cos ϕ_tp, β^∗ = sin ϕ_tp, γ^∗ = 0. Тогда

(ε_xx cos(ϕ_tp) + iε_xxQ sin(ϕ_tp))Ed1

Ed2 =

(A.12)

получим

iε_zzQ cos(ϕ_tp) - ε_xx sin(ϕ_tp)

(ε_xxE_x - iε_zzQE_y) cos(ϕ_tp)ε_zz +

Соответственно, решаем систему трех уравне-

+ (iε_zzQE_x + ε_zzE_y) sin(ϕ_tp)ε_xx = 0, (A.5)

ний:

(ε_xx cos(ϕ_tp)+iε_xxQ sin(ϕ_tp))Ed1

Ed2 =

(ε_xxε_zz cos(ϕ_tp) + iε_xxε_zzQ sin(ϕ_tp))E_x +

iε_zzQ cos(ϕ_tp)-ε_xx sin(ϕ_tp)

+ (ε_xxε_zz sin(ϕ_tp) - iε2zzQ cos(ϕ_tp))E_y = 0. (A.6)

cos(ϕ₀)(E0ip - E0rp) = Ed2,

(A.13)

N₀(E0ip+E0rp) = N_y(cos(ϕ_tp)Ed2 -

С учетом выбранной системы координат (см. ри-

сунок) получаем граничные условия для s-поляри-

- sin(ϕ_tp)Ed1).

зации:

Выразим Ed1 из первого уравнения системы

E0is + E0rs = Ed3 = E_ts,

(A.7)

(A.13) и подставим в третье:

(

)

iε_zzQ cos(ϕ_tp)-ε_xx sin(ϕ_tp

N₀E0ip + N₀E0rp = N_yEd2 cos(ϕ_tp)-sin(ϕ_tp)

(A.14)

ε_xx cos(ϕ_tp)+iε_xxQ sin(ϕ_tp)

Отсюда получаем выражение для Ed2:

))

(N₀E0ip + N₀E0rp)(ε_xx cos(ϕ_tp) + iε_xxQ sin(ϕ_tp

Ed2 =

(A.15)

N_yε_xx + iN_yQ sin(ϕ_tp)cos(ϕ_tp)(ε_xx - ε_zz)

684

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Магнитооптический параметр Q...

Теперь приравняем полученное выражение (A.15) к левой части второго уравнения в системе (A.13):

))

(N₀E0ip + N₀E0rp)(ε_xx cos(ϕ_tp) + iε_xxQ sin(ϕ_tp

cos(ϕ₀)(E0ip - E0rp) =

(A.16)

N_yε_xx + iN_yQ sin(ϕ_tp)cos(ϕ_tp)(ε_xx - ε_zz)

Поскольку нам необходимо получить выражение

Выражение (A.16) примет вид

для коэффициента отражения r_p = E0rp/E0ip, удоб-

но ввести обозначение

E0ip cos(ϕ₀) - E0rp cos(ϕ₀) =

= FN₀E0ip + FN₀E0rp, (A.19)

F =

ε_xx cos(ϕ_tp) + iε_xxQ sin(ϕ_tp)

E0ip(cos(ϕ₀)-FN₀) = E0rp(cos(ϕ₀)+FN₀). (A.20)

(A.17)

N_yε_xx+iN_yQ sin(ϕ_tp)cos(ϕ_tp)(ε_xx-ε_zz)

Таким образом, коэффициент отражения для

p-поляризации равен

Учтем, что N_y = N_z, поделим числитель и зна-

менатель F на ϵ_xx:

E0rp

cos(ϕ₀) - FN₀

r_ppTMOKE =

(A.21)

E0ip

cos(ϕ₀) + FN₀

F =

Выделим в (A.21) два слагаемых, Rp0 и Rp1, где

cos(ϕ_tp) + iQ sin(ϕ_tp)

немагнитное слагаемое Rp0

определяется выражени-

(A.18)

N_z(1 + i(1 - ε_zz/ε_xx)Q sin(ϕ_tp)cos(ϕ_tp))

ем (11), а Rp1 отвечает за вклад TMOKE:

(

)∕

N₀

cos(ϕ_tp) + iQ sin(ϕ_tp)

rpp T MOKE = cos(ϕ0) -

N_z 1 + i(1 - ε_zz/ε_xx)Q sin(ϕ_tp)cos(ϕ_tp)

(

)

∕

N₀

cos(ϕ_tp) + iQ sin(ϕ_tp)

cos(ϕ₀) +

(A.22)

N_z 1 + i(1 - ε_zz/ε_xx)Q sin(ϕ_tp)cos(ϕ_tp)

[

( (

)

]∕

ε_zz

rpp T MOKE = Nz cos(ϕ0)

1+i

Q sin(ϕ_tp)cos(ϕ_tp)

- N0 cos(ϕ_tp) - iN₀Qsin(ϕ_tp)

ε_xx

( (

)

]

∕[

ε_zz

N_z cos(ϕ₀)

1+i

Q sin(ϕ_tp)cos(ϕ_tp)

+ N0 cos(ϕ_tp) + iN₀Qsin(ϕ_tp) ,

(A.23)

ε_xx

[

(

)

]∕

ε_zz

rpp T MOKE = Nz cos(ϕ0)-N0 cos(ϕtp) +i

Q sin(ϕ_tp) cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀) - iN₀Q sin(ϕ_tp)

ε_xx

]

∕[

N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp) + i (1 - ε_zz/ε_xx) Q sin(ϕ_tp)cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀) + iN₀Q sin(ϕ_tp) ,

(A.24)

[

(

)

]∕

ε_zz

rpp T MOKE = (Nz cos(ϕ0) - N0 cos(ϕtp)) - iQ sin(ϕtp)(N0 -

cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀))

ε_xx

(

)]

∕[

(1 - ε_zz/ε_xx)cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀) + N₀

(N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp))

1 + iQsin(ϕ_tp)

(A.25)

N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp)

Домножим числитель и знаменатель выражения (A.25) на комплексно-сопряженное второму множителю

знаменателя, а именно на

(

)

(1 - ε_zz/ε_xx) cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀) + N₀

1 - iQsin(ϕ_tp)

N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp)

685

О. А. Максимова, С. А. Лященко, С. Н. Варнаков, С. Г. Овчинников

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

после чего, поскольку магнитооптический параметр Q ≪ 1, пренебрежем слагаемыми, пропорциональными

Q² и более высоким степеням Q в виду малости:

[

]

(Nz cos(ϕ0) - N0 cos(ϕtp))

iQ sin(ϕ_tp)(N₀ - (1 - ε_zz/ε_xx)cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀))

rpp T MOKE =

N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp)

(

)

(1 - ε_zz/ε_xx) cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀) + N₀

1 - iQsin(ϕ_tp)

(A.26)

N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp)

N_z cos(ϕ₀) - N₀ cos(ϕ_tp)

iQ sin(ϕ_tp)(N₀ - (1 - ε_zz/ε_xx)cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀))

rpp T MOKE =

N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp)

iQ sin(ϕ_tp)(N₀ + (1 - ε_zz/ε_xx)cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀))

(N_z cos(ϕ₀) - N₀ cos(ϕ_tp)), (A.27)

(N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp))²

Таким образом, мы выделили уже первое слагаемое, которое, как и ожидалось, равно выражению (11).

Преобразуем вид второго и третьего слагаемых:

N_z cos(ϕ₀) - N₀ cos(ϕ_tp)

iQ sin(ϕ_tp)

rp T MOKE =

N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp)

(N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp))²

((

(

)

ε_zz

× N₀- 1-

cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀) (N_z cos(ϕ₀)+N₀ cos(ϕ_tp))+ (N_z cos(ϕ₀) - N₀ cos(ϕ_tp)) ×

ε_xx

(

)

))

ε_zz

× N₀ +

cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀)

(A.28)

ϵ_xx

Рассмотрим отдельно выражение в скобке второго слагаемого, обозначим его буквой A

A = (N₀-(1-ε_zz/ε_xx)cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀))(N_z cos(ϕ₀)+N0 cos(ϕ_tp))+(N_z cos(ϕ₀)-N0 cos(ϕ_tp))×

× (N₀ + (1 - ε_zz/ϵ_xx) cos(ϕ_tp)N_z cos(ϕ₀)). (A.29)

Раскроем скобки:

A = N₀N_z cos(ϕ₀)-N2z (1-ε_zz/ε_xx)cos(ϕ_tp)cos²(ϕ₀)+N20 cos(ϕ_tp)-N₀N_z (1-ε_zz/ε_xx)cos(ϕ₀)cos²(ϕ_tp)+

+ N₀N_z cos(ϕ₀) + N2z (1 - ε_zz/ε_xx) cos(ϕ_tp)cos²(ϕ₀)-

- N20 cos(ϕ_tp) - N₀N_z (1 - ε_zz/ε_xx)cos(ϕ₀)cos²(ϕ_tp), (A.30)

(

)

A = 2N₀Nz cos(ϕ₀)

1 - (1 - ε_zz/ε_xx)cos²(ϕ_tp)

(A.31)

В итоге выражение (A.28) принимает форму

(

)

N_z cos(ϕ₀) - N₀ cos(ϕ_tp)

2N₀N_z sin(ϕ_tp)cos(ϕ₀)

1 - (1 - ε_zz/ε_xx)cos²(ϕ_tp)

r_ppTMOKE =

- iQ

(A.32)

N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp)

(N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp))²

где первое слагаемое это Rp0, а второе — Rp1.

Таким образом, получаем коэффициент отражения для p-поляризации с учетом МО-отклика при гео-

метрии TMOKE:

(

)

N_z cos(ϕ₀) - N₀ cos(ϕ_tp)

2N₀N_z sin(ϕ_tp)cos(ϕ₀)

1 - N2z/N2x

cos²(ϕ_tp)

rpp T MOKE =

- iQ

(A.33)

N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp)

(N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp))²

686

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Магнитооптический параметр Q...

ПРИЛОЖЕНИЕ B

Ниже представлен вывод выражения для МО-параметра Q из системы уравнений (36). Из второго урав-

нения мы получаем

))²

(iαR′p0 + βR′′p0)(N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp

(B.1)

2N₀N_z sin(ϕ_tp)cos(ϕ₀)(1 - (1 - N2z/N2x)cos²(ϕ_tp))

Распишем первый множитель в числителе (B.1) с учетом выражений для малых параметров α и β (31),

(32):

(

)

(

)

δψ(1 + tg²(ψ

0))

R′p0

δψ(1 + tg²(ψ₀))

R^′′

βR′′p0 + iαR′p0 =

δΔ R′′p0 + i

δΔ R′p0.

(B.2)

tg(ψ₀)

R′′p0

tg(ψ₀)

R^′

Раскроем скобки и приведем подобные:

δψ(1 + tg²(ψ₀))

βR′′p0 + iαR′p0 =

R′′p0 - R′p0δΔ + i

R′p0 + iR′′p0δΔ =

tg(ψ₀)

(

)

δψ(1 + tg²(ψ₀))

(R′′p0 + iR′p0) - δΔ(R′p0 + iR′′p0) = Rp0 i

- δΔ

(B.3)

tg(ψ₀)

Тогда магнитооптический параметр приобретает вид

(

)

∕

δψ(1 + tg²(ψ₀))

Q=Rp0

- δΔ (N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp))2

tg(ψ₀)

(

)

))

∕(

N2z

2N₀N_z sin(ϕ_tp)cos(ϕ₀)

cos²(ϕ_tp)

(B.4)

N²

Подставляем значение Rp0 из (36)

(

)

∕

)

N_z cos(ϕ₀) - N₀ cos(ϕ_tp

δψ(1 + tg²(ψ₀))

- δΔ (N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp))

N_z cos(ϕ₀) + N₀ cos(ϕ_tp)

tg(ψ₀)

(

)

))

∕(

N2z

2N₀N_z sin(ϕ_tp)cos(ϕ₀)

cos²(ϕ_tp)

N²

(

)

(N_z cos(ϕ₀))² - (N₀ cos(ϕ_tp))2

δψ(1 + tg²(ψ

0))

- δΔ

(B.5)

2N₀N_z sin(ϕ_tp)cos(ϕ₀)(1 - (1 - N2z/N2x)cos²(ϕ_tp))

tg(ψ₀)

Отсюда получаем выражение для расчета магнитооптического параметра для одноосного анизотропного

объемного кристалла:

(

)

N²⁰ cos²(ϕ_tp) - N2z cos²(ϕ₀)

δψ(1 + tg²(ψ₀))

δΔ - i

(B.6)

2N₀N_z sin(ϕ_tp)cos(ϕ₀)(1 - (1 - N2z/N2x)cos²(ϕ_tp))

tg(ψ₀)

ЛИТЕРАТУРА

4. M. Losurdo, G. Bruno, and E. A. Irene, J. Appl. Phys.

94, 4923 (2003).

1. H. Schopper, Z. Physik 132, 146 (1952).

5. K. Bubke, H. Gnewuch, M. Hempstead et al., Appl.

2. T. Yamaguchi, S. Yoshida, and A. Kinbara, J. Opt.

Phys. Lett. 71, 1906 (1997).

Soc. Amer. 62, 634 (1972).

3. J. Gomis-Bresco, D. Artigas, and L. Torner, Nat.

6. Y. Murakami, Sh. Chiashi, Y. Miyauchi et al., Chem.

Photon. 11, 232 (2017).

Phys. Lett. 385, 298 (2004).

687

О. А. Максимова, С. А. Лященко, С. Н. Варнаков, С. Г. Овчинников

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

K. Chaudhuri, Z. Wang, M. Alhabeb et al., 2D Metal

27.

J. Bartolomé, A. Arauzo, N. V. Kazak et al., Phys.

Carbides and Nitrides (MXenes), ed. by B. Anasori

Rev. B 83, 144426 (2011).

and Y. Gogotsi, Springer, Cham. (2019), p. 327.

28.

И. И. Назаренко, Структура, магнитные свойст-

K. Hantanasirisakul and Y. Gogotsi, Adv. Mater. 30,

ва оксиборатов переходных металлов со струк-

1804779 (2018).

турой котоита и людвигита, Дисс

канд.

физ.-матем. наук, ФИЦ КНЦ СО РАН, Красно-

Y. Mo, P. Rulis, and W. Y. Ching, Phys. Rev. B 86,

ярск (2019).

165122 (2012).

29.

Г. С. Кринчик, Физика магнитных явлений,

10.

X.H. Li, H.L. Cui, and R.Z. Zhang, Front. Phys. 13,

Изд-во МГУ, Москва (1976).

136501 (2018).

30.

А. Н. Калиш, Магнитооптические эффекты в

11.

A. Chowdhury, M. A. Ali, M. M. Hossain, M. M. Ud-

периодических наноструктурированных средах,

din, S. H. Naqib, and A. K. M. A. Islam, Phys. Stat.

Дисс. канд. физ.-матем. наук, МГУ, Москва

Sol. B 255, 1700235 (2018).

(2013).

12.

А. В. Соколов, Оптические свойства металлов,

31.

T. Haider, Int. J. Electromagn. Appl. 7, 17 (2017).

ГИФМЛ, Москва (1961).

32.

V. I. Belotelov and A. K. Zvezdin, J. Opt. Soc. Amer.

13.

K. Mok, G. J. Kovács, J. McCord et al., Phys. Rev.

B 22, 286 (2005).

B 84, 094413 (2011).

33.

K. W. Wierman, J. N. Hilfiker, R. F. Sabiryanov et

14.

K. Mok, C. Scarlat, G. J. Kovács et al., J. Appl. Phys.

al., Phys. Rev. B 55, 3093 (1997).

110, 123110 (2011).

34.

R. Rauer, G. Neuber, J. Kunze et al., Rev. Sci. Instr.

15.

D. Schmidt, C. Briley, E. Schubert et al., Appl. Phys.

76, 023910 (2005).

Lett. 102, 123109 (2013).

35.

R. M. A. Azzam and N. M. Bashara, Ellipsometry and

16.

P. Yeh, Surface Science 96, 41 (1980).

Polarized Light, North-Holland Pub. Co., Amsterdam

17.

O. A. Maximova, N. N. Kosyrev, S. N. Varnakov et

(1977).

al., J. Magn. Magn. Mater. 440, 196 (2017).

36.

H. Fujiwara, Spectroscopic Ellipsometry Principles

18.

O. A. Maximova, N. N. Kosyrev, S. N. Varnakov

and Applications, John Wiley & Sons Ltd., Chiches-

et al., IOP Conference Series: Materials Science and

ter (2007).

Engineering 155, 012030 (2017).

37.

В. И. Белотелов, Плазмонные гетероструктуры и

19.

O. A. Maximova, S. A. Lyaschenko, S. N. Varnakov

фотонные кристаллы с перестраиваемыми опти-

et al., Defect and Diffusion Forum 386, 131 (2018).

ческими свойствами, Дисс

докт. физ.-матем.

наук, МГУ, Москва (2012).

20.

O. Maximova, S. Ovchinnikov, and S. Lyaschenko,

J. Phys. A: Math. Theor. 54, 295201 (2021).

38.

А. В. Малаховский, Избранные вопросы оптики

и магнитооптики соединений переходных элемен-

21.

О. А. Максимова, С. А. Лященко, М. А. Высотин

тов, Наука, Сибирское отделение, Новосибирск

и др., Письма в ЖЭТФ 110, 155 (2019).

(1992).

22.

S. Lyaschenko, O. Maximova, D. Shevtsov et al., J.

39.

О. А. Максимова, Оптические и магнитооптиче-

Magn. Magn. Mater. 528, 167803 (2021).

ские свойства магнитных наноструктур по дан-

23.

Sh. Zhu, X. Tang, R. Wei et al., J. Magn. Magn.

ным in situ спектральной магнитооптической эл-

Mater. 484, 95 (2019).

липсометрии, Дисс

канд. физ.-матем. наук,

ФИЦ КНЦ СО РАН, Красноярск (2020).

24.

S. Y. Wu, H. X. Liu, Lin Gu et al., Appl. Phys. Lett.

82, 3047 (2003).

40.

D. den Engelsen, J. Opt. Soc. Amer. 61, 1460 (1971).

25.

T. C. Chuang, C. F. Pai, and S. Y. Huang, Phys. Rev.

41.

R. M. A. Azzam and N. M. Bashara, J. Opt. Soc.

Appl. 11, 061005 (2019).

Amer. 64, 128 (1974).

26.

Н. Б. Иванова, Н. В. Казак, Ю. В. Князев и др.,

42.

T. Wagner, J. N. Hilfiker, T. E. Tiwald et al., Phys.

ЖЭТФ 140, 1160 (2011).

Stat. Sol. A 188, 1553 (2001).

688