ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 5 (11), стр. 699-713

ОСОБЕННОСТИ ОСЦИЛЛЯЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ ПРИ

ПЕРЕСТРОЙКАХ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

ЭЛЕКТРОННЫХ ТРАЕКТОРИЙ НА СЛОЖНЫХ

ПОВЕРХНОСТЯХ ФЕРМИ

А. Я. Мальцев^*

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 11 июля 2021 г.,

после переработки 11 июля 2021 г.

Принята к публикации 13 июля 2021 г.

Рассматривается поведение классических и квантовых осцилляций в металлах со сложными поверхно-

стями Ферми вблизи направлений B, отвечающих изменениям топологической структуры динамической

системы, описывающей квазиклассическое движение квазичастиц по поверхности Ферми. Переход через

границы изменения такой структуры сопровождается резкими изменениями в картине осцилляций, вид

которых зависит самым существенным образом от топологического типа соответствующей перестройки.

Мы перечисляем здесь основные особенности таких изменений для всех топологических типов элемен-

тарных перестроек и обсуждаем возможности экспериментальной идентификации таких типов, исходя

из этих особенностей.

DOI: 10.31857/S0044451021110092

1. ВВЕДЕНИЕ

В данной работе мы хотели бы рассмотреть осо-

бенности осцилляционных явлений, наблюдающих-

ся при перестройках топологической структуры сис-

темы, описывающей квазиклассическое движение

электронов на поверхности Ферми в присутствии

внешнего магнитного поля. Как хорошо известно,

эта система имеет вид

Рис. 1. Геометрия траекторий системы (1.1) в простран-

стве квазиимпульсов

[v_gr (p) × B] =

[∇ϵ(p) × B] ,

(1.1)

где ϵ(p) представляет собой электронное дисперси-

одических поверхностей ϵ(p) = const плоскостями,

онное соотношение в кристалле для заданной зо-

ортогональными B (рис. 1).

ны проводимости. Соотношение ϵ(p) представляет

гладкую 3-периодическую функцию в p-простран-

С физической точки зрения, точки в p-простран-

стве с периодами, равными векторам обратной ре-

стве, различающиеся на векторы обратной решетки,

шетки. Как нетрудно видеть, система (1.1) сохраня-

представляют собой одно и то же физическое состо-

ет значение энергии ϵ(p) и проекцию квазиимпульса

яние, так что систему (1.1) можно рассматривать,

на направление магнитного поля, и, как следствие

в действительности, как систему на трехмерном то-

этого, ее траектории задаются пересечениями пери-

ре T³, получаемом из R³ факторизацией по векто-

рам обратной решетки. Периодические поверхности

^* E-mail: maltsev@itp.ac.ru

ϵ(p) = const после такой факторизации также пред-

699

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

ставляют собой компактные двумерные поверхнос-

ти, вложенные в T³ (как правило, топологически

нетривиальным образом). Как хорошо известно, в

теории нормальных металлов среди всех энергети-

ческих уровней наиболее важную роль играет энер-

гия Ферми, и, таким образом, наиболее важной яв-

ляется структура траекторий системы (1.1) на по-

верхности Ферми ϵ(p) = ϵ_F .

Огромная важность геометрии траекторий сис-

темы (1.1) для теории гальваномагнитных явле-

ний в металлах была установлена в работах шко-

лы И. М. Лифшица в 1950-ые годы (см. [1-8]). В

это же время было рассмотрено множество важных

Рис. 2. Области на единичной сфере, отвечающие различ-

и интересных примеров нетривиального поведения

ным топологическим структурам системы (1.1) на поверх-

траекторий системы (1.1) на сложных поверхностях

ности Ферми и границы перестроек этой структуры, раз-

Ферми, а также рассмотрены соответствующие им

деляющие эти области (схематично)

режимы поведения магнитопроводимости в сильных

магнитных полях. В общем случае, геометрия тра-

екторий системы (1.1) начинает играть определяю-

щую роль при условии ω_Bτ ≫ 1, что подразумевает

ных замкнутых траекторий всегда представляет со-

также достаточную чистоту исследуемого образца, а

бой открытое множество на поверхности Ферми и

также его низкую температуру (T ∼ 1 K) в процессе

является локально устойчивым по отношению к ма-

соответствующих измерений.

лым изменениям параметров задачи (в частности,

Несколько позднее, в работе Новикова [9] была

малым изменениям энергии Ферми или направле-

ния магнитного поля). Из приведенного факта вы-

поставлена задача общей классификации траекто-

рий системы (1.1) для произвольных соотношений

текает, в действительности, что обычно рассматри-

ваемое пространство параметров, определяющих си-

ϵ(p), которая затем весьма плодотворно исследова-

лась в его топологической школе (см. [10-16]). Топо-

стему (1.1), должно разделяться на области, в кото-

рых топологическая структура системы (1.1) может

логические результаты, полученные в школе Нови-

считаться неизменной, в то время как на границах

кова, позволили, в частности, определить новые то-

пологические характеристики, наблюдаемые в про-

таких областей происходят скачкообразные измене-

ния структуры (1.1). Изменение структуры траек-

водимости нормальных металлов [17, 18], а также

привели к открытию новых неизвестных ранее ти-

торий (1.1) на поверхности Ферми при этом всегда

связано с перестройкой структуры замкнутых тра-

пов траекторий системы (1.1) [15, 19], приводящих

к новым режимам поведения магнитопроводимости

екторий на ней, определяющей, в действительности,

также структуру других траекторий.

[20, 21]. В целом же, к настоящему моменту можно

констатировать, что исследования задачи Новикова

В данной работе нас будет интересовать прежде

привели в конечном итоге к полной классификации

всего зависимость топологической структуры систе-

всех типов траекторий системы (1.1), а также опи-

мы (1.1) от направления магнитного поля (рис. 2).

санию соответствующих режимов поведения магни-

Типичная картина границ, разделяющих различные

топроводимости в сильных магнитных полях (см.,

топологические структуры (1.1) на соответствую-

например, [16, 18, 22-25]).

щей угловой диаграмме (на единичной сфере S²),

Надо сказать, что весьма важную роль при ис-

обсуждалась в самом общем случае в работе [26],

следовании задачи Новикова играет исследование

где было также указано, что наиболее удобным ин-

множества замкнутых траекторий системы (1.1) на

струментом ее наблюдения является исследование

поверхности Ферми. Более того, можно утверждать

осцилляционных явлений (классических или кван-

даже, что знание структуры множества замкнутых

товых) при различных направлениях B. Послед-

траекторий на заданной поверхности Ферми опре-

нее обстоятельство обусловлено тем, что при из-

деляет в действительности также типы всех осталь-

менениях топологической структуры системы (1.1)

ных траекторий на ней и, в частности, позволя-

всегда происходит исчезновение (и появление но-

ет описать их глобальные геометрические свойства.

вых) экстремальных траекторий, играющих цен-

Можно отметить также, что множество несингуляр-

тральную роль в описании осцилляционных явле-

700

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Особенности осцилляционных явлений.. .

строек этой структуры обладает при этом своими

собственными особенностями в поведении осцилля-

ций, что, в частности, может быть весьма полез-

ным при экспериментальном определении топологи-

ческих типов таких перестроек.

2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТИПЫ

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПЕРЕСТРОЕК И

ОСОБЕННОСТИ КАРТИНЫ

Рис. 3. Плотная сеть границ элементарных перестроек

ОСЦИЛЛЯЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ ДЛЯ

структуры (1.1), накапливающихся вблизи границы появ-

ПЕРЕСТРОЕК РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ

ления открытых траекторий на поверхности Ферми (схе-

матично)

Как мы уже сказали, перестройки топологиче-

ской структуры системы (1.1) на поверхности Фер-

ми будут для нас означать топологические пере-

ний в сильных магнитных полях (циклотронного ре-

стройки множества замкнутых траекторий на этой

зонанса, эффекта де Гааза - ван Альфена, эффекта

поверхности. В действительности, как мы уже отме-

Шубникова - де Гааза и др.). Таким образом, грани-

чали выше, знание множества замкнутых траекто-

цы, разделяющие различные топологические струк-

рий на поверхности Ферми позволяет описать так-

туры системы (1.1), являются в действительности

же и траектории других типов на ней. Множество

также границами, на которых происходят резкие из-

замкнутых траекторий для направлений B общего

менения картины классических или квантовых ос-

положения представляет собой при этом конечный

цилляций при изменении направления B.

набор (неэквивалентных) цилиндров, ограниченных

Как было показано в [26], «сеть» границ, раз-

сингулярными замкнутыми траекториями на своих

деляющих угловую диаграмму на области фикси-

основаниях (рис. 4). Структура множества цилин-

рованной топологической структуры системы (1.1),

дров замкнутых траекторий (их положение на по-

является в общем случае довольно сложной и со-

верхности Ферми и схема их склейки с носителя-

стоит из «элементарных» сегментов, каждый из ко-

ми других траекторий и между собой) является ло-

торых соответствует некоторой «элементарной» пе-

кально устойчивой при малых вращениях направле-

рестройке структуры системы (1.1). Число «элемен-

ния B и может изменяться лишь при специальных

тарных» сегментов может быть в общем случае бес-

направлениях B, когда она становится структурой

конечным, в частности, плотность таких сегментов

необщего положения. Более точно, для перестрой-

становится бесконечной вблизи направлений B, со-

ки топологической структуры (1.1) необходимо из-

ответствующих появлению открытых траекторий на

менять направление B таким образом, чтобы высота

поверхности Ферми (рис. 3). В работе [26] были так-

одного (или нескольких) цилиндров замкнутых тра-

же описаны все «элементарные» перестройки топо-

екторий обратилась в нуль, т. е. произошло исчезно-

логической структуры (1.1) на поверхности Ферми,

вение цилиндра замкнутых траекторий с последу-

возникающие в ситуации общего положения. Каж-

ющим появлением нового цилиндра малой высоты

дой из таких перестроек соответствует, в частности,

(или нескольких цилиндров). Множества направле-

исчезновение и появление экстремальных траекто-

ний B, отвечающих моменту перестройки, представ-

рий весьма специальной формы, определяемой ее

ляют собой одномерные кривые на угловой диаграм-

топологическим типом. Как мы уже сказали, каж-

ме (на единичной сфере S²), объединение которых и

дая из границ перестроек структуры (1.1) (одномер-

образует «сеть» направлений B, соответствующих

ных кривых на рис. 2 и 3) соответствует элементар-

перестройкам структуры (1.1) на поверхности Фер-

ной перестройке определенного топологического ти-

ми.

па, при этом топологические типы перестроек, отве-

Как и в работе [26], мы не будем уделять здесь

чающих разным кривым, вообще говоря, различны.

внимания исчезновению и появлению «тривиаль-

Основной целью данной работы является рас-

ных» цилиндров замкнутых траекторий, т. е. цилин-

смотрение особенностей наблюдения осцилляцион-

дров, хотя бы одно из оснований которого стягива-

ных явлений в момент изменения топологической

ется в единственную особую точку (рис. 5), и бу-

структуры системы (1.1) на поверхности Ферми.

дем рассматривать только перестройки цилиндров,

Как мы увидим, каждая из «элементарных» пере-

оба основания которых «нетривиальны» (рис. 4). В

701

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Рис. 4. «Нетривиальный» цилиндр замкнутых траекторий,

ограниченный сингулярными траекториями на своих осно-

ваниях

Рис. 7. «Цилиндры нулевой высоты», возникающие в мо-

менты перестройки топологической структуры системы

(1.1) на поверхности Ферми

Рис. 5. «Тривиальный» цилиндр замкнутых траекторий

на поверхности Ферми

вой высоты», содержащий две особые точки систе-

мы (1.1), соединенные сингулярными траекториями.

Для каждой из «элементарных» перестроек струк-

случае общего положения можно считать, что на

туры (1.1) соответствующий «цилиндр нулевой вы-

каждом из оснований таких цилиндров присутству-

соты» представляет собой плоский граф, лежащий в

ет ровно одна особая точка системы (1.1), а каж-

плоскости, ортогональной B, и топологически экви-

дое из оснований представляет собой одну из фи-

валентный одной из фигур, изображенных на рис. 7.

гур, изображенных на рис. 6. В момент перестройки

Как было показано в [26], для определения тополо-

структуры системы (1.1) возникает «цилиндр нуле-

гического типа «элементарной» перестройки систе-

мы (1.1) достаточно зафиксировать топологический

тип соответствующего «цилиндра нулевой высоты»

и указать, являются ли групповые скорости в его

особых точках сонаправленными, или направленны-

ми противоположно друг другу.

Важнейшим обстоятельством в рассматриваемой

ситуации является то, что на каждом из цилиндров

малой высоты вплоть до его исчезновения присут-

ствуют экстремальные замкнутые траектории си-

стемы (1.1) (имеющие экстремальный период обра-

щения или площадь по сравнению с близкими тра-

екториями), исчезающие вместе с соответствующим

цилиндром (рис. 8). При появлении нового цилин-

дра замкнутых траекторий на нем появляются но-

вые экстремальные траектории, отличающиеся от

исчезнувших своей геометрией. Как следствие это-

го, при каждой перестройке топологической струк-

туры системы (1.1) происходит резкое изменение

картины осцилляционных явлений в сильном маг-

нитном поле, что является удобным инструментом

Рис. 6. Возможные типы оснований «нетривиальных» ци-

линдров замкнутых траекторий

для наблюдения описанной выше «сети» направле-

ний B на угловой диаграмме. Надо сказать, что экс-

702

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Особенности осцилляционных явлений.. .

Рис. 8. Экстремальная замкнутая траектория на исчеза-

ющем (появляющемся) цилиндре замкнутых траекторий

вблизи момента перестройки топологической структуры

системы (1.1) на поверхности Ферми

тремальные замкнутые траектории, возникающие

на цилиндрах малой высоты, обладают определен-

ными особенностями по сравнению с обычными экс-

тремальными траекториями, а именно, они содер-

жат участки, очень близкие к особым точкам систе-

мы (1.1). Данное обстоятельство приводит, в частно-

сти, к неограниченному увеличению периода обра-

Рис. 9. Цилиндры замкнутых траекторий, содержащие тра-

щения по таким траекториям при уменьшении высо-

ектории экстремальной (минимальной и максимальной)

ты цилиндра, а также к ряду других особенностей,

площади (а,б), и цилиндр, не содержащий траекторий экс-

возникающих, к примеру, при наблюдении явления

тремальной площади (в)

циклотронного резонанса (см., например, [26]).

В данной работе, однако, нам хотелось бы рас-

экстремальных траекторий на два указанных типа.

смотреть более подробно особенности экстремаль-

Как мы уже сказали, мы будем рассматривать

ных траекторий и соответствующих им осцилляци-

здесь цилиндры замкнутых траекторий с «нетриви-

онных явлений, возникающие при каждой из эле-

альными» основаниями, содержащими по одной осо-

ментарных перестроек структуры (1.1), что, с на-

бой точке системы (1.1). Нетрудно видеть, что пери-

шей точки зрения, может оказаться весьма полез-

од обращения по замкнутым траекториям на каж-

ным при экспериментальном изучении полной кар-

дом из таких цилиндров неограниченно (логариф-

тины перестроек топологии этой системы на слож-

мически) возрастает при приближении к каждому

ных поверхностях Ферми. Как хорошо известно (см.,

из оснований. Как следствие этого, на каждом из та-

например, [7, 27, 28]), при описании осцилляцион-

ких цилиндров должна присутствовать по крайней

ных явлений в действительности оказываются важ-

мере одна экстремальная траектория, обладающая

ными замкнутые экстремальные траектории двух

минимальным периодом обращения по сравнению с

типов, а именно, траектории, обладающие экстре-

близкими к ней траекториями.

мальным периодом обращения и траектории, обла-

дающие экстремальной площадью по сравнению с

Что касается площади замкнутых траекторий,

близкими к ним траекториями. Траектории перво-

легко видеть, что она остается конечной на осно-

го типа, как правило, играют при этом определя-

ваниях цилиндров. Ее производная по расстоянию

ющую роль в описании классических осцилляци-

до соответствующего основания, однако, обращает-

онных явлений (классический циклотронный резо-

ся в бесконечность (по логарифмическому закону)

нанс), в то время как траектории второго типа яв-

и может иметь положительный или отрицательный

ляются важными при описании квантовых осцил-

знак в зависимости от геометрии цилиндра. Как и

ляционых явлений (эффект де Гааза - ван Альфе-

для траекторий первого типа, данное обстоятель-

на, эффект Шубникова - де Гааза и др.). Нередко,

ство здесь также обусловлено наличием особых то-

в действительности, одна и та же траектория мо-

чек на основаниях цилиндров и связано с локаль-

жет быть экстремальной как с первой, так и со

ной геометрией траекторий вблизи этих точек. В за-

второй точки зрения, как правило, это имеет ме-

висимости от знаков производной площади по рас-

сто для центрально-симметричных сечений поверх-

стоянию (высоте) до основания цилиндра на обоих

ности Ферми. В большинстве из ситуаций, рассмат-

основаниях цилиндр замкнутых траекторий может

риваемых нами ниже, однако, это не будет иметь

как содержать экстремальные траектории второго

места, поэтому нам надо сразу провести разделение

типа, так и не содержать их. На рис. 9 представ-

703

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

лены примеры как цилиндров, содержащих экстре-

мальные траектории второго типа (а,б), так и ци-

линдра, не содержащего такой траектории (в). Мож-

но отметить здесь, что экстремальная траектория

на рис. 9a, имеет минимальную площадь, в то вре-

мя как экстремальная траектория на рис. 9б имеет

максимальную площадь по сравнению с близкими к

ним траекториями.

Можно видеть, таким образом, что любая пе-

рестройка структуры (1.1) всегда сопровождается

резким изменением, например, картины осцилляций

при наблюдении циклотронного резонанса, в то вре-

мя как в картине осцилляций де Гааза - ван Альфе-

на или Шубникова - де Гааза может и не происхо-

дить резких изменений (если цилиндры малой вы-

соты по обе стороны от перестройки не содержат

траекторий экстремальной площади). Можно осо-

бо отметить при этом перестройки (1.1), обладаю-

щие центральной симметрией. В этом случае цен-

тральные сечения цилиндров малой высоты всегда

Рис. 10. Одна из наиболее распространенных перестроек

являются экстремальными траекториями как пер-

топологической структуры системы (1.1) на поверхности

вого, так и второго типов.

Ферми и экстремальные траектории на цилиндрах малой

В самом общем случае цилиндры малой высоты

высоты до и после перестройки (цветом обозначены участ-

могут содержать экстремальные траектории обоих

ки, близко подходящие к особым точкам системы (1.1))

типов, которые, однако, не совпадают друг с дру-

гом. В этом случае, хотя перестройка структуры

(1.1) сопровождается резким изменением картины

осцилляций всех типов, можно наблюдать разли-

чие в параметрах соответствующих исчезающих или

возникающих осцилляционных членов. Так, напри-

мер, при наблюдении явления циклотронного резо-

нанса происходит непосредственное измерение пе-

риода обращения по экстремальным траекториям,

дающим главные члены в общую картину осцилля-

ций. Вместе с тем, период обращения может быть

измерен и для траекторий экстремальной площади,

например, по температурной зависимости соответ-

ствующих квантовых осцилляций [7, 29]. Легко ви-

деть, что эти величины должны совпадать в слу-

чае, когда оба типа осцилляций порождаются одной

и той же траекторией и отличаются, если разные

типы осцилляций отвечают разным экстремальным

траекториям.

В качестве примера можно рассмотреть две раз-

личные перестройки, приведенные на рис. 10 и 11.

Обе перестройки соответствуют в действительности

одной и той же топологии «цилиндра нулевой вы-

Рис. 11. Одна из возможных перестроек топологической

соты» (первой из приведенных на рис. 7) и отлича-

структуры системы (1.1) на поверхности Ферми и экстре-

мальные траектории на цилиндрах малой высоты до и по-

ются лишь направлениями групповых скоростей в

сле перестройки (цветом обозначены участки, близко под-

двух седловых особых точках системы (1.1) (разно-

ходящие к особым точкам системы (1.1))

направленные и сонаправленные скорости в особых

точках).

704

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Особенности осцилляционных явлений.. .

Перестройка, приведенная на рис. 10, может об-

ладать центральной симметрией и, таким образом,

возможно ее появление на одном участке поверх-

ности Ферми (наиболее распространенный случай).

Впрочем, топологическая структура на рис. 10 мо-

жет и не обладать центральной симметрией. В этом

случае она должна возникать одновременно на двух

участках поверхности Ферми, переходящих друг в

друга при инверсии в p-пространстве. Независимо

от того, обладает ли структура на рис. 10 централь-

ной симметрией или нет, на соответствующих ци-

линдрах малой высоты, как до, так и после пере-

стройки, возникают траектории экстремальной пло-

щади, при этом одна из них (до перестройки) име-

ет минимальную площадь, а вторая (после пере-

стройки) — максимальную площадь по сравнению

с близкими к ним траекториями. Таким образом,

перестройка, приведенная на рис. 10, должна все-

гда сопровождаться как резким скачком одного из

осциллирующих членов в классических осцилляци-

ях (изменение геометрии траектории экстремально-

го периода), так и резким скачком в одном из осцил-

лирующих членов в квантовых осцилляциях (изме-

нении геометрии траектории экстремальной площа-

ди). Как траектории экстремального периода, так

и траектории экстремальной площади имеют здесь

форму, приведенную на рис. 10, при этом в случае

наличия центральной симметрии они просто сов-

падают. Как мы уже говорили выше, в последнем

случае периоды обращения, измеренные из класси-

ческих осцилляций и температурной зависимости

квантовых осцилляций соответствующих осцилля-

ционных членов обязаны совпадать.

Перестройка, представленная на рис. 11, не мо-

жет обладать центральной симметрией и ее появле-

Рис. 12. Перестройка структуры (1.1), не обладающая цен-

ние возможно лишь парами, на участках поверхно-

тральной симметрией. Траектории экстремальной площа-

сти Ферми, переходящих друг в друга при инверсии

ди на цилиндрах малой высоты отсутствуют как до пере-

в p-пространстве. Цилиндры малой высоты, как до,

стройки, так и после нее. Траектории минимального пери-

так и после перестройки, совпадают с изображен-

ода обращения по разные стороны от перестройки имеют

ным на рис. 9в и не содержат траекторий экстре-

один и тот же тип (электронный или дырочный)

мальной площади. На этих цилиндрах, тем не менее,

всегда присутствуют траектории с экстремальным

периодом обращения, форма которых представлена

него и верхнего оснований цилиндров малой высо-

на рис. 11. При переходе через границу такой пере-

ты до и после перестройки (а,б и г,д), форма экс-

стройки, таким образом, происходит скачок (резкое

тремальных траекторий на цилиндрах малой высо-

изменение одного из осцилляционных членов) лишь

ты (в и е), а также структура «цилиндра нулевой

в картине классических осцилляций (классический

высоты», возникающего непосредственно в момент

циклотронный резонанс и т. п.).

перестройки (ж). Строго говоря, приведенные ри-

Ниже, на рис. 12-21 представлены все оставшие-

сунки точно передают локальную геометрию экс-

ся топологические типы «элементарных» перестро-

тремальных траекторий вблизи упомянутых выше

ек системы (1.1). Кроме изображений самой пере-

«участков замедления» на них (закрашенные участ-

стройки на рис. 12-21 приведены также форма ниж-

ки), а также топологию их соединения оставшимися

705

ЖЭТФ, вып. 5 (11)

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Рис. 14. Перестройка структуры (1.1), не обладающая цен-

тральной симметрией. Траектории экстремальной площа-

Рис. 13. Перестройка структуры (1.1), не обладающая цен-

ди на цилиндрах малой высоты отсутствуют как до пере-

тральной симметрией. Траектории экстремальной площа-

стройки, так и после нее. Траектории минимального пери-

ди на цилиндрах малой высоты отсутствуют как до пере-

ода обращения по разные стороны от перестройки имеют

стройки, так и после нее. Траектории минимального пери-

один и тот же тип (электронный или дырочный)

ода обращения по разные стороны от перестройки имеют

различные типы (электронный — с одной стороны от пе-

рестройки и дырочный — с другой)

новной целью настоящей работы является описание

особенностей осцилляционных (и других) явлений,

позволяющих опознавать различные типы «элемен-

участками траектории, а в остальном могут быть

тарных» перестроек системы (1.1) при их экспери-

сложнее геометрически. Для рассматриваемых ци-

ментальном наблюдении.

линдров малой высоты экстремальные траектории

обоих типов при этом геометрически очень близки

На рис. 12-16 приведены перестройки, во вре-

друг к другу в p-пространстве (если оба типа тра-

мя которых не появляются и не исчезают траек-

екторий присутствуют на цилиндре), однако могут

тории экстремальной площади на соответствующих

заметно отличаться друг от друга другими пара-

цилиндрах малой высоты. Экстремальные траекто-

метрами (например, величиной периода обращения

рии, показанные на этих рисунках, обладают только

по траектории). Как мы уже говорили выше, ос-

минимальным периодом обращения среди всех тра-

706

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Особенности осцилляционных явлений.. .

Рис. 16. Перестройка структуры (1.1), не обладающая цен-

тральной симметрией. Траектории экстремальной площа-

Рис. 15. Перестройка структуры (1.1), не обладающая цен-

ди на цилиндрах малой высоты отсутствуют как до пере-

тральной симметрией. Траектории экстремальной площа-

стройки, так и после нее. Траектории минимального пери-

ди на цилиндрах малой высоты отсутствуют как до пере-

ода обращения по разные стороны от перестройки имеют

стройки, так и после нее. Траектории минимального пери-

один и тот же тип (электронный или дырочный)

ода обращения по разные стороны от перестройки имеют

различные типы (электронный — с одной стороны от пе-

рестройки и дырочный — с другой)

другу. Возвращаясь к описанию элементарных пе-

рестроек в терминах топологии «цилиндров нуле-

екторий цилиндра. Вместе с перестройкой, приве-

вой высоты» (рис. 7), легко сформулировать прос-

денной на рис. 11, такие перестройки можно отнести

тое правило. А именно, для любого из типов «ци-

к перестройкам первой группы. Как мы уже говори-

линдров нулевой высоты», приведенных на рис. 7,

ли выше, перестройки такого типа отличаются тем,

на соответствующих цилиндрах малой высоты (как

что происходит резкая замена части осцилляцион-

до, так и после перестройки) возникают траектории

ных членов лишь в картине классических осцилля-

экстремальной площади, если групповые скорости

ций.

в его особых точках направлены противоположно

друг другу.

Как нетрудно проверить, во всех перестройках,

представленных на рис. 11-16, групповые скорости

Приведенное выше правило легко обосновать, ис-

в двух седловых особых точках сонаправлены друг пользуя хорошо известную формулу

707

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Рис. 17. Перестройка структуры (1.1), не обладающая цен-

тральной симметрией. Траектории экстремальной площа-

ди на цилиндрах малой высоты присутствуют как до пере-

стройки (траектория максимальной площади), так и после

Рис. 18. Перестройка структуры (1.1), которая может обла-

нее (траектория минимальной площади). Площадь экстре-

дать центральной симметрией. Траектории экстремальной

мальной траектории до перестройки всегда больше площа-

площади на цилиндрах малой высоты присутствуют как до

ди экстремальной траектории после перестройки. Экстре-

перестройки (траектория максимальной площади), так и

мальные траектории по обе стороны от перестройки имеют

после нее (траектория минимальной площади). Площадь

один и тот же (электронный или дырочный) тип

экстремальной траектории до перестройки всегда больше

площади экстремальной траектории после перестройки.

∮

Экстремальные траектории по обе стороны от перестройки

∂S

v^zgr dt

имеют один и тот же (электронный или дырочный) тип

∂p_z

(где t — время движения по траектории) для пло-

траекториях экстремальной площади мы имеем при

щади замкнутой траектории в p-пространстве S(p_z).

этом соотношение

Поскольку особые точки вблизи перестройки нахо-

дятся на основаниях цилиндров малой высоты, а

∮

время их прохождения стремится к бесконечности

v^zgr dt = 0.

при приближении к основаниям цилиндра, данное

соотношение определяет знаки ∂S/∂p_z вблизи осно-

Можно отметить при этом, что экстремальные

ваний цилиндров. Как также хорошо известно, на траектории, приведенные на рис. 12, 13, так же как

708

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Особенности осцилляционных явлений.. .

Рис. 20. Перестройка структуры (1.1), не обладающая цен-

тральной симметрией. Траектории экстремальной площа-

Рис. 19. Перестройка структуры (1.1), не обладающая цен-

ди на цилиндрах малой высоты присутствуют как до пере-

тральной симметрией. Траектории экстремальной площа-

стройки (траектория минимальной площади), так и после

ди на цилиндрах малой высоты присутствуют как до пере-

нее (траектория минимальной площади). Экстремальные

стройки (траектория минимальной площади), так и после

траектории по разные стороны от перестройки имеют раз-

нее (траектория минимальной площади). Экстремальные

личные типы (электронный — с одной стороны от пере-

траектории по разные стороны от перестройки имеют раз-

стройки и дырочный — с другой)

личные типы (электронный — с одной стороны от пере-

стройки и дырочный — с другой)

ние к особой точке (1.1) означает наличие «участ-

ка замедления» на данном участке траектории, т.е.

конечной добавки к периоду обращения по траекто-

и траектории, приведенные на рис. 11, приближа-

рии. Соответствующая добавка к периоду обраще-

ются к седловым особым точкам системы (1.1) три

ния растет логарифмически при уменьшении угла

раза (дважды к одной из особых точек и один раз ко

α между направлением B и границей перестройки

второй). При этом по разные стороны от перестрой-

системы (1.1) и при α ≪ 1 может быть записана в

ки кратность подхода особой траектории к каждой

виде

из особых точек изменяется (до перестройки траек-

тория подходит дважды к одной из особых точек, а

ΔT_i ≃

после перестройки — к другой). Каждое приближе-

√G_i ln

eBvgr)

709

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Нетрудно видеть при этом, что при пересечении гра-

ницы соответствующая полная добавка к периоду

обращения по экстремальной траектории меняется

с величины

ΔT (α) = 2T₁(α) + T₂(α)

на величину

T₁(α) + 2T₂(α),

что выделяет перестройки на рис. 11-13 среди всех

перестроек, изображенных на рис. 11-16. Для раз-

личения перестроек на рис. 11-13 между собой мо-

жет, например, использоваться тест на возможность

попадания участков замедления на траектории в

скин-слой с каждой из сторон от линии соответству-

ющей перестройки (см. [26]).

Для перестроек, приведенных на рис. 14, 15, мы

имеем другую ситуацию. А именно, теперь экстре-

мальные траектории имеют по два «участка замед-

ления» с одной стороны от перестройки и по четыре

«участка замедления» с другой. Легко видеть, что

при переходе через соответствующую границу пе-

рестройки полная добавка к периоду обращения за

счет «участков замедления» меняется с величины

ΔT (α) = T₁(α) + T₂(α)

на величину

2 (T₁(α) + T₂(α)) ,

что также позволяет выделить эти перестройки сре-

ди шести перестроек первой группы.

Для различения перестроек на рис. 14, 15 могут

быть использованы, например, их геометрические (и

Рис. 21. Перестройка структуры (1.1), которая может обла-

топологические) различия в p-пространстве, кото-

дать центральной симметрией. Траектории экстремальной

рые переносятся также и в координатное простран-

площади на цилиндрах малой высоты присутствуют как

ство. Например для траектории, изображенной на

до перестройки (пара траекторий минимальной площади),

рис. 14в, большинство ее участков могут находиться

так и после нее (одна траектория минимальной площади

в скин-слое у границы образца как до пересечения

и одна траектория максимальной площади). Пара экстре-

мальных траекторий с одной стороны от перестройки обла-

границы перестройки, так и непосредственно после

дает одним и тем же типом. После перестройки возникает

ее пересечения (мы считаем, что магнитное поле на-

пара экстремальных траекторий противоположных типов,

правлено параллельно границе образца). Для тра-

причем тип траекторий большей площади совпадает с ти-

ектории, приведенной на рис. 15в, таких участков

пом экстремальных траекторий до перестройки

не существует, что обусловлено существенно дру-

гой топологией ее перестройки. Приведенное разли-

где vgr) и G_i — значения соответственно групповой

чие для рассматриваемых перестроек может быть

скорости и гауссовой кривизны поверхности Ферми

установлено, например, по отсутствию или наличию

в каждой из особых точек (i = 1, 2).

скачка в направлении v_gr на участке, попадающем

Полные значения ΔT(α) могут быть измерены

в скин-слой, при пересечении границы перестройки.

при достаточно точном измерении периода обра-

Отметим здесь также, что измерение соответству-

щения в классических осцилляционных явлениях и

ющего направления v_gr практически всегда прово-

достаточно близком приближении направления B

дится при наблюдении классического циклотронно-

к границе перестройки структуры системы (1.1).

го резонанса.

710

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Особенности осцилляционных явлений.. .

Перестройка, приведенная на рис. 16, отличает-

ния магнитного поля к границе перестройки струк-

ся от всех других перестроек, рассмотренных выше,

туры системы (1.1) (и уменьшении высоты соответ-

а именно, здесь каждая из экстремальных траекто-

ствующего цилиндра замкнутых траекторий до ну-

рий имеет четыре «участка замедления» (с каждой

ля). Данное обстоятельство позволяет легко иден-

из сторон от границы перестройки). При переходе

тифицировать описываемые нами здесь траектории

через соответствующую границу перестройки пол-

минимальной и максимальной площади, и, в частно-

ная добавка к периоду обращения за счет «участ-

сти, отличать экспериментально перестройки, при-

ков замедления» при этом не меняется и остает-

веденные на рис. 10, 17, 18, от перестроек, приведен-

ся равной 2 (T₁(α) + T₂(α)). Легко видеть, что дан-

ных на рис. 19-21. Как также видно на рис. 10, 17,

ное свойство позволяет однозначно идентифициро-

18, во всех этих случаях траектории максимальной

вать приведенную перестройку среди всех перестро-

площади имеют большую площадь, нежели траек-

ек первой группы.

тории минимальной площади.

Приведенные на рис. 17-21 оставшиеся типы пе-

Кроме указанного выше обстоятельства, можно

рестроек системы (1.1), напротив, обладают тем

еще отметить, что во всех перестройках, приведен-

свойством, что в них на цилиндрах малой высоты

ных на рис. 10, 17, 18, траектории экстремальной

присутствуют траектории экстремальной площади,

площади имеют один и тот же тип (электронный или

как до, так и после перестройки. Вместе с пере-

дырочный) до и после перестройки. Это обстоятель-

стройкой, показанной на рис. 10, они образуют вто-

ство может также быть легко установлено экспе-

рой класс перестроек, дополняющий класс перестро-

риментально по поведению квантовых осцилляций

ек, приведенных на рис. 11-16. Все эти перестрой-

поперечной (холловской проводимости), что также

ки экспериментально легко отличимы от перестро-

позволяет отличить эти перестройки от приведен-

ек из первого класса, поскольку наряду со скачком

ных на рис. 19-21.

в картине классических осцилляций в них проис-

Что касается различия перестроек, приведенных

ходит также скачок в картине квантовых осцилля-

на рис. 10, 17, 18, то здесь, как и выше, можно сразу

ций (резкая замена одних осцилляционных членов

отметить отличие перестройки на рис. 17, состоящее

другими). Для экспериментального различения пе-

в наличии трех участков замедления на траектори-

рестроек этого класса между собой могут быть так-

ях цилиндров малой высоты, как по одну, так и по

же использованы описанные выше (а также другие)

другую сторону от перестройки. Это обстоятельство

особенности осцилляционной картины при наблю-

позволяет сразу отличить перестройку на рис. 17 от

дении классических осцилляций. Но, конечно, эти

двух других, например, по измерению периода обра-

перестройки также отличаются друг от друга осо-

щения по траектории при наблюдении классических

бенностями изменений в картине квантовых осцил-

осцилляций или температурной зависимости кван-

ляций, на которых нам и хотелось бы остановиться

товых осцилляций (замена ΔT(α) = 2T₁(α) + T₂(α)

ниже.

на T₁(α)+2T₂(α)). Но в действительности, этот факт

Отметим сразу, что перестройки, приведенные

легко установить также и при простом наблюдении

на рис. 10, 17, 18, отличаются от перестроек, при-

квантовых осцилляций по поведению площади S(α)

веденных на рис. 19-21. А именно, для всех пере-

экстремальной траектории вблизи границы перехо-

строек, изображенных на рис. 10, 17, 18, траекто-

да, где ее главная зависимость от α обусловлена

рии экстремальной площади имеют минимальную

именно подходами к особым точкам системы (1.1).

площадь с одной стороны от перестройки и макси-

Для различения перестроек, приведенных на рис. 10

мальную с другой стороны. В данном случае ми-

и рис. 18, можно, например, исследовать возмож-

нимальность (максимальность) площади траекто-

ность попадания участка замедления в скин-слой у

рии означает, что площади траекторий увеличива-

границы образца [26] при наблюдении циклотронно-

ются (уменьшаются) при приближении к основани-

го резонанса (оно возможно с одной стороны от пе-

ям соответствующего цилиндра замкнутых траек-

рестройки для перестройки на рис. 10 и невозможно

торий при фиксированном направлении B. Это, как

для перестройки на рис. 18 в силу особенностей гео-

мы уже говорили, происходит из-за наличия особых

метрии траекторий).

точек на основании таких цилиндров. В действи-

Для перестроек, представленных на рис.

19,

тельности, по той же причине, такое же увеличение

20, экстремальные траектории имеют минимальную

(уменьшение) минимальной (максимальной) площа-

площадь как на исчезающем, так и на появляю-

ди траектории (с неограниченно растущей произ-

щемся цилиндре замкнутых траекторий. В обеих

водной) происходит и при приближении направле-

этих перестройках экстремальные траектории име-

711

А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

ют разные типы (электронный и дырочный) по раз-

таким образом, что возникновение магнитного про-

ные стороны от перестройки. Оба указанных обсто-

боя на описанных выше специальных экстремаль-

ятельства могут быть легко установлены прп на-

ных траекториях также должно привести к интерес-

блюдении квантовых осцилляций различного типа

ным явлениям, в частности, существенно повлиять

(эффект Де Гааза - ван Альфена, эффект Шубнико-

на квантование электронных уровней для траекто-

ва - Де Гааза) и отличают перестройки на рис. 19,

рий экстремальной площади. Надо сказать, однако,

20 от всех остальных перестроек. Различие между

что возникновение магнитного пробоя на описанных

перестройками, приведенными на рис. 19 и рис. 20,

траекториях может происходить лишь при доволь-

заключается, например, в количестве участков за-

но больших значениях B и лишь при очень точном

медления на соответствующих траекториях до и по-

приближении направления магнитного поля к гра-

сле перестройки. Как мы уже видели выше, это раз-

нице перестройки топологической структуры систе-

личие может быть также легко установлено при на-

мы (1.1) (см. [26]). Как следствие этого, ясная карти-

блюдении как классических, так и квантовых осцил-

на соответствующих эффектов должна наблюдать-

ляций.

ся лишь в весьма прецизионных экспериментах, поз-

Перестройка, приведенная на рис. 21, как лег-

воляющих задавать направления магнитного поля с

ко видеть, во многих аспектах отличается от всех

весьма большой точностью (и может быть отмече-

рассмотренных нами ранее перестроек. В этой пере-

на лишь как некоторое размытие описанных выше

стройке происходит исчезновение и появление сра-

резких изменений в осцилляционной картине в весь-

зу пары экстремальных траекторий. С одной сто-

ма узкой области вблизи границы перестройки при

роны от перестройки обе траектории имеют один

меньшем разрешении). В этой ситуации, безуслов-

тип (электронный или дырочный), в то время как

но, зависимость картины осцилляций (в особенности

с другой стороны возникает пара траекторий раз-

квантовых) от топологического типа перестройки в

личных типов. Данное обстоятельство может быть,

условиях развитого магнитного пробоя также пред-

в частности, установлено при наблюдении кванто-

ставляет большой интерес.

вых осцилляций проводимости, что позволяет сра-

зу идентифицировать данную перестройку экспери-

ментально. Отметим здесь также, что перестройка,

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

приведенная на рис. 21, может обладать централь-

ной симметрией, что позволяет практически всегда

Рассмотрены особенности осцилляционных яв-

предполагать такую симметрию для реальных по-

лений в металлах вблизи границ перестройки то-

верхностей Ферми.

пологической структуры системы, описывающей

Все наши рассуждения выше проводились без

адиабатическую динамику квазичастиц на слож-

учета спина электронов. Легко видеть, что учет спи-

ных поверхностях Ферми. Каждая элементарная

новых состояний приводит к расщеплению каждого

перестройка такой структуры связана с изменени-

из осцилляционных членов на два в соответствии с

ем картины замкнутых траекторий на поверхно-

направлением спина вдоль или против направления

сти Ферми, состоящей в исчезновении части ци-

B. Кроме того, в рассмотрении мы не учитывали

линдров замкнутых траекторий и возникновением

также влияния фазы Берри, которое может прояв-

новых. Каждая из таких перестроек обладает сво-

ляться в материалах с отсутствием центра инверсии

ей топологической структурой, при этом имеется

или симметрии по отношению к обращению време-

конечное число топологических типов таких пере-

ни. Возникновение ненулевой кривизны Берри в та-

строек. Важнейшим обстоятельством в каждой из

ких материалах может также привести к ряду инте-

перестроек является исчезновение части замкнутых

ресных эффектов в рассматриваемой ситуации.

траекторий, обладающих экстремальными значени-

В заключение, нам хотелось бы упомянуть здесь

ями площади или периода обращения, что приво-

еще явление магнитного пробоя, которое может наб-

дит к резким наблюдаемым изменениям в картине

людаться в описываемой ситуации. Как хорошо из-

осцилляционных явлений в процессе перестройки.

вестно, явление (внутризонного) магнитного про-

Особенности таких изменений при этом непосред-

боя наблюдается во многих веществах в достаточ-

ственно связаны с геометрией исчезающих и появ-

но сильных магнитных полях и, в частности, может

ляющихся экстремальных траекторий, определяе-

приводить ко многим интересным эффектам, воз-

мой топологическим типом перестройки. В работе

никая на траекториях системы (1.1) различной гео-

представлено детальное сопоставление особенностей

метрии (см., например, [7, 30-35]). Можно ожидать,

изменения картины классических и квантовых ос-

712

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Особенности осцилляционных явлений.. .

цилляций в момент перестройки с ее топологиче-

14.

I. A. Dynnikov, Surfaces in 3-torus: Geometry of

ским типом и предложены методы идентификации

Plane Sections, Proc. of ECM2, BuDA (1996).

топологических типов по этим особенностям. Пред-

15.

I. A. Dynnikov, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2,

ложенные методы, на наш взгляд, могут оказаться

Vol. 179, AMS, Providence, RI (1997), p. 45.

весьма полезными при исследовании геометрии до-

статочно сложных поверхностей Ферми с помощью

16.

И. А. Дынников, УМН 54, 21 (1999).

классических или квантовых осцилляций в сильных

17.

С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, Письма в ЖЭТФ

магнитных полях.

63, 809 (1996).

Финансирование. Исследование выполнено

18.

С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, УФН 168, 249

при поддержке Российского научного фонда (про-

(1998).

ект № 21-11-00331).

19.

С. П. Царев, Частное сообщение (1992-93).

20.

А. Я. Мальцев, ЖЭТФ 112, 1710 (1997).

ЛИТЕРАТУРА

21.

А. Я. Мальцев, С. П. Новиков, Труды МИАН 302,

И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов,

296 (2018).

ЖЭТФ 31, 63 (1956).

22.

A. Ya. Maltsev and S. P. Novikov, Solid State Phys.,

И. М. Лифшиц, В. Г. Песчанский, ЖЭТФ 35, 1251

Bulletin of Braz. Math. Society, New Series 34, 171

(1958).

(2003).

И. М. Лифшиц, В. Г. Песчанский, ЖЭТФ 38, 188

23.

A. Ya. Maltsev and S. P. Novikov, J. Stat. Phys. 115,

(1960).

31 (2004).

И. М. Лифшиц, М. И. Каганов, УФН 69, 419

24.

А. Я. Мальцев, С. П. Новиков, УМН 74, 149 (2019).

(1959).

25.

С. П. Новиков, Р. Де Лео, И. А. Дынников,

И. М. Лифшиц, М. И. Каганов, УФН 78, 411

А. Я. Мальцев, ЖЭТФ 156, 761 (2019).

(1962).

26.

А. Я. Мальцев, ЖЭТФ 158, 1139 (2020).

И. М. Лифшиц, М. И. Каганов, УФН 87, 389

(1965).

27.

Ч. Киттель, Квантовая теория твердых тел,

Наука, Москва (1967).

И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов,

Электронная теория металлов, Наука, Москва

28.

А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, Нау-

(1971).

ка, Москва (1987).

M. I. Kaganov and V. G. Peschansky, Phys. Rep. 372,

29.

И. М. Лифшиц, А. М. Косевич, ДАН СССР 96,

445 (2002).

963 (1954).

С. П. Новиков, УМН 37, 3 (1982).

30.

Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 32, 296 (1957).

10.

А. В. Зорич, УМН 39, 235 (1984).

31.

Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 33, 387 (1958).

11.

И. А. Дынников, УМН 47, 161 (1992).

32.

Г. Е. Зильберман, ЖЭТФ 34, 748 (1958).

12.

И. А. Дынников, Математические заметки 53, 57

33.

М. Я. Азбель, ЖЭТФ 39, 1276 (1960).

(1993).

34.

А. А. Слуцкин, ЖЭТФ 53, 767 (1967).

13.

A. V. Zorich, Proc. Geometric Study of Foliations,

(Tokyo, November 1993), ed. by T. Mizutani et al.,

35.

A. Alexandradinata and L. Glazman, Phys. Rev.

World Scientific, Singapore (1994), p. 479.

B 97, 144422 (2018).

713