ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 5 (11), стр. 730-734

БОЛЬШИЕ ЧИСЛА, ПОРОЖДАЕМЫЕ

ДЗЕТА-ФУНКЦИЕЙ РИМАНА

Ю. Н. Овчинников^*

Max-Planck Institute for Physics of Complex Systems

01187, Dresden, Germany

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 10 июня 2021 г.,

после переработки 9 июля 2021 г.

Принята к публикации 12 июля 2021 г.

Исследуются аномально большие числа, порожденные дзета-функцией Римана. Исследовано множество

простых чисел Мерсенна. Получено уравнение, связывающее величины простых чисел Мерсенна с их

номерами. Полученные результаты важны для понимания причин дисбаланса между теорией и экс-

периментом, возникающего при изучении флуктуационных поправок к проводимости квазидвухмерных

сверхпроводников.

DOI: 10.31857/S0044451021110110

воляющее установить с хорошей точностью номер

простого числа в подмножестве простых чисел Мер-

сенна.

1. ВВЕДЕНИЕ

Используемые методы могут быть также приме-

В работе [1] было показано, что плотность про-

нены для исследования флуктуационных явлений в

стых чисел δ как функция величины простого чис-

сверхпроводниках.

ла P может быть записана в виде δ = 1/ ln(P/κ),

где функция κ(P ) бесконечное число раз проходит

Термодинамика сверхпроводников хорошо опи-

через значение κ = 1. При этом ширина интерва-

сывается функционалом Гинзбурга - Ландау [3] в

лов, на концах которых κ обращается в 1, оказыва-

широкой окрестности точки перехода T_c. Ширина

ется аномально большой. В частности, оценка пер-

флуктуационной области в чистом массивном сверх-

вого такого интервала дает значение порядка 10³².

проводнике, полученная в работе [4], оказывается

Это обстоятельство открывает широкие возможно-

очень малой — порядка 10-15 K. Для описания дина-

сти для установления номеров простых чисел по их

мики сверхпроводника использование функционала

величине. В качестве примера мы рассмотрим про-

Гинзбурга - Ландау оказывается недостаточным. В

стые числа в окрестности P ∼ 10¹⁴, поскольку эта

физике применяются уравнения БКШ и темпера-

область может быть достигнута сравнительно быст-

турная техника [5], в которой необходимо исполь-

ро при расширении банка данных простых чисел.

зовать аналитическое продолжение по частоте с це-

Аномальная ширина интервала прохождения κ

лых точек. Вблизи точки перехода можно выделить

через единицу связана с наличием бесконечного чис-

три типа флуктуационных поправок. Одна из них —

ла связей между величинами простых чисел и их

флуктуационный сдвиг температуры перехода [6],

номерами, устанавливаемых уравнением Эйлера, и

две другие — поправки к проводимости: парапро-

наличием у дзета-функции Римана простого полюса

водимость (поправка Асламазова - Ларкина, AL) [7]

с вычетом единицы в точке z = 1 [2].

и поправка Маки - Томсона (MT) [8, 9]. Сдвиг тем-

Метод нумерации простых чисел мы применим

пературы перехода в «грязных» сверхпроводящих

для чисел Мерсенна. Мы получим выражение, поз-

пленках оказывается большим и в эксперименте

практически всегда наблюдается лишь поправка AL

^* E-mail: ovc@itp.ac.ru

[10]. Аномальная поправка MT оказывается подав-

730

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Большие числа, порождаемые дзета-функцией Римана

Таблица

Простые числа в интервале

Таблица 2

8796093021493-8796093022853

8796093021493

8796093021517

8796093021523

ln(P/κ)

8796093021533

8796093021587

8796093021607

15.4917121040215111

2.9166686711853

8796093021671

8796093021743

8796093021763

16.65991828181654

2.907305274520592

8796093021769

8796093021791

8796093021803

18.8927990341525

2.8838266274785

8796093021839

8796093021889

8796093021899

19.648249409415

2.87634920124975

8796093021917

8796093021941

8796093021953

8796093022033

8796093022091

8796093022141

Среднее значение P в этом интервале равно

8796093022151

8796093022237

8796093022247

8796093022261

8796093022313

8796093022349

P = 8796093022164.395348837.

(1)

8796093022391

8796093022393

8796093022427

Для определения величины κ в этой точке

8796093022501

8796093022513

8796093022567

мы воспользуемся скоррелированной интерполяци-

8796093022601

8796093022609

8796093022657

онной формулой работы [1]. Три свободных пара-

8796093022667

8796093022711

8796093022723

метра, входящих в такое уравнение, могут быть по-

лучены минимизацией по этим параметрам суммы

8796093022777

8796093022807

8796093022811

квадратов расстояний от четырех базовых точек до

8796093022853

рассматриваемой кривой. Выбирая в качестве точек

величины из табл. 2, получаем следующее модифи-

цированное уравнение для функции κ:

лена и степень подавления определяется величиной

сдвига температуры перехода.

κ = 2.884464805304654- 1.094564193816· 10-2 ×

(

)

Метод аналитического продолжения, используе-

⁽P⁾

× ln

- 18.89277990341552

мый при вычислении поправок MT, аналогичен ме-

тодике вычисления функции κ, изучаемой в данной

− 4.150905361667447· 10-4 ×

работе. Поэтому можно надеяться, что полученные

(

)₂

⁽P⁾

здесь результаты помогут понять механизм подавле-

× ln

- 18.8927990341552

(2)

ния аномальных поправок MT в проводимость тон-

ких сверхпроводящих пленок. Эта задача потребу-

Подставляя в уравнение (2) значение P =

P из

ет глубокого изучения области частот ω ≫ T. Су-

формулы (1), находим значение κ

P ):

щественно, что при этом возникает новый физиче-

ский параметр — флуктуационный сдвиг температу-

P) = 2.735299388293696.

(3)

ры перехода. Примером такого подавления служат

Используя уравнение для связи величины прос-

условно сходящиеся ряды в работе [1].

того числа с его номером N, выведенным в ра-

Эффект связан с аналитическим продолжением

боте [1], получим значение

Ń для простого числа

с дискретных частот ω_n. Для его учета необходи-

8796093022151:

мо расширять пространство — добавить к флуктуа-

ционным полям модуля и фазы параметра порядка

Ń ≈ 305429569932.

(4)

еще и флуктуации скалярного поля φ на высоких

Это значение

Ń следует сопоставить с неиз-

частотах. Эта работа выполняется в настоящее вре-

вестным сейчас точным значением номера

Ń числа

мя.

8796093022151.

Знание точного значения

Ń позволит уточнить

значение величины κ в точке

P и улучшить урав-

2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА В ОКРЕСТНОСТИ

нение (2). Для этого точку

P,κ} следует добавить

P ∼ 10¹⁴

к четырем точкам табл. 2 и использовать так рас-

ширенный базис для получения четырехпараметри-

В табл. 1 мы приводим значения простых чисел

ческого уравнения для функции κ, включающего в

в интервале 8796093021493 ≤ P ≤ 8796093022853.

себя кубический член

731

Ю. Н. Овчинников

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

(

))₃

⁽P⁾

образуют множество чисел Мерсенна. Подмноже-

- ln

κ(P₀)

ство простых чисел P образует подмножество про-

стых чисел Мерсенна. База данных простых чи-

В этом случае целесообразно использовать в каче-

сел Мерсенна приведена в [12]. Важным обстоя-

стве P₀ точк(

)

P₀

тельством является возможность установить при-

= 19.648249409415.

надлежность данного числа Мерсенна к подмноже-

κ(P₀)

ству простых чисел без установления его номера,

Используя уравнение (2) для грубой оценки ве-

подобно тому как это имеет место для простых чи-

личины P₁, при которой κ(P₁) = 1, находим

сел [13]. Для простых чисел существует связь вели-

P₁ ∼ 10³².

(5)

чины простого числа с его номером, осуществляе-

Четырехпараметрическое уравнение для функ-

мая функцией κ [1]. Подобная связь существует и на

ции κ позволит существенно улучшить оценку ве-

множестве чисел Мерсенна. Она реализуется двумя

личины P₁.

функциями {M, μ} параметра P:

Важное утверждение состоит том, что прибли-

жение Лежандра и приближение логарифмическим

∫

1.8

dP₁

интегралом Li(x) не описывают достаточно хоро-

M =

+ μ.

(7)

ln 2

(P₁ + 1) ln(P₁/κ)

шо зависимость N(P) при больших значениях P.

Масштабом больших P являются не числа порядка

Функция M на множестве простых чисел Мер-

5 · 10⁷, а числа порядка 10³² — ожидаемая величи-

сенна равна порядковому номеру числа, тем самым

на первого интервала, на концах которого функция

функция μ однозначно определена на данном мно-

κ(P ) переходит через единицу. Величина 10³² лишь

жестве. Наше предположение состоит в том, что μ

первая грубая оценка этого расстояния. Рассмотре-

ограничена.

ние значений небольшого блока последовательных

Структурный коэффициент 1.8 связан с тем, что

простых чисел при P ≈ 10¹⁴ — лишь второй шаг

все числа Мерсенна оканчиваются на {1, 3, 5, 7}, а

на пути установления номера простого числа в цен-

все простые числа Мерсенна, кроме первого, окан-

тре этого интервала, и тем самым очень точного

чиваются на 1 или 7. В области ln P ≫ 1 находим

установления величины κ

P ). В работе [11] зависи-

мость N(P ) рассматривается лишь в области P ≤

{

}

1.8

ln κ

≤ 982451653 (N = 5 · 10⁷). Отметим, что условно

M =

ln n -

+ μ,

(8)

сходящиеся ряды в уравнениях (4) работы [1] ока-

ln 2

n ln 2

зываются более информативными, чем выражение

где D — константа.

∑

для величины_P<x P-1, приведенное в Замечании

Используя данные [1], получаем для величины D

15 работы [11]. Это связано со сравнительно быст-

значение

рой сходимостью ряда

)

D = 0.832925673.

(9)

∑

⁽1

S₀ =

N ln P

Функцию μ целесообразно записать в виде

относительно условно сходящихся рядов в уравне-

μ=μ₀ +μ₁,

(10)

ниях (4) работы [1]. Точность вычисления величи-

ны S₀ можно существенно повысить, используя ин-

где μ₀ — среднее значение μ. Используя базу данных

терполяционную формулу (2) для величины κ(P) в

[12] и формулы (7), (8), находим значение констан-

интервале 5 · 10⁷ < N < 10²⁵. Переход от функции

ты μ₀,

π(x) и простых чисел P к исследованию функций

{κ(P), ξ(P)} [1] позволил доказать прохождение бес-

μ₀ = -3.753494642,

(11)

конечное число раз функцией κ(P ) через значение

и функцию μ₁ на подмножестве простых чисел Мер-

единица и выявить проблемы при определении ве-

сенна. Эти значения приведены в табл. 3.

личины даже первого такого интервала разбиения.

3. НУМЕРАЦИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

МЕРСЕННА

Числа вида

Дзета-функция Римана порождает аномально

P = 2ⁿ - 1, n = 2,3,4,...

(6)

большие числа, возникающие при исследовании свя-

732

ЖЭТФ, том 160, вып. 5 (11), 2021

Большие числа, порождаемые дзета-функцией Римана

Таблица 3. Значение функции μ1 на множестве про-

Таблица 3. Продолжение

стых чисел Мерсенна; M — номер простого числа

Мерсенна, n — параметр, определяющий величину

простого числа M

μ₁

2976221

-1.118579695

1.8293766895

3021378

-0.157683891

1.694038612

6972593

-1.3293642

1.137035997

13466917

-2.03873858

1.082091498

20996011

-2.191990747

0.207859618

24036583

-1.543200557

0.428468746

25964951

-0.743601187

1.111903997

30402457

-0.153321539

0.752828242

32582657

0.666829059

-0.06715266

37156667

1.325698746

-0.063024914

42643801

1.968011852

107

0.456372999

43112609

2.939618951

127

1.010875533

521

-1.654740498

607

-1.051484157

1279

-1.986930274

зи простых чисел с их номерами. Полученные ре-

2203

-2.39894609

зультаты позволяют надеяться, что по крайней мере

2281

-1.489300602

вторая-третья точки, в которых функция κ прохо-

3217

-1.382189683

дит через единицу, будут установлены с приличной

4253

-1.107166537

точностью в ближайшее время. В работе [1] показа-

но, что число точек, в которых κ проходит через еди-

4423

-0.208946434

ницу, бесконечно велико. Нами показано, что число

9689

-1.24532699

элементов на подмножестве простых чисел Мерсен-

9941

-0.312004771

на определяется формулами (8), (9) и расстояние

11213

0.375318259

между ними быстро растет с увеличением номера.

Сорок семь первых таких точек приведены в табл. 3

19937

-0.119178578

вместе со значениями функции μ₁ в них. Отметим,

21701

0.660657686

что относительная точность предсказания ожида-

23209

1.486196577

емой величины P возрастает с увеличением номе-

44497

0.7959539

ра M.

86243

0.077495176

110503

0.433803893

132049

0.971225783

ЛИТЕРАТУРА

216091

0.692207684

756839

-1.562817719

1. Ю. Н. Овчинников, ЖЭТФ 160, 132 (2021).

859433

-0.892935453

1257787

-0.881910444

2. H. M. Edwerds, Riemann’s Zeta Function, Academic,

New York, London (1974).

1398269

-0.156868192

3. В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 20, 1064

(1950).

733