ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 6 (12), стр. 763-773

ЦИРКУЛЯРНО ПОЛЯРИЗОВАННАЯ КОМПОНЕНТА

В ИЗЛУЧЕНИИ СМИТА - ПАРСЕЛЛА

А. П. Потылицынa,b*, Д. А. Шкитовa**

^a Национальный исследовательский Томский политехнический университет

634050, Томск, Россия

^b Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

115409, Москва, Россия

Поступила в редакцию 21 мая 2021 г.,

после переработки 5 июля 2021 г.

Принята к публикации 5 июля 2021 г.

Рассмотрены поляризационные характеристики излучения Смита - Парселла (ИСП) для модельной ре-

шетки, состоящей из наклонных идеально проводящих полос (стрипов), разделенных вакуумными про-

межутками, а также для «реальной» решетки с треугольным профилем периода, и показано, что кроме

линейной поляризации ИСП обладает циркулярно поляризованной компонентой. Полученные результа-

ты демонстрируют возможность создания монохроматического источника излучения с эллиптической

поляризацией в терагерцевом диапазоне длин волн.

DOI: 10.31857/S0044451021120014

ν_k = kν_f , ν_f = βc/d(1 - β cosθ).

(1)

1. ВВЕДЕНИЕ

Здесь k = 1, 2, 3, . . ., ν_f — фундаментальная часто-

та, k — порядок дифракции излучения, d — период

В текущем столетии были разработаны и на-

решетки, βc — скорость электрона, θ — угол наблю-

шли широкое применение источники терагерцевого

дения.

(ТГц) излучения [1,2]. Мощные ТГц-источники бы-

В некоторых областях наряду с монохроматич-

ли созданы на основе лазеров на свободных элек-

ностью требуется использовать циркулярно поляри-

тронах [3, 4], а также на основе когерентного син-

зованное излучение (например, в исследованиях ки-

хротронного излучения на электронных накопите-

ральных биофизических объектов, метаматериалов,

лях [5,6]. Компактные источники ТГц-излучения на

магнитооптике).

основе лазерных технологий [7] в настоящее время

Общеизвестный оптический метод, основанный

получили широкое распространение.

на использовании пластинки в четверть длины вол-

Однако, в ряде случаев пользователям требуется

ны [10], обеспечивает трансформацию линейной по-

источник монохроматического ТГц-излучения с воз-

ляризации в циркулярную в узком диапазоне длин

можностью плавной регулировки частоты в широ-

волн. Недавно был предложен метод получения

ких пределах. Подобный источник, основанный на

циркулярно поляризованного излучения с помощью

эффекте Смита - Парселла с использованием нере-

метаматериалов [11]. В работе [12] исследовался

лятивистских и умеренно релятивистских электрон-

«циркулярный поляризатор» на основе стандартно-

ных пучков [8, 9], планируется к разработке в бли-

го проволочного поляризатора и системы зеркал для

жайшем будущем.

регулирования фазовой задержки.

Излучение Смита - Парселла (ИСП) генериру-

Поляризационные свойства ТГц-излучения, по-

ется пучком электронов, пролетающих в вакууме

лученного при взаимодействии фемтосекундных ла-

вблизи решетки из проводящего материала, частота

зерных пучков с газом, исследовались в работах

которого определяется дисперсионным соотношени-

[13-15], где было показано, что поляризация резуль-

ем

тирующего излучения, как правило, линейная.

^* E-mail: potylitsyn@tpu.ru

В настоящей работе показана возможность полу-

^** E-mail: shkitovda@tpu.ru

чения циркулярно поляризованного монохромати-

763

А. П. Потылицын, Д. А. Шкитов

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

ческого излучения на основе эффекта Смита - Пар-

селла.

2. ИЗЛУЧЕНИЕ СМИТА - ПАРСЕЛЛА КАК

РЕЗОНАНСНОЕ ДИФРАКЦИОННОЕ

ИЗЛУЧЕНИЕ

Простейшая модель ИСП, позволяющая анали-

тически рассчитывать спектрально-угловые и поля-

ризационные характеристики излучения от решет-

ки, состоящей из набора проводящих полосок (стри-

Рис. 1. Схема генерации излучения Смита - Парселла на

пов), разделенных вакуумными промежутками, ос-

решетке, состоящей из наклонных стрипов (a — прицель-

нована на модели резонансного дифракционного из-

ный параметр, h — ширина стрипа, θ0 — угол наклона

лучения [16, 17].

стрипа, θ — полярный угол, χ — азимутальный угол, ха-

Дифракционное излучение (ДИ) можно рассмат-

рактеризующие распространение ИСП)

ривать как излучение поляризационных токов, ко-

торые индуцируются («наводятся») на поверхности

ни, c_norm — нормировочный множитель (см. далее).

проводника, вблизи которого пролетает заряд [17].

Такой выбор ортов оставляет их неизменными при

В цитируемой монографии рассмотрены основные

повороте на угол θ₀. Исходя из найденных в [18] де-

характеристики ДИ и показано, что излучение воз-

картовых компонент поля легко получить поляри-

никает, если прицельный параметр a -- кратчайшее

зационные компоненты поля ДИ в рассматриваемой

расстояние между траекторией заряда и поверхно-

системе (см. рис. 1).

стью проводника, меньше (или сравнимо) с вели-

Выразим угловые переменные ψ, φ из статьи [18]

чиной «эффективного» радиуса движущегося куло-

через полярный и азимутальный углы θ, χ:

новского поля заряда γβλ/2π (γ -- лоренц-фактор,

√

β = v/c =

1 - γ-2 -- нормализованная скорость

- cosθ sinθ₀ + sinθ cosθ₀ cosχ

sinφ =

√

(3a)

заряда, λ -- длина волны ДИ). Следует отметить,

1 - sin2 θsin2 χ

что при движении заряда параллельно бесконечной

cosθ cosθ₀ + sinθ sinθ₀ cosχ

поверхности проводника ДИ не возникает, т. е. на-

cosφ =

√

(3b)

1 - sin2 θsin2 χ

личие «оптических неоднородностей» (в рассматри-

ваемом случае границ (краев) проводника) является

cosψ = sinθ sinχ.

необходимым условием возникновения ДИ.

Для геометрии χ = 0 из (3a), (3b) имеем

Авторы работы [18] получили точное решение

φ=θ-θ₀.

(4)

уравнений Максвелла, описывающих спектраль-

Даже для малых отклонений от плоскости, пер-

но-угловое распределение ДИ заряда при его

наклонном пролете вблизи идеально проводящей

пендикулярной решетке (χ = 0), экспоненциальная

зависимость от азимута [18] приводит к существен-

полуплоскости.

Поле ДИ E = {E_x, E_y, E_z}, найденное в [18],

ному подавлению компонент поля E1DR и E2DR.

определено в системе координат, связанной с полу-

Этот факт позволяет использовать приближенное

плоскостью. Однако более удобной является систе-

соотношение (4) во всей области азимутальных уг-

ма, в которой полярный и азимутальные углы опре-

лов при вычислении компонент поля

делены относительно скорости заряда, которая свя-

B_qω

√ω

sinθ_x√

E1DR =

√

1 + cos(θ - θ₀)×

зана с исходной поворотом вокруг края мишени на

cosθ_x D

(

√

)

угол θ₀ (см. рис. 1).

× cosθ₀ + i sinθ₀/

γ-2 + (β sinθ_x)²

(5a)

Далее, для расчета поляризационных характе-

ристик необходимо использовать компоненты поля,

перпендикулярные волновому вектору k. Введем по-

B_qω

√ω

sin(θ - θ₀)

E2DR =

√

ляризационные орты [17]:

cosθ_x D

1 + cos(θ - θ₀)

(

e₂ = c_norm [b₁, k₀], e₁ = [e₂, k₀],

(2)

× β cosθ_x + cosθ₀ +

√

)

где k₀ = k/ω, ω — круговая частота излучения, b₁ —

+ isinθ₀

γ-2 + (β sinθ_x)²

(5b)

единичный вектор, направленный вдоль края мише-

764

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Циркулярно поляризованная компонента в излучении.. .

где

Последний множитель в (8), описывающий излу-

(

)

чение N источников, имеет вид

√

πa

B_qω =

exp

-2

1 + (γβ sinθ_x)²

4π²

γβλ

F₃ = [1 - expiNΦ]/[1 - expiΦ],

√

cosθ_x-cosθ₀/β-i sinθ₀

γ-2+(β sinθ_x)²/β

где

)

√ω^(√γ-2+(β sinθx)2 cosθ0+i sinθ0

Φ = 2πdλ-1(1/β - cosθ).

По известным компонентам поля E_iDR вычисля-

ется спектрально угловое распределение ИСП:

D = cosθ₀ - β cosθx cos(θ - θ₀)+

√

[

]

+ isinθ₀

γ-2 + (β sinθ_x)².

(6)

|E1SPR|² + |E2SPR|²

(10)

dωdΩ

В формулах (5a), (5b) для удобства используется

Последнее выражение получено для дальней зо-

угол θ_x (вместо азимутального угла χ), определяе-

ны, где отсутствует зависимость характеристик из-

мый из соотношения

лучения от расстояния до источника. Оценка рас-

θ_x = π/2 - ψ, sinθ_x = sinθ sinχ.

(7)

стояния, соответствующего этому критерию для

случая ИСП, получена в [19].

Нормировочная константа в (2) выражается че-

Поляризационные характеристики ИСП описы-

рез введенные угловые переменные следующим об-

ваются параметрами Стокса ξ_i:

разом: c_norm = 1/ cos θ_x.

Выражения (5a), (5b) описывают характеристи-

E∗1SPRE2SPR + E1SPRE∗2SPR

ξ₁ =

(11a)

ки ДИ от бесконечной полуплоскости, т. е. ДИ гене-

|E1SPR|² + |E2SPR|²

рируется только на одном крае. В реальном случае

поле ДИ от бесконечной полосы (стрипа) шириной

i (E∗1SPRE2SPR - E1SPRE∗2SPR)

ξ₂ =

(11b)

h, должно вычисляться с учетом этой конечной ши-

|E1SPR|² + |E2SPR|²

рины. В работе [19] предложен метод расчета харак-

|E∗1SPR|² - |E2SPR|²

теристик ДИ на основе метода поляризационных то-

ξ₃ =

(11c)

|E1SPR|² + |E2SPR|²

ков, который позволяет учесть реальную геометрию

мишени. Другая, более простая модель, основана на

Параметры Стокса ξ₁, ξ₃ характеризуют линей-

√

расчете ДИ от стрипа, как результат интерферен-

ную поляризацию (P_lin =

ξ²¹ + ξ²³ — скаляр), па-

ции полей ДИ от двух краев идеально проводящей

раметр ξ₂ (псевдоскаляр) — циркулярную. По опре-

мишени.

делению, параметры Стокса связаны следующим со-

Пусть решетка, на которой генерируется ИСП,

отношением:

состоит из наклонных полос из идеально проводя-

ξ²¹ + ξ²² + ξ²³ = 1.

(12)

щего материала (см. рис. 1). Поле ИСП в этой мо-

При вычислении параметров Стокса множители

дели описывается выражением [16]

|Bqω

√ω|²|F₂|²|F₃|² в числителе и знаменателе в (11)

E_SPR = E_DRF₂F₃,

(8)

сокращаются, что приводит к отсутствию явной за-

висимости поляризационных характеристик от дли-

где E_DR — поле дифракционного излучения (ДИ)

ны волны. Тем не менее, неявная зависимость от

от края наклонной идеально проводящей полуплос-

длины волны, которая определяется полярным уг-

кости, F₂ — функция, учитывающая интерферен-

лом θ, остается во всех приведенных формулах (11).

цию полей от обоих краев полосы, F₃ — резонанс-

Запишем формулы для ξ_i после упрощения вы-

ная функция, описывающая излучение от N иден-

ражений (11a)-(11c):

тичных источников. В этой системе функция F₂ вы-

ражается следующим образом [17]:

ξ₁ = -√s sin θx sin(θ - θ0)/S,

(13a)

F₂ = 1 - exp(Δχ₁ + iΔφ₁),

(9)

ξ₂ = -√s sin(θ - θ0) sin θ0 sin θx cos θx/S,

(13b)

где

2πh sinθ₀√

Δχ₁ =

1+(γβ sin θ_x)²,

γλ

ξ₃ =

{(1+ cos(θ-θ₀)) sin²

θ_x(1-β cosθ_x cosθ)-

(

)

2πh

cosθ₀

Δφ₁ =

- cos(θ - θ₀)

- s(1-cos(θ-θ₀))(1+β cosθ_x cosθ)}.

(13c)

765

А. П. Потылицын, Д. А. Шкитов

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

где

ческих уравнениях Максвелла, поэтому на него на-

кладываются ограничения макроскопического под-

S =

{(1+ cos(θ-θ₀)) sin² θ_x(1-β cos θ_x cos θ) +

хода [23]. Метод применим для заряженных частиц

с практически произвольными энергиями (начиная

+s(1 - cos(θ - θ₀))(1 + β cosθ_x cosθ)},

от сотен кэВ и более) и практически произвольными

(14)

углами падения к поверхностям (исключая сколь-

s = γ-2 + (β sinθ_x)².

зящее падение), а также для длин волн от опти-

Легко показать, что выражения для параметров

ческих до миллиметровых. Мы применяем данный

Стокса (13) удовлетворяют соотношению (12). Дру-

метод для релятивистских электронов (γ > 10) и

гими словами, ИСП в дальней зоне для фиксиро-

субмиллиметрового диапазона длин волн. Более по-

ванного направления волнового вектора обладает

дробно вопрос ограничений метода рассмотрен в ра-

100-процентной, вообще говоря, эллиптической по-

боте [24].

ляризацией.

В ОМПТ источником поля излучения являют-

Из выражений (13a)-(13c) вытекают следствия:

ся поверхностные токи на поверхности проводника,

а) в плоскости, перпендикулярной

«средней»

которые возникают за счет динамической поляри-

плоскости решетки (θ_x = 0), приравниваются нулю

зации атомов мишени кулоновским полем пролета-

параметры ξ₁, ξ₂, а линейная поляризация в этой

ющей заряженной частицы. Поле излучения от про-

плоскости достигает 100 % (ξ₃(θ_x = 0) = -1);

извольной поверхности имеет вид

б) для «плоской» решетки (θ₀ = 0) циркулярная

поляризация равна нулю;

E^DR(r_D, λ) =

в) в «правом» и «левом» полупространстве от-

2π

носительно перпендикулярной плоскости (θ_x > 0,

∫∫

[[

]

θ_x < 0) параметры ξ₁, ξ₂ обладают противополож-

n(r_T ), E^Te (r_T , λ)

, ∇G(r_T , r_D, λ)

dS_T .

(15)

ными знаками.

Отметим, что циркулярная поляризация ξ₂ воз-

Здесь n(r_T ) — единичный вектор нормали к по-

никает только в том случае, когда из кинематиче-

верхности мишени в заданной точке, E^Te (r_T , λ) —

ских переменных, соответствующих рассматривае-

кулоновское поле электрона, ∇G(r_T , r_D, λ) — гра-

мой геометрии, можно получить псевдоскаляр. В

диент функции Грина, r_T

= {x_T , y_T , z_T } — коор-

случае дифракционного излучения подобный псев-

дината точки на поверхности мишени, расположен-

доскаляр можно получить, рассматривая три век-

ной на расстоянии a от траектории частицы, r_D =

тора — β, k₀ и перпендикуляр к краю стрипа, ле-

= {x_D, y_D, z_D} — координата точки наблюдения (то-

жащий в плоскости стрипа b₂ = {1, 0, 0}. Смешан-

чечного детектора), dS_T — элементарная площадь

ное произведение (β, [b₂, k₀]) = sin θ₀ sin θ_x как раз

поверхности мишени, λ — длина волны излучения,

и описывает поведение циркулярной поляризации.

скобки [·, ·] — обозначают векторное произведение.

Функция Грина имеет вид

G(r_T , r_D, λ) = eik|rD -rT |/|r_D - r_T |.

3. ИЗЛУЧЕНИЕ СМИТА - ПАРСЕЛЛА ПО

ОБОБЩЕННОМУ МЕТОДУ

Ранее этот метод уже был использован для мо-

ПОВЕРХНОСТНЫХ ТОКОВ

делирования характеристик ДИ [25]. В работе реа-

лизован численный код, в котором все координаты

В работах [20, 21] авторами был предложен и

развит метод поляризационных токов, частным слу-

и направления задаются в глобальной системе коор-

динат, где ось Z привязана к направлению движе-

чаем которого является обобщенный метод поверх-

ностных токов [22], в случае если мишень представ-

ния частицы и оси образуют правую систему коор-

динат. Начало координат в глобальной системе ко-

ляет собой идеальный проводник. На практике по-

следний подходит для расчета характеристик излу-

ординат по оси Z выбирается в точке, по нормали

ближайшей к центру решетки (см. рис. 2). Для про-

чения в оптическом, инфракрасном и ТГц-диапазо-

извольной плоской мишени вектор нормали можно

нах, в том числе всех компонент поля излучения от

представить в виде

металлических мишеней в заданной точке простран-

ства. Метод применим для переходного излучения

n(r_T ) = A(ψ) × {0, 0, 1},

(ПИ), дифракционного излучения (ДИ) и излучения

Смита - Парселла. Обобщенный метод поверхност-

где A(ψ) — трехмерная матрица поворота нормали

ных токов (ОМПТ) основывается на макроскопи-

к мишени на угол ψ, знак «×» — матричное про-

766

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Циркулярно поляризованная компонента в излучении.. .

Рис. 3. Схема генерации излучения от сплошной перио-

дической решетки, синяя стрелка показывает направление

движения и траекторию частицы относительно решетки,

цифры 1 и 2 и векторы n1 и n2 обозначают прямые и

обратные стрипы и нормали к ним, соответственно

Рис. 2. Графические пояснения к системе координат, ис-

пользуемой в моделировании

правлении оси Z. Градиент функции Грина прини-

мает вид

изведение. Для случая исследуемой решетки и вы-

бранной системы координат, матрица поворота A(ψ)

∇G(r_T , r_D, λ) =

вокруг оси Y равна

(

)

r_D - r_T

⎛

⎞

eik|rD-rT |

- ik

|r_D - r_T |

|r_D - r_T|

cosψ

sin ψ

⎜

⎟

⎝

⎠.

Определив поле излучения, можно рассчитать

− sinψ

cosψ

спектрально-угловое распределение интенсивности

излучения в точке, расположенной под углом θ на

Аналогично можно представить и координаты то-

расстоянии L:

чек на детекторе в случае плоской поверхности его

d²W_e

апертуры:

= |E^DR(r_D, λ)|² =

dω dΩ

(

)

r_D = {x_D, y_D, z_D} = B(θ) × {X_D, Y_D, L},

= cL²

|E^DRx|², |E^DRy|², |E^DRz |²

(16)

где {E^DRx, E^DRy, E^DRz } — компоненты поля излучения.

где B(θ) — матрица поворота на полярный угол θ во-

Заметим, что, используя данный подход, можно

круг оси Y , L — расстояние от центра глобальной си-

численно решить задачу генерации ПИ и ДИ (в том

стемы координат (точка 0, 0, 0) до центра апертуры

числе ИСП) от конечной мишени, что было сдела-

детектора (точка с координатами B(θ) × {0, 0, L}),

но ранее [25]. Численный код реализован в систе-

{X_D, Y_D} — координаты на плоскости детектора до

ме Wolfram Mathematica 12.0 [26]. Расчет проводил-

поворота (см. рис. 2).

ся на суперкомпьютере ТПУ [27]. Пример расчета

Поле, создаваемое электроном, определяется

излучения с применением численной реализации на

следующим образом [17]:

основе данного метода также представлен другими

авторами в работе [28]. В разработанном коде моде-

(

)

лирование излучения в ближней или дальней зоне

E^Te (r_T , λ) =

exp i

z_T

β²cγλ

(соответственно в зоне Френеля или Фраунгофера),

)

^{x_T (kρ

y_T

⁽kρ⁾

⁽kρ^)}

определяется в зависимости от заданного рассто-

K₁

K₀

βγ

яния от центра глобальной системы координат до

центра точечного детектора, длины волны излуче-

Здесь q — заряд частицы, γ — лоренц-фактор час-

ния, размеров решетки, а также угла наблюдения.

тицы, c — скорость света, k = 2π/λ — волновое

Профиль решетки в моделировании учитывается

число, β — относительная скорость частицы, ρ =

следующим образом. Полное излучение от решетки

√

x2T + y2T , K₁ и K₀ — модифицированные функ-

представляет собой сумму полей излучения от каж-

ции Бесселя соответственно первого и нулевого по-

дой плоской грани в отдельности (см. рис. 3), что

рядков. Частица движется в положительном на-

можно представить в виде

767

А. П. Потылицын, Д. А. Шкитов

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

∑

E^gratingR(r_D, λ) =

E^DR

(r_D, λ).

(17)

e₁ = [e₂, k₀], e₂ = c^′norm [b, k₀],

(18)

STk

где в выбранной глобальной системе координат

k₀

= cosχ sinθ, sinχ sinθ, cosθ — единичный век-

Здесь S_T

— площадь поверхности мишени k-ой гра-

тор, направленный в точку наблюдения, c′norm =

ни в профиле решетки, здесь k меняется от 1 до 2N,

√

= 1/

1 - (sinχsinθ)² — нормировочный коэффи-

N — количество периодов в решетке, E^D — поле из-_R

циент, b = {0, -1, 0} — единичный вектор, направ-

лучения от k-й плоской грани, E^gratingR — полное по-

ленный поперек решетки, т. е. вдоль стрипов, θ —

ле излучения от решетки с заданным профилем, со-

полярный угол, отсчитываемый от оси Z, χ — азиму-

стоящим из набора плоских граней. При этом нужно

тальный угол, отсчитываемый от оси X в плоскости

отметить, что профиль решетки состоит из граней

XY , χ = arctg(Y_D/Lsinθ). Таким образом можно

двух типов, назовем их прямые и обратные стрипы,

получить поляризационные компоненты поля ИСП

где первые это те грани, вектор нормали которых

в плоскости наблюдения:

направлен в отрицательном направлении по оси Z,

а вторые — в положительном. Для рассматривае-

E₁ = E^gratingR · e₁, E₂ = E^gratingR · e₂.

(19)

мой решетки матрица поворота нормали A(ψ) опре-

делена соответственно углами ψ₁ = 120^◦ и ψ₂ = 30^◦

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

(см. рис. 3). Точечные детекторы в расчетах спек-

ХАРАКТЕРИСТИК ИЗЛУЧЕНИЯ

тральных характеристик располагались в плоско-

СМИТА - ПАРСЕЛЛА ПО РАЗЛИЧНЫМ

сти наблюдения под полярными углами θ₁ = 45^◦ и

МОДЕЛЯМ

θ₂ = 135^◦ при нулевом азимутальном угле. В рас-

сматриваемом случае поперечный размер решетки

На рис. 4-6 приведены характеристики ИСП,

H равен 30 мм, расстояние L = 5 м.

рассчитанные по модели резонансного дифракцион-

Разработанный численный код устроен таким об-

ного излучения, описанной в разд. 2, на рис. 7-9 —

разом, что возможно задавать практически произ-

по модели поляризационных токов, описанной в

вольную геометрию решетки, состоящую из набора

разд. 3.

плоских граней конечных размеров. Однако в коде

Спектры ИСП для плоской решетки (см.

не учитываются переотражения излучения от пер-

рис.

4а), полученные для углов наблюдения

вых граней на последующих гранях. Также при рас-

θ₁ = 45^◦ и θ₂ = 135^◦ демонстрируют набор спект-

четах не учитывается эффект экранировки поля за-

ральных линий с ν(45^◦) = j · 256 ГГц, j = 1, 2, 3

ряженных частиц на предыдущих гранях при рас-

и ν(135^◦) = j · 44 ГГц, j = 2,3,...,19 в интервале

чете поля излучения на последующих (так называе-

частот ν

= 50-850 ГГц. Если в первом случае

мый эффект тени [29]).

наблюдается монотонно убывающая зависимость с

В данной работе был сделан расчет для двух ви-

ростом частоты, то во втором случае интенсивность

дов решеток. Для сравнения с аналитическими рас-

ИСП меняется периодически с увеличением j. Для

четами моделирование выполнялось для решетки,

наклонной решетки (см. рис.

4б) наблюдаются

состоящей только из прямых стрипов (решетка с ва-

примерно те же зависимости, однако изменения в

куумными промежутками) — суммирование прово-

интенсивностях спектральных линий более резкие.

дилось только по нечетным индексам k в форму-

Следует указать, что для этой геометрии для угла

ле (17). В том же коде выполнялось моделирова-

наблюдения θ₂

= 135^◦ наблюдается подавление

ние для полной решетки, состоящей из прямых и

четных порядков (на частотах 88 и 176 ГГц).

обратных стрипов (сплошная решетка). Расчет ин-

Азимутальные зависимости ИСП (распределе-

теграла по поверхности решетки осуществлялся с

ние интенсивности спектральных линий при изме-

помощью возможностей символьной геометрии сис-

нении угла χ) показаны на рис. 5 для «объемной»

темы Wolfram Mathematica по вычислению интегра-

решетки. Для излучения в «переднюю» полусфе-

лов по заданным поверхностям на основе метода

ру (θ₁ = 45^◦) наблюдается «провал» интенсивнос-

Монте-Карло.

ти ИСП в плоскости симметрии (χ = 0), тогда как

Далее, для расчета поляризационных характери-

для «задней» полусферы такой зависимости нет (см.

стик излучения необходимо использовать компонен-

рис. 5б).

ты поля, перпендикулярные волновому вектору из-

На рис. 6 приведены поляризационные харак-

лучения, направленному в точку наблюдения. Вве-

теристики ИСП для «объемной» решетки. Для уг-

дем поляризационные орты через векторные произ-

ла θ₁ = 45^◦ в области азимутальных углов 0.2 ≥

ведения (см. ранее (2)):

≥ |χ| ≥ 0.05 циркулярная поляризация достигает

768

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Циркулярно поляризованная компонента в излучении.. .

Рис. 4. Спектральные распределения ИСП по модели резо-

Рис. 5. Азимутальное распределение ИСП от «объемной»

нансного дифракционного излучения от «плоской» решет-

решетки для первых трех порядков для тех же параметров,

ки θ0 = 0 (а) и от «объемной» решетки θ0 = 30^◦ (б) для

что на рис. 4б при θ = 45^◦ (а) и θ = 135^◦ (б)

углов наблюдения θ = 45^◦ (зеленый цвет) и θ = 135^◦ (си-

ний цвет). Расчет проводился по формуле (10) для χ = 0

значением монохроматичность спектральных линий

ИСП, полученных при моделировании, практически

почти 100%. По мере увеличения угла θ (по мере

совпадает со значениями, типичными для дальней

сдвига спектральных линий в «мягкую» часть) цир-

зоны δν_k/ν_k = 1/kN, где k — порядок дифракции

кулярная поляризация уменьшается (для θ₂ = 135^◦)

излучения.

до 40 %.

Сравнивая спектры излучения от решетки с

Понятно, что для реальной апертуры коллима-

вакуумными промежутками и сплошной решетки,

тора, формирующего пучок излучения, числитель и

видно, что они различаются по интенсивности. Для

знаменатель в выражениях (11) необходимо усред-

ИСП под углом наблюдения 45^◦ (т. е. в переднюю

нить по телесному углу dΩ = sin θdθdχ и только по-

полусферу относительно траектории частицы) на-

сле этого вычислять усредненные параметры Сток-

личие обратных стрипов в сплошной решетке по от-

са.

ношению к решетке с вакуумными промежутками

На рис. 7 приведены спектры ИСП для двух ти-

дает деструктивную интерференцию от прямых и

пов решеток и двух углов наблюдения. Моделирова-

обратных стрипов. Напротив, для ИСП под углом

ние проводилось для следующих параметров: шири-

наблюдения 135^◦ (т. е. в заднюю полусферу) наличие

на прямого стрипа 3.46 мм, ширина обратного стри-

обратных стрипов в сплошной решетке по отноше-

па 2 мм, профиль периода образует прямоугольный

нию к решетке с вакуумными промежутками дает

треугольник, остальные параметры приведены на

конструктивную интерференцию совместно от пря-

рисунках.

мых и обратных стрипов. Сравнивая интенсивности

Длина формирования для рассматриваемого

ИСП по первому порядку дифракции, отметим, что

случая

[19] составляет примерно N²d(1 + cos θ)

для сплошной решетки излучение в заднюю полу-

и равна приблизительно 1500 мм. С выбранным

сферу обладает меньшей интенсивностью в 2.5 ра-

769

А. П. Потылицын, Д. А. Шкитов

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Рис. 6. Поляризационные характеристики ИСП, рассчитан-

Рис. 7. Спектры ИСП для двух углов θ = 45^◦ (а) и θ =

ные для «объемной» решетки с теми же параметрами, что

= 135^◦ (б) для двух типов решеток: с вакуумными проме-

на рис. 4б, для углов наблюдения θ = 45^◦ (а) и θ = 135^◦

жутками (штриховые кривые) и сплошной (сплошные кри-

(б); параметры Стокса: ξ1 — коричневый, ξ2 — черный и

вые). Цифрами отмечены номера порядков дифракции

ξ3 — синий цвет

тервалов зависимостей параметров Стокса на рис. 9

за, а для решетки с вакуумными промежутками —

обусловлен численным расчетом на основе метода

меньшей в 23 раза.

Монте-Карло малых значений интенсивности при

На рис. 8 приведены азимутальные распределе-

больших азимутальных углах.

ния ИСП для двух углов 45^◦ и 135^◦ для частот со-

На рис. 9 приведены поляризационные характе-

ответственно ν1...5(45^◦) = 254.3, 507.1, 761.7, 1016.3,

1270.9 ГГц и ν1...5(135^◦) = 43.7, 87.9, 131.6, 175.8,

ристики ИСП для двух углов, 45^◦ и 135^◦, только для

219.1 ГГц с 1 по 5 порядки.

первого порядка дифракции.

Для излучения в «переднюю» полусферу «про-

Хорошо видно, что качественно характер пове-

вал» интенсивности ИСП в плоскости симметрии

дения поляризации излучения от решетки с вакуум-

(χ = 0) для обеих решеток не наблюдается. Тогда

ными промежутками и сплошной решетки практи-

как для «задней» полусферы «провал» интенсив-

чески одинаков. Но количественно конкретные зна-

ности ИСП в плоскости симметрии (χ = 0) в раз-

чения параметров Стокса под тем или иным углом

ной степени, которая уменьшается с ростом поряд-

наблюдения могут значительно различаться. Так,

ка, проявляется для всех порядков и для всех рас-

для угла θ₁ = 45^◦ в области азимутальных углов

сматриваемых типов решеток.

χ > 0.1 циркулярная поляризация ξ₂ достигает по-

На рис.

азимутальные распределения

чти 100 % для сплошной решетки и 70 % для ре-

и зависимости параметров Стокса представле-

шетки с вакуумными промежутками. Для угла θ₂ =

ны в зависимости от азимутального угла χ

= 135^◦ картина несколько иная — циркулярная по-

= arctg (Y_D/L sinθ) соответственно для углов

ляризация ξ₂ достигает значений 100 % в области

θ₁ = 45^◦ и θ₂ = 135^◦. Большой разброс на краях ин-

азимутальных углов χ ≥ 0.15 для сплошной решет-

770

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Циркулярно поляризованная компонента в излучении.. .

Рис. 8. Азимутальные распределения ИСП для двух углов

Рис. 9. Зависимость трех параметров Стокса для первого

θ = 45^◦ (а) и θ = 135^◦ (б) для двух типов решеток: с ваку-

порядка ИСП для двух углов θ = 45^◦ (а) и θ = 135^◦ (б) для

умными промежутками (штриховые кривые) и сплошной

двух типов решеток: с вакуумными промежутками (штри-

(сплошные кривые) для порядков излучения с 1 по 5 (см.

ховые кривые) и сплошной (сплошные кривые)

рис. 7)

рой, расположенной вне плоскости, перпендикуляр-

ки. А для решетки с вакуумными промежутками

ной центральной плоскости решетки. При выборе

циркулярная поляризация достигает 100 % для угла

апертуры коллиматора из условий [30]: δχ = δθ ≥

χ ≈ 0.1, а затем убывает до 70% и снова несколько

≥ tg(θ/2)/kN, монохроматичность излучения будет

увеличивается.

определяться только числом периодов, поскольку

от азимутального угла χ дисперсионное соотноше-

ние (1) не зависит. Отметим, что измерения цирку-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

лярной поляризации ИСП, судя по имеющимся пуб-

ликациям, до настоящего времени не проводились.

В работе показано аналитически (для модель-

ной решетки, состоящей из стрипов, разделенных

Авторы работы [31] измерили линейную поляри-

вакуумными промежутками) и численным модели-

зацию когерентного ИСП в субтерагерцевом диапа-

рованием (для решетки с треугольным профилем),

зоне. Эксперимент проводился на пучке электронов

что излучение Смита - Парселла под азимутальным

с энергией 20 ГэВ под углами наблюдения θ = 90^◦,

углом χ = 0 является эллиптически поляризован-

χ = 0. Авторы измерили линейную поляризацию

ным. Вклад циркулярно поляризованной компонен-

ИСП для различных периодов решетки и показа-

ты ИСП возрастает по мере увеличения азимуталь-

ли, что степень линейной поляризации изменяется

ного угла и для достаточно больших углов может

в пределах 0.55-0.85 для плоскости, перпендикуляр-

достигать 100 %.

ной решетке. Следует отметить, что измерения про-

Для получения монохроматического пучка излу-

водились с детектором, размещенным на расстоя-

чения следует коллимировать часть ИСП аперту- нии 155 мм от решетки длиной 40 мм, т. е. условие

771

А. П. Потылицын, Д. А. Шкитов

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

дальней зоны не выполнялось. Можно ожидать, что

Y.-L. Mathis, B. Gasharova, and D. Mosset, J. Biolog.

циркулярно поляризованная компонента ИСП при

Phys. 29, 313 (2003).

измерениях под углами χ = 0 также будет весьма

K. Y. Kim, A. J. Taylor, J. H. Glownia et al., Nat.

значительной, ξ₂ ≈ 0.5.

Photon. 2, 605 (2008).

В работе [32] также измерялась линейная по-

ляризация ИСП в субтерагерцевом диапазоне на

V. L. Bratman, A. E. Fedorov, and P. B. Makhalov,

пучке электронов ускорителя LUCX с энергией

Appl. Phys. Lett. 98, 061503 (2011).

8 МэВ. Исследования проводились в области углов

Y. Liang, Y. Du, and X. Su, Appl. Phys. Lett. 112,

θ = 90^◦ ± 5^◦, χ = 0 при использовании вращающе-

053501 (2018).

гося проволочного поляризатора. Как и в предыду-

щем случае, условие размещения детектора в даль-

10.

M. Born and E. Wolf, Principle of Optics, Cambridge

ней зоне не соблюдалось. Результаты измерений ли-

University Press (2013).

нейной поляризации ИСП колебались в широком

диапазоне для разных углов наблюдения, однако, в

11.

J. B. Masson and G. Gallot, Opt. Lett. 31,

265

(2006).

среднем, степень линейной поляризации может быть

оценена на уровне 50 %. Авторы объясняют замет-

12.

D. T. Chuss, E. J. Wollack, R. Henry et al., Appl.

ное отличие экспериментального результата от мо-

Opt. 51, 197 (2012).

делирования несовпадением оси вращения поляри-

затора с оптической осью используемого интерфе-

13.

F. Miyamaru and M. Hangyo, Appl. Optics 43, 1412

рометра, а также большим захватом по азимуталь-

(2004).

ному углу.

14.

C. H. Morris, R. V. Aguilar, A. V. Stier et al., Opt.

Методику поляризационных измерений с вра-

Exp. 20, 12303 (2012).

щающимся поляризатором [32] можно использовать

для доказательства наличия эллиптической по-

15.

M. Neskat and N. P. Armitage, Opt. Exp. 20 (27),

ляризации ИСП. При увеличении азимутального

29063 (2012).

угла линейная поляризация ИСП уменьшается,

16.

A. P. Potylitsyn, Phys. Lett. A 238, 12 (1998).

что легко можно измерить экспериментально.

Уменьшение степени линейной поляризации вплоть

17.

A. P. Potylitsyn, M. I. Ryazanov, M. N. Strikhanov,

до нуля (при достаточно большом угле χ) будет

and A. A. Tishchenko, Diffraction Radiation from

свидетельствовать в пользу наличия циркулярно

Relativistic Particles, Springer, Heidelberg (2010).

поляризованной компоненты ИСП.

18.

А. П. Казанцев, Г. И. Сурдутович, ДАН СССР 7,

90 (1963).

Финансирование. Работа выполнена при под-

держке Министерства науки и высшего образова-

19.

Д. В. Kaрловец, А. П. Потылицын, Письма в

ния, выделенной Томскому политехническому уни-

ЖЭТФ 84, 579 (2006).

верситету в рамках программы развития и по проек-

ту №FSWW 2020-0008. Расчеты выполнены на вы-

20.

М. И. Рязанов, И. С. Тилинин, ЖЭТФ 71, 6

(1976).

числительном кластере Томского политехнического

университета.

21.

Д. В. Карловец, А. П. Потылицын, Письма в

ЖЭТФ 90, 5 (2009).

ЛИТЕРАТУРА

22.

Д. В. Карловец, А. П. Потылицын, ЖЭТФ 134, 5

(2008).

1. M. Tonouchi, Nat. Photon. 1, 97 (2007).

23.

М. И. Рязанов, Письма в ЖЭТФ 39, 12 (1984).

2. C. G. Wade, N. Sibalic, N. R. de Melo et al., Nat.

Photon. 11, 40 (2017).

24.

А. С. Коньков, Дисс. на соискание уч. ст. канд.

физ.-мат. наук., ТПУ, Томск (2015).

3. A. Doria, G. P. Gallerano, E. Giovenale et al., Phys.

Rev. Lett. 93, 264801 (2004).

25.

D. A. Shkitov, Proc. 26th Russian Particle Accelera-

tor Conference, THPSC56 (2018).

4. E. A. Antokhin, R. R. Akberdin, V. S. Arbuzov et

al., Nucl. Instr. Meth. A 528, 15 (2004).

26.

Wolfram Mathematica, http://www.wolfram.com/

5. G. P. Williams, Rep. Prog. Phys. 69, 301 (2006).

mathematica/.

772