ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 6 (12), стр. 774-785
© 2021
СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ДЛЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ РАЗНОСТИ ФАЗ
КВАНТОВЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
А. В. Козловский*
Физический институт Российской академии наук им. П. Н. Лебедева
119991, Москва, Россия
Поступила в редакцию 2 июня 2021 г.,
после переработки 5 июля 2021 г.
Принята к публикации 5 июля 2021 г.
Получены и проанализированы соотношения неопределенностей для операторов разности фаз двух элек-
тромагнитных полей, предложенных нами ранее [10]. Проведены исследования соотношения неопределен-
ностей для операторов косинуса и синуса разности фаз, а также для операторов суммы числа фотонов и
операторов разности фаз двух полей. Рассмотрены фоковские и когерентные квантовые состояния полей,
общие состояния квантовых суперпозиций когерентных состояний полей и состояния «шредингеровского
кота» полей. Исследуется строгое соотношение неопределенностей (неравенство Коши - Шварца) и со-
отношение неопределенностей Гейзенберга для указанных операторов и квантовых состояний полей. На
примерах рассмотренных состояний полей показаны различия между строгими соотношениями неопре-
деленностей и соотношениями неопределенностей Гейзенберга для тригонометрических операторов раз-
ности фаз полей. Показано, что строгие соотношения неопределенностей и соотношения неопределенно-
стей Гейзенберга качественно различны как для когерентных состояний, так и для состояний квантовых
суперпозиций, и совпадают в случае фоковских состояний полей.
DOI: 10.31857/S0044451021120026
го, для получения операторов разности фаз двух
полей, величин, широко используемых на практи-
ке для описания явлений интерференции, операто-
1. ВВЕДЕНИЕ
ры такого рода применены быть не могут, так как
Решение проблемы последовательного и полно-
стандартные формулы для разности и суммы фаз в
го квантовомеханического описания электромагнит-
условиях нарушения основного соотношения триго-
ного поля сталкивается со значительными теорети-
нометрии не выполняются.
ческими трудностями, связанными с определением
В работе [10] нами предложены эрмитовы опе-
квантовомеханической фазы поля. Квантовомеха-
раторы синуса и косинуса разности фаз двух полей,
нический подход к определению фазы поля необхо-
удовлетворяющие основному соотношению тригоно-
дим в условиях слабых и ультраслабых электромаг-
метрии. Тригонометрические операторы разности
нитных полей с числом фотонов порядка единицы:
фаз (ТОРФ) определяются в [10] с помощью интер-
〈n〉 ∼ 1, применяемых при решении задач в области
ференционных операторов пассивного светоделите-
квантовых технологий. В ряде работ [1-9] предло-
ля. В настоящей работе нами проводятся дальней-
жено несколько подходов к построению эрмитовых
шие исследования свойств ТОРФ, предложенных в
тригонометрических квантовых операторов фазы
[10]. Получены и проанализированы различные со-
электромагнитного поля. Существенной особенно-
отношения неопределенностей для этих операторов.
стью результатов этих работ является то, что пред-
Исследуются строгие соотношения неопределенно-
лагаемые в них операторы синуса и косинуса фазы
стей, представляющие собой неравенство Коши-
не удовлетворяют основному тригонометрическому
Шварца для ТОРФ
CI и
SI, а также тригонометри-
соотношению; т. е. côs2φ+sin2φ = 1. Вследствие это-
ческие соотношения неопределенностей (ТСН) для
операторов суммы числа фотонов двух полей n1 +n2
* E-mail: kozlovskiyav@lebedev.ru
и ТОРФ
CI,
SI. Также исследовано соотношение
774
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
Соотношения неопределенностей для тригонометрических операторов.. .
неопределенностей Гейзенберга для указанных пар
Соотношение Гейзенберга (2) имеет место только
операторов.
тогда, когда
{
}
Рассмотрены когерентные квантовые состояния
A, ΔB
= 0,
двух полей, наиболее близкие по своим свойствам
к классическому электромагнитному полю, а так-
где
{
}
же ярко выраженные неклассические квантовые фо-
A, ΔB
≡ΔAΔB+ΔBΔA
ковские состояния и состояния общих суперпозиций
— антикоммутатор операторов
двух когерентных состояний.
Рассмотрены частные случаи состояния общих
A≡
A-
A
суперпозиций когерентных состояний — состояния
«шредингеровского кота», находящие свое примене-
и
ние в областях квантовой метрологии и квантовых
B-
B
ΔB ≡
вычислений.
Соотношения неопределенностей (1) и (2) рас-
сматриваются в настоящей работе для ТОРФ, опре-
2. СООТНОШЕНИЯ
деляемых с помощью операторов интерференции
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ДЛЯ
двух полей, поступающих на входы пассивного
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
светоделителя и характеризующих интенсивности
РАЗНОСТИ ФАЗ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
(числа фотонов) полей на выходе из светоделите-
ПОЛЕЙ
ля [10].
Рассматриваемое нами строгое соотношение
Согласно квантовой теории операторы рожде-
неопределенностей (ССН), представляет собой
ния/уничтожения электромагнитных полей
неравенство Коши - Шварца
[11, 12] для любых
â†i, âi, i = 1, 2,
двух эрмитовых операторов поля
A и
B и имеет
следующий вид:
рассматриваемых нами, удовлетворяют стандарт-
(
)2
(
)2
ным коммутационным соотношениям
B
A
ΔB
≥
A,
2,
(1)
[
]
†
âi, â
= δi,j, i,j = 1,2.
(3)
j
(
)2
(
)2
где
A
,
ΔB
— дисперсии операторов
Введем в рассмотрение эрмитовы операторы коси-
Aи
B, а
нуса и синуса разности фаз полей â1 и â2, используя
интерференционные операторы
IC и
IS светоделите-
A,
B
≡
AB -
A
B
ля,
IC ≡ â1â2 + â2â1,
(4)
— ковариация (центральный корреляционный мо-
(
)
â†2â1 - â†â2
,
(5)
мент) для данных операторов.
IS ≡ i
1
Соотношение неопределенностей Гейзенберга
в следующем симметризованном виде [10]:
(СНГ), исследуемое нами для тригонометрических
[
]
операторов разности фаз двух электромагнитных
1
CI ≡ côs(φ1 - φ2) =
KI
,
(6)
IC +
ICKI
полей наряду со строгим соотношением неопреде-
2
ленностей (1), имеет следующий вид:
[
]
1
i
KI
SI ≡
s
n(φ1 - φ2) =
IS +
ISKI
,
(7)
[
]
2
2
(
)2
(
)2
A,
B
где
A
ΔB
≥
(2)
4
1
1
KI ≡
√
=
√
,
(8)
Отметим, что СНГ накладывает менее жесткое
2(n1 + n2 + 2 n1n2)
I2C +
I2
S
ограничение на величину произведения дисперсий
операторов (флуктуаций наблюдаемых) по сравне-
поскольку сумма квадратов операторов интерфе-
нию с ограничением, следующим из ССН [12].
ренции выражаются через операторы числа фото-
Причины различий СНГ и ССН и критерии при-
нов входных полей светоделителя согласно
менимости того или иного соотношения представле-
ны и обсуждаются в работе [12].
I2C +
I2S = 2 (n1 + n2 + 2 n1n2) .
775
А. В. Козловский
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
Может быть показано, что операторы
CI и
SI,
где введено обозначение
определяемые с помощью (6) и (7), не коммутируют
√
между собой:
[
]
(n1 + 1)(n2 + 1)
K1 (n1, n2) ≡
×
CI,SI
= 0.
2
[
1
Операторы квадрата косинуса и синуса разности
×
√
+
n1 + n2 + 1 + 2 n1 (n2 + 1)
фаз полей, выражаемые через операторы интерфе-
]
ренции, запишем также в симметризованном виде
1
+
√
(13)
[10] согласно
n1 + n2 + 1 + 2 n2 (n1 + 1)
[
]
1
K2
K2
C2I ≡ côs2(φ1 - φ2) =
I2C +
I2C
,
(9)
I
I
Для операторов квадратов тригонометрических
2
функций разности фаз, в свою очередь, с помо-
[
]
1
щью (9), (10) и (8) находим в базисе фоковских
S2I ≡
sin2(φ1 - φ2) =
K2
I2S +
I2S
K2
(10)
I
I
2
состояний следующие выражения:
Нетрудно убедиться, что определенные таким
образом операторы квадратов тригонометрических
1
1
∑
C2I =
+
K2 (n1, n2) ×
функций точно удовлетворяют основному тригоно-
2
4
n=0
метрическому соотношению, т. е.
× (|n1, n2 + 2〉〈n1 + 2, n2| + H.c.) ,
(14)
C2I +
S2I = 1.
Выполнение этого соотношение обеспечивается
1
1
∑
S2I =
-
K2 (n1, n2) ×
выбором вида нормировочного оператора
KI соглас-
2
4
n=0
но формуле (8).
× (|n1, n2 + 2〉〈n1 + 2, n2| + H.c.) ,
(15)
Отметим, что операторы, определяемые форму-
лами (6) и (7), возведенными в квадрат, не удо-
где введено обозначение
влетворяют основному тригонометрическому соот-
ношению в квантовом режиме слабых полей.
√
K2 (n1, n2) ≡
(n1+1)(n1+2)(n2+1)(n2+2)×
[
1
×
+
3. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ, ДИСПЕРСИИ И
n1 + n2 + 2 + 2 n1 (n2 + 2)
КОРРЕЛЯЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
]
1
ОПЕРАТОРОВ РАЗНОСТИ ФАЗ
+
(16)
n1 + n2 + 2 + 2 n2 (n1 + 2)
В настоящем разделе нами найдены выражения
Средние значения ТОРФ для произвольных кван-
для наблюдаемых средних ТОРФ, средних квадра-
товых состояний двух полей |x1〉 и |x2〉 с помощью
тов и дисперсий (флуктуаций), а также корреляци-
формул (11), (12) могут быть найдены в виде
онных функций ТОРФ для полей в произвольных
квантовых состояниях.
Операторы косинуса и синуса (6) и (7) в базисе
CI
≡ 〈x1, x2
CI|x1, x2〉 =
x1,x2
фоковских квантовых состояний двух полей могут
∑
быть записаны в виде
=
K1 (n1, n2) Re (〈x1 |n1〉〈n2| x2〉 ×
n1,n2=0
∑
1
CI =
K1 (n1, n2) ×
× 〈x2|n2 + 1〉 〈n1 + 1| x1〉) ,
(17)
2
n=0
× (|n1, n2 + 1〉〈n1 + 1, n2| + H.c.),
(11)
SI
≡ 〈x1, x2
SI|x1, x2〉 =
2
x1,x
∑
∑
i
SI =
K1 (n1, n2) ×
=
K1 (n1, n2)Im(〈x1 |n1〉〈n2| x2〉 ×
2
n=0
n1,n2=0
× (|n1, n2 + 1〉〈n1 + 1, n2| - H.c.),
(12)
× 〈x2|n2 + 1〉 〈n1 + 1| x1〉) .
(18)
776
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
Соотношения неопределенностей для тригонометрических операторов.. .
Используя (14)-(16), для средних значений квадра-
где дисперсии числа фотонов каждого из полей есть
тов ТОРФ получаем
∑
2
(Δnj )
= n2j |〈xj | nj〉|2 -
C2I
≡ 〈x1, x2
C2I|x1, x2〉 =
x1,x2
xj nj=0
⎛
⎞2
∑
1
1
∑
=
+
K2 (n1, n2) ×
2
2
-⎝ nj |〈xj | nj〉|2⎠ ,
j = 1,2.
(24)
n1,n2=0
nj =0
× Re (〈x1 |n1〉〈n2| x2〉 〈x2|n2+2〉 〈n1+2| x1〉) ,
(19)
Правая часть ССН при этом имеет вид
(
)
2
S2I
≡ 〈x1, x2
S2I|x1, x2〉 =
n1+n2,CI
=
(n1+n2) ,CI
≡
Rt,x1,x2
x1,x2
x1,x2
1
1
∑
=
-
K2 (n1, n2) ×
≡
(n1 + n2)CI
-
2
2
x1,x2
n=0
× Re (〈x1 |n1〉〈n2| x2〉 〈x2|n2+2〉 〈n1+2| x1〉) .
(20)
2
- 〈n1 + n2〉x
CI
(25)
1,x2
x1,x2
Средние значения произведения ТОРФ
CI и
SI
Аналог
для произвольных состояний полей, необходимые
(
)
для расчетов ССН (если положить в формуле (1)
Rt,x1,x2
n1 + n2,SI с заменой в (25)
CI на
SI.
B=
A=
CI,
SI), могут быть записаны в виде
Для корреляторов оператора суммы числа фото-
нов и ТОРФ получаем
CISI
≡ 〈x1, x2
CISI|x1, x2〉 =
x1,x2
(n1+n2)CI
≡ 〈x1, x2| (n1+n2)CI|x1, x2〉 =
(
x1,x2
∑
i
=
K21 (n1, n2)
|〈x1 |n1 + 1〉|2 |〈n2| x2〉|2 -
∑
4
=
K3 (n1, n2) Re (〈x1 |n1〉〈n2| x2〉 ×
n1,n2=0
)
n1,n2
=0
- |〈x1 |n1〉|2 |〈n2 + 1| x2〉|2
-
× 〈x2|n2 + 1〉 〈n1 + 1| x1〉) ,
(26)
∑
1
-
K1 (n1, n2 + 1) K1 (n1 + 1, n2) ×
(n1 + n2)SI
≡ 〈x1, x2| (n1+n2)SI|x1, x2〉 =
2
n=0
x1,x2
× Im (〈x1 |n1〉〈n2| x2〉 〈x2|n2+2〉 〈n1+2| x1〉) .
(21)
∑
=-
K3 (n1, n2)Im(〈x1 |n1〉〈n2| x2〉 ×
Средние значения коммутаторов ТОРФ для про-
n1,n2=0
извольных состояний полей, определяющие правые
× 〈x2|n2 + 1〉 〈n1 + 1| x1〉) ,
(27)
части СНГ (если положить в формуле (2)
A =
CI,
B =
SI), находятся с помощью следующего выра-
где обозначено
жения:
K3 (n1, n2) = (n1 + n2 + 1) K1 (n1, n2).
[
]
[
]
CI,SI
≡ 〈x1, x2|
CI,SI
|x1, x2〉 =
4. СООТНОШЕНИЯ
x1,x2
∑
(
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
i
=
K21 (n1, n2)
|〈x1 |n1+1〉|2 |〈n2| x2〉|2 -
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
2
n1,n2=0
РАЗНОСТИ ФАЗ ПОЛЕЙ В ФОКОВСКИХ
)
СОСТОЯНИЯХ
- |〈x1 |n1〉|2 |〈n2 + 1| x2〉|2
(22)
Рассмотрим случай, когда оба электромагнит-
Левая часть соотношения неопределенностей (СН)
ных поля, разность фаз которых исследуются на-
для оператора суммы числа фотонов и ТОРФ
CI
ми, находятся в фоковских состояниях |n01〉 и |n02〉,
(присутствующая в формулах (1) и (2) при
A =
n01, n02
≥ 0. Найдем левые части соотношений
=n1 +n2,
B=
CI) имеет вид
неопределенностей для операторов разности фаз
(
)
(
)2
CI и
SI (полагая в формулах (1) и (2)
A =
CI,
n1 + n2,CI
=
CI
×
Lx1,x2
B =
SI), определяемые для произвольных кванто-
x1,x2
(
)2
вых состояний полей выражениями (17)-(20). Дис-
(
)2
(
)2
× (Δn1)2
+
CI
(Δn2)2
,
(23)
персии ТОРФ
CI
и
SI
x1
x2
x2,x2
n01,n02
n01,n02
777
2
ЖЭТФ, вып. 6 (12)
А. В. Козловский
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
(
)
2
в случае фоковских состояний полей, входящие в ле-
CI,SI
≡
CI,SI
=
Rn01,n02
вую часть СН,
n01,n02
(
)
[
]
1
2
CI,SI
≡
=
CI,SI
,
Ln01,n02
4
n01,n02
(
)2
(
)2
(31)
(
)
2
≡
CI
SI
,
Rn01,n02
CI,SI
≡
CI,SI
=
n01,n02
n01,n02
n01,n02
[
]
2
находятся путем подстановки в выражения для этих
1
=
CI,SI
,
n01, n02 > 0.
величин
(17)-(20) скалярных произведений вида
4
n01,n
02
〈n | n′〉 = δn,n′ . В результате получаем соотношения
(
)2
(
)2
Из равенств (31) следует, что для полей в фоков-
1
CI
=
SI
=
,
ских состояниях ССН и СНГ совпадают для любых
2
n01,n02
n01,n02
n01, n02 ≥ 0.
при этом средние значения ТОРФ равны
Из выражения (29) также следует, что, если
n01, n02 > 0, то правые части СН есть
CI
=
SI
= 0,
(
)
n01,n02
n01,n02
CI,SI
=
Rn01,n02
это означает, что случайная величина разности фаз
1
[
]2
=
K21 (n01, n02 - 1) - K21 (n01 - 1, n02)
(32)
обладает равномерным распределением со значени-
16
ями от 0 до 2π.
При n01 = 0, n02 > 0 имеем
Таким образом, получаем, что левая часть СН
(
)
для ТОРФ в случае фоковских состояний полей есть
1
R0,n02
CI,SI
=
K41 (n01, n02 - 1).
(
)
16
1
CI,SI
=
(28)
Ln01,n02
4
При n01 > 0, n02 = 0 получаем
(
)
Найдем далее правые части точного соотноше-
1
R0,n02
CI,SI
=
K41 (n01 - 1, 0).
ния неопределенностей (неравенства Коши - Швар-
16
ца, ССН) и соотношения неопределенностей Гейзен-
В случае n01 = n02 = 0 находим
берга (СНГ). Из выражений для этих двух нера-
(
)
венств (1) и (2) в случае, если
A =
CI,
B =
SI,
R0,0
CI,SI
= 0.
с помощью соотношения ортонормированности век-
торов фоковских состояний 〈n | n′〉 = δn,n′ получаем
Для больших значений n01, n02
→ ∞ правая
формулу для ковариации ТОРФ, входящей в пра-
часть СН стремится к нулю, так как
вую часть ССН:
CI,SI
→ 0,
n01,n02
CI,SI
≡ 〈n01, n02
CI
SI|n01, n02〉-
n01,n02
т. е. ТОРФ не коррелируют между собой.
- 〈n01, n02
CI|n01, n02〉〈n01, n02
SI|n01, n02〉 =
На рис. 1 и(ображ)на зависимость правой час-
∑
i
ти СН Rn01,n02
CI,SI от значений чисел фотонов
=
K21 (n1, n2) ×
4
n1,n2=0
n01 и n02 фоковских состояний полей |n01〉 и |n02〉,
(
)
0 ≤ n01, n02 ≤ 10. На рисунке видно, что правая
×
δ2n
δ2n
-δ2n
δ2n
,
(29)
01,n1+1
02,n2
01,n1
02,n2+1
часть СН заметно отличается от 0 только для ма-
и для среднего коммутатора, определяющего пра-
лых значений n01 или n02 вблизи 0, т. е. в случае
вую часть СНГ, находим
когда одно из полей находится в состоянии близком
[
]
[
]
к вакуумному состоянию.
CI,SI
≡ 〈n01, n02|
CI,SI
|n01, n02〉 =
Левая часть СН значительно превышает левую
n01,n02
часть ССН и СНГ для всех значений n01 и n02 за
=2
CI,SI
(30)
исключением состояний полей
n01,n02
= 1〉
|n01 = 0〉, |n02
Таким образом, получены следующие выражения
для правых частей ССН и СНГ в случае фоковских
и
состояний полей:
|n01 = 1〉, |n02 = 0〉,
778
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
Соотношения неопределенностей для тригонометрических операторов.. .
Следовательно, фоковские состояния полей являют-
ся квантовыми состояниями с минимальной неопре-
деленностью для операторов полного (суммарного)
числа фотонов двух полей и ТОРФ
CI,
SI для лю-
бых значений числа фотонов n01, n02.
В случае если одно из полей находится в фо-
ковском, а другое поле в произвольном квантовом
состоянии (|n01〉, |x2〉 или |x1〉, |n02〉), из выражений
(17) и (18) следует, что средние значения ТОРФ в
этом случае равны 0, а дисперсии ТОРФ
CI и
SI
равны 1/2, так же как и в случае фоковских состо-
яний обоих полей. Из формул (21) и (22) в случае,
когда одно из полей находится в фоковском состо-
янии, следует, что ССН и СНГ совпадают между
собой для ТОРФ
CI и
SI. Так, например,
Рис. 1. Зависимость правой части соотношения неопреде-
(
)
(
)
ленностей операторов косинуса и синуса разности фаз
CI,SI
CI,SI
,
(34)
(
)
Rt,n01,x2
= RH,n01,x2
Rt,n01,n02
CI ,
SI
≡
причем
2
≡
C
SI
-
CI
SI
(
n01,n02
n01,n02
n01,n02
i
∑
CISI
=
K21 (n01-1, n2)|〈n2| x2〉|2 -
для фоковских состояний полей |n1〉 и |n2〉 от средних зна-
n01,x2
4
n2=0
чений числа фотонов n01 и n02 состояний
)
- K21 (n01,n2)|〈n2 + 1| x2〉|2
(35)
т. е. в случаях, когда одно из полей находится в ва-
при n01 > 0 и
куумном состоянии, а состояние другого поля явля-
ется однофотонным. В этих особых случаях
CISI
=
(
)
(
)
(
)
n01,x2
1
R1,0
CI,SI
=R0,1
CI,SI
=L1,0
CI,SI
=
,
i
∑
4
=-
K21 (0, n2)|〈n2 + 1| x2〉|2
,
(36)
4
и это означает, что фоковские состояния полей явля-
n2=0
ются состояниями с минимальной неопределеннос-
при n01 = 0 для любого квантового состояния |x2〉.
тью ТОРФ только для разностей фаз однофотонно-
Поскольку оператор суммарного числа фотонов
го и вакуумного состояний полей.
полей n1 + n2 коммутируют с ТОРФ
CI и
SI, ССН
Вместе с тем, рассматривая СН для оператора
для операторов n1 + n2 и
CI,
SI совпадают с СНГ
полного числа фотонов
для этих операторов в рассматриваемом случае по-
N1 +
N2 = n1 + n2
лей в фоковском и произвольном квантовых состо-
яниях. При этом правые части ССН и СНГ равны
и ТОРФ
CI и
SI с помощью формул (26) и (27) и
нулю. Отметим равенство нулю правой части СНГ
соотношения
для n1 + n2 и
CI,
SI для любых квантовых состо-
(Δ (n1 + n2))2
= 0,
яний |x1〉, |x2〉, поскольку операторы суммы числа
n01,n02
фотонов и ТОРФ коммутируют между собой.
нетрудно убедиться, что СН для n1 + n2 и ТОРФ
CI
и
SI для полей в фоковских состояниях представля-
5. СООТНОШЕНИЯ
ет собой равенство
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
(
)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
(n1 + n2),CI
=
Rt,n01,n02
РАЗНОСТИ ФАЗ ПОЛЕЙ В КОГЕРЕНТНЫХ
(
)
СОСТОЯНИЯХ
= Rt,n01,n02
(n1 + n2),SI
=
(
)
Рассмотрим теперь случай, когда оба поля нахо-
= Ln01,n02
(n1 + n2),CI
=
дятся в когерентных состояниях
(
)
= Ln01,n02
(n1 + n2),SI
= 0.
(33)
|xj 〉 = |αj 〉, αj =
√nαj eiϕαj , j = 1, 2.
779
2*
А. В. Козловский
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
Рис. 2. Зависимости а) левой части соотношений (1) и (2)
для операторов косинуса и синуса разности фаз
(
)
(
)2
(
)2
Lα1,α2
CI,
SI
≡
CI
Δˆ
,
α1,α2
α1,α2
б) правой части соотношения (1) для операторов косинуса
и синуса разности фаз
(
)
2
Rt,α1,α2
CI,
SI
≡
C
SI
-
CI
SI
,
α1,α2
α1,α2
α1,α2
в) правой части соотношения неопределенностей Гейзен-
берга (2) для операторов косинуса и синуса разности фаз
(
)
[
]
2
1
RH,α1,α2
CI ,
SI
≡
CI,
SI
,
4
α1,α2
для когерентных состояний полей |α1〉 и |α2〉, от сред-
них значений числа фотонов n2 и фазового угла ϕ2 ко-
герентного состояния |α2〉. Для фиксированных значений
nα1 = 1 и ϕα1 = 0 когерентного состояния |α1〉
Правые части СН, в свою очередь, находятся
с помощью указанных скалярных произведений из
формул (21), (22).
Скалярные произведения векторов состояний по-
лей, необходимые для расчета левых и правых час-
тей СН для случая когерентных состояний полей,
могут быть записаны в виде
nαj/2j
〈mj |αj 〉 = e-nαj/2
√
eimj ϕαj ,
m
j!
(37)
mj = nj, nj + 1, nj + 2, j = 1, 2.
Численные расчеты дисперсий, средних значений
коммутаторов и ковариаций, определяющих левые
и правые части ССН и СНГ, проводились нами пу-
тем подстановки значений скалярных произведений
(37) в выражения (17)-(22).
Как показали расчеты, правые части ССН и СНГ
для соотношений неопределенностей
CI
SI значи-
тельно различаются между собой. На рис. 2 показа-
ны левые и правые части ССН и СНГ для ТОРФ в
случае когерентных состояний полей, в зависимости
от параметров состояния |α2〉 при фиксированном
Найдем левые части СН для ТОРФ
CI и
SI, пред-
значении α1 = 1.
(
)
ставляющие собой произведение дисперсий ТОРФ
CI,S
I
Как видно на рис. 2а, левая часть Lα1,α2
(
)2
(
)2
СН достигает максимальных значений при малых
CI
SI
,
числах фотонов когерентных состояний n1, n2 ∼ 1
α1,α2
α1,α2
и монотонно убывает с их ростом. К(к пок)зано
определяемые с использованием формул (17)-(20) и
на рис. 2б и 2в, правые части Rt,n01,x2
CI,SI для
выражающиеся через скалярные произведения ко-
(
)
герентных и фоковских состояний.
ССН и RH,n01,x2
CI,SI для СНГ значительно раз-
780
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
Соотношения неопределенностей для тригонометрических операторов.. .
личаются между собой для любых значений пара-
метров когерентных состояний α1 и α2.
Сравнение левых и правых частей ССН и СНГ
показывает, что левые части обоих СН в общем слу-
чае больше правых частей, т. е. когерентные состо-
яния полей не являются для ТОРФ состояниями с
наименьшей неопределенностью. Приближенное ра-
венство левых и правых частей ССН имеет место
только для определенных значений фазовых углов
ϕαj , j = 1, 2 и при больших значениях числа фото-
нов nαj , j = 1 и/или 2 (см. рис. 2а,б).
Результаты расчетов СН для оператора суммы
числа фотонов полей n1 + n2 и ТОРФ
CI,
SI при-
ведены на р(.
3. На р)с. 3а показано, что левая
часть Lα1,α2
n1 + n2,SI принимает минимальное
значение при малых значениях nj , j = 1, 2 и воз-
растает с увеличением nj, что связано с возраста-
нием дисперсии числа фотонов с ростом средних
чисел фотонов когерентных состояний равных nj .
Так же как и в случае СН для
CI (
SI, разли)ие
между собой правых частей Rt,α1,α2
n1 + n2,SI и
(
)
RH,α1,α2
n1 + n2,SI велико.
Как отмечалось выше, операторы суммы числа
фотонов ТОРФ полей коммутируют между собой,
[
]
[
]
(n1 + n2),SI
= (n1 + n2),CI
= 0,
вследствие чего правые части СНГ равны нулю:
Рис. 3. Зависимости а) левой части соотношений (1) и (2)
(
)
(
)
n1+n2,
S
n1+n2,CI
= 0.
для операторов суммы числа фотонов полей n ≡ n1 + n2
RH,α1,α2
I
= RH,α1,α2
и синуса разности фаз
В то же время правые части ТСН
(
)
(
)2
$
%
Lα1,α2
n,
SI
≡
(Δn)2
SI
,
(
)
(
)
α1,α2
α1,α2
Rt,α1,α2
n1 + n2,
S
I
, Rt,α1,α2
n1 + n2,
CI
б) правой части соотношения (1) для числа фотонов и си-
значительно отличаются от нуля для всех значений
нуса разности фаз
параметров когерентных состояний, как показано на
(
)
2
рис. 3б.
Rt,α1,α2
n,
SI
≡
n
SI
- 〈n〉α1,α2
SI
,
α1,α2
α1,α2
Отличие правой части ССН для операторов
n1+n2 и ТОРФ
CI или
SI от левой части значитель-
для когерентных состояний полей |α1〉 и |α2〉, от сред-
но, как и в случае ССН для
CI и
SI, и почти линей-
них значений числа фотонов n2 и фазового угла ϕ2 ко-
но растет с увеличением чисел фотонов когерентных
герентного состояния |α2〉. Для фиксированных значений
состояний nαj (см. рис. 3). Когерентные состояния
nα1 = 1 и ϕα1 = 0 когерентного состояния |α1〉
не являются квантовыми состояниями полей с ми-
нимальной неопределенностью для ТОРФ
CI или
SI
и оператора суммы чисел фотонов n1 + n2.
Правые части СН для операторов n1 + n2 и ТОРФ
Рассмотрим также случай, когда одно из по-
CI,
SI равны нулю для любых значений параметров
лей находится в когерентном, а другое в фоковском
состояний |n01〉, |α2〉 (или |α1〉, |n02〉). Это означает,
квантовом состоянии. В таких условиях ССН и СНГ
что СН в случае таких квантовых состояний полей
для ТОРФ
CI и
SI совпадают. Правые части СН не
не накладывает никаких дополнительных ограниче-
зависят от фазы ϕ и значительно отличаются от ну-
ний на точность измерения полного (суммарного)
ля лишь при n
∼ 1 и близки к нулю при n ≫ 1.
числа фотонов и разности фаз полей.
781
А. В. Козловский
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
6. СООТНОШЕНИЯ
Фазовые состояния суперпозиции, имеющие зна-
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
чения параметров
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
ϕαj = ϕβj + π, j = 1, 2,
РАЗНОСТИ ФАЗ ДЛЯ ПОЛЕЙ В
СОСТОЯНИЯХ СУПЕРПОЗИЦИИ
представляют собой известные и хорошо изучен-
КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИЙ
ные квантовые состояния «шредингеровского кота»
[13-21]. В случае
Рассмотрим теперь случай когда электромагнит-
ные поля находятся в квантовых состояниях супер-
ξj = 0, nαj = nβj , ϕαj = ϕβj + π
позиций когерентных состояний [13-18]. Такие со-
стояния полей |ψs,j 〉, j = 1, 2 могут быть записаны
состояния полей представляют собой четные состо-
в общем виде [18], следующим образом:
яния суперпозиций когерентных состояний, а в слу-
чае ξj = π — нечетные состояния суперпозиций [20].
(
)
|ψs,j (ξ)〉 = Nj
|αj 〉 + eiξ|βj 〉
=
Квантовые состояния суперпозиций когерент-
ных состояний поля обладают ярко выраженными
∑
= Znj|nj〉, j = 1,2,
(38)
неклассическими свойствами. Так, фазовые супер-
nj =0
позиции (включая состояния типа «шредингеров-
ского кота») могут иметь флуктуации числа фото-
где
(
)
нов значительно ниже величины флуктуаций числа
Znj ≡ Nj
znj,αj + eiξj znj,βj
,
(39)
фотонов когерентного состояния поля (уровня дро-
1
Nj ≡
√
(40)
бового шума) [19-21].
(
),
2
1 + cosθje-δj/2
Отметим, что в случае субпуассоновской стати-
стики фотонов с дисперсией (флуктуациями) чис-
θj ≡ ξj +
√nαj nβj sin Δj ,
(41)
ла фотонов ниже пуассоновского уровня, присуще-
Δj ≡ ϕβj - ϕαj,
(42)
го когерентному состоянию поля, нарушается нера-
венство Коши- Шварца для автокорреляционной
δj ≡ nαj + nβj - 2√nαj nβj cos Δj ,
(43)
функции интенсивности света [22,23].
αj =
√nαj eiϕαj , βj =√nβj eiϕβj , j = 1, 2,
Амплитудные суперпозиции когерентных состоя-
и использованы обозначения
ний могут обладать малыми флуктуациями фазы
поля существенно ниже уровня флуктуаций, прису-
nj
α
j
щих когерентным состояниям [21].
znj,αj ≡ e-nαj /2
√
,
nj!
Соотношения неопределенностей для ТОРФ
CI
(44)
nj
β
и
SI могут быть найдены из полученных выше вы-
j
√
znj,βj ≡ e-nβj /2
ражений (17)-(22) для состояний полей общей су-
nj!
перпозиции когерентных состояний (38) путем под-
В случае если фазовые углы когерентных состоя-
становки в эти выражения значений скалярных про-
ний, составляющих каждую из суперпозиций, равны
изведений фоковских состояний и состояний супер-
между собой,
позиции:
ϕαj = ϕβj, Δj = 0, j = 1, 2,
〈mj |ϕs,j 〉 = Zm,j, mj = nj , nj + 1, nj + 2,
(45)
j = 1,2.
а числа фотонов когерентных состояний различают-
ся, nαj = nβj, состояния квантовых суперпозиций
где Zm,j определяются формулами (39)-(44).
могут быть названы амплитудными суперпозиция-
На рис. 4а изображен пример зависимости ле-
ми когерентных состояний [18]. В другом важном
вой части ССН и СНГ от параметров состояний су-
частном случае, когда
перпозиций для ТОРФ
CI и
SI. Левая часть ССН
в случае состояний (олей )уперпозиции когерент-
ϕαj = ϕβj, Δj = 0, j = 1, 2,
ных состояний Ls1,s2
CI,SI качественно отличает-
и
ся от л(вой ч)сти ССН для когерентных состояний
nαj = nβj ,
Lα1,α2
CI,SI . На рис. 2а видно, что эта величи-
на не зависит от значений фазовых углов когерент-
состояния суперпозиции могут быть названы состо-
ных состояний и монотонно убыв(ет с р)стом чис-
яниями фазовых суперпозиций двух когерентных
состояний [18].
ла фотонов nα2, тогда как Ls1,s2
CI,SI обладает
782
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
Соотношения неопределенностей для тригонометрических операторов.. .
Рис. 4. Зависимости а) левой части соотношений (1) и (2)
для операторов косинуса и синуса разности фаз
(
)
(
)2
(
)2
Ls1,s2
CI,
SI
≡
CI
Δˆ
,
s1,s2
s1,s2
б) правой части соотношения (1) для операторов косинуса
и синуса разности фаз
(
)
2
Rt,s1,s2
CI,
SI
≡
C
SI
-
CI
SI
,
s1,s2
s1,s2
s1,s2
в) правой части соотношения неопределенностей Гейзен-
берга (2) для операторов косинуса и синуса разности фаз
(
)
[
]
2
1
RH,α1,α2
CI ,
SI
≡
CI,
SI
,
4
α1,α2
для состояний суперпозиций когерентных состояний полей
(
)
|ψs,j (ξ)〉 = Nj
|αj 〉 + eiξ|βj 〉
, j = 1,2, от средних значе-
ний числа фотонов n2 и фазового угла ϕ2 когерентного
состояния |α2〉. Для фиксированных значений остальных
параметров состояния суперпозиций |ψs,j (ξj)〉, j = 1, 2,
nα1
= 1, nβ1 = 2, nβ2 = 4 и ϕα1 = ϕβ1 = ϕβ2 = 0,
ξ1 = ξ2 = 0
правой (части )ля когерентных состояний полей
CI,SI . Неравенство ССН (неравенство
Rt,α1,α2
Коши- Шварца) выполняется для всех значений па-
раметров квантовых состояний полей.
На рис. 4в показана зависимость правой части
СНГ от параметров состояний суперпозиций для
ТОРФ
CI и
SI. Как и в случае когерентных состоя-
ний, правые части ССН и СНГ качественно различ-
ны. Пра(ые час)и СНГ для состояний суперпозиции
CI,SI обладают зависимостью от пара-
RH,s1,s2
метров к(антов)х состояний, подобной зависимости
CI,
SI для полей в когерентных состоя-
RH,α1,α2
ниях (см. рис. 2в), но они значительно различают-
ся по абсолютной величине. При этом правые части
ССН и СНГ качественно различны как в случае су-
перпозиций когерентных состояний, так и в случае
когерентных состояний полей.
сильной зависимостью от ϕα2 и не убывает, а даже
возрастает с увеличением nα2 в широком интервале
На рис. 5а изображен пример зависимости левой
изменения значений ϕα2 . Указанные закономерно-
части ССН и СНГ от параметров состояний суперпо-
сти выполняются для любых значений параметров
зиций для опера(ора n) n1 + n2 и(ТОР )SI. Левые
рассмотренных состояний полей.
n,
S
n,
SI возраста-
части СН Ls1,s2
I и Lα1,α2
На рис. 4б показан пример зависимости пра-
ют с у(еличе)ием числ( фот)ов, но, в отличие от
вой части ССН от параметров состояний супер-
n,
S
n,
SI , обладают сложной
Lα1,α2
I и Ls1,s2
позици( для )ОРФ
CI и
SI. Правая часть ТСН
зависимостью от фазового угла когерентного состо-
Rt,s1,s2
CI,SI также качественно отличается от
яния ϕα2.
783
А. В. Козловский
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
резко различающимися между собой зависимостя-
ми от числа фотон(в. В с)учае когерентных состоя-
n,
SI велика для малых чисел
ний полей Rt,α1,α2
фотонов (nα2 ∼ 1) и с ростом числа фотонов убы-
(
)
n,
SI резко
вает (см. рис. 3б), тогда как Rt,s1,s2
возрастает при больших числах фотонов nα2 ≫ 1.
Правые части СНГ
(
)
(
)
RH,s1,s2
n1+n2,SI
= RH,s1,s2
n1+n2,
CI
= 0,
так как оператор суммы числа фотонов коммутиру-
ет с ТОРФ.
Отметим, что состояния суперпозиции не явля-
ются квантовыми состояниями полей с минималь-
ной неопределенностью для данных операторов, так
как левая часть ССН больше правой для всех зна-
чений параметров состояний.
В частном случае состояний фазовых суперпо-
зиций двух полей (состояний «шредингеровского ко-
та», четных и нечетных) ССН и СНГ для суммы чи-
сел фотонов и ТОРФ совпадают, тогда как для ам-
плитудных суперпозиций правые части ССН и СНГ
значительно различаются. ССН и СНГ для ТОРФ
CI и
SI полей в состояниях «шредингеровского ко-
та» также качественно различаются.
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рис. 5. Зависимости а) левой части соотношений (1) и (2)
В данной работе продолжены теоретические ис-
для операторов суммы числа фотонов полей n ≡ n1 + n2
следования квантовомеханических свойств тригоно-
и синуса разности фаз
метрических операторов разности фаз двух элек-
(
)
(
)2
$
%
Ls1,s2
n,
SI
≡
(Δn)2
SI
,
тромагнитных полей, предложенных нами в рабо-
s1,s2
s1,s2
те [10].
Получены и исследованы соотношения неопреде-
б) правой части соотношения (1) для операторов числа
фотонов и синуса разности фаз
ленностей для операторов синуса и косинуса разно-
сти фаз, а также соотношения неопределенностей
(
)
2
для оператора суммы чисел фотонов двух полей и
Rt,s1,s2
n,
SI
≡
n
SI
- 〈n〉s1,s2
SI
,
s1,s2
s1,s2
операторов синуса и косинуса разности фаз полей.
для состояний суперпозиций когерентных состояний полей
Найдены и проанализированы строгие соотноше-
(
)
|ψs,j (ξ)〉 = Nj
|αj 〉 + eiξ|βj 〉
,
j = 1,2, от средних зна-
ния неопределенностей (неравенства Коши - Швар-
чений числа фотонов n2 и фазового угла ϕ2 когерентного
ца для указанных пар операторов), а также соот-
состояния |α2〉. Для фиксированных значений остальных
ветствующие соотношения неопределенностей Гей-
параметров состояния суперпозиций |ψs,j (ξj)〉, j = 1, 2,
зенберга.
nα1
= 1, nβ1 = 2, nβ2 = 4 и ϕα1 = ϕβ1 = ϕβ2 = 0,
Рассмотрены случаи, когда поля находятся в
ξ1 = ξ2 = 0
квантовых когерентных состояниях, наиболее близ-
ких по своим свойствам к классическим электромаг-
нитным полям. Исследованы случаи, когда оба поля
На рис. 5б показана зависимость правой части
(или одно из них) находятся в квантовых фоковских
ССН от параметров состояний суперпозиций для
состояниях. Рассмотрены состояния квантовых су-
n
≡ ( + n) и ТОРФ
SI. П)авые части ССН
перпозиций когерентных состояний, проявляющие
(
n,
S
n,
SI характеризуются
ярко выраженные неклассические свойства.
Rt,s1,s2
I и Rt,α1,α2
784
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
Соотношения неопределенностей для тригонометрических операторов.. .
Расчеты, проведенные нами, показали, что как
9.
P. Riegler and K. Wodkiewicz, Phys. Rev. A 49, 1387
строгие соотношения неопределенностей, так и со-
(1994).
отношения Гейзенберга выполняются для предлага-
10.
А. В. Козловский, ЖЭТФ 159, 244 (2021).
емых операторов разности фаз полей для всех зна-
чений параметров рассмотренных квантовых состо-
11.
E. Schrödinger, Sitzungsberichte der Preussischen
яний.
Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathe-
В работе показано, что точные соотношения
matische Klasse 14, 296 (1930).
неопределенностей для предлагаемых операторов
12.
А. В. Козловский, Опт. и спектр. 120, 626 (2016);
разности фаз полей качественно отличаются от
128, 368 (2020).
соответствующих соотношений неопределенностей
Гейзенберга для когерентных состояний полей, а
13.
E. Schrödinger, Naturwissenschaften 23, 664 (1935);
также для состояний квантовых суперпозиций ко-
23,
823
(1935); 23,
844
(1935)
[Eng. transl. by
герентных состояний, и совпадают для фоковских
J. D. Trimmer, Proc. Amer. Philos. Soc. 124, 323
состояний при всех значениях параметров состоя-
(1980)].
ний.
14.
B. Yurke and D. Stoler, Phys. Rev. Lett. 57, 13
Найдены значения параметров квантовых состо-
(1986).
яний электромагнитных полей, для которых точ-
ные рассматриваемые тригонометрические операто-
15.
B. Yurke and D. Stoler, Phys. Rev. A 35, 4846 (1987).
ры разности фаз соответствуют наблюдаемым с ми-
нимальной квантовой неопределенностью. Исследо-
16.
G. J. Milburn and C. A. Holmes, Phys. Rev. Lett.
56, 2237 (1986).
вания проведены для слабых электромагнитных по-
лей с малым числом фотонов (∼ 1), используемых в
17.
D. F. Walls and G. J. Milburn, Phys. Rev. A 31, 2403
области квантовых технологий.
(1985).
18.
A. V. Kozlovskii, J. Mod. Opt. 63, 2356 (2016); 66,
ЛИТЕРАТУРА
463 (2019).
1. L. Susskind and J. Glogower, Physics 1, 49 (1964).
19.
W. Schleich, M. Pernigo, and Fam Le Kien, Phys.
Rev. A 44, 2172 (1991).
2. P. Carruthers and M. M. Nieto, Phys. Rev. Lett. 14,
387 (1965).
20.
V. Buzek, A. Vidiella-Barranco, and P. L. Knight,
Phys. Rev. A 45, 6570 (1992).
3. P. Carruthers and M. M. Nieto, Rev. Mod. Phys. 40,
411 (1968).
21.
V. Buzek, A. D. Wilson-Gordon, P. L. Knight, and
4. E. C. Lerner, Nuovo Cim. B 56, 183 (1968).
W. K. Lai, Phys. Rev. A 45, 8079 (1992).
5. R. Lynch, J. Opt. Soc. Amer. B 3, 1006 (1986).
22.
D. V. Strekalov and G. Leuchs, in Quantum Pho-
tonics: Pioneering Advances and Emerging Applica-
6. R. Lynch, J. Opt. Soc. Amer. B 4, 1723 (1987).
tions, ed. by R. Boyd, S. Lukishova, and V. Zadkov,
7. J. W. Noh, A. Fougeres, and L. Mandel, Phys. Rev.
Springer Series in Optical Sciences, Vol. 217, p. 51
A 45, 424 (1992).
(2019).
8. J. W. Noh, A. Fougeres, and L. Mandel, Phys. Rev.
23.
R. Loudon, The Quantum Theory of Light, Oxford
A 46, 2840 (1992).
Univ. Press (2000).
785
