ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 1, стр. 5-19

УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ,

ПРЕДПОЛАГАЮЩЕГО МАЛОЕ ВЛИЯНИЕ ТОРМОЖЕНИЯ

ИЗЛУЧЕНИЕМ НА ДВИЖЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО

ЭЛЕКТРОНА В ПОЛЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ

ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ

А. В. Пересторонин^*, А. Л. Карузский

Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 16 августа 2021 г.,

после переработки 16 августа 2021 г.

Принята к публикации 4 октября 2021 г.

В произвольной инерциальной системе отсчета рассматривается задача о движении классического элект-

рона в поле монохроматической плоской волны произвольной поляризации (линейной, круговой или эл-

липтической). Показано, что отношение энергии, излучаемой ускоренно движущимся в поле волны элек-

троном за время равное периоду, к средней энергии колебательного движения электрона может быть

выражено через два безразмерных релятивистски инвариантных параметра. В качестве критерия, опре-

деляющего границу применимости приближения, предполагающего малое влияние торможения излуче-

нием на движение классического электрона в поле монохроматической плоской волны, принято условие

равенства энергии, излучаемой электроном за время равное периоду, и средней энергии колебательного

движения. Граница применимости приближения построена в пространстве двух безразмерных инвариант-

ных параметров. В системе отсчета, в которой электрон покоился до прихода волны с резким передним

фронтом, один из этих параметров пропорционален частоте падающей волны, а другой — ее интенсив-

ности.

DOI: 10.31857/S0044451022010011

где c — скорость света, a — абсолютное значение век-

тора трехмерного ускорения a электрона (a = |a|).

Необходимость перехода от уравнения

1. ВВЕДЕНИЕ

m_ea = f^ext,

(2)

определяющего закон движения электрона массы

В классической электродинамике вывод о нали-

m_e под действием внешней силы f^ext, к уравнению

чии силы радиационного трения, действующей на

ускоренно движущийся электрон, следует из анали-

m_ea = f^ext + f^rad,

(3)

за баланса энергии и импульса системы, включаю-

в котором наряду с действующей на электрон внеш-

щей в себя заряженную частицу и поле, при учете

ней силой содержится еще и сила радиационного

излучения. Ускоренно движущийся электрон, име-

трения f^rad, возникает как результат учета балан-

ющий заряд q = -e, излучает. В нерелятивистском

са энергии и импульса в системе при излучении

случае мгновенная мощность P^inst этого излучения

[1-3], поскольку в общем случае работы, соверша-

определяется [1] выражением

емой над зарядом силой f^ext, недостаточно для то-

го, чтобы компенсировать потери энергии, возника-

2 e²a

P^inst =

(1)

ющие вследствие излучения ускоренно движущего-

c³

ся электрона.

Хорошо известно, что в нерелятивистском слу-

^* E-mail: anatoly@sci.lebedev.ru, perestoroninav@lebedev.ru

чае торможение излучением оказывает малое влия-

А. В. Пересторонин, А. Л. Карузский

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

ние на движение электрона в электромагнитном по-

где λ_C = λ_C /2π — приведенная комптоновская дли-

ле. Сравнение абсолютных значений векторов f^ext и

на. Как следует из определений (8) и (10) и выра-

f^rad выполнено, например, в книге [1]. В § 75 книги

жения для постоянной тонкой структуры

[1] показано, что условие малости

e²



α=

≈

(11)

_≪



ℏc

137

f^rad

f^ext

(4)

приведенная комптоновская длина волны электрона

сил торможения по сравнению с силой, действую-

λ_C = r_e/α приблизительно в 137 раз больше класси-

щей на электрон со стороны волнового электромаг-

ческого радиуса электрона r_e, а для комптоновской

нитного поля, которое характеризуется длиной вол-

длины волны имеем

ны λ, соответствует неравенству

2π

λ_C = 2πλ_C =

r_e ≈ 861 r_e.

(12)

λ≫

(5)

m_ec²

При выполнении условия

При выводе условия (5) не учитывались числовые

λ ≫ λ_C или ℏω ≪ m_ec²,

(13)

коэффициенты порядка единицы и π. Если повто-

рить вычисления, сделанные в § 75 книги [1], не от-

которое обеспечивает корректность примене-

брасывая числовые коэффициенты и используя со-

ния классического подхода к анализу поведения

отношения

электрона в волновом поле, условие

(9) также

2πν

2π

выполняется в силу (12) и с учетом неравенства

k₄ =

(6)

2π/α ≈ 861 > 4π/3. Таким образом, сила тормо-

cT_ω

жения излучением мала по сравнению с внешней

для модуля волнового вектора, обозначенного здесь

силой, действующей на электрон со стороны вол-

как k₄, круговой частоты излучения ω, частоты ν,

нового электромагнитного поля, в том случае,

длины волны λ и периода колебаний T_ω монохро-

когда вообще возможен классический подход к

матического излучения, то условие (5) (уравнение

рассматриваемой задаче. Этот вывод сделан в

(75.11) в [1]) будет иметь вид

[1] в рамках предположения о том, что скорость

движения электрона в волне мала по сравнению со

4π e

λ≫

(7)

скоростью света.

3 m_ec²

Кроме того, для применимости классическо-

Обозначая величину классического радиуса элект-

го подхода необходимо, чтобы напряженность по-

рона как

ля волны была мала по сравнению с величиной

m2ec⁴/e³. Поля ∼ m2ec⁴/e³ являются границей, за

re =

(8)

m_ec²

которой классическая электродинамика приводит к

внутренним противоречиям [1]. Поскольку интен-

перепишем (7) в форме

сивность монохроматической плоской волны I зави-

4π

3 c

сит только от напряженности поля волны, соответ-

λ≫

r_e

или ω ≪

(9)

2r_e

ствующая этой напряженности ∼m2ec⁴/e³ интенсив-

ность ограничивает область применимости класси-

При этом сама возможность классического, не кван-

ческого подхода.

тового рассмотрения задачи о взаимодействии мо-

Частный случай предельно релятивистского дви-

нохроматического излучения со свободным элек-

жения классического электрона в поле монохрома-

троном, как известно [1], ограничена в силу необ-

тической плоской волны круговой поляризации был

ходимости учета квантовых эффектов в том слу-

проанализирован в работе [4]. Для системы отсчета,

чае, когда энергия кванта излучения ℏω = hν, где

в которой электрон в среднем покоится, было по-

ℏ = h/2π —приведенная постоянная Планка, стано-

лучено условие (уравнение (2) в [4]), при выполне-

вится сравнима с энергией, соответствующей массе

нии которого влияние сил радиационного трения на

покоя электрона m_ec², или длина волны излучения

движение электрона превышает влияние силы, дей-

становится сравнима с комптоновской длиной вол-

ствующей со стороны электромагнитного поля вол-

ны электрона

ны. Из выражения (уравнение (2) в [4]) для грани-

2πℏ

цы пределов применимости приближения, предпо-

λ_C =

= 2πλ_C,

(10)

лагающего малое влияние торможения излучением

m_ec

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Условия применимости приближения. . .

на движение классического электрона, следует, что

∫

в рассматриваемых условиях уравнение границы в

P = P^inst

P^inst (t) dt.

(14)

координатах (I, ω) может быть описано зависимо-

стью I ∝ ω4/3.

Здесь и далее операция усреднения обозначается уг-

Приведенные выше соотношения, определяю-

ловыми скобками с указанием параметра (в (14) это

щие уравнения границ применимости приближения,

время t), по которому проводится усреднение. След-

предполагающего малое влияние торможения излу-

ствием определения мгновенной мощности излуче-

чением на движение классического электрона в поле

ния P^inst как отношения дифференциала излучае-

монохроматической плоской волны, не имеют инва-

мой энергии к дифференциалу времени и формулы

риантного характера, поскольку рассматриваются в

(14) является соотношение

фиксированной системе отсчета, в то время как ин-

тенсивность и частота волны зависят от использу-

ΔE_T = P T,

(15)

емой системы отсчета. Кроме того, эти оценки от-

носятся к различным частным случаям (нереляти-

выражающее полное количество энергии ΔE_T , излу-

вистское или релятивистское движение электрона,

чаемое зарядом за время, равное периоду T, через

круговая поляризация волны).

интегральную среднюю мощность излучения P и пе-

риод T.

В настоящей работе задача о движении класси-

Для того чтобы оценить степень влияния излу-

ческого электрона в поле монохроматической плос-

чательных энергетических потерь на периодическое

кой волны произвольной поляризации (линейной,

или квазипериодическое движение заряда, следует

круговой или эллиптической) рассматривается в

сравнивать полное количество энергии ΔE_T с дру-

произвольной инерциальной системе отсчета. Полу-

гой характерной величиной, имеющей размерность

ченные результаты включают в себя частные слу-

энергии. В случае если периодическое или квази-

чаи, описанные выше. Граница применимости при-

периодическое движение заряда рассматривается в

ближения построена в пространстве двух безраз-

системе отсчета, в которой заряд в среднем поко-

мерных релятивистски инвариантных параметров.

ится, т. е. средняя скорость заряда равна нулю, та-

В системе отсчета, в которой электрон покоился до

кой характерной величиной будет средняя кинети-

прихода волны с резким передним фронтом, один из

ческая энергия частицы 〈K〉_t . Выполнение условия

этих параметров пропорционален частоте падающей

ΔE_T = 〈K〉_t будет означать, что за время равное пе-

волны, а другой — ее интенсивности.

риоду заряд потеряет за счет излучения всю свою

кинетическую энергию. В этом случае влиянием

торможения излучением на движение классического

электрона уже нельзя пренебрегать. При выполне-

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

нии условия

ΔE_T

≪1

(16)

Как было отмечено выше, выяснение пределов

〈K〉_t

применимости приближения, в котором торможение

влиянием торможения излучением на периодиче-

излучением мало, выполнено в [1] путем сравнения

ское или квазипериодическое движение электрона

абсолютных значений векторов силы торможения

можно пренебречь.

f^rad и силы f^ext, действующей на электрон со сто-

Хорошо известно (см., например, [1]), что в поле

роны внешнего электромагнитного поля. Ясно, что

монохроматической плоской волны круговой поля-

такой способ не является единственным и вместо



ризации электрон движется по окружности с посто-

сравнения модулей мгновенных значений сил

^f^rad



янной угловой скоростью. Считая движение элек-

и |f^ext| можно сравнивать работу, совершаемую эти-

трона нерелятивистским и влияние силы радиаци-

ми силами за определенный промежуток времени.

онного трения малым, найдем, к каким ограниче-

В случае периодического с периодом T или ква-

ниям на длину волны или частоту падающего из-

зипериодического движения заряда для любых фи-

лучения приводит условие (16). В системе отсчета,

зических величин, характеризующих это движение,

в которой электрон в среднем покоится (дрейфовая

могут быть вычислены их усредненные по времени

скорость равна нулю), постоянное значение имеет

значения. Например, усредненная по времени мощ-

модуль вектора мгновенной скорости электрона v =

ность излучения P будет выражаться через величи-

= |v| , где v — трехмерный вектор мгновенной скоро-

ну мгновенной мощности формулой

сти, а период движения электрона T равен периоду

А. В. Пересторонин, А. Л. Карузский

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

колебаний волны T_ω, T = T_ω. Ускорение и скорость

Греческие индексы α, β, . . . пробегают значения от 1

электрона связаны в рассматриваемом случае прос-

до 3. Три пространственные компоненты x_α 4-векто-

тым соотношением

ра X_i являются составляющими трехмерного векто-

ра x. Дифференциал собственного времени матери-

a=ωv.

(17)

альной точечной частицы выражается равенством

√

Кинетическая энергия имеет в рассматриваемых

v²

ds = (dX_i)² = c dt

условиях постоянное значение K = m_ev²/2. Из фор-

c²

мул (1), (6), (15) и (17) получим отношение излуча-

где v = dx/dt, а 4-скорость

емой зарядом энергии к кинетической энергии час-

{

}

{

}

тицы:

dX_i

U_α

iu_α

=U_i =

ΔE_T

8π ω

U₄

u₄

(20)

r^e c

u₄ =

√

u=u₄

Тогда условие (16) приводит к следующим ограни-

1 - v²/c²

чениям на длину волны или частоту падающего из-

лучения:

является единичным 4-вектором U2i = 1. В рамках

этих определений квадрат времениподобных 4-век-

16π

торов является положительной величиной, а про-

λ≫

или ω ≪

(18)

8π r_e

странственноподобных — отрицательной.

Использование подхода, описанного в [5] и более

Граничные значения в условиях (9) и (18) несколь-

подробно в [6] позволяет на основе решения уравне-

ко различаются (в 4π ≈ 13 раз) , поскольку (9) по-

ния (19) получить выражения как для мгновенного

лучено, исходя из требования (4), а (18) — исходя из

значения квадрата 4-ускорения W2n электрона, так и

требования (16).

для усредненной по времени величины

-W2n

, от

В приведенном выше примере, во-первых, пред-

которой зависит средняя мощность излучения P. По

полагается, что скорость движения электрона мно-

формуле (15) для любой инерциальной системы от-

го меньше скорости света, во-вторых, задача рас-

счета можно определить полное количество энергии

сматривается только в одной системе отсчета, где

ΔE_T , излучаемое электроном за время равное перио-

средняя скорость движения электрона равна нулю,

ду. Эту энергию ΔE_T будем сравнивать со средней

в-третьих, рассматривается только случай круговой

энергией колебательного движения электрона. Ра-

поляризации, а в общем случае монохроматическая

венство этих величин определяет границу между об-

плоская волна может иметь линейную, круговую

ластью, в которой влияние торможения излучением

или эллиптическую поляризацию. В рамках исполь-

на движение классического электрона в поле моно-

зуемого в настоящей работе подхода, описанного да-

хроматической плоской волны мало, и областью, в

лее, все эти три ограничения отсутствуют.

которой это приближение неприменимо.

Для анализа движения электрона в поле моно-

хроматической плоской волны применяется 4-век-

торное уравнение:

3. ПОЛНОЕ КОЛИЧЕСТВО ЭНЕРГИИ,

ИЗЛУЧАЕМОЙ ЭЛЕКТРОНОМ ЗА ВРЕМЯ

-e

m_ec W_i =

F_ikU_k,

(19)

РАВНОЕ ПЕРИОДУ

Согласно (15) и формуле (5) из [5] в произволь-

где U_i — 4-вектор скорости, W_i = dU_i/ds — 4-вектор

ной инерциальной системе отсчета полное количест-

ускорения электрона, F_in — тензор электромагнит-

во энергии, излучаемой электроном за время равное

ного поля монохроматической плоской волны. Ла-

периоду, определяется выражением

тинские индексы i, k, . . . пробегают значения от 1

до 4. Здесь, так же как в [5, 6], используется форма

ΔE_T =

e² c

-W2n

(21)

записи 4-векторных величин, в которой временная

компонента 4-вектора считается действительной ве-

Поскольку 4-ускорение, компоненты которого име-

личиной, а пространственные компоненты — мни-

ют размерность, равную размерности обратной дли-

мыми,

ны, является пространственноподобным

4-векто-

{

}

{

}

{

}

ром, квадрат которого является отрицательной ве-

X_α

ix_α

личиной, в обеих частях равенства (21) содержатся

X_i =

X₄

x₄

положительно определенные величины.

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Условия применимости приближения. . .

В произвольной инерциальной системе отсчета

мгновенной скорости электрона v по времени систе-

зависимость мгновенного значения квадрата 4-уско-

мы отсчета t определена аналогично (14). Мгновен-

рения электрона, движущегося в поле монохрома-

ное значение квадрата 4-ускорения (22) зависит от

тической плоской волны, от фазы волны ϕ в точке

инвариантной переменной фазы волны

нахождения частицы определяется [6] выражением

(

)

ϕ=K_nX_n =

(ct - n_k · x) , n_k =

(25)

(

)(

)

k₄

-W2n = μ²

1+μ²

K_pU_p

1+γ cos(2ϕ+δ) , (22)

в 4-точке X_i, в отношении которой подразумевается

где δ/2 — начальная фаза волны, γ — параметр эл-

ее принадлежность к мировой линии электрона.

липтичности волны, который связан c величинами

Для вычисления по формуле (21) полного ко-

большой a и малой b полуосей эллипса поляризации

личества энергии, излучаемой электроном за время

и его эксцентриситетом ϵ соотношениями

равное периоду, необходимо усреднить по времени

системы отсчета выражение (22). Такое усреднение,

1 - b²/a

ϵ²

γ =

приводящее к результату

1 + b²/a²

2-ϵ²

(

)

(

)₂

γ²μ²K₄

где

√

-W2n

K_pU_p

μ²

1+μ² -

(

)

(26)

ϵ=

1 - b²/a².

4U₄

K_lU_l

Линейной поляризации волны соответствует значе-

было выполнено в [6] и использовалось в [5] без вы-

ние параметра γ = 1, а круговой поляризации —

вода. В общем случае результаты операций усредне-

значение γ = 0. Содержащаяся в (22) релятивист-

ния периодических величин по параметру времени

ски инвариантная безразмерная величина

системы отсчета t и по параметру фазы волны ϕ не

совпадают. Так, из (22) следует равенство

r_eλ

4πr_e I

μ² =

(23)

(

)(

)₂

π m_ec³

m_ec ω²

-W

=μ²

1+μ²

K_pU_p

(27)

в два раза меньше аналогичной безразмерной ве-

отличающееся от (26). В частном случае круговой

личины, нередко используемой различными автора-

поляризации γ = 0 падающей волны результаты

ми при анализе релятивистского поведения заряда

(26) и (27) совпадают.

в волне (в работе [7] она обозначена как μ, в работе

В том случае, когда тензор электромагнитного

[8] — как q², в работе [9] — как x²). В (22) содержится

(

)

поля F_in описывает поле монохроматической плос-

инвариантное скалярное произведение

K_pU_p

двух

кой волны, выполняется равенство F_inK_n

= 0,

4-векторов: волнового 4-вектора нулевой длины

соответствующее соотношениям в векторном виде

{

}

{

}

{

}

K_α

ik_α

(n_k · E)

= 0 и E = [B × n_k], которые отража-

K_i =

ют свойство поперечности поля волны и описывают

K₄

k₄

ω/c

связь между векторами напряженности электромаг-

k2α = k²⁴, K2n = 0,

нитного поля E и B.

= 0 и уравнения (19) сразу

Из равенства F_inK_n

где k_α являются составляющими трехмерного вол-

следует, что при движении электрона в поле моно-

нового вектора k, и постоянного единичного 4-век-

хроматической плоской волны сохраняется инвари-

тора дрейфовой скорости электрона в поле монохро-

антная скалярная величина K_nU_n, которая, как вид-

матической плоской волны

но из определения (25), равна производной фазы по

{

}

{

}

собственному времени: K_nU_n = dϕ/ds. Пропорцио-

U_α

iu_α

U_i =

нальность дифференциала фазы dϕ дифференциа-

U₄

u₄

(24)

лу собственного времени ds приводит к равенству

u₄v

u₄ =

√

результатов операций усреднения по фазе и по соб-

1 - v²/c²

ственному времени. Используя соотношения



Определение 4-вектора дрейфовой скорости (24) от-



-W2nϕ = -W2m

= -W2p



личается от определения 4-вектора мгновенной ско-

γ=0

рости (20) тем, что вместо мгновенной скорости v =

представим среднее

-W2n

, определяемое равенст-

= dx/dt в (24) используется вектор дрейфовой ско-

вом (26), в форме произведения двух величин

рости электрона в поле монохроматической плос-

кой волны v = 〈v〉_t . Операция усреднения вектора

-W2n

= κ₁ -W2m

(28)

А. В. Пересторонин, А. Л. Карузский

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

одна из которых,

-W2m

, инвариантна относитель-

случае незначительно отличается от инвариантной

но преобразований Лоренца, т.е. имеет одинаковое

величины

-W2m

значение во всех инерциальных системах отсчета, а

Содержащая в формуле (21) величина периода

другая, κ₁, таким свойством не обладает.

может быть представлена [5, 6] в виде выражений

Выясним свойства неинвариантного в общем

2π

U₄

K₄U₄

T_ω

случае коэффициента

T =

(

) =T_ω(

) =

(31)

K_nU_n

K_pU_p

1 - n_k · v/c

μ²

K₄

κ₁ = 1 -

(29)

Подстановка (28) и (31) в (21) дает

1+μ²

K_pU_p U₄

4π

-W2n

который в частном случае круговой поляризации

ΔE_T =

e² κ₁

(

)

U₄.

(32)

γ = 0 падающей волны равен единице. Содержащи-

K_pU_p

еся во втором слагаемом в правой части (29) множи-

Полное количество энергии, излучаемой электроном

тели имеют области значений, определяемые нера-

за время равное периоду, определяемое выражени-

венствами

ем (32), в котором содержатся как неинвариантные,

μ²

так и инвариантные величины, будем сравнивать со

0≤

≤

< 1.

1+μ²

средней энергией колебательного движения элект-

рона в поле монохроматической плоской волны.

Третий множитель во втором слагаемом (29) преоб-

разуем к виду

4. СРЕДНЯЯ ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО

K₄

U₄

ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА В ПОЛЕ

(

)

МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ПЛОСКОЙ

K_pU_p U₄

K₄U₄

1 + K_αU_α/K₄U₄ U²

ВОЛНЫ

1 - v²/c

1 - v²/c²

1 - n_k · v/c

1 - (v/c)cosθ

Полную

мгновенную энергию движущейся час-

√

c²/

1 - v²/c², которую запишем с исполь-

тицы m_e

где v = |v| , а θ — угол между направлением распро-

зованием обозначений (20) в виде m_ec² U₄,

странения волны и направлением вектора дрейфо-

вой скорости электрона. Для знаменателя последней

m_ec² U₄ = K + m_ec²,

дроби выполняются условия

принято разделять на кинетическую энергию

1 - v/c ≤ 1 - (v/c)cosθ ≤ 1 + v/c,

m_ec²

K = m_ec² (U₄ - 1) =

√

-m_ec2

откуда следует двойное неравенство

1 - v²/c²

и энергию покоя m_ec². В рамках используемого под-

≤

1 + v/c

1 - (v/c)cosθ

1 - v/c

хода, в котором существенную роль играет наличие

дрейфовой скорости электрона в поле волны, же-

С учетом алгебраического тождества для разности

лательно было бы выделить из всей величины кине-

квадратов и невозможности в рамках специальной

тической энергии ту часть энергии K^osc, которая со-

теории относительности существования у матери-

ответствует колебательному движению электрона, и

альной частицы скорости, достигающей скорости

ту часть энергии K^drift, которая соответствует дви-

света, получаем область значений третьего множи-

жению колеблющегося электрона как целого, проис-

теля:

ходящему с постоянной дрейфовой скоростью. Для

K₄

< 2.

этого запишем равенство

K_pU_p U₄

Отсюда следует, что областью значений неинвари-

K=K^osc +K^drift

антного коэффициента κ₁, определенного формулой

и потребуем, чтобы в системе отсчета, в которой

(29), является промежуток

электрон в среднем покоится, т. е. его дрейфовая

скорость равна нулю, v = 0, величина K^drift при-

1/2 ≤ κ₁ ≤ 1.

(30)

нимала нулевое значение. Поскольку условие v = 0,

Соотношения (28) и (30) демонстрируют, что неин-

соответствует равенству U₄ = 1, для K^drift получим

вариантная величина

-W2n

в любом возможном

выражение

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Условия применимости приближения. . .

(

)

K^drift = m_ec²

U₄ - 1

следует равенство dΦ = dϕ, которое с учетом про-

порциональности дифференциала фазы dϕ диффе-

Тогда мгновенное значение энергии колебательного

ренциалу собственного времени ds приводит к ра-

движения электрона в произвольной инерциальной

венству результатов операций усреднения по разно-

системе отсчета будет определяться формулой

сти фаз Φ и по собственному времени s. Посколь-

(

)

ку 〈ψ (Φ)〉_Φ = 0, для усредненной по собственному

K^osc = m_ec²

U₄ - U₄

(33)

времени энергии колебательного движения получим

простое выражение

Как следует из (33) и определения K в системе от-

счета, в которой электрон в среднем покоится, вы-

(√

)

〈K^osc〉_s

1+μ² -1

U₄.

(37)

полняется равенство K = K^osc. В нерелятивистском

m_ec²

случае v² ≪ c², v² ≪ c² из формулы (33) получаем

В настоящей работе полное количество энергии,

m_ev

m_ev²

излучаемой электроном за время равное периоду,

K^osc =

сравнивается со средней энергией колебательного

движения электрона. При этом в работе применя-

В произвольной инерциальной системе отсчета

ются две различные операции усреднения — по вре-

4-вектор скорости электрона, движущегося в по-

мени системы отсчета и по собственному времени

ле монохроматической плоской волны, может быть

движущегося электрона, приводящие к не совпада-

представлен [5, 6] в форме

ющим результатам. Не было найдено убедительных

√

критериев выбора между 〈K^osc〉_t и 〈K^osc〉_s

для цели

U_i (Φ) =

1 + μ² U_i + Z(1)icosΦ+

сравнения выбранной величины с полным количе-

+ Z(2)isinΦ + Z(3)icos2Φ + Z(4)isin2Φ.

(34)

ством энергии ΔE_T , излучаемой электроном за вре-

мя равное периоду. Однако, записывая связь между

Здесь величина Φ,

двумя различными средними в форме равенства

Φ=ϕ-ϕ₀,

(35)

〈K^osc〉_t = κ₂ 〈K^osc〉_s ,

(38)

является разностью между значением фазы волны

можно показать, что областью значений неинвари-

ϕ в произвольной 4-точке X_i, в отношении кото-

антного коэффициента κ₂ является промежуток

рой подразумевается ее принадлежность к мировой

1≤κ₂ <1+8+

≈ 9.59,

(39)

линии электрона, и значением фазы волны ϕ₀ =

= K_mX0m в той точке мировой линии X0i, которая

т. е. средние значения 〈K^osc〉_t и 〈K^osc〉_s в любом воз-

принята за начальную. Содержащиеся в (34) по-

можном случае близки. Для обоснования двойного

стоянные безразмерные 4-векторы Z(1)i, Z(2)i, Z(3)i

неравенства (39) коэффициент κ₂ был представлен

и Z(4)i зависят от начальных условий и поляриза-

в виде суммы трех слагаемых

ции волны. В случае круговой поляризации вол-

ны Z(3)i = Z(4)i = 0. Кроме того, следствием четы-

κ₂ = 1 + κ⁽¹⁾² + κ⁽²⁾²,

рехмерной «перпендикулярности» каждого из четы-

в которой κ⁽¹⁾² и κ⁽²⁾² зависят от параметра μ²,

рех 4-векторов Z(1)i, Z(2)i, . . . и волнового 4-вектора

пропорционального произведению интенсивности на

Zn1)K_n = 0, Zn2)K_n = 0, . . . является простая фор-

квадрат длины волны излучения, параметра эллип-

мула

√

(

)

тичности волны γ, модуля вектора дрейфовой ско-

(K_nU_n) =

1+μ²

K_mU_m

(36)

рости v, проекции (n_vn_k) = cos θ единичного век-

которая будет использована далее.

тора дрейфовой скорости электрона n_v = v/ |v| на

Для вычисления средней энергии колебательно-

направление распространения волны. Коэффициент

го движения представим K^osc с помощью (33) и (34)

κ⁽²⁾² зависит еще и от проекций (n_vn_a) и (n_vn_b) век-

в форме

тора n_v на единичные векторы n_a и n_b, направлен-

(√

)

ные вдоль большой и малой осей эллипса поляриза-

K^osc

1+μ² -1

U₄ + ψ (Φ),

ции волны соответственно. Определение диапазонов

m_ec²

изменения κ⁽¹⁾² и κ⁽²⁾² было выполнено аналогично

где ψ (Φ) — сумма четырех последних слагаемых в

тому, как это сделано (30) в отношении κ₁. Ввиду

выражении для временной компоненты 4-вектора

большого объема вычислений, выкладки, обосновы-

скорости, следующем из (34) при i = 4. Из (35)

вающие двойное неравенство (39), опущены.

А. В. Пересторонин, А. Л. Карузский

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

5. ОТНОШЕНИЕ ЭНЕРГИИ, ИЗЛУЧАЕМОЙ

величина, названная в [9] классическим парамет-

ЗА ВРЕМЯ РАВНОЕ ПЕРИОДУ, К СРЕДНЕЙ

ром нелинейности, характеризует вероятность воз-

ЭНЕРГИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

никновения многоквантовых (многофотонных) про-

цессов при взаимодействии электрона с электромаг-

Для сравнения энергии, излучаемой за время

нитным полем. В рамках классической электроди-

равное периоду, с усредненной по времени систе-

намики μ² имеет смысл характеристики, определя-

мы отсчета энергией колебательного движения за-

ющей необходимость учета релятивистских эффек-

пишем следующее из (8), (32), (37), (38) соотноше-

тов при анализе движения электрона в поле моно-

ние

хроматической плоской волны. Так, если в систе-

ΔE_T

4π κ₁

-W2i

ме отсчета, в которой электрон в среднем покоится

(

)

√

(40)

〈K^osc〉_t

κ₂

(v = 0 и U₄ = 1), воспользоваться формулой (37), то

K_nU_n

1+μ² -1

при μ² = 1 средняя энергия колебательного движе-

Область значений коэффициентов κ₁ и κ₂ определя-

ния становится сравнима с энергией покоя электро-

ется неравенствами (30) и (39) соответственно. Если

на 〈K^osc〉_s ≈ 0.4 m_ec² и при анализе движения следу-

же в знаменателе левой части (40) заменить 〈K^osc〉_t

ет учитывать релятивистские эффекты. При μ² ≪ 1

на 〈K^osc〉_s, т. е. сравнивать энергию, излучаемую за

движение электрона имеет нерелятивистский харак-

время равное периоду, с усредненной по собственно-

тер.

му времени энергией колебательного движения, то

Физический смысл безразмерной инвариантной

необходимости в использовании коэффициента κ₂ не

величины Γ_cl выясняется при анализе задачи в си-

будет. Выражение для ΔE_T / 〈K^osc〉_s повторяет пра-

стеме отсчета, в которой электрон покоился до при-

вую часть формулы (40), в которой κ₂ = 1.

хода монохроматической плоской волны с резким

Соотношение

(40) можно рассматривать как

передним фронтом. В этой системе отсчета скаляр-

функцию двух инвариантных переменных, в каче-

ное произведение (K_nU_n) , сохраняющееся при дви-

стве которых, с учетом связей (27) и (36), могут

(

)

жении электрона в поле монохроматической плос-

быть выбраны величины

-W2i

и μ² или

K_nU_n

кой волны, принимает значение (K_nU_n) = K₄ = ω/c.

и μ² или (K_mU_m) и μ², зависящую также и от неин-

Как следует из определения (41), в рассматрива-

вариантной величины κ₁/κ₂, значение которой в лю-

емой системе отсчета круговая частота излучения

бом возможном случае не сильно отличается от еди-

выражается через Γ_cl формулой ω = с Γ_cl/r_e. Вме-

ницы. Обозначив для краткости левую часть (40)

сто Γ_cl используем в 137 раз большую величину Γ =

как L и определив безразмерную инвариантную ве-

= (1/α) Γ_cl, которую с учетом (8) и (11) запишем в

личину

виде

Γ_cl = r_e (K_nU_n),

(41)

Γ = (ℏ/m_ec)(K_nU_n).

(43)

преобразуем (40) к виду

(

)

(√

)√

В системе отсчета, в которой электрон покоился

μ², Γ_cl

= (4π/3) Γ_cl

1+μ² +1

1 + μ². (42)

до прихода монохроматической плоской волны с

резким передним фронтом, скалярное произведе-

Содержащийся в (40) коэффициент κ₁/κ₂ отброшен

ние (K_nU_n) в формуле (43) принимает значение

в (42) ввиду его близости к единице. Для преобра-

(K_nU_n) = K₄ = ω/c, откуда следует, что энергия

зования от (40) к (42) использовались тождество

кванта излучения ℏω = hν выражается через Γ фор-

(√

)(√

)

мулой ℏω = Γ m_ec².

μ² =

1+μ² +1

1+μ² -1

Используя выражения (27), (36) и (43), предста-

вим произведение величин μ² и Γ² в форме

и соотношения (27) и (36).

Целью преобразования величины L, характери-

⁽1)2

зующей степень влияния возмущений, обусловлен-

μ² Γ² =

r2e

-W2n

ных радиационными потерями, на движение класси-

ческого электрона в поле монохроматической плос-

и рассмотрим правую часть этого равенства, кото-

кой волны, является приведение этой величины к

рую с учетом (8), (11) и (19) перепишем в виде

такой форме записи, в которой L зависит от инвари-

антных переменных, допускающих наиболее нагляд-

(

)₂

(

)₂

ную физическую интерпретацию. В рамках подхо-

⁽1)2

ℏ

-e

r2e

-W2n

F_ikU_k

да квантовой электродинамики соответствующая |μ|

m_ec

m_ec2

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Условия применимости приближения. . .

Определяя безразмерную инвариантную величину

тельного движения как функцию двух инвариант-

√

ных параметров. В системе отсчета, в которой элек-

(

)

ℏe

трон покоился до прихода волны, один из этих па-

χ=

- F_ik (m_ecU_k)

(44)

m3ec4

раметров оказывается пропорционален частоте па-

(

)

дающей волны Γ = ℏω/

m_ec²

, а другой— ее ин-

заметим, что, за исключением использования в (44)

тенсивности χ² = I/I^cr.

операции усреднения по собственному времени, это

тот же самый параметр, который был определен в

работе [9] и интерпретировался как работа поля на

6. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

комптоновской длине волны в системе покоя части-

цы, отнесенная к m_ec². Согласно [9], параметр χ от-

В правой части формулы (47), которая будет об-

суждаться далее, содержится постоянная α, имею-

ветственен за величину квантовых нелинейных эф-

щая квантовое происхождение, и переменные χ и

фектов.

Γ, определенные формулами соответственно (44) и

Как показано выше, квадрат величины (44) свя-

(43), в которых также содержатся квантовомехани-

зан с безразмерными инвариантными параметрами

ческие постоянные α или ℏ. Однако вывод форму-

μ² и Γ² простым соотношением

лы (42) и следующей из нее формулы (47), опреде-

χ² = μ²Γ².

(45)

ляющих величину относительных потерь на излу-

чение, выполнен в рамках классической электроди-

В системе отсчета, в которой электрон покоился до

намики, а значит, правая часть равенства (47) мо-

прихода волны, выразим χ², используя (45), через

жет быть выражена через классические величины,

интенсивность падающего излучения. В этой систе-

(

)

не содержащие в их определениях α или ℏ. Действи-

ме отсчета Γ = ℏω/

m_ec²

и, следовательно,

тельно, использование вместо χ², связанного с Γ со-

(

)₂

отношением (45), другого инвариантного параметра

r_eλ

ℏω

χ2cl = μ²Γ2cl позволяет записать (47) в виде формулы

χ² =

= 4πα

π m_ec³

m_ec²

m_ec³

(√

)√

(

)

4π

χ2cl

где в первом равенстве использована формула (23),

χ2cl, Γ_cl

Γ_cl

Γ2cl

Γ²

а во втором — формулы (6), (8), (10), (11). Предыду-

щая формула, выражающая χ² через интенсивность

в правой части которой содержатся величины клас-

I, может быть записана в виде равенства χ² = I/I^cr,

сической электродинамики.

в котором критическая интенсивность I^cr имеет зна-

Для анализа поведения функции двух перемен-

чение

(

)

ных (47) построим линию уровня L

Γ, χ²

= 1, кото-

m_ec

рая показана красным цветом на рис. 1. Эту линию

I^cr =

≈ 4.648 · 10²⁹ Вт/см².

(46)

(

)

4πα λ³

можно считать графиком функции Γ

χ²

, задан-

ной неявным образом с помощью функционально-

При этой интенсивности модуль вектора напряжен-

(

)

го уравнения L

Γ, χ²

= 1. Для построения линии

ности электрического поля |E| = E^cr волны круго-

уровня использовалось параметрическое представ-

вой поляризации удовлетворяет условию eE^crλ_C =

ление

= m_ec², которое определяет критическое поле кван-

товой электродинамики [10]. Критическая интенсив-

Γ (τ) =

ность (46) (иногда используется в два раза меньшее

4π α

(√1 + τ + 1)√1+τ

(

)₂

значение [11]) играет важную роль при теоретичес-

ком анализе эффекта рождения частиц из вакуума

χ² (τ) = τ

4π α

(√1 + τ + 1)√1+τ

интенсивным электромагнитным полем [11, 12].

Таким образом, из (42), (43) и (45) следует фор-

в котором координаты Γ и χ² точек, принадлежа-

мула

щих линии уровня, выражены через параметр τ.

(√

)√

(

)

4π

χ²

Зеленая линия, определяемая выражением μ² =

χ², Γ

αΓ

(47)

Γ²

= 1, которое, как следует из (45), эквивалентно

уравнению χ² = Γ², разделяет пространство двух

определяющая отношение энергии, излучаемой за

переменных Γ и χ² на две области. График функции

время равное периоду, к средней энергии колеба-

χ² = Γ², являющийся в двойном логарифмическом

А. В. Пересторонин, А. Л. Карузский

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

на на рис. 1 синим цветом. Поскольку в точках,

обозначенных цифрами 1 и 6, функция (47) при-

нимает одинаковые значения L

= 1, на отрезке

между этими точками должен быть хотя бы один

экстремум. Вычисляя частную производную ∂L/∂Γ

функции (47) и приравнивая ее к нулю, полу-

чим кубическое уравнение y³ + 2y² - 1 = 0, где

√

Γ² + χ². Одним из корней кубического

= Γ/

уравнения, не принадлежащим интересующей нас

области значений, является y

= -1. Выделяя в

левой части кубического уравнения множитель

y +1, получим квадратное уравнение y2 +y -1 = 0,

корнем которого в интересующей нас области

(√

)

является значение y =

5-1

/2. Этому значению

(

√

)

y соответствует значение μ² =

/2 ≈ 1.618.

График функции χ² = 1.618Γ² показан на рис. 1

зеленым цветом и в данном масштабе неотличим

от линии, определяемой условием μ2 = 1. Точки

Рис. 1. (В цвете онлайн) Линия уровня L = 1 функ-

пересечения графиков функций χ²

= 1.618Γ² и

ции (47) (красная линия) и линии, определяемые урав-

нениями μ² = 1 и μ² = 1.618 (зеленые линии), в про-

χ2 = Γ2 с синей линией обозначены на рисунке

странстве двух инвариантных безразмерных переменных

цифрами 2 и 3 соответственно. Легко убедиться в

Γ и χ². Синим цветом показаны линии, соответствующие

том, что ∂²L/∂Γ² > 0 при условиях χ² > 0 и Γ > 0.

постоянным значениям параметров χ² = 1.48 · 10-29 и

Следовательно, при условиях χ² = const > 0 и Γ > 0

Γ = 3.8 · 10-6

минимальное значение функции (47) достигается в

точке пересечения линий χ² = const и χ² = 1.618Γ².

Таким образом, левее точки 1, для которой Γ ≈

масштабе прямой линией, показан на рис. 1 зеле-

≈ 4.5 · 10-31, что в системе отсчета, где элек-

ным цветом. На рис. 1 левее и выше зеленой линии

трон покоился до прихода волны, соответствует

расположена область μ² > 1, правее и ниже зеле-

огромному значению длины волны λ ≈ 5 · 10¹⁸ м,

ной линии расположена область μ² < 1. Если точки

функция (47) принимает на горизонтальной си-

пространства двух переменных Γ и χ² лежат доста-

ней линии значения L > 1. На отрезке от точ-

(

)

точно далеко от линии μ² = 1, то для них выпол-

ки 1 до точки 2

Γ ≈ 3 · 10-15, λ ≈ 800 м

функ-

няется условие μ² ≫ 1 или μ² ≪ 1. Зеленая линия

ция (47) уменьшается и принимает в точке 2 ми-

μ² = 1 разделяет области релятивистского и нере-

нимальное значение L ≈ 3.9 · 10-16, т. е. количе-

лятивистского движения. Из формулы (47) следует,

ство энергии, равное средней энергии колебатель-

что при условиях μ² = χ²/Γ² ≪ 1 и L = 1 параметр

ного движения электрона в поле волны, будет из-

Γ принимает значение Γ = 3/ (8πα) . Вертикальный

лучено за время, равное 2.5 · 10¹⁵ периодам. В точ-

(

)

участок красной линии, задаваемой в неявной фор-

ке 3

Γ ≈ 3.8 · 10-15, λ ≈ 630 м

, где μ² = 1, функ-

ме уравнением L = 1, расположен в области, в ко-

ция (47) имеет значение L ≈ 4 · 10-16. В точке 4

(

)

торой выполняется условие μ² ≪ 1, и, следователь-

Γ ≈ 3.8 · 10-6, λ ≈ 0.63 мкм

, где μ2 = 10-18, от-

но, линия уровня L = 1 описывается в этой области

носительные потери составляют L ≈ 2.4 · 10-7.

уравнением Γ = 3/ (8πα) ≈ 16. Наклонный учас-

В точке 5, где Γ = 1, классическая электродина-

ток красной линии L = 1, расположенный в области

мика уже неприменима, поскольку λ = λ_C . Функ-

μ² = χ²/Γ² ≫ 1, как следует из формулы (47) и

ция (47) имеет в точке 5 значение L ≈ 0.06, т. е.

соотношения (45), описывается в этой области урав-

количество энергии, равное средней энергии коле-

нением χ² = 3Γ/ (4πα) .

бательного движения электрона в поле волны, бу-

(

)

Рассмотрим поведение функции L

Γ, χ²

при

дет излучено за время равное 16 периодам. Пра-

постоянном значении χ², например при χ²

вее точки 6, для которой Γ = 3/ (8πα) ≈ 16, что в

= 1.48 · 10-29, при котором в системе отсчета,

системе отсчета, где электрон покоился до прихода

где электрон покоился до прихода волны, ин-

волны, соответствует значению длины волны λ =

(

)

тенсивность излучения составляет

6.89

Вт/см².

= (8π/3) α λ_C =

16π²/3

re, функция (47) принима-

Соответствующая горизонтальная линия показа-

ет на горизонтальной синей линии значения L > 1.

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Условия применимости приближения. . .

(

)

Длина волны излучения λ =

16π²/3

re совпада-

получаемой в результате подстановки соотношений

(

)

ет с граничным значением в неравенстве (18), кото-

Γ = ℏω/

m_ec²

и χ² = I/I^cr, выполняющихся в рас-

рое получено в рамках нерелятивистского подхода,

сматриваемой системе отсчета, в уравнение границы

оправданного для точки 6 в силу того, что параметр

χ² = 3Γ/ (4πα) .

μ² имеет в этой точке значение μ² ≈ 5.6 · 10-32.

В рамках используемого в настоящей работе под-

(

)

Рассмотрим поведение функции L

Γ, χ²

при по-

хода проводится сравнение значений излучаемой за

стоянном значении Γ, например при Γ ≈ 3.8 · 10-6,

время периода энергии с энергией колебательного

при котором в системе отсчета, где электрон по-

движения электрона. Во Введении было отмечено,

коился до прихода волны, длина волны излучения

что для нахождения условий применимости прибли-

составляет λ ≈ 0.63 мкм. Соответствующая верти-

жения, предполагающего малое влияние торможе-

кальная линия, проходящая через точку 4, показана

ния излучением на движение классического элек-

на рис. 1 синим цветом. Легко убедиться том, что

трона, используется сравнение значений модулей си-

(

)

∂L/∂

χ²

> 0 при условиях χ² > 0 и Γ > 0. Сле-

лы радиационного трения и силы, действующей на

довательно, относительные потери (47) монотонно

электрон со стороны внешнего электромагнитного

возрастают при увеличении χ² и при условии посто-

поля. Выполним такое сравнение для случая реля-

янства параметра Γ. Выше точки 9, расположенной

тивистского движения μ2 ≫ 1 электрона в поле

на пересечении линий L = 1 и Γ ≈ 3.8 · 10-6 (для

монохроматической плоской волны круговой поля-

этой точки χ² ≈ 1.26·10-4, что в системе отсчета, где

ризации, когда используемые формулы принимают

электрон покоился до прихода волны, соответствует

наиболее простой вид. В релятивистском уравнении,

интенсивности I ≈ 5.9 · 10²⁵ Вт/см²) функция (47)

учитывающем силу радиационного трения,

принимает на вертикальной синей линии значения

m_ec

=f^ext +f^rad,

(49)

L > 1, а ниже этой точки— значения L < 1.



Ниже точки 7, для которой χ² ≈ 1.5 · 10-11 и

найдем абсолютные значения векторов

f^rad и |fext|

I ≈ 6.9 · 10¹⁸ Вт/см², находящейся на пересечении

в системе отсчета, в которой электрон в среднем по-

синей линии с зеленой линией χ² = Γ², находится

коится.

область, где выполняется условие μ² ≪ 1. Из фор-

В отсутствие сил радиационного трения уравне-

мулы (47) следует, что при условиях Γ = const и

ние (49) имеет вид

μ² ≪ 1 значение относительных потерь L почти не

(

)

(

[

])

меняется и примерно равно значению L в точке 4.

√

= -e E +

×B

Выше точки 8, для которой χ² ≈ 2.4 · 10-11 и I ≈

m_e dt

1 - v²/c²

≈ 1.1 · 10¹⁹ Вт/см², находящейся на пересечении си-

где E и B — векторы напряженности электромаг-

ней линии с линией χ² = 1.618Γ², находится область,

нитного поля. В системе отсчета, в которой дрей-

где выполняется условие μ² ≫ 1.

фовая скорость равна нулю, электрон в волне кру-

Из приведенного выше анализа поведения функ-

(

)

говой поляризации движется по окружности в плос-

ции L

Γ, χ²

при постоянном значении Γ и при по-

кости, перпендикулярной направлению распростра-

стоянном значении χ² следует, что внутри области,

нения волны, с постоянной угловой скоростью. По-

ограниченной красной линией, относительные поте-

(

)

скольку значение v² постоянно, в результате скаляр-

ри на излучение малы, L

Γ, χ²

< 1, а вне этой обла-

ного умножения предыдущего уравнения на v полу-

сти и на ее границе приближение, предполагающее

чим v·E = 0. Кроме того в монохроматической плос-

малое влияние торможения излучением на движе-

кой волне E · B = 0, а векторы E, B и v лежат в од-

ние классического электрона в поле монохромати-

(

)

ной плоскости, откуда следует, что [v × B] = 0. Мо-

ческой плоской волны, неприменимо, L

Γ, χ²

≥ 1.

дуль вектора силы Лоренца |f^ext| = e |E| = ω m_ec |μ|



Как было отмечено выше, при условии μ² ≫ 1

будем сравнивать с

^f^rad

^.

из формулы (47) и соотношения (45) следует, что

Используя принятые здесь обозначения, запи-

граница L = 1 описывается в этой области урав-

шем трехмерное векторное выражении для силы ра-

нением χ² = 3Γ/ (4πα) . В системе отсчета, в кото-

диационного трения (уравнение (9) в [2]):

рой электрон покоился до прихода волны, уравнение

2e²

^{ da

3u²⁴

границы χ² = 3Γ/ (4πα) в рассматриваемой области

f^rad =

u²

(v · a) a +

μ² ≫ 1 определяется формулой

3c³

c²

(

)

}

u²⁴

3u⁴

ℏω

m_ec

v·

(v · a) v

I =I^cr

ω,

(48)

c²

c⁴

4πα m_ec2

16π²

r²

А. В. Пересторонин, А. Л. Карузский

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

√

В системе отсчета, в которой дрейфовая скорость

(K^′′nU^′′n) =

1+μ²K′′4.

равна нулю, электрон движется по окружности с по-

стоянной угловой скоростью, модуль которой равен

Инвариантное скалярное произведение (K_nU_n) име-

частоте волны в рассматриваемой системе отсчета.

ет одинаковое значение во всех инерциальных систе-

мах отсчета:

При этих условиях векторы v и a перпендикулярны,

а вектор da/dt выражается формулой da/dt = -ω²v.

Тогда для модуля силы радиационного трения полу-

(K^′′mU^′′m) = (K^′nU^′n) .

чим выражение

В системе отсчета, в которой электрон покоился до

√



2e²

₌

прихода волны, компоненты 4-вектора скорости до

^f^rad

ω²u³

u²⁴ - 1.

3c²

прихода волны имели значения U^′α = 0 и U′4 = 1.

Поскольку в рассматриваемых условиях величина

Следовательно, сохраняющаяся при движении элек-

u₄ постоянна, ее мгновенное значение совпадает с

трона в поле монохроматической плоской волны ве-

усредненным, u₄

= 〈U₄〉_Φ . Из (34) следует, что

личина (K_nU_n) имеет значение

√

〈U₄〉_Φ =

1 + μ² при условии U₄ = 1. Тогда

)₃

(K^′nU^′n) = K′4.



2e²

(√

^f^rad

₌

ω²

1+μ²

|μ| .

3c²

Из предыдущих формул и определения K₄ = ω/c

следует, что значения частоты падающей волны в

В релятивистском случае μ² ≫ 1 граница, на кото-



рой реализуется условие |f^ext| =

^f^rad

, определяет-

рассматриваемых системах отсчета связаны соотно-

шением

ся соотношением

√

ω^′ =

1+μ²ω^′′.

(51)

|μ|³ =

λ.

(50)

2 r_eω

4π r_e

Уравнение (50) получено в системе отсчета, в кото-

Аналогичное условие (уравнение (2) в [4]) было по-

рой электрон в среднем покоится:

лучено в работе [4]. Поскольку параметр μ² согласно

определению (23) пропорционален величине I/ω²,

|μ|³ =

для уравнения границы в релятивистском случае

2 r_eω^′′

получим зависимость I ∝ ω4/3, отличающуюся от

С учетом связи (51), которая для релятивистской

зависимости I ∝ ω, описывающей уравнение грани-

области μ² ≫ 1 имеет вид ω^′ = |μ| ω^′′, получим урав-

цы согласно формуле (48).

нение

Кажущееся качественное различие полученных

двумя разными способами зависимостей, описыва-

μ² =

2 r_eω^′

ющих уравнение границы в релятивистском слу-

чае, обусловлено тем обстоятельством, что уравне-

демонстрирующее качественное согласие с форму-

ние (48) получено в системе отсчета, в которой элек-

лой (50). Действительно, согласно определению (23)

трон покоился до прихода волны, а уравнение (50) —

параметр μ² ∝ I^′/ω′2, поэтому для уравнения гра-

в системе отсчета, в которой электрон в среднем по-

ницы в рассматриваемой системе отсчета в реляти-

коится. В силу наличия ненулевой дрейфовой скоро-

вистском случае получаем зависимость I^′ ∝ ω^′, ана-

сти в системе отсчета, в которой электрон покоился

логичную (48).

до прихода волны [5,7,8,13,14], эта система отсчета

Для случая нерелятивистского движения усло-

не совпадает с системой отсчета, в которой электрон

вие применимости приближения, предполагающего

в среднем покоится. Поскольку эти системы отсче-

малое влияние торможения излучением на движе-

та не совпадают, в них, в частности, не совпадают

ние классического электрона в поле монохроматиче-

значения частоты падающей волны.

ской плоской волны, полученное в результате срав-

Будем далее обозначать одним штрихом величи-

нения действующих на электрон сил, определяется

ны, относящиеся к системе отсчета, в которой элек-

неравенствами (9). Условия (9), так же как и урав-

трон покоился до прихода волны, а двумя штриха-

нение границы (50), получены в системе отсчета, в

ми — величины, относящиеся к системе отсчета, в

которой электрон в среднем покоится. Эта система

которой электрон в среднем покоится. Для систе-

отсчета не совпадает с системой отсчета, в которой

мы отсчета, в которой электрон в среднем покоится,

электрон покоился до прихода волны, но в нереляти-

U^′′α = 0 и U′′4 = 1, формула (36) имеет вид

вистском случае μ² ≪ 1, как следует из (51), можно

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Условия применимости приближения. . .

Горизонтальной синей линией на рис. 2 обозна-

чена критическая интенсивность излучения I^′ = I^cr

(46). Вертикальной синей линией на рис. 2 обозначе-

на длина волны излучения λ^′ = λ_C (10), которая со-

ответствует энергии кванта излучения ℏω^′ = m_ec².

В [5] показано, что сечение рассеяния монохро-

матической плоской волны произвольной поляри-

зации (линейной, круговой или эллиптической) на

классическом электроне в произвольной инерциаль-

ной системе отсчета выражается формулами (16) и

(18) в [5], учитывающими релятивистские эффекты

и наличие дрейфовой скорости электрона в поле мо-

нохроматической плоской волны. В системе отсчета,

в которой электрон покоился до прихода волны, се-

чение рассеяния определяется (уравнение (20) в [5])

выражением

(

)

Рис. 2. (В цвете онлайн) Граница (красная линия), разде-

1+μ²

1-(γ/2)cos(2ϕ₀+δ)-(γ/2)2

P^′

ляющая области малых и больших потерь на излучение,

=σ₀

(

)

(52)

I^′

в пространстве переменных χ² (левая шкала) и Γ (ниж-

1+μ²

1-(γ/2)cos(2ϕ₀+δ)

няя шкала) в любой инерциальной системе отсчета и в

пространстве переменных I^′ (правая шкала) и λ^′ (верхняя

где σ₀ = (8π/3) r2e — томсоновское сечение. Содер-

шкала) в системе отсчета, в которой электрон покоился до

жащаяся в (52) полная фаза ϕ₀ + δ/2, т. е. сумма

прихода волны. Добавлены шкалы, соответствующие энер-

начальной фазы δ/2 и фазы ϕ₀, определяет значе-

гии кванта излучения ℏω^′ = hν^′ и частоте волны ν^′

ния полевых величин на переднем фронте волны.

Формулы (16) и (18) в [5] и выражение (52) полу-

чены в рамках приближения, предполагающего ма-

пренебречь различием частот ω^′ и ω^′′. Таким обра-

лое влияние сил радиационного трения на движение

зом, как для нерелятивистской области μ² ≪ 1, так

электрона в поле монохроматической плоской вол-

и для для релятивистской области μ² ≫ 1, имеет-

ны. Как показано в настоящей работе, это прибли-

ся качественное согласие между полученными дву-

жение применимо внутри области L (λ^′, I^′) ≪ 1, ко-

мя разными способами (сравнением действующих

торая ограничена на рис. 2 красной линией, и в этой

на электрон сил и сравнением излучаемой энергии

области применимо соотношение (52). При малых

со средней энергией колебательного движения) ре-

значениях μ² ≪ 1, т. е. в области, расположенной на

зультатами, описывающими границу применимости

рис. 2 правее и ниже зеленой линии μ² = 1, разделя-

приближения.

ющей релятивистский и нерелятивистский случаи,

На рис. 2 показана граница (красная линия)

как следует из (52), сечение равно томсоновскому:

применимости приближения, предполагающего ма-

P^′/I^′ ≈ σ₀. В релятивистском случае μ² ≫ 1, т. е.

лое влияние торможения излучением на движение

в области, расположенной на рис. 2 левее и выше

классического электрона в поле монохроматической

зеленой линии, сечение выражается формулой

плоской волны в пространстве переменных χ² (ле-

(

)

вая шкала) и Γ (нижняя шкала) в любой инерциаль-

P^′

(γ/2)²

ной системе отсчета. Значениям безразмерных инва-

≈σ₀

I^′

1 - (γ/2)cos(2ϕ₀ + δ)

риантных параметров χ² (левая шкала) и Γ (нижняя

шкала) в системе отсчета, в которой электрон по-

в правой части которой не содержится параметр μ²,

коился до прихода волны, соответствуют интенсив-

т. е. сечение не зависит от частоты падающей волны

ность излучения (правая шкала), вычисляемая по

и ее интенсивности. В случае круговой поляриза-

формуле I^′ = χ²I^cr, и длина волны (верхняя шка-

ции γ = 0 падающей волны сечение рассеяния рав-

ла), вычисляемая по формуле λ^′ = λ_C /Γ. Зеленая

но томсоновскому сечению, P^′/I^′ = σ₀, в области

линия μ² = 1 разделяет области релятивистского

применимости приближения, предполагающего ма-

и нерелятивистского движения в любой инерциаль-

лое влияние сил радиационного трения на движение

ной системе отсчета, в том числе и в той, в которой

электрона в поле волны.

электрон покоился до прихода волны.

ЖЭТФ, вып. 1

А. В. Пересторонин, А. Л. Карузский

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

электрон сил, качественно согласуются с результа-

тами анализа применимости приближения, получен-

С целью нахождения пределов применимости

ными путем сравнения полной энергии, излучаемой

приближения, предполагающего малое влияние сил

ускоренно движущимся в поле волны электроном

радиационного трения на движение классического

за время равное периоду, со средней энергией коле-

электрона в поле монохроматической плоской вол-

бательного движения электрона. Для согласования

ны произвольной поляризации (линейной, круговой

полученных двумя разными способами результатов

или эллиптической), полная энергия, излучаемая

необходимо учитывать, что система отсчета, в ко-

ускоренно движущимся в поле волны электроном

торой электрон в среднем покоится, не совпадает с

за время равное периоду, сравнивается со средней

системой отсчета, в которой электрон покоился до

энергией колебательного движения электрона. По-

прихода волны, и, следовательно, частота и интен-

казано, что отношение излучаемой энергии к сред-

сивность падающей волны в этих системах отсчета

ней энергии колебательного движения может быть

имеют разные значения. В нерелятивистском слу-

представлено в виде формулы (40), в правой час-

чае этим различием можно пренебречь, а в области

ти которой содержатся как инвариантные величи-

релятивистского движения эти различия значитель-

ны, так и отношение двух неинвариантных величин

ны.

κ₁/κ₂. Показано, что значение неинвариантной ве-

Полученные в настоящей работе результаты при-

личины κ₁/κ₂ в любом возможном случае не силь-

менимы к наиболее общей постановке модельной за-

но отличается от единицы. Полученная в результа-

дачи о взаимодействии монохроматической плоской

те пренебрежения неинвариантным коэффициентом

волны с классическим точечным электроном, дви-

κ₁/κ₂ формула (42) демонстрирует зависимость от-

жущимся под действием поля волны как с нереля-

ношения L излучаемой энергии к средней энергии

тивистской, так и с релятивистской скоростью. Об-

колебательного движения только от двух безразмер-

щая постановка задачи включает в себя случаи лю-

(

)

ных инвариантных параметров L

μ², Γ_cl

. Формула

бой поляризации монохроматической плоской вол-

(42) преобразована к виду (47), где величина L зави-

ны: линейной, круговой или эллиптической. Кроме

сит от двух других безразмерных инвариантных па-

того, полученные результаты, выражаемые в общем

(

)

раметров L

χ², Γ

. Такое представление более удоб-

случае через безразмерные инвариантные парамет-

но для анализа, поскольку в системе отсчета, в ко-

ры, применимы к анализу задачи в произвольной

торой электрон покоился до прихода волны, один из

инерциальной системе отсчета, в том числе и в сис-

этих параметров пропорционален частоте падающей

теме отсчета, в которой электрон покоился до при-

волны, Γ ∝ ω^′, а другой — ее интенсивности, χ² ∝ I^′.

хода волны. Выполненный в настоящей работе ана-

В пространстве двух инвариантных безразмер-

лиз применимости рассматриваемого приближения

ных переменных Γ и χ² построена линия уровня

относится к любым величинам, вычисляемым в рам-

(

)

Γ, χ²

= 1 функции (47), которая интерпретиру-

ках модельной задачи о взаимодействии монохро-

ется как граница применимости приближения, пред-

матической плоской волны с классическим электро-

полагающего малое влияние торможения излучени-

ном, в том числе к результатам вычисления сечения

ем на движение классического электрона в поле

рассеяния, полученным в работе [5].

монохроматической плоской волны. Области реля-

тивистского и нерелятивистского движения в про-

странстве двух переменных Γ и χ² разделены ли-

ЛИТЕРАТУРА

нией, описываемой уравнением χ² = Γ². Та часть

(

)

1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля, Физ-

границы L

Γ, χ²

= 1, которая расположена в реля-

матлит, Москва (2003).

тивистской области χ² ≫ Γ², описывается в этой об-

ласти уравнением χ² = 3Γ/ (4πα) . Та часть границы

2. В. Л. Гинзбург, УФН 98, 569 (1969).

(

)

Γ, χ²

= 1, которая расположена в нерелятивист-

3. Н. П. Клепиков, УФН 146, 317 (1985).

ской области χ² ≪ Γ², описывается в этой области

уравнением Γ = 3/ (8πα) ≈ 16.

4. С. В. Буланов, Т. Ж. Есиркепов, Дж. Кога, Т. Та-

Показано, что результаты анализа применимос-

джима, Физика плазмы 30, 221 (2004).

ти приближения, предполагающего малое влияние

5. А. В. Пересторонин, Письма в ЖЭТФ 105, 367

торможения излучением на движение классического

(2017).

электрона в поле монохроматической плоской вол-

ны, полученные путем сравнения действующих на

6. А. В. Пересторонин, Препринт ФИАН №11 (2016).