ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 1, стр. 31-39

ЗАКОН МАСШТАБИРОВАНИЯ ДЛЯ ЭНТРОПИИ

ЗАПУТЫВАНИЯ ДЛЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ

В РЕШЕТОЧНОЙ МОДЕЛИ

СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ФЕРМИОНОВ

Ф. Эгбалифамa*, М. А. Джафаризадеb**, С. Намиb***

^a Urmia University of Technology

5716617165, Urmia, Iran

^b University of Tabriz

5166616471, Tabriz, Iran

Поступила в редакцию 14 июня 2021 г.,

после переработки 14 июня 2021 г.

Принята к публикации 15 августа 2021 г.

(Перевод с английского)

ENTANGLEMENT ENTROPY SCALING LAW IN THE GROUND STATE

OF SUPERSYMMETRIC FERMION LATTICE MODEL

F. Eghbalifam, M. A. Jafarizadeh, S. Nami

Исследуется энтропия запутывания в основном состоянии решеточной модели суперсимметричных фер-

мионов. Поскольку гамильтониан модели имеет блочно-диагональный вид в базисе фиксированного чис-

ла частиц, энтропия запутывания вычисляется для блоков гамильтониана по отдельности. Представлены

способы вычисления корреляционных матриц и энтропии запутывания для основного состояния супер-

симметричного гамильтониана для различных графов. Показано, что для энтропии запутывания имеет

место закон масштабирования при различном выборе числа фермионов на регулярных графах. Полу-

чена аналитическая формула для энтропии запутывания для одного масштабируемого набора сильно

регулярных графов в терминах их параметров и показано, что энтропия запутывания удовлетворяет

закону объемного масштабирования.

DOI: 10.31857/S0044451022010035

[6], суперконформная теория поля [7,8], модель, опи-

сывающая фазы квантовой спиновой жидкости, ти-

па модели Рохсара - Кивельсона [9], XYZ-спиновая

1. ВВЕДЕНИЕ

цепочка [10, 11] и, наконец, когомология независи-

Теория суперсимметрии (SUSY) в физике частиц

мых комплексов решеток и графов (с математичес-

устанавливает соотношение между бозонами и фер-

кой точки зрения) [12-16]. Недавно было показано,

мионами. Эту теорию можно построить для реше-

что для этой модели имеет место сильная кванто-

точных моделей [1-5]. Многочисленные исследова-

вая зарядовая фрустрация. Это свойств называется

ния посвящены теории суперсимметрии и ее инте-

суперфрустрацией и характеризуется экстенсивной

ресным приложениям, таким как суперфрустрация

формой энтропии основного состояния [17-20]. В ра-

боте [21] для изучения суперсимметрии в размернос-

^* E-mail: f.eghbali@uut.ac.ir

ти (0 + 1) использовались симметричные обратные

^** E-mail: jafarizadeh@tabrizu.ac.ir

полугруппы. В этой работе была построена кванто-

^*** E-mail: s.nami@tabrizu.ac.ir

Ф. Эгбалифам, М. А. Джафаризаде, С. Нами

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

вая система многих тел на цепочке, причем соот-

В настоящей работе рассматривается основное

ветствующий гамильтониан описывал как произве-

состояние гамильтониана суперсимметричных фер-

дение, так и запутывание состояний. В работе также

мионов на решетке и обсуждается ЭЗ для некоторых

обсуждалась теорема, связанная с ростом второй эн-

графов. Сначала обсуждается метод вычисления

тропии Реньи с разупорядоченными корреляторами

корреляционной матрицы и ЭЗ для фиксированно-

в тепловом состоянии в терминах частичных сим-

го числа фермионов N_p. Затем исследуется закон

метрий. Энтропия запутывания (ЭЗ) представляет

объемного масштабирования для ЭЗ для некоторых

собой одну из двух мер запутывания, соответствую-

графов. Для регулярных графов с числом вершин

щую запутыванию между двумя комплементарны-

N и валентностью κ показано, что закон объемного

ми частями D и D для чистого состояния [22]. Пусть

масштабирования имеет место, если выбрать N_p >

полная система находится в чистом состоянии, тогда

> N - κ и N_p = N - κ. Для набора СРГ [63,64] с

энтропия запутывания между D и D представляет

параметрами (mn, m(n - 1), m(n - 2), m(n - 1)) вы-

собой энтропию фон Неймана S, которая связана с

числена ЭЗ для трех случаев, N_p = 1, N_p > m и

редуцированной матрицей плотности ρ_D или ρ_D. Из-

N_p ≤ m, и показано, что закон объемного масшта-

вестны различные способы вычисления ЭЗ: для си-

бирования имеет место в случаях N_p > m и N_p ≤ m.

стем бозонов [23,24] и фермионов [25,26], включая

Работа построена следующим образом. В разд. 2

одномерные топологические модели [27, 28], модель

вводится суперсимметричная модель для бесспино-

Лифшица [29], модель Хаббарда [30,31], теорию по-

вых фермионов на графе. В разд. 3 приведен метод

ля [32-34] и спиновые цепочки [35-38].

вычисления корреляционной матрицы и энтропии

В случае фермионной модели ЭЗ вычисляется

запутывания. В разд. 4.1 вычисляется ЭЗ для специ-

из собственных значений корреляционной матрицы

ального случая регулярных графов, причем для них

[39-42], поэтому сначала необходимо вычислить эле-

выполняется закон объемного масштабирования. В

менты корреляционной матрицы. В работе [43] рас-

разд. 4.2 вычислена ЭЗ для набора сильно регуляр-

смотрен гамильтониан основного состояния бесспи-

ных графов и показано, что при N_p > 1 имеет место

новых свободных фермионов, в котором матрица

закон объемного масштабирования. Раздел 5 пред-

перескоков определяется матрицей смежности гра-

ставляет собой Заключение. В Приложении A опи-

фа, и вычислена ЭЗ для различных графов. Кроме

саны граф и его матрица смежности. В Приложе-

того, в этой работе исследовался закон объемного

нии B представлено краткое изложение математи-

масштабирования для ЗЭ для некоторых специаль-

ческих свойств сильно регулярных графов.

ных наборов регулярных графов, называемых силь-

но регулярными графами (СРГ). Кроме того, ЭЗ

2. СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЙ

вычисляется в основном состоянии для общего квад-

ГАМИЛЬТОНИАН, КОРРЕЛЯЦИОННАЯ

ратичного бесспинового фермионного гамильтони-

ФУНКЦИЯ И ЭНТРОПИЯ ЗАПУТЫВАНИЯ

ана. В этом гамильтониане матричное взаимодей-

ствие выражается в терминах симметричной и анти-

В бесспиновой фермионной модели гамильтони-

симметричной частей матрицы смежности диграфа,

ан записывается в терминах операторов рождения и

так что закон объемного масштабирования изуча-

уничтожения фермионов [1-6]:

ется на некоторых примерах несимметричной ассо-

∑

циативной схемы диграфов [44]. В последнее время

H =

P_ic^†ic_jP_j +

P_i,

(2.1)

появилось много работ, посвященных обсуждению

i j∈N(i)

законов поверхностного и объемного масштабирова-

где i — номер узла на графе. Проекционные опера-

ния ЭЗ [45-51]. Во многих работах, посвященных

торы P имеют вид

исследованию свойств ЭЗ в рассматриваемых фи-

∏

(

)

зических системах, показано, что в таких системах

1-c^†cj

(2.2)

Pi =

имеет место закон объемного масштабирования ЭЗ,

j∈N(i)

что означает возрастание ЭЗ при увеличении разме-

Из вида проекционных операторов следует, что не

ра подсистемы. Закон объемного масштабирования

рассматривался для различных моделей, таких как

все узлы, соседние с i-м узлом, могут быть заняты

одновременно. Суперсимметрию можно рассматри-

квантовая модель Изинга [52,53], цепочки спина 1/2

[54-57], фермионные модели [58,59], открытые кван-

вать как обобщение суперсимметричной квантовой

механики на случай многих узлов. Два генератора

товые системы [60], модель Дикке [61], квантовая

теория поля [62].

Q^† и Q имеют явный вид [1]

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Закон масштабирования для энтропии запутывания...

∑

Для вычисления ЭЗ в суперсимметричной моде-

Q^† = c^†iP_i, Q = c_iP_i.

(2.3)

ли нужно рассмотреть фиксированное число ферми-

i=1

онов. Поэтому основное состояние с N_p фермионами

В терминах двух генераторов гамильтониан можно

имеет собственные векторы

записать как [?,1,4]

H = Q^†Q + QQ^†.

(2.4)

|ψ_k〉 =

N_p! ∥ η_k ∥

Пусть F — оператор числа фермионов, тогда имеют

∑

место соотношения [1, 4]

|0〉,

(2.6)

ηα1α²...αNpk c^α1cα2...cα

α1,α2,...,αNp

[F, Q^†] = Q^†,

[F, Q] = -Q,

[F, H] = 0,

[Q, H] = 0,

(2.5)

где η_k — коэффициенты собственных состояний, за-

[Q^†, H] = 0,

{Q^†, Q} = H.

писанных в виде столбцов. Корреляционная матри-

ца имеет вид [39, 42]

Гамильтониан коммутирует с оператором числа

фермионов F, поэтому в базисе фиксированного

(

)

†

〈c_ic

〉

〈c_ic_j 〉

числа фермионов он является блочно-диагональ-

C_ij =

(2.7)

ным.

〈c^†ic^†j〉

〈c^†ic_j 〉

Коммутатор

[H, F ] = 0

с блоками

показывает, что гильбертово пространство H раз-

〈c_ic_j 〉 = 0,

лагается на инвариантные подпространства, каждое

из которых представляет собой отдельное собствен-

〈c^†ic^†j〉 = 0,

ное пространство оператора F . Таким образом, в

данной модели гильбертово пространство можно за-

〈c_ic^†j〉 = I - 〈^†ic_j 〉.

писать как

H=H₀ ⊕H₁ ⊕H₂ ⊕...⊕H_N.

Тогда

∑

Tr(c^†ic_jρ) =

〈ψ_k|c^†ic_j |ψ_k〉〈ψ_k|c^†ic_j |ψ_k〉 =

Tr(ρ)

∑

α1α2...αNp

〈0|cβNp . . . cβ2 cβ1 c^†ic_j c^†α

c^†α

...c^†

|0〉 =

η∗β1β²...βNpk ηk

αNp

(N_p!)² ∥ η_k ∥²

α1,α2,...,αNp^,β1^,β2^,...,βNp

⎛

⎞

∑

∗α1α2...αNp-1ⁱ

α1α2...αNp-1^j

⎝Np(N_p!)

⎠₌

(N_p!)² ∥ η_k ∥²

α1α2...αNp-1

∑

N_p

∗α1α2...αNp-1ⁱ

α1α2...αNp-1^j

(2.8)

N_p! ∥ η_k ∥²

α1α2...αNp-1

Отсюда

плементарных подмножества D и D, получим выра-

жение для корреляционной матрицы [40]

∑

N_p

C_ij = Tr(c^†ic_jρ) =

Tr(ρ)

N_p! ∥ η_k ∥²

Γ=P_DCP_D,

(2.10)

∑

∗α1α2...αNp-1ⁱ

α1α2...αNp-1^j

(2.9)

где P_D — оператор проекции на подпространство

α1α2...αNp-1

D графа. Тогда ЭЗ можно выразить в терми-

нах собственных значений корреляционной матри-

Таким образом, матрица C пропорциональна реду-

цы [39-42]:

цированной матрице плотности N_P - 1 частиц:

∑

C = Tr1,2,...,Np-1(ρ).

S_D = - (λ_i log λ_i + (1 - λ_i)log (1 - λ_i)),

(2.11)

Это выполняется для любых перестановок индексов

1, 2, . . ., N_p -1. Поэтому, разделяя граф на два ком-

где λ_i — ее собственные значения.

ЖЭТФ, вып. 1

Ф. Эгбалифам, М. А. Джафаризаде, С. Нами

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

3. ЗАКОН ОБЪЕМНОГО

Отсюда для энтропии запутывания получаем

МАСШТАБИРОВАНИЯ ДЛЯ ЭНТРОПИ

ЗАПУТЫВАНИЯ

S_D = -m(f log f + (1 - f)log (1 - f)).

(3.4)

3.1. Регулярные графы

Из приведенного выше уравнения видно, что ЭЗ

пропорциональна размеру подмножества |D| = m,

Для всех регулярных графов с валентностью κ

поэтому для нее имеет место закон объемного мас-

одночастичную часть суперсимметричного гамиль-

штабирования.

тониана можно выразить через матрицу смежности

графа и единичную матрицу:

3.1.2. Np = N - κ

H_single = A + (N - κ)I.

(3.1)

В этом случае гамильтониан N_p = N - κ частиц

является диагональным, а его собственные значения

Теперь можно вычислить ЭЗ для двух выбранных

равны

⎧

⎫

N_p и показать, что для нее имеет место закон объ-

⎨

⎬

емного масштабирования.

⎩*+,-,*+,-⎭

α-x x

3.1.1. NP > N - κ

Поэтому энергия основного состояния равна нулю,

а собственные состояния записываются в виде

В суперсимметричной модели гамильтониан яв-

ляется блочно-диагональным. Для регулярных гра-

|0〉,

фов только N -κ блоков являются ненулевыми. По-

|ψi1,...,iNp〉=ci1ci2...ci

этому гамильтониан N_p частиц, где

аналогично предыдущему случаю, однако в данном

случае основное состояние является собственным со-

N_p ∈ {N - κ + 1, . . ., N - 1, N},

стоянием, соответствующим нулевому собственному

значению. Тогда матрица плотности имеет вид

равен нулю. В этом случае энергия основного состо-

яния равна нулю и собственные состояния гамиль-

∑

ρ=

|ψ_k〉〈ψ_k|,

тониана N_p > N - k частиц равны

α-x

k=1

|0〉.

где

|ψi1,...,iNp〉=ci1ci2...ci

α=

Число этих состояний есть

N_p!(N - N_p)!

(

)

Отсюда следует, что матрица плотности является

α=

диагональной, состоящей из нулей и единиц, причем

N_p

число единиц равно α-x. Аналогично предыдущему

случаю, имеем

Тогда матрица плотности имеет вид

N_p

C =

I_N = fI_N .

ρ=

Iα.

(3.2)

Поэтому снова, выбирая m вершин как подмножест-

Корреляционная матрица из (2.9) равна

во D, получаем, что энтропия между D и D равна

N_p

S_D = -m (f log f + (1 - f)log (1 - f)).

(3.5)

C =

I_N ≡ fI_N ,

где f — доля занятых состояний. Тогда, выбирая m

узлов как подмножество D, такое что

3.2. Сильно регулярные графы

(mn, m(n - 1), m(n - 2), m(n - 1))

D = {1,2,...,m}, D = {m + 1,m + 2,...,N},

3.2.1. Одночастичный гамильтониан для сильно

регулярных графов

ЭЗ между двумя частями D и D можно получить

из собственных значений матрицы

Собственные значения одночастичного гамиль-

тониана для сильно регулярного графа из (B.5) и

N_p

Γ=

I_m = fI_m.

(3.3)

(B.6) равны

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Закон масштабирования для энтропии запутывания...

имеет n - 1 нулевых собственных значений, а соот-

ветствующие им собственные состояния имеют вид

⎛

⎞

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

ω^k

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

|ψ_k〉 =

⎜

ω2k

⎟

⊗

⎜

^⎟.

⎜

⎟

√mn

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

ω(n-1)k

Отсюда матрица плотности имеет вид

(

)

∑

J_n

ρ=

|ψ_k〉〈ψ_k| =

I-

⊗J_m,

Сильно регулярный граф с параметрами (6, 4, 2, 4), где

n-1

m(n-1)

k=1

m=2 иn=3

а корреляционную матрицу можно записать как

∑

x₁ = N с вырождением 1;

)

C_ij = Tr(c^†ic_jρ) =

〈ψ_k|c^†ic_j |ψ_k〉.

1⁽

√

n-1

x₂ = N - κ +

λ-μ+

(λ - μ)² + 4κ - μ

k=1

с вырождением mx2;

Тогда, учитывая

(

)

∑

√

|ψ_k〉 =

η^mk|m〉,

x₃ = N - κ +

λ-μ-

(λ - μ)² + 4κ - μ

с вырождением mx3.

можно записать

Если x₃ = 0, то N = 2κ - λ. Подставляя это

∑

〈ψ_k|c^†ic_j |ψ_k〉 =

η^l∗kη^mk〈l|c^†ic_j|m〉 =

в уравнение (B.3), получаем κ = μ. Таким обра-

зом, параметрами графа являются (2κ - λ, κ, λ, κ).

∑

Можно показать, что все СРГ с такими параметра-

= η^l∗kη^mkδ_liδ_mj = η^i∗kη^jk.

ми имеют матрицы смежности вида

Тогда

∑

A = (J_n - I_n) ⊗ J_m

C =

(|ψ_k〉〈ψ_k|)^∗ ,

n-1

k=1

с параметрами

откуда

Tr(c^†ic_j ρ) = ρ^∗ij .

(mn, m(n - 1), m(n - 2), m(n - 1)).

Выберем подмножество D с мощностью

|D| = n_D = n₁m₁

Для этих типов СРГ имеется n блоков и m вершин

в каждом блоке. Тогда, как отмечалось выше, число

Оператор проекции на подмножество D имеет вид

вершин равно nm. На рисунке приведен сильно ре-

P_D = En1 ⊗ Em1.

гулярный граф с параметрами (6, 4, 2, 4), где n = 3

и m = 2. Вершины каждого блока не связаны друг с

Отсюда получаем корреляционная матрицу

другом, однако каждая вершина одного блока связ-

(

)

Jn1

Jm1

на со всеми вершинами других блоков. Одночастич-

Γ=

In1 -

⊗

n-1

ный гамильтониан для этих СРГ имеет равен

Тогда собственные значения корреляционной мат-

H = A + (N - κ)I = A + mI,

рицы имеют вид

m₁(n - n₁)

λ₁ =

с вырождением 1;

а нулевые собственные значения вырождены, их

nm(n - 1)

число mx3 = n - 1. Одночастичная часть гамиль-

m₁

λ₂ =

с вырождением n₁ - 1;

тониана,

m(n - 1)

H = QQ^† + Q^†Q,

λ₃ = 0 с вырождением n₁(m₁ - 1).

Ф. Эгбалифам, М. А. Джафаризаде, С. Нами

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Отсюда энтропия равна

3.2.3. Np ≤ m и Np = 1

В этих случаях для состояний |ψ

〉, ко-

⁽m₁(n - n₁)

m₁(n - n₁)

i1,i2,...,iNp

S_D = -

log

гда все частицы находятся в одном блоке, эффект от

nm(n - 1)

(

) (

))

оператора P_i, i ∈ {1, 2, . . . , N}, оказывается нену-

m₁(n - n₁)

log

левым. Однако когда частицы находятся хотя бы в

nm(n - 1)

двух блоках, эффект от этого оператора равен ну-

(

)

m₁

лю. Поэтому и эффекты от операторов Q и Q^† на

- (n₁-1)

log

+ 1-

m(n-1)

эти состояния нулевые. Тогда

(

))

m₁

× log

H|ψ

〉 = 0,

m(n - 1)

i1,i2,...,iNp

где i₁, i₂, . . . , iNp , принадлежат одному из блоков.

3.2.2. Np > m

Число всех состояний |ψ

〉 равно

i1,i2,...,iNp

Для СРГ с параметрами (mn, m(n - 1), m(n - 2),

m(n - 1)) вершины каждого блока не связаны друг

α=

с другом, однако каждая вершина блока связана о

N_p!(N - N_p)!

всеми вершинами других блоков. Поэтому при N_p >

а число состояний, в которых все частицы находятся

> m получаем

в одном блоке, есть

P_i|ψ

〉=0

i1,...,iNp

nβ = n

N_p!(m - N_p)!

для всех i

1, 2, . . ., N и всех перестановок

i₁, i₂, . . . , iNp . Тогда

Поэтому число состояний, в которых

Q|ψ

〉 = 0,

i1,...,iNp

H|ψ

〉 = 0,

i1,i2,...,i

откуда следует, что гамильтониан N_p > m частиц

равно

должен быть равен нулю.

α - nβ.

Аналогично регулярным графам в разд. 3.1.1,

энергия основного состояния равна нулю, а все

Поэтому гамильтониан N_p ≥ 2 частиц имеет α - nβ

|ψ

〉 являются собственными векторами основ-

i1,...,iNp

нулевых собственных значений. Отсюда получаем

ного состояния. Тогда оператор плотности равен

оператор плотности основного состояния

ρ=

Iα,

∑

ρ=

|ψ_k〉〈ψ_k|.

α - nβ

k=1

а корреляционная матрица равна

Тогда корреляционная матрица снова равна

N_p

C =

I_N .

N_p

C =

I_N .

Теперь, разделяя граф на два комплементар-

ных подмножества, D

{1, 2, . . ., q} и D

Поэтому, если разделить граф на подмножества

= {q + 1, q + 2, . . ., N}, для энтропии получаем

D = {1,2,...,q}, D = {q + 1,q + 2,...,N},

S_D = -q (f log f + (1 - f)log (1 - f)) ,

(3.6)

для энтропии получим

где

N_p

f =

S_D = -q(f log f + (1 - f)log(1 - f)).

(3.7)

Поэтому, исходя из размера подмножества D (|D| =

Таким образом, оказывается, что ЭЗ удовлетворяет

= q), можно сделать вывод, что в этом случае для

закону объемного масштабирования, поскольку она

ЭЗ имеет место закон объемного масштабирования.

зависит от размера подмножества (q).

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Закон масштабирования для энтропии запутывания...

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Сильно регулярные графы

Таким образом, в рамках модели суперсиммет-

ричных бесспиновых фермионов на графе иссле-

Сильно регулярным графом с параметрами N, κ,

дована энтропия запутывания для основного со-

λ, μ называется граф с N вершинами и ненулевым

стояния гамильтониана. Гамильтониан коммутиру-

числом ребер, который не является полным и имеет

ет с числом фермионов, поэтому он является блоч-

следующие свойства:

но-диагональным в одночастичном, двухчастичном

(i) степень каждой вершины равна κ;

и т. д. базисах. Для канонического ансамбля чис-

(ii) если i и j — смежные вершины, то число их

ло частиц N_p является фиксированным, поэтому ЭЗ

общих соседей равно λ;

вычисляется для отдельных блоков гамильтониана.

(iii) если i и j не являются смежными вершина-

Получены аналитические выражения для ЭЗ для

ми, то число их общих соседей равно μ.

некоторых N_p для регулярных графов с валентнос-

При этом

тью κ. Показано, что в случае регулярных графов

N - 1 > κ ≥ μ > 0, κ - 1 > λ ≥ 0.

(B.1)

при N_p > N - κ и N_p = N - κ ЭЗ связана с раз-

мером выбранного подмножества, поэтому в этом

Параметры сильно регулярного графа удовлетворя-

случае имеет место закон объемного масштабирова-

ют соотношению

ния. Энтропию запутанности тогда можно вычис-

κ(κ - λ - 1) = (N - κ - 1)μ.

(B.2)

лить аналитически для специального набора сильно

Поэтому соотношение между этими параметрами

регулярных графов как для одночастичного, так и

имеет вид

для многочастичного случаев. Кроме того, для силь-

но регулярных графов с nm вершинами было пока-

κ² = (κ - μ) + μN + (λ - μ)κ.

(B.3)

зано, что для ЭЗ имеет место закон объемного мас-

Матрица смежности любого СРГ удовлетворяет

штабирования для двух случаев, N_p > m и N_p ≤ m.

двум уравнениям.

Первое уравнение имеет вид

AJ = JA = kJ,

ПРИЛОЖЕНИЕ А

где J — матрица, состоящая из единиц. Это уравне-

ние показывает, что κ является собственным значе-

Граф и его матрица смежности

нием матрицы смежности с собственным вектором,

Граф представляет собой набор вершин и ребер,

все компоненты которого равны единице.

которые связывают вершины между собой. Нена-

Второе уравнение имеет вид

правленным называется граф, ребра которого на-

A² + (μ - λ)A + (μ - κ)I = μJ,

(B.4)

правлены в разные стороны. Если между верши-

где I — единичная матрица.

нами i и j имеется ребро, эти вершины являются

Матрица смежности графа имеет ровно три соб-

смежными (i ∼ j).

ственных значения [63, 64]:

Рассмотрим ненаправленный граф с N вершина-

ми. Тогда матрица смежности A (матрица N × N)

x₁ = κ,

√

определяется следующим образом:

λ-μ+

(λ - μ)² + 4(κ - μ)

x₂ =

(B.5)

{

√

1, i ∼ j,

λ-μ-

(λ - μ)²

+ 4(κ - μ)

(A)_ij =

(A.1)

x₃ =

в других случаях.

Кратность x₁ = κ равна единице, а кратности двух

Если имеется путь из вершины i в вершину j вдоль

других собственных значений равны [63, 64]

ребер графа, тогда имеется и такой путь из i в j,

(

)

2κ+(N-1)(λ-μ)

длина которого равна числу ребер между i и j.

mx2 =

(N-1)-√

(λ-μ)²+4(κ-μ)

Если возможен путь от любой вершины i к лю-

(

) (B.6)

бой вершине j, то граф называется связным. Граф

2κ+(N-1)(λ-μ)

mx3 =

(N-1)+√

называется сильно связным, если имеется путь меж-

(λ-μ)²+4(κ-μ)

ду любой вершиной i и любой другой вершиной j.

Подробности можно найти в работах [43, 65].

Подробности приведены в работах [63, 64].

Ф. Эгбалифам, М. А. Джафаризаде, С. Нами

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

ЛИТЕРАТУРА

24.

I. Peschel, Braz. J. Phys. 42, 267 (2012).

P. Fendley, K. Schoutens, and J. de Boer, Phys. Rev.

25.

J. A. Carrasco, F. Finkel, A. Gonzalez-Lopez, and

Lett. 90, 120402 (2003).

M. A. Rodriguez, Phys. Rev. E 95, 012129 (2017).

26.

H. Barghathi, C. M. Herdman, and A. D. Maestro,

A. Engstrom, Eur. J. Comb. 30, 429 (2009).

Phys. Rev. Lett. 121, 150501 (2018).

H. Moriya, Phys. Rev. D 98, 015018 (2018).

27.

A. Kitaev and J. Preskill, Phys. Rev. Lett. 96, 110404

R. La, K. Schoutens, and S. Shadrin, J. Phys. A:

(2006).

Math. Theor. 52, 02LT01 (2019).

28.

D. J. Williamson, A. Dua, and M. Cheng, Phys. Rev.

H. Katsura, H. Moriya, and Y. Nakayama, J. Phys.

Lett. 122, 140506 (2019).

A: Math. Theor. 53, 385003 (2020).

29.

J. Angel-Ramelli, V. Giangreco, M. Puletti, and

L. Thorlacius, JHEP 08, 072 (2019).

L. Huijse and K. Schoutens, Euro. Phys. J. B 64, 543

(2008).

30.

O. Hudak, Phys. Lett. A 373, 359 (2009).

P. Fendley, B. Nienhuis, and K. Schoutens, J. Phys.

31.

C. Walsh, P. Semon, D. Poulin, G. Sordi, and

A: Math. Gen. 90, 12399 (2003).

A. M. S. Tremblay, Phys. Rev. Lett. 122, 067203

(2019).

M. Beccaria and G. F. De Angelis, Phys. Rev. Lett.

94, 100401 (2005).

32.

A. Jafarizadeh and M. A. Rajabpour, Phys. Rev.

B 100, 165135 (2019).

L. Huijse, N. Moran, J. Vala, and K. Schoutens, Phys.

Rev. B 84, 115124 (2011).

33.

S. Mahesh Chandran and S. Shankaranarayanan,

Phys. Rev. D 99, 045010 (2019).

10.

P. Fendley and C. Hagendorf, J. Phys. A: Math.

Theor. 43, 402004 (2010).

34.

X. Dong, X.-L. Qi, Z. Shangnan, and Z. Yang, JHEP

10, 052 (2020).

11.

P. Fendley and C. Hagendorf, J. Stat. Mech. 11102,

P02014 (2011).

35.

A. R. Its and V. E. Korepin, Theor. Math. Phys. 164,

1136 (2010).

12.

R. J. Baxter, Ann. Comb. 15, 185 (2011).

36.

L. Hackl, L. Vidmar, M. Rigol, and E. Bianchi, Phys.

13.

M. Bousquet-Melou, S. Linusson, and E. Nevo, J.

Rev. B 99, 075123 (2019).

Algebr. Comb. 27, 423 (2008).

37.

E. Bianchi and P. Dona, Phys. Rev. D 100, 105010

14.

P. Csorba, Electron. J. Comb. 16, R11 (2009).

(2019).

15.

L. Huijse and K. Schoutens, Adv. Theor. Math. Phys.

38.

F. Shafieinejad, J. Hasanzadeh, and S. Mahdavifar,

90, 643 (2010).

Physica A 556 124794 (2020).

39.

J. Borchmann, A. Farrell, S. Matsuura, and T. Pe-

16.

J. Jonsson, Discrete Comput. Geom. 43, 927 (2010).

reg-Barnea, Phys. Rev. B 90, 235150 (2014).

17.

P. Fendley and K. Schoutens, Phys. Rev. Lett. 95,

40.

G. Gori, S. Paganelli, A. Sharma, P. Sodano, and

046403 (2005).

A. Trombettoni, Phys. Rev. B 91, 245138 (2015).

18.

L. Huijse, D. Mehta, N. Moran, K. Schoutens, and

41.

J. M. Magan, Phys. Rev. Lett. 116, 030401 (2016).

J. Vala, New J. of Phys. 14, 073002 (2012).

42.

H. Shapourian, K. Shiozaki, and S. Ryu, Phys. Rev.

19.

L. Huijse, J. Halverson, P. Fendley, and K. Schoutens,

B 95, 165101 (2017).

Phys. Rev. Lett. 101, 146406 (2008).

43.

M. A. Jafarizadeh, F. Eghbalifam, and S. Nami, J.

20.

H. van Eerten, J. Math. Phys. 46, 123302 (2005).

Phys. A: Math. Theor. 51, 075304 (2018).

21.

P. Padmanabhan, S. J. Rey, D. Teixeira, and D. Tran-

44.

M. A. Jafarizadeh, F. Eghbalifam, and S. Nami, Eur.

canelli, JHEP 1705, 136 (2017).

Phys. J. Plus 132, 539 (2017).

22.

R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, and

45.

J. Eisert, M. Cramer, and M. B. Plenio, Rev. Mod.

K. Horodecki, Rev. Mod. Phys. 81, 865 (2009).

Phys. 82, 277 (2010).

23.

M.Cramer, J. Eisert, M. B. Plenio, and J. Dreissig,

46.

F. G. S. L. Brandão and M. Horodecki, Nat. Phys. 9,

Phys. Rev. A 73, 012309 (2006).

721 (2013).

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Закон масштабирования для энтропии запутывания...

47. G. Vitagliano, A. Riera, and J. I. Latorre, New J.

57. N. Samos S. de Buruaga, S. N. Santalla, J. Rodrigu-

Phys. 12, 113049 (2010).

ez-Laguna, and G. Sierra, Phys. Rev. B 101, 205121

(2020).

48. M. Szyniszewski, A. Romito, and H. Schomerus,

Phys. Rev. B 100, 064204 (2019).

58. H. Lai and K. Yang, Phys. Rev. B 91, 081110(R)

(2015).

49. B. Basa, G. L. Nave, and P. W. Phillips, Phys. Rev.

D 101, 106006 (2020).

59. G. C. Levine, Phys. Rev. D 100, 025017 (2019).

50. S. Goto and I. Danshita, Phys. Rev. A 102, 033316

60. S. Maity, S. Bandyopadhyay, S. Bhattacharjee, and

(2020).

A. Dutta, Phys. Rev. B 101, 180301(R) (2020).

51. I. H. Kim, Phys. Rev. X 11, 021039 (2021).

61. R. J. Lewis-Swan, A. Safavi-Naini, J. J. Bollinger,

and A. M. Rey, Nat. Comm. 10, 1581 (2019).

52. A. Russomanno, G. E. Santoro, and R. Fazio, J. Stat.

Mech. P073101 (2016).

62. N. Shiba and T. Takayanagi, JHEP 1402, 033 (2014).

53. L. Vidmar, L. Hackl, E. Bianchi, and M. Rigol, Phys.

63. J. Seidel, Strongly Regular Graphs, in Surveys in

Rev. Lett. 121, 220602 (2018).

Combinatorics, ed. by B. Bollobas, London Ma-

thematical Society Lecture Note Series, 157-180,

54. G. Ramgurez, J. Rodriguez-Laguna, and G. Sierra, J.

Cambridge University Press, Cambridge (1979).

Stat. Mech. P10004 (2014).

64. C. Godsil and G. Royle, Strongly Regular Graphs,

55. Y. O. Nakagawa, M. Watanabe, H. Fujita, and S. Su-

in Algebraic Graph Theory. Graduate Texts in

giura, Nat. Comm. 9, 1635 (2018).

Mathematics, Vol. 207, Springer, New York (2001).

56. T. Leblond, K. Mallayya, L. Vidmar, and M. Rigol,

65. M. A. Jafarizadeh and S. Salimi, Ann. Phys. 322,

Phys. Rev. E 100, 062134 (2019).

1005 (2007).