ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 1, стр. 40-52

ДИСПЕРСИЯ ИЗГИБНЫХ МОД В МЯГКИХ

ДВУМЕРНЫХ РЕШЕТКАХ

А. Н. Ипатовa,b*, Д. A. Паршинb**, Д. А. Конюхc***

^a Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

195251, Санкт-Петербург, Россия

^b Академический университет им. Ж. И. Алфёрова

194021, Санкт-Петербург, Россия

^c Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Российской академии наук

194021, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 18 июля 2021 г.,

после переработки 18 августа 2021 г.

Принята к публикации 20 августа 2021 г.

Построена последовательная теория спектров изгибных фононных мод в простых двумерных кристалли-

ческих решетках. Получены аналитические выражения для дисперсионных соотношений двумерных ре-

шеток различной конфигурации. Показано, что распространение изгибных мод, имеющих квадратичный

закон дисперсии, становится возможным при взаимодействии каждого атома не только с ближайшими

соседями, но и с более дальними атомами. При этом оказалось необходимым, чтобы знаки эффектив-

ных силовых констант различались, сохраняя при этом устойчивость системы. Продемонстрировано, что

существует соотношение силовых констант решетки, зависящее от ее геометрической конфигурации, при

котором учет влияния более дальних координационных сфер воспроизводит квадрат дисперсионного

соотношения первой сферы, сохраняя его угловую изотропию в широком диапазоне волновых векторов.

DOI: 10.31857/S0044451022010047

материалов при низких температурах. Хорошо

известно, что низкочастотные колебательные моды

в газах, жидкостях и твердых телах как кристал-

1. ВВЕДЕНИЕ

лических, так и аморфных, носят акустический

характер. Дисперсионная зависимость для плоских

Двумерные кристаллические материалы и

акустических волн является линейной и может

структуры в последние десятилетия являются объ-

быть представлена в виде ω = v_sk, где ω — частота

ектом исследований многих научных лабораторий,

колебаний, а k — волновой вектор. Здесь важно

занимающихся разработкой и внедрением нанораз-

отметить, что при малых k скорость звука v_s не

мерной элементной базы [1]. В начальный период

зависит от частоты ω, в результате чего переда-

проводившихся исследований, в особенности после

ча информации акустическими волнами может

первых экспериментов с графеном [2, 3], основной

осуществляться практически без искажений.

интерес был в первую очередь направлен на элект-

Распространение упругих волн в среде описыва-

ронные свойства подобных систем. В дальнейшем

ется волновым уравнением [7],

внимание исследователей было обращено на коле-

бательные процессы как в двумерных углеродных

∂²u

∇²u =

(1)

решетках [4, 5], так и в других низкоразмерных

v²

∂t²

кристаллических структурах [6]. Интерес к низ-

где u(r, t) — смещение элемента системы относи-

кочастотным колебательным модам объясняется

тельно положения равновесия. Его решение в виде

их определяющим влиянием на теплопроводность

плоской бегущей волны

^* E-mail: andrei_ipatov@mail.ru

u(r, t) ∝ exp (i(ωt - k · r))

^** E-mail: dmitry.a.parshin@gmail.com

^*** E-mail: conyuh.dmitrij@yandex.ru

определяет закон дисперсии ω(k).

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Дисперсия изгибных мод в мягких двумерных решетках

В общем случае дисперсионное соотношение сле-

ли получены дисперсионные соотношения ω(k) для

дует из уравнения движения, описывающего про-

простых двумерных решеток различной конфигура-

цесс распространения колебаний. Так, в случае из-

ции и проанализированы их зависимости от выбо-

гибных волн в тонких макроскопических пластин-

ра силовых констант κ_j . Были определены условия,

ках уравнение движения принимает вид [7]

при которых закон дисперсии фононных мод при-

обретает квадратичный характер, ω ∝ k², харак-

ρh ∂²u

= ∇⁴u,

(2)

терный для изгибных колебаний в тонких макро-

D ∂t²

скопических пластинках [7], в отличие от обычных

где ρ — плотность материала пластинки, D — ее

акустических волн, для которых выполняется соот-

жесткость на изгиб и h — толщина. Этому уравне-

ношение ω ∝ k, и скорость звука v_s = ∂ω/∂k при

нию соответствует уже не линейный, а квадратич-

малых k оказывается конечной и не зависящей от

ный закон дисперсии ω ∝ k²:

частоты. Напротив, в случае изгибных волн зависи-

мость ω ∝ k² приводит к тому, что в длинноволно-

ω = k²D/ρh.

(3)

вом пределе v_s ∝ k → 0. Другими словами, низкоча-

Несмотря на большое количество проведенных

стотные изгибные колебания не могут распростра-

экспериментальных и теоретических исследований,

няться в среде с квадратичным законом дисперсии.

вопрос о том, какой именно закон дисперсии будет

Нами установлено, что квадратичная зависимость

реализован в двумерной системе с данными пара-

ω ∝ k² для простых двумерных решеток различной

метрами кристаллической решетки, остается откры-

геометрии может быть получена только при усло-

тым. В частности, в ряде работ [4, 5] было высказа-

вии учета взаимодействия с атомами из нескольких

но предположение, что в случае решетки графена

координационных сфер, как это уже наблюдалось у

в пределе k → 0 для изгибных волн должна вы-

одномерных атомных цепочек [12] и решетки графе-

полняться дисперсионная зависимость ω ∝ k², ха-

на [11]. При этом эффективные упругие константы,

рактерная для тонких макроскопических мембран.

относящиеся к ближайшим соседям и к более уда-

Другие авторы, например [8-11], предполагают бо-

ленным атомам, могут существенно различаться и

лее сложный вид ω(k), сочетающий в себе как ли-

даже иметь разные знаки [13, 14]. Последнее усло-

нейный, так и квадратичный члены, в зависимости

вие, как оказалось, имеет принципиальное значение

от соотношения между упругими константами вза-

для дисперсии изгибных волн в двумерных решет-

имодействия между атомами из различных коор-

ках вне зависимости от их геометрической конфигу-

динационных сфер. Проблема дисперсии изгибных

рации.

мод для линейной цепочки атомов была детально

проанализирована в книге [12], где также было про-

2. ИЗГИБНЫЕ МОДЫ В

демонстрировано, что в общем случае дисперсион-

КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ

ная зависимость ω(k) атомной цепочки в длинно-

волновом пределе ka ≪ 1 содержит как линейное,

2.1. Колебания двумерной квадратной

так и квадратичное слагаемое.

решетки

В данной работе представлен теоретический ана-

Учет взаимодействия только с ближайшими

лиз дисперсии упругих волн в двумерном кристал-

соседями

лическом материале. Основное внимание мы кон-

центрируем на изгибных колебательных модах, для

Рассмотрим двумерную систему, атомы которой

описания которых оказалось необходимым выйти

расположены в узлах ячеек квадратной решетки с

за рамки приближения ближайших соседей. Наш

периодом a, а эффективная сила упругости с кон-

подход основан на модели силовых констант Бор-

стантой взаимодействия κ₁ действует только между

на - фон Кармана. Окружающие выделенный атом

ближайшими соседями, по направлению к которым

соседи по кристаллической структуре разделяются

в декартовой системе координат выберем векторы

на координационные сферы (оболочки) в зависимо-

трансляции,

сти от их относительного расположения. При этом

эффективные упругие константы κ_j , соответствую-

a₁ = ae_x, a₂ = ae_y.

(4)

щие j-й оболочке, рассматриваются как свободные

параметры модели, которые могут варьироваться,

Обозначим смещение атомов из положения равно-

изменяя таким образом закон дисперсии. В резуль-

весия через u_n,m, где индексы n и m соответству-

тате решения полученных уравнений движения бы-

ют координатам атома x и y относительно осей. С

А. Н. Ипатов, Д. А. Паршин, Д. А. Конюх

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

(

)

учетом того, что каждый атом окружен четырьмя

− mω² = κ₁ eik·a1+e-ik·a1+eik·a2+e-ik·a2-4

ближайшими соседями, уравнение движения имеет

(

вид

+κ₂ eik·(a1+a2) +e-ik·(a1+a2) +eik·(a1-a2)+

)

(

+e-ik·(a1-a2)

−4

+κ₃ ei2k·a1 +e-i2k·a1 +

d²u_n,m

=κ₁ un,m-1 +un,m+1 +un+1,m+

)

dt²

)

+ei2k·a2 +e-i2k·a1 -4 ,

(10)

+ un-1,m - 4u_n,m .

(5)

откуда следует закон дисперсии:

Решение будем искать в виде плоской волны:

{

(

)

κ₁

⁽k_xa⁾

⁽k_ya⁾⁾

u_n,m = u₀ exp(iωt)exp

- i(nk · a₁ + mk · a₂) . (6)

ω2(1-3) = 4

sin²

+ sin²

(

В результате подстановки (6) в (5) получаем диспер-

κ₂

⁽a(k_x+k_y)⁾

⁽a(k_x-k_y)⁾⁾

sin²

+ sin²

сионное соотношение

(

}

⁽k_xa⁾

⁽k_ya⁾⁾

(

)

ω²⁽¹⁾ = 4Ω²¹ sin²

+ sin²

(7)

sin²(k_xa) + sin²(k_ya)

(11)

√

где Ω₁ =

κ₁/m. Таким образом, в пределе малых k

В пределе ka ≪ 1 последнее выражение можно пе-

при учете взаимодействия атомов решетки только с

реписать, ограничившись первыми членами разло-

ближайшими соседями наблюдается изотропный по

жения в ряд,

отношению к направлению волнового вектора ли-

нейный закон дисперсии,

)

4k²a²

⁽κ1

κ₂

ω2(1-3) ≈

+κ₃

ω₍₁₎ ≈ v_sk,

(8)

(

)

√

= Ω²¹ + 2Ω²² + 4Ω²

k²a²,

(12)

где k = k2x + k2y, v_s = Ω₁a — скорость звука, не

зависящая от частоты ω.

причем дисперсионное соотношение по-прежнему

остается изотропным по отношению к направлению

Атомы взаимодействуют с соседями из трех

волнового вектора. Для того чтобы было возмож-

ближайших координационных сфер

ным распространение волны упругой деформации

в двумерной квадратной атомной решетке с одним

Если допустить, что атомы могут взаимодейст-

атомом в элементарной ячейке, необходимо выпол-

вовать не только с ближайшими соседями из пер-

нение условия для упругих констант:

вой координационной сферы, но также и с атома-

ми из второй и третьей сфер (всего в совокупности

κ₁

κ₂

+ κ₃ > 0.

(13)

с 12 соседними атомами), уравнение движения (5)

преобразуется к виду

В случае, когда константы имеют разные знаки, на-

пример, при κ₁ > 0 и κ₂, κ₃ < 0, оказывается воз-

d²u_n,m

можной ситуация, когда выполняется соотношение

dt²

(

)

= κ₁ un,m-1+un,m+1+un+1,m+un-1,m-4u_n,m

κ₁ + 2κ₂ + 4κ₃ = 0,

(14)

(

+κ₂ un-1,m-1 +un+1,m+1 +un-1,m+1+

при котором первый член в дисперсионном соот-

)

(

ношении (12), соответствующий линейному закону

+ un+1,m-1 - 4u_n,m

+κ₃ un,m-2 +un,m+2+

дисперсии (8), исчезает, и сохраняются только сле-

)

дующие члены разложения в ряд,

+ un+2,m + un-2,m - 4u_n,m ,

(9)

⁽Ω²¹

где κ₁, κ₂ и κ₃ — соответствующие упругие констан-

ω2(1-3) ≈ -

(k4x + k4y) +

ты. Полагая, что решения уравнения (9) по-прежне-

му могут быть представлены в виде суперпозиции

)

Ω²²

собственных колебательных мод (6), перепишем (9):

(k4x + 6k2xk2y + k4y) + Ω²³(k4x + k4y) a⁴.

(15)

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Дисперсия изгибных мод в мягких двумерных решетках

В результате дисперсионная зависимость приобре-

тает вид, характерный для изгибных мод, ω² ∼ k⁴,

но при этом даже при малых k в общем случае при-

обретает анизотропный характер по отношению к

направлению волнового вектора. В этом проявля-

ется отличие простой квадратной решетки от про-

стой гексагональной (треугольной), которая в обла-

сти длинных волн ведет себя как изотропная сре-

да [15].

Следует отметить, что при определенном «ма-

гическом» наборе параметров, κ₂ = -κ₁/4, κ₃ =

= -κ₁/8, формула (11) преобразуется к виду

(

⁽k_xa⁾

⁽k_ya))2

ω2(1-3) = 2Ω²¹ sin²

+ sin²

(16)

что с точностью до множителя воспроизводит вы-

Рис. 1. Дисперсионная зависимость приведенной часто-

ражение для квадрата значения ω²⁽¹⁾, определенно-

ты ω(1-3)(kx, ky )/Ω1: а — c учетом первой координаци-

го выражением (7). Как будет показано ниже, зна-

онной сферы (7), б — с учетом трех координационных

чения «магических» упругих констант определяют-

сфер (11) при κ2 = -κ1/4, κ3 = -κ1/8, в — зависимость

ся единственным образом и зависят от геометрии

ω(kx, ky)/Ω1, полученная при учете взаимодействия c ато-

решетки. Другими словами, включение взаимодей-

мами двух координационных сфер при κ2 = -κ1/2

ствия с атомами, отстоящими более чем на один пе-

риод решетки, при некотором соотношении упругих

констант не только приводит к смене линейного за-

кона дисперсии (8) на квадратичный, но вдобавок

при этом зависимость (15) для ka ≪ 1 становится

практически изотропной по отношению к направле-

нию волнового вектора, как это было при взаимо-

действии только с атомами первой сферы, и приоб-

ретает вид

Ω₁a

ω(1-3) ≈

√ k²,

(17)

что, как и следовало ожидать, воспроизводит ре-

зультат (15) при выборе κ₂ = -κ₁/4, κ₃ = -κ₁/8.

Таким образом, закон распространения изгиб-

ных колебаний в двумерной квадратной решетке в

длинноволновом пределе оказывается идентичным

известному дисперсионному соотношению для упру-

гих волн в однородных тонких пластинках (3).

Рис.

2. Дисперсионная зависимость приведенной час-

Смена характера дисперсионной зависимости с

тоты ω(1-3)(kx, ky )/Ω1 с учетом трех координационных

линейного на квадратичный при малых значениях

сфер (11) при κ2 = -κ1/4, κ3 = -κ1/8

волнового вектора хорошо видна на рис. 1, на кото-

ром приведены графики дисперсионных кривых, по-

строенные с учетом взаимодействия с атомами толь-

на рис. 2, на котором представлено двумерное рас-

ко первой координационной сферы (7) и с учетом

пределение ω(1-3)(k_x, k_y) для «магического» соотно-

трех координационных сфер (11) при κ₂ = -κ₁/4,

шения упругих констант при взаимодействии с ато-

κ₃ = -κ₁/8. Для наглядности на рисунке отмече-

мами из трех координационных сфер. Относитель-

ны точки симметрии первой зоны Бриллюэна, соот-

но представленных на рис. 1 графиков следует так-

ветственно, Γ(k = (0, 0)), M(k = (±π/a, 0) и k =

же отметить одну особенность квадратной решетки,

= (0, ±π/a)) и K(k = (±π/a, ±π/a)). Квадратичный

для которой в случае учета трех координационных

и изотропный характер зависимости (17) при малых

сфер частота упругих волн в K-точке Дирака пер-

значениях волнового вектора также хорошо заметен

вой зоны Бриллюэна не зависит от упругих констант

А. Н. Ипатов, Д. А. Паршин, Д. А. Конюх

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

вая, соответствующая учету взаимодействия только

с соседями из первых двух координационных сфер

при κ₂ = -κ₁/2 наглядно демонстрирует, что угло-

вая зависимость становится существенно анизотроп-

ной, причем, как было указано выше, для направле-

ния Γ → M

ω(k_x, 0) = ω(0, k_y) = 0

и, как видно на рис. 1, это выполняется не только в

пределе малых k, но и во всем диапазоне изменения

k_x и k_y.

Атомы взаимодействуют с атомами из

произвольного числа координационных сфер

Легко убедиться, что условие (14) для силовых

констант соответствует соотношению

∑

N_jκ_jr2j = 0.

(18)

Рис.

3. Угловая зависимость приведенной частоты

j=1

ω(1-3)(kx, ky)/ωmax при малых k: а — с учетом трех ко-

Здесь N_j — число атомов в j-й координационной

ординационных сфер (11) при κ2 = -κ1/4, κ3 = -κ1/8;

б — при κ2 = -κ1/3, κ3 = -5κ1/12; в — с учетом двух

сфере, rj — ее радиус, а κj — соответствующая

координационных сфер при κ2 = -κ1/2

константа взаимодействия. Действительно, в крис-

таллической решетке, ячейки которой представляют

собой правильные N-угольники, атомы, взаимодей-

второй и третьей сфер, и, как следует из (11), при

ствие с которыми учитывается при расчете закона

√

любых их значениях равна 2

2Ω₁.

дисперсии изгибных мод, располагаются на соответ-

Следует обратить внимание на то, что смена ли-

ствующих координационных окружностях c радиу-

нейной дисперсионной зависимости на квадратич-

сами r_j и отстоят друг от друга на равные углы α_j =

ную также может произойти при дополнительном

= 2π/N_j. Таким образом, уравнения (10), (11) для

учете взаимодействия только с атомами из второй

трех координационных сфер могут быть записаны в

координационной сферы. Как следует из (14), одной

виде

⎛

⎞

из возможных комбинаций упругих констант, обес-

∑

κ_j

печивающих исчезновение линейного члена ω ∼ k,

ω2(1-3) =

⎝Nj - exp(ik · rnj)⎠ =

является κ₂ = -κ₁/2, что, согласно (14), как раз да-

j=1

nj =1

ет κ₃ = 0, т. е. вклад третьей сферы полностью исче-

⎛

⎞

)

∑

зает. Однако, как видно на рис. 1, при этом появля-

κ_j

⁽k·rnj

⎝

sin²

⎠,

(19)

ется сильная анизотропия изгибных колебательных

j=1

nj =1

мод, при которой квадратичный характер диспер-

где j — номер координационной сферы, n_j — индекс

сии сохраняется для волновых векторов k, направ-

ленных вдоль линии Γ → K, в то время как для

атома на ее поверхности, rnj — его радиус-вектор,

проведенный из начала координат,

направления Γ → M их распространение оказыва-

ется невозможным.

k · rnj = kr_j cos(n_jα_j + φ_j),

(20)

Для наглядности на рис. 3 приведены зависи-

φ_j — угол между k и первым из радиус-векторов,

мости частоты ω(1-3)(k), приведенной к ее макси-

r1nj . В длинноволновом пределе, ka ≪ 1, из (19) в

мальному значению, от направления волнового век-

первом порядке разложения в ряд имеем

тора относительно орта e_x при малых k. В случае

трех сфер при κ₂ = -κ₁/4, κ₃ = -κ₁/8 зависимость

)

∑

κ_j

⁽2πn_j

ω(k_x, k_y), согласно (16), изотропна, как и при учете

ω2(1-3) ≈

(kr_j)2

cos²

+φ_j

N_j

только первой координационной сферы. При других

nj =1

значениях упругих констант, например κ₂ = -κ₁/3,

∑

k²

κ₃ = -5κ₁/12, возникает угловая анизотропия при

N_jκ_jr2j,

(21)

сохранении квадратичной зависимости ω ∼ k². Кри-

j=1

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Дисперсия изгибных мод в мягких двумерных решетках

откуда следует условие для силовых констант (18),

прежнему сохраняется. Последнее выражение экви-

при котором линейный закон дисперсии сменяется

валентно сумме (21) для четырех слагаемых, где

√

квадратичным (16). Для рассматриваемой двумер-

N₄ = 8, r₄ =

5a. Таким образом, при дополнитель-

ной квадратной решетки N_j = 4, а радиусы окруж-

ном учете атомов из следующей координационной

√

ностей равны, соответственно, r₁ = a, r2 =

2a,

сферы соотношение (14), определяющее условия,

r₃ = 2a, что в результате и приводит к полученному

при которых линейный характер дисперсии сменя-

ранее соотношению (14).

ется квадратичным, преобразуется к виду

Следует отметить, что соотношение вида (18)

Ω²¹ + 2Ω²² + 4Ω²³ + 10Ω²⁴ = 0.

(25)

должно выполняться в общем случае для любого

числа координационных сфер, атомы на которых

По такой же схеме будет осуществляться дальней-

располагаются в вершинах вписанных правильных

шее увеличение числа координационных сфер, при-

N-угольников. Это утверждение можно проверить,

чем независимо от их количества условием смены

в частности, путем дополнительного учета взаимо-

характера дисперсии будет оставаться равенство ну-

действия с восемью атомами из четвертой коорди-

лю суммы

∑

национной сферы, которую также можно рассмат-

N_jκ_jr2j

ривать как две одинаковые сферы, содержащие по

j=1

четыре атома и повернутые друг относительно дру-

по всем учитываемым сферам.

га на угол π/4.

Уравнение, аналогичное (10), теперь приобрета-

ет вид

2.2. Колебания двумерной треугольной

{

}

решетки

− mω² = κ₁ eik·a1+e-ik·a1+eik·a2+e-ik·a2 - 4

Учет взаимодействия только с ближайшими

{

+κ₂ eik·(a1+a2) +e-ik·(a1+a2) +eik·(a1-a2)+

соседями

}

{

+e-ik·(a1-a2)

− 4 +κ₃ ei2k·a1+e-i2k·a1+ei2k·a2 +

Ближайшие соседи в первой координационной

}

{

сфере двумерной треугольной (простой гекса-

+e-i2k·a

¹ -4

+κ₄ eik·(2a1+a2) +e-ik·(2a1+a2)+

гональной) решетки расположены в вершинах

правильного шестиугольника со стороной a. Пара

+eik·(2a1-a2) + e-ik·(2a1-a2) + eik·(a1+2a2)+

}

трансляционных векторов в декартовой системе

+ e-ik·(2a1+2a2)+eik·(a1-2a2)+e-ik·(a1-2a2)-8

(22)

координат может быть выбрана как

(

)

√

Соответствующий закон дисперсии записывается

a₁ =

e_x +

3ey ,

следующим образом:

)

(26)

a⁽

√

{

a₂ =

e_x -

3e_y

(

κ₁

⁽k_xa⁾

⁽k_ya⁾⁾

ω2(1-4) = 4

sin²

+ sin²

Динамика атома, положение которого относитель-

(

но осей, направленных вдоль векторов трансляции,

κ₂

⁽a(k_x+k_y)⁾

⁽a(k_x-k_y)⁾⁾

sin²

+ sin²

определяется индексами n и m, и дисперсионное со-

(

)

отношение представляется в форме

κ₃

sin²(k_xa) + sin²(k_ya) +

{

(

ω²⁽¹⁾ = Ω²

N₁-

eik·a1 +e-ik·a1 +eik·a2 +e-ik·a2 +

κ₄

⁽a(2k_x+k_y)⁾

⁽a(2k_x-k_y)⁾

sin²

+sin²

)}

+eik·(a1+a1) + e-ik·(a1+a1)

(27)

)

⁽a(k_x+2k_y)

⁽a(k_x-2k_y)^))}

+ sin²

(23)

√

где N₁ = 6, Ω₁ =

κ₁/m, и может быть переписано

в явном виде с учетом (26):

и в пределе ka ≪ 1 при ограничении первыми чле-

{

((

√

)

нами разложения в ряд может быть переписан как

k_x +

3k_y

(

)

ω²⁽¹⁾ = 4Ω²

sin²

ω2(1-4) ≈ Ω²¹ + 2Ω²² + 4Ω²³ + 10Ω²

k²a²,

(24)

((

√

)

√

k_x -

3k_y

⁽k_xa^)}

где Ω₄

κ₄/m, причем изотропия дисперсии

+ sin²

(28)

относительно направления волнового вектора по-

А. Н. Ипатов, Д. А. Паршин, Д. А. Конюх

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

В длинноволновом пределе в первом порядке разло-

для второй и третьей координационных сфер. По-

жения в ряд дисперсионная зависимость является

следняя формула также может быть переписана в

изотропной по отношению к направлению векторов

явном виде с учетом (26):

трансляции и определяется линейным членом, ω ∼

{

((

√

)

∼ k:

k_x +

3k_y

ω2(1-3) = 4Ω²

sin²

ω²⁽¹⁾ ≈

Ω²¹k²a².

(29)

((

√

)

Аналогично тому, как это было сделано в (19),

k_x -

3k_y

⁽k_xa^)}

+ sin²

формула (27) может быть переписана в виде

⎛

⎞

{

((

√

)

3k_x +

3k_y

∑

⁽k·rn1

+ 4Ω²

sin²

ω²⁽¹⁾ = 4Ω²¹ ⎝

sin²

⎠,

(30)

n1=1

((

√

)

(_√

)}

3k_x -

3k_y

3k_ya

+ sin²

где N₁ = 6, а скалярные произведения радиус-векто-

ров rn1 и волнового вектора k определяются в соот-

{

((

√

)

k_x +

3k_y

ветствии с (20), где r₁ = a, φ₁ = 0. В пределе ka ≪ 1

+ 4Ω²

sin²

в первом порядке разложения в ряд выражение (30)

((

√

)

}

преобразуется к виду

k_x -

3k_y

+ sin²

+ sin² (k_xa)

(33)

)

∑

⁽2πn₁

ω²⁽¹⁾ ≈ Ω²¹

cos²

Ω²¹k²a²,

(31)

N₁

n1=1

При этом, как и в аналогичной ситуации с квад-

ратной решеткой, при определенном «магическом»

что в точности совпадает с формулой (29). Таким

наборе параметров, κ₂ = -κ₁/5, κ₂ = -κ₁/10, фор-

образом, как и в случае квадратной решетки, при

мула (32) с точностью до численного множителя

учете взаимодействия только с ближайшими сосе-

воспроизводит квадрат выражения (27), описыва-

дями из первой координационной сферы дисперси-

ющего закон дисперсии с учетом взаимодействия

онная зависимость ω(k) является изотропной по от-

только с атомами из ближайшей координационной

ношению к направлению волнового вектора и ли-

√

сферы.

нейной (8), где в данном случае v_s =

3/2Ω₁a.

Дисперсионное соотношение вновь может быть

преобразовано аналогично (19), (20). В длинновол-

Учет взаимодействия с атомами из трех

новом пределе, ka ≪ 1, как и в случае квадратной

ближайших координационных сфер

решетки (21), с учетом того, что N_j = 6 (для всех

j = 1, 2, 3), а радиусы координационных окружнос-

При дополнительном включении взаимодей-

√

тей равны r₁ = a, r₂ =

3, r₃ = 2a, закон дисперсии

ствия с атомами из второй и третьей координацион-

приобретает вид

ных сфер, которые также расположены в вершинах

правильных шестиугольников, дисперсионная

зависимость приобретает вид

k²

∑

ω2(1-3) ≈

N_jκ_jr2j =

{

(

j=1

ω² = Ω₁ N₁-

eik·a1 +e-ik·a1 +eik·a2 +e-ik·a2 +

(

)

}

Ω²¹ + 3Ω²² + 4Ω²³

k²a².

(34)

)

+eik·(a1+a2) + e-ik·(a1+a2)

{

(

Отсюда следует соотношение для упругих констант,

+Ω₂ N₂-

eik·(2a1+a2)+e-ik·(2a1+a2)+eik·(a1+2a2) +

при котором исчезает линейный член ω ∼ k,

}

)

+e-ik·(a1+2a2) + eik·(a1-a2) + e-ik·(a1-a2)

κ₁ + 3κ₂ + 4κ₃ = 0,

(35)

{

(

+Ω₃ N₃-

ei2k·a1 +e-i2k·a1 +e2ik·a2 +e-2ik·a2 +

а дисперсионная зависимость при малых значениях

}

)

+e2ik·(a1+a2) + e-2ik·(a1+a2)

(32)

волнового вектора приобретает квадратичный ха-

рактер и преобразуется к форме

√

где N1 = N2 = N3 = 6, Ω2 =

κ₂/m и Ω₃ =

)

√

3 (

ω2(1-3) ≈ -

Ω²¹ + 9Ω²² + 16Ω²

k⁴a⁴.

(36)

κ₃/m — соответствующие собственные частоты

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Дисперсия изгибных мод в мягких двумерных решетках

Так, например, при выборе κ₂ = -κ₁/5, κ₃ =

= -κ₁/10 формула (36) приобретает вид

ω2(1-3) ≈

Ω²¹k⁴a⁴,

(37)

эквивалентный закону дисперсии для изгибных

волн в однородных тонких пластинках (3).

Важно отметить, что, в отличие от квадратной

решетки, для которой учет влияния двух следую-

щих координационных сфер с точностью до множи-

теля воспроизводил выражение для квадрата дис-

персионного соотношения, соответствующего пер-

вой сфере, только при одной-единственной комби-

нации упругих констант (κ₂ = -κ₁/4, κ₃ = -κ₁/8),

для двумерной треугольной решетки в пределе

ka ≪ 1 это выполняется не только при κ₂ = -κ₁/5,

Рис. 4. Дисперсионная зависимость приведенной часто-

κ₃ = -κ₁/10, но и для всех возможных их комби-

ты ω₍₁₎(kx, ky)/Ω1: а — c учетом первой координацион-

наций, удовлетворяющих условию (35). При этом,

ной сферы (28), б — с учетом двух координационных сфер

как следует из (36), при смене линейного характе-

ω(1-2)(kx, ky)/Ω1 при κ2 = -κ1/3 и в — с учетом трех ко-

ра дисперсионной зависимости (31) на квадратич-

ординационных сфер ω(1-3)(kx, ky )/Ω1 при κ2 = -κ1/5,

ный (36) при всех возможных сочетаниях упругих

κ3 = -κ1/10

констант (35) при малых k будет сохраняться уг-

ловая изотропия закона дисперсии. Однако необ-

ходимо обратить внимание на то, что, как и в

случае квадратной решетки, точное воспроизведе-

ние квадрата закона дисперсии первой координа-

ционной сферы во всем диапазоне значений вол-

нового вектора у треугольной решетки при учете

влияния трех оболочек также происходит только

при одном-единственном «магическом» соотноше-

нии, κ₂ = -κ₁/5, κ₃ = -κ₁/10.

Смена характера дисперсионной зависимости

при малых значениях волнового вектора хорошо

видна на рис. 4, на котором построены графики

дисперсионных кривых с учетом взаимодействия

с атомами только первой координационной сферы

(28), с учетом двух сфер при κ₂

= -κ₁/3 и с

учетом трех сфер при κ₂ = -κ₁/5, κ₃ = -κ₁/10.

На рисунке вновь для наглядности отмечены

точки симметрии первой зоны Бриллюэна, соот-

(

√

))

Рис. 5. Дисперсионная зависимость приведенной часто-

ветственно, Γ(k = (0, 0)), M

k =

0, 2π/

(

ты ω(1-3)(kx, ky)/Ω1 с учетом трех координационных сфер

(

√

))

K k=

2π/3a, 2π/

при κ2 = -κ1/5, κ3 = -κ1/10

Квадратичная зависимость (36) и ее близкое к

изотропному угловое распределение для малых k

также хорошо видны на рис. 5, где представлено

вого вектора. На рис. 6a изображены дисперсион-

двумерное изображение ω(1-3)(k_x, k_y), соответству-

ные зависимости, построенные с учетом взаимодей-

ющее «магическому» соотношению упругих конс-

ствия с атомами из трех координационных сфер

тант при взаимодействии с атомами из трех коор-

при различных наборах упругих констант, удовлет-

динационных сфер.

воряющих условию (35). Легко видеть, что с из-

Отдельный интерес представляет изменение за-

менением константы κ₂ в сторону положительных

кона дисперсии в зависимости от соотношения меж-

значений по мере удаления от «магического» со-

ду силовыми константами при увеличении волно-

отношения (синяя линия) зависимость частоты от

А. Н. Ипатов, Д. А. Паршин, Д. А. Конюх

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Рис. 7. Дисперсионная зависимость приведенной часто-

ты ω(1-3)(kx, ky)/Ω1 с учетом трех координационных сфер

при значениях упругих констант κ2 = κ1, κ3 = -κ1 (крас-

ная линия 5 на рис. 6)

κ₂ приведет к потере устойчивости системы. При

этом, как видно на рис. 6а, в отличие от длинно-

волновой области ka ≪ 1, для которой любая ком-

бинация упругих констант, удовлетворяющая соот-

ношению (35), обеспечивает изотропный характер

зависимости ω ∼ k² (36), ситуация при больших

значениях волнового вектора в корне меняется. На

рис. 6б представлены зависимости приведенной час-

тоты ω(k_x, k_y)/ω_max от угла между направлением

волнового вектора k и ортом e_x, построенные при

k = 2π/3a, что соответствует точке M первой зоны

Бриллюэна. Из графиков следует, что при «маги-

Рис. 6. а) Дисперсионная зависимость приведенной час-

ческом» соотношении констант κ₂ = -κ₁/5, κ₃ =

тоты ω(1-3)(kx, ky )/Ω1 с учетом трех координационных

сфер при различных значениях упругих констант, удовле-

= -κ₁/10 угловая зависимость все еще близка к

творяющих условию (35): 1 — κ2 = -κ1/5; 2 — κ2 = 0;

изотропной (синяя линия) даже при больших k, в

3 — κ2 = 0.5κ1; 4 — κ2 = 0.8κ1; 5 — κ2 = κ1. б) Со-

то время как по мере приближения к критическим

ответствующие угловые зависимости приведенной часто-

значениям κ₁ = κ₂ = 1, κ₃ = -1 анизотропия воз-

ты ω(1-3)/ωmax при значении модуля волнового вектора

растает и частота при k, соответствующих направ-

k = 2π/3a

лениям на K-точки Дирака, стремится к нулю, в то

время как для направлений на точки M частота ока-

зывается максимальной, что согласуется с рис. 6а.

волнового вектора перестает быть монотонной, при

Эта угловая анизотропия хорошо видна также на

этом по-прежнему сохраняется квадратичный ха-

рис. 7, на котором изображена дисперсионная зави-

рактер в области ka ≪ 1. При этом на дисперсион-

симость, построенная для критического соотноше-

ной кривой появляется участок, где групповая ско-

ния констант с учетом взаимодействия атомов из

рость отрицательна, dω/dk < 0, так называемая об-

трех координационных сфер. Отчетливо видно, что

ласть обратной волны [16]. Более того, при некото-

при малых k закон дисперсии носит квадратичный и

ром критическом соотношении κ₁ = κ₂ = 1, κ₃ = -1

изотропный характер, в то время как по мере увели-

(красная кривая) частота колебаний в K-точке Ди-

чения модуля волнового вектора анизотропия воз-

рака обращается в нуль и дальнейшее увеличение

растает, и в K-точках Дирака частота равна нулю.

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Дисперсия изгибных мод в мягких двумерных решетках

√

Этот результат согласуется с предсказанным в ра-

где N₄ = 6, Ω₄ =

κ₄/m. В результате дисперсион-

боте [15] появлением при длинах волн сравнимых с

ную зависимость можно записать следующим обра-

расстоянием между частицами в решетке «звуковых

зом:

каналов», в которых скорость распространения волн

{

((

√

)

k_x + 3

3k_y

много больше скоростей распространения фононов

ω2(1-4) = ω2(1-3) + 4Ω²

sin²

в других направлениях, что также подтверждает-

((

√

)

((

√

)

ся в экспериментах по исследованию теплопровод-

k_x-3

3k_y

5k_x+

3k_y

ности кристаллических структур [17]. Здесь важно

+ sin²

+sin²

еще раз отметить, что, как видно на рис. 6б, при

((

√

)

((

√

)

«магическом» соотношении упругих констант про-

5k_x-

3k_y

2k_x+

3k_y

+ sin²

стая двумерная треугольная решетка ведет себя как

изотропная среда в широком диапазоне длин волн,

((

√

)

)}

2k_x -

3k_y

а не только в пределе ka ≪ 1.

+ sin²

(39)

Учет взаимодействия с атомами из

где значение ω2(1-3) определено согласно (33). В пре-

произвольного числа координационных сфер

деле ka ≪ 1 c учетом (34) закон дисперсии для че-

тырех взаимодействующих сфер приобретает вид

По аналогии с квадратной решеткой определим,

(

)

ω2(1-4) ≈

Ω²¹ + 3Ω²² + 4Ω²³ + 14Ω²⁴

k²a²,

(40)

какое влияние на закон дисперсии оказывает вза-

имодействия с атомами из более удаленных коор-

что согласуется с результатом суммирования по че-

динационных сфер. Для примера в уравнение (32)

тырем координационным сферам аналогично фор-

√

добавим атомы из четвертой сферы, которая пред-

муле (21), где r₄ =

7a. Таким образом, в случае

ставляет собой две одинаковые окружности, содер-

учета взаимодействия с атомами из четырех коорди-

жащие по шесть атомов и повернутые друг относи-

национных сфер условием смены линейного закона

тельно друга на угол π/6. Важно отметить, что, в

дисперсии на квадратичный становится соотноше-

отличие от ситуации с квадратной решеткой, в со-

ние

вокупности эти две сферы не являются правильным

Ω²¹ + 3Ω²² + 4Ω²³ + 14Ω²⁴ = 0.

(41)

вписанным N-угольником и поэтому подход, осно-

Дальнейшее увеличение числа учитываемых сфер,

ванный на выражении (19), применим только к каж-

как и в случае квадратной решетки, может быть

дой из них по отдельности. Уравнение, описываю-

осуществлено аналогичным образом.

щее закон дисперсии, теперь принимает вид

{

(

ω² = Ω₁ (N₁ -

eik·a1 + e-ik·a1 + eik·a2 + e-ik·a2 +

3. ДИНАМИЧЕСКАЯ МАТРИЦА

}

ИЗГИБНЫХ МОД

)

+eik·(a1+a2) + e-ik·(a1+a2)

В этом разделе рассмотрим альтернативный под-

{

(

+Ω₂ N₂-

eik·(2a1+a2)+e-ik·(2a1+a2)+eik·(a1+2a2) +

ход к определению колебательных спектров систе-

}

мы взаимодействующих частиц, основанный на ис-

)

+e-ik·(a1+2a2) + eik·(a1-a2) + e-ik·(a1-a2)

пользовании динамической матрицы силовых конс-

{

(

тант (она же гессиан потенциальной поверхности).

+Ω₃ N₃ -

ei2k·a1 + e-i2k·a1 + e2ik·a2 + e-2ik·a2 +

Для простоты рассмотрим систему, содержащую N

}

)

взаимодействующих частиц с единичными массами.

+e2ik·(a1+a2) + e-2ik·(a1+a2)

Смещения u_i(t) атома с индексом i такой системы

{

(

+ Ω₄ 2N₄ -

eik·(3a1+a2) + e-ik·(3a1+a2) +

вблизи ее положения равновесия в общем виде опи-

сывается уравнением движения

+eik·(2a1+3a2) + e-ik·(2a1+3a2) +

)

d²u_i

(t)

+eik·(a1-2a2) + e-ik·(a1-2a2)

Mu_i(t),

(42)

dt²

(

−

eik·(3a1+2a2) + e-ik·(3a1+2a2) +

в котором

M — динамическая матрица размером

+eik·(a1+3a2) + e-ik·(a1+3a2) +

N × N. Собственные числа динамической матри-

}

)

цы

M соответствуют квадратам собственных коле-

+eik·(2a1-a2) + e-ik·(2a1-a2)

(38)

бательных частот ω2i. При рассмотрении большой

ЖЭТФ, вып. 1

А. Н. Ипатов, Д. А. Паршин, Д. А. Конюх

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

конечной системы N = const ≫ 1 матрица

M по

матрица может быть представима в следующем ви-

своей сути является ее дискретным лапласианом. В

де:

скалярной модели смещений динамическая матрица

M =α

M (1)₍Mˆ (1)₎T .

(47)

M выражается через энергию взаимодействия час-

где α > 0 — некоторый масштабный множитель. В

тиц U следующим образом:

M (1)

таком представлении динамическая матрица

∂²U

играет роль матрицы инцидентности (с точностью

M_ij =

(43)

∂u_i∂u_j

до ортогонального преобразования), строки которой

нумеруют атомы, а столбцы нумеруют связи между

В такой записи видно, что квадратная динамичес-

атомами. При этом матрица

M (1) является квадрат-

кая матрица

M является симметричной матрицей:

ной, и число связей системы равно ее числу степеней

M_ij = M_ji. Важным симметрийным свойством си-

свободы N. В результате система, описываемая ди-

стемы является ее трансляционная инвариантность

намической матрицей

M (1)₍Mˆ (1)₎T , согласно прави-

относительно сдвига u → u+const. Это свойство на-

лу Максвелла [18] обладает нулевой макроскопиче-

кладывает ограничения на вид динамической мат-

ской жесткостью. Таким образом, среда становится

рицы в виде правила сумм:

∑

предельно мягкой, и в ней не могут распространять-

M_ij = M_ij = 0.

(44)

ся колебания с большой длиной свободного пробега.

Для нахождения

«магического» соотношения

между константами упругости κ_n, при котором вы-

Пусть динамическая матрица

M (1) описывает

полняется условие (47), воспользуемся представле-

взаимодействие только между ближайшими соседя-

нием (45):

ми, расположенными в узлах некоторой кристалли-

ческой решетки. Тогда она может быть представле-

M = α( D -

^B)(D -

^B)^T.

(48)

на в следующем виде:

M (1)= D- B.

(45)

Будем считать, что каждый атом в решетке связан

с одинаковым числом соседей D. В случае простой

Здесь матрица весов

D — диагональная матрица,

квадратной решетки D = 4, в случае простой тре-

элемент которой D_ii равен числу ближайших ато-

угольной решетки D = 6. Учитывая, что матрицы

мов, с которым взаимодействует атом i, т. е. числу

Dи

B являются симметричными, из сравнения (46)

атомов из первой координационной сферы. Симмет-

и (48) можно найти соотношение для определения

ричная матрица смежности

B устроена так, что ее

упругих констант k_n:

элемент B_ij равен 1 и отличен от нуля, только если

∑

M (1)-αMˆ (1) Q(1)_,

есть взаимодействие между атомами с номерами i и

κ_n

M (n)= 2αD

(49)

j. Из такого представления следует, что

n≥1

∑

D_ii =

B_ij,

где

Q⁽¹⁾ =

^D+

^B. Матрица

M (1) Q(1) описывает взаи-

модействие не соседних атомов i и j, а атомов, имею-

и, таким образом, обеспечивает выполнение условия

щих хотя бы одного общего соседа, т. е. соседей вто-

(44) для динамической матрицы:

рого порядка. Действительно, вклад в сумму

∑

M(1)ij = 0.

B_ikB_jk

Пусть динамическая матрица

M (n) описывает

будет отличен от нуля, только если атом с номером

взаимодействие с атомами из n-й координационной

k взаимодействует с атомами с номером i и с номе-

сферы. Тогда полная динамическая матрица, кото-

ром j. При этом матрица

M (1) Q(1)может описывать

рая описывает взаимодействие атома со всей решет-

взаимодействие атомов из нескольких координаци-

кой, представима в следующем виде:

онных сфер. В общем случае для описания взаимо-

∑

действия с соседями порядка m выбирается матрица

M = κ_nMˆ(n).

(46)

D^m -

B^m.

n≥1

В случае простой квадратной решетки

M (1) Q(1)

Константы κ_n представляют собой константы взаи-

описывает взаимодействие с атомами, лежащими во

модействия в соответствующих координационных

второй и третьей координационных сферах. При

сферах. При некотором соотношении между эти-

этом каждый атом имеет двух соседей второго по-

ми упругими константами κ_n полная динамическая

рядка из второй сферы и одного из третьей. В этом

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Дисперсия изгибных мод в мягких двумерных решетках

случае, как следует из (49), κ₁ = 2αD = 8α, κ₂ =

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

= -2α и κ₃ = -α, что в точности воспроизводит

«магический» набор силовых констант, удовлетво-

Мы предлагаем простую модель для изгибных

ряющий соотношению (14). Наличие отрицательных

мод в двумерной кристаллической решетке, позво-

связей в более дальнем взаимодействии и делает

ляющую получить наглядные аналитические фор-

среду достаточно мягкой для распространения в ней

мулы для дисперсионных соотношений без прове-

упругих колебаний. Для получения такой предельно

дения численных расчетов. В результате проведен-

мягкой среды можно пренебречь взаимодействием с

ного теоретического анализа фононных спектров в

другими координационными сферами с n ≥ 4.

простых двумерных кристаллических решетках был

выявлен ряд особенностей, которые позволили сде-

Для простой треугольной решетки матрица

лать выводы об условиях, при которых возможно

M (1) Q(1) включает в себя взаимодействие с ато-

распространение изгибных волн, для которых ха-

мами, лежащими в первой, во второй и в третьей

рактерен квадратичный закон дисперсии ω ∼ k².

координационных сферах. Как и в случае простой

Показано, что независимо от геометрии элементар-

квадратной решетки, каждый атом имеет двух со-

ной ячейки двумерной решетки, для смены ли-

седей второго порядка из второй сферы и одного из

нейной дисперсионной зависимости на квадратич-

третьей, но также и двух соседей второго порядка

ную необходимо учитывать взаимодействие каждо-

из первой координационной сферы. В результате

го атома не только с ближайшими соседями, но

получаем «магическое» соотношение

и с атомами из более удаленных координацион-

ных сфер. При этом оказалось, что при описа-

κ₁ = 2α(D - 1) = 10α, κ₂ = -2α, κ₃ = -α,

нии динамики решетки в рамках модели силовых

констант Борна - фон Кармана для возникновения

квадратичной дисперсионной зависимости необхо-

удовлетворяющее условию (35).

димо, чтобы эффективные упругие константы, со-

Таким образом, условие (47), которое обеспечи-

ответствующие разным координационным сферам,

вает воспроизведение квадрата закона дисперсии

имели разные знаки и были связаны между собой

первой координационной сферы во всем диапазоне

соотношением вида (18). Другими словами, физи-

значений волнового вектора, выполняется при един-

ческой причиной смены закона дисперсии с линей-

ственном наборе упругих констант, значения кото-

ного на квадратичный является полная компенса-

рых определяются геометрией решетки. При этом

ция положительных упругих констант отрицатель-

суммирование (46) осуществляется по всем коорди-

ными. В результате изгибный модуль упругости и

национным сферам, в которых присутствуют соседи

скорость звука в длинноволновом пределе обраща-

второго порядка. Интересно проверить полученные

ются в нуль. При этом в пределе малых k диспер-

результаты на примере сотовидной гексагональной

сионная зависимость не только приобретает квад-

решетки графена, элементарная ячейка которого, в

ратичный характер, но и становится практически

отличие от рассмотренных выше простых квадрат-

изотропной по отношению к направлению волно-

ной и треугольной решеток, содержит два атома [4].

вого вектора, в результате чего для описания про-

Каждый атом графена имеет D = 3 ближайших

цесса распространения изгибных волн в двумерной

соседей и один соседний узел второго порядка во

кристаллической решетке может быть использовано

второй координационной сфере. В этом случае мат-

волновое уравнение для тонких однородных макро-

рица

M (1) Q(1) описывает взаимодействие с атомами

скопических пластинок.

только из второй координационной сферы, что при-

Нами также показано, что для трех взаимодейст-

водит к «магическим» соотношениям κ₁ = 2αD =

вующих координационных сфер существует един-

= 6α, κ₂ = -α. Этот результат в точности совпа-

ственный «магический» набор силовых констант,

дает со значениями силовых констант, при которых,

при котором выражение, описывающее закон дис-

согласно [19, 20], происходит смена линейного зако-

персии, с точностью до численного множителя вос-

на дисперсии на квадратичный для изгибных волн в

производит квадрат дисперсионной зависимости,

кристаллической решетке графена. Таким образом,

полученной для первой сферы, во всем диапазоне

предлагаемый подход к анализу дисперсии изгиб-

изменения волновых векторов. При этом угловая за-

ных мод в двумерных решетках может быть при-

висимость ω(k) близкая к изотропной также сохра-

менен к системам любой геометрической конфигу-

няется практически для всех k. Таким образом, по-

рации, обладающим определенной симметрией.

является возможность путем подбора силовых конс-

А. Н. Ипатов, Д. А. Паршин, Д. А. Конюх

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

тант придать двумерной кристаллической решетке

Нanyu Zhu, Jun Yi, Ming-Yang Li et al., Science 359,

свойства подобные упругим свойствам тонкой мак-

579 (2018).

роскопической пластинки. Напротив, по мере удале-

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория упругости,

ния констант взаимодействия от «магических» зна-

Наука, Москва (1987).

чений даже при сохранении условия (18), обеспе-

чивающего квадратичный закон дисперсии, харак-

Л. А. Фальковский, ЖЭТФ 142, 560 (2012).

терный для изгибных мод, угловая зависимость ста-

L. A .Falkovsky, ЖЭТФ 132, 446 (2007).

новится все более анизотропной, причем для неко-

торых направлений распространение упругих волн

10.

L. A. Falkovsky, Phys. Lett. A 372, 5189 (2008).

становится невозможным.

11.

Е. С. Сыркин, С. Б. Феодосьев, К. В. Кравченко и

Таким образом, можно сделать вывод, что дис-

др., ФНТ 35, 208 (2008).

персионные характеристики двумерных кристалли-

ческих решеток, от которых, в частности, зависит их

12.

А. М. Косевич, Основы механики кристалличес-

теплопроводность, в значительной мере определя-

кой решетки, Наука, Москва (1972).

ются соотношением между силовыми константами,

13.

R. Saito, G. Dresselhaus, and M. S. Dresselhaus,

причем учет взаимодействия с атомами из несколь-

Physical and Chemical Properties of Carbon Nano-

ких координационных сфер может коренным обра-

tubes, Imperial Collelge Press, UK (2003).

зом менять свойства решетки по сравнению с при-

ближением, учитывающим вклад только от ближай-

14.

Г. Л .Беленький, Э. Ю. Салаев, Р. А. Сулейманов,

ших соседей.

УФН 155, 89 (1988).

15.

C. П. Никитенкова, А. И. Потапов, ВНТР 31, 25

ЛИТЕРАТУРА

(2010).

1. В. И. Балабанов, Нанотехнологии. Наука будуще-

16.

C. Qui, X. Zhang, and Z. Liu, Phys. Rev. B 71,

го, Эксмо, Москва (2009).

054302-1 (2005).

2. K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov et al.,

17.

В. Н. Богомолов, Л. С. Парфеньева, И. А. Смир-

Science 306, 666 (2004).

нов и др., ФТТ 44, 175 (2002).

3. K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V .Morozov et al.,

18.

J. C. Maxwell, Phil. Mag. 27, 294 (1865).

Nature 438, 197 (2005).

4. M. I. Katsnelson, Graphene: Carbon in Two Dimen-

19.

И. О. Райков, Д. А. Конюх, А. Н. Ипатов,

sions, Cambridge University Press, New York (2012).

Д. А. Паршин, ФТТ 11, 1866 (2020).

5. M. I. Katsnelson, The Physics of Graphene, Cam-

20.

А. Н. Ипатов, Д. А. Паршин, Д. А. Конюх, ЖЭТФ

bridge University Press, New York (2020).

160, вып. 4 (2021).