ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 1, стр. 137-148

ВОЛНОВЫЕ РЕЖИМЫ ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИИ ПРИ

ИНЖЕКЦИИ С КАТОДА И НАГРЕВЕ СВЕРХУ

Б. Л. Смородин^*

Пермский государственный национальный исследовательский университет

614990, Пермь, Россия

Поступила в редакцию 2 августа 2021 г.,

после переработки 31 августа 2021 г.

Принята к публикации 31 августа 2021 г.

Проведено численное моделирование двумерных волновых электроконвективных течений и переходных

процессов в слабопроводящей неизотермической жидкости, заполняющей плоский горизонтальный кон-

денсатор, возникающих за счет действия постоянного электрического поля на инжектированный с катода

заряд. Получены зависимости характеристик волновых течений (амплитуды функции тока, частоты коле-

баний в фиксированной точке конвективной ячейки, фазовой скорости волны) от интенсивности нагрева

и величины электрического поля. Построены бифуркационные диаграммы и карта устойчивых волновых

решений. Для переходного процесса от режима стоячих волн к режиму бегущих волн проанализированы

поведение траекторий на характеристической плоскости и эволюция пространственных гармоник.

DOI: 10.31857/S0044451022010126

того же знака, что и электрод. Генерируемые ионы

отталкиваются от заряженной тем же зарядом по-

верхности — заряд инжектируется в жидкость. Про-

1. ВВЕДЕНИЕ

водимость жидкости, приобретаемая благодаря по-

добному механизму, называется инжекционной. На-

Изотропные слабопроводящие жидкости [1] и

пример, возникновение заряда в области катода в

жидкие кристаллы [2, 3] демонстрируют разнооб-

рассматриваемом в данной статье случае характе-

разие нелинейных электроконвективных структур,

ризуется окислительно-восстановительной реакци-

возникающих в электрическом поле, что представ-

ей [8]:

ляет значительный интерес как с фундаменталь-

ной, так и с практической точек зрения. В изот-

M + (X⁺Y ^-) → M(e) + (XY ^-) → Y ^-free,

(1)

ропной слабопроводящей жидкости под действием

электрического поля может существовать электро-

где M — металлический электрод, отдающий ион-

конвекция вследствие действия различных механиз-

ной паре (X⁺Y^-) электрон e, Y^-free — инжектируе-

мов зарядообразования в ней: инжекционного, элек-

мая ионная компонента. Схема (1), в которой на ка-

тротермического, диэлектрофоретического и дру-

тоде образуется отрицательный заряд, представляет

гих [1, 4, 5]. Инжекционный механизм характери-

классический пример униполярной инжекции.

зуется образованием свободного заряда на границе

Возникновение конвективного течения слабопро-

электрод-жидкость в результате окислительно-вос-

водящей жидкости во внешнем электрическом поле

становительных электрохимических реакций [6, 7],

плоского конденсатора при инжекции заряда можно

благодаря которым в приграничных зонах генериру-

пояснить следующим образом. В прикатодном слое

ются заряды одного знака с зарядом электродов: от-

образуется отрицательный заряд, который благода-

рицательные на катоде или положительные на ано-

ря подвижности в электрическом поле проникает в

де. Нейтральная примесь у металлического электро-

жидкость. Сила Кулона, действуя на распределен-

да, содержащего либо недостаток электронов (анод),

ный в объеме заряд, генерирует электроконвектив-

либо их избыток (катод), отдает электрон (на аноде)

ное течение.

или захватывает его (на катоде), становясь ионом

Исследования поведения изотермической жид-

кости в постоянном электрическом поле показали,

^* E-mail: bsmorodin@yandex.ru

что в результате обратной бифуркации возникает

137

Б. Л. Смородин

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

стационарная электроконвекция [9-11]. В некотором

В данной работе проанализированы двумерные

интервале изменения электрического числа Рэлея,

режимы электроконвекции в горизонтальном кон-

зависящего от напряжения на электродах, имеется

денсаторе, заполненном слабопроводящей жидкос-

гистерезисный переход между двумя устойчивыми

тью, при инжекции заряда с катода и нагреве свер-

режимами: ионной проводимости (conductive state),

ху. Исследовано влияние внешнего электрического

когда жидкость находится в покое, и электроконвек-

поля и интенсивности нагрева на эволюцию элект-

тивного течения.

роконвективных колебательных течений (стоячих и

бегущих волн) в межэлектродном промежутке и пе-

Электроконвекция неизотермической жидкости

реходные процессы и даны ответы на поставлен-

демонстрирует большее разнообразие и открывает

ные выше вопросы. Получены бифуркационные диа-

дополнительные возможности благодаря взаимодей-

граммы и построена карта существования устойчи-

ствию кулоновских сил и сил плавучести. Естествен-

вых решений. Проанализирована эволюция полей

ным образом здесь возникает усиление [12, 13] или

функции тока, температуры и плотности заряда для

ослабление теплопередачи [14] при нагреве конвек-

режима модулированных бегущих волн.

тивных ячеек снизу за счет направления кулоновс-

кой силы при сильной инжекции заряда. Увеличе-

ние теплообмена в замкнутой области связывается

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

с увеличением числа конвективных ячеек с ростом

электрического числа Рэлея. В [15] рассмотрен на-

Рассмотрим находящийся в поле тяжести гори-

грев замкнутой полости сбоку (сила плавучести и

зонтальный конденсатор толщиной d и введем де-

кулоновские силы направлены ортогонально друг к

картову систему координат, ось x которой направ-

другу) и обнаружено, что среди различных течений

лена вдоль катода, а ось z — перпендикулярно ему

жидкости возможны хаотические.

вниз (рис. 1). К обкладкам конденсатора приложе-

Исследование нелинейной стадии электроконвек-

ны разность потенциалов V₀ и разность температур

ции при нагреве сверху, когда сила плавучести и си-

Θ. Конденсатор заполнен слабопроводящей жидкос-

ла Кулона противоположны друг другу [8], показы-

тью с плотностью ρ = ρ₀(1 - βθ), линейно завися-

вает, что нагрев слоя сверху препятствует возник-

щей от температуры (θ — отклонение температуры

новению стационарной конвекции (порог конвекции

от некоторого среднего значения), коэффициентом

повышается), а течение жидкости может возникать

теплового расширения β, вязкостью ν, температуро-

и колебательным образом: в результате прямой би-

проводностью χ, диэлектрической проницаемостью

фуркации Хопфа. В результате численного модели-

ε. Предполагается, что все характеристики жидкос-

рования в зависимости от параметров задачи об-

ти и коэффициент подвижности ионов K не зависят

наружены различные периодические колебательные

от величины электрического поля и температуры.

режимы: стоячей волны (SW), бегущей волны (TW),

Выбирая масштабы длины [x] = d, времени [t] =

модулированной бегущей волны (MTW), модулиро-

= d²/χ, давления [p] = ρ₀ν²/d², скорости [v] = ν/d,

ванной стоячей волны (MSW), которые могут быть

температуры [θ] = Θ, потенциала [Φ] = V₀, плотнос-

реализованы в горизонтальном слое или кольцевых

ти заряда [q] = ε₀εV₀/d² (ε₀ — электрическая посто-

каналах.

янная), запишем систему уравнений электроконвек-

ции в случае неизотермический несжимаемой жид-

Влияние интенсивности нагрева сверху (измене-

кости — уравнения переноса импульса, заряда, теп-

ние числа Рэлея) на эволюцию электроконвектив-

ла, уравнения неразрывности и Пуассона [8, 10, 17]:

ных режимов исследовано в [16] при фиксирован-

ном значении электроконвективного параметра T =

= 6820. Однако представленная в [16] бифуркаци-

онная диаграмма содержит неполную информацию

и требует уточнения и ответов на важные вопросы.

Что происходит с режимом бегущих волн при умень-

шении модуля числа Рэлея? Согласно результатам

линейной теории [8] при малых нагревах сверху ко-

лебательная неустойчивость уступает место моно-

тонной, и режим бегущих волн не должен существо-

вать. Когда и как разрушается этот режим и проис-

Рис. 1. Геометрия задачи

ходит переход к стационарной конвекции?

138

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Волновые режимы электроконвекции при инжекции. . .

3A(1 + 2Az)1/2

∂v

T²

E_z =

+ (v · ∇)v = -∇p + Δv +

θe -

q∇Φ, (2)

(1 + 2A)3/2 - 1

∂t

M²

∂θ

(1 + 2Az)3/2

+ (v · ∇)θ =

Δθ,

(3)

Φ₀ =

(8)

∂t

(1 + 2A)3/2 - 1

∂q

+ (v · ∇)q =

(q² - ∇Φ · ∇q),

(4)

3A²(1 + 2Az)-1/2

∂t

M²

q=-

(1 + 2A)3/2 - 1

∇ · v = 0,

(5)

При определенном наборе параметров задачи

ΔΦ = -q,

(6)

(T, Ra, Pr, M, A, k), где k — волновое число,

малые возмущения начинают возрастать монотон-

где v — скорость, p — давление, q — плотность заря-

ным или колебательным образом, и в результа-

да слабопроводящей жидкости, e — направленный

те эволюции возникают конечно-амплитудные элек-

вверх единичный вектор. На единичный объем жид-

троконвективные течения. Например, при нагре-

кости действуют сила Кулона и сила плавучести (2).

ве сверху электроконвекция может возникать ко-

Поток заряда в уравнении для его эволюции содер-

лебательным образом [8, 18], если электроконвек-

жит дрейф заряда в электрическом поле и конвек-

тивный параметр превышает некоторое критичес-

тивный перенос при движении жидкости (4). В слу-

кое значение T>T^linosc. В нашем случае оно будет

чае отсутствия проскальзывания на идеально теп-

зависеть от оставшихся управляющих параметров

лопроводящих электродах граничные условия запи-

T^linosc(Ra, M, Pr, A, k). При этом в горизонтальном

сываются в виде

слое или в кольцевых каналах могут установиться

∂Φ

режимы стоячих или бегущих волн.

z = 0 : v = 0, θ = 1, Φ = 0, q = -A

Численное моделирование двумерных волновых

∂z

(7)

z = 1 : v = 0, θ = 0, Φ = 1.

режимов электроконвекции проводилось с помощью

двухполевого метода (при решении уравнения На-

Рассматривается случай автономной инжекции с

вье - Стокса вместо переменных скорости v и дав-

ления p используются вихрь скорости ϕ и функция

катода, когда величина инжектируемого заряда про-

порциональна величине электрического поля [10,11],

тока ψ):

при этом инжекция предполагается слабой (A ≪ 1).

∂ψ

v_x = -

v_z =

ϕ = (rotv)_y.

(9)

Система уравнений (2)-(6) и граничных условий

∂z

∂x

(7) содержит число Рэлея Ra = gβΘd³/νχ и чис-

Благодаря малой инжекции (A ≪ 1) задача мо-

ло Прандтля Pr = ν/χ, безразмерный электрокон-

жет быть решена в безындукционном приближении

вективный параметр T = ε₀εV₀ρ₀/Kν, параметр по-

√

[8, 10, 11]: считается, что электрическое поле в слое

движности инжектируемых ионов M =

ε₀ε/K²ρ₀,

не зависит от конвективного переноса зарядов. Ре-

а также параметр A = ad/ε₀ε, характеризующий

зультаты решения задачи в безындукционном при-

степень инжекции заряда (здесь a — размерный

ближении и в полной постановке отличаются не бо-

коэффициент, определяющий инжекцию). Подвиж-

лее чем на 1 %. В безындукционном приближении

ность заряда M может изменяться в широких преде-

система уравнений электроконвекции неизотерми-

лах 4 < M < 120 [9] в зависимости от типа носителей

ческой слабопроводящей жидкости записывается в

и вида среды.

виде

В дальнейшем все расчеты проведены при ти-

пичных для слабопроводящих жидкостей значени-

∂ϕ

∂ϕ ∂ψ

ях параметров Pr = 10, M = 14.14 [7, 9, 11], A = 0.25

∂t

∂x ∂z

∂z ∂x

[8, 10].

T²

∂q

Ra ∂θ

= Δϕ -

M²

E_z ∂x-

Pr ∂x

∂θ

∂θ ∂ψ

(10)

Δθ,

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

∂t

∂x ∂z

∂z ∂x

(

)

ВОЛНОВЫХ РЕЖИМОВ

∂q

∂q ∂ψ

∂q

q²

+E_z

∂t

∂x ∂z

∂z ∂x

M²

∂z

Механическое равновесие жидкости (v = 0) ха-

Δψ = -ϕ.

рактеризуется линейным распределением темпера-

туры, θ₀ = 1 - z, и следующими распределениями

Граничные условия на горизонтальных границах (7)

электрического поля и заряда [10]:

примут вид

139

Б. Л. Смородин

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

∂ψ

∂Φ₀

z = 0 : ψ = 0,

= 0, θ = 1, q = -A

избежать указанных выше осложнений можно пред-

∂z

(11)

ложить реализацию волнового движения в кольце-

∂ψ

z = 1 : ψ = 0,

= 0, θ = 0.

вом канале длиной L = ml ≫ 1, где m — целое

∂z

(размерная длина L = ml ≫ d). Используя неболь-

Для численного моделирования режимов бегу-

шие надкритичности, например по параметру T, и

щих волн необходимо использовать также условие

подбирая L, легко добиться выполнения условия,

периодичности всех функций, описывающих состо-

когда волновые возмущения с пространственными

яние системы, вдоль горизонтальной оси x c перио-

периодами l₁, также удовлетворяющими условию

дом l = 2π/k:

L = m₁l₁, находятся в области устойчивости (лежат

ниже нейтральной кривой T(k)) [8].

F (x, z, t) = F (x + l, z, t),

(12)

Геометрия кольцевых каналов часто использу-

где F = (ψ, ϕ, θ, q).

ется для экспериментального исследования конвек-

Сформулированная выше задача об электрокон-

тивных бегущих волн, наблюдаемых в бинарных

векции неоднородно нагретой жидкости (10)-(12)

смесях спирт-вода [21,22], для которых можно про-

решалась с помощью метода конечных разностей

вести аналогию с электроконвекцией. Эти разные на

[19], реализация которого для изотермической зада-

первый взгляд системы имеют общие черты: 1) кро-

чи была предложена ранее в [10,11]. Явная схема ис-

ме конвективного переноса примеси (заряда) су-

пользовалась для аппроксимации уравнения эволю-

ществуют дополнительные механизмы транспорта:

ции вихря. Переключение расчетов со схемы диффе-

термодиффузия нейтральной примеси под действи-

ренцирования центральными разностями на схему с

ем градиента температуры (дрейф заряда в элек-

разностями «против потока» и обратно происходи-

трическом поле); 2) при определенных условиях

ло в зависимости от выполнения критерия устойчи-

конвекция возникает колебательным образом и в ре-

вости [10]. Уравнение Пуассона для функции тока

зультате эволюции формируется бегущая волна.

решалось методом последовательной верхней релак-

Несмотря на то, что геометрия кольцевых кана-

сации [19]. Для уравнений переноса тепла и заряда

лов является существенно трехмерной, в случае экс-

применялась явная схема с разностями «против по-

периментального исследования конвекции бинар-

тока».

ных смесей в кольцевых каналах большого радиуса

Численное моделирование проведено для случая

R ≫ d (длины L = 2πR ) и ширины b ≈ (1.3d-3d) [22]

периодических условий в ячейке длиной l = 2 (вол-

реализуются квазидвумерные режимы в виде валов,

новое число k = π), на сетке из 41 × 21 узлов. Даль-

ось которых перпендикулярна боковым границам.

нейшее увеличение числа узлов сетки не приводило

Полученные в ходе численного моделирования бе-

к заметному изменению результатов.

гущих волн в горизонтальном слое распределения

Отметим, что выбранное волновое число k = π

концентрации и связанные с ними теневые изобра-

соответствует точке, лежащей левее минимума

жения, а также бифуркационные диаграммы кон-

нейтральной кривой устойчивости. Например,

вективных решений [22,23] находятся в хорошем со-

при Ra = -1800 значения электроконвективного

ответствии с экспериментальными данными в коль-

параметра на нейтральной кривой, полученные из

цевых [22] и прямоугольных каналах [24]. В более

решения линейной задачи: T^linosc(k = π) = 7007.3 и

широких каналах (b > 3d) квазидвумерные валы

T^linosc(k = 2π) = 6790.9, поэтому в нашем численном

разрушаются в результате трехмерных неустойчи-

моделировании могут реализовываться решения

востей [20,25], в более узких (b < 1.3d) влияние боко-

в пространственным периодом l/2 даже вблизи

вых границ оказывается велико [26] и сильно отли-

границы устойчивости.

чается от предсказаний численного моделирования.

Известно, что в плоском слое жидкости наряду

Таким образом, в случае электроконвекции сла-

с решениями с периодом l могут также возникать

бопроводящей жидкости в геометрии кольцевых ка-

волны, имеющие другие периоды вдоль направле-

налов с большим отношением длины к высоте и ши-

ния распространения волны (неустойчивость Экха-

риной (1.3d-3d) следует ожидать, что в эксперимен-

уса). Кроме того, в слое благодаря нелинейной эво-

те в области небольших надкритичностей по элек-

люции могут возрастать и различные трехмерные

троконвективному параметру T будут наблюдаться

возмущения [20]. Эти явления способны существен-

моделируемые волновые движения.

но изменить наблюдаемую картину.

Эволюция осциллирующих электроконвектив-

Для возможной экспериментальной проверки на-

ных течений анализировалась на основе поведения

шего рассмотрения двумерных структур и с целью

локальных и интегральных величин, подобно тому

140

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Волновые режимы электроконвекции при инжекции. . .

как было использовано в работе [27]: максимального

Для описания возникающих в жидкости струк-

значения функции тока в конвективной ячейке

тур нашем случае достаточно информации о первой

ψ₁(t) и второй

ψ₂(t) модах разложения функции то-

ψ_max(t) = max ψ(x, z, t);

(13)

ка, вклад третьей гармоники

ψ₃(t) в общее реше-

x,z

ние мал (не превышает 1 %). Наш анализ показал,

минимального значения функции тока в конвектив-

что поведение гармоник температуры

n(t) и заря-

ной ячейке

да qˆ_n(t) качественно воспроизводит эволюцию про-

странственных гармоник функции тока.

ψ_min(t) = min ψ(x, z, t);

(14)

x,z

Схема расчетов для численного моделирова-

ния протестирована на результатах изотермической

функции тока в фиксированной точке слоя, напри-

электроконвекции (Ra = 0) [10], которая возникает

мер в нашем случае при x = l/4, z = 1/2,

в результате обратной бифуркации при T₁ = 6200 и

сосуществует с режимом механического равновесия

ψ_loc(t) = ψ(x₀ = l/4, z₀ = 1/2, t),

(15)

при уменьшении электрического параметра до T₂ =

= 1800. Полученные в нашем численном моделиро-

а также вида спектров Фурье A(ω) осцилляции

вании результаты T₁ = 6280 и T₂ = 1780 находятся

функции тока в фиксированной точке.

в хорошем соответствии с результатами работы [10].

Для характеристики установившихся и переход-

Еще один элемент тестирования связан со срав-

ных решений, у которых конвективные структуры

нением результатов линейной теории данных расче-

смещаются вдоль горизонтальной координаты, бу-

тов в полной нелинейной постановке. При наличии

дем также использовать фазовую скорость волны,

нагрева сверху (Ra < 0) критическое значение для

определяемую как производная от горизонтальной

колебательной моды неустойчивости, полученное в

координаты максимума функции тока в конвектив-

ходе наших расчетов T_osc, отличается от результа-

ной ячейке:

тов линейной теории T^linosc не более, чем на 3.5 %:

dx(ψ = ψ_max)

например, Ra = -1800, T_osc = 6778, T^linosc = 7007.3.

v_ph(t) =

(16)

Расчеты показали, что вертикальная координата

4. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ

этого максимума в режиме стоячих и бегущих волн

ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИИ

располагается на середине высоты конвективной

ячейки z(ψ = ψ_max) = 1/2.

Обсудим влияние нагрева сверху (изменение чис-

Кроме мгновенной фазовой скорости используем

ла Рэлея) на эволюцию электроконвективных вол-

также ее среднее значение:

новых режимов. В отличие от результатов [8,16] в

∫

ходе численного моделирования обнаружено два ти-

x(τ) - x(0)

па бегущих волн (TW, traveling wave), изображен-

〈v_ph〉 =

v_ph dt =

(17)

ных для примера в случае T = 6820, Ra = -1900 на

рис. 2. Изолинии вращающихся по часовой стрел-

где τ — достаточно большой интервал времени, по

ке вихрей (положительная функция тока, штрихо-

которому проводится усреднение (в нашем случае 30

вые линии), против часовой стрелки (отрицательная

и более периодов осцилляций бегущей волны TW).

функция тока, сплошные линии) совмещены с по-

Пространственно-временное распределение по-

лями температуры (верхний ряд) и плотности заря-

лей функции тока ψ, заряда q и температуры θ

да (нижний ряд). Несмотря на то, что оба решения

и разложение этих полей в ряды Фурье по про-

трансляционно-симметричны с пространственным

странственным гармоникам

ˆF

n(t) позволяет деталь-

периодом l, между ними имеется и различие, кото-

но охарактеризовать особенности различных тече-

рое связано с тем, что интенсивности вращения со-

ний жидкости. Ограничимся разложением искомых

седних вихрей в бегущей волне разные. В одном ре-

функций в ряды в горизонтальном направлении,

жиме (TW1, бегущей слева направо волны) враща-

в сечении, соответствующем середине высоты слоя

ющийся по часовой стрелке положительный вихрь

(z = 1/2):

имеет большую интенсивность, но меньший гори-

зонтальный размер, чем его сосед, ψ1max > |ψ1min|

∑

(рис. 2а), а в другом режиме (TW2, бегущей спра-

F (x, z = 1/2, t) =

F₀(t) +

n(t)e^iknx.

(18)

ва налево волны), наоборот, ψ2max < |ψ2min|, при-

n=1

141

Б. Л. Смородин

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Рис. 2. (В цвете онлайн) Бегущие волны. Изолинии функции тока и температуры (верхний ряд), функции тока и за-

ряда (нижний ряд): a) режим TW1, б) режим TW2. Штриховые линии — изолинии вращающихся по часовой стрелке

вихрей (положительная функция тока), сплошные линии — изолинии вихрей, вращающихся против часовой стрелки

(отрицательная функция тока). T = 6820, Ra = -1900, A = 0.25, M = 14.14, Pr = 10

чем ψ1max ≃ -ψ2min и ψ2max ≃ -ψ1min. Различие в

ний ω_TW (рис. 4а, бегущая волна, ω_TW ) и удвоенную

пространственной структуре бегущих в противопо-

гармонику 2ω_TW , либо дополнительно к ним часто-

ложных направлениях волн наблюдалось ранее для

ту ω₁ (рис. 4б, MTW — модулированная бегущая

случая электрокондуктивного [28] или диэлектро-

волна).

форетического [29] механизмов зарядообразования

Из бифуркационной диаграммы (рис. 3) вид-

в жидкости.

но, что уменьшение интенсивности нагрева (|Ra|)

Из рис. 2 видно, что конвективное движение

приводит к уменьшению максимального значения

сильно искажает изолинии температуры, в то время

функции тока и согласно (9) (v_z = ∂ψ/∂x ≃ kψ)

как отклонение заряда от равновесного значения (8)

максимального значения вертикальной скорости

мало и имеет наибольшее значение у анода (нижнего

электроконвекции, а следовательно, интенсивности

электрода).

конвективного перемешивания жидкости в волне.

Бифуркационные диаграммы режимов при T =

Основная частота колебаний ω_TW в фиксированной

= 6780 и T = 6820 представлены на рис. 3. Они со-

точке конвективной ячейки и фазовая скорость

держат зависимости максимального значения функ-

волны v_ph = ω_TW /k также убывают с уменьшением

ции тока ψ1max (сплошная линия), ψ2max (штриховая

интенсивности нагрева.

линия) бегущих волн (рис. 3a) и циклической часто-

При уменьшении степени нагрева

|Ra|

ты колебаний функции тока в фиксированной точке

< |Ra_MTW | = 925 на бифуркационной диаграмме

ячейки ψ_loc(t) (рис. 3б) от модуля числа Рэлея. Точ-

появляется новое решение (не обнаруженное в

ками на рис. 3a отмечены данные максимального

[16]): бегущая волна приобретает модуляцию по

значения функции тока для бегущих TW1 и стоячих

амплитуде ψ₁

< ψ_max(t) < ψ₂. При этом новая

волн, которые соответствуют значениям параметров

частота, связанная с модуляцией волны, возникает

(T = 6820, 1000 < |Ra| < 2500 [16]). Отметим, что

скачком ω₁ = 2.802 и характеризует квазипериоди-

ранее в [8,16] был обнаружен только один тип бегу-

ческие колебания решений в фиксированной точке

щих волн — TW1.

конвективной ячейки (отношение Q = ω₁/ω_TW не

Частоты (рис. 3б) определяются по спектрам Фу-

является рациональным числом). Минимальное ψ₁

рье (рис. 4), которые могут содержать либо ха-

и максимальное ψ₂ значения амплитуды бегущей

рактерную частоту электроконвективных колеба-

волны также представлены на рис. 3a. C умень-

142

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Волновые режимы электроконвекции при инжекции. . .

Рис. 4. Фурье-спектры колебаний функции тока в задан-

ной точке конвективной ячейки в режимах a) бегущей вол-

Рис. 3. (В цвете онлайн) Бифуркационные диаграммы ре-

ны (Ra = -950) и б) модулированной бегущей волны

жимов электроконвекции: зависимости а) максимального

(Ra = -800); T = 6820, A = 0.25, M = 14.14, Pr = 10.

значения функции тока, б) частоты колебаний функции

тока в фиксированной точке; T = 6820 (черные линии),

6780 (красные линии); Ra = -1900, A = 0.25, M = 14.14,

Pr = 10

шением модуля числа Рэлея степень модуляции

амплитуды постепенно возрастет, δ_A = ψ₂/ψ₁, а час-

тота бегущей волны ω_TW и частота ω₁ уменьшаются

(рис. 2б). При некотором критическом значении

числа Рэлея |Ra_SOC | ≈ 784 модулированная бегу-

щая волна теряет устойчивость, и после переходного

процесса устанавливается режим интенсивной ста-

ционарной конвекции (SOC, ψ_SOC

= 26). Этот

режим характеризуется зеркальной симметрией

между противоположно вращающимися валами

SOC [8, 16].

В модулированной волне (MTW) при |Ra|

< |Ra_MTW | (например, для T = 6820, |Ra| = 800,

рис. 5) периодически меняется не только амплиту-

да: значение ψ_max(t) изменяется в интервале (ψ₁, ψ₂)

(рис. 5а), но и фаза v1ph < v_ph < v2ph (рис. 5б). При

Рис. 5. Модулированная бегущая волна. Зависимости мак-

этом средняя фазовая скорость MTW во всем ин-

симального и минимального значений функции тока (a), а

тервале их существования удовлетворяет условию

также фазовой скорости волны (б) от времени: Ra = -800,

〈v_ph〉 ≃ ω_TW /k (например, T = 6820, Ra = -800,

T = 6820, A = 0.25, M = 14.14, Pr = 10

ω_TW = 4.33, k = π, ω₁ = 2.52, 〈v_ph〉 = 1.37), а

фазовая скорость на периоде модуляции меняется в

143

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Волновые режимы электроконвекции при инжекции. . .

Рис. 6. (В цвете онлайн) Модулированная бегущая волна.

Изолинии a) функции тока и температуры, б) функции то-

ка и заряда в различные моменты времени. Штриховые и

сплошные линии соответствуют положительным и отрица-

тельным значениям функции тока. Числа 1-6 соответству-

ют моментам времени, отмеченным на рис. 5. Ra = -800,

T = 6820, A = 0.25, M = 14.14, Pr = 10

v2ph/v1ph ≈ 2.3 раза. Частота модуляции ω_mod = 2π/T

— период модуляции) связана с частотами ко-

лебаний в спектре квазипериодических колебаний

(рис. 4) соотношением ω_mod = 2ω_TW - ω₁ и одина-

кова для изменения фазовой скорости v_ph(t), мак-

симального ψ_max(t) и минимального ψ_min(t) значе-

ний функции тока. Колебания максимального ψ_max

и минимального ψ_min значений функции тока сдви-

нуты по фазе. Интенсивности вращения соседних

вихрей в конвективной ячейке в режиме модулиро-

ванной бегущей волны различны, но в отличие от

бегущей волны изменяются на периоде модуляции.

Изолинии функции тока, температуры и плотно-

сти заряда модулированной бегущей волны (MTW)

в моменты времени t₁ = T /8, t₂ = 3T /8, t₃ = 4T /8,

t₄ = 5T /8, t₅ = 7T /8, t₆ = T при (|Ra| = 800, ω_mod =

= 6.123) представлены на рис. 6 (ряды, отмеченные

числами 1-6 соответствуют моментам времени t₁-t₆

на рис. 5).

Рис. 7. Переход от стоячей волны к бегущей. Поведение

Следует обратить внимание, что сверху находит-

координаты максимума на характеристической плоскости.

ся более нагретая (легкая) жидкость и течение обес-

Ra = -1888, T = 6820, A = 0.25, M = 14.14, Pr = 10

печивается силой Кулона, поднимающей более хо-

лодную (тяжелую) жидкость вверх (рис. 6а). Из ри-

сунков видно направление движения волны слева

направо. Общее свойство: конвективное движение

6T /8 практически совпадают. При t₂ < t < t₄ боль-

значительно искажает изолинии температуры (ве-

шую часть ячейки занимает вихрь, вращающийся

лико отклонение изолиний от горизонтального по-

по часовой стрелке.

ложения в равновесии), в то время как отклонение

При t₅, t₆ снова преобладает вихрь, направлен-

плотности заряда от равновесного распределения

ный против часовой стрелки. В эти моменты вре-

(8) мало. Конвективные валы, вращающиеся по и

мени нулевая изолиния (соответствующая средней

против часовой стрелки и смещающиеся вдоль гори-

температуре) имеет форму, близкую к трапеции.

зонтали, меняют не только свою интенсивность, но и

На бифуркационной диаграмме (рис. 3) при T =

размеры, что связано с генерацией второй простран-

= 6280 присутствует область чисел Рэлея 1900 <

ственной гармоники

ψ₂,θ2,

q₂ (18). Наличие высших

< |Ra| < 2400, в которой сосуществуют бегущие

пространственных гармоник

F₂ хорошо видно на

(TW) и стоячие (SW) волны. Эта область раньше

эволюции поля температуры (рис. 5а).

[8, 16] не была обнаружена. Отметим, что частота

В момент t₁

= T /8 фазовая скорость волны

стоячей волны ω_SW немного меньше частоты бегу-

немного превышает минимальную, интенсивность

щей ω_TW и практически не зависит от числа Рэлея

электроконвекции большая, горизонтальный размер

(крестики на рис. 3б). В стоячей волне выполняется

вихря, вращающегося против часовой стрелки, пре-

условие ψ_max(t) = |ψ_min(t)|.

вышает размер соседнего. В ходе эволюции размеры

Обсудим переходный процесс от стоячей волны к

соседних противоположно вращающихся вихрей ос-

бегущей, отраженный для примера на рис. 7, 8 при

циллируют в противофазе и в моменты t = 3T /8 и

|Ra| = 1888. Изменение пространственного положе-

145

ЖЭТФ, вып. 1

Б. Л. Смородин

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Рис. 8. (В цвете онлайн) Переход от стоячей волны к бе-

гущей. Эволюция a) максимальной функции тока, б) пер-

вой и в) второй пространственных гармоник функции тока.

Ra = -1888, T = 6820, A = 0.25, M = 14.14, Pr = 10

ния максимума функции тока на начальном интер-

вале перехода представлено на характеристической

плоскости (рис. 7, 0 < t < 26.5, красные круги).

На первом временном интервале t < 1.88 положе-

ние максимума функции тока осциллирует в интер-

валах координат 0.5 < x < 0.75 и 1.5 < x < 1.75,

оставляя на характеристической плоскости следы в

виде «подков». Нижние границы этих интервалов

(x = 0.5 и x = 1.5) соответствуют положениям экс-

тремумов первой пространственной гармоники, а са-

ми осцилляции связаны с изменениями амплитуды

второй гармоники. Через половину периода по вре-

мени происходит переключение: положение макси-

мума сдвигается на половину длины ячейки ±l/2.

В интервале 1.88 < t < 25 характер волны из-

меняется. Несмотря на то, что горизонтальное дви-

жение структуры существует по-прежнему только

в части конвективной ячейки, интервал координат

x, при котором существует возвратное движение,

уменьшается.

При t = 25.16 возникает сквозное движение кон-

вективных валов через слой. Из рис. 7 видно, что

формирующаяся бегущая волна движется справа

налево (решение TW2) и модулирована по фазе: фа-

зовая скорость волны равна обратному тангенсу на-

клона к графику t(x).

Полностью переход от стоячей волны к бегу-

щей при Ra = -1888 представлен на рис. 8 (0 <

< t < 87.5), где изображены эволюция максималь-

ной функции тока (рис. 8а), а также траектории

на плоскостях Reψ1-Imψ1 (рис. 8б) и Reψ2-Imψ2

(рис. 8в), отражающие эволюцию первой и вто-

рой пространственных гармоник функции тока. При

этом на всех частях рисунка использована одина-

ковая цветовая кодировка: красные линии соответ-

ствуют интервалам времени Δt₁ (0 < t < 26.5),

черные — Δt₂ (26.5 < t < 78.32), фиолетовые —

Δt₃ (78.32 < t < 87.5). В результате представлен-

ного на рис. 8 процесса формируется бегущая волна

TW2 (рис. 3) с ψ2max = 0.750. Вклад второй гар-

моники (рис. 8в) на порядок меньше вклада первой

(рис. 8б). Первый этап Δt₁ соответствует переходу

от стоячей волны к модулированной бегущей, кото-

рый был обсужден выше (рис. 7). На втором этапе

Δt₂ модуляция фазовой скорости значительно изме-

няется, уменьшаясь по амплитуде. При дальнейшей

146

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

Волновые режимы электроконвекции при инжекции. . .

сти устойчивыми могут быть различные решения.

Нижняя (черная) граница отделяет область поко-

ящейся жидкости (conductive state) от установив-

шихся волновых режимов. При фиксированном чис-

ле Рэлея и увеличении электроконвективного пара-

метра T выше этой границы начинают возрастать

колебательные возмущения и формируется стоячая

электроконвективая волна (SW), которая с ростом

параметра T разрушается с формированием бегу-

щей волны (TW). Устойчивые стоячие волны отме-

чены зелеными крестиками. В стоячей волне энер-

гия перетекает между первой и второй простран-

ственными гармониками, как это было проанализи-

ровано выше. Дальнейший рост параметра T приво-

дит к появлению относительно узкой зоны модуля-

ции бегущей волны (MTW) по амплитуде и по фазе,

а затем к разрушению волнового режима и переходу

к режиму стационарной конвекции (SOC). С ростом

интенсивности нагрева сверху |Ra| порог устойчиво-

повышается, а область существования вол-

сти T_osc

Рис. 9. (В цвете онлайн) Карта волновых режимов на плос-

новых режимов расширяется.

кости (Ra, T). A = 0.25, M = 14.14, Pr = 10. TW — бегу-

щая волна, SW — стоячая волна, MTW — модулированная

бегущая волна, SOC — стационарная конвекция

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучена эволюция двумерных волновых режи-

эволюции волны Δt₃ амплитуда модуляции фазовой

мов конвекции (бегущих и модулированных бегу-

скорости убывает до нуля и при t = 78.32 возника-

щих волн), возникающих в конденсаторе, заполнен-

ет бегущая с постоянными скоростью и амплитудой

ном нагреваемой сверху слабопроводящей жидко-

волна.

стью при инжекции заряда с катода. Для различ-

ных значений электроконвективного параметра T,

На рис. 8 эту волну отображают фиолетовые

окружности, причем вклад второй гармоники |ψ2| =

характеризующего влияние электрического поля на

= 0.059 составляет 13 % от вклада первой гармони-

заряженную жидкость, построены бифуркационные

ки и |ψ1| = 0.792. Вклад третьей гармоники, как

диаграммы. Показано, что уменьшение интенсивно-

отмечалось ранее, пренебрежимо мал, |ψ3| = 0.0016.

сти нагрева приводит к уменьшению как максималь-

Аналогичное поведение демонстрируют гармоники

ного значения функции тока, а следовательно, ин-

температуры и заряда.

тенсивности конвективного перемешивания жидкос-

ти в волне, так и основной частоты колебаний, а

При значении электрического параметра T =

следовательно, и фазовой скорости горизонтального

6780

бифуркационная диаграмма меняется

движения волны. При некотором критическом зна-

(рис.

3), режим модулированных бегущих волн

чении числа Рэлея Ra_MTW = f(T) происходит пе-

отсутствует, а переход к стационарной конвекции

реход к модулированной бегущей волне, а затем при

(SOC) происходит от режима бегущих волн (TW)

|Ra_SOC | < |Ra_MTW | еще один переход к режиму ста-

при |Ra_SOC | ≈ 337. Отметим, что различие между

ционарной конвекции (SOC). Обнаружена область

двумя режимами бегущих волн TW1 и TW2 по-

сосуществования режимов бегущих и стоячих волн.

прежнему существует, но в пределах графика этого

На основе изучения положения координаты макси-

не заметно. Частота бегущей волны уменьшается с

мальной функции тока на характеристической плос-

уменьшением интенсивности нагрева (рис. 3б).

кости и поведения пространственных гармоник про-

анализирован режим разрушения стоячей волны и

Итоговая карта различных волновых режимов

переход к режиму бегущей волны. Получена карта

представлена на плоскости (Ra, T), см. рис. 9. В за-

волновых режимов электроконвекции.

висимости от расположения точки на этой плоско-

147

10*

Б. Л. Смородин

ЖЭТФ, том 161, вып. 1, 2022

ЛИТЕРАТУРА

15.

R. D. Selvakumar, J. Wu, J. Huang, and P. Traoré,

Int. J. Heat Fluid Flow 89, 108787 (2021).

Г. А. Остроумов, Взаимодействие электричес-

ких и электрогидродинамических полей, Наука,

16.

В. А. Ильин, В. Н. Александрова, ЖЭТФ 157, 349

Москва (1979).

(2020).

M. C. Cross and P. C. Hohenberg, Rev. Mod. Phys.

17.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика,

65, 851 (1993).

Наука, Москва (1986).

Pattern Formation in Liquid Crystals, ed. by A. Buka

18.

Б. Л. Смородин, А. В. Тараут, Изв. РАН, сер. Ме-

and L. Kramer, Springer, New York (1995).

ханика жидкости и газа 1, 3 (2010).

M. J. Gross and J. E. Porter, Nature 212, 1343

19.

Е. Л. Тарунин, Вычислительный эксперимент в

(1966).

задачах свободной конвекции, Изд-во Иркут. унив.,

Иркутск (1990).

М. К. Болога, Ф. П. Гросу, И. А. Кожухарь, Элек-

троконвекция и теплообмен, Штиинца, Кишинев

20.

F. H. Busse, in Hydrodynamic Instabilities and the

(1977).

Transition to Turbulence. Topics in Applied Physics,

ed. by H. L. Swinney and J. P. Gollub, Vol. 45, Sprin-

Ю. К. Стишков, А. А. Остапенко, Электрогидро-

ger, Berlin, Heidelberg (1981).

динамические течения в жидких диэлектриках,

Изд-во Ленингр. унив., Ленинград (1989).

21.

J. Niemela, G. Ahlers, and D. Cannel, Phys. Rev.

Lett. 64, 1365 (1990).

F. Pontiga and A. Castellanos, Phys. Fluids 6, 1684

(1994).

22.

K. D. Eaton, D. R. Ohlsen, S. Y. Yamamoto,

C. M. Surko, W. Barten, M. Lücke, M. Kamps, and

А. Н. Мордвинов, Б. Л. Смородин, ЖЭТФ 141,

P. Kolodner, Phys. Rev. A 43, 7105 (1991).

997 (2012).

23.

W. Barten, M. Lücke, M. Kamps, and R. Schmitz,

J. C. Lacroix, P. Atten, and E. J. Hopfinger, J. Fluid

Phys. Rev. E 51, 5636 (1995).

Mech. 69, 539 (1975).

24.

B. L. Winkler and P. Kolodner, J. Fluid Mech. 240,

10.

А. Н. Верещага, Е. Л. Тарунин, в сб. Численное и

31 (1992).

экспериментальное моделирование гидродинами-

ческих явлений в невесомости, УрО АН СССР,

25.

P. Kolodner, C. M. Surko, and H. Williams, Physica

Свердловск, с. 93 (1988).

D 37, 319 (1989).

11.

А. Н. Верещага, в сб. Гидродинамика и процессы

26.

M. Liu and J. R. de Bruyn, Can. J. Phys. 70, 689

тепломассопереноса, УрО АН СССР, Свердловск,

(1992).

с. 42 (1989).

27.

Б. Л. Смородин, А. В. Тараут, ЖЭТФ 145, 180

12.

Ph. Traore, A. T. Perez, D. Koulova, and H. J. Ro-

(2014).

mat, J. Fluid Mech. 658, 279 (2010).

28.

В. А. Ильин, Б. Л. Смородин, Прикл. мех. технич.

13.

J. Wu and P. Traore, Numer. Heat Transfer A Appl.

физ. 49(3), 20 (2008).

68(5), 471 (2015).

29.

E. B. Barry, H. N. Yoshikawa, M. T. Fogaing,

14.

T. F. Li, K. Luo, and H. L. Yi, Phys. Fluids 31,

C. Kang, and I. Mutabazi, Micrograv. Sci. Technol.

064106 (2019).

33, 162021 (2021).

148