ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 2, стр. 155-165

ГЕНЕРАЦИЯ ВЫСШИХ ГАРМОНИК В ТРЕУГОЛЬНЫХ

КВАНТОВЫХ ГРАФЕНОВЫХ ТОЧКАХ

Б. Р. Авчян, А. Г. Казарян^*, К. А. Саргсян, Х. В. Седракян

Центр физики сильных полей, Ереванский государственный университет

0025, Ереван, Армения

Поступила в редакцию 26 августа 2021 г.,

после переработки 9 октября 2021 г.

Принята к публикации 11 октября 2021 г.

Генерация высших гармоник в плоских квантовых графеновых точках, инициированная интенсивным ко-

герентным излучением, исследована с помощью динамической теории усредненного поля Хартри - Фока.

Развита микроскопическая теория, описывающая экстремальный нелинейно-оптический отклик плоских

квантовых графеновых точек. Численно решена замкнутая система дифференциальных уравнений для

одночастичной матрицы плотности при многофотонном взаимодействии графеновых квантовых точек и

сильного лазерного поля. Полученные решения указывают на важность типа ребер и поперечного раз-

мера, а также значимость ширины запрещенной зоны и величины лазерного поля в процессе генерации

высших гармоник в треугольной квантовой графеновой точке.

DOI: 10.31857/S0044451022020018

ский графен конечных размеров становится полу-

проводником. Среди углеродных наноструктур осо-

бый интерес как нелинейная среда представляют

1. ВВЕДЕНИЕ

графеновые ленты (наноленты) [33,34], графено-по-

добные квантовые точки, такие как замкнуто-вы-

В последнее десятилетие растет интерес к рас-

пуклые фуллерены различной базовой симметрии

пространению генерации высших гармоник (ГВГ)

[21, 22] и графеновые квантовые точки (ГКТ) раз-

на двумерные кристаллы и наноструктуры, такие

личного латерального размера. Графеновую нано-

как полуметаллический графен [1] и полупровод-

структуру можно охарактеризовать по тому, сохра-

никовые дихалькогениды переходных металлов [2].

няется ли симметрия подрешетки. ГКТ имеет энер-

Роль графена как эффективного нелинейно-опти-

гетическую щель, которой можно управлять с помо-

ческого материала обсуждалась во многих теорети-

щью ее поперечного размера, формы и типа кромки

ческих [3-22], а также экспериментальных [23, 24]

[33, 35]. Для ГКТ возможны два типа ребер: «крес-

исследованиях, которые рассматривают различные

ло» и «зигзаг», а наличие или отсутствие симмет-

экстремальные нелинейные оптические эффекты, в

рии подрешетки играет важную роль в определе-

частности ГВГ, происходящие в сильных когерент-

нии электронных свойств графеновых нанострук-

ных полях излучения в многофотонном режиме при

тур [33]. Поведение ГКТ количественно различно

возбуждении таких наноструктур [25, 26]. С дру-

для структур с зигзагообразными и креслообразы-

гой стороны, помимо замечательных и уникальных

ми краями, что связано с краевыми состояниями,

электронных и оптических свойств графена, отсут-

присутствующими в системах с зигзагообразными

ствие запрещенной зоны, как у всех полуметаллов,

краями [36]. Итак, представляет интерес исследо-

сильно ограничивает его применимость, в отличие,

вать процесс ГВГ в ГКТ с разными ребрами. Та-

например, от двухслойного графена [27-32].

кая наноструктура демонстрирует оптические свой-

Проблема нулевой энергетической щели была ре-

ства, принципиально отличные от свойств графена

шена путем уменьшения поперечного размера гра-

[37-39]. В то же время носители в ГКТ обладают

фена [33]. В результате размерного квантования

не менее выдающимися транспортными свойствами,

открывается энергетическая щель. Полуметалличе-

чем графен [3].

^* E-mail: amarkos@ysu.am

155

Б. Р. Авчян, А. Г. Казарян, К. А. Саргсян, Х. В. Седракян

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Важным преимуществом ГКТ перед графеновы-

мера, ограничиваясь матричными элементами тун-

ми нанолентами [40] является ограничение квази-

нелирования между атомами внутри ГКТ. Полный

частиц в пространстве. Последнее может иметь

гамильтониан имеет вид

решающее значение для эффективности ГВГ, по-

H₌ H₀ +

H_int.

(1)

скольку ограничение предотвращает распростране-

ние электронного волнового пакета в одном допол-

Здесь

нительном измерении и, следовательно, может уве-

∑

личить выход ГВГ [41].

H₀ = -

t_ijc^†iσc_jσ +

В настоящей работе исследуется ГВГ в треуголь-

〈i,j〉σ

ной ГКТ, вызванная интенсивным когерентным из-

(

U^∑

n_i )(

n_i )

c^†iσc_iσ -

(2)

лучением. Замкнутая система дифференциальных

iσ

уравнений для одночастичной матрицы плотности

при многофотонном взаимодействии ГКТ и сильно-

— свободный гамильтониан ГКТ для модели СС,

†

го лазерного поля решается численно в рамках мик-

— оператор рождения электрона с поляризацией

iσ

роскопической теории, описывающей экстремаль-

спина σ в узле i, а 〈i, j〉 указывает на суммирование

ный нелинейно-оптический отклик ГКТ. Кулоновс-

по ближайшим соседним узлам с переданной энер-

кое электрон-электронное взаимодействие (ЭЭВ)

гией t_ij , U — энергия ЭЭВ, n_i — полная электронная

рассматривается в приближении Хаббарда. Энерге-

плотность для узла i.

тическая щель ГКТ контролируется ее поперечным

Гамильтониан СС описывает системы конечного

размером, формой и типом кромки. Полученные ре-

размера, ограничивая матричные элементы t_ij тун-

шения указывают на значимость латерального раз-

нелирования между атомами внутри квантовой точ-

мера для процесса ГВГ в треугольных ГКТ с крес-

ки. Ненулевые матричные элементы гамильтониа-

лообразым и зигзагообразным краями. Таким об-

на СС, заданные первым членом в выражении (2),

разом, мы теоретически исследовали влияние кван-

соответствуют матричному элементу туннелирова-

тового ограничения на ГВГ в ГКТ путем система-

ния t_ij между энергетическими состояниями в со-

тического изменения латерального размера модель-

седних узлах. Второй член в (2) представляет собой

ной точки. Обратите внимание, что рассматривае-

гамильтониан кулоновского ЭЭВ (Hee) в приближе-

мые квантовые точки экспериментально [33] доступ-

нии Хаббарда, где игнорируются все элементы мат-

ны.

рицы кулоновского рассеяния, за исключением чле-

Работа организована следующим образом. В

нов локального взаимодействия (порядка U) между

разд. 2 представлена система уравнений для од-

электронами со спином вверх и вниз, занимающи-

ночастичной матрицы плотности. В разд.

мы

ми одну и ту же позицию i (величина σ противопо-

рассматриваем многофотонное возбуждение и гене-

ложна по поляризации спину σ). Операторы c^†iσ , c_iσ

рацию гармоник в треугольной ГКТ с различными

удовлетворяют правилам антикоммутации

типами краев и с разными поперечными размерами.

{c_iσc_jσ} = {c^†iσc^†jσ} = 0,

{c_iσ′ c^†jσ} = δ_ijδ_σσ′ ,

Наконец, заключение приведено в разд. 4.

которые гарантируют антисимметрию многочастич-

ных состояний.

2. ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

Мы предполагаем, что до взаимодействия

УСРЕДНЕННОГО ПОЛЯ ХАРТРИ - ФОКА

c^†iσc_iσ

= n_i. В расчетах взаимодействие между

ДЛЯ ГЕНЕРАЦИИ ВЫСШИХ ГАРМОНИК

В ГКТ

светом и материей описывается в калибровке длины

через скалярный потенциал

Предположим расположенную в плоскости xy

∑

плоскую ГКТ, ограниченную по осям x и y, кото-

H_int = e

r_i · E (t)c^†iσc_iσ

рая взаимодействует с плоской квазимонохромати-

iσ

ческой электромагнитной (ЭМ) волной. Будем счи-

с элементарным зарядом e, радиус-вектором r_i и

тать, что ЭМ-волна распространяется перпендику-

напряженностью электрического поля E (t). В га-

лярно плоскости xy. Мы считаем ГКТ нейтральны-

мильтониане мы пренебрегаем колебаниями решет-

ми. Они будут описаны с использованием эмпири-

ки. Интеграл перехода t_ij между ближайшими со-

ческой модели сильной связи (СС) [42], применение

седними атомами ГКТ может быть определен экспе-

которой к ГКТ обсуждалось в работе [33]. Гамильто-

риментально и равен t_ij = 2.7 эВ [3]. Принимается,

ниан СС может описывать системы конечного раз-

что поле волны есть

156

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Генерация высших гармоник. . .

E_x (t) = f (t)E₀ cosωt cosθ,

Ферми (см. также работу [33]). Квантовая динами-

(3)

E_y (t) = f (t)E₀ cosωt sinθ

ка сильного поля периодически возбуждаемой ГКТ

регулируется замкнутой системой дифференциаль-

с частотой ω, огибающей импульса f (t)

ных уравнений (5), которая должна быть решена с

= sin² (πt/T ), углом θ между напряженностью

соответствующими начальными условиями. Постро-

электрического поля волны осью x. Длительность

им исходную матрицу плотности ρ(σ)0ij через запол-

импульса T равна 20 периодам волны: T = 40π/ω.

нение электронных состояний в валентной зоне со-

Из уравнения Гейзенберга

гласно распределению Ферми - Дирака. Поскольку

[

]

запрещенная зона достаточно велика, мы предпола-

∂L

iℏ

гаем, что распределение Ферми - Дирака при нуле-

∂t

вой температуре имеет вид

можно получить эволюционные уравнения для од-

ночастичной матрицы плотности ρ(σ)ij = c†jσciσ

∑

Кроме того, мы примем, что система релаксирует с

ρ(σ)0ij =

ψ^∗μ (j)ψ_μ (i).

μ=N/2

вероятностью γ к равновесному распределению ρ(σ)0ij.

Чтобы получить замкнутую систему уравнений для

одночастичной матрицы плотности ρ(σ)ij = c^†jσciσ ,

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

ЭЭВ будет рассматриваться в приближении Харт-

ЭФФЕКТИВНОСТИ ГВГ В

ри - Фока:

ТРЕУГОЛЬНЫХ ГКТ

(

U^∑

n_i )(

n_i )

HHF

≃

c^†iσc_iσ

c^†iσc_iσ -

(4)

Спектр ГВГ вычисляется с помощью преобра-

iσ

зования Фурье a (Ω) дипольного ускорения a (t) =

Таким образом, получаем следующее уравнение для

= d²d/dt². Дипольный момент определяется как

∑

матрицы плотности:

d(t) =

r_ic^†iσc_iσ

. Для точности мы нормируем

iσ

(σ)

ускорение диполя на коэффициент a₀ = ω²d, где ω =

(

)

∂ρ

∑

iℏ

t_kjρ(σ)ik - t_ikρ(σ)

= 1 эВ /ℏ и d = 1 Å. Мощность, излучаемая на дан-

∂t

ной частоте, пропорциональна |a(Ω)|². Чтобы про-

(

)

яснить основные аспекты ГВГ в треугольной ГКТ,

+U ρ(σ)ii -ρ(σ)

ρ(σ)ij + eE (t) · (r_i - r_j)ρ(σ)ij -

мы предполагаем, что частота возбуждающей вол-

(

)

- iℏγ ρ(σ)ij - ρ(σ)

(5)

ны накачки равна ω = 0.1 эВ/ℏ, что намного меньше

0ij

типичного зазора U ≃ 3 эВ. Вероятность релаксации

Мы численно диагонализуем гамильтониан силь-

равна ℏγ = 50 мэВ для всех численных расчетов. В

ной связи

H₀. Для статической системы гамильто-

большинстве расчетов предполагается, что волна (3)

HHF

ниан Хартри - Фока обращается в нуль,

≃ 0.

линейно поляризована вдоль оси x (θ = 0). Ось x на-

Следует отметить, что ЭЭВ в пределе Хартри - Фо-

ходится в плоскости рис. 1, 2 и направлена горизон-

ка входит в эмпирический интеграл перехода меж-

тально вправо. Взаимодействие волна-частица бу-

ду ближайшими соседними атомами, t_ij, который

дет характеризоваться работой электрического по-

выбирается близким к экспериментальным значе-

ля волны на отрезке между ближайшими атомами

ниям. Итак, локальное ЭЭВ в приближении Харт-

углерода: W =eE₀a. Нелинейные и многофотонные

ри - Фока актуально в квантовой динамике, иници-

эффекты имеют место, когда величина W становит-

ированной полем лазера накачки и, как мы увидим

ся сравнима или больше, чем энергия фотона ℏω.

ниже, значительно изменяет спектр ГВГ. С помо-

В нашей модели гексагональные двумерные нано-

щью численной диагонализации мы находим соб-

структуры формируются из π-орбиталей атомов уг-

ственные состояния ψ_μ (i) и собственные энергии ε_μ

лерода. В результате мы пренебрегаем переходами

(μ = 0, 1, . . . , N - 1). Результаты численной диаго-

на σ и между орбиталями π-σ. Эти орбитали отде-

нализации показаны ниже на рис. 3, 4. Без туннели-

лены от σ-орбитали большой энергетической щелью

рования все уровни энергии были вырожденными.

(порядка 10 эВ) в несколько t [43]. Следовательно,

Мы видим, что туннелирование сняло вырождение

мы будем рассматривать умеренно сильные волны

и привело к образованию зоны валентных состоя-

накачки: ℏω ≪ W < t. Для более сильных полей

ний ниже уровня Ферми, ε_μ = 0, зоны состояний

обязательно нужно учитывать другие орбитали ато-

проводимости над уровнем Ферми и щель на уровне

ма.

157

Б. Р. Авчян, А. Г. Казарян, К. А. Саргсян, Х. В. Седракян

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Рис. 1. Схема решетки треугольной ГКТ с зигзагообразными ребрами с N = 61 (а), 78 (б), 97 (в), 118 (г) атомами.

Расстояние между ближайшими соседними атомами равно a ≃ 1.42Å

Рис. 2. То же, что и на рис. 1, но для треугольной ГКТ с креслообразными краями. Число атомов N = 60 (а), 90 (б),

126 (в), 168 (г)

На рис. 1, 2 схематически изображена решетка

зигзагообразных краев, особенно для больших N. В

графена, а на рис. 3, 4 показаны энергетические

обоих случаях спектры ГВГ имеют структуру мно-

спектры СС в окрестности уровня Ферми, ε_μ = 0,

гоступенчатых плато, что связано с возбуждениями

для треугольных ГКТ с зигзагообразными и крес-

собственных энергетических состояний между неза-

лообразными краями при разном числе атомов уг-

нятыми энергетическими уровнями и занятым уров-

лерода. На рис. 1-4 видно, что с увеличением числа

нем [33]. ГКТ с креслообразными краями имеет осе-

атомов решетки плотность собственных энергетиче-

вую симметрию (см. рис. 2), и, в частности, в этом

ских состояний увеличивается. Как будет видно поз-

случае |a_y| = 0 (поэтому на рис. 5 кривая |a_y| от-

же, это увеличит вероятность многофотонного ГВГ.

сутствует), в то время как в случае зигзагообраз-

ных ребер обе компоненты, |a_x| и |a_y|, существенны

Чтобы сравнить спектры излучения ГВГ в тре-

(рис. 5). Кроме того, в спектре ГВГ в ГКТ с кресло-

угольных ГКТ с разными краями и разным числом

образными краями видны только нечетные гармо-

атомов решетки, на рис. 5, 6 приведены все резуль-

ники, как в обычном графене [1]. Однако для зиг-

таты для спектров, нормированных на число атомов

загообразных краев из-за отсутствия инверсионной

N. На рис. 5 для компонент |аx (Ω)| и |a_y (Ω)| берет-

симметрии в спектре излучения ГВГ присутствуют

ся сильная ЭМ-волна с амплитудой E₀ = 0.3 В/Å и

и нечетные, и четные гармоники. Чтобы это пока-

энергией ЭЭВ U ≃ 3 эВ. Как показано на рис. 5,

зать наглядно, на рис. 6 отдельно приведены резуль-

в сильном лазерном поле существенны многофотон-

таты для ГВГ для первых тридцати гармоник при

ные гармоники, а выходы ГВГ для ГКТ одинако-

приблизительно одинаковом числе (N ≃ 60) атомов

во существенны как для креслообразных, так и для

треугольной ГКТ с разными краями.

158

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Генерация высших гармоник. . .

Рис. 3. Собственные энергии в треугольной ГКТ с зигзагообразными ребрами с числом атомов N = 61 (а), 78 (б), 97 (в),

118 (г)

Далее мы рассматриваем спектры ГВГ в зависи-

чинает резко убывать, линейно возрастает с уве-

мости от интенсивности волны накачки. На рис. 7

личением напряженности поля. Затем, по достиже-

представлены спектры ГВГ в зависимости от ам-

нии гармоники отсечки n_cut, соответствующей пе-

плитуды ЭМ-поля и номеров гармоник при фик-

реходу из самого низкого занятого энергетическо-

сированной энергии ЭЭВ U ≃ 3 эВ. Для сравне-

го уровня на самый высокий незанятый энергетиче-

ния мы исследуем ГКТ с приблизительно одинако-

ский уровень, скорость ГВГ насыщается (ступенча-

вым числом атомов углерода, но с разными края-

тая огибающая желтого цвета). Место отсечки гар-

ми: креслообразными и зигзагообразными. Как по-

моник видно на рис. 5: n_cut ≃ 160. Отметим, что

казано на рис. 7, вероятность ГВГ возрастает с уве-

линейная зависимость гармоник отсечки от напря-

личением числа атомов N и с появлением новых

женности поля присуща ГВГ на дискретных уров-

энергетических состояний (также см. рис. 1-4). Но-

нях или кристаллам с линейной дисперсией энергии.

мер места отсечки гармоник, когда зависимость на-

Как и в случае атомов, для ГКТ при фиксирован-

159

Б. Р. Авчян, А. Г. Казарян, К. А. Саргсян, Х. В. Седракян

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Рис. 4. То же, что и на рис. 3, но для треугольной ГКТ с креслообразными краями. Число атомов N = 60 (а), 90 (б),

126 (в), 168 (г)

ной энергии фотона с увеличением электрической

с увеличением энергии ЭЭВ скорость ГВГ в целом

напряженности волны накачки энергия обрезания

подавляется (поэтому на рис. 8 приведена зависи-

гармоники (ℏωn_cut) увеличивается.

мость для средних гармоник с номерами меньше чем

40). Последнее не имеет места для больших N, когда

Кроме того, как было показано в работе [29], ло-

увеличивается плотность энергетических состояний

кальное ЭЭВ подавляет флуктуацию заряда и сни-

(рис. 8в,г). Спектр ГВГ перестает зависеть от куло-

жает поглощенную энергию. Также ожидается по-

новского ЭЭВ. Такое свойство присуще обычному

давление выхода ГВГ из-за кулоновского ЭЭВ. По-

графену [1], неограниченному в пространстве.

следнее показано на рис. 8, где приведены спект-

ры ГВГ в режиме сильного ЭМ-поля в зависимо-

Мы также исследовали зависимость спектров

сти от номера гармоники и энергии ЭЭВ для раз-

ГВГ от ориентации напряженности ЭМ-волны. На

ных краев ГКТ и числа атомов углерода. Как вид-

рис. 9 представлены графики зависимости спектров

но на рис. 8, для небольшого числа N атомов ГКТ

при ГВГ от порядка гармоник и ориентации поля

160

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Генерация высших гармоник. . .

Рис. 5. (В цвете онлайн) Скорость излучения ГВГ, выраженная через преобразование Фурье дипольного ускорения

N-1|ai (Ω) |/a0, в логарифмическом масштабе в зависимости от номера гармоники волны накачки для треугольной ГКТ.

Приведены компоненты |ax| в треугольной ГКТ с зигзагообразными (1) и креслообразными (3) краями, а также компо-

ненты |ay | в ГКС с зигзагообразными (2) краями. Число атомов N = 61 (а), 97 (б), 118 (в), 141 (г) для случаев 1, 2 и

N = 60 (а), 90 (б), 126 (в), 168 (г) для случая 3. ЭМ-волна линейно поляризована по оси x. Частота волны ω = 0.1 эВ/ℏ,

напряженность поля E0 = 0.3 В/Å. Спектры показаны для умеренной (типичной) энергии ЭЭВ U = 3 эВ. Вероятность

релаксации ℏγ = 50 мэВ

волны накачки по отношению к оси x фиксирован-

симметрии (см. рис. 1-4). Как показано на рис. 9а,б

ной амплитуды (E₀ = 0.3 В/Å) и частоты при уме-

для углов 0 < θ < π/2 скорость средних гармоник

ренной энергии ЭЭВ U ≃ 3 эВ. Как видно на рис. 9,

(максимумы для номеров n ≃ 10-40) увеличивает-

ориентация волны накачки под разными углами к

ся, а высшие гармоники подавляются. Однако на

оси x приводит к разным спектрам гармоник. Это

рис. 9в,г видно, что с увеличением плотности энер-

связано с тем, что у треугольной ГКТ нет инверсной

гетических состояний эта закономерность наруша-

161

Б. Р. Авчян, А. Г. Казарян, К. А. Саргсян, Х. В. Седракян

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Рис. 6. То же, что и на рис. 5, но вне логарифмического масштаба: показаны гармоники (четные и нечетные) в треуголь-

ной ГКТ с зигзагообразными краями для N = 60 (а) и гармоники (только нечетные) в ГКТ с креслообразными краями

для N = 61 (б)

Рис. 7. (В цвете онлайн) Скорость испускания ГВГ, выраженная через преобразование Фурье дипольного ускорения

N-1|ax (Ω) |/a0 в режиме сильного поля, в логарифмическом масштабе в зависимости от амплитуды ЭМ-поля и номера

гармоники для треугольной ГКТ с разными ребрами и числом атомов углерода N = 61 (а), 118 (в) для треугольной ГКТ

с зигзагообразными краями и N = 60 (б), 126 (г) для треугольной ГКТ с креслообразными краями. ЭМ-волна линейно

поляризована по оси x. Частота волны ω = 0.1 эВ/ℏ, энергия ЭЭВ U = 3 эВ, вероятность релаксации ℏγ = 50 мэВ

162

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Генерация высших гармоник. . .

Рис. 8. (В цвете онлайн) То же, что и на рис. 7, но вне логарифмического масштаба в зависимости от энергии ЭЭВ и

порядка гармоник при фиксированной напряженности электромагнитного поля E0 = 0.3 В/Å. ЭМ-волна линейно поля-

ризована вдоль оси x

ется и спектр ГВГ перестает зависеть от ориента-

(ℏωn_cut) увеличивается линейно. Из-за отсутствия

ции силы ЭМ-волны. Этим ГКТ становится похожа

или наличия симметрии подрешетки у треугольной

на неограниченный в пространстве графен [1].

ГКТ с зигзагообразными краями в процессе гене-

рации в поле ЭМ-волны появляются гармоники как

нечетного, так и четного порядка, а при креслооб-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

разных кромках существенны только нечетные гар-

моники.

Мы исследовали влияние интенсивного когерент-

ного излучения на ГКТ. Была разработана мик-

Мы также исследовали зависимость спектров

роскопическая теория для описания экстремаль-

ГВГ от ориентации напряженности волны накач-

ного нелинейно-оптического отклика треугольной

ки. Как показывают численные результаты, из-за

ГКТ. Численно решена замкнутая система диффе-

различной симметрии подрешеток одинаковые углы

ренциальных уравнений для одночастичной матри-

дают разные парциальные выходы в спектрах ГВГ

цы плотности при многофотонном взаимодействии

для треугольных ГКТ с креслообразными и зигза-

ГКТ с сильным лазерным полем. Полученные реше-

гообразными краями. К тому же скорость средних

ния указывают на важность типа кромки и попереч-

гармоник для малого числа атомов увеличивается, а

ного размера, а также на значимость ширины запре-

высшие гармоники подавляются, что не имеет места

щенной зоны и величины лазерного поля для про-

с увеличением плотности энергетических состояний.

цесса ГВГ в плоских ГКТ. Номер гармоники отсеч-

Кроме того, с ростом плотности энергетических со-

ки линейно возрастает с увеличением напряженно-

стояний нарушается правило, согласно которому в

сти поля. Как и в случае ГВГ на атомах, для ГКТ с

случае небольшого числа атомов ГКТ с увеличени-

увеличением силы волны накачки при фиксирован-

ем энергии ЭЭВ скорость ГВГ в целом подавляется.

ной энергии фотона энергия обрезания гармоники

Таким образом, с увеличением средней плотности

163

Б. Р. Авчян, А. Г. Казарян, К. А. Саргсян, Х. В. Седракян

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Рис. 9. (В цвете онлайн) Скорость испускания ГВГ, выраженная через преобразование Фурье дипольного ускорения

N-1|ax (Ω) |/a0, в зависимости от порядка гармоник и угла θ между вектором напряженности ЭМ-поля и осью x при

N = 61 (а), 118 (в) в треугольной ГКТ с зигзагообразными краями, N = 60 (б), 126 (г) в треугольной ГКТ с креслооб-

разными краями. Частота волны ω = 0.1 эВ/ℏ, напряженность поля E0 = 0.3 В/Å, энергия ЭЭВ U = 3 эВ, вероятность

релаксации ℏγ = 50 мэВ

собственных состояний ГКТ ведет себя как неогра-

Финансирование. Работа поддержана Комите-

ниченный в пространстве графен.

том науки Республики Армения в рамках исследо-

вательского проекта 20TTWS-1C010.

Итак, мы исследовали размер и форму ГКТ,

используя ограничение квазичастиц в простран-

стве. Полученные результаты показывают, что ГКТ

ЛИТЕРАТУРА

могут служить эффективной средой для генерации

1. K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov et al.,

четных и нечетных гармоник высшего порядка

Science 306(5696), 666 (2004).

при взаимодействии с лазерным полем умеренной

интенсивности за счет ограничения квазичастиц в

2. H. Liu, Y. Li, Y. S. You et al., Nature Phys. 13, 262

ГКТ. Кроме того, вероятность ГВГ возрастает с

(2017).

увеличением числа атомов ГКТ или с появлением

3. A. H. C. Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres et al., Rev.

новых энергетических состояний. Это потенциаль-

Mod. Phys 81, 109 (2009).

ный способ увеличения выхода и энергии фотонов

в процессе ГВГ в графеноподобных квантовых

4. S. A. Mikhailov and K. Ziegler, J. Phys. Condens.

точках.

Matter 20, 384204 (2008).

5. H. K. Avetissian, G. F. Mkrtchian, K. V. Sedrakian

et al., J. Nanophoton. 6, 061702 (2012).

Благодарности. Авторы глубоко признательны

Г. К. Аветисяну и Г. Ф. Мкртчяну за постоянные об-

6. H. K. Avetissian, G. F. Mkrtchian, K. G. Batrakov et

суждения и ценные рекомендации.

al., Phys. Rev. B 88, 165411 (2013).

164

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Генерация высших гармоник. . .

I. Al-Naib, J. E. Sipe, and M. M. Dignam, New J.

26.

A. K. Avetissian, A. G. Ghazaryan, Kh. V. Sedrakian,

Phys. 17, 113018 (2015).

and B. R. Avchyan, J. Nanophotonics 12, 016006

(2018).

L. A. Chizhova, F. Libisch, and J. Burgdorfer, Phys.

Rev. B 94, 075412 (2016).

27.

E. V. Castro, K. S. Novoselov, S. V. Morozov et al.,

Phys. Rev. Lett. 99, 216802 (2007).

L. A. Chizhova, F. Libisch, and J. Burgdorfer, Phys.

Rev. B 95, 085436 (2017).

28.

J. B. Oostinga, H. B. Heersche, X. Liu et al., Nature

Mater. 7, 151 (2008).

10.

H. K. Avetissian, A. G. Ghazaryan, G. F. Mkrtchian,

and Kh. V. Sedrakian, J. Nanophoton. 11, 016004

29.

Y. B. Zhang, T.-T. Tang, C. Girit et al., Nature 459,

(2017).

820 (2009).

11.

D. Dimitrovski, L. B. Madsen, and T. G. Pedersen,

30.

F. Guinea, A. H. C. Neto, and N. M. R. Peres, Phys.

Phys. Rev. B 95, 035405 (2017).

Rev. B 73, 245426 (2006).

12.

H. K. Avetissian and G. F. Mkrtchian, Phys. Rev.

31.

M. Koshino and T. Ando, Phys. Rev. B 73, 245403

B 97, 115454 (2018).

(2006).

13.

H. K. Avetissian, A. K. Avetissian, B. R. Avchyan, and

32.

A. Varleta, M. Mucha-Kruczynski, D. Bischoff et al.,

G. F. Mkrtchian, Phys. Rev. B 100, 035434 (2019).

Synthetic Metals 210, 19 (2015).

14.

H. K. Avetissian and G. F. Mkrtchian, Phys. Rev.

33.

A. D. Guclu, P. Potasz, M. Korkusinski, and P. Ha-

B 99, 085432 (2019).

wrylak, Graphene Quantum Dots, Springer, Berlin

(2014).

15.

A. K. Avetissian, A. G. Ghazaryan, and Kh. V. Sed-

rakian, J. Nanophoton. 13, 036010 (2019).

34.

H. K. Avetissian, B. R. Avchyan, G. F. Mkrtchian,

and K. A. Sargsyan, J. Nanophoton. 14, 026018

16.

H. K. Avetissian, A. K. Avetissian, A. G. Ghazaryan

(2020).

et al., J. Nanophoton. 14, 026004 (2020).

35.

A. D. Guclu, P. Potasz, and P. Hawrylak, in Future

17.

A. G. Ghazaryan, H. H. Matevosyan, and Kh. V. Sed-

Trends in Microelectronics: Frontiers and Innova-

rakian, J. Nanophoton. 14, 046009 (2020).

tions, ed. by S. Luryi, J. Xu, and A. Zaslavsky, Wiley,

New York (2013).

18.

H. K. Avetissian, Relativistic Nonlinear Electrodyna-

mics, The QED Vacuum and Matter in Superstrong

36.

A. D. Guclu, P. Potasz, and P. Hawrylak, Phys. Rev.

Radiation Fields, Springer, Berlin (2016).

B 82, 155445 (2010).

19.

Б. Р. Авчян, А. Г. Казарян, К. А. Саргсян,

37.

A. D. Guclu, P. Potasz, O. Voznyy et al., Phys. Rev.

Х. В. Седракян, ЖЭТФ 159, 1003 (2021).

Lett. 103, 246805 (2009).

20.

А. Г. Казарян, ЖЭТФ 159, 952 (2021).

38.

O. Voznyy, A.D. Guclu, P. Potasz, and P. Hawrylak,

Phys. Rev. B 83, 165417 (2011).

21.

G. P. Zhang and Y. H. Bai, Phys. Rev. B 101,

081412(R) (2020).

39.

W. L. Wang, S. Meng, and E. Kaxiras, Nano Lett. 8,

241 (2008).

22.

H. K. Avetissian, A. G. Ghazaryan, and

G. F. Mkrtchian, Phys. Rev. B

104,

125436

40.

M. Y. Han, B. Ozyilmaz, Y. Zhang, and Ph. Kim,

(2021).

Phys. Rev. Lett. 98, 206805 (2007).

23.

P. Bowlan, E. Martinez-Moreno, K. Reimann et al.,

41.

M. Lewenstein, Ph. Balcou, M. Y. Ivanov et al., Phys.

Phys. Rev. B 89, 041408(R) (2014).

Rev. A 49, 2117 (1994).

24.

N. Yoshikawa, T. Tamaya, and K. Tanaka, Science

42.

P. R. Wallace, Phys. Rev. 71, 622 (1947).

356, 736 (2017).

43.

S. Reich, C. Thomson, and J. Maultzsch, Carbon

25.

H. K. Avetissian, A. K. Avetissian, G. F. Mkrtchian,

Nanotubes, Basic Concepts and Physical Properties,

and Kh. V. Sedrakian, Phys. Rev. B 85, 115443

Wiley-VCH (2004).

(2012).

165