ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 2, стр. 166-176

Q-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛЯ ОДНОАТОМНОГО ЛАЗЕРА,

РАБОТАЮЩЕГО В «КЛАССИЧЕСКОМ» РЕЖИМЕ

Н. В. Ларионов^*

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

190121, Санкт-Петербург, Россия

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

195251, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 5 октября 2021 г.,

после переработки 5 октября 2021 г.

Принята к публикации 11 октября 2021 г.

Теоретически исследуется модель одноатомного лазера с некогерентной накачкой. В стационарном слу-

чае из уравнения для оператора плотности системы выводится линейное однородное дифференциальное

уравнение для усредненной по фазе Q-функции Хусими. В режиме, при котором связь поля с атомом во

много раз сильнее, чем связь поля с резервуаром, обеспечивающим его распад, найдено асимптотичес-

кое решение этого уравнения. Это решение позволяет описать некоторые статистические особенности

одноатомного лазера, в частности, слабую субпуассоновскую статистику фотонов.

DOI: 10.31857/S004445102202002X

ботах, в основном связаны с сильным проявлением

ферми-статистики одиночного излучателя: эффект

самотушения, сжатие амплитудной компоненты по-

1. ВВЕДЕНИЕ

ля, субпуассоновская статистика фотонов, генера-

ция без инверсии и др.

В настоящее время источники неклассических

Существенный вклад в понимание физики од-

состояний света востребованы в таких областях фи-

ноатомного лазера был сделан группой ученых из

зики, как квантовая информатика, квантовые ком-

Института физики НАН Беларуси, возглавляемой

муникации, квантовая криптография и квантовые

С. Я. Килином (см. [11, 15-18, 20, 27] и ссылки в

стандарты частоты [1-5]. Проводятся различные ис-

них). Один из теоретических подходов, использу-

следования, направленные на создание таких источ-

емых этой группой, основан на анализе уравне-

ников. В частности, есть работы, в которых для

ния для оператора плотности системы, записанного

получения определенных состояний света, а так-

для таких квазивероятностных распределений, как

же для создания различных элементов квантовых

P-функция Глаубера и Q-функция Хусими, позво-

устройств предлагается использовать системы, со-

ляющих находить нормально и антинормально упо-

стоящие всего из одного или нескольких квантовых

рядоченные корреляционные функции полевых опе-

излучателей [6-9]. Свойства одиночного излучателя

раторов соответственно.

отображаются на состоянии электромагнитного по-

ля, что позволяет получить, к примеру, субпуассо-

В работе [21] для случая стационарного режима

новский свет [10].

работы одноатомного лазера с некогерентной накач-

Одной из фундаментальных моделей квантовой

кой было получено линейное однородное дифферен-

оптики является модель одноатомного лазера. Дан-

циальное уравнение второго порядка для усреднен-

ной модели посвящено множество как теоретичес-

ной по фазе P -функции. В предельном случае, когда

ких [11-27], так и экспериментальных [28-30] ра-

связь поля с атомом во много раз сильнее, чем связь

бот. Различные эффекты, обнаруженные в этих ра-

поля с резервуаром, обеспечивающим его затухание

(так называемый «классический» режим — режим,

^* E-mail: larionov.nickolay@gmail.com

в котором для одноатомного лазера возможно су-

166

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Q-распределение для одноатомного лазера...

ществование порога генерации [19]), было получе-

2. МОДЕЛЬ ОДНОАТОМНОГО ЛАЗЕРА.

но приближенное решение этого уравнения. Послед-

УРАВНЕНИЕ ДЛЯ УСРЕДНЕННОЙ ПО

нее, являющееся порождающим решением в пробле-

ФАЗЕ Q-ФУНКЦИИ

ме малого параметра у старшей производной (син-

Рассматриваемая модель одноатомного лазера

гулярно возмущенная задача, см., к примеру, [31]),

представлена одиночным двухуровневым атомом,

для определенных значений параметров лазера дает

взаимодействующим с затухающей модой резонато-

хорошее согласие с численными расчетами и, более

ра. Некогерентная накачка атома с нижнего уровня

того, содержит в себе некоторые предельные реше-

|1〉 на верхний уровень |2〉 осуществляется со ско-

ния, полученные ранее в [15,16]. Дальнейший анализ

ростью Γ/2. Спонтанный распад атома с верхнего

этого уравнения позволил получить приближенное

уровня |2〉 на нижний |1〉 происходит со скоростью

выражение для P -функции, которая, в отличие от

γ/2. Константа взаимодействия атома с модой резо-

предыдущих решений, демонстрирует существенно

натора обозначена как g. Затухание моды резонато-

неклассическое поведение — становится отрицатель-

ра происходит со скоростью κ/2.

но определенной [22].

Уравнение для оператора плотности ρ одноатом-

ного лазера имеет вид

В силу специфики P-функции, которая может

быть отрицательной и/или неограниченной, анализ

∂ρ

(

)

V , ρ] +

2 âρâ^† - â^†âρ- ρâ^†â

упомянутого уравнения и его приближенных ре-

∂t

ℏ

(

)

шений сталкивается с определенными трудностями.

2σρσ^† - σ^†σρ- ρσ^†σ

В частности, здесь возникает проблема искусствен-

(

)

ного ограничения области определения P -функции

2σ^†ρσ - σσ^†ρ- ρσσ^†

(1)

(см., к примеру, [15, 21]). В связи с этим возни-

кает естественное желание получить аналогичное

где â^†, â — операторы соответственно рождения и

уравнение, но для «хорошего» квазивероятностно-

уничтожения фотонов в моде резонатора;

σ^†

го распределения. В качестве последнего в пред-

= |2〉〈1|, σ = |1〉〈2| — операторы атомных переходов;

(

)

ставленной статье было выбрано квазивероятност-

= iℏg

â^†σ - σ^†â

— оператор взаимодействия

ное распределение Q, которое является неотрица-

атома с модой резонатора, ℏ — приведенная постоян-

тельно определенным и ограниченным.

ная Планка. Физический смысл каждого слагаемого

в правой части (1) определяется соответствующей

Статья имеет следующую структуру. В разд. 2

скоростной константой.

для одноатомного лазера с некогерентной накач-

Будем рассматривать диагональное представле-

кой, генерирующего в стационарном режиме, выво-

ние антинормально упорядоченного оператора плот-

дится однородное дифференциальное уравнение для

ности ρ(z, z^∗), которое определяется следующим об-

усредненной по фазе Q-функции. Раздел 3 посвящен

разом:

∫

анализу выведенного уравнения в случае «классиче-

ρ=

ρ (z, z^∗) |z〉〈z| d²z,

(2)

ского» режима работы лазера. Находится асимпто-

тическое решение этого уравнения, которое сравни-

где

|z〉

— когерентное состояние поля, d²z

≡

вается с соответствующим решением для P-функ-

≡ dRe[z]dIm[z] и Re[z], Im[z] — действительная и

ции [21]. В разд. 4 с помощью найденного реше-

мнимая части комплексного числа z. Используя

ния исследуется статистка фотонов в моде резона-

известные правила перехода [32]

тора. Основное внимание уделено области значений

параметров лазера, для которых ранее была пред-

â^† ρ → z^∗ ρ(z, z^∗),

(

)

сказана слабая субпуассоновская статистика [19]. В

∂

âρ→ z+

ρ(z, z^∗),

разд. 5 для определенных значений параметра на-

∂z^∗

(3)

качки лазера найденное асимптотическое решение

ρâ → z ρ(z, z^∗) ,

приводится к простому гауссовому виду. Этот гаус-

(

)

∂

сов вид решения позволяет легко найти связь с ра-

ρâ^† → z^∗ +

ρ(z, z^∗)

∂z

нее разработанной теорией, основанной на линеари-

зации уравнений Гейзенберга - Ланжевена по малым

и вводя функции

флуктуациям вблизи сильного «классического» ре-

шения [19]. В Заключении подводятся итоги прове-

ρ_ik (z, z^∗) = 〈i| ρ(z, z^∗)|k〉, i, k = 1, 2,

денного исследования.

D(z, z^∗) = ρ₂₂ (z, z^∗) - ρ₁₁ (z, z^∗)

167

Н. В. Ларионов

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

∫

и Q-функцию

Q (I) =

Q (I, ϕ) dϕ,

2π

Q(z, z^∗) = ρ₁₁ (z, z^∗) + ρ₂₂ (z, z^∗) ,

∫

D (I) =

D (I, ϕ) dϕ,

(6)

из уравнения (1) можно легко получить систему

2π

дифференциальных уравнений в частных производ-

ных:

∫

ρ₁₂ (I) = ρ∗21 (I) =

e^iϕρ₁₂ (I, ϕ)dϕ.

)

]

2π

∂Q

∂

^[κ⁽

∂Q

zQ +

- gρ₂₁

∂t

∂z

∂z^∗

(

)

]

Тогда в стационарном случае из уравнения

∂

^[κ

∂Q

z^∗Q +

- gρ₁₂

неразрывности

(5) можно получить следующую

∂z^∗

∂z

связь между

Q (I) и суммой когерентностей

∂D

= (Γ - γ)Q - (Γ + γ)D +

ρ_Σ (I) = ρ₂₁ (I) + ρ₁₂ (I):

∂t

]

[

]

∂ [κ

∂

^[κ

√

dQ (I)

zD-gρ₂₁ +

z^∗D-gρ12

(4)

ρ_Σ (I) =

I Q(I) +

(7)

∂z

∂z^∗

∂²D

− 2g [z^∗ρ₂₁ + zρ₁₂] + κ

Из двух последних уравнений системы (4) в ста-

∂z∂z^∗

[

]

ционарном случае имеем

∂ρ₂₁

Γ+γ

∂

ρ₂₁+

zρ₂₁+

z^∗ρ21

∂t

∂z

∂z^∗

√

[

]

(Γ - γ)Q (I) - (Γ + γ)D (I) - 2g

IρΣ (I) =

∂

∂²ρ21

[

]

+g zD+

(D - Q) + κ

√

dD (I)

2∂z^∗

∂z∂z^∗

IρΣ (I) - κID(I) - κI

Здесь и далее, для того чтобы избежать громозд-

(Γ + γ)ρ_Σ (I) +

ρ_Σ (I) -

(8)

кость выражений, у квазивероятностей опущены

[

]

√

скобки с комплексными аргументами z, z^∗.

- 2g

2D (I) +

(D (I) - Q (I))

Физический смысл дополнительных функций ρ₂₁

[

]

dρ_Σ (I)

и D следует из их средних значений:

= 2κ

I ρΣ (I) +

∫

〈D〉 = 〈ρ₂₂〉 - 〈ρ₁₁〉 ≡ 〈σ_z 〉 = D d²z

Используя (7), можно исключить из системы (8)

функцию ρ_Σ (I) и получить систему двух диффе-

ренциальных уравнений относительно неизвестных

— атомная инверсия,

функций Q (I) и D (I).

∫

Наша задача состоит в получении одного диф-

〈ρ₂₁〉 = 〈ρ₁₂〉^∗ ≡ 〈σ〉 = ρ₂₁ d²z

ференциального уравнения для функции Q (I). Но

первое уравнение в системе (8) (говорим о системе

— среднее значение атомной поляризации.

(8), подразумевая, что ρ_Σ (I) исключена из нее при

Первое уравнение в системе (4) можно перепи-

помощи (7)) является дифференциальным уравне-

сать в виде уравнения неразрывности

нием второго порядка относительно функции D (I),

а второе — первого порядка относительно той же

∂Q

функции D (I). Поэтому, для того чтобы исключить

+ div J = q,

(5)

∂t

из (8) D (I), dD (I) /dI и d²D (I) /dI², нужно доба-

вить к этой системе еще одно уравнение, которое

где определены дивергенция div

= (∂/∂z, ∂/∂z^∗)

содержало бы вторую производную функции D (I).

и вектор тока квазивероятности J

= (J, J^∗),

Это уравнение можно получить, продифференциро-

-κ/2 (z + ∂/∂z^∗)Q. Источник q

вав второе уравнение в системе (8).

-g (∂ρ₂₁/∂z + ∂ρ₁₂/∂z^∗) также может быть

Опуская промежуточные элементарные вычис-

записан через дивергенцию некоторого вектора.

ления, выпишем окончательный результат:

Перейдем к новым полярным координатам (I, ϕ),

√

∑

таким что z =

Ie^iϕ, и определим усредненные по

p_ν (I)Q(ν) (I) = 0,

(9)

фазе ϕ квазивероятностные распределения как

ν=0

168

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Q-распределение для одноатомного лазера...

[

]

p₅ (I) = b₀₂I² + b₀₃I³,

(r + 1)²

I₀ (r, I_s, c) =

(r - 1) -

p₄ (I) = b₁₁I + b₁₂I² + b₁₃I³,

2c² - c(r - 5)(r + 1) + 3(r + 1)

(10)

p₃ (I) = b₂₀ + b₂₁I + b₂₂I² + b₂₃I³,

Q^linf (r, c) =

[

]

(r + 1)

p₂ (I) = b₃₀ + b₃₁I + b₃₂I² + b₃₃I³,

2c²

(r - 1) -

p₁ (I) = b₄₀ + b₄₁I + b₄₂I²,

Здесь I₀ ≈ 〈n〉 ≡ 〈â^†â〉 — классическая внутрире-

p₀ (I) = b₅₀ + b₅₁I + b₅₂I²,

зонаторная интенсивность (сильное «классическое»

(

)

решение), а Q^linf ≈ Qf =

〈n²〉 - 〈n〉²

/〈n〉 - 1 —

где введено обозначение Q(ν) (I) ≡ d^ν Q (I) /dI^ν и ко-

Q-параметр Манделя для поля (верхний индекс

эффициенты b_ik = b_ik (Γ, γ, κ, g) выписаны в Прило-

«lin» указывает на то, что это результат «линейной»

жении.

теории).

Таким образом, искомое уравнение для усред-

Формулы (10) имеют смысл для c > 8 и для r ∈

ненной по фазе Q-функции является однородным

∈ (r_th, r_q), где r_th — пороговое значение параметра

дифференциальным уравнением пятого порядка с

накачки и r_q — значение параметра накачки, при ко-

полиномиальными коэффициентами. Напомним,

тором происходит эффект самотушения. Явные вы-

что соответствующее уравнение для усредненной

ражения для r_th, r_q получаются из уравнения I₀ = 0:

по фазе P -функции является уравнением второго

√

порядка [21].

rth = rm -

rq = rm +

(11)

где r_m

= c/2 - 1 значение накачки, когда ин-

3. ФУНКЦИЯ Q(I) ДЛЯ ОДНОАТОМНОГО

ЛАЗЕРА, РАБОТАЮЩЕГО В

тенсивность I₀ достигает своего максимума I_m =

«КЛАССИЧЕСКОМ» РЕЖИМЕ

= I_s(c/8 - 1).

Результаты (10) предсказывают незначительную

Далее, как и в работах [19,21], будем использо-

субпуассоновскую статистику фотонов в моде ре-

вать следующие три безразмерных параметра: без-

зонатора [21]. При c ≈ 200 и выше и для значе-

размерный параметр накачки r = Γ/γ, безразмер-

ний параметра накачки, близких к r = c/5, Q-пара-

ный коэффициент насыщения I_s = γ/κ и безраз-

метр Манделя Q^linf становится отрицательным и при

мерную константу связи (кооперативный параметр)

c → ∞ принимает значение равное -0.05. P-функ-

c = 4g²/γκ.

ция в этой области значений параметров демон-

Как упоминалось выше, в статье [21] для рас-

стрирует неклассическое поведение [22] — становит-

сматриваемого одноатомного лазера было выведе-

ся отрицательно определенной и неограниченной, а

но уравнение для усредненной по фазе P -функции

у приближенного решения P₀ (I) появляется суще-

P (I). Это уравнение представляет собой однород-

ственно особая точка, близкая к I₀, не позволяющая

ное дифференциальное уравнение второго порядка

подтвердить результаты «линейной» теории.

с полиномиальными коэффициентами. В «класси-

Отметим, что для рассматриваемой модели од-

ческом» режиме, когда произведение cI_s ≫ 1 (т. е.

ноатомного лазера выявленное минимальное значе-

g/κ ≫ 1), в этом уравнении можно выделить малый

ние Q-параметра Манделя равно -0.15 [13, 24]. Та-

параметр λ ≈ 1/cI_s, стоящий при старшей производ-

кая субпуассоновская статистика связана с эффек-

ной. Используя теорию возмущений, авторы статьи

том антигруппировки фотонов, который лучше все-

[21] нашли порождающее решение P₀ (I) этого урав-

го проявляется в режиме малого числа фотонов в

нения (формула (50) в [21]), являющееся решением

моде резонатора rI_s ≈ 1 (Γ ≈ κ) [24]. Однако в рас-

дифференциального уравнения первого порядка.

сматриваемом нами «классическом» режиме, т. е. в

В случае «хорошего» резонатора I_s ≫ 1 функ-

режиме, когда существуют решения (10), этот эф-

ция P₀ (I) хорошо описывает статистические свой-

фект ослаблен присутствием большого числа фото-

ства одноатомного лазера. В частности, с ее помо-

нов, некогерентно накопленных в моде и обладаю-

щью можно описать некоторые результаты, полу-

щих относительно большим стохастическим време-

чающиеся из решения системы уравнений Гейзен-

нем жизни.

берга - Ланжевена путем их линеаризации по малым

Теперь перейдем к выделению малого параметра

флуктуациям вблизи сильного «классического» ре-

λ ≈ 1/cI_s в уравнении (9) и попробуем получить со-

шения [19,21] (далее «линейная» теория). Выпишем

ответствующее порождающее решение для Q-функ-

результаты этой «линейной» теории:

ции. Будем действовать так же, как и в работе [21].

169

ЖЭТФ, вып. 2

Н. В. Ларионов

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Для этого перепишем полиномы p_ν (I), выделив в

для I > I+4 (корень I+4 > 0), а следовательно,

них корни:

Q₀ (I) принимает комплексное значение, что недопу-

стимо для Q-функции. Однако для случая «хороше-

p₅ (I) = b₀₃I² (I - I₀₀),

го» резонатора, I_s ≫ 1, значение корня I₊₄ близко к

p₄ (I) = b₁₃I (I - I₁₁)(I - I₁₂),

тем значениям переменной I, для которых Q-функ-

p₃ (I) = b₂₃ (I - I₂₁)(I - I₂₂)(I - I₂₃),

ция — пренебрежимо малая величина. Для случая

(12)

«плохого» резонатора, I_s ∼ 1, I_s ≪ 1, значение кор-

p₂ (I) = b₃₃ (I - I₃₁)(I - I₃₂)(I - I₃₃),

ня I₊₄ находится в области значений переменной I,

p₁ (I) = b₄₂ (I - I-4)(I - I₊₄),

где Q-функция не является малой. Если же огра-

p₀ (I) = b₅₂ (I - I-5)(I - I₊₅),

ничивать область определения функции Q₀ (I) от-

резком [0, I₊₄], как это было сделано для функции

где в последних двух полиномах обозначения корней

P₀ (I) в [21], то это может приводить к нефизиче-

аналогичны обозначениям в работе [21].

ским результатам. Поэтому скобка (1 - I/I₊₄) в (14)

Коэффициенты при двух последних полиномах

взята под знак модуля.

b₄₂, b₅₂

∼ cI_s, а коэффициенты при всех осталь-

Отметим несколько особенностей решения (14),

ных полиномах порядка единицы. Поэтому в режи-

ме cI_s ≫ 1 заменим уравнение (9) на приближенное

которые есть и у функции P₀ (I). Корень I-5 прак-

тически полностью повторяет решение для класси-

уравнение первого порядка

ческой внутрирезонаторной интенсивности (10), т. е.

b₄₂ (I - I-4)(I - I₊₄)Q⁽¹⁾ (I) +

I-5 ≈ I0. В случае «хорошего» резонатора, вблизи

максимума классического решения I₀, выполняется

+ b52 (I - I-5)(I - I₊₅)Q(I) = 0.

(13)

приближенное равенство I₊₄ ≈ I₊₅.

Решение этого уравнения имеет следующий вид:

Анализ уравнения (9) показывает, что решение

(

)_f

(14) не может быть использовано для описания ра-

боты лазера в случае, когда параметр накачки мно-

Q₀ (I) = N₀

I-4

го меньше порогового значения r_th. В этом случае,

(

)

(

)



f²

b₅₂

учитывая, что основные изменения Q-функции про-



(14)



 e

исходят в области малых значений переменной I,

I+4

b₄₂

можно рассмотреть уравнение, получающееся из (9)

путем пренебрежения в полиномах всеми степенями

b₅₂ (I-4 - I-5)(I-4 - I₊₅)

f₁ = -

переменной I, т. е.

b₄₂

I-4 - I+4

b₅₂ (I₊₄ - I-5)(I₊₄ - I₊₅)

f₂ =

b₂₀Q⁽³⁾ (I) + b₃₀Q⁽²⁾ (I) +

b₄₂

I-4 - I+4

+ b₄₀Q(1) (I) + b₅₀Q (I) = 0.

(15)

где N₀ — нормировочная константа, а нижний ин-

декс «0» у функции указывает на то, что это реше-

Решение этого уравнения имеет вид

ние является порождающим в задаче с малым пара-

метром.

Q (I) = N₀ exp (I/a) ,

(16)

Найденное решение

(14) по своей структуре

практически полностью совпадает с соответствую-

где константа a < 0 является действительным кор-

щим порождающим решением P₀ (I) для P -функции

нем полиномиального уравнения

(см. формулу (50) в [21]). Однако у решения (14)

есть некоторые преимущества, связанные с тем, что

b₂₀x³ + b₃₀x² + b₄₀x + b₅₀ = 0.

Q-функция неотрицательно определена и ограни-

ченна. Так, экспонента в (14), в связи с положи-

Эта константа при r → 0, ∞ стремится к минус еди-

тельностью отношения b₅₂/b₄₂ > 0, убывает при воз-

нице, т. е. в этих предельных случаях Q-функция

растании аргумента I. Напротив, функция P₀ (I),

описывает вакуумное состояние моды:

найденная в [21], экспоненциально возрастает при

I → ∞, что явилось одной из причин искусственно-

Q (I) = e^I /π.

го ограничения ее области определения.

Первая скобка (1 - I/I-4) в правой части (14)

Таким образом, решение (16) описывает тепловое

всегда положительна, так как корень I-4 < 0. Вто-

излучение со средним числом фотонов равным 〈n〉 =

рая скобка (1 - I/I₊₄) становится отрицательной

= -(a + 1).

170

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Q-распределение для одноатомного лазера...

Рис. 1. Сравнение поведения функций P0 (I) [21] и Q0 (I) (14): a) Is = 100, c = 50; б) Is = 100, c = 100; в) Is = 100,

c = 175. г) Поведение функции Q0 (I) (14) при переходе в режим сильной связи

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

дит за область определения функции P₀ (I), но вы-

числение средних дает неправдоподобные результа-

На рис. 1 сравнивается поведение функций P₀ (I)

ты. Функция Q₀ (I), как и следовало ожидать, не

имеет никаких особенностей и позволяет легко вы-

[21] и Q₀ (I) (14) при переходе в режим, близкий к

режиму сильной связи c ≫ I_s (т. е. g ≫ γ — связь

числять интересующие средние величины.

атома с полем во много раз сильнее, чем связь ато-

В табл. 1 для значений параметров лазера, соот-

ма с резервуаром, обеспечивающим его спонтанный

ветствующих рис. 1а,б,в, представлены результаты

распад вне моды резонатора). Для всех графиков

«линейной» теории (10) (в таблице обозначены как

r = c/5, т.е. выбрано значение параметра накачки,

Lin) и результаты, полученные с помощью функций

при котором Q-параметр Манделя Q^linf (10) прини-

P₀ (I) и Q₀ (I). Видно хорошее согласие между раз-

мает минимальное значение. Видно, что увеличение

личными подходами.

константы связи c при фиксированном I_s приводит к

На рис. 1г, все также для r = c/5, представ-

все более узкому и выраженному пику для функции

лено поведение функции Q₀ (I) при переходе в ре-

P₀ (I). При c = 175 заметна несимметричность этой

жим сильной связи. При этом параметры c, I_s подо-

функции, связанная с ограниченностью ее области

браны так, чтобы классическая внутрирезонаторная

определения. Для c ≈ 200 у функции P₀ (I) появля-

интенсивность была равна I₀ = 700. В табл. 2 при-

ется особенность (аналогичная особенность наблю-

ведены соответствующие значения 〈n〉 и Q_f .

далась в [24, 25]), которая не позволяет вычислить

В табл. 2 только первые два верхних блока со-

интересующие средние величины. При дальнейшем

ответствуют графикам на рис. 1г. Нижний блок от-

увеличении константы связи c эта особенность ухо-

носится к режиму сильной связи и «плохого» ре-

171

Н. В. Ларионов

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Таблица 1

На рис. 2 сравниваются результаты «линейной»

теории с результатами, полученными с помощью ре-

Рис. 1а

Is = 100, c = 50

шений (14), (16). Для случая «хорошего» резона-

Lin

I₀ = 329, Q^linf = 0.19

тора, I_s ≫ 1, и для значений параметра накачки,

лежащих между r_th и r_q (рис. 2а,б,в), оба подхо-

P₀

〈n〉 = 329.1, Q_f = 0.19

да полностью согласуются друг с другом. Характер-

Q₀

〈n〉 = 329.1, Q_f = 0.19

ный пороговый пик для Q-параметра Манделя [19]

и пик, обусловленный эффектом «запирания» ато-

Рис. 1б

Is = 100, c = 100

ма в возбужденном состоянии, хорошо описывается

Lin

I₀ = 729.5, Q^linf = 0.056

найденной функцией (14). Для значений параметра

накачки, лежащих много ниже классического поро-

P₀

〈n〉 = 729.6, Q_f = 0.056

га r_th, решение (14) дает нефизический результат

Q₀

〈n〉 = 729.6, Q_f = 0.057

для Q-параметра Манделя. Для получения резуль-

татов в этом случае использовано решение (16) (си-

Рис. 1в

Is = 100, c = 175

няя пунктирная кривая).

Lin

I₀ = 1329.7, Q^linf = 0.0075

На рис. 2б рассматривается переход в режим

сильной связи, когда возникает слабая субпуассо-

P₀

〈n〉 = 1329.8, Q_f = 0.008

новская статистика фотонов, предсказанная «ли-

Q₀

〈n〉 = 1329.8, Q_f = 0.0084

нейной» теорией. Как видно из рисунка, найден-

ная функция Q₀ (I) (14) полностью описывает этот

квантовый эффект.

Таблица 2

Режим «плохого» резонатора I_s ∼ 1 рассмотрен

на рис. 2г. Графики для Q-параметра Манделя Q^linf

Рис. 1г

Is = 95.95, c = 10²

(10), в силу его естественной зависимости только от

параметров r, c, полностью совпадают с графиками

Lin

I₀ = 700, Q^linf = 0.056

на рис. 2б. Из сравнения с численными расчетами

P₀

〈n〉 = 700.1, Q_f = 0.056

видно, что результаты, полученные с помощью «ли-

нейной» теории (10), лучше описывают переход в

Q₀

〈n〉 = 700.1, Q_f = 0.057

субпуассоновский режим. Для «плохого» резонато-

Рис. 1г

Is = 8.83, c = 10³

ра функция Q₀ (I) (14) дает только качественный

результат. Однако в пределе c → ∞ результаты, по-

Lin

I₀ = 700, Q^linf = -0.04

лученные с помощью функции Q₀ (I) (14), совпадут

P₀

〈n〉 = UnPh, Q_f = UnPh

с результатами «линейной» теории.

Q₀

〈n〉 = 700.1, Q_f = -0.039

Is = 0.87, c = 10⁴

5. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ Q0 (I)

Lin

I₀ = 700, Q^linf = -0.049

ГАУССОВЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

P₀

〈n〉 = UnPh, Q_f = UnPh

Q₀

〈n〉 = 700.1, Q_f = -0.047

Рассмотрим режим

«хорошего» резонато-

ра, I_s

≫ 1, и значения параметра накачки,

близкие к rm (10), (11). Учтем, что в рассмат-

риваемом случае I+4 ≈ I+5 и I-5 ≈ I0. Отсюда

зонатора, I_s =

0.87 (график не приведен, так как

f₁

≈ (b₅₂/b₄₂) (I₀ - I-4), f₂

≈ 0 и (14) можно

он практически совпадает с графиком для случая

переписать следующим образом:

c = 10³). Из приведенных значений видно, что най-

денная Q-функция Q₀ (I) (14) хорошо описывает

(

)(b52/b42)(I0-I-4)

слабую субпуассоновскую статистику, предсказан-

ΔI

Q₀ (I) = N₀

ную «линейной» теорией. Случай «плохого» резона-

I₀ - I-4

тора и случаи c ≈ 200, c > 200 функция P₀ (I) опи-

(

)

b₅₂

сать не может (аббревиатура UnPh в табл. 2 озна-

× exp

ΔI

(17)

чает нефизический результат, Unphysical result).

b₄₂

172

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Q-распределение для одноатомного лазера...

Рис. 2. (В цвете онлайн) Сравнение результатов «линейной» теории (10) с результатами, полученными с помощью функ-

ции Q0 (I) (14). а,в) Зависимости среднего числа фотонов 〈n(r)〉 и Q-параметра Манделя Qf (r) от параметра накачки

r; Is = 40, c = 20. б,г) Зависимости Q-параметра Манделя Qf (r) от параметра накачки r. Переход в режим сильной

связи: б) «хороший» резонатор, Is = 40; г) «плохой» резонатор, Is = 1. Зеленые точки — численный расчет

где ΔI = I - I₀ и I₀ - I-4 ≫ 1. Функция (17) имеет

Подставляя (18) в (17) видим, что Q-функция при-

максимум, соответствующий значениям I, близким

нимает вид гауссовой функции:

к классическому решению I₀, т. е. для ΔI ≈ 0. То-

[

]

(ΔI)²

гда в области значений переменной I, для которых

Q₀ (I) = N₀ exp -

(19)

2σ²

(17) не является пренебрежимо малой, т. е. для I,

не слишком удаленных от значения I₀, можно сде-

где дисперсия σ² = (I₀ - I-4) b₄₂/b₅₂ определяется

лать следующее разложение предэкспоненциально-

решениями (10),

го множителя:

⎛

⎞

∫∞

∫

∞

(

)-(I0-I-4)

ΔI

σ² = π I²Q₀ (I) dI - ⎝π IQ₀ (I) dI⎠

I₀ - I-4

(

)

[

(

)]

=1+I₀

2+Q^linf

(20)

ΔI

= exp - (I₀ - I-4)ln

≈

I₀ - I-4

Таким образом, как это следует из (20), решение

(19) описывает слабую субпуассоновскую статисти-

[

]

(ΔI)²

ку фотонов в моде резонатора. В самом деле, по

≈ exp -ΔI +

(18)

2 (I₀ - I-4)

определению Q-параметра Манделя имеем

173

Н. В. Ларионов

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

⎛

⎞₂

∫∞

∫

∞

∫

∞

I²Q (I) dI - ⎝π IQ (I) dI⎠ - π IQ (I) dI

σ² - I₀ - 1

Q_f

-1≈

-1=Q^linf.

(21)

∫∞

I₀

π IQ(I) dI - 1

Отметим, что для функции P₀ (I) в работе [21]

[21] предельном случае g/κ ≫ 1 в упомянутых диф-

также было получено гауссово выражение, типа

ференциальных уравнениях появляется малый па-

(19). Однако дисперсия σ² в этом случае была равна

раметр, который относительно легко позволяет най-

произведению I₀Q^linf, которое для субпуассоновской

ти приближенные решения этих уравнений.

статистики фотонов становилось отрицательным,

В конце отметим, что уравнение (9) также анали-

что делало функцию P₀ (I) неограниченной.

зировалось в работе [25], где рассматривался част-

ный случай Γ ≈ κ, т. е. случай малого числа фото-

нов в моде резонатора. Для произвольных значений

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

отношения g/κ анализ уравнения (9) был затрудни-

телен. Только в предельном случае g/Γ ≈ g/κ → ∞

В данной работе на основе уравнения для усред-

были найдены точные аналитические решения урав-

ненной по фазе Q-функции (9) исследовался ста-

нения (9), одно из которых совпадает с решением

ционарный режим работы одноатомного лазера с

(16). В случае малого числа фотонов более плодо-

некогерентной накачкой. В «классическом» режи-

творным оказался подход, основанный на анали-

ме (g/κ ≫ 1) получено приближенное решение это-

зе бесконечной системы алгебраических уравнений

го уравнения (14), (16). Это решение описывает ос-

для различных моментов полевых операторов [33].

новные особенности одноатомного лазера, в част-

Возможно, именно этот подход для некоторых част-

ности, позволяет описать слабую субпуассоновскую

ных случаев позволит найти точные решения для

статистику фотонов в моде резонатора, ранее обна-

средних величин, характеризующих одноатомный

руженную с помощью подхода, основанного на лине-

лазер [34].

аризации уравнений Гейзенберга - Ланжевена вбли-

зи сильного классического решения (10) [19,21].

Финансирование. Работа выполнена в рамках

Подытоживая, можно сказать, что анализ ста-

Государственного задания на проведение фундамен-

ционарного режима работы одноатомного лазера с

тальных исследований (код темы FSEG-2020-0024).

некогерентной накачкой может быть сведен к анали-

зу одного линейного однородного дифференциаль-

ного уравнения. Так, в случае P -функции это урав-

ПРИЛОЖЕНИЕ

нение (41) в [21], а для Q-функции — уравнение (9)

данной статьи. В рассмотренном здесь и в работе

Коэффициенты b_ik из уравнения (9) равны

b₀₂ = -

[1 + I_s(r + 1)] , b₀₃ = 1;

b₁₁ = -3 [1 + I_s(r + 1)] ,

b₁₂ =

[7 - 3I_s(r + 1)] , b₁₃ = 3;

b₂₀ = -3 [1 + I_s(r + 1)] ,

[

]

b₂₁ =

-21 - 26I_s(r + 1) + 3I2s(r + 1)²

b₂₂ = -3 [-4 + I_s(r + 1)], b₂₃ = 3;

[

]

b₃₀ =

-15 - 8I_s(r + 1) + 3I2s(r + 1)²

174

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Q-распределение для одноатомного лазера...

[

]

b₃₁ = -

Is c(1 + Is(r + 1)) - (r + 1)(-13 + 3Is(r + 1)) ,

b₃₂ =

[23 + I_s(2c - 7(r + 1))] , b₃₃ = 1;

[

]

b₄₀ =

- 24+I_s(r+1-3c)-I3s(r + 1)(c + (r + 1)²) + I2s(8(r + 1)² - c(3r + 4)) ,

[

]

b₄₁ =

15-2I_s(c+10(r+1))+I2s(5(r+1)²-2c(2r+1)) ,

(22)

b₄₂ =

[7 + I_s(4c - 3(r + 1))] ;

[

]

b₅₀ =

- 6 + I_s(5(r + 1) - 3c) + I3s(r + 1)(c(r - 1) - (r + 1)²) + I2s(2(r + 1)² - 4c) ,

[

]

b₅₁ =

3 - 4I_s(r + 1) + I2s((r + 1)² - 2cr)

b₅₂ = cI_s.

ЛИТЕРАТУРА

12.

Yi Mu and C. M. Savage, Phys. Rev. A 46, 5944

(1992).

I. R. Berchera and I. P. Degiovanni, Metrologia 56,

024001 (2019).

13.

А. В. Козловский, А. Н. Ораевский, ЖЭТФ 115,

1210 (1999).

V. D’ambrosio, N. Spagnolo, L. Del Re et al., Nat.

Commun. 4, 2432 (2013).

14.

B. Jones, S. Ghose, J. P. Clemens, P. R. Rice, and

L. M. Pedrotti, Phys. Rev. A 60, 3267 (1999).

S. Pogorzalek, K. G. Fedorov, M. Xu et al., Nat.

Commun. 10, 2604 (2019).

15.

Т. Б. Карлович, С. Я. Килин, Опт. и спектр. 91,

374 (2001).

K. С. Тихонов, A. Д. Манухова, С. Б. Королёв,

T. Ю. Голубева, Ю. M. Голубев, Опт. и спектр.

16.

С. Я. Килин, Т. Б. Карлович, ЖЭТФ 122, 933

127, 811 (2019).

(2002).

J. Shi, G. Patera, D. B. Horoshko, and M. I. Kolobov,

J. Opt. Soc. Amer. B 37, 3741 (2020).

17.

Т. Б. Карлович, С. Я. Килин, Опт. и спектр. 103,

288 (2007).

S. Ritter, C. Nolleke, C. Hahn et al., Nature 484, 195

(2012).

18.

Т. Б. Карлович, Опт. и спектр. 111, 758 (2011).

С. О. Тарасов, С. Н. Андрианов, Н. М. Арсланов,

19.

N. V. Larionov and M. I. Kolobov, Phys. Rev. A 84,

С. А. Моисеев, Изв. РАН, сер. физ. 82, 1148 (2018).

055801 (2011).

20.

S. Ya. Kilin and A. B. Mikhalychev, Phys. Rev. A 85,

Е. Н. Попов, В. А. Решетов, Письма в ЖЭТФ 111,

063817 (2012).

846 (2020).

21.

N. V. Larionov and M. I. Kolobov, Phys. Rev. A 88,

A. A. Sokolova, G. P. Fedorov, E. V. Il’ichev, and

013843 (2013).

O. V. Astafiev, Phys. Rev. A 103, 013718 (2021).

10.

Д. Ф. Смирнов, А. С. Трошин, УФН 153, 233

22.

E. N. Popov and N. V. Larionov, Proc. SPIE 9917,

(1987).

99172X (2016), DOI:10.1117/12.2229228.

11.

S. Ya. Kilin and T. B. Krinitskaya, J. Opt. Soc. Amer.

23.

В. А. Бобрикова, Р. А. Хачатрян, К. А. Баранцев,

B 8, 2289 (1991).

Е. Н. Попов, Опт. и спектр. 127, 976 (2019).

175