ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 2, стр. 206-220

ОПТОМЕХАНИЧЕСКАЯ ЛАЗЕРНАЯ ГЕНЕРАЦИЯ

И ДОМЕННЫЕ СТЕНКИ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ

ЭКСИТОН-ФОНОННЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

А. В. Юлин^a, А. В. Пошакинский^b, А. Н. Поддубныйb,a*

^a Университет ИТМО

197101, Санкт-Петербург, Россия

^b Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе

194021, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 26 июля 2021 г.,

после переработки 4 октября 2021 г.

Принята к публикации 4 октября 2021 г.

Теоретически исследовано взаимодействие оптически возбужденных экситонов с акустическими волнами

в планарных полупроводниковых наноструктурах в сильнонелинейном режиме. Для частоты оптической

накачки выше частоты экситонного резонанса описан режим многомодовой оптомеханической лазер-

ной генерации и продемонстрированы широкополосные спектры излучения, подобные хаотическим. Для

частоты оптической накачки ниже частоты экситонного резонанса предсказано формирование распро-

страняющихся оптомеханических доменных стенок, обусловленных оптомеханической нелинейностью.

Условия устойчивости доменных стенок исследованы аналитически и согласуются с результатами пря-

мого численного моделирования. Полученные результаты применимы к нелинейному распространению

звука в массивах квантовых ям или в планарных полупроводниковых брэгговских микрорезонаторах,

поддерживающих экситон-поляритонные моды.

DOI: 10.31857/S0044451022020067

взаимодействия [5]. Было предсказано, что поляри-

тонные оптомеханические системы могут усиливать

звук PT -симметричным образом [6], а также обла-

1. ВВЕДЕНИЕ

дают сильной акустической невзаимностью [7]. Од-

нако большинство исследований нелинейной опто-

Полупроводниковая оптомеханика, основанная

механической динамики поляритонов до сих пор

на использовании экситонных поляритонов — гиб-

проводилось в режиме оптомеханического резонато-

ридных квазичастиц, являющихся смесью фотонов

ра, когда лишь несколько локализованных экситон-

и материальных возбуждений, — испытывает в дан-

ных, фотонных и акустических мод взаимодейству-

ный момент бурное развитие, вызванное успехами

ют друг с другом, см. работу [8] и ссылки в ней. Учи-

в технологиях создания планарных наносистем [1].

тывая огромный прогресс в понимании коллектив-

Недавно были реализованы фононные лазеры с по-

ных нелинейных оптомеханических эффектов в мас-

ляритонной накачкой

[2] и динамически перестра-

сивах связанных резонаторах [9-14], включая явле-

иваемые массивы поляритонных параметрических

ние синхронизации [12, 15], формирование солито-

резонаторов [3]. Особенностью поляритонной плат-

нов [14] и химерные состояния [11], актуально рас-

формы является наличие резонансного фотоупруго-

смотрение распределенных поляритонных систем, в

го взаимодействия в дополнение к геометрическому

которых акустические волны взаимодействуют с эк-

оптомеханическому взаимодействию [4]. С акустиче-

ситонами и светом.

ской волной может взаимодействовать как экситон-

ная, так и фотонная компонента поляритона, что

В настоящей работе теоретически изучено нели-

может приводить к усилению оптомеханического

нейное оптомеханическое взаимодействие между оп-

тически накачивыемыми экситонами и распростра-

^* E-mail: poddubny@coherent.ioffe.ru

няющимися акустическими волнами. Мы предпо-

206

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Оптомеханическая лазерная генерация и доменные стенки.. .

ных барьерами AlAs толщиной 7.5 нм, когда прибли-

жение сплошной среды вполне оправдано. Лагран-

жиан для такой системы имеет вид

]

^[ (∂_tA)²

- (∂_zA)²

P∂_tA+

8π

c²

(∂_tu)² -

(∂_zu)² +

[

]

(∂_tP )² - (ω_x + Ξ ∂_z u)²P²

(1)

Первый член лагранжиана (1) соответствует свобод-

Рис.

1. Схематическое изображение рассматриваемой

ному электромагнитному полю, описываемому век-

структуры. Оптомеханическая доменная стенка распро-

торным потенциалом A(z, t), а второй член пред-

страняется перпендикулярно массиву полупроводниковых

ставляет его взаимодействие с экситонной поляри-

квантовых ям (КЯ) при наличии однородной оптической

зацией P (z, t). Вторая строка лагранжиана (1) опи-

накачки E exp(-iωpt) (ОД — оптическое детектирование)

сывает поле механических смещений u(z, t), где ρ —

плотность среды и E — модуль Юнга. Последняя

строка уравнения (1) представляет собой лагранжи-

лагаем, что экситоны имеют большую массу и,

ан гармонического осциллятора, описывающего по-

следовательно, квазилокализованы в пространстве.

ляризацию экситона. Частота осциллятора линейно

Такая ситуация обычно реализуется в периодиче-

сдвигается с деформацией ∂_zu; константа деформа-

ских полупроводниковых сверхрешетках, где экси-

ционного потенциала Ξ приблизительно равна 10 эВ.

тоны локализованы внутри квантовых ям, а про-

Предполагается, что экситоны не могут двигаться в

дольная акустическая волна может свободно рас-

направлении z, будучи сильно ограниченными внут-

пространяться вдоль нормали структуры [5, 16].

ри отдельных квантовых ям. Константа нормиров-

Подобная структура изображена схематически на

ки f связана с продольно-поперечным расщеплени-

рис. 1. Помимо этого, полученные результаты могут

ем ω

[18] как f = 2π/ω_xω

. В массиве квантовых

быть применены к латерально распространяющим-

ям GaAs/AlGaAs это расщепление порядка ℏω

∼

ся акустическим волнам в планарных брэгговских

∼ 0.1 мэВ [5].

полупроводниковых микрорезонаторах [3]. В рабо-

Из лагранжиана (1) следуют уравнения движе-

те продемонстрировано, что нелинейная оптомеха-

ния для полей A(z, t), u(z, t), и P (z, t):

ническая динамика может быть довольно сложной

в зависимости от частоты накачки, длины структу-

∂2tA - c²∂2zA = 4πc∂_tP ,

(2)

ры и граничных условий. Помимо известного режи-

∂2tu - s²∂2zu = (fω_xΞ/ρ) ∂_zP² ,

(3)

ма оптомеханической лазерной генерации [17] мы

∂2tP + ω2xP = -2ω_xΞP ∂_zu - (1/fc)∂_tA,

(4)

также предсказываем образование движущихся с

√

дозвуковой скоростью оптомеханических доменных

где s =

E/ρ — скорость (продольного) звука и мы

стенок.

пренебрегли квадратичными по Ξ вкладами.

Поскольку частота экситона намного выше аку-

стической, положим

2. МОДЕЛЬ

P (z, t) = P₁(z, t) exp(-iω_xt) + c.c.,

Рассматривается распространение взаимодейст-

A(z, t) = A₁(z, t) exp(-iω_xt) + c.c.

вующих света, экситонов и акустических волн вдоль

нормали z плоской периодической полупроводнико-

Затем, используя приближение вращающейся вол-

вой наноструктуры, такой как массив квантовых

ны, из уравнений (3), (4) получаем

ям, показанный на рис. 1. Когда длины оптичес-

4πΞ

ких и акустических волн больше периода структу-

∂2tu - s²∂2zu =

∂_z|P₁|² ,

(5)

ры вдоль оси роста z, систему можно рассматри-

ω_LT ρ

ω_LT

вать как сплошную среду. Например, эксперимент

i∂_tP₁ = ΞP₁ ∂_zu -

E₁ ,

(6)

4π

по мандельштам-бриллюэновскому рассеянию экси-

тонных поляритонов в работе [5] был проведен для

где E₁(z, t) = (iω_x/c)A₁(z, t) — электрическое по-

40 квантовых ям GaAs толщиной 17.1 нм, разделен-

ле. Вместо поля смещений u(z, t) удобно ввести поле

207

А. В. Юлин, А. В. Пошакинский, А. Н. Поддубный

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

ξ(z, t) = Ξ∂_zu + ϵ|P₁|², где ϵ = 4πΞ²/ω_LT E. Это по-

b₀ =

(9)

ле пропорционально напряжению и учитывает как

ω_p - ω_x - ξ₀ + iΓ_x

механический, так и экситонный вклад. Тогда полу-

Для анализа устойчивости исследуется динамика

чаем систему уравнений

малых поправок ζ и a = a₁ +ia₂ к полю деформаций

ξ и полю поляризаций P₁. Их эволюция описывается

∂2tξ + 2Γ_s∂_tξ - s²∂2zξ = ϵ∂2t|P₁|² ,

(7)

уравнениями

i∂_tP₁ = -iΓ_xP₁ + ξP₁ + α|P₁|²P₁ + G,

(8)

∂2tζ + 2Γ_s∂_tζ - s²∂2zζ = 2ϵ|b₀|∂2ta₁,

(10)

где G(z, t) = (ω

/4π)E₁(z, t) и дополнительно бы-

ли введены скорости затухания экситона Γ_x и звука

∂_ta₁ = -(ω_p - ω_x - ξ₀)a₂ - Γ_xa₁ ,

(11)

Γ_s. Из уравнения (8) следует, что взаимодействие со

∂_ta₂ = (ω_p - ω_x - ξ₀)a₁ - Γ_xa₂ - |b₀|ζ .

(12)

звуком вызывает нелинейность для экситона с кон-

Рассматривая решение, зависящее от времени и ко-

стантой α = -ϵ [19]. Однако такая нелинейность для

ординаты как exp(-iΩt+ikz), получаем условие раз-

реалистичных параметров подавляется экситон-эк-

решимости уравнений (10)-(12) в виде

ситонным отталкивающим взаимодействием, приво-

(

)(

)

дящим к суммарному значению α > 0. Влияние та-

s²k² - Ω² - 2iΓ_sΩ

Δ² + Γ2x - Ω² - 2iΓ_xΩ

кой нелинейности широко изучалось, в частности, в

+ 2Ω²ϵ|b₀|²Δ = 0 ,

(13)

работах [19-21]. В настоящей статье нас интересу-

ет эффект экситон-звукового взаимодействия. По-

где Δ = ω_p - ω_x - ξ₀ - отстройка частоты лазера от

этому вклад, пропорциональный α, не учитывает-

экситонного резонанса.

ся. Мы также предполагаем, что электрическое по-

В режиме сильной связи, когда Γ_s и Γ_x малы,

ле E₁(z, t) определяется лазером накачки, и прене-

дисперсионное соотношение в главном порядке при-

брегаем обратным действием экситонов, т. е. прене-

ближения имеет вид

брегаем уравнением (2), что оправдано при условии

s²k² + Δ(Δ - 2ϵ|b₀|²)

<Γ_x.

Ω² =

Рассматривается случай однородного возбужде-

√

ния с частотой ω_p:

[s²k² - Δ(Δ + 2ϵ|b₀|²)]² - 8Δ³ϵ|b₀|².

(14)

E₁(z, t) = E exp[-i(ω_p - ω_x)t] .

При положительной отстройке лазера (Δ

> 0)

Это можно реализовать, возбуждая массив сбоку,

собственные частоты становятся комплексными в

√

как показано на рис. 1. Эксперимент по распростра-

окрестности k = ±

Δ(Δ + 2ϵ|b₀|²)/s. Более того,

нению нелинейных акустических возбуждений, ко-

некоторые собственные частоты имеют положитель-

торый будет обсуждаться далее, потенциально мо-

ную мнимую часть, что указывает на рост соответ-

жет быть проведен следующим образом. Звук за-

ствующих собственных мод со временем.

пускается с левого края структуры путем возбуж-

Теперь исследуем влияние конечных потерь на

дения коротким оптическим лазерным импульсом,

неустойчивость. Предполагается, что потери и на-

как это было сделано в работах [16,22]. Волна приво-

качка слабые по сравнению с соответствующими

дит к модуляции частот экситонного резонанса. Эта

звуковыми частотами, Γ_x, Γ_s, ϵ|b₀|² ≪ |Δ|, s|k|. Тог-

модуляция исследуется оптически путем измерения

да естественно предположить, что наиболее неста-

либо обратного мандельштам-бриллюэновского рас-

бильная мода будет иметь волновой вектор k

≈

сеяния экситонных поляритонов [5], либо когерент-

≈ ±|Δ|/s и частоту Ω ≈ |Δ|. Вблизи этой точки

ного отражения оптического импульса [16]. Типич-

уравнение (13) можно упростить до

ные интенсивности накачки в современном экспери-

менте «накачка-зондирование» [16] были равны J ∼

(Ω - sk + iΓ_s)(Ω - |Δ| + iΓ_x) = -

ϵ|b₀|²Δ .

(15)

∼ 0.1 мДж/см², а нелинейные акустические эффек-

Анализ показывает, что нестабильность сохраняет-

ты наблюдались для J ≳ 3 мДж/см².

ся, если

ϵ|b₀|²Δ > 2Γ_xΓ_s.

3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ В

Нестабильными оказываются акустические волны с

ЛИНЕАРИЗОВАННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

волновыми векторами в области

√

Сначала рассмотрим однородные в пространстве



Δ

Γ_s + Γ_x

ϵ|b₀|²Δ

напряжение ξ(z, t) = ξ₀ и экситонную поляризацию



k| -



-1.

^|

^<

2Γ_sΓ_x

P₁(z, t) = b₀ exp[-i(ω_p - ω_x)t], где

208

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Оптомеханическая лазерная генерация и доменные стенки.. .

Рис. 2. (В цвете онлайн) Установившаяся эволюция поля деформаций ξ(z, t) (а) и временная эволюция амплитуд первых

пяти пространственных гармоник (б) для длины системы L = 3.3s/Γx. Параметры расчета приведены в тексте

Рис. 3. (В цвете онлайн) То же, что на рис. 2, но для L = 4.5s/Гx

4. РЕЖИМ ОПТОМЕХАНИЧЕСКОЙ

ξ(±L/2) = 0. В качестве начальных условий был

ЛАЗЕРНОЙ ГЕНЕРАЦИИ

взят слабый шум для ξ и стационарное решение

для b₀.

Рисунок 2 рассчитан для длины структуры L =

Исследуем численно динамику системы в случае,

= 3.3 s/Γ_x. На рис. 2а показана цветом карта де-

когда основное состояние неустойчиво и структура

формаций ξ(z, t). На рис. 2б представлена времен-

генерирует автоколебания. На рис. 2 и 3 показаны

ная эволюция амплитуд пространственных спект-

результаты расчетов для Δ/Γ_x = 1.5, Γ_s/Γ_x = 0.01,

ральных гармоник. Мы определяем их как

ϵG²/Γ3x = 0.09 и разных длин системы L. Предпо-

ложим, что напряжения на краях структуры рав-

√

ны нулю, что соответствует граничным условиям

S_m = (k_m/s)²|S_ξ(k_m)|² + |S∂tξ(km)|²,

209

А. В. Юлин, А. В. Пошакинский, А. Н. Поддубный

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Рис. 4. (В цвете онлайн) Установившаяся динамика акустической составляющей, рассчитанная для различных акустичес-

ких импедансов, определяющих граничные условия в уравнении (16): Zr = 0 (а), Zr = 0.25 (б), Zr = 4 (в) и Zr = ∞ (г).

Другие параметры расчета не менялись: L = 32s/Γx и ϵG²/Γ^x = 0.04. Начальными условиями для расчета были взяты

случайные шумы как в акустической, так и в экситонной составляющих. Показана рассчитанная динамика после большой

задержки t0 = 10000/Γx , когда переходные процессы уже успели завершиться

где S_ξ и S∂tξ — пространственные спектры соответ-

При большой длине системы и большой мощно-

ственно ξ и ∂_tξ, а k_m = πm/L. Видно, что положи-

сти накачки динамика становится намного богаче.

тельный темп роста наблюдается только для одной

Это обусловлено тем, что большое количество про-

моды m = 2.

странственных гармоник попадает в диапазон уси-

Для более длинной системы несколько простран-

ления и одновременно возбуждается в системе. На

ственных гармоник могут находиться в пределах

нелинейном этапе поведение системы определяется

диапазона усиления в линейном режиме. Случай,

сложной динамикой взаимодействующих мод. Бы-

когда две гармоники усиливаются одновременно, по-

ло проведено численное моделирование для накачки

казан на рис. 3. Параметры расчета выбраны таки-

ϵG²/Γ3x = 4 и длины системы L = 32 s/Γ_x. Эволю-

ция распределения акустической энергии в системе

ми же, как для рис. 2, но L = 4.5 s/Γ_x. Происхо-

дит конкуренция между модами, и, в зависимости

показана на рис. 4 при различных граничных усло-

виях, наложенных на правом краю,

от начального условия, могут образовываться два

различных стационарных состояния, в которых до-

минирует либо гармоника с m = 3, как на рис. 3,

∂_tξ_t(L/2) + sZ_r∂_zξ(L/2) = 0 ,

(16)

либо гармоника с m = 2.

210

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Оптомеханическая лазерная генерация и доменные стенки.. .

Рис. 5. Спектры скорости Sdtξ (слева) и соответствующие корреляционные функции скорости g(τ ) (справа), рассчи-

танные для различных акустических импедансов Zr на правой границе. Скорость измерялась при z0 = 0 (а, б) и при

z0 = L/2 = 16s/Γx (в-з). Акустический импеданс Zr увеличивается сверху вниз, как показано на рисунке. Параметры

такие же, как для рис. 4

которые описывают ситуацию, когда область z >

рость рассчитывалась на правом конце (z₀ = L/2)

> L/2 заполнена материалами с различными акус-

для всех случаев, кроме рис. 5a,б. Выбор для из-

тическими импедансами, характеризуемыми пара-

мерения скорости на правом краю сделан потому,

метром Z_r

= 0, 0.25, 4, ∞ соответственно для

что это значение определяет интенсивность излуче-

рис. 4а,б,в,г. На левом краю всегда считалось, что

ния акустических волн на среду, контактирующую

ξ(-L/2) = 0, т. е. Z_l = 0.

со структурой справа. В случае, когда Z_r = 0, ско-

рость на правом краю тождественно равна нулю,

Видно, что динамика существенно меняется в за-

поэтому для анализа было выбрано ее значение в

висимости от импеданса на правом краю. Далее бы-

середине структуры, z₀ = 0.

ли рассчитаны временные спектры скорости v(t) =

= ∂_tξ(z₀, t), см. рис. 5, где верхняя строка соответ-

Видно, что все спектры скоростей на

ствует импедансам Z_r = 0, нижние три строки со-

рис. 5а,в,д,ж довольно широкие, но имеют разную

ответствуют Z_r = 0.25s, Z_r = 4s, Z_r = ∞. Ско-

ширину и структуру. Корреляционные функции

211

А. В. Юлин, А. В. Пошакинский, А. Н. Поддубный

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Рис. 6. То же, что и на рис. 5. Более узкая часть спектра показана с большим разрешением. Корреляционные функции

показаны на больших временах. Вертикальные линии в правом столбце указывают время однократного прохождения

акустической волны через структуру и время ее прохождения туда и обратно

∫

Интересно рассмотреть тонкую структуру спект-

v(t - τ)v(t) dt

ров и поведение корреляционных функций на вре-

g(τ) =

∫

менах, сравнимых со временем прохождения акусти-

v(t)²dt

ческих волн через систему. Это показано на рис. 6.

Видно, что в случае Z_r = 0 корреляционная функ-

показанные в правом столбце рис. 5, быстро зату-

ция имеет резкий максимум при τ ≈ 64/Γ_x, кото-

хают, что хорошо согласуется с шириной спектра.

рый соответствует проходу акустической волны че-

Широкие спектры и быстрозатухающие корреляци-

рез структуру слева направо и затем обратно, спра-

онные функции подтверждают, что динамика акус-

ва налево. Другой максимум виден при τ ≈ 32/Γ_x

тического поля очень сложна и, возможно, хаотич-

и соответствует времени однократного прохождения

на. Интересно отметить, что в линейном режиме аб-

акустических волн через структуру слева направо.

солютные значения коэффициентов отражения аку-

При Z_r = 0.25s максимумов корреляционной функ-

стических волн для Z_r = 0.25s и Z_r = 4s одинаковы,

ции, кроме максимума при τ = 0, не наблюдается.

но в нелинейном режиме генерации динамика для

Для Z_r = 4s и Z_r = ∞ первые максимумы распо-

этих импедансов различается. Это может происхо-

ложены при τ ≈ 64/Γ_x. Данные особенности прояв-

дить из-за того, что экситоны влияют на отражение

ляются и в тонкой структуре спектров. Расстояние

акустической моды на краях системы.

212

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Оптомеханическая лазерная генерация и доменные стенки.. .

Рис. 7. Диаграммы существования дозвуковых и сверхзвуковых оптомеханических доменных стенок для различных па-

раметров v - ωx и амплитуд накачки. Накачка изменяется от G = 0.2Γx до G = 2.9Γx с шагом 0.3Γx (а) и от G = Γx до

G = 0.35Γx с шагом -0.05Γx (б)

между соседними пиками соответствует указанным

уравнение для стационарного распределения поля b

выше временам: оно равно Δω ≈ 0.2Γ_x (рис. 6б) и

экситонных поляризаций:

Δω = 0.1Γ_x (рис. 6е,з).

v∂_ηb = i^Ωb + Γ_xb + iμ|b|²b + iG,

(18)

где

Ω= ω_x - ω_p + ξ₀

и μ = ϵv²/(v² - s²).

5. ОПТОМЕХАНИЧЕСКИЕ ДОМЕННЫЕ

Без ограничения общности можно поло-

СТЕНКИ

жить ξ

= 0 при η

= -∞. Это означает, что

b(η

= -∞)

= G/(ω_p - ω_x + iΓ_x) и поэтому

Теперь рассмотрим ситуацию, когда накачка от-

ξ₀

= -μG²/[Γ2x + (ω_x - ω_p)²]. Это состояние мы

рицательно отстроена от экситонного резонанса,

далее называем основным состоянием.

ω_p < ω_x. В этом случае однородное решение явля-

Выясним, можно ли связать основное состоя-

ется стабильным и оптомеханическая генерация не

ние доменной стенки с другим пространственно-од-

происходит, но ниже будет показано, что возможно

нородным состоянием. Это возможно, только если

образование оптомеханических доменных стенок.

уравнение (18) имеет три пространственно-однород-

Сначала рассмотрим случай Γ_s = 0 и перепишем

ных решения. Нетрудно написать алгебраическое

основные уравнения (7), (8) в системе отсчета, дви-

уравнение для интенсивности пространственно-од-

жущейся со скоростью v:

нородных состояний:

(∂2t - 2v∂_t∂_η)(ξ - ϵ|b|²) = (s² - v²)∂2ηξ + ϵv²∂2η|b|²,

μ²|b|⁶ + 2Ωμ|b|⁴ + (Ω2 + Γ2x)|b|² - G² = 0.

(19)

∂_tb = v∂_ηb - i(ω_x - ω_p)b - Γ_xb - ibξ - iG,

Используя то, что одно из решений есть |b₀|2 =

], можно представить другие

= G²/[(ω_x - ω_p)² + Γ2x

где b(η, t) = P₁(z, t) и η = z - vt. Стационарные ре-

два решения уравнения (19) в простой форме:

шения в движущейся системе отсчета описываются

(

связанными уравнениями

G²

2(ω_x - ω_p)

|b|² =

(ω_x - ω_p)² + Γ2x

ϵv

∂2ηξ =

∂2η|b|²,

v² - s²

(17)

√

)

v∂_ηb = i(ω_x - ω_p)b + Γ_xb + ibξ + iG.

G⁴

4(ω_x-ω_p)G²

4Γ

[(ω_x-ω_p)²+Γ2x]²

μ[(ω_x-ω_p)²+Γ2x]

μ²

Уравнение (17) имеет решение ξ = ϵv²|b|²/(v² -s²)+

(20)

+ ξ₀, где ξ₀ — константа. Используя это, получаем

213

А. В. Юлин, А. В. Пошакинский, А. Н. Поддубный

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Рис. 8. (В цвете онлайн) a) Области существования нескольких стационарных решений для G = 2Γx и v < s. б, в) Из-

менения экситонной компоненты b стационарных решений в зависимости от скорости v (соответствующий путь показан

штриховой линией на рис. а) при ωx - ωp = Γx. г) Бифуркационная диаграмма для механической составляющей ξ.

Синие линии соответствуют основному решению, а зеленые и красные линии — двум другим решениям. Столкновение

основного состояния с другим устойчивым состоянием отмечено знаком «bf». Седло (s) и два стационарных состояния

типа фокус (f1, f2) отмечены на фазовой плоскости на рис. 10 (см. ниже). Пунктирные линии показывают устойчивые

состояния, которые не связаны с основным состоянием

Эти три решения существуют в области параметров

занное синей линией, соответствует основному реше-

ω_x - v, находящейся справа от кривых на рис. 7а и

нию ξ = 0. Два других решения показаны зеленой и

слева от кривых на рис. 7б.

красной линиями. Рисунки 8б и 8в демонстрируют,

как экситонные компоненты стационарных решений

Анализ показывает, что сверхзвуковые доменные

меняются с изменением скорости v. Аналогичная би-

стенки никогда не могут соединять динамически

фуркационная диаграмма для механической состав-

устойчивые решения. Поэтому основное внимание

ляющей ξ представлена на рис. 8г. Можно видеть,

мы уделяем дозвуковым доменным стенкам. Преж-

что при определенном значении v основное состоя-

де всего исследуем, как изменяются установившиеся

ние сталкивается с другим решением, точка столк-

состояния, когда параметр v изменяется для фик-

новения (bf) отмечена на рис. 8.

сированного значения ω_x в области существования

Перейдем к классификации стационарных состо-

нескольких решений. Соответствующий путь пока-

яний. Это можно сделать, найдя собственные зна-

зан штриховой линией на рис. 8а. Решение, пока-

чения линеаризованной задачи, описывающей про-

214

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Оптомеханическая лазерная генерация и доменные стенки.. .

Рис. 9. (В цвете онлайн) Эволюция действительной (справа) и мнимой (слева) частей собственных значений, опреде-

ляющих пространственную релаксацию к основному состоянию (а и б) и к двум другим устойчивым состояниям (в-е).

Показаны типы стационарных состояний для седел (s), для узлов (n) и для фокусов (f)

странственную эволюцию поля b в окрестности то-

седлом и имеет гетероклинические связи со всеми

чек равновесия. Действительная и мнимая части со-

другими устойчивыми состояниями. Эти гетерокли-

ответствующих собственных значений представле-

нические связи показаны толстыми красными лини-

ны на рис. 9. Расчет показывает, что для скоростей,

ями, что говорит о существовании двух разных до-

близких к 1, основное состояние — седло, два дру-

менных стенок, движущихся со скоростью v = 0.85s.

гих — фокусы. Соответствующая фазовая плоскость

Эти доменные стенки связывают основное состояние

для v = 0.85s показана на рис. 10. Он демонстриру-

с состояниями с различными механическими ξ и эк-

ет, что основное состояние действительно является

ситонными b компонентами.

215

А. В. Юлин, А. В. Пошакинский, А. Н. Поддубный

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Рис. 10. (В цвете онлайн) Фазовая плоскость для v = 0.85s и ωx = ωp + Γx (а) и части фазовой плоскости вблизи

стационарных состояний (б-г)

Пространственный профиль доменной стенки,

лаксация становится монотонной, когда фокус пре-

соединяющей основное состояние с состоянием, обо-

вращается в узел.

значенным как «f2», показан на рис. 11a. Посколь-

ку одно из стационарных состояний представляет

Важный результат состоит в том, что при

собой фокус, хвост, переходящий в данное стацио-

некоторой пороговой скорости основное состояние

нарное состояние, осциллирует в пространстве. Это

сталкивается с другим стационарным состоянием

объясняет существование дополнительного макси-

в процессе транскритической бифуркации. В точке

мума в пространственном спектре доменной стенки

бифуркации хвосты доменной стенки релаксируют

(рис. 11б). Этот максимум становится более выра-

к основному состоянию алгебраически, поскольку

женным для более высоких скоростей, когда колеба-

соответствующее собственное значение обращается

ния становятся быстрее, а скорость их уменьшается

в нуль. Здесь следует отметить, что основное состоя-

(см. рис. 9в и 9г). Для более низких скоростей ре-

ние становится узлом для скоростей ниже пороговой

216

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Оптомеханическая лазерная генерация и доменные стенки.. .

Рис. 11. (В цвете онлайн) а) Эволюция экситонного поля b в доменной стенке, соединяющей основное состояние s и

стационарное состояние f2. б и в) Нормированные компоненты механической деформации ξ и ∂zξ в доменной стенке.

г) Нормированный пространственный спектр ξz для v = 0.85s. Тонкие синие и зеленые линии показывают спектры для

скоростей доменных стенок v = 0.8s и v = 0.9s

скорости бифуркации. Это означает, что для этих

ходит транскритическая бифуркация: основное со-

скоростей основное состояние может быть связано

стояние становится узлом, а второе состояние ста-

только с одним из двух других стационарных состо-

новится седлом. Как и в предыдущем случае, после

яний. На рис. 8а и 8г состояния, не имеющие связи с

точки бифуркации основное состояние может быть

основным состоянием, показаны пунктирной лини-

связано только с одним из двух других состояний.

ей.

При еще меньших скоростях второй фокус также

превращается в узел.

Для меньших значений частоты ω_x бифуркаци-

онная диаграмма выглядит иначе, как показано на

Для экспериментального наблюдения доменные

рис. 12. В этом случае основное состояние сталки-

стенки должны быть динамически устойчивыми.

вается с иным решением, чем для ω_x - ω_p = Γ_x.

Спектральный анализ показывает, что это так, если

Зависимости собственных значений, определяющих

соответствующие стационарные состояния стабиль-

релаксацию доменных стенок к фону, от скорости

ны. Как обсуждалось ранее, пространственно-одно-

v показаны на рис. 13. При высоких скоростях ос-

родные состояния устойчивы, если (ω_x - ω_p) + ξ > 0.

новным стационарным состоянием является седло, а

Таким образом, стабильные доменные стенки явля-

двумя другими состояниями — фокусы. Затем один

ются связями между состояниями, расположенны-

из фокусов превращается в узел. Наконец, проис-

ми над тонкими горизонтальными черными лини-

217

ЖЭТФ, вып. 2

А. В. Юлин, А. В. Пошакинский, А. Н. Поддубный

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Рис. 12. (В цвете онлайн) То же что на рис. 8, но для ωx = ωp + 0.2Γx

ями на рис. 8г и 12г. Также было изучено, как ко-

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

нечные механические потери влияют на распростра-

нение доменной стенки. Было установлено, что до-

Таким образом, мы теоретически исследовали

менные стенки могут образовываться при наличии

сильнонелинейный режим оптомеханического взаи-

механических потерь, если потери не слишком вели-

модействия между оптически накачивыемыми экси-

ки.

тонами в полупроводниковой сверхрешетке и рас-

пространяющимися акустическими фононами. Бы-

ли рассмотрены различные режимы взаимодейст-

Образование доменных стенок наблюдалось и

вия в зависимости от отстройки частоты накачки

при прямом численном решении уравнений. Распро-

от частоты экситонного резонанса.

страняющиеся волны хорошо описываются разви-

той теорией. Численный расчет также показывает,

Если частота накачки выше частоты экситонного

что две доменные стенки образуются после того, как

резонанса, то структура находится в режиме опто-

левый край системы сдвигается на Δξ₁ при t = t₁,

механической лазерной генерации. Однако, в отли-

а затем при t = t₂ > t₁ на Δξ₂. Обычно эти домен-

чие от обычного одномодового оптомеханического

ные стенки распространяются с разными скоростя-

лазера [8, 17, 23], была обнаружена сложная конку-

ми. Если вторая доменная стенка быстрее первой, то

ренция между усиливающимися акустическими мо-

в какой-то момент они сталкиваются, образуя новую

дами, которая происходит, когда структура доста-

доменную стенку со своей скоростью.

точно длинная, так что несколько пространствен-

218

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Оптомеханическая лазерная генерация и доменные стенки.. .

Рис. 13. (В цвете онлайн) То же что на рис. 9, но для ωx - ωp = 0.2Γx

ных гармоник попадают в контур усиления. Широ-

В случае, когда структура накачивается с час-

кий спектр генерируемого акустического поля и его

тотой ниже частоты экситонного резонанса, опто-

корреляционные функции, быстро затухающие во

механическая генерация невозможна, но вместо нее

времени, указывают на довольно сложную и, веро-

могут формироваться оптомеханические доменные

ятно, хаотическую динамику. Мы также показали,

стенки. Был проведен подробный анализ стацио-

что спектры излучения существенно зависят от гра-

нарных состояний в структуре и было показано,

ничных условий для акустической волны на краю

что только дозвуковые доменные стенки могут быть

структуры.

стабильными и соединять динамически устойчи-

219

А. В. Юлин, А. В. Пошакинский, А. Н. Поддубный

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

вые стационарные решения. Рассчитаны зависимос-

10.

A. Xuereb, C. Genes, and A. Dantan, Phys. Rev.

ти скорости стенки и амплитуды деформации от

Lett. 109, 223601 (2012).

частоты накачки.

11.

E. A. Martens, S. Thutupalli, A. Fourriére, and

Мы надеемся, что полученные результаты

O. Hallatschek, Proc. Nat. Acad. Sci. 110, 10563

будут полезны для быстро развивающейся об-

(2013).

ласти резонансной оптомеханики и могут быть

экспериментально подтверждены для современных

12.

M. Bagheri, M. Poot, L. Fan et al., Phys. Rev. Lett.

111, 213902 (2013).

структур. Естественным продолжением этой рабо-

ты могло бы стать исследование фоноритонного

13.

B. J. Eggleton, C. G. Poulton, and R. Pant, Adv.

режима [7, 24, 25], когда не только экситоны и

Opt. Photon. 5, 536 (2013).

акустические волны, как в текущем исследовании,

а три типа возбуждений: свет, экситон и акусти-

14.

J.-H. Gan, H. Xiong, L.-G. Si et al., Opt. Lett. 41,

2676 (2016).

ческие волны, испытывают сильное нелинейное

взаимодействие.

15.

M. H. Matheny, M. Grau, L. G. Villanueva et al.,

Phys. Rev. Lett. 112, 014101 (2014).

Благодарности. Работа выполнена при фи-

16.

M. Kobecki, A. V. Scherbakov, S. M. Kukhtaruk et

нансовой поддержке Российского научного фонда

al., arXiv:2106.07019 (2021).

(грант № 20-42-04405).

17.

M. Aspelmeyer, T. J. Kippenberg, and F. Marquardt,

Rev. Mod. Phys. 86, 1391 (2014).

ЛИТЕРАТУРА

18.

E. L. Ivchenko, Optical Spectroscopy of Semicon-

ductor Nanostructures, Alpha Science International,

1. P. Delsing, A. N. Cleland, M. J. A. Schuetz et al.,

Harrow, UK (2005).

J. Phys. D 52, 353001 (2019).

19.

D. V. Vishnevsky, D. D. Solnyshkov, G. Malpuech et

2. D. L. Chafatinos, A. S. Kuznetsov, S. Anguiano et

al., Phys. Rev. B 84, 035312 (2011).

al., Nature Comm. 11, 4552 (2020).

20.

N. Bobrovska, M. Matuszewski, T. C. H. Liew, and

3. A. S. Kuznetsov, G. Dagvadorj, K. Biermann et al.,

O. Kyriienko, Phys. Rev. B 95, 085309 (2017).

Optica 7, 1673 (2020).

21.

A. V. Yulin, V. K. Kozin, A. V. Nalitov, and I. A. She-

4. C. Baker, W. Hease, D.-T. Nguyen et al., Opt.

lykh, Phys. Rev. A 100, 043610 (2019).

Express 22, 14072 (2014).

22.

I. A. Mogunov, S. Lysenko, F. Fernández et al., Phys.

5. B. Jusserand, A. N. Poddubny, A. V. Poshakinskiy

Rev. Materials 4, 125201 (2020).

et al., Phys. Rev. Lett. 115, 267402 (2015).

23.

H. Wu, G. Heinrich, and F. Marquardt, New J. Phys.

6. A. V. Poshakinskiy, A. N. Poddubny, and A. Fain-

15, 123022 (2013).

stein, Phys. Rev. Lett. 117, 224302 (2016).

24.

А. Л. Иванов, Л. В. Келдыш, ЖЭТФ 84, 404

7. A. V. Poshakinskiy and A. N. Poddubny, Phys. Rev.

(1983).

Lett. 118, 156801 (2017).

25.

L. Hanke, D. Fröhlich, A. L. Ivanov et al., Phys. Rev.

8. E. S. Vyatkin and A. N. Poddubny, Phys. Rev. B 104,

Lett. 83, 4365 (1999).

075447 (2021).

26.

S. Latini, U. De Giovannini, E. J. Sie et al., Phys.

9. G. Heinrich, M. Ludwig, J. Qian et al., Phys. Rev.

Rev. Lett. 126, 227401 (2021).

Lett. 107, 043603 (2011).

220