ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 2, стр. 266-280

АКТИВАЦИОННЫЙ ПРЫЖКОВЫЙ ТРАНСПОРТ

В НЕМАТИЧЕСКИХ ПРОВОДЯЩИХ АЭРОГЕЛЯХ

В. И. Цеброa,b*, Е. Г. Николаевb**, Л. Б. Луганский^b, М. И. Кутузов^c,

Р. А. Хмельницкий^a, А. А. Тонких^d, А. И. Харьковский^e

^a Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

^b Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

119334, Москва, Россия

^c Metallurg Engineering Ltd.

11415, Tallinn, Estonia

^d Институт общей физики им. А. М. Прохорова Российской академии наук

119991, Москва, Россия

^e Институт физики высоких давлений им. Л. Ф. Верещагина Российской академии наук

142190, Москва, Россия

Поступила в редакцию 27 сентября 2021 г.,

после переработки 13 октября 2021 г.

Принята к публикации 13 октября 2021 г.

Исследованы транспортные свойства нематических аэрогелей, состоящих из нановолокон Al2O3·SiO2

с высокой степенью ориентации, покрытых графеновой оболочкой с большим количеством дефектов.

Температурные зависимости электросопротивления в диапазоне 9-40 K строго следуют формуле для

прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка, в которой показатель степени α меняется от 0.4

до 0.9 при уменьшении числа слоев в графеновой оболочке от 4-6 до 1-2. Зависимость α от толщины

оболочки можно объяснить одновременным изменением размерности прыжкового транспорта и харак-

тера зависимости плотности локализованных состояний от энергии вблизи уровня Ферми. Приближение

α к единице при минимальной толщине графеновой оболочки свидетельствует о постепенном переходе

от транспорта с переменной длиной прыжка к прыжковому транспорту на ближайшие соседние места.

Измеренное при T = 4.2 K магнитосопротивление является отрицательным, существенно возрастает с

уменьшением толщины графеновой оболочки и с хорошей точностью аппроксимируется формулой для

случая слабой локализации. При этом значения длины фазовой когерентности находятся в разумном

соотношении с размером графеновых зерен. Исследованные проводящие аэрогели дополняют уже из-

вестный набор материалов, в которых при низких температурах наблюдается прыжковый электронный

транспорт, что свойственно средам с сильной локализацией носителей заряда, и одновременно отрица-

тельное магнитосопротивление, обычно проявляющееся в условиях слабой локализации.

DOI: 10.31857/S0044451022020122

ных волокон диаметром 5-50 нм и длиной поряд-

ка нескольких сантиметров [1,2]. Сильная анизотро-

пия таких аэрогелей дает возможность исследовать

1. ВВЕДЕНИЕ

ряд фундаментальных физических явлений в сре-

дах, заполняющих аэрогель, как это, например, сде-

Среди всего многообразия аэрогелей выделяют-

лано в работах, посвященных квантовым свойствам

ся нематически упорядоченные системы, состоящие

сверхтекучего³He [3,4]. С другой стороны, интерес

из почти параллельных друг другу наноразмер-

могут представлять и свойства самого нематически

упорядоченного аэрогеля, если, например, сделать

^* E-mail: v.tsebro@mail.ru

его токопроводящим. В упомянутых выше работах

^** E-mail: nikolaev@kapitza.ras.ru

266

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Активационный прыжковый транспорт. . .

речь идет об аэрогелях на основе γ-Al₂O₃. Данный

0.7, хотя большинство результатов группируются в

материал под названием нафен изготавливается, в

трехмерном случае прежде всего около величины

частности, фирмой ANF Technology [5]. В дальней-

0.25. Чуть ранее в работах [18, 19] было показано,

шем эта фирма развила подобную технологию из-

что если плотность локализованных состояний на

готовления аэрогеля на основе силиката алюминия

уровне Ферми не является постоянной, но изменя-

Al₂O₃·SiO₂ (так называемый муллит). Отработан-

ется с энергией ε (отсчитываемой от уровня Ферми)

ная в последнее время технология осаждения угле-

по закону

рода на поверхность нановолокон нафена/муллита

g(ε) = g₀|ε|ⁿ,

(3)

методом CVD (см. [6-8]) позволяет получить токо-

то в случае произвольной размерности d

проводящие образцы аэрогеля. В результате такой

графенизации на поверхности нановолокон аэроге-

n+1

ля образуется оболочка из нескольких графеновых

α=

(4)

n+d+1

слоев с большим числом дефектов.

В настоящей работе исследовалась проводимость

Отсюда следует, что в случае сильного изменения

образцов муллита, графенизация которых проводи-

g(ε) вблизи уровня Ферми значения α могут быть

лась методом CVD. По аналогии с рядом исследо-

существенно больше 1/4 для d = 3 (или существен-

ванных ранее различных неупорядоченных углеро-

но больше 1/3 для d = 2).

досодержащих систем [9-13], в которых при низких

Кроме сильно легированных полупроводников

температурах имеет место электрический транспорт

неупорядоченные проводящие среды, в которых на-

прыжкового типа, можно было ожидать, что и в

блюдался активационный прыжковый транспорт со

данном случае будет наблюдаться прыжковая про-

значениями α, отличными от «классических» зна-

водимость, которая в силу специфики структуры

чений α = 1/4, 1/3 (или 1/2)¹⁾, — это прежде все-

этих аэрогелей может иметь свои особенности.

го углеродосодержащие системы различного строе-

Температурная зависимость проводимости в об-

ния [9-13], проводящие полимеры [20-22], а также

ласти низких температур при прыжковом меха-

поликристаллический графен [23]. Так, в композит-

низме, когда превалируют прыжки с переменной

ных системах «carbon black (CB)-полимер» [9,10,13]

длиной (VRH), описывается известным выражени-

наблюдаемые значения α находятся в интервале от

ем [14,15]:

0.5 до 0.79, чему дано объяснение в рамках модели

[

суперлокализации электронных состояний во фрак-

⁽T₀)^α]

тальной структуре [24,25]. По результатам исследо-

σ(T ) = σ₀ exp -

(1)

вания прыжковой проводимости в поликристалли-

ческом графене [23] наряду со значением α = 0.33,

T₀ =

(2)

характерным для 2D-систем, наблюдались специ-

g(μ)ξ^d

фические значения α = 0.41 и 0.72. Авторы [23]

где α

= 1/(1 + d), d — размерность системы,

предполагают, что, хотя графен является 2D-систе-

g(μ) — плотность локализованных состояний на

мой, проводимость в данном случае осуществляет-

уровне Ферми, ξ — изотропная длина локализации

ся за счет прыжков между проводящими границами

носителей, β — численный коэффициент (β = 21.2

кристаллитов, при этом ее поведение интерпретиру-

и 13.8 соответственно для d = 3 и 2). Подавляющее

ется на основе квазиодномерной модели [26].

большинство экспериментальных работ, посвящен-

Среди работ по проводящим полимерам, низ-

ных исследованию прыжковой проводимости в раз-

котемпературный транспорт в которых описывает-

личных неупорядоченных средах, относятся к слу-

ся прыжковым VRH-механизмом [27], следует отме-

чаям d = 3 и 2, когда согласно (1) по величине α в

тить работу [20], где исследовалась прыжковая про-

поведении температурной зависимости проводимо-

водимость полианилиновой (PANI) сетки в матри-

сти определяют размерность исследуемой системы,

це полиметилметакрилата (PMMA), в которой уста-

и/или, зная размерность, из (2) получают величину

новлено, что выше порога перколяции происходит

ξ по установленной тем или иным способом в других

уменьшение α от 1 до 0.25 с ростом содержания

измерениях величине g(μ), либо наоборот.

Однако уже в самых ранних работах [16, 17]

¹⁾ Случай α = 1/2, как известно, это не только одномерный

вариант формулы (4), но прежде всего независимо от размер-

при анализе экспериментальных данных для силь-

ности результат возникновения из-за электрон-электронного

но легированных полупроводников было отмечено,

взаимодействия кулоновской щели вблизи уровня Ферми (за-

что встречаются различные значения α от 0.25 до

кон Шкловского - Эфроса [14]).

267

В. И. Цебро, Е. Г. Николаев, Л. Б. Луганский и др.

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

PANI. Предполагается, что большие значения α в

температур от 9 до 40 K весьма строго следует фор-

этой системе связаны с суперлокализацией волно-

муле (1) для прыжковой проводимости как в про-

вой фунции электронов из-за фрактального харак-

дольном (вдоль наноразмерных волокон), так и в по-

тера полианилиновой сетки при приближении к по-

перечном направлениях. При этом оказалось, что α

рогу перколяции. Непосредственно вблизи порога

независимо от направления принимает разные зна-

перколяции, где α ≈ 1, имеет место режим прыжков

чения, от 0.4 до 0.9, в зависимости от содержания

на ближайшие соседние места (NNH). Ниже порога

углерода (толщины графеновой оболочки на поверх-

перколяции поведение σ(T ) соответствует зависимо-

ности нановолокон). В этом смысле данная ситу-

сти (1) c α = 1/2, характерной для гранулированных

ация принципиально отличается от вышеупомяну-

металлов [28].

того случая анизотропных проводящих полимеров,

Большая величина α = 0.65-0.70 при T < 50 K

где установлено наличие двух различных режимов

наблюдалась также в работе [22] для монокристал-

прыжковой проводимости с сильно различающими-

лов полидиацетилена. Результат объясняется квази-

ся значениями α для разных направлений [29, 30].

одномерной прыжковой проводимостью с влиянием

Понятно, что, поскольку покрытые проводящей обо-

кулоновского взаимодействия. Выше T = 50 K до-

лочкой нановолокна аэрогеля соприкасаются друг с

минирует прыжковый NNH-транспорт (α = 1).

другом на расстояниях, намного превышающих их

В сильно анизотропных образцах проводящих

диаметр, величина α определяется исключительно

полимеров, таких как тонкие пленки PEDOT:PSS,

транспортом вдоль нановолокон, и, следовательно,

было обнаружено [29], что α = 0.25 для латераль-

от направления не зависит.

ного направления (σ_∥), в то время как α = 0.81

для перпендикулярного (вертикального) направле-

ния (σ_⊥) при отношении σ_∥/σ⊥ = 10-103. Такое

2. ОБРАЗЦЫ АЭРОГЕЛЕЙ И

поведение было интерпретировано как проявление

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДЕТАЛИ

в латеральном и вертикальном направлениях двух

различных режимов прыжкового механизма: VRH

В настоящей работе исследовались графенизиро-

для σ_∥ и NNH для σ_⊥ (несмотря на то, что в по-

ванные образцы муллита — аэрогеля на основе си-

следнем случае α заметно меньше единицы). Одна-

ликата алюминия (Al₂O₃·SiO₂). Графенизация об-

ко в работе [30] с помощью численного моделирова-

разцов, как было выше отмечено, проводилась мето-

ния показано, что по мере того как волновые функ-

дом CVD, подобно тому, как это делалось в работах

ции локализованных состояний становится анизо-

[6-8]. В зависимости от времени CVD-процесса при-

тропными, σ в направлении, где длина локализации

готавливались образцы с различным содержанием

становится меньше, в рамках механизма VRH сле-

углерода, которое определялось методом XPS в про-

дует формуле (1), при этом величина α может на-

цессе электронной микроскопии образцов, при этом

ходиться в интервале от 1/4 до 1, что и объясняет

за окончательную величину принималось усреднен-

экспериментальные данные для PEDOT:PSS [29].

ное по многим точкам значение содержания углеро-

Нематические проводящие аэрогели, исследован-

да. В результате были исследованы образцы с содер-

ные в настоящей работе, также представляют со-

жанием углерода: 14 ат. % (AG-14), 20 ат. % (AG-20),

бой сильно анизотропные материалы, и поэтому

31 ат. % (AG-31) и 44 ат.% (AG-44).

интересной задачей несомненно является изучение

Хорошая проводимость графенизированных об-

их транспортных свойств и выяснение соотношения

разцов позволяла получать их изображения ме-

между этими свойствами и строением данных объ-

тодом сканирующей электронной микроскопии, не

ектов. Электронно-микроскопический анализ пока-

прибегая к использованию дополнительных токо-

зал, что хорошо упорядоченную нановолоконную

проводящих покрытий. Как видно на таких изоб-

структуру нематических аэрогелей можно предста-

ражениях (рис. 1), волнистые и слегка скручен-

вить как сильно сжатую в поперечном направлении

ные между собой нановолокна, на нижней границе

волнистую сетку проводящих нановолокон, контак-

масштаба имеющие диаметр 10-15 нм, расположе-

ты между которыми осуществляются на расстояни-

ны примерно на таких же расстояниях между со-

ях, намного превышающих их диаметр. В резуль-

бой и практически параллельны друг другу. Следу-

тате измерений на объемных образцах установле-

ет отметить фрактальный характер упаковки нано-

но, что анизотропия удельного сопротивления ρ_⊥/ρ_∥

волокон аэрогеля, который хорошо виден на изоб-

находится в интервале 25-40. Температурная зави-

ражениях торца отдельного нановолоконного фраг-

симость проводимости этих аэрогелей в интервале

мента. Так, на рис. 2 показаны электронно-микро-

268

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Активационный прыжковый транспорт. . .

Рис. 1. Электронно-микроскопические изображения нановолоконной структуры образцов аэрогелей AG-14 (слева) и

AG-44 (справа)

Рис. 2. Электронно-микроскопические изображения торца нановолоконного фрагмента аэрогеля AG-44 при различном

увеличении, свидетельствующие о фрактальном характере упаковки нановолокон

скопические изображения торца такого фрагмента

1-2 графеновых слоя для образцов с минимальным

диаметром порядка 150 мкм при разном увеличе-

содержанием углерода (AG-14) и 4-6 слоев для об-

нии. Конусные образования, хорошо видные на ме-

разцов с максимальным содержанием (AG-44).

сте разлома при увеличении 10000, образованы смы-

Как известно, мощным инструментом характе-

кающимися в одной фрактальной группе нановолок-

ризации дефектного состояния в различных графе-

нами. Как видно на рис. 1 и рис. 2, между группами

ноподобных системах является спектроскопия ком-

собранных в пучок нановолокон существуют объем-

бинационного рассеяния света (КРС) [31-37]. На

ные пустоты, и такая картина воспроизводится при

рис. 3 представлены спектры КРC для исследован-

изменении масштаба на два порядка величины.

ных нами образцов аэрогелей. Как видно, на полу-

Если, исходя из полученных методом XPS дан-

ченных спектрах присутствуют характерные фонон-

ных по содержанию в образцах углерода и средне-

ные моды для sp²-модификаций углерода (графит,

го диаметра нановолокон, оценить толщину графе-

графен, углеродные нанотрубки и т. п.) [31]. Такие

новой оболочки, то получается, что она составляет

особенности спектра, как положение мод, их отно-

269

В. И. Цебро, Е. Г. Николаев, Л. Б. Луганский и др.

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Рис. 4. Конструкция держателя образцов в форме нано-

волоконного фрагмента: 1 — основание держателя (стек-

лотекстолит); 2 — контактные площадки; 3 — контакт-

ные провода; 4 — самотвердеющая проводящая серебря-

ная паста; 5 — образец аэрогеля

L_a(нм) = 2.4 · 10-10λ⁴(I_D/I_G)-1,

(5)

где λ — длина волны возбуждения КРС (в нашем

Рис. 3. Спектры комбинационного рассеяния света: а —

случае 532 нм). Как следует из табл. 1, в образцах

спектр образца AG-30: измеренный спектр (черная линия),

AG-14 и AG-30 отношение (I_D/I_G) имеет близкие

цветными линиями показаны вклады отельных мод при

значения, а именно 2.6 и 2.4 соответственно, в то

их аппроксимации лоренцианами, итоговое приближение

время как величина (I_D/I_G) для образца AG-44 со-

спектра показано красной линией; б — нормализованные

ставляет 1.8. Согласно (5) оценка L_a дает значение

спектры КРС трех образцов аэрогелей с различным со-

7.4 нм для AG-14, которое увеличивается до 10.7 нм

держанием углерода, λ = 532 нм

для AG-44. Из данных, представленных в табл. 1,

следует также отметить заметное уширение D-, G-

и 2D-мод по мере перехода от образцов AG-14 к AG-

сительные интенсивности и ширины пиков, обыч-

44, что может быть интерпретировано как следствие

но используются для определения конкретной мо-

повышения слоистости графеноподобной системы.

дификации графитоподобной системы, в том числе

Однако численная оценка количества графеновых

и наноуглерода. В нашем случае наблюдаются ос-

слоев не представляется возможной из-за высокой

новные характерные пики графена: D-мода с час-

дефектности.

тотами около 1340 см-1, G-мода с частотами око-

Измерения электросопротивления образцов

ло 1588 см-1 и 2D-мода около 2680 см-1. Высокая

аэрогелей проводились нами в двух вариантах:

относительная интенсивность D-моды обычно гово-

1) стандартным четырехконтактным методом на от-

рит о большом количестве дефектов, как одиноч-

дельных фрагментах материала с большим отноше-

ных, так и протяженных [7, 32-34]. Mаркером высо-

нием длины к его поперечному размеру;

кой дефектности (или нанодисперсности) является

2) модифицированным методом Шнабеля [38] на

также низкая относительная интенсивность 2D-мо-

больших объемных образцах сантиметрового разме-

ды [35].

ра, имеющих форму прямоугольного параллелепи-

Для характеризации степени дефектности в уг-

педа.

леродном материале аэрогелей и оценки среднего

В первом варианте измерения проводились на

размера графеновых зерен на поверхности наново-

отдельных фрагментах, представляющих собой об-

локон L_a нами использовалась величина отноше-

разования с большим числом нановолокон. Попе-

ния интенсивностей D-полосы к G-полосе (I_D/I_G)

речное сечение таких фрагментов было порядка

[31,36,37]. Для оценки L_a применялась формула [36]

0.05 мм² при длине 6-8 мм. Для каждого образ-

270

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Активационный прыжковый транспорт. . .

Таблица 1. Результаты анализа представленных на рис. 3 спектров КРС для образцов аэрогелей с различным

содержанием углерода. Приведены параметры пиков D, G, D^′ и 2D при их аппроксимации лоренцианами, от-

ношение интенсивностей D-полосы к G-полосе (ID/IG), а также оценка значений среднего размера графеновых

зерен La согласно формуле (5)

AG-14

AG-30

AG-44

мода центр ширина высота центр ширина высота центр ширина высота

1339.5

48.9

28.3

1341.5

62.8

27.5

1343.1

77.6

19.1

1589.7

54.7

10.9

1586.3

61.0

11.6

1588.0

81.0

10.5

D^′

1614.5

24.5

4.4

1610.1

33.4

6.4

1608.8

30.6

2.5

2677.6

84.6

4.7

2680.0

108.6

4.1

2681.3

131.5

2.5

D+D^′

2929.0

99.5

2.1

2923.3

114.4

2.1

2923.6

112.3

1.5

ID/IG

2.6

2.4

1.8

L_a, нм

7.4

8.1

10.7

ца изготавливался отдельный специальный держа-

ного образца конечных размеров. Основные особен-

тель (рис. 4) из натянутых под малым углом к плос-

ности использования этой методики в применении к

кости основания держателя (1) тонких (диаметром

нашему случаю изложены в Приложении.

0.06-0.08 мм) луженых медных проволок (3), кото-

Следует отметить, что если до графенизации об-

рые служили подводами к токовым и потенциаль-

разцы муллита являются достаточно прочными об-

ным контактам к образцу. После помещения образ-

разованими, которым механической обработкой при

ца (5) в пространство между контактными прово-

необходимости можно придать необходимые разме-

локами и плоскостью основания держателя с обрат-

ры и форму, то после процесса графенизации они

ной стороны контактных проволок наносилась ма-

становятся предельно непрочными, распадающими-

лая капля проводящей самотвердеющей серебряной

ся на отдельные фрагменты при слабом механичес-

пасты (4) для образования стабильного контакта.

ком воздействии. Это является следствием того,

Понятно, что в такой геометрии эксперимента изме-

что связь между нановолокнами графенизирован-

ряемая величина электросопротивления определя-

ного муллита после того, как они покрываются гра-

ется, главным образом, продольной (вдоль направ-

феновой оболочкой, становится очень слабой. При-

ления нановолокон) компонентой удельного сопро-

дать такому высокопористому проводящему мате-

тивления ρ_∥.

риалу необходимые размеры и форму, а также осу-

ществить в нужных местах надежные, стабильные

Второй вариант измерений ρ модифицирован-

во времени, электрические точечные контакты пред-

ным методом Шнабеля [38] на больших объемных

ставляло определенную проблему, которую, в из-

образцах аэрогелей, имеющих форму прямоугольно-

вестной мере, в данной работе удалось решить.

го параллелепипеда, позволил определить абсолют-

ные значения компонент удельного сопротивления,

Для измерений были приготовлены объемные об-

как в продольном (ρ_∥), так и поперечном (ρ_⊥) на-

разцы AG-14 размером 10 × 3 × 2.7 мм³, AG-30

правлениях. В известном методе Шнабеля [39, 40]

(14 × 7 × 6 мм³) и AG-44 (9.8 × 3 × 2.7 мм³). Для

предлагалось решение для образца в виде плоскопа-

каждого из этих образцов изготавливалась отдель-

раллельной проводящей пластины заданной толщи-

ная контактная сборка с размерами, определяемыми

ны и ширины, но бесконечной длины. При этом два

размерами объемного аэрогеля. Конструкция такой

точечных контакта на одной стороне образца и два

сборки представлена на рис. 5. В данной конструк-

на противоположной стороне расположены по цен-

ции образец аэрогеля (5) помещался между двумя

тру точно друг против друга. Описанная нами ранее

накладками (2) с коническими отверстиями для раз-

в методической работе [38] модификация этого мето-

мещения медных конических контактов (3). Перед

да состоит в нахождении способа решения задачи о

размещением контакта в крышке на его острие поме-

величине удельного сопротивления ρ для анизотроп-

щалось небольшое количество самотвердеющей се-

271

В. И. Цебро, Е. Г. Николаев, Л. Б. Луганский и др.

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Рис. 5. Конструкция контактной сборки для измерений

двух компонент удельного сопротивления по модифици-

рованному методу Шнабеля: 1 — термоусадочная оболоч-

ка; 2 — накладки с контактами; 3 — конические контакты;

4 — самотвердеющая проводящая серебряная паста; 5 —

объемный образец аэрогеля, A, B, C, D — обозначения

точечных контактов, используемые в Приложении

Рис. 7. Образец нановолоконного фрагмента AG-20: а —

зависимость логарифма сопротивления от T-0.69; б — от-

клонение экспериментальных точек от линейной зависимо-

сти

чения термо- и контактных эдс. Скорость отогрева

менялась от 0.05 K/мин. вблизи T = 5 K до 0.2 K/-

мин. вблизи T = 40 K. Несмотря на малые скорости

отогрева, при измерениях на больших объемных об-

разцах в интервале температур от 20 до 26 K из-

Рис.

6. Температурные зависимости логарифмической

за плохой теплопроводности высокопористого аэро-

производной кондактанса для четырех образцов нановоло-

конных фрагментов с разным содержанием углерода: a —

геля имело место переохлаждение образцов вслед-

AG-14, b — AG-20, c — AG-31, d — AG-44. На вставке

ствие десорбции теплообменного газа. Поэтому из-

показана зависимость T0 от α

меренные в этом интервале данные исключались из

рассмотрения (см. ниже рис. 9). При измерениях на

фрагментах AG с малым поперечным размером пе-

ребряной пасты (4). В результате поперечный раз-

реохлаждения образцов в области десорбции тепло-

мер области точечного контакта к образцу не пре-

обменного газа не наблюдалось (рис. 6 и 7).

вышал 0.1 мм. Для удержания всей конструкции,

придания ей целостности и необходимой прочности,

контактная сборка помещалась в термоусадочную

3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И

оболочку (1).

ОБСУЖДЕНИЕ

Сборки с образцами крепились на массивном

медном термоблоке, который размещался в каме-

Температурные зависимости проводимости аэро-

ре с теплообменным газообразным гелием при дав-

гелей измерялись в интервале температур от 5 до

лении 5-10 Торр в криостате для промежуточных

50 K, поскольку именно в этой области температур

температур. Температурные зависимости условных

они следуют выражению (1) с различными значени-

сопротивлений R₁(T) и R₂(T) (см. Приложение) из-

ями α и T₀. Для обработки данных с целью опреде-

мерялись при очень медленном отогреве термобло-

ления величин α и T₀ использовался подход, впер-

ка с коммутацией измерительного тока для исклю-

вые предложенный в работах [17, 41] для систем, в

272

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Активационный прыжковый транспорт. . .

Таблица 2. Параметры α и T0 для четырех образцов

нановолоконных фрагментов: AG-14, AG-20, AG-31

и AG-44.

T₀, K

AG-14

0.86

24.0

AG-20

0.69

16.8

AG-31

0.54

11.7

AG-44

0.43

7.3

которых прыжковый VRH-транспорт наблюдается

в сравнительно небольшом интервале температур.

При этом подходе в логарифмических координатах

строится температурная зависимость логарифмиче-

ской производной проводимости W (T ), определяе-

мой как

W (T ) = T [d ln σ(T )]/dT = Δ ln σ(T )/Δ ln T .

(6)

Прямолинейный участок зависимости W (T ) опреде-

ляет область температур, в которой строго выпол-

няется закон (1), а требуемые параметры α и T₀ на-

Рис. 8. Измеренные методом Шнабеля температурные за-

ходятся из уравнений

висимости анизотропии удельного сопротивления (a) и его

(б) для объемного образца AG-14

двух компонент ρ_∥ и ρ_⊥

lg W (T ) = A - α lg T,

(7)

A = αlgT₀ + lgα.

Как было отмечено выше, измерения темпера-

На рис. 6 приведены температурные зависимости

турных зависимостей удельного сопротивления на

логарифмической производной кондактанса

больших объемных образцах аэрогелей, имеющих

форму прямоугольного параллелепипеда, проводи-

W (T ) = Δ ln G(T )/Δ ln T,

лись по модифицированному методу Шнабеля на об-

разцах составов AG-14, AG-31 и AG-44. На рис. 8

где G = R-1, для четырех фрагментов AG с раз-

в логарифмических координатах приведены темпе-

ным содержанием углерода. Как следует из приве-

ратурные зависимости продольной (ρ_∥) и попереч-

денных данных, величина α, определяемая, соглас-

ной (ρ_⊥) компонент удельного сопротивления, а так-

но (7), наклоном прямолинейных участков на рис. 6,

же величины анизотропии проводящей среды ρ_⊥/ρ_∥

монотонно увеличивается по мере уменьшения тол-

для объемного образца AG-14. Видно, что обе ком-

щины графеновой оболочки нановолокон аэрогеля

поненты, сильно различающиеся по величине, изме-

(при переходе от образца AG-44 к образцу AG-14).

няются с температурой подобным образом, и вели-

В табл. 2 приведены параметры α и T₀ для всех че-

чина анизотропии зависит от температуры слабо.

тырех образцов. Связь между этими параметрами

На рис. 9 в качестве примера обработки дан-

носит хорошо выраженный линейный характер (см.

ных, полученных на объемных образцах, приведены

вставку на рис. 6). Отметим, что для всех образ-

температурные зависимости логарифмической про-

цов строгое следование температурной зависимости

изводной поперечной компоненты проводимости

проводимости выражению (1) наблюдается в темпе-

ратурном интервале от 9 до 40 K, что в качестве

W (T ) = Δ ln σ_⊥(T )/Δ ln T

примера иллюстрируется данными, приведенными

на рис. 7 для образца AG-20, где показаны зависи-

для образца AG-14. Видно, что за исключением

мость ln R от T-0.69 и отклонение эксперименталь-

участка температур, где происходит переохлажде-

ных точек от соответствующей линейной зависимо-

ние образца из-за десорбции теплообменного газа

сти.

(от 20 до 26 K), данные хорошо укладываются на

273

В. И. Цебро, Е. Г. Николаев, Л. Б. Луганский и др.

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Таблица 4. Значения ρ_∥, ρ_⊥ и величины анизотро-

пии ρ_⊥/ρ_∥ при температурах 4.5 K и 45 K для объ-

емных образцов AG-14, AG-31 и AG-44

T, K ρ_∥, Ом·см ρ_⊥, Ом·см ρ_⊥/ρ_∥

AG-14

4.5

3.28

130.7

39.8

0.103

3.94

38.3

AG-31

4.5

4.99

137.5

27.5

0.58

15.3

26.3

AG-44

4.5

0.81

39.0

48.2

0.35

15.9

45.4

Рис.

9. Температурные зависимости логарифмической

производной поперечной компоненты проводимости для

объемного образца AG-14

Таблица 3. Параметры α_∥, α_⊥, T∥0 и T⊥0 для объ-

емных образцов AG-14, AG-31 и AG-44

α_∥

α_⊥

T∥0, K

T⊥0, K

AG-14

0.90

0.81

22.6

27.6

AG-31

0.58

25.7

27.1

AG-44

0.49

5.8

6.9

Рис. 10. Зависимость величины α от содержания углерода

прямую линию, наклон которой определяет величи-

ну α_⊥ = 0.81.

В табл. 3 приведены значения параметров α и

преимущественно величина α_∥). Равенство значений

T₀ для обеих компонент проводимости объемных об-

α_∥ и α_⊥ для объемных образцов указывает на то,

разцов аэрогелей всех трех исследованных составов,

что величина α определяется транспортом по гра-

а в табл. 4 абсолютные значения удельного сопро-

феновой оболочке вдоль поверхности нановолокон

тивления и величины анизотропии при двух темпе-

аэрогеля. Анизотропия же эффективной объемной

ратурах в начале и в конце температурного интер-

проводимости, измеренная модифицированным ме-

вала, где температурная зависимость проводимости

тодом Шнабеля, определяется морфологией волок-

следует формуле (1).

нистой структуры, а именно, фактором пересечения

На рис. 10 собраны воедино значения α, полу-

нановолокон друг с другом на расстояниях, значи-

ченные на четырех фрагментах AG и на объемных

тельно превышающих их диаметр.

образцах для обеих компонент проводимости. Вид-

но, что все данные группируются вокруг единой за-

Таким образом, исследованные в настоящей ра-

висимости α от содержания углерода. На объемных

боте нематические проводящие аэрогели из графе-

образцах значения α_∥ и α_⊥ в точности совпадают

низированного муллита являют собой крайне ред-

друг с другом, кроме образца AG-14, где наблюда-

кий случай системы, в которой в рамках неизменной

ется некоторое различие, внутрь которого попада-

морфологии наблюдается монотонное изменение α

ет значение α для образца в виде длинноразмерно-

в зависимости от одного параметра — содержания

го фрагмента (ясно, что в этом случае измеряется

в образцах углерода или, другим словами, толщи-

274

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Активационный прыжковый транспорт. . .

ны графеновой оболочки нановолокон аэрогеля²⁾.

Большое значение показателя α для образцов с

Для объяснения этой зависимости следует предпо-

минимальным содержанием углерода может озна-

ложить, что, по-видимому, и в нашем случае спра-

чать, что система приближается к переходу от про-

ведлива приведенная выше формула (4), при этом

водимости в режиме VRH к режиму прыжков на

по мере увеличения толщины графеновой оболочки

ближайшие соседние места NNH. Аналогичный слу-

значения d и n в формуле (4) меняются от d = 1

чай наблюдался в работе [20] при исследовании по-

и n = 2 (AG-14) до d = 3 и n = 1 (AG-44). Если

лианилиновой сетки PANI в матрице PМMA, где

это так, то для самых тонких графеновых оболо-

увеличение α до единицы происходило при умень-

чек следует рассматривать квазиодномерный VRH-

шении содержания полианилина вплоть до порога

механизм. Теоретически такое рассмотрение для от-

перколяции. В этой работе установлено, что режим

дельной одномерной цепочки и многих взаимодей-

NNH в исследованной ими системе реализуется, ко-

ствующих параллельных цепочек было сделано, на-

гда диаметр нитей PANI уменьшается до величины,

пример, в работе [26] (так называемая модель FTS),

сравнимой с характерной длиной прыжка.

где отмечены случаи d = 1, 2, 3 и n = 0, 1, 2. На

В другой работе, где исследованы образцы угле-

основе FTS-модели были интерпретированы, напри-

родных аэрогелей с проводящими цепочками угле-

мер, экспериментальные данные по прыжковой про-

родных гранул [11], в отличие от нашего случая и

водимости в полупроводниковом поликристалличе-

упомянутой выше работы, при уменьшении плотно-

ском графене с размером кристаллитов от несколь-

сти аэрогеля поперечный размер проводящих цепо-

ких нанометров до нескольких десятков наномет-

чек остается неизменным, но увеличивается их дли-

ров [23]. При этом предполагается, что прыжковый

на. По мнению авторов, данная система описывает-

квазиодномерный транспорт носителей происходит

ся в рамках модели гранулированного металла [28]

за счет прыжков между проводящими границами

и величина α = 1/2 для всех образцов обусловле-

(краями) кристаллитов. Существование таких про-

на наличием кулоновской щели. При этом переход

водящих границ (преимущественно края в форме

к одномерному характеру движения носителей про-

“zigzag”) экспериментально показано в работе [42].

исходит, когда при увеличении температуры харак-

В нашем случае одномерный режим прыжко-

терная длина прыжка становится меньше, чем сред-

вой проводимости может реализовываться, если

няя длина проводящих цепочек без самопересечения

принять во внимание следующее обстоятельство.

(средняя длина цепочек между узлами)³⁾. Переход

Для образца с минимальным содержанием углеро-

же от режима VRH к режиму NNH происходит, ко-

да (толщина покрытия 1-2 слоя) средний размер

гда длина прыжка становится меньше, чем удвоен-

графеновых зерен по результам КРС составляет

ный размер гранул.

7-8 нм. При этом диаметр нановолокна оказывается

Обращает на себя внимание полученная нами ли-

сравним с размером зерна. Если рассматривать дви-

нейная связь между α и T₀ в формуле (1) (см. встав-

жение носителей заряда в такой системе как пере-

ку на рис. 6). Это означает, что зависимости α и T₀

скоки между зернами (или, как это отмечалось вы-

от эффективной размерности имеют подобный вид.

ше, между проводящими границами зерен), то оче-

Насколько нам известно, одновременный рост α и T₀

видно, что прыжковый транспорт в данном случае

при изменении параметров системы не отмечался ни

должен иметь преимущественно одномерный харак-

в одной из опубликованных ранее работ. Единствен-

тер. С увеличением толщины углеродного покрытия

ным исключением является работа [13], где в ком-

движение носителей заряда по графеновой оболоч-

позитной системе “carbon black (CB)-полимер” при

ке, по-видимому, уже нельзя рассматривать как од-

изменении концентрации CB наблюдалась корреля-

номерное. При этом, как следует из приведенных ни-

ция значений α и T₀ для двух групп образцов с CB

же данных по отрицательному магнитосопротивле-

разного происхождения. При этом величины α и T₀

нию, несмотря на рост среднего размера зерна, об-

в каждой из групп практически не зависят от кон-

щая дефектность системы растет.

³⁾ Здесь следует упомянуть еще одну углеродную систе-

²⁾ В этой связи, из других систем прежде всего следует от-

му — так называемые карбины, которые, как предполагается,

метить упомянутую выше работу [20], где величина α возрас-

состоят из цепочек углеродных атомов с sp-связями. В об-

тала от 0.25 до 1 по мере уменьшения объемной доли поли-

разцах карбинов в зависимости от температуры синтеза на-

анилиновой сетки в матрице полиметилметакрилата. Кроме

блюдается прыжковая проводимость с α = 1/2, 1/3 и 1/4,

того, по результатам работы [23] некоторый набор значений

при этом случай α = 1/2 объясняется не наличием кулонов-

α наблюдался в серии образцов поликристаллического гра-

ской щели, а одномерным характером прыжкового транспор-

фена.

та (см. работу [43] и ссылки в ней).

275

В. И. Цебро, Е. Г. Николаев, Л. Б. Луганский и др.

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

центрации CB, а также не указано, в чем именно

ковым VRH-механизмом, когда температурная за-

состоит различие этих двух групп, и причины такой

висимость σ(T) при низких температурах следует

корреляции не обсуждаются.

формуле (1). Среди таких систем отметим гетеро-

Следует отметить также довольно низкие значе-

структуры GaAs/AlGaAs [45] и GaAs/InGaAs [46],

ния T₀ (см. табл. 2, 3), которые (особенно для об-

пленки Ge [47], фторированный графен [48], пленки

разцов с большим содержанием углерода) находят-

In₂O3-x [49, 50], сильно разупорядоченное углерод-

ся вблизи нижней границы температурного интер-

ное нановолокно [51], сетчатые пленки из однослой-

вала (9-40 K), где температурная зависимость про-

ных углеродных нанотрубок [52].

водимости следует формуле (1). Это может свиде-

Теоретически механизм отрицательного магни-

тельствовать о большой величине длины локализа-

тосопротивления в случае сильной локализации но-

ции носителей ξ. В большом числе случаев для сис-

сителей и VRH-механизма прыжкового транспорта

тем с VRH-механизмом прыжковой проводимости

был предложен в известной работе [53] (дальней-

оценить величину ξ позволяют измерения магни-

шее развитие см. в работах [54-56]), где было пока-

тосопротивления, поскольку, согласно теории VRH

зано, что интерференция между всеми возможны-

[14, 15], магнитосопротивление положительно (в си-

ми различными прыжковыми траекториями с одно-

лу сжатия с полем волновой функции локализован-

го центра локализации на другой может в зависи-

ных носителей), и (в не очень сильных магнитных

мости от условий существенно менять вероятность

полях)

туннелирования носителей (так называемая модель

NSS). Отрицательное магнитосопротивление возни-

ln[ρ(B)/ρ(0)] ∝ (ξ/L_B)⁴(T₀/T )3/(d+1)

кает в этой модели в результате разрушения магнит-

(L_B — магнитная длина). Положительное магнито-

ным полем такой интерференции подобно тому, как

сопротивление в системах с сильной локализацией

это происходит в системах со слабой локализацией

носителей и VRH-механизмом прыжкового транс-

в диффузионном режиме. При этом были получе-

порта наблюдалось в самых разных неупорядочен-

ны разные зависимости магнитокондактанса G от

ных средах, что позволяло определять величину ξ.

магнитного поля. Так, в не очень сильных магнит-

Представляло интерес и в нашем случае измерить

ных полях ΔG(B) ∝ B [53], в то время как в [54-56]

поведение магнитосопротивления образцов аэроге-

ΔG(B) ∝ B².

лей в не очень сильных магнитных полях.

Однако среди перечисленных выше эксперимен-

Такие измерения при T = 4.2 K в магнитных по-

тальных работ [45-52] выделяются такие (отметим,

лях до 2.4 Tл были выполнены на образцах аэроге-

например, работу [51] по углеродному нановолок-

лей в виде длинноразмерных фрагментов, посколь-

ну и работу [52] по нанотрубным сеткам), в кото-

ку в этой геометрии измеряемое магнитосопротив-

рых в достаточно широком интервале магнитных

ление будет преимущественно поперечным, когда

полей зависимость магнитокондактанса от величи-

ток через образец течет перпендикулярно вектору

ны магнитного поля хорошо описывается выражени-

магнитного поля. На рис. 11a приведены измерен-

ем, характерным для систем со слабой локализацией

ные зависимости ΔR(B)/R(0) для образцов AG-14

и диффузионным режимом электронного транспор-

и AG-44. Видно, что магнитосопротивление в нашем

та [44]:

[

)

)]

случае является отрицательным, весьма значитель-

⁽1

B_φ

⁽ B

ным по величине и существенно уменьшается при

ΔG(B) = A(T ) Ψ

+ ln

(8)

B_φ

увеличении содержания углерода.

Как известно (см., например, [44]), отрицатель-

где A(T ) — зависящая от температуры константа,

ное магнитосопротивление характерно для систем

определяемая параметрами системы, Ψ — дигамма-

со слабой локализацией носителей при диффузион-

функция, B_φ = ℏ/4eL2φ (L_φ — длина фазовой коге-

ном транспорте, когда k_F l ≫ 1 (kF — квазифер-

рентности).

миевский импульс, l — длина пробега носителей),

Оказалось, что и в нашем случае выражение (8)

а σ(T) ∝ ln(T). Эффект обусловлен расфазиров-

очень хорошо описывает полевые зависимости маг-

кой в магнитном поле самопересекающихся траек-

нитокондактанса для образцов аэрогелей с различ-

торий диффузионного движения носителей в пря-

ным содержанием углерода (см. рис. 11б, где пока-

мом и обратном направлениях. Однако известны

заны результаты такой аппроксимации). Результаты

многочисленные случаи, когда отрицательное маг-

аппроксимации дают значения B_φ = 0.745 Tл для

нитосопротивление наблюдается в различных си-

AG-14 и 1.012 Tл для AG-44, откуда следуют соот-

стемах и в случае сильной локализации c прыж-

ветственно значения L_φ = 14.9 нм и 12.8 нм. Если

276

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Активационный прыжковый транспорт. . .

к уменьшению длины фазовой когерентности, т.е.

несмотря на то, что с ростом толщины оболочки

средний размер графенового зерна увеличивается,

общая дефектность системы также растет.

Оправданность использования выражения

(8)

для описания отрицательного магнитосопротивле-

ния обусловлена в нашем случае не только тем,

что из него следуют разумные значения электрон-

ных параметров исследованных систем, как это по-

казано в упомянутых выше работах [51, 52], но и

специальными экспериментами [46], где на приме-

ре одиночной квантовой ямы в гетероструктуре

GaAs/In_xGa1-xAs/GaAs с одной заполненной носи-

телями двухмерной подзоной размерного квантова-

ния показано, что квантовые поправки к проводи-

мости весьма существенны не только в заведомо

диффузионном режиме при k_F l = 2-25, но и при

существенно меньших длинах свободного пробега в

интервале k_F l = 0.5-2. Сюда же можно отнести и

работу по транспорту в сильно разупорядоченных

многослойных углеродных нанотрубках [57], где при

l < 10 нм поведение магнитосопротивления в зави-

симости от поля с хорошей точностью следует вы-

ражению (8).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате исследования транспортных

свойств нематических проводящих аэрогелей

установлено, что температурная зависимость про-

Рис. 11. Образцы AG-14 (1) и AG-44 (2): а — приведен-

водимости этих материалов в области температур от

ные зависимости магнитосопротивления ΔR(B)/R(0); б —

9 до 40 K строго следует выражению (1) для прыж-

аппроксимации экспериментальных зависимостей магни-

кового транспорта с переменной длиной прыжка.

токондактанса ΔG(B)/G(0) выражением (8), T = 4.2 K

Проводящей средой, в которой такой транспорт

происходит, является графеновая оболочка волокон

аэрогеля, а ее толщина и есть основной параметр,

сравнить эти значения со средним размером графе-

от которого зависят значение α в формуле (1) и

новых зерен L_a из оптических данных по КРС (см.

величина отрицательного магнитосопротивления.

табл. 1), видно, что для образцов с минимальной

При уменьшении числа слоев углеродной оболочки

толщиной графеновой оболочки нановолокон аэро-

от 4-6 до 1-2 величина α растет от 0.4 до 0.9. В

геля (AG-14) величина L_φ примерно в два раза боль-

соответствии с формулой (4) рост α до 0.75 можно

ше L_a, тогда как для максимальной толщины (для

объяснить уменьшением размерности системы и

AG-44) L_φ лишь ненамного превышает L_a. Отметим

увеличением показателя степени n в зависимости

также, что если по оптическим данным с ростом

плотности локализованных состояний от энергии

толщины графеновой оболочки величина L_a уве-

вблизи уровня Ферми. Это согласуется с тем фак-

личивается, то величина L_φ, напротив, несколько

том, что при минимальном содержании углерода

уменьшается. Таким образом, получается, что, ес-

диаметр нановолокон становится сопоставим с

ли применение выражения (8) для описания отрица-

размером графеновых зерен. В результате прыж-

тельного магнитосопротивления образцов аэрогелей

ковый транспорт приобретает преимущественно

правомерно, то это означает, что увеличение эффек-

одномерный характер. Дальнейший рост α вплоть

тивной размерности системы при увеличении числа

до 0.9 фактически означает приближение системы

графеновых слов в оболочке нановолокон приводит

к переходу в режим прыжков на ближайшие сосед-

277

В. И. Цебро, Е. Г. Николаев, Л. Б. Луганский и др.

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

ние места. Транспортные измерения в магнитном

R₁ =

G(a, b, d, s), R₂ =

H(a, b, d, s).

поле показали, что магнитосопротивление образ-

цов аэрогелей с углеродным покрытием является

Здесь ρ — удельное сопротивление проводящей сре-

отрицательным и существенно уменьшается при

ды, a, b, d — размеры образца вдоль главных осей,

увеличении содержания углерода. Наблюдаемую

s — расстояние между контактами AB и, соответст-

зависимость R(H) с хорошей точностью удалось

венно, CD. Функции G и H выражаются аналити-

аппроксимировать формулой (8) для случая слабой

чески в виде двойных бесконечных рядов [38, 58]. В

локализации. Полученные в результате значения

случае изотропного образца удельное сопротивление

длины фазовой когерентности находятся в разум-

ρ может быть найдено из одного любого из этих из-

ном соотношении с размером графеновых зерен

мерений (либо из R₁, либо из R₂).

углеродного покрытия волокон. Таким образом,

В анизотропном случае в работе Ван дер Пау [59]

исследованные в настоящей работе аэрогели до-

было показано, что простым линейным преобразова-

полняют уже известный набор систем, в которых

нием координат задача о распределении потенциала

при низких температурах наблюдается прыжковый

в анизотропном образце может быть сведена к ана-

электронный транспорт, что свойственно средам

логичной задаче для гипотетического изотропного

с сильной локализацией носителей заряда, и од-

образца, который имеет другие размеры и удель-

новременно отрицательное магнитосопротивление,

ное сопротивление. Приведем кратко основные за-

обычно проявляющееся при диффузионном режиме

ключительные выкладки, касающиеся случая ани-

транспорта в условиях слабой локализации.

зотропных образцов нематических образцов аэроге-

лей, исследованных в настоящей работе.

Финансирование. Работа выполнена при

Предполагается, что система координат выбрана

поддержке Российского научного фонда (грант

таким образом, что ребра объемных образцов аэро-

№ РНФ-20-42-08004).

гелей направлены по главным осям тензора удель-

ного сопротивления, принятым за оси (x₁, x₂, x₃), а

ПРИЛОЖЕНИЕ

отрезки AB и CD параллельны оси x₁ вдоль нано-

волокон аэрогеля (рис. 5). В этой системе коорди-

В методе Шнабеля возможны два способа изме-

нат тензор ρ_ik диагонален и имеет всего три ком-

рения. В 1-й геометрии Шнабеля ток подводится к

поненты (ρ₁, ρ₂, ρ₃). Коэффициенты линейного пре-

контактам A и D и измеряется разность потенциа-

образования координат выбираются таким образом,

лов V_BC между контактами B и C (см. обозначения

что удельное сопротивление изотропного образа ρ^∗

контактов в левой части рис. 5). Во 2-й геометрии

и размеры a^∗, b^∗, d^∗, s^∗ оказываются следующими:

Шнабеля ток идет через контакты A и B, а раз-

ность потенциалов V_CD измеряется между контак-

ρ^∗ = (ρ₁ρ₂ρ₃)1/3,

тами C и D. Из таких измерений определяются ве-

личины условных сопротивлений R₁ = V_BC /I_AD и

a^∗ = (ρ₁/ρ^∗)1/2 a, b^∗ = (ρ₂/ρ^∗)1/2 b,

R₂ = V_CD/I_AB. Значения V_BC или V_CD могут быть

d^∗ = (ρ₃/ρ^∗)1/2 d, s^∗ = (ρ₁/ρ^∗)1/2 .

выражены аналитически из решения задачи о рас-

пределении потенциала электрического поля в объ-

Здесь индекс «∗» обозначает величину, относящу-

еме образца при пропускании тока I через токовые

юся к изотропному образу реального анизотропно-

контакты.

го образца. При этом измеряемые сопротивления

В исходных работах Шнабеля [39, 40] эта задача

R₁, R₂ изучаемого анизотропного образца равны со-

была решена для образца в виде бесконечной плос-

ответствующим сопротивлениям его гипотетическо-

кой пластины, где присутствуют только два геомет-

го изотропного образа R∗1, R∗2.

рических параметра — толщина пластины d и рас-

Из аналитических формул для функций G и

стояние между соседними контактами s, а также в

H (см. [38, 58]) можно увидеть, что на самом де-

виде бесконечной полосы, где добавляется еще один

ле они зависят не от четырех (a, b, d, s), а от трех

геометрический параметр — ширина полосы b.

аргументов, в качестве которых удобно взять от-

В наших работах [38, 58] было найдено решение

ношения (a/s, b/s, d/s) для изучаемого образца и

этой задачи для образцов, имеющих форму пря-

(a^∗/s^∗, b^∗/s^∗, d^∗/s^∗) для его изотропного образа. То-

моугольного параллелепипеда конечных размеров.

гда измеряемые сопротивления R₁ и R₂ можно за-

Было показано, что величины R₁ и R₂ могут быть

писать следующим образом:

представлены в виде

278

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Активационный прыжковый транспорт. . .

)

∗

⁽a^∗

b^∗

d^∗

В. Е. Асадчиков, Р. Ш. Асхадуллин, В. В. Волков

R₁ = R∗1 =

d^∗

s^∗

и др., Письма в ЖЭТФ 101, 613 (2015).

)

1/2

(ρ₁ρ₂)

⁽a

λ₂₁b

λ₃₁d

V. V. Dmitriev, A. A. Senin, A. A. Soldatov, and

A. N. Yudin, Phys. Rev. Lett. 115, 165304 (2015).

S. Autti, V. V. Dmitriev, J. T. Mäkinen et al., Phys.

)

∗

⁽a^∗

b^∗

d^∗

Rev. Lett. 117, 255301 (2016).

R₂ = R∗2 =

d^∗

s^∗

)

http://www.anftechnology.com/nafen.

1/2

(ρ₁ρ₂)

⁽a

λ₂₁b

λ₃₁d

I. Hussainova, R. Ivanov, S. N. Stamatin et al.,

Carbon 88, 157 (2015).

где введены обозначения λ₂₁ = (ρ₂/ρ₁)1/2 и λ₃₁ =

R. Ivanov, V. Mikli, J. Kübarsepp, and I. Hussainova,

= (ρ₃/ρ₁)1/2.

Key Engin. Mater. 674, 77 (2016).

В процессе измерений независимыми являются

только две величины, R₁ и R₂. Поэтому из этих из-

V. S. Solodovnichenko, M. M. Simunin, D. V. Lebe-

мерений нельзя определить все три значения тензо-

dev et al., Thermochim. Acta 675, 164 (2019).

ра удельного сопротивления. Однако, если выполня-

M. Mehbod, P. Wyder, R. Deltour et al., Phys. Rev.

ется условие, что из трех главных значений тензо-

B 36, 7627 (1987).

ра удельного сопротивления два из них равны, как

в нашем случае объемных образцов нематических

10.

D. van der Putten, J. T. Moonen, H. B. Brom et al.,

аэрогелей, то у него имеется только два независи-

Phys. Rev. Lett. 69, 494 (1992).

мых главных значения, которые могут быть найде-

11.

A. W. P. Fung, Z. H. Wang, M. S. Dresselhaus et al.,

ны из измерений R₁ и R₂. Отметим, что в наших

Phys. Rev. B 49, 17325 (1994).

экспериментах на объемных образцах аэрогелей ли-

нии размещения зондов AB и CD (см. рис. 5) на-

12.

G. A. M. Reynolds, A. W. P. Fung, Z. H. Wang et

правлены вдоль направления наибольшей проводи-

al., Phys. Rev. B 50, 18590 (1994).

мости, принятого за ось x₁ с удельным сопротивле-

13.

P. Mandal, A. Neumann, A. G. M. Jansen et al., Phys.

нием ρ₁, а удельные сопротивления по двум другим

Rev. B 55, 452 (1997).

осям считаются равными, т.е. ρ₂ = ρ₃ и λ₂₁ = λ₃₁.

Зная аналитические выражения для функций G

14.

Б. И. Шкловский, А. Л. Эфрос, Электронные

и H [38,58], геометрические размеры образца (значе-

свойства легированных полупроводников, Наука,

Москва (1979).

ния a, b, d) и расстояние между точечными контак-

тами s, мы можем построить величину отношения

15.

B. I. Shklovskii and A. L. Efros in Electronic

Properties of Doped Semiconductors, Vol.

R₁

G(a/s, λ b/s, λ d/s)

Springer Series in Solid-State Sciences, Springer-Ver-

R₂

H (a/s, λ b/s, λ d/s)

lag, Berlin, Heidelberg GmbH (1984).

в зависимости только от одного аргумента λ = λ₂₁ =

16.

R. M. Hill, Phys. Stat. Sol (a) 35, K29 (1976).

= λ₃₁. Для каждого измерения величин R₁ и R₂ из

этой зависимости определяется параметр анизотро-

17.

А. Г. Забродский, ФТП 11, 595 (1977).

пии λ, а затем величина ρ₁ двумя способами:

18.

M. Pollak, J. Non-Cryst. Solids 11, 1 (1972).

R₁d

ρ₁ =

19.

E. M. Hamilton, Phil. Mag. 29, 1043 (1972).

λ G(a/s, λ b/s, λ d/s)

R₂d

20.

Reghu M, C. O. Yoon, C. Y. Yang et al., Phys. Rev.

или ρ₁ =

B 50, 13931 (1994).

λH(a/s, λb/s, λd/s)

21.

C. O. Yoon, Reghu M, D. Moses et al., Synt. Met.

после чего находим величину ρ₃ = ρ₁λ².

75, 229 (1995).

22.

A. N. Aleshin, J. Y. Lee, S. W. Chu et al., Phys. Rev.

ЛИТЕРАТУРА

B 69, 214203 (2004).

1. M. Aghayan, I. Hussainova, M. Gasik et al., Thermo-

23.

J. Park, W. C. Mitchel, S. Elhamri et al., Phys. Rev.

chim. Acta 574, 140 (2013).

B 88, 035419 (2013).

279

В. И. Цебро, Е. Г. Николаев, Л. Б. Луганский и др.

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

24.

Y.-E. Lévy and B. Souillard, Europhys. Lett. 4, 233

43.

С. В. Демишев, А. А. Пронин, В. В. Глушков и др.,

(1987).

Письма в ЖЭТФ 78, 984 (2003).

25.

G. Deutscher, Y. Lévy, and B. Souillard, Europhys.

44.

P. A. Lee and T. V. Ramakrishnan, Rev. Mod. Phys.

Lett. 4, 577 (1987).

57, 287 (1985).

26.

M. M. Fogler, S. Teber, and B. I. Shklovskii, Phys.

45.

H. W. Jiang, C. E. Johnson, and K. L. Wang, Phys.

Rev. B 69, 035413 (2004).

Rev. B 46, 12830 (1992).

27.

A. B. Kaiser, Rep. Prog. Phys. 64, 1 (2001).

46.

G. M. Minkov, O. E. Rut, A. V. Germanenko et al.,

Phys. Rev. B 65, 235322 (2002).

28.

M. Pollak and C. J. Adkins, Phil. Mag. B 65, 855

(1992).

47.

V. F. Mitin, V. K. Dugaev, and G. G. Ihas, Appl.

Phys. Lett. 91, 202107 (2007).

29.

A. M. Nardes, M. Kemerink, and R. A. J. Janssen,

Phys. Rev. B 76, 085208 (2007).

48.

X. Hong, S. H. Cheng, C. Herding, and J. Zhu, Phys.

Rev. B 83, 085410 (2011).

30.

S. Ihnatsenka, Phys. Rev. B 94, 195202 (2016).

31.

R. Saito, M. Hofmann, G. Dresselhaus et al., Adv.

49.

F. P. Milliken and Z. Ovadyahu, Phys. Rev. Lett. 65,

Phys. 60, 413 (2011).

911 (1990).

32.

E. H. Martins Ferreira, Marcus V. O. Moutinho,

50.

A. Frydman and Zvi Ovadyahu, Sol. St. Comm. 94,

F. Stavale et al., Phys. Rev. B 82, 125429 (2010).

745 (1995).

33.

M. M. Lucchese, F. Stavale, E. H. Martins Ferreira

51.

Yu Wang Jorge J. Santiago-Avilés, Appl. Phys. Lett.

et al., Carbon 48, 1592 (2010).

89, 123119 (2006).

34.

M. S. Dresselhaus, A. Jorio, A. G. Souza Filho, and

52.

X. Wang, W. Gao, X. Li et al., Phys. Rev. Mater. 2,

R. Saito, Phil. Trans. Royal Society A 368, 5355

116001 (2018).

(2010).

53.

В. Л. Нгуен, Б. З. Спивак, Б. И. Шкловский,

35.

A. Eckmann, A. Felten, A. Mishchenko et al., Nano

ЖЭТФ 89, 1770 (1985).

Lett. 12, 3925 (2012).

54.

U. Sivan, O. Entin-Wohlman, and Y. Imry, Phys.

36.

L. G. Cancado, K. Takai, T. Enoki et al., Appl. Phys.

Rev. Lett. 60, 1566 (1988).

Lett. 88, 163106 (2006).

55.

O. Entin-Wohlman, Y. Imry, and U. Sivan, Phys.

37.

L. G. Cancado, A. Jorio, E. H. Martins Ferreira et

Rev. B 40, 8342 (1989).

al., Nano Lett. 11, 3190 (2011).

56.

L. B. Ioffe and B. Z. Spivak, ЖЭТФ 144, 632 (2013).

38.

Л. Б. Луганский, В. И. Цебро, ПТЭ №1, 122 (2015).

(Instr. and Exper. Tech. 58, 118 (2015)).

57.

R. Tarkiainen, M. Ahlskog, A. Zyuzin et al., Phys.

Rev. B 69, 033402 (2004).

39.

P. Schnabel, Phil. Res. Rep. 19, 43 (1964).

58.

Л. Б. Луганский, В. И. Цебро, Четырехзон-

40.

P. Schnabel, Z. Angew. Phys. 22, 136 (1967).

довые методы измерения удельного сопротив-

41.

А. Г. Забродский, К. Н. Зиновьева, ЖЭТФ 86, 727

ления, РИИС ФИАН, Москва

(2012). ISBN

(1984).

978-5-902622-23-9.

42.

K. Ritter and J. Lyding, Nat. Mater. 8, 235 (2009).

59.

L. J. van der Pauw, Philips Res. Rep. 16, 187 (1961).

280