ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 2, стр. 296-300

К ТЕОРИИ ОМИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ В LC-СИСТЕМАХ

Б. Я. Балагуров^*

Институт биохимической физики им. Н. М. Эмануэля Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 22 октября 2021 г.,

после переработки 22 октября 2021 г.

Принята к публикации 25 октября 2021 г.

Рассмотрена низкочастотная проводимость LC-систем — неупорядоченных решеток с индуктивными (L)

и емкостными (C) связями в переменном электрическом поле. Выясняются условия, при которых в таких

системах возможны реальные (омические) потери энергии.

DOI: 10.31857/S0044451022020146

1. Сначала рассмотрим двумерную задачу о про-

водимости изотропного двухкомпонентного компо-

зита. Эффективная проводимость σ_e такой системы

В ходе исследований электрических свойств дву-

является функцией трех основных аргументов:

мерных композитов [1] Дыхне, в частности, показал,

что для случайно-неоднородных бинарных систем

σe = σe(p; σ1, σ2) .

(1)

их эффективная проводимость σ_e равна среднему

геометрическому от проводимостей компонент, если

Здесь σ₁ и σ₂ — проводимости компонент, p — без-

их концентрации равны. Этот же результат спра-

размерная концентрация (доля занимаемой площа-

ведлив для системы со структурой шахматной дос-

ди) первой компоненты; концентрация второй ком-

ки, а также для неупорядоченной квадратной ре-

поненты равна 1 - p. Для решеток под концентра-

шетки с половинным составом. Применение полу-

цией p понимается доля связей с проводимостью σ₁.

ченной формулы для σ_e к LC-решетке, связи кото-

В работах [1, 2] для величины σ_e получено так

рой представляют собой индуктивность L или элек-

называемое соотношение взаимности:

трическую емкость C, привело к неожиданному ре-

зультату: в системе, состоящей только из недисси-

σ_e(p; σ₁, σ₂)σ_e(p; σ₂, σ₁) = σ₁ σ₂ .

(2)

пативных элементов, оказались возможны потери

энергии. Таким образом система, состоящая из ре-

Здесь второй сомножитель в левой части равенства

активных (L- и C-) сопротивлений, может обладать

относится к взаимной системе, отличающейся от ис-

реальным активным (омическим) сопротивлением.

ходной заменой σ₁ ⇄ σ₂. Соотношение (2) было вы-

ведено в работе [2] для систем с периодическим рас-

В настоящей работе проблема существования ре-

положением включений. Применение преобразова-

альных потерь энергии в LC-системах обсуждает-

ния симметрии позволило доказать (см. [1]), что со-

ся с общих позиций. Показано, что омическим со-

отношение (2) справедливо для двумерных систем

противлением могут обладать как двумерные, так и

произвольной структуры, в том числе и неупорядо-

трехмерные LC-системы. Оказалось, что веществен-

ченной.

ная часть величины σ_e, отвечающая за потери энер-

Следуя работе [1], рассмотрим теперь бинарную

гии, непосредственно связана с особенностями σ_e

модель со случайным распределением компонент.

как аналитической функции отношения проводимо-

Такая система при замене проводимостей σ₁ ⇄ σ₂

стей компонент. Поэтому исследование физическо-

становится взаимной, а при дополнительной замене

го явления омических потерь в LC-системах может

концентрации (p → 1 - p) возвращается в исходное

прояснить некоторые чисто математические вопро-

состояние. Поэтому при такой двойной замене эф-

сы.

фективная проводимость не меняется, так что

σe(p; σ1, σ2) = σe(1 - p; σ2, σ1) .

(3)

^* E-mail: balagurov@deom.chph.ras.ru, byabalagurov@mail.ru

296

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

К теории омических потерь в LC-системах

С учетом этого равенства соотношение взаимности

означает, что в ней происходит, как и в системе с

(2) для подобных систем принимает вид

обычными (активными) сопротивлениями, диссипа-

ция энергии, т. е. имеются омические потери.

σ_e(p; σ₁, σ₂)σ_e(1 - p; σ₁, σ₂) = σ₁ σ₂ .

(4)

Объяснение этого феномена дано в работе [1] и

состоит в следующем. В неупорядоченной решетке

Отсюда при p = 1/2 получаем [1]

имеются LC-контуры с различными собственными

σ_e(1/2; σ₁, σ₂) =

√σ₁ σ₂ .

(5)

частотами. Энергия электрического поля затрачи-

вается на резонансное возбуждение колебаний этих

Этот результат, как следует из его вывода, справед-

контуров. При этом реальная диссипация энергии

лив для изотропной двумерной бинарной системы

происходит при наличии в системе сколь угодно

со случайным распределением компонент. В то же

малого поглощения. В бесконечной решетке спектр

время для модели со структурой шахматной доски

собственных частот непрерывен, так что поглоще-

имеем p = 1/2, а замена σ₁ ⇄ σ₂ ее не меняет. Поэто-

ние энергии происходит в широком диапазоне изме-

му уже из соотношения взаимности (2) следует, что

нения частоты ω.

результат (5) справедлив и для этой упорядоченной

Приведенные рассуждения иллюстрируют ре-

модели. Выражение (5) было получено также в хо-

зультат (7), относящийся к квадратной решетке с

де непосредственного решения (с определением на-

критической концентрацией. Однако эта аргумента-

пряженности электрического поля в каждой ячейке)

ция в равной мере применима к любым LC-решет-

задачи о проводимости модели со структурой шах-

кам (в том числе трехмерным) и не ограничивается

матной доски [3]. Можно показать [1] также, что ре-

критической концентрацией. Поэтому следует ожи-

зультат (5) справедлив и для квадратной решетки со

дать, что существование омического сопротивления

случайным распределением проводимостей связей

в LC-системах является достаточно общим явлени-

при их равной концентрации. Отметим, что во всех

ем.

трех случаях концентрация p = 1/2 является кри-

2. Существование омической проводимости в

тической (порогом протекания), при которой проис-

LC-системе было установлено в работе [1] на част-

ходит фазовый переход металл-диэлектрик [4].

ном примере неупорядоченной квадратной решет-

Рассмотрим квадратную решетку, связи которой

ки с критической концентрацией. Для исследования

содержат не обычные проводимости или сопротив-

этой проблемы в случае произвольной LC-решетки

ления, а индуктивность (L-связи) или электричес-

необходимо выяснить некоторые общие свойства эф-

кую емкость (C-связи), случайным образом распре-

фективной проводимости σ_e из формулы (1) при

деленные. Проводимости таких связей чисто мни-

комплексных значениях аргументов σ₁ и σ₂ [6, 7].

мые (бездиссипативные) и имеют вид [5]

Для этого введем безразмерную эффективную про-

водимость f согласно выражению

σ₁ = σ_L = i

σ₂ = σ_C = -iωC ,

(6)

ωL

σ2

σe(p; σ1, σ2) = σ1 f(p, h) , h =

(8)

σ₁

где под частотой ω следует понимать величину

ω + i0. В (6) L — индуктивность, C — емкость, c —

В трехмерном случае под p следует понимать до-

скорость света.

лю объема, занятого первой компонентой, или долю

Эффективная проводимость подобной LC-систе-

связей с проводимостью σ₁ в решетке.

мы в квазистационарном приближении [5] определя-

Согласно [5] в переменном электрическом по-

ется подстановкой мнимых проводимостей (6) в вы-

ле проводимость σ(ω) наравне с диэлектрической

ражение для σ_e системы той же структуры с обыч-

проницаемостью является аналитической функцией

ными проводимостями. Для неупорядоченной квад-

комплексной частоты ω при Im ω > 0. Кроме того,

ратной LC-решетки с половинным составом подста-

σ(ω) не имеет в верхней полуплоскости ω нулей. По-

новка σ₁ и σ₂ из (6) в формулу (5) дает [1]

этому безразмерная проводимость f, равная отно-

√

шению двух аналитических функций σ_e/σ₁, также

аналитична при Im ω > 0. Зависимость функции

σe(1/2; σL, σC ) = c

(7)

f = f(p,ζ)

(9)

Этот результат кажется парадоксальным. Действи-

осуществляется через аргумент

тельно, согласно формуле (7) LC-система с чисто

σ₂(ω)

мнимыми (бездиссипативными) элементами облада-

ζ = ζ(ω) =

(10)

ет вещественной эффективной проводимостью. Это

σ₁(ω)

297

ЖЭТФ, вып. 2

Б. Я. Балагуров

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

В свою очередь, с помощью этого соотношения верх-

в бинарной двумерной системе имеется протекание

няя полуплоскость ω конформно отображается на

только по второй компоненте, а при p

> p_c —

некоторую область комплексной плоскости перемен-

только по первой. В трехмерном случае ситуация

ной ζ. В этой области величина f(p, ζ) аналитична

иная — здесь критических концентраций две: pc1 и

уже как функция аргумента ζ. Наибольшую по пло-

pc2 (pc1 < pc2). При p < pc1 есть протекание толь-

щади область дает отображение (10) с проводимос-

ко по второй компоненте, в диапазоне pc1 < p < pc2

тями компонент, по форме совпадающими с σ_L и σ_C

сосуществуют протекания по обеим компонентам, а

из формулы (6):

при p > pc2 отсутствует протекание по второй ком-

поненте.

Если σ₂ = 0, то при изменении концентрации

ζ(ω) = -

Ω=

√

(11)

Ω²

первой компоненты от p > pc1 до p < pc1 в точ-

ке p = pc1 происходит фазовый переход металл-ди-

Однако здесь, в отличие от (6), величина ω являет-

электрик: эффективная проводимость σ_e при всех

ся комплексной переменной, определенной на всей

p ≤ pc1 равна нулю. Если же σ2

= 0, но мала

верхней полуплоскости; Ω — томсоновская частота.

(σ₂/σ₁ ≪ 1), то в окрестности критической концент-

Соотношением (11) верхняя полуплоскость Im ω > 0

рации pc1 в поведении эффективной проводимости

отображается на всю комплексную плоскость ζ за

имеются известные аномалии, которые описывают-

исключением луча Im ζ = 0 и -∞ ≤ Reζ ≤ 0.

ся в рамках гипотезы подобия [4]. Ниже понадобится

Следовательно, безразмерная эффективная прово-

выражение для безразмерной эффективной прово-

димость f(p, ζ) как функция аргумента ζ аналитич-

димости f в самой критической точке:

на на всей комплексной плоскости с разрезом вдоль

отрицательной действительной полуоси. При этом

f (pc1, h) = a₀ h^s, h ≪ 1.

(18)

любые особенности функции f(p, ζ) могут находить-

Здесь s — критический индекс (0 < s < 1), a₀ ∼ 1 —

ся только на этом луче.

численный коэффициент. В двумерном случае s =

Согласно [5]

= 1/2, a₀ = 1 и для функции f имеем

√

σ(-ω^∗) = σ_∗(ω) ,

(12)

f (1/2, h) =

(19)

так что

— ср. с формулой (5).

В противоположном случае h ≫ 1 с учетом опре-

f (p, ζ(-ω^∗)) = f^∗(p, ζ(ω)),

(13)

деления величины pc2 для функции f(p, h) имеем

следующие асимптотики:

или при

p > pc2 : f(p,h) f(p,∞) + ... ,

(20)

ζ = ξ + iη

(14)

p < pc2 : f(p,h) hA(p) + B(p) + ...

(21)

имеем

Здесь символ означает асимптотическое выраже-

f (p, ξ - iη) = f^∗(p, ξ + iη) .

(15)

ние. В (21) A(p) и B(p) — некоторые функции кон-

центрации p. Опущенные в (20), (21) члены разло-

Положив в (15) ξ = -t и η = 0, находим следующие

жения имеют порядок 1/h и выше.

соотношения симметрии:

Вычисляя при p > pc2 интеграл

∫

Re f(-)(p, -t) = Re f⁽⁺⁾(p, -t) ,

(16)

f (p, z) - f(p, ∞) dz

(22)

z-ζ

2πi

взятый вдоль контура, представляющего собой

Im f(-)(p, -t) = - Im f⁽⁺⁾(p, -t) ,

(17)

окружность бесконечного радиуса, дополненную

где 0 ≤ t ≤ ∞. Здесь индексы «плюс» и «минус»

обходом вокруг разреза (см. рисунок), получим

следующее дисперсионное соотношение:

обозначают принадлежность функции f к верхнему

или нижнему берегу разреза вдоль луча — отрица-

p > pc2 : f(p,ζ) = f(p,∞)-

тельной действительной полуоси.

∞

∫

Как известно [4], в двумерном случае имеется

Im f⁽⁺⁾(p, -t)

dt .

(23)

одна критическая концентрация p_c (порог протека-

t+ζ

ния). При концентрации первой компоненты p < p_c

298

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

К теории омических потерь в LC-системах

Отделяя мнимую и действительную части, полу-

чим

c²

Im σ_e(p; σ_L, σ_C ) =

Re f(-)(p, -ω²/Ω²) ,

(27)

ωL

c²

Re σ_e(p; σ_L, σ_C ) = -

Im f(-)(p, -ω²/Ω²) .

(28)

ω²

С учетом соотношений симметрии (16), (17) выра-

жения (27), (28) принимают вид

c²

Im σ_e(p; σ_L, σ_C ) =

Re f⁽⁺⁾(p, -ω²/Ω²) ,

(29)

ωL

c²

Re σ_e(p; σ_L, σ_C ) =

Im f⁽⁺⁾(p, -ω²/Ω²) .

(30)

ωL

Здесь индекс «плюс» означает верхний берег разре-

за. Таким образом, омическая проводимость Re σ_e

LC-cистемы выражается через ту же функцию

Аналогичным образом находим второе дисперсион-

Im f⁽⁺⁾(p, -t), которая входит в дисперсионные со-

ное соотношение:

отношения (23), (24).

Величина Im f⁽⁺⁾(p, -t) может быть найдена в

p < pc2 : f(p,ζ) = ζA(p) + B(p)-

явном виде для некоторых частных случаев. Так, в

∫

∞

двумерном случае из формулы (19) следует

Im f⁽⁺⁾(p, -t)

dt .

(24)

√

t+ζ

f⁽⁺⁾(1/2, -t) = i

(31)

так что

Следовательно, знание величины Im f⁽⁺⁾(p, -t) как

функции действительной переменной t позволяет с

Im f⁽⁺⁾(1/2, -ω²/Ω²) =

(32)

помощью этих соотношений находить f(p, ζ) в лю-

бой точке комплексной плоскости ζ. Если безраз-

Соответствующая действительная часть функции

мерная эффективная проводимость f(p, h) извест-

f⁽⁺⁾(1/2, -ω²/Ω²) в этом случае равна нулю. Под-

на во всем интервале 0 ≤ h ≤ ∞, то функцию

становка выражения (32) в общую формулу (30)

Im f⁽⁺⁾(p, -t) можно найти из соотношений (23),

приводит, как и следует, к результату (7).

(24) при ζ = h, рассматривая их как интегральные

Из формулы (18) находим

уравнения.

f⁽⁺⁾(pc1, -t) = a₀ t^s e^isπ ,

(33)

3. В рассматриваемом квазистационарном при-

ближении выражение для эффективной проводимо-

откуда следует

сти LC-системы следует из общей формулы (8) с

)2s

⁽ω

заменой h → ζ при подстановке величин σ₁ = σ_L и

Re f⁽⁺⁾(pc1, -ω²/Ω²)=a0

cossπ ,

(34)

σ₂ = σ_C из (6). В результате аргумент ζ примет вид

)2s

σ_C

(ω + i0)

⁽ω

ζ =

(25)

Im f⁽⁺⁾(pc1, -ω²/Ω²)=a0

sinsπ .

(35)

σ_L

Ω²

с Ω из формулы (11). Здесь ω — реальная (вещест-

Подстановка выражения (35) в общую формулу (30)

венная) частота ω > 0. Подстановка (25) вместо h в

дает

формулу (8) дает

c² ω2s-1

Re σ_e(pc1; σ_L, σ_C ) = a₀

sinsπ .

(36)

L Ω2s

σe(p; σL, σC ) = i

f(-)(p, -ω²/Ω²).

(26)

ωL

В трехмерном случае s ≈ 0.7 [7] и 2s - 1 ≈ 0.4, так

Индекс «минус» у функции f означает, что она

что величина Re σ_e зависит от частоты примерно

должна быть взята на нижнем берегу разреза.

как ω1/2.

299

10*

Б. Я. Балагуров

ЖЭТФ, том 161, вып. 2, 2022

Таким образом, согласно формуле (30) действи-

Ввиду важности величины Im f⁽⁺⁾(p, -t) для

тельная часть эффективной проводимости LC-ре-

всей задачи о проводимости двухкомпонентных ком-

шетки, ответственная за омические потери, выра-

позитов необходимо найти мнимую часть f⁽⁺⁾(p, -t)

жается через величину Im f⁽⁺⁾(p, -t), характеризу-

для неупорядоченных, например, квадратной и ку-

ющую математическую особенность функции f(p, ζ)

бической LC-решеток. В принципе это можно сде-

на разрезе плоскости комплексного аргумента ζ. Эта

лать, вычисляя в ходе обычного компьютерного экс-

же величина входит в дисперсионные соотношения

перимента в режиме постоянного тока эффектив-

(23), (24), из которых следует, что Im f(+)(p, -t)

ную проводимость σ_e решетки с проводимостями

отлична от нуля при любой концентрации p. С

σ₁ = 1, σ₂ = -t + iε, где ε → +0. Затем величи-

другой стороны, при фиксированном p величина

на Im f⁽⁺⁾(p, -t) определяется из соотношения

Im f⁽⁺⁾(p, -t) = 0 по крайней мере в некотором

диапазоне изменения аргумента t. Следует ожи-

σe(p; 1, -t + iε) = f(p, -t + iε)

дать поэтому, что для неупорядоченных LC-реше-

при достаточно малом ε. Такой подход, однако, весь-

ток Re σ_e = 0 в широкой области изменения как

ма трудозатратен, а использование полученной для

концентрации, так и частоты. Отличие Re σ_e от ну-

Im f⁽⁺⁾(p, -t) «гребенки» не слишком удобно. Бо-

ля означает наличие омических потерь энергии, так

лее реалистичным представляется определение ве-

что должно выполняться неравенство

личины Im f⁽⁺⁾(p, -t) из дисперсионных соотноше-

Im f⁽⁺⁾(p, -t) ≥ 0

(37)

ний (23), (24) как интегральных уравнений. Аппрок-

при всех 0 ≤ t ≤ ∞. Справедливость этого неравен-

симируя Im f⁽⁺⁾(p, -t) ступенчатой функцией аргу-

ства подтверждается частными случаями — см. (32)

мента t, результат вычислений получим в виде ги-

и (35).

стограммы. Этот график даст общее представление

Как отмечено в разд.

1, в неупорядоченной

о зависимости функции Imf⁽⁺⁾(p, -t) от t при за-

LC-решетке имеется множество LC-цепочек с раз-

данной концентрации p.

личными собственными частотами ω_ν . Поэтому ве-

личина f(p, -ω²/Ω²) как отклик на внешнее пере-

менное электрическое поле представляет собой сум-

ЛИТЕРАТУРА

му резонансных слагаемых типа 1/(ω² - ω2ν), чему в

1. А. М. Дыхне, ЖЭТФ 59, 110 (1970).

функции f(p, ζ) отвечают слагаемые полюсного ви-

да 1/(ζ + t_ν ), где t_ν > 0. Поэтому при ζ = -t + i0

2. J. B. Keller, J. Math. Phys. 5, 548 (1964).

для мнимой части f⁽⁺⁾(p, -t) получаем

∑

3. Ю. П. Емец, Электрические характеристики

Im f⁽⁺⁾(p, -t) =

F_ν δ(t - t_ν), F_ν > 0.

(38)

композиционных материалов с регулярной струк-

турой, Наукова думка, Киев (1986).

Для LC-решеток конечного размера спектр час-

тот ω_ν, как и величин t_ν, дискретен, так что

4. A. L. Efros and B. I. Shklovskii, Phys. Stat. Sol. (b)

Im f⁽⁺⁾(p, -t) представляет собой сумму дель-

76, 475 (1976).

та-функций. При переходе к решеткам бесконечно-

го размера спектр величин t_ν становится непрерыв-

5. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика

сплошных сред, Наука, Москва (1992).

ным, сумма в (38) заменяется на интеграл и за-

висимость Imf⁽⁺⁾(p, -t) от аргумента t становится

6. Б. Я. Балагуров, ЖЭТФ 88, 1664 (1985).

«нормальной» — монотонной. Приведенные частные

примеры (32) и (35) относятся к бесконечным систе-

7. Б. Я. Балагуров, Электрофизические свойства

мам, так как только для них имеет смысл введение

композитов. Макроскопическая теория, URSS,

понятия критической концентрации.

Москва (2015).

300