ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 5, стр. 702-710

ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

ДВУМЕРНЫХ ПОРИСТЫХ КОМПОЗИТОВ

С. А. Родионовa*, А. М. Мерзликин^a,b

^a Всероссийский научно-исследовательский институт автоматики им. Н. Л. Духова

127030, Москва, Россия

^b Институт теоретической и прикладной электродинамики Российской академии наук

125412, Москва, Россия

Поступила в редакцию 20 июля 2021 г.,

после переработки 17 декабря 2021 г.

Принята к публикации 20 декабря 2021 г.

Исследуется распространение света в двумерных пористых композитных материалах на основе кремния

(Si) и диоксида кремния (SiO2) в терминах эффективных параметров. Эффективный показатель пре-

ломления n_eff и квазистатическая эффективная диэлектрическая проницаемость

√ε_eff были вычислены

независимо. Эффективный показатель преломления был вычислен с использованием теоремы Блоха, в

то время как квазистатическая эффективная диэлектрическая проницаемость была рассчитана разны-

ми методами: при помощи метода асимптотического осреднения, приближения Максвелла Гарнетта и

модели Бруггемана. Показано, что в длинноволновом приближении n_eff не сходится к квадратному кор-

ню из квазистатической диэлектрической проницаемости, вычисленной при помощи моделей Максвелла

Гарнетта и Бруггемана. Показано, что, напротив, сходимость между n_eff и

√ε_eff , вычисленной методом

асимптотического осреднения, осуществляется в длинноволновом пределе для любых значений пористо-

сти композитного материала.

DOI: 10.31857/S004445102205008X

Максвелла

[1, 6, 10-17]. Смысл данного метода

EDN: DSUGDW

заключается в замене точных электромагнитных

полей в неоднородной среде «средними»¹⁾ полями,

1. ВВЕДЕНИЕ

взаимодействующими с некоторой гомогенной сре-

дой. Данный подход позволяет избежать затратных

В настоящее время исследование оптических

по времени вычислений микрополей в структуре

композитных материалов [1], свойства которых обу-

композитного материала и описывать его свойства

словлены не только их составом, но и внутрен-

в терминах эффективных параметров

[10-15].

ней геометрией, представляет высокий интерес [2].

Полная характеристика оптических свойств мате-

Особенности взаимодействия света с микрострук-

риала требует определения двух параметров²⁾: ε_eff ,

турой композитных материалов проявляется в раз-

μ_eff — эффективных диэлектрической и магнитной

личных макроскопических оптических свойствах

проницаемостей соответственно [18], что следует из

данных структур, включая такие необычные свой-

уравнений Максвелла для однородной среды.

ства, как формирование фотонной запрещенной зо-

В наиболее простом случае статических по-

ны [3, 4], аномальное преломление света [5,6] и т. д.

лей амплитуды электрического и магнитного полей

Понимание физики взаимодействия света с данны-

независимы, что позволяет преобразовать систему

ми структурами и определение их макроскопиче-

уравнений Максвелла к уравнению Лапласа. Гомо-

ских свойств — важные проблемы современной оп-

тики [7-9].

¹⁾ Различные авторы рассматривают поля, усредненные

Для изучения макроскопических оптических

по физически бесконечно малому элементу объема [18], ан-

свойств композитных материалов достаточно ши-

самблю [19], и более сложные методы усреднения [1, 12, 13].

роко используется метод гомогенизации уравнений

²⁾ В случае анизотропных сред данные параметры являют-

ся тензорными величинами. Биизотропные и бианизотропные

^* E-mail: sergeyrodionov93@yandex.ru

среды не рассматриваются в данной работе.

702

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Эффективный показатель преломления.. .

генизация уравнения Лапласа является достаточ-

родой электромагнитного излучения. Однако при

но хорошо изученной проблемой [1, 8-11, 14, 15]. Су-

использовании данного приближения уравнения, ко-

ществует много феноменологических методов гомо-

торые описывают электромагнитные поля, отличны

генизации, среди которых приближение Максвелла

от уравнения Лапласа. Таким образом, стандартные

Гарнетта [10,11] и модель эффективной среды Бруг-

методы гомогенизации оказываются неприменимы.

гемана [14] наиболее популярны. Также существу-

Достаточно известным методом гомогенизации

ют математически строгие методы гомогенизации,

в длинноволновом приближении является метод,

среди которых метод асимптотического осреднения

впервые предложенный Рытовым и Левиным в ра-

уравнения Лапласа для периодических сред широко

ботах [23, 24] и основанный на теореме Блоха [15].

используется в задачах механики, электростатики и

Суть метода заключается в разложении электро-

магнитостатики [20, 21]. Данный метод основан на

магнитного поля в периодической структуре в ряд

методе многих масштабов [9, 20] и разложении по-

по блоховским волнам. При помощи данного мето-

ля в ряд по малому параметру a/L, где a — харак-

да можно вычислить эффективный показатель пре-

терный масштаб неоднородности внутренней струк-

ломления n_eff и эффективный импеданс Y_eff , при

туры образца, L — характерный масштаб размеров

помощи которых могут быть вычислены эффектив-

образца.

ная диэлектрическая проницаемость ε_eff и эффек-

При изучении взаимодействия переменных элек-

тивная магнитная проницаемость μ_eff . Однако в ра-

тромагнитных полей с композитным материалом

ботах [25-28] было показано, что для периодических

электрическое и магнитное поля связаны посред-

слоистых композитов введение эффективного импе-

ством уравнений Максвелла, а также данные урав-

данса в длинноволновом приближении некоррект-

нения содержат дополнительный параметр масшта-

но. Оказывается, что эффективный импеданс силь-

ба — длину волны λ. Связь между электрическим

но зависит от граничных условий на поверхности

и магнитным полями приводит к уравнениям, от-

образца и процедура сходимости для данного па-

личным от уравнения Лапласа, а наличие третьего

раметра, при увеличении размеров образца, не вы-

параметра масштаба (длины волны) требует приня-

полняется [25, 26]. Также в ряде работ [10-15, 29, 30]

тия во внимание отношений a/λ и λ/L, помимо a/L.

обсуждаются основные современные методы гомо-

Важно отметить, что в случае a/λ > 1/2n, где n —

генизации и способы корректного введения полного

показатель преломления матрицы композитного ма-

набора эффективных материальных параметров в

териала, метод гомогенизации не может быть при-

длинноволновом приближении, которые в основном

менен, так как при приближении к первому брэг-

сводятся к введению эффективных переходных сло-

говскому резонансу среда начинает сильно рассеи-

ев на поверхности образца. Тем не менее такие слои

вать излучение и не может рассматриваться как од-

все еще довольно сильно зависят от типа границы,

нородная [15]. Таким образом, метод гомогенизации

что не позволяет описывать композитный матери-

может применяться, когда a/λ ≪ 1/2n.

ал в терминах эффективных параметров коррект-

В случае, когда длина волны существенно пре-

но [31].

вышает все остальные характерные масштабы: λ ≫

≫ a, L, уравнения Максвелла могут быть сведены к

Таким образом, применимость метода гомогени-

уравнению Лапласа. Однако, в отличие от статичес-

зации к уравнениям Максвелла для композитных

кого случая, связь между электрическим и магнит-

материалов в длинноволновом приближении все еще

ным полями должна быть сохранена. Также должна

остается до конца не решенной проблемой и требует

быть учтена дисперсия параметров среды. Данное

дальнейшего исследования. Однако, так как введе-

приближение называется квазистатическим [8, 18].

ние n_eff остается в силе [29, 32, 33] в динамической

Гомогенизация неоднородной среды с использовани-

задаче, данный параметр можно использовать для

ем квазистатического приближения достаточно по-

описания макроскопических свойств композитного

пулярный метод и, как и в статическом случае, до-

материала. Также в связи с тем, что квазистати-

статочно хорошо изученная проблема [14, 22].

ческое приближение [10,11] применимо к композит-

Волновые свойства излучения учитываются в бо-

ным материалам в случае λ ≫ a, достаточно важной

лее точном, длинноволновом приближении. В дан-

задачей является определение разницы между n_eff ,

ном приближении при решении уравнений Максвел-

рассчитанным при помощи теоремы Блоха в длин-

ла поля раскладываются в ряд по степеням a/λ и

новолновом приближении, и

√ε_eff , рассчитанным с

λ/L, что позволяет учитывать набег фазы волны в

использованием метода асимптотического осредне-

среде и другие явления, связанные с волновой при-

ния в квазистатическом приближении:

703

С. А. Родионов, А. М. Мерзликин

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Δn_eff = n_eff -

√ε_eff .

(1)

В последнее время нанопористый кремний и ди-

оксид кремния представляют большой интерес в оп-

тике [34, 35]. За счет технологической возможности

управления пористостью материала p³⁾ оказывает-

ся возможным изменять оптические свойства данно-

го материала в достаточно широких пределах, что

находит применение во многих оптических устрой-

ствах [35-38]. Так как данные структуры принад-

лежат к классу двумерных композитных материа-

лов [39-42] за счет сонаправленного роста пор, есть

определенный теоретический интерес к изучению

связи между эффективными параметрами и микро-

структурой данного композитного материала. Сле-

довательно, изучение таких структур является важ-

ной задачей как для прикладной оптики, так и для

теоретической. В данной работе исследуются эф-

фективные оптические параметры двумерных пори-

стых композитных материалов и связь между мето-

дом асимптотического осреднения и теоремой Блоха

в длинноволновом пределе в задаче гомогенизации.

Также в данной работе мы показали, что такие по-

пулярные методы гомогенизации, как приближение

Рис. 1. Модель пористого композита

Максвелла Гарнетта и модель Бруггемана, дают ре-

зультаты, отличные от математически строгого ме-

тода асимптотического осреднения при больших по-

риала, т. е. среднее расстояние между осями сосед-

ристостях, и оказываются непригодными.

них цилиндров a, предполагается много меньшим,

Работа имеет следующую cтруктуру. В разд. 2

чем характерный размер всей структуры L (a ≪ L).

описана постановка задачи, т. е. представлена мо-

Также предполагается, что длина волны λ много

дель пористого материала и методы для расчета его

меньше L (λ ≪ L), что позволяет рассматривать

эффективных параметров. Метод асимптотическо-

структуру как двумерную и бесконечную. Для при-

менения метода асимптотического осреднения и тео-

го осреднения используется для расчета квазиста-

тической эффективной диэлектрической проницае-

ремы Блоха, которые описаны ниже, за счет равно-

мости, а эффективный показатель преломления в

мерного распределения пор в композитном материа-

длинноволновом приближении вычисляется при по-

ле структура предполагается периодической, с квад-

мощи теоремы Блоха. В разд. 3 представлены ре-

ратной ячейкой периода a, и все цилиндры предпо-

зультаты вычислений. Обсуждение полученных ре-

лагаются идентичными, с диаметром d (рис. 1б).

зультатов проводится в разд. 4.

Как видно из рис. 1a, структура неоднородна в

плоскости xy и однородна вдоль оси z. Тогда эффек-

тивная диэлектрическая проницаемость не является

2. МЕТОДЫ

скаляром и зависит от направления. За счет транс-

ляционной симметрии вдоль оси z и квадратной

2.1. Модель пористого композита

элементарной ячейки в выбранной системе коорди-

Модель двумерного пористого композитного ма-

нат, представленной на рис. 1, тензор эффективной

териала представляет собой однородную сплошную

диэлектрической проницаемости может быть пред-

среду из кремния или диоксида кремния (матрица)

ставлен в диагональной форме:

и включений в виде сонаправленных бесконечных

цилиндров, заполненных воздухом (рис. 1а). Харак-

⎛

⎞

ε(⊥)eff

терный размер неоднородности композитного мате-

eff

⎜

⎟

⎝ 0

ε(⊥)eff

⎠.

(2)

³⁾ Отношение объема, занимаемого порами, к объему всего

(∥)

композита.

eff

704

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Эффективный показатель преломления.. .

Таким образом, проблема исследования оптичес-

где φ_n(r) — средний потенциал в случае нулевого

ких свойств пористого кремния или пористого ди-

индекса и его поправки во всех остальных случа-

оксида кремния в квазистатическом приближении

ях. Также в данном методе используется разделение

сводится к вычислению величин ε(⊥)eff и ε(∥)eff . Отме-

на «быстрые» и «медленные» переменные, соответ-

тим, что так как z-компонента вектора напряжен-

ственно:

ности электрического поля непрерывна на грани-

це между материалами, то в направлении, парал-

ξ_i = x_i/a, η_i = x_i/L,

(5)

лельном осям пор, электрическое поле одинаково во

что позволяет существенно упростить решение зада-

всем пространстве. Следовательно, ε(∥)eff = 〈ε〉, где

чи. Сходимость уравнения Лапласа с неоднородны-

〈ε〉 — диэлектрическая проницаемость, усредненная

ми коэффициентами (3) к осредненному уравнению:

по элементарной ячейке композитного материала.

Рассматривается структура со следующими па-

∑

∂²

раметрами: a = 50 нм — период элементарной ячей-

εeffij

φ₀(r) = 0,

(6)

∂x_i∂x_j

i,j

ки, d = 15 нм — диаметр пор, λ = 850 нм — длина

волны излучения в вакууме, ε_SiO

= 2.13 — диэлект-

при k → 0 выполняется в рамках теории G-сходи-

рическая проницаемость диоксида кремния при за-

мости [45].

данной длине волны [43], ε_Si = 13.22 — диэлектри-

Для вычисления ε^effij решается дополнительная

ческая проницаемость кремния при заданной длине

краевая задача на ячейке периодичности:

волны [44], ε_Air = 1 — диэлектрическая проницае-

мость воздуха.

∑

∂

∂M_l(ξ)

ε_ij(ξ)

= 0,

(7)

∂ξ_i

∂ξ_j

i,j

2.2. Метод асимптотического осреднения

]

^[∂M_l(ξ)



В данной работе метод асимптотического осред-

[M_l(ξ) - ξ_l]|_Γ = 0,



= 0,

(8)



∂n_ξ

нения используется для вычисления компонент тен-

зора эффективной диэлектрической проницаемости

где ξ — набор «быстрых» переменных, Ml(ξ) —

в квазистатическом приближении. Детальное опи-

l-я дополнительная функция «быстрых» перемен-

сание данного метода можно найти в [20,21]. В дан-

ных, Γ — граница элементарной ячейки, n_ξ — нор-

ном разделе представлена суть этого метода. При

маль к Γ. Отсюда следует, что тензор эффективной

использовании квазистатического приближения си-

диэлектрической проницаемости может быть вычис-

стема уравнений Максвелла преобразуется к урав-

лен с помощью выражения

нению Лапласа⁴⁾ с сохранением дисперсии парамет-

∫

ров среды:

∑

eff

∂M_j(ξ)

ε_in(ξ)

dξ,

(9)

∂ξ_n

∑

∂

∂φ(r)

V_ξ

ε_ij(r)

= 0,

(3)

∂x_i

∂x

i,j

где Vξ — объем элементарной ячейки в быстрых

переменных и dξ — элемент объема элементарной

где ε_ij (r) — тензор диэлектрической проницаемос-

ячейки в быстрых переменных.

ти, компоненты которого являются функциями ко-

ординат, φ(r) — скалярный потенциал, r — ради-

ус-вектор, x_i — i-я компонента радиус-вектора. По-

2.3. Теорема Блоха

иск асимптотического решения уравнения (3) в виде

Поскольку среда периодическая, для описания

разложения в ряд по параметру k = a/L составляет

распространения в ней электромагнитных волн, за

суть метода асимптотического осреднения:

счет схожести уравнений квантовой механики и

∑

электродинамики, может быть использована теоре-

φ(r) =

kⁿφ_n(r),

(4)

ма Блоха [3,4,15]. При данном подходе компоненты

электромагнитного поля могут быть разложены по

блоховским волнам:

⁴⁾ Для упрощения нашего рассмотрения временная зави-

∑

симость exp(iωt) опущена, так как уравнения Максвелла рас-

E(r) = Ekb(r) exp(ik_b · r),

(10)

сматриваются в частотной области. Далее в работе временная

зависимость также будет опущена.

k_b

705

ЖЭТФ, вып. 5

С. А. Родионов, А. М. Мерзликин

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

где E(r) — вектор напряженности электрического

поля, E_k

(r) — периодические функции распределе-

ния поля в среде, k_b — блоховский волновой вектор.

При использовании данного метода задача сводит-

ся к определению закона дисперсии: k_b = k_b(ω), где

ω — частота излучения, и к последующему вычис-

лению E_k

(r). Тогда вдали от первого брэгговского

резонанса (a/λ ≪ 1/2n) можно ввести эффектив-

ный показатель преломления:

n_eff = k_b/k₀,

(11)

где k₀ — волновое число излучения в вакууме. В дан-

ной работе мы рассматриваем только режим распро-

странения волн с высокой симметрией (k_bz = 0), где

блоховский волновой вектор лежит в плоскости xy.

Рис. 3. (В цвете онлайн) Компоненты тензора эффектив-

ной диэлектрической проницаемости в зависимости от по-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

ристости для пористого кремния

С помощью метода асимптотического осредне-

ния компоненты тензора эффективной диэлектри-

ческой проницаемости были вычислены при раз-

ных величинах пористости p для моделей пористо-

го диоксида кремния (рис. 2) и пористого кремния

(рис. 3), при фиксированных λ и a.

Также мы вычислили зависимости эффективной

диэлектрической проницаемости от пористости для

пористого кремния при помощи приближения Макс-

велла Гарнетта и модели Бруггемана. Отличие ре-

зультатов метода асимптотического осреднения от

данных приближений представлено на рис. 4.

В динамическом случае мы рассмотрели элект-

ромагнитные волны, распространяющиеся в плоско-

Рис. 4. (В цвете онлайн) Сравнение зависимостей эф-

фективной диэлектрической проницаемости от пористости

композитного материала, вычисленных с использованием

приближения Максвелла Гарнетта (MGA), метода асимп-

тотического осреднения (AAM) и модели Бруггемана (BM)

для пористого кремния

сти xy, т.е. когда k_z = 0. Эффективные показатели

преломления данной структуры для обоих направ-

лений вектора напряженности электрического поля

(в плоскости или перпендикулярно ей) были вычис-

лены в зависимости от a/λ для моделей пористо-

го диоксида кремния (рис. 5a) и пористого кремния

(рис. 6a). Вычисления были выполнены с исполь-

Рис. 2. (В цвете онлайн) Компоненты тензора эффектив-

зованием теоремы Блоха при фиксированных λ и

ной диэлектрической проницаемости в зависимости от по-

p. Также, используя (1), было проведено сравнение

ристости для пористого диоксида кремния

величины эффективного показателя преломления с

706

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Эффективный показатель преломления.. .

Рис. 5. (В цвете онлайн) а) Эффективные показатели преломления при разных a/λ для пористого диоксида кремния.

Штриховые линии отмечают

√ε_eff . б) Разности между динамическими и квазистатическими показателями преломления

как функции a/λ для пористого диоксида кремния

Рис. 6. (В цвете онлайн) а) Эффективные показатели преломления при разных a/λ для пористого кремния. Штриховые

линии отмечают

√ε_eff . б) Разности между динамическими и квазистатическими показателями преломления как функции

a/λ для пористого кремния

√ε_eff , вычисленной при помощи метода асимптоти-

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

ческого осреднения в квазистатическом приближе-

Из рис. 2 и 3 ясно, что компоненты тензора эф-

нии (рис. 5б и рис. 6б).

фективной диэлектрической проницаемости могут

Динамические вычисления были выполнены при

меняться в очень широких пределах при изменении

фиксированной пористости, которая была выбрана

пористости образца. Также данная структура обла-

достаточно маленькой (p ≈ 0.07). Чтобы показать,

дает большой анизотропией даже в случае малой

что данный результат справедлив при всех пористо-

разности между диэлектрическими проницаемостя-

стях, мы вычислили зависимости Δn(⊥)eff от a/λ для

ми компонентов композитного материала⁵⁾.

разных пористостей. Вычисления были выполнены

для модели пористого кремния, результаты пред-

⁵⁾ В случае кремния разница между компонентами тензора

ставлены на рис. 7.

диэлектрической проницаемости порядка 1.

707

С. А. Родионов, А. М. Мерзликин

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

ся к

√ε_eff в пределе больших длин волн (a/λ → 0).

Данный результат очень важен, так как показыва-

ет связь между квазистатическим показателем пре-

√

ε_eff и асимптотическим значением ди-

ломления

намического показателя преломления n_eff , вычис-

ленных разными методами.

На рис. 5б и 6б видно, что n_eff сильно отличается

от a/λ только вблизи первого брэгговского резонан-

са и их разница быстро уменьшается при удалении

от него. Следовательно, оказывается возможным ис-

пользовать эффективный показатель преломления

уже при a/λ ≤ 1/4n. Более того, начиная с данно-

го значения a/λ, становится возможным использо-

вание квазистатического приближения для вычис-

ления эффективных параметров с достаточно хоро-

шей точностью. В самом деле, для пористого диок-

Рис. 7. (В цвете онлайн) Разности между динамическими

сида кремния ошибка оказывается порядка 10-4 или

и квазистатическими эффективными показателями пре-

меньше, а для кремния — порядка 10-3 или меньше.

ломления Δn(⊥)eff в зависимости от a/λ для разных пори-

Из рис. 7 ясно, что сходимость n_eff к

√ε_eff в пре-

стостей для пористого кремния

деле больших длин волн не зависит от пористости.

Следовательно, для двумерных пористых структур

На рис. 4 показано, что при малой пористости

имеется непрерывный переход от эффективного по-

(p ≤ 0.05) эффективная диэлектрическая проница-

казателя преломления из теоремы Блоха к квадрат-

емость, вычисленная с использованием приближе-

ному корню из эффективной диэлектрической про-

ния Максвелла Гарнетта и с использованием моде-

ницаемости из метода асимптотического осреднения

ли Бруггемана, совпадает с эффективной диэлект-

в пределе больших длин волн.

рической проницаемостью, вычисленной методом

асимптотического осреднения. Но выше величины

пористости p ≈ 0.05 эффективная диэлектрическая

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

проницаемость из модели Бруггемана значительно

отличается от эффективной диэлектрической про-

В данной работе были исследованы эффектив-

ницаемости, вычисленной методом асимптотическо-

ные оптические параметры двумерного пористого

го осреднения, и становится неприменимой. Эф-

кремния и диоксида кремния в разных приближе-

фективная диэлектрическая проницаемость, вычис-

ниях. В квазистатическом приближении компонен-

ленная с использованием приближения Максвелла

ты тензора эффективной диэлектрической проница-

Гарнетта, согласуется с эффективной диэлектричес-

емости были вычислены для разных значений пори-

кой проницаемостью, вычисленной с использовани-

стости p при фиксированных λ и a методом асимп-

ем метода асимптотического осреднения, вплоть до

тотического осреднения. Было показано, что такие

значений пористости p ≈ 0.4. Выше данного значе-

структуры обладают анизотропией ввиду различий

ния разница между эффективными диэлектричес-

свойств среды в направлениях, параллельном и пер-

кими проницаемостями из приближения Максвел-

пендикулярном порам. За счет возможности изме-

ла Гарнетта и метода асимптотического осреднения

нять пористость образца, компоненты тензора ди-

становится значительной и быстро растет. Следова-

электрической проницаемости могут меняться в ши-

тельно, при пористостях выше p ≈ 0.4 приближение

роких пределах.

Максвелла Гарнетта становится неприменимым.

Сравнение эффективных диэлектрических про-

На рис. 5 и 6 построены зависимости n_eff от a/λ

ницаемостей, вычисленных при помощи метода

вплоть до первого брэгговского резонанса. Как бы-

асимптотического осреднения, приближения Макс-

ло сказано выше, эффективный показатель прелом-

велла Гарнетта и модели Бруггемана, показало, что

ления композитного материала имеет смысл только

модель Бруггемана применима только при малых

вдали от первого брэгговского резонанса. Поэтому в

пористостях. Приближение Максвелла Гарнетта

расчетах используется только первая зона Бриллю-

может быть использовано для вычисления эффек-

эна для a/λ. Как видно из рис. 5а и 6а, n_eff стремит-

тивной диэлектрической проницаемости вплоть

708

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Эффективный показатель преломления.. .

до значения пористости p ≈ 0.4, но после этого

15.

C. R. Simovski, Opt. Spectrosc. 107, 726 (2009).

значения также становится неприменимым. Из

16.

S. G. Moiseev, Physica B: Condens. Matter 405, 3042

выполненных вычислений было установлено, что

(2010).

приближение Максвелла Гарнетта следует исполь-

зовать с осторожностью при высоких пористостях,

17.

K. Cherednichenko and S. Cooper, Mathematika 61,

а модель Бруггемана не рекомендуется использо-

475 (2015).

вать при любых пористостях для таких структур

18.

L. D. Landau, J. S. Bell, M. J. Kearsley, L. P. Pitaev-

при количественных вычислениях.

skii, E. M. Lifshitz, and J. B. Sykes, Electrodynamics

В длинноволновом приближении эффективный

of Continuous Media, Elsevier (2013).

показатель преломления был вычислен для разных

значений a/λ при фиксированных λ и p с использо-

19.

Y. A. Ryzhov, V. V. Tamoikin, and V. I. Tatarskii,

ванием теоремы Блоха. Впервые было показано, что

Sov. Phys. JETP 21, 433 (1965).

эффективный показатель преломления n_eff стре-

20.

N. S. Bakhvalov and G. Panasenko, Homogenisation:

мится к квазистатической диэлектрической прони-

Averaging Processes in Periodic Media: Mathematical

цаемости

√ε_eff , вычисленной с использованием ме-

Problems in the Mechanics of Composite Materials,

тода асимптотического осреднения при любой пори-

Springer (2012).

стости в пределе a/λ → 0. Данный результат пока-

зывает связь между двумя разными вычислитель-

21.

E. Sánchez-Palencia, Non-Homogeneous Media and

Vibration Theory, Springer (1980).

ными методами.

22.

D. J. Bergman, Phys. Rep. 43, 377 (1978).

ЛИТЕРАТУРА

23.

S. Rytov, Sov. Phys. JETP 2, 466 (1956).

G. W. Milton, The Theory of Сomposites, Cambridge

Univ. Press, Cambridge (2002).

24.

M. L. Levin, Zh. Tekh. Fiz. 18, 1399 (1948).

M. Kadic, G. W. Milton, M. van Hecke, and M. We-

25.

А. П. Виноградов, А. В. Мерзликин, ЖЭТФ 121,

gener, Nature Rev. Phys. 1, 198 (2019).

565 (2002) [A. P. Vinogradov and A. V. Merzlikin,

JETP 94, 482 (2002)].

A. Yariv and P. Yeh, Optical Waves in Crystals,

Wiley, New York (1984).

26.

A. P. Vinogradov and A. M. Merzlikin, Advances in

Electromagnetics of Complex Media and Metamate-

K. Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals,

rials, Springer (2002), pp. 341-361.

Springer (2004).

27.

A. P. Vinogradov and A. M. Merzlikin, SPIE Proc.

В. Г. Веселаго, УФН 92, 517 (1967).

4806, 307 (2002).

D. R. Smith and N. Kroll, Phys. Rev. Lett. 85, 2933

28.

N. A. Enkin, A. M. Merzlikin, and A. P. Vinogradov,

(2000).

J. Commun. Technol. Electron. 55, 565 (2010).

L. Novotny and B. Hecht, Principles of Nano-Optics,

29.

A. M. Merzlikin and R. S. Puzko, Sci. Rep. 10, 1

Cambridge Univ. Press, Cambridge (2012).

(2020).

A. K. Sarychev and V. M. Shalaev, Electrodynamics

30.

C. R. Simovski, J. Commun. Technol. Electron. 52,

of Metamaterials, World Sci. (2007).

953 (2007).

A. P. Vinogradov, Electrodynamics of Composite

31.

A. P. Vinogradov, A. I. Ignatov, A. M. Merzlikin,

Materials, URSS (2001).

S. A. Tretyakov, and C. R. Simovski, Opt. Express

19, 6699 (2011).

10.

V. A. Markel, J. Opt. Soc. Amer. A 33, 1244 (2016).

32.

R. S. Puzko and A. M. Merzlikin, Opt. Commun. 383,

11.

V. A. Markel, J. Opt. Soc. Amer. A 33, 2237 (2016).

323 (2017).

12.

A. Chipouline, C. Simovski, and S. Tretyakov, Meta-

33.

R. S. Puz’ko and A. M. Merzlikin, J. Commun.

materials 6, 77 (2012).

Technol. Electron. 61, 1368 (2016).

13.

A. P. Vinogradov and A. M. Merzlikin, Metamaterials

34.

H. Sohn, Refractive Index of Porous Silicon, ed. by

6, 121 (2012).

L. Canham, Handbook of Porous Silicon, Springer

14.

R. Landauer, AIP Conf. Proc. 40, 2 (1978).

(2014).

709