ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 5, стр. 720-736

НЕВЗАИМНОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

ОБМЕННО-ДИПОЛЬНЫХ СПИНОВЫХ ВОЛН

В ДВУСЛОЙНЫХ МАГНИТНЫХ ПЛЕНКАХ СО

СКРЕЩЕННОЙ НАМАГНИЧЕННОСТЬЮ СЛОЕВ

В. Д. Поймановa*, В. В. Круглякb**

^a Донецкий национальный университет, 83001, Донецк

^b University of Exeter, Stocker road, Exeter, EX4 4QL, United Kingdom

Поступила в редакцию 4 июля 2021 г.,

после переработки 11 ноября 2021 г.

Принята к публикации 12 ноября 2021 г.

Представлена аналитическая теория распространения обменно-дипольных спиновых волн в двуслойных

дипольно связанных магнитных пленках в приближении однородности динамической намагниченности по

толщине каждого слоя. Рассмотрены различные случаи неодинакового намагничивания слоев в направ-

лениях, параллельных и перпендикулярных направлению распространения волны. Для рассмотренных

конфигураций рассчитаны спектры и эллиптичности спиновых волн, распространяющихся в противопо-

ложных направлениях. Показано, что как частота, так и эллиптичность прямой и обратной волн могут

различаться, т. е. распространение становится невзаимным, когда хотя бы один из слоев намагничен

в плоскости пленки перпендикулярно направлению распространения, включая случай, когда равновес-

ные намагниченности слоев взаимно перпендикулярны. Невзаимность в таких двуслойных волноводах

со скрещенной намагниченностью, однако, выражена слабее, чем в геометрии Дэймона - Эшбаха с ан-

типараллельной намагниченностью слоев. Это различие объясняется тем, что в последней геометрии

как величина, так и киральность циркулярно поляризованного динамического магнитодипольного поля

вносят невзаимные вклады в энергию его взаимодействия с прецессирующей намагниченностью. В то

же время в геометриях со скрещенной намагниченностью присутствует лишь один из этих вкладов.

DOI: 10.31857/S0044451022050108

новесной ориентацией, что приводит к различию в

EDN: DSZZMV

условиях распространения и рассеяния СВ в прямом

и обратном направлениях [4-10]. Это дает возмож-

1. ВВЕДЕНИЕ

ность улучшения существующих и конструирования

новых спин-волновых устройств для обработки сиг-

В настоящее время проблема создания устройств

налов — вентилей, фазовращателей, мультиплексо-

на основе спиновых волн (СВ) [1] приобретает все

ров и т. п. [10-15].

большую актуальность, поскольку такие функцио-

Диапазон обменных СВ (длиной до 100 нм) для

нальные элементы могут иметь ряд преимуществ пе-

технической реализации устройств пока что не ис-

ред устройствами классической электроники и фо-

пользуется. Поэтому основной практический ин-

тоники [2,3]. Такими преимуществами являются вы-

терес представляет диапазон магнитостатических

сокая энергоэффективность и малые размеры, так

волн (МСВ), которые имеют длины более 1 мкм и

как скорость распространения СВ на несколько по-

исследуются уже достаточно давно [1, 2]. Традици-

рядков меньше скорости распространения электро-

онно для описания их распространения в изолиро-

магнитных волн. Другим преимуществом являет-

ванном слое из уравнения Ландау - Лифшица мож-

ся наличие выделенного направления (киральности)

но найти тензор высокочастотной проницаемости, в

прецессии намагниченности, определяемого ее рав-

котором пространственной дисперсией, как прави-

^* E-mail: poymanow76@gmail.com

ло, пренебрегают. Затем полученный тензор исполь-

^** E-mail: V.V.Kruglyak@exeter.ac.uk

зуется в магнитостатических уравнениях Максвелла

720

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Невзаимность распространения обменно-дипольных спиновых волн. ..

для нахождения магнитостатического потенциала и

поля МСВ, в котором пренебрегают уже временной

дисперсией. Такое уравнение впервые было получе-

но Уокером [16].

В последнее время все больше исследуется класс

обменно-дипольных волн (ОДВ), которые имеют

длины до 1 мкм и также подчиняются уравнению

Уокера. Однако, в отличие от МСВ, для них уже

не следует пренебрегать пространственной диспер-

сией в уравнении Ландау - Лифшица. Описание та-

ких волн существенно упрощается для тонких пле-

Рис. 1. (В цвете онлайн) Геометрии распространения ОДВ.

нок, где можно считать намагниченность однород-

Во всех случаях M1⊥ (k, n): а — M2⊥ (k, n), M1 ↑↑ M2

ной по толщине [8, 17]. В этом случае можно посту-

(«параллельная» ГДЭ); б — M2⊥ (k, n), M1 ↑↓ M2 («ан-

пить наоборот — вначале найти размагничивающее

типараллельная» ГДЭ); в — M2 ∥ k (скрещенная геомет-

поле в пленке и после усреднения по толщине учесть

рия 1); г — M2 ∥ n (скрещенная геометрия 2)

его в уравнении Ландау - Лифшица при получении

закона дисперсии.

Задача о распространении МСВ в однослойных

зических и геометрических параметрах слоев вол-

пленках хорошо исследована в геометрии с рав-

новода, наличие внешнего подмагничивающего поля

новесной намагниченностью, перпендикулярной на-

и т. п.

правлению распространения, — геометрии Дэймо-

Целью данной работы является изучение невза-

на - Эшбаха (ГДЭ) [4-8, 18]. Известно, что поле в

имного распространения ОДВ как в ГДЭ (рис. 1а,б ),

МСВ локализовано вблизи одной из поверхностей

так и в геометриях, в которых векторы равновес-

слоя. Выбор этой поверхности обусловлен наличи-

ной намагниченности взаимно скрещены под углом

ем двух выделенных направлений — распростране-

90^◦ и при этом намагниченность хотя бы одного

ния волны и равновесной намагниченности, опреде-

из слоев перпендикулярна направлению распростра-

ляющей также направление ее прецессии (кираль-

нения ОДВ. Необходимость исследования скрещен-

ности). При изменении направления одного из этих

ных конфигураций обусловлена их использованием

векторов поле локализуется на другой поверхности

в киральных устройствах генерации и контроля СВ

и МСВ распространяется с тем же законом диспер-

[10-12]. Две геометрии, в которых обнаруживает-

сии в обратном направлении. Таким образом, невза-

ся невзаимность распространения, представлены на

имность в данном случае отсутствует, несмотря на

рис. 1в,г (n — нормаль к слоям, k — волновой век-

то, что в исходном уравнении Уокера за счет су-

тор). Во всех случаях M₁⊥(k, n). В других геомет-

ществования в МСВ объемных магнитных зарядов

риях, когда равновесные намагниченности одновре-

имеется линейное по волновому вектору слагаемое.

менно направлены либо вдоль n, либо вдоль k, а

В связи с указанным обстоятельством возника-

также в случаях, когда одна из намагниченностей

ет вопрос о существовании магнитных структур, в

направлена вдоль n, а другая — вдоль k, спектр

которых спектр МСВ был бы невзаимным. Для это-

является взаимным. В настоящей работе аналити-

го необходимо, чтобы условия распространения пря-

чески исследуется наиболее простой случай тожде-

мой и обратной волн были разными. Этого можно

ственных неограниченных в плоскости магнитных

достичь в двуслойной магнитной структуре, в кото-

слоев двуслойного волновода. Случай распростра-

рой слои разделены немагнитной прослойкой, так

нения СВ в конечных структурах, ограниченных

что волны в слоях взаимодействуют посредством

в двух (полосовой волновод) либо трех (резонатор

магнитодипольной связи [5, 8]. В частности, если

Фабри - Перо [19]) направлениях, требует численно-

равновесные намагниченности M₁ и M₂ в слоях ан-

го моделирования.

типараллельны, то поля МСВ в них локализованы

либо на обращенных друг к другу поверхностях сло-

2. ГЕОМЕТРИЯ ДЭЙМОНА - ЭШБАХА:

ев, либо наоборот, на противоположных. Очевидно,

M2⊥(k, n)

условия распространения МСВ в этих двух случаях

различаются принципиально, и взаимность спектра

Рассмотрим двуслойную магнитную структуру,

нарушается. Кроме того, к невзаимности распро-

геометрия которой изображена на рис. 1а и 1б, со-

странения в ГДЭ может приводить различие в фи-

ответствующих ГДЭ с параллельным и антипарал-

721

ЖЭТФ, вып. 5

В. Д. Пойманов, В. В. Кругляк

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

лельным намагничиванием слоев. В этом случае

d — толщины слоев, а l — величина зазора между

при распространении ОДВ возникают как объем-

ними (рис. 1а).

ные, так и поверхностные магнитные заряды. Запи-

Используем найденное размагничивающее поле

шем уравнение Максвелла для размагничивающего

для исследования динамики намагниченности в сло-

поля такой структуры, вводя магнитостатический

ях. Плотность энергии W_n и эффективное поле

потенциал h = ∇ψ:

H_eff,n для каждого из них задаются выражениями

W_n =

Δψ = -4π(∇ · m).

(1)

[λ²(∇ · M_n)²+β(M2n,x+M2n,y)-M_n · h_d,n],

(8)

Распределение намагниченности в слоях зада-

дим в виде плоской ОДВ:

H_eff,n = λ²Δm_n - β(m_n,x + m_n,y) + h_d,n,

(9)

где λ — обменная длина, n — номер слоя, β — конс-

m_x (x, y) = (Π₁(y)m1x + Π₂(y)m2x)exp(ik_xx),

танта одноосной анизотропии, h_d,n — размагничи-

(2)

m_y (x, y) = (Π₁(y)m1y + Π₂(y)m2y)exp(ik_xx),

вающее поле в n-м слое, определяемое формулами

(5)-(7).

где амплитуды m1x(y) и m2x(y) в общем случае

Линеаризованное уравнение Ландау - Лифшица

комплексны, измеряемые компоненты намагничен-

для каждого слоя в общем случае при наличии одно-

ности являются вещественными частями соответ-

родного обмена, легкоосной анизотропии (вдоль на-

ствующих комплексных функций, а Π₁(y) и Π₂(y) —

правления равновесной намагниченности), внешне-

прямоугольные функции:

го и рассмотренного выше размагничивающего по-

лей ОДВ представим как

Π₁(y) = θ(y) - θ(y - d₁),

[

((

)

)]

iωm_n+γ

M0,n ×

λ²k² + β

m_n - h_d,n

= 0. (10)

(3)

Π₂(y) = θ(y - d₁ - l) - θ(y - d₁ - l - d₂).

Нахождение спектра ОДВ из выражения (10) в об-

щем случае представлено в Приложении B. В случае

Уравнение Уокера в такой геометрии имеет вид

слоев с одинаковыми толщинами и намагниченно-

)

∂²ψ

⁽∂m_x

∂m_y

стью насыщения в отсутствие внешнего поля урав-

= -4π

(4)

нения динамики намагниченностей имеют вид

∂x²

∂y²

∂x

∂y

⎛

⎞⎛

⎞

⎛

⎞

Ωx

iσ₁Ω

-iσζ

m1x

Решение уравнения (4) с учетом (2) и (3) приведе-

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

но в Приложении A и дает усредненный по толщине

⎜

−iσ₁Ω Ω_y

-iσζ

-ζ

⎟⎜

m1y

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

(11)

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

пленки тензор размагничивающих факторов

^N. Для

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

iσζ

Ω_x iσ₂Ω

⎟⎜

m2x

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠⎝

⎠

⎝

⎠

случая одинаковых слоев связь между компонента-

iσζ

-ζ

-iσ₂Ω Ω_y

m2y

ми размагничивающего поля и компонентами дина-

мической намагниченности можно записать в виде

где Ω = ω/ω_M и Ω_ex = (λ²k² + β)/4π — частоты в

⎛

⎞

⎛

⎞

единицах ω_M = 4πγM и

hd,1x

m1x

⎜

⎟

⎜

⎟

Ω_x (k) = Ω_ex + 1 - ξ, Ω_y (k) = Ω_ex + ξ,

⎜hd,1y

⎟

⎜m1y

⎟

⎜

⎟

⎜

(12)

=e^ikxNˆ

^⎟,

(5)

⎜

⎟

⎜

⎟

Ω_z (k) = Ω_ex.

⎝hd,2x

⎠

⎝m2x

⎠

hd,2y

m2y

Маркеры при Ω определены как σ_n ≡ M0,n/ |M0,n| =

= ±1, где M0,n обозначает проекцию равновесной

где

намагниченности на координатную ось, перпенди-

⎛

⎞

1-ξ

-iσζ

кулярную плоскости прецессии. Наличие этих мар-

⎜

⎟

керов в (11) говорит о том, что случаи противо-

⎜

-iσζ

-ζ

⎟

⎜

N₌ -4π

^⎟,

(6)

положного намагничивания различаются кирально-

⎜

⎟

⎝ ζ iσζ

1-ξ

⎠

стью прецессии намагниченности. Характеристичес-

iσζ

-ζ

кое уравнение получается из (11) приравниванием к

нулю ее определителя:

σ ≡ k_x/|k_x| = ±1 — маркер направления распрост-

(

)

ранения ОДВ,

Ω⁴-2Ω²

Ω_xΩ_y-2ζ²σ₁σ₂

+4Ωσsζ² (Ω_x+Ω_y) +

(

)₂

-kd

1-e

1-e^-kd

ξ=

ζ =

e^-kl,

(7)

+ Ω2xΩ2y - ζ² (Ω_x + Ω_y)² = 0,

(13)

2kd

722

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Невзаимность распространения обменно-дипольных спиновых волн. ..

√

где s = (σ₁ - σ₂)/2 = ±1 — антисимметричный мар-

Ω_↑↑± = Ω_xΩ_y ± ζ |Ω_y - Ω_x| =

кер, отличный от нуля при антипараллельной рав-

|Ω_y - Ω_x|

новесной поляризации намагниченности слоев. От-

=Ω_xy ±ζ

(18)

2Ω_xy

метим, что в отсутствие магнитодипольной связи

между слоями (ζ → 0) в каждом слое частота ко-

√

Такое представление является более удобным для

лебаний равна Ω_xy =

Ω_xΩ_y. Эллиптичности ОДВ,

анализа и может быть получено разложением (17)

как следует из (11), имеют вид

в ряд. После подстановки (18) в (14), (15) выраже-

ния для эллиптичности и параметров δ в нулевом

m1y

Ω_x - σσ₁Ω

ε₁ ≡

= -σ

приближении по ζ принимают вид

im1x

Ω_y - σσ₁Ω

(14)

√

m2y

Ω_x + σσ₂Ω

ε₂ ≡

=σ

Ω_x

im2x

Ω_y + σσ₂Ω

ε1↑↑± = ε2↑↑± ≈ σ₀

Ω_y

Введем также параметры отношения амплитуд

δ_x↑↑± = δ_y↑↑± ≈ ± (Ω_y - Ω_x) .

намагниченности одноименных компонент в разных

слоях:

Отметим, что смена знака (Ω_y - Ω_x) и, следо-

вательно, относительной фазы колебаний в смеж-

m2x

(Ω² - Ω_xΩ_y)(Ω_y + σσ₂Ω)

δ_x ≡

ных слоях происходит при kd

≈ 1.6, что прак-

m1x

ζ(Ω_x + Ω_y + 2σσ₁Ω)(Ω_y - σσ₁Ω)

тически достижимо только для ОДВ, длина кото-

m2y

δ_y ≡

ε₂ δ_x =

(15)

рых меньше толщины пленки. Поэтому в рассмат-

m1y

ε₁

риваемом диапазоне длин волн можно считать, что

(Ω² - Ω_xΩ_y)(Ω_x + σσ₂Ω)

δ_x↑↑± = δ_y↑↑± ≈ ±1.

ζ(Ω_x + Ω_y + 2σσ₁Ω)(Ω_x - σσ₁Ω)

2.2. M₁ ↑↓ M₂ («антипараллельная»

2.1. M₁ ↑↑ M₂ («параллельная» геометрия

геометрия Дэймона - Эшбаха)

Дэймона - Эшбаха)

В случае антипараллельного намагничивания

В случае параллельного намагничивания слоев

слоев (рис. 1б ), обозначаемом ниже индексом «↑↓»,

(рис. 1а), обозначаемом ниже индексом «↑↑», s = 0,

имеем

σ₁ = σ₂ = σ₀, уравнение (13) является биквадрат-

ным,

(

)

Ω⁴ - 2Ω²

Ω_xΩ_y + 2ζ²

+ 4Ωσsζ² (Ω_x + Ω_y) +

(

)

+ Ω2xΩ2y - ζ² (Ω_x + Ω_y)² = 0,

(19)

Ω⁴ - 2Ω²

Ω_xΩ_y - 2ζ²

(

)

+ Ω2xΩ2y - ζ2 (Ω_x + Ω_y)2

= 0,

(16)

и ветви дисперсионного уравнения (13) (оптическая

Ω↑↓+ и акустическая Ω_↑↓-) определяются как

и имеет корни, не зависящие от направления распро-

√

странения σ (оптическая ветвь соответствует знаку

Ω↑↓+ = (Ω_x + ζ)(Ω_y + ζ) - σsζ,

«+», акустическая — «-»):

√

(20)

√

Ω_↑↓- = (Ω_x - ζ)(Ω_y - ζ) + σsζ,

√

Ω_↑↑± = Ω_xΩ_y - 2ζ² ± ζ (Ω_x - Ω_y)² + 4ζ².

(17)

Ω↑↓+ > Ω_↑↓-.

Таким образом, спектр в данном случае являет-

Очевидно, в этом случае спектр обладает невзаим-

ностью, что выражается в зависимости от направле-

ся взаимным, т. е. одинаковым для σ = ±1, и содер-

жит две симметричные ветви. Максимальное зна-

ния распространения σ = ±1. Объясняется это тем,

что при одинаковых направлениях равновесной на-

чение величины ζ равно приблизительно 0.2, т. е. ее

можно считать малым параметром в уравнении (16).

магниченности поле ОДВ формируется вблизи по-

Переписав его в виде

верхности по одну и ту же сторону в обоих слоях, и

при изменении направления распространения ОДВ

(

)

(

)₂

Ω² - Ω_xΩ_y

=ζ²

(Ω_x + Ω_y)2 - 4Ω2

поле «переходит» на другую сторону (вместе с этим

изменяется и киральность ОДВ). Если же направ-

и подставив в правую часть невозмущенную частоту

ления намагничивания различны, то ОДВ форми-

Ω_xy, в первом приближении по ζ получаем

руются на ближайших друг к другу поверхностях

723

В. Д. Пойманов, В. В. Кругляк

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Рис. 2. (В цвете онлайн) Геометрия Дэймона - Эшбаха. Ветви дисперсионного уравнения: а — параллельное намаг-

ничивание (взаимное распространение) и б — антипараллельное намагничивание (невзаимное распространение) сло-

ев. Штриховые линии на рис. б соответствуют ОДВ, бегущим в обратном направлении. в) Модуль эллиптичности

|ε1↑↑±| = |ε2↑↑±| = |ε1↑↓±| = |ε2↑↓±|. г) Параметр невзаимности

√

для одного направления распространения и на отда-

ε1↑↓± = -ε2↑↓± ≈ s

Ω_x ,

ленных — для противоположного. Поэтому условия

Ω_y

(22)

распространения в прямом и обратном направлени-

δ_x↑↓± = δ_y↑↓± ≈ ±1.

ях при этом будут различными.

Аналогично случаю параллельных взаимных

Таким образом, невзаимность распространения

ориентаций выпишем ветви дисперсионного уравне-

ОДВ обусловлена наличием в уравнении (13) ли-

ния в первом приближении по ζ, а эллиптичности

нейного по частоте слагаемого, содержащего быстро

(14) и отношение амплитуд намагниченности слоев

убывающий с величиной зазора между слоями мно-

(15)

— в нулевом. Уравнение (19), записанное в

житель ζ. Для характеристики величины невзаим-

виде

ности введем параметр η, равный отношению разно-

сти частот при прямом и обратном распространении

Ω² - Ω_xΩ_y = ±ζ |Ω_x + Ω_y - 2σsΩ| ,

к средней частоте:

дает следующие ветви:



Ω↑↓,σ=+1 - Ω↑↓,σ=-1



2ζ

η_↑↓ ≡ 2



(23)

√

^≈

)₂

^Ω↑↓,σ=+1 +Ω↑↓,σ=-1

(√

√

Ω_↑↓± = Ω_xΩ_y ± ζ

Ω_x - σs

Ω_y

(21)

Приведем зависимости частоты от волнового

откуда следует

числа в ГДЭ. При расчетах будем использовать

724

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Невзаимность распространения обменно-дипольных спиновых волн. ..

⎛

⎞⎛

⎞

⎛

⎞

значения магнитных параметров, характерных для

Ω_x iσ₁Ω

-iσζ

m1x

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

пермаллоя (заметим, что в последнее время так-

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

−iσ₁Ω Ω_y

-ζ

⎟⎜

m1y

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

(26)

же ведутся активные исследования СВ в сверхтон-

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

iσζ

-ζ

Ω_y iσ₂Ω

⎟⎜

m2y

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

ких пленках железо-иттриевого граната [20]): обмен-

⎝

⎠⎝

⎠

⎝

⎠

-iσ₂Ω Ω_z

m2z

ная длина λ = 5.3 нм, характерная угловая часто-

та ω_M = 176 рад/нс (4πM = 10⁴ Гс), за исключе-

Дисперсионное уравнение принимает вид

нием константы одноосной анизотропии B = 1.45.

Ω⁴ - Ω_y (Ω_x + Ω_z)Ω² + 2σσ₁ζ²Ω_zΩ +

Последняя имеет обобщенный смысл и может учи-

(

)

тывать вклады различной природы, такие как маг-

+Ω_z

Ω2yΩ_x - ζ² (Ω_x + Ω_y)

= 0.

(27)

нитокристаллическая анизотропия или анизотропия

Дисперсионное уравнение (27) имеет четыре разных

формы, а также наличие внешнего подмагничи-

по модулю корня - два положительных и два отри-

вающего поля. Верхняя граница волнового числа

цательных. При смене знака величины σσ₁ оно име-

0.2 рад/нм соответствует минимальной длине вол-

ет те же корни, но противоположного знака. Сле-

ны 30 нм. Параметры двуслойной структуры: зазор

довательно, ветвями для случаев σσ₁ = ±1 нуж-

между слоями l = 5 нм, толщина слоев d = 5 нм.

но считать положительные корни соответствующего

На рис. 2a изображены ветви дисперсионного урав-

дисперсионного уравнения.

нения, построенные по формуле (17) для случая

Для эллиптичности и отношения амплитуд в раз-

параллельных равновесных намагниченностей (см.

ных слоях имеем

рис. 1а), а на рис. 2б — для антипараллельной ори-

m1y

Ω_x - σσ₁Ω

ентации (прямая и обратная волны, формула (21)).

ε1,M2∥k ≡

= -σ

im1x

Ω_y - σσ₁Ω

На рис. 2в,г представлены зависимости эллиптич-

m2z

ности (14) и параметра невзаимности (23), которые

=σ₂

ε2,M2∥k ≡

(28)

im2y

Ω_z

оказываются независимыми от направлений распро-

странения ОДВ и намагничивания слоев.

m2y

Ω_xΩ_y - Ω²

δ_y ≡

m1y

ζ (Ω_x - σσ₁Ω)

2.3. Скрещенная геометрия 1: M₁⊥ (k, n),

Аналогично ГДЭ, выпишем приближенные вы-

M₂ ∥ k

ражения, используя малость ζ, для чего перепишем

Рассмотрим две другие геометрии, в которых

дисперсионное уравнение в виде

(

)(

)

также имеет место невзаимность распространения.

Ω² - Ω_xΩ_y

Ω² - Ω_zΩ_y

Для каждой из них векторы равновесной намаг-

ниченности скрещены так, что M₁⊥M₂. При этом

= ζ²Ω_z (Ω_x + Ω_y - 2σσ₁Ω).

(29)

первый слой намагничен параллельно его плоскости

Невозмущенная частота колебаний слоя 1 равна

и перпендикулярно направлению распространения

Ω_xy =

^√Ω_xΩ_y. Подставляя ее в правую часть вы-

ОДВ, так что M₁⊥ (k, n). Во втором слое намагни-

ражения (29), для первой ветви ОДВ получаем

ченность параллельна направлению распростране-

ния ОДВ: M₂ ∥ k. В этом случае во втором слое

Ω^(1)M

2∥k

отсутствуют объемные магнитные заряды. Эффек-

√

тивное поле в слоях равно

(

√

)

Ω_z

Ω_x + Ω_y - 2σσ₁

Ω_xΩ

= Ω_xΩ_y + ζ²

(30)

H_eff,n = λ²Δm_n - β(m_n,x + m_n,y) + h_d,n.

(24)

Ω_y (Ω_x - Ω_z)

Компоненты размагничивающего поля h_d,n в этом

Аналогично, невозмущенная частота колебаний

случае

слоя 2 равна Ω_zy =

^√Ω_zΩ_y. Подставляя ее в пра-

вую часть выражения (29), для второй ветви ОДВ

⎛

⎞

⎛

⎞⎛

⎞

hd,1x

1-ξ

-iσζ

m1x

получаем

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎝hd,1y⎠ = -4π⎝ 0

-ζ

⎠⎝m1y⎠. (25)

Ω^(2)M

2∥k

hd,2y

iσζ

-ζ ξ

m2y

√

(

√

)

Ω_z

Ω_x + Ω_y - 2σσ₁

Ω_zΩ_y

= Ω_zΩ_y -ζ²

(31)

Уравнение Ландау - Лифшица для каждого слоя

Ω_y (Ω_x - Ω_z)

и динамические переменные для данной геометрии

запишем в матричном виде, используя обозначе-

Отметим характерную особенность скрещенных

ния (12):

геометрий, следующую из выражений (30), (31).

725

В. Д. Пойманов, В. В. Кругляк

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Рис. 3. (В цвете онлайн) Скрещенная геометрия 1: M1⊥ (k, n) , M2 ∥ k. а) Ветви дисперсионных уравнений (30) —

черные линии, (31) — синие линии; штриховые линии соответствуют ОДВ, бегущим в обратном направлении. б) Соот-

ветствующие параметры невзаимности. Значения параметров слоев те же, что и на рис. 2 (ГДЭ)

√

В силу невырожденности корней дисперсионного

Ω_x - σσ₁

Ω_zΩ_y

ε(2)1,M

= -σ

√

уравнения, в отличие от ГДЭ, в них величина рас-

2∥k

Ω_y - σσ₁

Ω_zΩ_y

√

щепления ветвей прямого и обратного распростра-

Ω_y

нения, а также параметр невзаимности (23) имеют

ε⁽²⁾

=σ₂

(34)

2,M2∥k

Ω_z

более высокий (второй) порядок малости по ζ, как

Ω_y (Ω_x - Ω_z)

это следует из сравнения формул (18), (21) с (30),

δ(2)y,M

(

√

2∥k

Ω_x - σσ₁

Ω_zΩ_y

(31). Поэтому эффект невзаимности в этом случае

выражен гораздо слабее. Это можно заметить также

Величины в выражениях (33) и (34) — эллиптичнос-

из графиков, представленных на рис. 3, где парамет-

ти в слоях и отношения амплитуд намагниченности

ры невзаимности ОДВ, соответствующие каждому

слоев на частотах, равных соответственно Ω^(1)M

2∥k

слою, рассчитаны по формулам



Ω^(2)M

. Графики зависимостей (33) и (34) представ-

2∥k



Ω(1)M

-Ω^(1)M



лены на рис. 4.



2∥k,σ=+1

2∥k,σ=-1

_≈

η^(1)M

≡2

2∥k



Ω⁽

+Ω^(1)M



M2∥k,σ=+1

2∥k,σ=-1

2.4. Скрещенная геометрия 2: M₁⊥ (k, n),

2ζ²Ω_z

≈

M₂ ∥ n

(Ω_x - Ω_z) Ω_xyΩ_y



(32)



В этом случае во второй пленке отсутствуют по-

Ω(2)M

-Ω^(2)M



2∥k,σ=+1

2∥k,σ=-1

_≈

верхностные магнитные заряды. Эффективное поле

η^(2)M

≡2

2∥k



Ω⁽

+Ω^(2)M



в слоях

M2∥k,σ=+1

2∥k,σ=-1

2ζ²Ωz

≈

H_eff,n = λ²Δm_n - β(m_n,x + m_n,y) + h_d,n.

(35)

(Ω_x - Ω_z) Ω_zyΩ_y

Эллиптичности и отношение амплитуд намагни-

Компоненты размагничивающего поля h_d,n:

ченностей слоев для каждой из ОДВ (30), (31) име-

⎛

⎞

⎛

⎞⎛

⎞

hd,1x

1-ξ

m1x

ют вид

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

√

⎝hd,1y

⎠ = -4π

⎝ 0

-iσζ⎠

⎝m1y

⎠.

(36)

Ω_x

Ω_xΩ_y

hd,2x

iσζ

1 - ξ m2x

ε⁽¹⁾

=σ₁

ε⁽¹⁾

=σ₂

1,M2∥k

2,M2∥k

Ω_y

Ω_z

(33)

√

)

Ω_z

(√Ω

x - σσ1

Ω_y

Уравнение Ландау - Лифшица для каждого слоя и

δ(1)y,M

= -ζ

2∥k

динамические переменные для данной геометрии:

^√Ω_xΩ_y (Ω_x - Ω_z)

726

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Невзаимность распространения обменно-дипольных спиновых волн. ..

Рис. 4. (В цвете онлайн) Скрещенная геометрия 1: M1⊥ (k, n), M2 ∥ k. Значения параметров слоев те же, что и на

рис. 2, 3. а) Эллиптичности в первом (черная линия) и втором (синяя линия) слоях для ветви дисперсии Ω^(1)M

. б) Со-

2∥k

ответствующие случаю а отношения амплитуд в слоях для прямой (сплошная линия) и обратной (штриховая линия)

волн. в) Эллиптичности для ветви дисперсии Ω⁽²⁾

. Разные линии соответствуют разным слоям, разным направлениям

M₂∥k

намагничивания слоя 1, а также разным направлениям распространения ОДВ. г) Соответствующие рис. в отношения

амплитуд в слоях для прямой (сплошная линия) и обратной (штриховая линия) волн

⎛

⎞⎛

⎞

⎛

⎞

Ω_x - σσ₁Ω

Ω_x iσ₁Ω

m1x

⎜

⎟⎜

⎟

ε1,M2∥n =

= -σ

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

im1x

Ω_y - σσ₁Ω

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

−iσ₁Ω Ω_y

-iσζ

⎟⎜

m1y

⎟

⎜0⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

^⎟. (37)

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

m2x

Ω_z

⎜

Ω_z

iσ₂Ω

⎟⎜

m2z

⎟

=σ₂

(39)

⎜

⎟⎜

⎟

⎝0⎠

ε2,M2∥n =

⎝

⎠⎝

⎠

im2z

iσζ

-iσ₂Ω Ω_x

m2x

Ω² - Ω_xΩ_y

δx,M2∥n =

m1x

ζ (Ω_y - σσ₁Ω)

Дисперсионное уравнение

Аналогично ГДЭ и скрещенной геометрии

(M₂ ∥ k), выпишем приближенные выражения, ис-

пользуя малость ζ. Для этого перепишем дисперси-

Ω⁴ - Ω_x (Ω_y + Ω_z) Ω² + 2σσ₁ζ²Ω_zΩ +

онное уравнение в виде

(

)

+Ω_z

Ω2xΩ_y - ζ² (Ω_x + Ω_y)

= 0.

(38)

(

)(

)

Ω² - Ω_xΩ_y

Ω² - Ω_zΩ_x

= ζ²Ω_z (Ω_x + Ω_y - 2σσ₁Ω).

(40)

Эллиптичности и отношение амплитуд в слоях:

727

В. Д. Пойманов, В. В. Кругляк

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Рис. 5. (В цвете онлайн) Скрещенная геометрия 2: M1⊥ (k, n) , M2 ∥ n. а) Ветви дисперсионных уравнений (41) — черные

линии, (42) — синие линии; штриховые линии соответствуют ОДВ, бегущим в обратном направлении. б) Соответствующие

параметры невзаимности. Значения параметров слоев те же, что и на рис. 2-4 (ГДЭ)



Заметим также, что дисперсионное уравнение (38)

Ω(1)M

-Ω^(1)M



2∥n,σ=+1

2∥n,σ=-1

_≈

η^(1)M

≡2

получается из (27) переобозначением Ω_x ↔ Ω_y, по-

2∥n



Ω⁽

+Ω^(1)M



этому результаты расчета качественно совпадают с

M2∥n,σ=+1

2∥n,σ=-1

результатами, полученными в геометрии с M₂ ∥ k.

2ζ²Ω_z

≈

Приведем их (рис. 5а). Первая ветвь спектра (со-

(Ω_y - Ω_z ) Ω_xΩ_xy



(43)

ответствующая невозмущенной частоте колебаний,



√

Ω(2)M

-Ω^(2)M



равной частоте Ω_xy =

Ω_xΩ_y слоя 1):



2∥n,σ=+1

2∥n,σ=-1

_≈

η^(2)M

≡2

2∥n



(2)



Ω

+Ω^(2)M



M2∥n,σ=+1

2∥n,σ=-1

2ζ²Ωz

√

≈

)

(Ω_y - Ω_z ) Ω_xΩ_zx

Ω_z

(√Ω_x - σσ₁√Ω

Ω^(1)M

= Ω_xΩ_y + ζ²

(41)

2∥n

Ω_x (Ω_y - Ω_z)

Эллиптичности и отношение амплитуд намагничен-

ности слоев для каждой из ОДВ (41), (42) имеют

вид

√

Вторая ветвь спектра (соответствующая невозму-

Ω_xΩ_y

щенной частоте колебаний, равной частоте Ω_zx =

ε⁽¹⁾

=σ₁

ε⁽¹⁾

=σ₂

1,M2∥n

2,M2∥n

Ω_y

Ω_z

^√Ω_zΩ_x слоя 1):

)

(44)

(1)

Ω_z

(√Ω_x - σσ₁√Ωy

δ_x

= -ζ

√

,M2∥n

Ω_yΩ_x (Ω_y - Ω_z)

для ветви, соответствующей невозмущенной соб-

Ω^(2)M

2∥n

ственной частоте первого слоя, и

Ω_x - σσ₁

^√Ω_zΩ_x

√

(

√

)

ε(2)1,M

= -σ

√

2∥n

Ω_z

Ω_x + Ω_y - 2σσ₁

Ω_zΩ_x

Ω_y - σσ₁

Ω_zΩ_x

= Ω_zΩ_x +ζ²

(42)

√

Ω_x (Ω_z - Ω_y)

Ω_x

(2)

=σ₂

(45)

2,M2∥n

Ω_z

(2)

Ω_x (Ω_y - Ω_z)

δ_x

(

√

)

,M2∥n

Ω_y - σσ₁

Ω_zΩ_x

Параметры невзаимности ОДВ, соответствующие

каждой ветви (рис. 5б):

— второго слоя.

728

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Невзаимность распространения обменно-дипольных спиновых волн. ..

Рис. 6. (В цвете онлайн) Скрещенная геометрия 2: M1⊥ (k, n), M2 ∥ n. Значения параметров слоев те же, что и на

рис. 2-5. а) Эллиптичности в первом (черная линия) и втором (синяя линия) слоях для ветви дисперсии Ω⁽¹⁾

. б) Со-

M₂∥n

ответствующие рис. а отношения амплитуд в слоях для прямой (сплошная линия) и обратной (штриховая линия) волн.

в) Эллиптичности для ветви дисперсии Ω^(2)M

. Разные линии соответствуют разным слоям, разным направлениям намаг-

2∥k

ничивания слоя 1, а также разным направлениям распространения ОДВ. г) Соответствующие рис. в отношения амплитуд

в слоях для прямой (сплошная линия) и обратной (штриховая линия) волн

Графики зависимостей (44) и (45) представлены

сительная разность частот ОДВ достигает 100 % в

на рис. 6 для σ₁ = σ₂ = +1.

ГДЭ и около 10 % в скрещенных геометриях.

Физически, чтобы объяснить относительно ма-

3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

лую по сравнению со случаем ГДЭ величину па-

Как следует из приведенных графиков, наиболь-

раметра невзаимности в скрещенных геометриях,

ший эффект невзаимности достигается при распро-

нужно сначала вспомнить о причинах невзаимнос-

странении ОДВ в ГДЭ. Математически в этом слу-

ти в ГДЭ. Последняя имеет две взаимосвязанные

чае корни дисперсионного уравнения оказывают-

причины. Первая и наиболее часто цитируемая из

ся кратными, и поэтому дипольное возмущение от

них состоит в том, что магнитодипольное поле СВ

смежного слоя имеет порядок малости, меньший

в каждом из слоев локализовано преимуществен-

чем в случае скрещенных геометрий. В ГДЭ на меж-

но вблизи одной из его поверхностей, зависящей от

слойном расстоянии, равном толщине пленок, отно-

направления распространения СВ [4, 5, 18]. Такое

сительная разность частот ОДВ в прямом и обрат-

асимметричное распределение поля объясняется су-

ном направлениях достигает 35 %, в то время как в

перпозицией полей, создаваемых объемными и по-

скрещенных геометриях она составляет всего около

верхностными динамическими магнитными заряда-

3-4 %. При равном нулю зазоре между слоями отно-

ми СВ. Данная суперпозиция определяется, в свою

729

В. Д. Пойманов, В. В. Кругляк

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

очередь, поляризацией прецессии СВ. В частности,

является следствием циркулярной поляризации по-

поле циркулярно поляризованной СВ в ГДЭ и вовсе

ля, киральность которого зависит от направления

равно нулю по одну из сторон слоя [21].

распространения СВ и от рассматриваемой поверх-

Вторым, не менее важным фактором является

ности пленки. Плоскость поляризации поля в этом

поляризация этого динамического магнитодиполь-

случае совпадает с плоскостью прецессии в первом

ного поля. Так как магнитостатический потенциал

слое, и, таким образом, соотношение между поляри-

является решением уравнения Лапласа, эта поля-

зацией поля и киральностью прецессии оказывается

ризация оказывается циркулярной с киральностью,

существенным. В частности, невзаимность оказыва-

определяемой направлением распространения СВ и

ется максимальной, когда прецессия в первом слое

рассматриваемой поверхностью пленки. При этом

циркулярна. В этом случае энергия взаимодействия

киральность поля может совпадать с киральностью

максимальна, когда киральность прецессии совпа-

прецессии в другом слое (на который данное поле

дает с киральностью поля, создаваемого СВ, бегу-

действует), может быть противоположной, а может

щей во втором слое, и равна нулю, когда кирально-

«совпадать» лишь частично, если прецессия поля-

сти противоположны.

ризована эллиптически. Заметим, что в рассматри-

Заметим, что случай циркулярной прецессии яв-

ваемых нами простых случаях ГДЭ с одинаковыми

ляется идеализацией (см. рис. 2в, 4а,в, 6а,в), реа-

слоями эффекты киральности и пространственной

лизующейся в нашей модели за рамками ее приме-

локализации складываются в «антипараллельной»

нимости, т. е. в случае очень коротких волн. Тем не

ГДЭ и взаимно компенсируются в «параллельной»

менее киральность в скрещенных геометриях оказы-

ГДЭ. Идеальная компенсация на всех частотах (а

вается существенной в системах, в которых транс-

значит, независимо от эллиптичности прецессии) в

ляционная симметрия нарушена [11, 12]. Деталь-

последнем случае наглядно иллюстрирует тонкую

ное рассмотрение механизма усиления киральности

взаимосвязь между данными эффектами.

в таких системах требует решения задачи рассея-

Существенно, что энергия взаимодействия ди-

ния, что выходит за рамки данной работы. Заметим

намического магнитодипольного поля одного слоя

только, что для решения задачи рассеяния могут

с намагниченностью другого слоя определяется не

оказаться существенными зависимость эллиптично-

только величиной и киральностью поля, но также

сти прецессии от направления распространения СВ

и киральностью и вообще поляризацией прецессии

(см. рис. 4в, 6в), а также связанная с этим необходи-

этой намагниченности. В частности, в скрещенных

мость учета эванесцентных волн [9,23]. В самом де-

геометриях 1 и 2 плоскость поляризации динами-

ле, как следует из выражений (33), (34) и (44), (45),

ческого магнитодипольного поля, создаваемого пер-

направления распространения ОДВ и равновесных

вым слоем с M₁⊥ (k, n), оказывается ортогональной

намагниченностей определяют как знак, так и аб-

плоскости прецессии во втором слое соответственно

солютное значение эллиптичности волны в первом

с M₂ ∥ k и M₂ ∥ n. В данном случае важной оказы-

слое для ветви дисперсии, «получаемой» из «соб-

вается только пространственная локализация поля,

ственной» частоты второго слоя. Фактически оказы-

создаваемого первым слоем, а его киральность не

вается, что эллиптичности волн, бегущих в противо-

оказывает влияния на энергию взаимодействия. В

положных направлениях, различаются. Это может

результате невзаимность оказывается ослабленной

являться важным обстоятельством в задачах рас-

по сравнению с ГДЭ.

сеяния, где эллиптичности необходимы для сшив-

В силу принципа взаимности для магнитостати-

ки разных проекций динамической намагниченно-

ки [22] энергия взаимодействия между слоями не

сти в граничных условиях. В работах [9, 23] бы-

должна зависеть от того, поле какого из двух сло-

ло показано, что эллиптичности объемных и эван-

ев рассматривается. В ГДЭ с одинаковыми слоями

сцентных волн взаимно обратны, что давало воз-

соблюдение этого принципа очевидно. Рассмотрим

можность факторизации системы граничных усло-

природу возникновения невзаимности в скрещенных

вий для каждого типа волн. При учете размагничи-

геометриях с точки зрения поля, создаваемого вто-

вающего поля ОДВ указанное обстоятельство дела-

рым слоем. Бегущая в слое с M₂ ∥ k (M₂ ∥ n)

ет такую факторизацию невозможной.

линейная СВ не создает объемных (поверхностных)

динамических магнитных зарядов. Поэтому дина-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

мическое магнитодипольное поле такой волны ха-

рактеризуется симметричным и взаимным распре-

Основным результатом данного исследования

делением амплитуды. В этом случае невзаимность

является вывод о принципиальной возможности

730

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Невзаимность распространения обменно-дипольных спиновых волн. ..

невзаимного распространения ОДВ в двуслойных

поверхностный. С учетом периодической зависимос-

магнитных пленках, когда хотя бы один из слоев

ти от x и соотношения dθ(y)/dy = δ(y) получим

намагничен в плоскости пленки перпендикулярно

направлению распространения. Проведено сравне-

∂²ϕ

[

- k2xϕ = -4π

ik_x(θ(y) - θ(y - d_l))m1x +

ние невзаимности в ГДЭ с антипараллельной на-

∂y²

магниченностью слоев и в геометриях, когда рав-

+ (θ(y - d₁ - l) - θ(y - d₁ - l - d₂))m2x +

новесные намагниченности слоев взаимно перпенди-

кулярны («скрещены»). Невзаимность в первой гео-

+ (δ(y) - δ(y - d₁))m1y + (δ(y - d₁ - l) -

]

метрии выражена значительно сильнее, чем в гео-

- δ(y - d₁ - l - d₂))m2y

(48)

метриях со скрещенной намагниченностью. Это раз-

личие объяснено тем, что в ГДЭ как величина, так и

Обозначим последовательно области

киральность циркулярно поляризованного динами-

a : y < 0,

ческого магнитодипольного поля вносят невзаимные

вклады в энергию его взаимодействия с прецессиру-

1: 0<y<d1,

ющей намагниченностью, в то время как в геометри-

b: d₁ <y<d₁ +l,

(49)

ях со скрещенной намагниченностью присутствует

2: d₁ +l<y<d₁ +l+d₂,

лишь один из этих вкладов.

c: y<d₁ +l+d₂,

Для рассмотренных конфигураций рассчитаны

спектры, эллиптичности прецессии и параметры

и запишем уравнения в каждой из них:

невзаимности (относительно направления распро-

∂²ϕ_a,b,c

странения СВ). Несмотря на то что представленная

- k2xϕ_a,b,c = 0,

∂y²

аналитическая теория построена в приближении

(50)

однородности динамической намагниченности по

∂²ϕ1,2

толщине каждого слоя, ожидается что невза-

- k2xϕ1,2 = -4πik_xm1,2x.

∂y²

имность распространения ОДВ в геометриях со

Обозначим κ_y = k > 0, а k_x = σk, где σ = ±1 —

скрещенной намагниченностью сохранится и в более

маркер направления распространения волны (ψ ∝

общем случаях неоднородной по толщине динами-

∝ exp(k (±y + iσx))). Тогда общее решение уравне-

ческой намагниченности, а также нетождественных

ния в каждой области имеет вид

слоев. С другой стороны, можно надеяться, что

рассмотренное приближение сделает возможным

a: ϕ_a =A_ae^ky,

построение теории кирального рассеяния ОДВ

4π

в системах, подобных рассмотренным в работах

1 : ϕ₁ = A1 ch(ky) + B1 sh(ky) + iσ

m1x,

[10-12, 19, 24].

b : ϕ_b = Ab ch[k (y - d₁)] + Bb sh[k(y - d₁)],

Благодарности. Авторы выражают благодар-

(51)

2 : ϕ₂ = A2 ch[k (y - d₁ - l)]+

ность В. Д. Запорожцу за помощь в подготовке ста-

тьи к публикации.

4π

+ B2 sh[k(y - d₁ - l)] + iσ

m2x,

c: ϕ_c =B_ce-k(y-d1-l-d2).

5. ПРИЛОЖЕНИЕ A

Эти решения помимо непрерывности связаны так-

Так как зависимость динамических переменных

же условиями, получаемыми интегрированием вы-

от x периодическая с волновым числом k_x, т. е.

ражения (48) по малой окрестности каждой грани-

m ∝ exp(ik_xx), решение уравнения Уокера

цы (штрих означает производную по y):

)

∂²ψ

⁽∂m_x

∂m_y

= -4π

(46)

ϕ′1 (0) - ϕ^′a (0) = -4πm1y,

∂x²

∂y²

∂x

∂y

следует искать в виде

ϕ^′b (d₁) - ϕ′1 (d₁) = 4πm1y,

(52)

ψ (x, y) = ϕ (y) exp(ik_xx).

(47)

ϕ′2 (d₁ + l) - ϕ^′b (d₁ + l) = -4πm2y,

Первое слагаемое в правой части выражения (46)

ϕ^′c (d₁ + l + d₂) - ϕ′2 (d₁ + l + d₂) = 4πm2y.

определяет объемный магнитный заряд, второе —

731

В. Д. Пойманов, В. В. Кругляк

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

В матричной форме система граничных условий для амплитуд после подстановки принимает вид

⎛

⎞⎛

⎞

⎛

⎞

-1

A_a

iσm1x

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

-1

⎟⎜A1

⎟

⎜

m1y

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

- ch(kd₁)

- sh(kd₁)

⎟⎜B1

⎟

⎜iσm1x

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

- sh(kd₁)

- ch(kd₁)

⎟⎜Ab

⎟

4π

⎜

m1y

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

(53)

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

ch(kl)

sh(kl)

-1

B_b

iσm2x

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜0

sh(kl)

ch(kl)

-1

⎟⎜A2

⎟

⎜

m2y

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎝0

- ch(kd₂)

- sh(kd₂)

⎠

⎝B2

⎠

⎝iσm2x

⎠

- sh(kd₂)

- ch(kd₂)

-1

B_c

m2y

Решая полученную систему, находим потенциал в каждой области:

2π

ϕ_a =

[(exp(-kd₁) - 1)(-iσm1x - m1y) +

+ exp(-k(d₁ + l))(exp(-kd₂) - 1)(-iσm2x - m2y)] exp(ky),

2π

ϕ₁ =

[(exp(k(y - d₁)) - 1)(-iσm1x - m1y) + (exp(-ky) - 1)(-iσm1x + m1y) +

+ exp(k(y - d₁ - l))(exp(-kd₂) - 1)(-iσm2x - m2y)],

(54)

2π

ϕ_b =

[exp(-ky)(1- exp(kd₁))(-iσm1x+m1y)+ exp(k(y - d₁ - l))(exp(-kd₂)-1)(-iσm2x-m2y)],

2π

ϕ₂ =

[exp(-ky)(1 - exp(kd₁))(-iσm1x + m1y) + (exp(-k(y - d₁ - l)) - 1)(-iσm2x + m2y)+

+ (exp(k(y - d₁ - l - d₂)) - 1)(-iσm2x - m2y)],

2π

ϕ_c =

[(1 - exp(kd₁))(-iσm1x + m1y) + exp(k(d₁ + l))(1 - exp(kd₂))(-iσm2x + m2y)] exp(-ky).

Компоненты намагниченности в ОДВ не являют-

динамической намагниченности в слоях. Эти вели-

ся независимыми, а связаны между собой условия-

чины являются функциями волнового числа и в

ми, следующими не из уравнения Уокера (оно лишь

дальнейшем подлежат определению. Для волны с

позволяет определить размагничивающее поле, со-

правой циркулярной поляризацией ε = +1, с ле-

здаваемое распределением намагниченности, кото-

вой — ε = -1. Киральность этой поляризации (т.е.

рое можно выбрать произвольным), а из уравне-

знак эллиптичности) соответствует знаку равновес-

ния динамики намагниченности — уравнения Лан-

ной намагниченности.

дау - Лифшица. Эту связь можно записать в виде

m1y

m2y

m2x

Таким образом, в задаче присутствует только

=ε₁,

=ε₂,

=δ_x.

(55)

im1x

im2x

m1x

один независимый параметр, в качестве которого

Здесь первые два параметра — эллиптичности ОДВ

выберем m1x = m. С учетом обозначений (55) пе-

в каждом слое, последний — отношение x-компонент

репишем выражение для размагничивающего поля:

732

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Невзаимность распространения обменно-дипольных спиновых волн. ..

h_ax =2πm[(exp(-kd₁) - 1)(1 + σε₁)+

+ δx exp(-k(d₁ + l))(exp(-kd₂) - 1)(1 + σε₂)]exp(ky)exp(iσkx),

h1x =2πm[(exp(k(y - d₁)) - 1)(1 + σε₁) + (exp(-ky) - 1)(1 - σε₁)+

+ δx exp(k(y - d₁ - l))(exp(-kd₂) - 1)(1 + σε₂)]exp(iσkx),

h_bx =2πm[exp(-ky)(1 - exp(kd₁))(1 - σε₁)+

+ δx exp((k(y - d₁ - l))(exp(-kd₂) - 1)(1 + σε₂)]exp(iσkx),

h2x =2πm[exp(-ky)(1 - exp(kd₁))(1 - σε₁) + δ_x((exp(-k(y - d₁ - l)) - 1)(1 - σε₂)+

+ (exp(k(y - d₁ - l - d₂)) - 1)(1 + σε₂))] exp(iσkx),

h_cx =2πm[(1 - exp(kd₁))(1 - σε₁)+

+ δx exp(k(d₁ + l))(1 - exp(kd₂))(1 - σε₂)]exp(-ky)exp(iσkx),

(56)

h_ay = - 2πim[(exp(-kd₁) - 1)((σ + ε₁))+

+ δx exp(-k(d₁ + l))(exp(-kd₂) - 1)(σ + ε₂)]exp(ky)exp(iσkx),

h1y = - 2πim[exp(k(y - d₁))(σ + ε₁) - exp(-ky)(σ - ε₁)+

+ δx exp(k(y - d₁ - l))(exp((-kd₂) - 1)(σ + ε₂)]exp(iσkx),

h_by = - 2πim[exp(-ky)(exp(kd₁) - 1)(σ - ε₁)+

+ δx exp(k(y - d₁ - l))(exp(-kd₂) - 1)(σ + ε₂)]exp(iσkx),

h2y = - 2πim[exp(-ky)(exp(kd₁) - 1)(σ - ε₁)+

+ δ_x(exp(k(y - d₁ - l - d₂))(σ + ε₂) - exp(-k(y - d₁ - l))(σ - ε₂))] exp(iσkx),

h_cy = - 2πim[(exp(kd₁) - 1)(σ - ε₁) + δ_x exp(k(d₁ + l))(exp(kd₂) - 1)(σ - ε₂)] exp(-ky)exp(iσkx).

Из полученных выражений (56) можно заметить

ности соответственно «своего» и «чужого» слоев.

следующее.

Представим соотношение между намагниченностью

а) При одинаковых круговых поляризациях сло-

и размагничивающим полем (56) в виде

ев по одну сторону от структуры поле всегда равно

⎛

⎞

⎛

⎞

нулю. В частности, при σ = +1 для левополяри-

hd,1x

m1x

⎜

⎟

⎜

⎟

зованных ОДВ (m_y = -im_x, ε₁ = ε₂ = -1) поле

⎜hd,1y

⎟

⎜m1y

⎟

⎜

⎟

= exp(ikx)

⎜

^⎟,

(57)

отсутствует при y < 0, для правополяризованных

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝hd,2x

⎠

⎝m2x

⎠

(m_y = im_x, что соответствует ε₁ = ε₂ = +1) — при

hd,2y

m2y

y > d₁ + d₂ + l. Отметим, что данный эффект воз-

можен и для одного слоя [21].

где

б) При σ = +1 и ε₁ = +1, ε₂ = -1 поле от-

⎛

⎞

сутствует и в пространстве между слоями. Если же

⎜

⎟

при σ = +1 наоборот ε₁ = -1, ε₂ = +1, то поле не

⎜

⎟

Nyy1)

⎜

⎟

N =

(58)

равно нулю. Если изменить направление волнового

⎜

21)

⎟

⎝N^x

⎠

вектора, то поле между слоями появится/исчезнет.

Nyy1)

Nyy2)

Размагничивающее поле внутри каждого слоя, hd,1

и hd,2, состоит из частей, содержащих намагничен-

N(11)xx + 4π = -N(11)yy = N₁, N(11)xy = N(11)yx = iσN′1, -N(12)xx = N(12)yy = N₁₂, N(12)xy = N(12)yx = iσN₁₂,

N(22)xx + 4π = -N(22)yy = N₂, N(22)xy = N(22)yx = iσN′2,

-N(21)xx = N(21)yy = N₂₁, N(21)xy = N(21)yx = -iσN₂₁,

(

)

(

)

(59)

N₁

= 2π ek(y-d1) + e^-ky

N₂

= 2π e-k(y-d1-l) + ek(y-d1-l-d2)

(

)

(

)

N′1

= 2π e^-ky - ek(y-d1)

N′2

= 2π e-k(y-d1-l) - ek(y-d1-l-d2)

(

)

(

)

N₁₂ = 2π

1-e-kd2

ek(y-d1-l), N₂₁ = 2π

ekd1 - 1

e^-ky,

733

В. Д. Пойманов, В. В. Кругляк

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

так что

возрастая от нуля (для однородно намагниченного

⎛

⎞

вдоль поверхности слоя), а затем снова убывая до

N₁ - 4π iσN′1

-N₁₂

iσN₁₂

⎜

⎟

нуля.

⎜

σN′1

-N₁

iσN₁₂

N₁₂

⎟

N =

⎜ i

⎟. (60)

⎜

⎟

⎝ -N21

-iσN₂₁

N₂ - 4π iσN′2

⎠

−iσN₂₁

N₂₁

iσN′2

-N₂

6. ПРИЛОЖЕНИЕ B

Таким образом, весь тензор определяется ше-

стью независимыми компонентами: N₁, N′1, N₂, N′2,

Используем найденное размагничивающее поле

N₁₂, N₂₁. В длинноволновом приближении k → 0

для исследования динамики намагниченности в сло-

все компоненты, кроме

= -4π, обра-

ях. Запишем плотность энергии и линеаризованное

щаются в нуль, что соответствует случаю однородно

эффективное поле при наличии обмена, постоянного

намагниченного слоя.

внешнего поля, найденного усредненного размагни-

Найденное размагничивающее поле неоднород-

чивающего поля и «закрепляющего» поля легкоос-

но вдоль толщины, в отличие от намагниченности.

ной анизотропии вдоль основного состояния, в ка-

Поэтому для расчета спектра ОДВ будем использо-

честве которого в данной геометрии выступает на-

вать приближение среднего размагничивающего по-

правление z (λ2n = 2An/M2n — квадрат обменной

ля, усреднив полученные компоненты по толщине

длины):

слоя. При этом слой не должен быть слишком тол-

стым, чтобы не нарушалось условие однородности

(

)

1⁽

W_n =

λ2n (∇ · M_n)² + β_n

M2n,x + M2n,y

намагниченности вдоль нормали. Усредненные по

)

толщине соответствующего слоя компоненты опре-

(64)

- M_n·H_n,d

- Mn · H,

делим как

∫

N_k =

N_k (y)dy .

(61)

H_n,eff = λ2nΔm_n - β_n(m_n,x + m_n,y) + h_d,n.

d_k

Тогда, интегрируя, получим

где H — внешнее поле, а m_n,x и m_n,y — векторные

N₁ = 4πξ₁, N₂ = 4πξ₂, N₁₂ = 4πξ₁η₂,

компоненты динамической намагниченности вдоль

(62)

направлений соответственно x и ŷ. Уравнения Лан-

N₂₁ = 4πξ₂η₁, N′1 = N′2 = 0,

дау - Лифшица для каждого слоя:

где

1 - exp(-kd_n)

ξ_n = ξ_n (k, d_n) =

∂m_n

kd_n

(63)

∂t

1 - exp(-kd_n)

[

]

η_n = η_n (k, d_n) =

exp(-kl).

+γ

Mn,0 × (λ2nΔm_n-β_n(m_n,x+m_n,y)+h_d,n)

+ γ[m_n × H] = 0.

(65)

Заметим, что ξ — монотонно убывающая от 1 до

0 функция с ростом толщины слоя (или с уменьше-

нием длины волны), величина η убывает с увеличе-

С учетом однородности намагниченности вдоль

нием расстояния между слоями, однако с уменьше-

толщины слоев запишем систему в проекциях в мат-

нием длины волны ведет себя немонотонно, вначале

ричном виде:

⎛

⎞

⎛⎛

⎞

⎛

⎞

ω₁

-σ₁ ω_t

ωM1

⎜

⎟

⎜⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜⎜σ1 ωt

ω₁

⎟

⎜

ωM1

⎟

⎜⁰

⎟

⎜⎜

⎟

⎜

^⎟×

⎜

⎟

⎜⎜

⎟

⎜

⎟

⎝0

⎠

⎝⎝ 0

ω₂

-σ₂ ω_t

⎠

⎝ 0

ωM2

⎠

σ₂ ω_t

ω₂

ωM2

⎛

⎞⎞

1-ξ₁

ξ₁η₂

-iσξ₁η₂

⎜

⎟⎟

⎜

ξ₁

-iσξ₁η₂

-ξ₁η₂

⎟⎟

⎟

×^⎜

⎟,

(66)

⎜

⎟⎟

⎝ ξ2η1

iσξ₂η₁

1-ξ₂

⎠⎠

iσξ₂η₁ - ξ₂η₁

ξ₂

734

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Невзаимность распространения обменно-дипольных спиновых волн. ..

ω1x - σσ₁ω

ω2x + σσ₂ω

где

ε₁ = -σ

ε₂ = σ

ω1y - σσ₁ω

ω2y + σσ₂ω

m2x

ω_Mn = 4πγ |Mn0|, ω_n = σ_nω_H+ω_Mn(α_nk²+β_n)/4π,

δx =

(70)

m1x

ω_H = γH,

ω_t = ∂/∂t.

(ω₂ - ω1xω1y)(ω2y + σσ₂ω)

ω₁₂(ω1y - σσ₁ω)(ω2x + ω2y + 2σσ₂ω)

Решение этой системы имеет вид периодической по

времени функции m ∝ exp(-iωt). С учетом найден-

ного размагничивающего тензора запишем систему

для определения компонент намагниченности в сло-

ЛИТЕРАТУРА

ях:

⎛

⎞⎛

⎞

⎛

⎞

ω1x iσ₁ω

ω₁₂

-iσω₁₂

m1x

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков, Магнитные колеба-

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

−iσ₁ω ω1y

-iσω₁₂

-ω₁₂

⎟⎜

m1y

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

(67)

ния и волны, Физматлит, Москва (1994).

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

ω₂₁

iσω₂₁

ω2x iσ₂ω

⎟⎜

m2x

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠⎝

⎠

⎝

⎠

iσω₂₁

-ω₂₁

-iσ₂ω ω2y

m2y

С. А. Никитов, Д. В. Калябин, И. В. Лисенков и

др., УФН 185, 1099 (2015).

где

A. Barman, G. Gubiotti, S. Ladak et al., J. Phys.:

⁽α_nk²+β_n

Condens. Matter 33, 413001 (2021).

ω_nx (k) = ωn0 + (1 - ξ_n)ω_Mn =

4π

)

R. W. Damon and J. R. Eshbach, J. Phys. Chem. Sol.

1- exp(-kd_n)

+ 1-

ω_Mn+σ_nω_H,

19, 308 (1961).

kd_n

R. E. Camley, Surf. Sci. Rep. 7, 103 (1987).

ω_ny (k) = ωn0 + ξ_nω_Mn =

)

⁽α_nk²+β_n

1- exp(-kd_n)

M. Mruczkiewicz, E. S. Pavlov, S. L. Vysotsky et al.,

ω_Mn+σ_nω_H,

Phys. Rev. B 90, 174416 (2014).

4π

kd_n

(68)

ω₁₂ (k) = ωM1ζ₁₂ (k), ω₂₁ (k) = ωM2ζ₂₁ (k),

V. K. Sakharov, Y. V. Khivintsev, S. L. Vysotsky et

al., IEEE Magn. Lett. 8, 3704105 (2017).

1 - exp(-kd₁)

ζ₁₂ (k) = ξ₁η₂ =

kd₁

R. A. Gallardo, T. Schneider, A. K. Chaurasiya et al.,

1 - exp(-kd₂)

Phys. Rev. Appl. 12, 034012 (2019).

exp(-kl),

V. D. Poimanov and V. V. Kruglyak, J. Appl. Phys.

1 - exp(-kd₂)

ζ₂₁ (k) = ξ₂η₁ =

130, 133902 (2021).

kd₂

1 - exp(-kd₁)

10.

V. V. Kruglyak, Appl. Phys. Lett. 119,

200502

exp(-kl).

(2021).

Собственные частоты определим, приравнивая к

11.

Y. Au, M. Dvornik, O. Dmytriiev et al, Appl. Phys.

нулю определитель (66):

Lett. 100, 172408 (2012).

ω⁴ - ω² (ω1xω1y + ω2xω2y - 4ω₁₂ω₂₁σ₁σ₂) +

12.

Y. Au, E. Ahmad, O. Dmytriiev et al., Appl. Phys.

Lett. 100, 182404 (2012).

+ 2ωσω₁₂ω₂₁ (σ₁ (ω2x+ω2y)-σ₂ (ω1x+ω1y)) +

13.

M. Balynsky, A. Kozhevnikov, Y. Khivintsev et al.,

+ (ω1xω1yω2xω2y - ω₁₂ω₂₁ (ω1x + ω1y) ×

Sci. Rep. 121, 024504 (2017).

× (ω2x + ω2y)) = 0.

(69)

14.

T. Goto, T. Yoshimoto, B. Iwamoto et al., Sci. Rep.

9, 16472 (2019).

Из системы (66) после подстановки найденных кор-

ней (68) находим эллиптичности и отношение амп-

15.

V. A. Gubanov, S. E. Sheshukova, S. A. Nikitov et

литуд слоев δ:

al., J. Phys. D 54, 245001 (2021).

735