ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 6, стр. 788-802

ВЛИЯНИЕ КОЛЛЕКТИВНЫХ ЯДЕРНЫХ КОЛЕБАНИЙ

НА ЭКСЦЕНТРИСИТЕТЫ НАЧАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ

В СТОЛКНОВЕНИЯХ Pb+Pb

Б. Г. Захаров^*

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

117334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 7 декабря 2021 г.,

после переработки 7 декабря 2021 г.

Принята к публикации 8 декабря 2021 г.

В рамках Монте-Карло-модели Глаубера изучается влияние коллективных квантовых эффектов в ядре

Pb на коэффициенты азимутальной анизотропии ϵ2,3 в столкновениях Pb+Pb при энергиях коллайдера

LHC. Для учета квантовых эффектов мы изменяем генерацию положений нуклонов, применяя подходя-

щие фильтры, которые гарантируют, что сталкивающиеся ядра имеют среднеквадратичные квадруполь-

ные и октупольные моменты, равные извлеченным из экспериментальных квадрупольных и октупольных

силовых функций для ядра Pb с помощью энергетически взвешенного правила сумм. Наша Монте-Кар-

ло-модель Глаубера с модифицированной выборкой положений нуклонов приводит к ϵ2{2}/ϵ3 {2} ∼ 0.8

при центральности не более 1 %, что позволяет решить загадку отношения v2/v3.

DOI: 10.31857/S0044451022060025

зависимость спектров адронов характеризуется

EDN: DTVKIH

коэффициентами потока v_n в разложении Фурье

{

}

1. ВВЕДЕНИЕ

∑

2v_n cos[n (φ - Ψ_n)]

(1)

dφ

2π

В настоящее время принято считать, что об-

n=1

разование адронов при столкновениях тяжелых

ионов при энергиях коллайдеров RHIC и LHC

где N — это множественность адронов в определен-

проходит через стадию кварк-глюонной плазмы

ной области p_T и области быстроты, а Ψ_n — углы

(КГП). Гидродинамический анализ эксперимен-

плоскости реакции события. В гидродинамических

тальных данных с коллайдеров RHIC и LHC

моделях с гладкими начальными условиями в ряде

показывает, что КГП формируется на собственных

Фурье (1) при средней быстроте (y = 0) выживают

временах τ₀ ∼ 0.5-1 фм [1-3] после взаимодействия

только члены с n = 2k (если адронизация проис-

лоренц-сжатых ядер. Файербол КГП, образованный

ходит без флуктуаций). В этом приближении для

между удаляющимися друг от друга ядерными

AA-столкновений с нулевым прицельным парамет-

дисками, наследует приблизительно форму области

ром коэффициенты v2k должны исчезать из-за ази-

перекрытия сталкивающихся ядер. Для нецен-

мутальной симметрии. Гидродинамические расчеты

тральных AA-столкновений область перекрытия

показывают, что для столкновений тяжелых ионов с

имеет миндалевидную форму. Это может привести

малой центральностью в каждом событии коэффи-

к значительной анизотропии в поперечном расши-

циенты потока v_n с n ≤ 3 с хорошей точностью про-

рении КГП в более поздние времена и, в конечном

порциональны коэффициентам анизотропии ϵ_n для

счете, к азимутальной асимметрии спектров частиц

начального распределения энтропии [5-7]

[4]. При наличии флуктуаций начальной плотности

КГП азимутальная асимметрия может появляться

v_n ≈ k_nϵ_n .

(2)

и для центральных столкновений. Азимутальная

^* E-mail: bgz@itp.ac.ru

Коэффициенты ϵ_n определены как [8,9]

788

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Влияние коллективных ядерных колебаний. . .

∫



ды было установлено, что в них имеется проблема

dρ ρⁿe^inφρ_s(ρ)



с описанием отношения v₂{2} к v₃{2} в ультрацент-

ϵ_n =

∫

(3)

ральных (c → 0) столкновениях Pb+Pb при энер-

dρ ρⁿρ_s(ρ)

гиях LHC (так называемая загадка v₂-to-v₃). Из-

мерения коэффициентов потока в ультрацентраль-

где ρ_s(ρ) — начальная плотность энтропии файербо-

ных Pb+Pb-столкновениях с энергиями 2.76 ТэВ

ла, и предполагается, что ρ вычисляется в системе

[17] и 5.02 ТэВ [18] показывают, что v₂{2} и v₃{2}

центра масс в поперечной плоскости, т. е.

∫

близки друг к другу. Это противоречит гидроди-

намическим расчетам с начальными условиями в

dρ ρρ_s(ρ) = 0.

МК-модели Глаубера и TRENTO, которые дают

Гидродинамические расчеты требуют начальной

v₂{2}/v₃{2} ∼ 1.25-1.4 [19, 20]. Это предсказание

плотности энтропии, которая в настоящее время не

в основном связано с тем фактом, что для эл-

может быть определена ab initio. В настоящее время

липтического потока коэффициент k₂ в соотноше-

используются несколько моделей для расчетов на-

нии линейного отклика (2) больше, чем коэффици-

чального распределения энтропии при столкновени-

ент k₃ для триангулярного потока (например, для

ях тяжелых ионов. Наиболее широко используемым

идеальной гидродинамики расчеты, выполненные в

и простым феноменологическим методом для гене-

[19], дают k₂/k3 ∼ 1.35 для Pb+Pb-столкновений

рации начального распределения энтропии являет-

с энергией 2.76 ТэВ в интервале центральности 0-

ся Монте-Карло (МК)-модель Глаубера поврежден-

0.2 % для 0.3 < p_T

< 3 ГэВ, причем отношение

ных нуклонов [10, 11], в которой плотность энтро-

k₂/k₃ растет с увеличением сдвиговой вязкости КГП

пии выражается через линейную комбинацию чис-

[6, 19]). Моделирование начального распределения

ла участвующих нуклонов и бинарных столкнове-

энтропии при нулевом прицельном параметре в МК-

ний. В МК-модели Глаубера флуктуации плотнос-

модели Глаубера и модели TRENTO дает эллиптич-

ти энтропии от события к событию представляют

ность ϵ₂{2} и триангулярность ϵ₃{2}, которые близ-

√

собой совокупный эффект флуктуаций положений

ки друг к другу (здесь, как обычно, ϵ_n{2} =

〈ϵ2n〉

нуклонов в сталкивающихся ядрах и флуктуаций

является квадратным корнем от среднеквадратич-

производства энтропии для заданной геометрии по-

ного (RMS) эксцентриситета). Следовательно, для

ложений нуклонов. МК-модель Глаубера оказалась

k₂/k₃ > 1 соотношение линейного отклика (2) при-

весьма успешной для описания в рамках гидроди-

водит к v₂{2}/v₃{2} > 1. Проблема с воспроизве-

намических моделей экспериментальных данных по

дением экспериментального отношения v₂{2}/v₃{2}

коэффициентам потока в AA-столкновениях, полу-

в ультрацентральных столкновениях Pb+Pb, без-

ченных на RHIC и LHC. Гидродинамическое моде-

условно, является серьезной проблемой для гид-

лирование с начальными условиями модели Глау-

родинамической парадигмы столкновений тяжелых

бера показало, что КГП, рождающаяся на RHIC и

ионов, потому что предсказание, что k₂ > k₃, кажет-

LHC, имеет очень малое отношение сдвиговой вязко-

ся вполне надежным.

сти к плотности энтропии, которое близко к нижней

В последние годы было предпринято несколько

квантовой границе 1/4π [12,13]. Другой, более позд-

попыток объяснить, почему в ультрацентральных

ней феноменологической МК-схемой для производ-

столкновениях Pb+Pb v₂{2}/v₃{2} > 1. В [19] ко-

ства энтропии в AA-столкновениях, которая успеш-

эффициенты потока в ультрацентральных столкно-

но использовалась в гидродинамических анализах,

вениях Pb+Pb были рассмотрены с использовани-

является модель TRENTO [14]. В модели TRENTO,

ем начальных условий для моделей МК Глаубера и

аналогично МК-схеме Глаубера, флуктуации плот-

MC-KLN [21,22]. Было обнаружено, что как модель

ности энтропии происходят из флуктуаций положе-

МК Глаубера, так и модель KLN не воспроизводят

ний нуклонов в сталкивающихся ядрах и флуктуа-

отношение v₂{2}/v₃{2}. Авторы [19] пришли к вы-

ций производства энтропии для заданной геометрии

воду, что наблюдаемое отношение v₂{2}/v₃{2} ≈ 1 в

положений участвующих нуклонов. Это отличается

ультрацентральных столкновениях Pb+Pb требует

от КХД-моделей IP-Glasma [15] и MAGMA [16], в ко-

ϵ₂{2}/ϵ₃{2} ∼ 0.5-0.7, что не согласуется как с пред-

торых флуктуации плотности энтропии происходят

сказанием модели МК Глаубера, так и MC-KLN.

только от флуктуаций положений нуклонов.

В работе [23] было исследовано влияние объемной

Хотя гидродинамические модели могут воспро-

вязкости на коэффициенты потока в ультрацен-

изводить обширный набор данных по столкновени-

тральных столкновениях Pb+Pb. Было показано,

ям тяжелых ионов на RHIC и LHC, в последние го-

что для начальных условий модели IP-Glasma вклю-

789

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

чение объемной вязкости может несколько снизить

ях имеют коллективную природу [27, 28]. Коллек-

отношение v₂{2}/v₃{2}. Хотя эффект недостаточно

тивные эффекты проявляются в присутствии ги-

сильный, чтобы хорошо воспроизвести эксперимен-

гантских резонансов/колебаний, которые соответ-

тальное v₂{2}/v₃{2}. В работе [24] было исследовано

ствуют когерентным колебаниям нуклонов [27, 28]

влияние КХД уравнения состояния на v₂{2}/v₃{2}

(более поздние обзоры см. [29, 30]). Поскольку кол-

для начальных условий модели TRENTO. Авторы

лективные эффекты на больших расстояния игно-

обнаружили, что в ультрацентральных столкнове-

рируются при МК-генерации положений нуклонов

ниях Pb+Pb v₂{2}/v₃{2} ≳ 1.2, и пришли к выводу,

для WS-распределения, нет никакой гарантии, что

что изменение уравнения состояния не позволяет ре-

этот подход может имитировать истинные флук-

шить загадку v₂-to-v₃.

туации ядерной плотности на больших расстояни-

В работах [19, 23, 24] предполагалось, что ядро

ях. Можно ожидать, что в контексте коэффици-

²⁰⁸Pb имеет сферическую форму. Сценарий с ок-

ентов анизотропии ϵ₂ и ϵ₃ для ультрацентраль-

тупольной (грушевидной) деформацией ядра²⁰⁸Pb

ных столкновений Pb+Pb, наиболее важными мо-

был рассмотрен в работе [20] для начальных усло-

дами гигантских колебаний являются квадруполь-

вий TRENTO. Этот сценарий кажется привлека-

ная и октупольная. В нашей предыдущей рабо-

тельным в контексте проблемы v₂-to-v₃, так как для

те [31] мы исследовали возможное влияние изо-

заданного отношения k₂/k₃ имеем v₂{2}/v₃{2} ∝

синглетной квадрупольной гигантской вибрацион-

∝ ϵ₂{2}/ϵ₃{2}. Таким образом, можно ожидать,

ной моды на отношение ϵ₂{2}/ϵ₃{2}. Анализ [31]

что грушевидная деформация ядра²⁰⁸Pb должна

был мотивирован тем фактом, установленным в

несколько увеличивать ϵ₃{2} (без значительной мо-

[32], что МК-генерация положений нуклонов для

дификации ϵ₂{2}) и, следовательно, должна умень-

WS-распределения приводит к значительному за-

шать v₂{2}/v₃{2}. На возможность грушевидной

вышению среднеквадратичного квадрупольного мо-

формы ядра²⁰⁸Pb указывают результаты работы

мента ядра²⁰⁸Pb по сравнению с его значением,

[25], в которой в рамках расширения метода Харт-

полученным с помощью экспериментальных пара-

ри- Фока - Боголюбова для генерирующих коорди-

метров изосинглетного гигантского квадрупольного

нат авторы получили октупольный параметр дефор-

резонанса (ISGQR). Квантовый расчет с помощью

мации β₃ ∼ 0.0375 для основного состояния. Одна-

энергетически взвешенного правила сумм (EWSR)

ко в этой же работе значение β₃ = 0 было найдено

для квадрупольной силовой функции (см., напри-

в рамках обычного метода Хартри - Фока - Боголю-

мер, обзор [33]) дает среднеквадратичный квадру-

бова. Совсем недавно в работе [26] значение β₃ = 0

польный момент, который меньше, чем рассчитан-

для основного состояния ядра²⁰⁸Pb также было

ный с ядерной плотностью WS, на множитель по-

получено в рамках ковариантной теории функци-

рядка 2.2 [31] (после исправления ошибки, допущен-

онала плотности. Результаты [20] показывают, что

ной в [32]). Это означает, что вытянутые и сплюс-

при разумных значениях β₃ сценарий с октуполь-

нутые эллиптические флуктуации ядра²⁰⁸Pb зна-

ной деформацией²⁰⁸Pb не приводит к значительно-

чительно слабее, чем предсказывает МК-выборка

му улучшению описания отношения v₂{2}/v₃{2} в

положений нуклонов для WS-распределения. По

ультрацентральных столкновениях Pb+Pb.

этой причине можно ожидать, что истинная ядер-

В работах [19, 20, 23, 24] начальные условия бы-

ная многочастичная плотность должна давать мень-

ли сгенерированы с использованием МК-генерации

шую эллиптичность ϵ₂, чем МК-моделирование со

положений нуклонов для ядерного распределения

стандартной ядерной плотностью WS. Для количе-

Вудса - Саксона (WS). Фактически, в настоящее

ственного изучения этого эффекта в [31] мы выпол-

время этот метод является стандартным подходом

нили в МК-модели Глаубера расчеты коэффициен-

для МК-расчетов начальных условий при столк-

тов анизотропии ϵ2,3 для центральных столкнове-

новениях тяжелых ионов. Одним из очевидных

ний Pb+Pb, используя модифицированный МК-ме-

недостатков МК-генерации позиций нуклонов для

тод генерации положений нуклонов, который га-

WS-распределения является то, что этот подход

рантирует, что усредненные по всем столкновениям

полностью игнорирует коллективные динамические

квадрупольные моменты сталкивающихся ядер сов-

эффекты для флуктуаций позиций нуклонов на

падают со среднеквадратичным квадрупольным мо-

больших расстояниях (которые особенно важны для

ментом ядра²⁰⁸Pb, полученным с использованием

расчетов коэффициентов азимутальной анизотро-

EWSR. Результаты работы [31] показывают, что мо-

пии ϵ_n). Действительно, хорошо известно, что флук-

дифицированная МК-генерация с фильтрацией по-

туации ядерной плотности на больших расстояни-

ложений нуклонов по значению квадрупольного мо-

790

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Влияние коллективных ядерных колебаний. . .

мента приводит к заметному уменьшению эллип-

тому что она должна приводить к увеличению ϵ₃

тичности ϵ₂. Было обнаружено, что фильтрация по

(аналогично случаю с деформацией грушевидной

квадрупольному моменту практически не изменя-

формы основного состояния [20]) и, следовательно,

ет предсказания для триангулярности ϵ₃. Мы полу-

к меньшему значению отношения ϵ₂{2}/ϵ₃{2}. От-

чили, что МК-модель Глаубера с фильтрацией по

метим, что в отличие от анализа [31], в настоящей

квадрупольному моменту положений нуклонов дает

работе мы выполняем расчеты для всего диапазона

ϵ₂{2}/ϵ₃{2} ≈ 0.8 для энергий 2.76 ТэВ и 5.02 ТэВ

центральности. Как и в [31], мы используем МК-мо-

центральных столкновений Pb+Pb. Затем, исполь-

дель Глаубера, разработанную в [38,39], которая поз-

зуя коэффициенты гидродинамического линейного

воляет учитывать наличие мезон-барионной компо-

отклика k2,3 из работ [19, 20, 34,35]), мы получили

ненты в волновой функции нуклона на световом ко-

v₂{2}/v₃{2} ≈ 0.96-1.12, что разумно согласуется с

нусе.

данными ALICE [18].

План статьи следующий. В разд. 2 обсуждает-

Одним из недостатков анализа [31] является то,

ся теоретическая схема. В разд. 3 мы представляем

что центральные столкновения Pb+Pb рассматри-

численные результаты. Выводы приведены в разд. 4.

вались как столкновения при нулевом прицельном

В Приложении мы обсуждаем расчеты среднеквад-

параметре, т. е. вычисления работы [31] соответст-

ратичных квадрупольного и октупольного моментов

вуют b-центральности, в работе

[36] определяе-

ядра²⁰⁸Pb с использованием модели EWSR.

мой в терминах прицельного параметра b (c

= πb²/σ^AAin [37]). Однако экспериментально цен-

тральность столкновения обычно определяется че-

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СХЕМА

рез множественность заряженных частиц N_ch в

определенной кинематической области. Эта n-цент-

В настоящем анализе для получения началь-

ральность определяется как [36, 37]

ной плотности энтропии мы используем МК-подход

Глаубера, разработанный в [38, 39]. Эта модель поз-

∑

воляет выполнять расчеты производства энтропии

c(N_ch) =

P (N) ,

(4)

стандартным способом, когда каждый нуклон рас-

N =N_ch

сматривается как одночастичное состояние, а так-

же с учетом наличия мезонного облака нуклона,

где P (N) есть вероятность наблюдения множествен-

когда волновая функция на световом конусе физи-

ности N. Из-за флуктуаций множественности (при

ческого нуклона включает голый нуклон и мезон-

заданном прицельном параметре) существует неко-

барионные фоковские состояния. Результаты наших

торое несоответствие между b- и c-центральностями

предыдущих анализов [39, 40] показывают, что для

[36,37]. По этой причине можно обоснованно беспо-

обеих версий предсказания этой модели для зависи-

коиться о влиянии этого несоответствия на резуль-

таты работы [31], где эффект размазывания n-цент-

мости от центральности плотности заряженной мно-

жественности в центральной области быстрот очень

ральности при заданной b-центральности был про-

хорошо согласуются с экспериментальными данны-

игнорирован. Поэтому крайне желательно расши-

ми для столкновений Au+Au при энергии 0.2 ТэВ на

рить вычисления [31] на случай n-центральности.

RHIC и при энергиях 2.76 ТэВ, 5.02 ТэВ столкнове-

Это наша главная цель в настоящей статье. Кроме

ний Pb+Pb и при энергии 5.44 ТэВ столкновений

того, мы расширим анализ [31] на случай октуполь-

Xe+Xe на LHC.

ных флуктуаций. Исследование роли фильтрации

положений нуклонов по октупольному моменту в

МК-моделировании столкновений Pb+Pb представ-

2.1. Обзор МК-схемы Глаубера

ляет интерес, поскольку коллективные флуктуации

грушевидной формы потенциально могут повлиять

В этом разделе мы кратко обрисуем алгоритм,

на триангулярность ϵ₃ файербола. Из имеющихся

используемый в нашей МК-модели Глаубера для

экспериментальных данных можно сделать вывод,

версии без мезон-барионной компоненты (в этом

что для флуктуаций октупольной формы средне-

случае наша схема аналогична МК-генератору Глау-

квадратичный октупольный момент ядра²⁰⁸Pb мо-

бера GLISSANDO [11]). Генерация энтропии проис-

жет быть несколько больше, чем тот, который по-

ходит через поврежденные нуклоны (WN) и через

лучается из МК-расчетов для модели WS (см. При-

жесткие бинарные столкновения (BC). Мы пред-

ложение). Последняя возможность представляется

полагаем, что для каждой пары сталкивающихся

очень интересной в контексте загадки v₂-to-v₃, по-

нуклонов поперечное сечение жесткого бинарного

791

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

столкновения подавляется множителем α [41]. Пол-

dN_ch/dη. Однако версия с компонентой MB требу-

ная плотность энтропии в поперечной плоскости за-

ет несколько меньшего значения параметра α, что-

писывается как (мы рассматриваем центральную

бы соответствовать измеренной dN_ch/dη в централь-

область быстрот)

ной области быстрот. В настоящем анализе мы ис-

пользуем значения α = 0.14(0.09) для версий без(с)

∑

мезон-барионной компонентой нуклона. Эти значе-

ρ_s(ρ) =

S_wn(ρ - ρ_i) + S_bc(ρ - ρ^′i),

(5)

ния позволяют очень хорошо воспроизвести данные

i=1

о зависимости от центральности dN_ch/dη при η = 0

где члены S_wn соответствуют источникам WN, а

для столкновений Pb+Pb при энергиях 2.76 ТэВ и

члены S_bc источникам BC, N_wn и N_bc это соответст-

5.02 ТэВ. Более подробную информацию о нашей

венно числа WN и BC. Мы записываем S_wn и S_bc

МК-схеме Глаубера можно найти в работах [39, 40].

как

1-α

S_wn(ρ) =

s(ρ), S_bc(ρ) = s(ρ) ,

(6)

2.2. Генерация позиций нуклонов

МК-модель Глаубера дает алгоритм расчета рас-

где s(ρ) есть распределение для источника энтро-

пределения энтропии при каждом AA-столкновении

пии. Мы используем для s(ρ) гауссовскую форму

для заданных положений нуклонов в сталкиваю-

(

)

s(ρ) = s₀ exp

-ρ²/σ²

/πσ² ,

(7)

щихся ядрах. Она должна быть дополнена пред-

писанием для МК-генерации положений нуклонов.

где s₀ дает полную энтропию источника, а σ — ши-

Обычно при последовательном моделировании

рину источника. Мы предполагаем, что центр каж-

столкновений тяжелых ионов позиции нуклонов ге-

дого источника энтропии WN совпадает с положе-

нерируются с использованием некоррелированного

нием WN, а для каждого BC центр источника эн-

распределения WS (или распределения WS с огра-

тропии расположен посередине между сталкиваю-

ничением на минимальное расстояние между двумя

щимися нуклонами.

нуклонами

[11, 44] для моделирования жесткого

Для каждого источника энтропии мы рассматри-

NN-кора). Однако эта процедура полностью игнори-

ваем s₀ как случайную величину. Мы предполагаем,

рует коллективный характер дальнодействующих

что расширение КГП является изэнтропийным. В

флуктуаций ядерной плотности и может привести

этом приближении мы можем рассматривать каж-

к неправильному описанию 3D-флуктуаций много-

дый источник энтропии как источник заряженной

частичной плотности сталкивающихся ядер. Это

множественности n = as₀ в единичном интервале

может привести к неправильным предсказаниям

псевдобыстроты |η| < 0.5 с a ≈ 7.67 [42]. Мы описы-

для флуктуаций начального распределения энтро-

ваем флуктуации n гамма-распределением

пии в AA-столкновениях. Как уже упоминалось во

(

)κ-1

Введении, с точки зрения столкновений тяжелых

κ^κ exp[-nκ/〈n〉]

Γ(n, 〈n〉) =

(8)

ионов наиболее важные коллективные флуктуа-

〈n〉

〈n〉Γ(κ)

ции связаны с квадрупольными и октупольными

с параметрами 〈n〉 и κ, подобранными для согласия с

модами колебаний. Их величина может быть

экспериментальной средней зарядовой множествен-

охарактеризована квадратом L-мультипольного

ностью и ее дисперсией в окне единичной псевдо-

момента (мы обозначаем его как Q2L) для L = 2 и

быстроты |η| < 0.5 для столкновений pp.

3, определенных с помощью сферических гармоник

Как и в анализах [39,40], в версии с мезон-бари-

(см. Приложение). В [31] мы предложили простой

онной компонентой нуклона для общего веса MB-со-

систематический метод вычисления среднеквад-

стояний в физическом нуклоне мы берем 40 %, что

ратичных мультипольных моментов,

〈Q2L〉, для

позволяет описать данные DIS о нарушении правила

произвольного L из экспериментальных силовых

суммы Готфрида [43]. В смысле источников энтро-

функций с использованием EWSR (для полноты

пии расчет начальной плотности энтропии в этой

изложения в Приложении мы описываем это). Для

версии аналогичен расчету для версии без MB-ком-

моды L = 2 этот метод дает среднеквадратичный

поненты. Однако в этом случае источники энтропии

квадрупольный момент ядра²⁰⁸Pb, который мень-

могут рождаться в BB-, MB- и MM-столкновениях.

ше, чем предсказывается МК-моделированием с

Результаты работ [39,40] показывают, что обе версии

ядерной плотностью WS, на коэффициент r₂ ≈ 2.25

дают аналогичные предсказания для плотности за-

(см. Приложение). Можно ожидать, что завышение

ряженной множественности при средних быстротах

предсказаний для флуктуаций ядерной плотности

792

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Влияние коллективных ядерных колебаний. . .

²⁰⁸Pb с L = 2 может привести к завышению пред-

ления может вести к неправильным предсказаниям

сказаний эллиптичности ϵ₂ в МК-моделировании

для 2D-флуктуаций начальной энтропии при столк-

ультрацентральных столкновений Pb+Pb. В работе

новениях Pb+Pb. Разумно ожидать, что для ульт-

[31] мы предложили простой метод решения этой

рацентральных столкновений Pb+Pb изменения в

проблемы, выполняя МК-генерацию положений

октупольных 3D-флуктуациях плотности ядра в ос-

нуклонов с подходящим фильтром Q²², который

новном повлияют на триангулярность ϵ₃.

должен гарантировать истинное значение 〈Q²²〉 для

К сожалению, в экспериментальных данных

окончательного набора положений нуклонов. В ра-

по октупольной силовой функции для ядра²⁰⁸Pb

боте [31] мы выполнили вычисления, используя два

имеются довольно большие неопределенности (см.

разных фильтра Q²² с плавной и резкой фильтра-

Приложение), которые приводят к значительным

циями. В гладкой версии мы использовали фильтр

неопределенностям в значении среднеквадра-

Q²², который генерирует набор позиций нуклонов с

тичного октупольного момента, получаемого с

распределением по Q²², которое равно масштабиро-

использованием EWSR. Расчеты с использовани-

ванному на коэффициент r₂ распределению по Q²²

ем EWSR и доступных данных по октупольной

для ядерной плотности WS. Во втором методе мы

силовой функции ядра

²⁰⁸Pb показывают, что

просто отбирали только конфигурации нуклонов

отношение среднеквадратичного октупольного

с Q22 < Q22max с Q22max подобранным так, чтобы

момента, предсказываемого ядерной плотностью

обеспечить для МК-выборки 〈Q²²〉 равного его пра-

WS²⁰⁸Pb, к истинному, скорее всего, должно

вильному EWSR-значению. Было обнаружено, что

находиться в диапазоне 0.7 < r₃ < 0.84 (см. При-

эти два очень разных фильтра дают практически

ложение). Таким образом, в отличие от ситуации

одинаковые результаты для ϵ2,3{2}.

с квадрупольной модой, возможно, что ядерная

Как и в работе [31], в настоящем анализе мы вы-

плотность WS несколько недооценивает окту-

полняем вычисления, используя плавные и разрыв-

польные 3D-флуктуации для ядра²⁰⁸Pb. Чтобы

ные Q²²-фильтрации положений нуклонов. В пер-

смоделировать влияние возможного усиления окту-

вом случае мы используем в МК-генерации позиций

польных флуктуаций для ядра²⁰⁸Pb на начальное

нуклонов гладкий Q²²-фильтр, который генерирует

распределение энтропии, мы используем, как и в

позиции нуклонов с распределением Q²², заданным

случае квадрупольной моды, два типа фильтров

формулой

при генерации положений нуклонов. В первом ме-

тоде мы используем гладкий фильтр Q²³, который

P (Q²²) = C exp(-(Q²²/a₂)²)P_WS (Q²²) ,

(9)

генерирует позиции нуклонов с распределением по

где P_WS есть распределение Q²² для обычной

Q²³, заданным формулой

нефильтрованной МК-выборки WS позиций нукло-

[

]

P (Q²³) = C

1 - exp(-(Q²³/a₃)²)

P_WS(Q²³).

(10)

нов, C — константа нормировки, а a₂ — параметр,

подобранный так, чтобы иметь 〈Q²²〉 = 〈Q²²〉_WS /r₂.

Во втором методе мы используем резкий фильтр,

С точки зрения численных вычислений, анзац

который отбирает только конфигурации с Q²³

(9) с гауссовским коэффициентом подавления

> Q23min. Значения a₃ и Q22max подбираются так,

exp(-(Q²²/a₂)²) проще, чем метод [31] с масштаби-

чтобы иметь 〈Q²³〉 = 〈Q23〉WS /r3. Оба эти рецеп-

рованием исходного WS-распределения P_WS (Q²²).

та подталкивают 〈Q²³〉 к более высоким значениям.

Во втором способе, как и в [31], мы используем

Как и для моды L = 2, мы обнаружили, что пред-

резкий фильтр с обрезанием Q²² < Q22max с Q22max

сказания для ϵ2,3, полученные для гладких и рез-

подобранным так, чтобы иметь 〈Q²²〉 = 〈Q²²〉_WS /r₂.

ких Q²³-фильтров, практически идентичны. Стоит

Как и в

[31], мы обнаружили, что предсказа-

отметить, что, хотя наши Q22,3-фильтры дают зна-

ния для ϵ2,3, полученные для гладких и резких

чительные изменения в распределениях по Q22,3 для

Q²²-фильтров, практически неразличимы.

сгенерированных наборов положений нуклонов, они

В настоящем анализе в дополнение к влиянию

оказывают практически нулевое влияние на распре-

квадрупольных колебаний, рассмотренных в [31],

деление плотности для одного нуклона (т. е. после

мы также изучаем влияние на коэффициенты ани-

Q22,3-фильтрации мы получаем то же самое распре-

зотропии ϵ2,3 октупольных (L = 3) колебаний яд-

деление плотности WS).

ра²⁰⁸Pb. Аналогично случаю квадрупольных флук-

На рис. 1a показано распределение для квад-

туаций 3D-плотности ядра, неправильное описа-

рата L = 2 мультипольного момента, полученное

ние октупольных 3D-флуктуаций плотности ядра

для МК-генерации положений нуклонов для некор-

в МК-выборке положений нуклонов WS-распреде-

релированной плотности WS ядра²⁰⁸Pb без и с

793

ЖЭТФ, вып. 6

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

q₂

q₃

Рис. 1. a) Распределение квадрата квадрупольного момента в терминах безразмерной переменной q2 = Q²/AR^A для

ядра²⁰⁸Pb, полученное с использованием обычной МК-генерации положений нуклонов для плотности ядра WS (сплош-

ная кривая) и с фильтрацией положений нуклонов (штриховая кривая), которая дает среднеквадратическое значение

квадрупольного момента, уменьшенное на коэффициент r2 ≈ 2.25. б) Распределение квадрата октупольного момента в

терминах безразмерной переменной q3 = Q³/AR^A для ядра²⁰⁸Pb, полученное с использованием обычной МК-генерации

положений нуклонов для плотности ядра WS (сплошная) и с фильтрацией положений нуклонов, которая дает среднеквад-

ратичный октупольный момент, увеличенный на коэффициент 1/r3 для r3 = 0.84 (штриховая кривая) и 0.7 (пунктир)

Q²²-фильтрованием (для гладкого Q²²-фильтра, ко-

дипольному моменту, который в 5-6 раз больше,

торый соответствует r₂ = 2.25). На рис. 1б показа-

чем полученный из параметров изовекторно-

ны аналогичные результаты для моды L = 3. Для

го дипольного резонанса

[32, 45]. Изовекторный

этой моды представлены результаты для двух от-

гигантский дипольный резонанс соответствует

фильтрованных распределений для r₃ = 0.84 и 0.7.

коллективным колебаниям протонов и нейтронов в

На рис. 1 использованы безразмерные переменные

противоположных направлениях [27, 28]. Эта мода

q_L = Q2L/AR2LA, где R_A — радиус ядра в параметри-

может привести к удлиненной форме распреде-

зации ядерной WS-плотности²⁰⁸Pb (A.1).

ления нуклонов (т. е. оно генерирует некоторый

Стоит отметить, что наши численные расчеты

квадрупольный момент), и, в принципе, неадек-

показывают, что Q²²(Q²³)-фильтрация практически

ватное описание этой моды может повлиять на

не влияет на распределение по Q²³(Q²²). Это происхо-

геометрию распределения энтропии при столк-

дит потому, что с очень хорошей точностью исход-

новениях Pb+Pb. Однако мы обнаружили, что

ное двумерное распределение по Q22,3 для MK-вы-

влияние модификации МК-генерации положений

борки позиций нуклонов WS может быть записано

нуклонов для изовекторной дипольной моды (так

в факторизованной форме:

же, как мы делаем это для изосинглетной квадру-

оказывается

польной моды) на результаты для ϵ2,3

P_WS(Q²², Q²³) ≈ P_WS(Q²²)P_WS(Q²³).

(11)

практически пренебрежимо малым. Физически

это связано с очень малым статистическим весом

При этом, как и в тех случаях, когда Q²²- и

(среди квадрупольных флуктуаций) флуктуаций

Q²³-фильтры применяются отдельно, наши числен-

с коллективным смещением всех протонов и всех

ные расчеты показывают, что для одновременно-

го использования Q²²- и Q²³-фильтров предсказа-

нейтронов в противоположных направлениях. По-

этому изменение распределения по изовекторному

ния для ϵ2,3 оказываются практически идентичны-

дипольному моменту при МК-генерации нуклонных

ми для плавного и резкого фильтров.

позиций дает для ϵ2,3 почти нулевой эффект.

Мы также исследовали влияние изменения

распределения по изовекторному дипольному мо-

Стоит отметить, что отбор положений нуклонов

менту. Для изовекторных дипольных флуктуаций

для WS-плотности ядра приводит к некоторому за-

МК-генерация ядерных конфигураций для ядерной

вышению чисто радиальных флуктуаций, соответ-

WS-плотности приводит к среднеквадратичному

ствующих монопольной (L = 0) колебательной мо-

794

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Влияние коллективных ядерных колебаний. . .

де, по сравнению с предсказанием EWSR на осно-

столкновений Pb+Pb очень близки к таковым для

ве экспериментальной монопольной силовой функ-

энергии 5.02 ТэВ, и поэтому мы их не показыва-

ции (см. Приложение). Однако интуитивно можно

ем. Для версий с Q22,3-фильтрацией мы представ-

было бы ожидать, что влияние радиальных колеба-

ляем результаты, полученные с помощью гладких

ний должно быть несущественным для эксцентри-

фильтров (как мы уже говорили, результаты для

ситетов ϵ2,3 (особенно при небольших центрально-

версий с гладкими и резкими Q22,3-фильтрами прак-

стях), и расхождение между моментом L = 0 для

тически неразличимы). Результаты были получе-

WS-выборки положений нуклонов c моментом, по-

ны путем генерации примерно 6 · 10⁶ столкновений

лученным из EWSR, не должны быть важными. На-

Pb+Pb, т. е. мы имеем около 6 · 10⁴ событий в облас-

ши расчеты подтверждают это, мы действительно

ти c ≲ 1 %, которая наиболее интересна в контекс-

обнаружили, что добавление фильтрации для моды

те загадки v₂-to-v₃. Проведены расчеты для схем

L = 0 практически не влияет на азимутальные ко-

Глаубера с мезон-барионной компонентой нуклона и

эффициенты ϵ2,3, поэтому мы не использовали ни-

без нее. Представлены результаты, полученные для

какого фильтра для моды L = 0.

источников энтропии с параметром ширины Гаус-

Наконец, мы хотели бы подчеркнуть, что тот

са σ = 0.4 фм. В области малых центральностей

факт, что все наши предсказания для ϵ2,3{2} для

(не более 5-10 %), которая интересна в контексте

гладких и резких фильтров практически одинако-

загадки v₂-to-v₃, предсказания для ϵ2,3{2} облада-

вые, весьма обнадеживает с точки зрения нашей

ют очень низкой чувствительностью к значению σ.

стратегии по имитации коллективных эффектов пу-

Мы проверили это, выполнив вычисления для зна-

тем простых Q22,3-фильтраций для позиций нукло-

чения σ = 0.7 фм. В этом случае ϵ2,3{2} становят-

нов. Действительно, наши плавные и резкие филь-

ся несколько меньше для больших центральностей

тры приводят к радикально различным распределе-

(примерно на 5-7 % при c ∼ 50 %), но при централь-

ниям по Q²² и Q²³. Ясно, что многочастичные плот-

ностях не более 5-10 % результаты очень близки к

ности для этих фильтров также радикально раз-

таковым для σ = 0.4 фм.

личаются. Тем не менее мы получаем практиче-

На рис. 2 представлены результаты для зависи-

ски идентичные ϵ2,3{2}, если обе версии приводят

мости ϵ2,3{2} от центральности для обычной МК-

к одинаковым значениям 〈Q²²〉 и 〈Q²³〉, а различие

выборки WS-позиций нуклонов (т. е. без примене-

в других характеристиках (скажем, разница в зна-

ния каких-либо Q22,3-фильтров). На рис. 2 видно,

чениях 〈(Q22,3)²〉) оказывает незначительное влия-

что результаты для ϵ2,3{2} в версиях без и с мезон-

ние на ϵ2,3{2}¹⁾. Эта особенность предсказаний мо-

барионной компонентой очень похожи. Для кри-

дели Глаубера для ϵ2,3{2} позволяет ожидать, что

вых, показанных на рис. 2, мы имеем в среднем

наши результаты для ϵ2,3{2} должны быть близ-

ϵ₂{2}/ϵ₃{2} ≈ 0.94-0.95 при c ≲ 1 %. На рис. 3 пред-

ки к тем, к которым приводит истинная многочас-

ставлены ϵ2,3{2}, полученные с помощью МК-ге-

тичная плотность при условии, что мы используем

нерации позиций нуклонов с применением плавно-

Q22,3-фильтры, обеспечивающие правильные значе-

го Q²²-фильтра, который дает для сталкивающихся

ния 〈Q²²〉 и 〈Q²³〉.

ядер 〈Q²²〉 = 〈Q²²〉_WS /r₂ с r2 = 2.25, т. е. средне-

квадратичный квадрупольный момент, соответству-

ющий предсказываемому EWSR. Из сравнения ре-

3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ϵ2{2}

зультатов, показанных на рис. 2 и 3, видно, что на-

И ϵ3{2}

-фильтра заметно уменьшает ϵ₂{2}, но по-

личие Q²²

В этом разделе представлены наши численные

чти не влияет ϵ₃{2}. Для кривых, показанных на

результаты для RMS эллиптичности ϵ₂{2} и три-

рис. 3, мы имеем в среднем ϵ₂{2}/ϵ₃{2} ≈ 0.82-0.84

ангулярности ϵ₃{2} для энергии 5.02 ТэВ столкно-

при c ≲ 1 %. Обратим внимание, что значение отно-

вений Pb+Pb²⁾. Результаты для энергии 2.76 ТэВ

шения ϵ₂{2}/ϵ₃{2} при c ≲ 0.1 % для кривых, пока-

занных на рис. 3, всего лишь примерно на 2 % боль-

¹⁾ Причина этого свойства ϵ2,3{2} неясна. Это может быть

ше, чем значение, полученное в работе [31] в ана-

связано с тем, что в модели Глаубера поврежденных нукло-

логичных расчетах для нулевого прицельного пара-

нов дисперсия ϵn (как и 〈Q22,3〉) зависит только от двухнук-

лонных корреляторов для сталкивающихся ядер. В то время

метра.

как 〈(Q22,3)²〉 зависят также и от четырехнуклонных корре-

На рис. 4 показаны ϵ2,3{2}, полученные с помо-

ляторов, которые вообще не важны для дисперсии ϵn.

щью МК-генерации положений нуклонов с одновре-

²⁾ Отметим, что наши расчеты показывают, что Q²²- и

Q²³-фильтрации дают почти нулевой эффект для высших гар-

менным применением гладких фильтров по Q²² и Q²³,

моник ϵ₄ и ϵ₅, и поэтому мы их не показываем.

которые дают для сталкивающихся ядер 〈Q22,3〉 =

795

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

{2}

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

100

0.1

100

Центральность, %

Рис. 2. Азимутальные RMS-коэффициенты ϵ2{2} (сплошная) и ϵ3{2} (пунктир) в зависимости от центральности для

столкновений Pb+Pb с энергией 5.02 ТэВ, полученные в рамках МК-модели Глаубера без (а) и с (б) мезон-барионной

компонентой нуклона с использованием обычной МК-генерации положений нуклонов WS

{2}

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

100

0.1

100

Центральность, %

Рис. 3. Азимутальные RMS-коэффициенты ϵ2{2} (сплошная) и ϵ3{2} (пунктир) в зависимости от центральности для

столкновений Pb+Pb с энергией 5.02 ТэВ, полученные в рамках модели МК Глаубера без (а) и с (б) мезон-барионной

компонентой нуклона с использованием МК-генерации положений нуклонов WS с плавным Q²²-фильтром, который при-

водит к 〈Q²²〉 = 〈Q²²〉W S /r2 с r2 = 2.25

= 〈Q22,3〉_WS /r2,3 с r2 = 2.25 и r3 = 0.84. Добав-

новится заметным только при c ≲ 10 %. На рис. 3, 4,

ление Q²³-фильтрации для r3 = 0.84 увеличивает

5 можно видеть, что в наиболее интересной (в кон-

ϵ₃{2} примерно на 2 % при c

≲ 1%, так что в

тексте загадки v₂-to-v₃) области малых централь-

этой области центральностей мы имеем в среднем

ностей не более 1 %, модификация МК-отбора нук-

ϵ₂{2}/ϵ₃{2} ≈ 0.8-0.82. На рис. 5 представлены ре-

лонных позиций с Q²²- и Q²³-фильтрами увеличивает

зультаты, аналогичные показанным на рис. 4, но для

разницу ϵ₃{2} - ϵ₂{2} на коэффициент, равный при-

r₃ = 0.7. В этой версии при c ≲ 1 % мы имеем в сред-

мерно трем. Обратим внимание, что наши значения

нем ϵ₂{2}/ϵ₃{2} ≈ 0.78 - 0.81. Из сравнения резуль-

для отношения ϵ₂{2}/ϵ₃{2} при c ≲ 1 % для версий

татов, показанных на рис. 3, с теми, что показаны на

с Q22,3-фильтрацией меньше на 15-20 %, чем те, ко-

рис. 4 и 5, можно видеть, что Q²³-фильтрация немно-

торые были получены в модели MC-KLN в работе

го увеличивает ϵ₃{2}, без заметного эффекта для

[19], и примерно на 10-15 %, чем полученные в схеме

значения ϵ₂{2}. Результаты, показанные на рис. 3, 4,

TRENTO в работе [20] (для октупольного парамет-

5, демонстрируют, что влияние Q22,3-фильтров ста-

ра деформации β₃ ∼ 0-0.0375). По сравнению с рас-

796

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Влияние коллективных ядерных колебаний. . .

{2}

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

100

0.1

100

Центральность, %

Рис. 4. Азимутальные RMS-коэффициенты ϵ2{2} (сплошная) и ϵ3{2} (пунктир) в зависимости от центральности для

столкновений Pb+Pb с энергией 5.02 ТэВ, полученные в рамках МК-модели Глаубера без (а) и с (б) мезон-барионной

компонентой нуклона с использованием МК-генерации положений нуклонов WS с плавным Q²²-фильтром, который при-

водит к 〈Q²²〉 = 〈Q²²〉W S /r2 с r2 = 2.25 и 〈Q³〉 = 〈Q³〉W S /r3 с r3 = 0.84

{2}

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

100

0.1

100

Центральность, %

Рис. 5. То же самое что и на рис. 4, но для r3 = 0.7

четами работы [46] в рамках модели MAGMA, наши

< k₂ϵ₂{2}/k₃ϵ₃{2} < 1.12(1.1) для r3 = 0.84(0.7)

значения отношения ϵ₂{2}/ϵ₃{2} меньше на коэф-

и 1.2 < k2/k3 < 1.4. Это разумно согласуется с

фициент примерно 1.65.

результатом измерений ALICE [18] для энергий

С точки зрения загадки v₂-to-v₃, интересно

2.76 ТэВ и 5.02 ТэВ соударений Pb+Pb, которые

знать, каково отношение k₂ϵ₂{2}/k₃ϵ₃{2}. Гид-

дают v₂{2}/v₃{2} ≈ 1.08 ± 0.05 при c → 0.

родинамическое моделирование столкновений

Приведенные выше результаты были получены

Pb+Pb при энергиях LHC дает k₂/k₃ ≈ 1.2 - 1.4

для некоррелированной WS-плотности ядра. Мы

[19, 20, 34, 35] для малых центральностей (c ≲ 2 %).

также выполнили расчеты, заменив ее ядерной

Наши результаты, показанные на рис. 4 и 5, с

WS-плотностью с жестким NN-отталкиванием для

МК-генерацией позиций нуклонов с одновремен-

радиуса отталкивания r_c = 0.9 фм [44] и r_c = 0.6 фм

ным Q²²-фильтрованием (с r₂ = 2.25) и Q²³-фильт-

[47]. Мы обнаружили, что твердый NN-кор немно-

рованием для центральности примерно 0.1-0.2 %

го изменяет значения ϵ2,3 для МК-моделирования

дают ϵ₂{2}/ϵ₃{2} ≈ 0.8(0.78) при r3 = 0.84(0.7).

без Q22,3-фильтрации. Однако для версии с одно-

Эти значения ϵ₂{2}/ϵ₃{2} приводят к 0.96(0.94) <

временным Q22,3-фильтрованием предсказания для

797

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

ϵ2,3{2} очень близки к таковым для некоррелирован-

ми, которые получены с использованием EWSR из

ной ядерной плотности WS. Этот факт показывает,

данных о квадрупольных и октупольных силовых

что предсказания для ϵ2,3{2} зависят в основном от

функциях ядра²⁰⁸Pb. Мы обнаружили, что EWSR

крупномасштабных (L ∼ R_A) свойств многочастич-

и экспериментальные данные ISGQR для ядра ²⁰⁸Pb

ного распределения ядра, а его свойства на малых

приводят к среднеквадратичному квадрупольному

расстояниях (L ∼ r_c ≪ R_A) имеют второстепенное

моменту, который меньше, чем для некоррелирован-

значение. Это можно рассматривать как еще один

ной ядерной WS-плотности, на множитель r₂ ≈ 2.25.

аргумент в пользу нашей основной идеи моделиро-

Для октупольной моды имеющиеся эксперименталь-

вания коллективных эффектов в ядре²⁰⁸Pb путем

ные данные о силовой функции указывают на то,

применения подходящих Q22,3-фильтрований поло-

что отношение между среднеквадратичным окту-

жений нуклонов в МК-моделировании, которые га-

польным моментом для некоррелированной ядерной

рантируют, что выбранный набор положений нукло-

плотности WS и значением, полученным с помощью

нов воспроизводит предсказания EWSR для 〈Q22,3〉.

EWSR, должно быть примерно 0.7-0.84.

В связи с моделированием эффекта жесткого

Выполнены расчеты по МК-модели Глаубера с

NN-кора при МК-моделировании AA-столкновений

применением плавного и резкого Q22,3-фильтров для

стоит отметить, что неочевидно, что модели с ис-

генерации выборки положений нуклонов. Мы обна-

ключенным объемом физически лучше обоснова-

ружили, что результаты для ϵ2,3{2}, полученные с

ны, чем моделирование с некоррелированной ядер-

помощью гладкой и резкой Q22,3-фильтрации, прак-

ной плотностью WS. Дело в том, что вполне воз-

тически идентичны. Наши численные результаты

можно, что на самом деле

«исключенный объ-

показывают, что влияние Q22,3-фильтрации позиций

ем» не пуст. Действительно, короткодействующее

нуклонов на значения ϵ2,3{2} становится заметным

NN-взаимодействие может быть успешно описа-

при c ≲ 10 %. Для центральностей c ∼ 0.1-1 % на-

но в дибарионной модели (см. обзоры [48, 49]), в

ша МК-модель Глаубера с модифицированной вы-

которой область вытеснения не пуста, а занята

боркой положений нуклонов дает ϵ₂{2}/ϵ₃{2} ∼ 0.8,

6q-кластером. В этом случае, аналогично hD-рас-

что на коэффициент примерно 1.2 меньше, чем для

сеянию [50], 6q-кластеры должны участвовать в об-

обычной МК-выборки позиций нуклонов для некор-

мене t-канальными глюонами между сталкивающи-

релированной ядерной плотности WS. Такое зна-

мися ядрами и вносить вклад в производство энтро-

чение соотношения ϵ₂{2}/ϵ₃{2} позволяет достичь

пии при AA-столкновениях. Очевидно, что в этом

разумного согласия с отношением v₂{2}/v₃{2} ≈

сценарии использование некоррелированной ядер-

≈ 1.08 ± 0.05 при c → 0, полученным для энергий

ной WS-плотности более адекватно для моделиро-

2.76 ТэВ и 5.02 ТэВ столкновений Pb+Pb колла-

вания начальных условий при столкновениях тяже-

борацией ALICE [18] для отношения k₂/k₃ ≈ 1.35,

лых ионов.

которое принадлежит интервалу 1.2

< k₂/k₃

< 1.4, получаемому в гидродинамических расчетах

[19, 20, 34, 35].

4. ВЫВОДЫ

Хотя наш анализ демонстрирует важность

Настоящее исследование является продолжени-

коллективных эффектов для начальной геометрии

ем нашего предыдущего [31] анализа влияния кол-

файербола КГП для сферических ядер, можно

лективных квантовых эффектов в многочастичном

ожидать, что коллективные эффекты могут быть

распределении ядра на коэффициенты анизотропии

важны и для столкновения несферических ядер (на-

ϵ2,3 в Pb+Pb-столкновениях при энергиях LHC, мо-

пример, для соударений¹⁹⁷Au+¹⁹⁷Au и²³⁸U+²³⁸U).

тивированного загадкой v₂-to-v₃ в ультрацентраль-

Коллективные эффекты могут быть важны и для

ных Pb+Pb-столкновениях. В отличие от наших

исследования формы ядер [51] и для интерпрета-

предыдущих расчетов [31], где изучались только

ции результатов отбора формы событий [52-54] в

столкновения при нулевом прицельном параметре,

AA-столкновениях при энергиях RHIC и LHC и в

мы выполняем вычисления для n-центральности и

области энергии NICA, где эффекты критической

во всем диапазоне центральности. Моделируются

точки могут повлиять на расширение среды, и учет

коллективные эффекты в сталкивающихся ядрах

подавления квадрупольных флуктуаций для ядра

Pb путем модификации МК-генерации положений

Au особенно важен.

нуклонов с помощью подходящих фильтров, кото-

рые гарантируют, что среднеквадратичные квадру-

Благодарности. Я благодарен С. П. Камер-

польные и октупольные моменты совпадают с те-

джиеву за полезные обсуждения физики гигант-

798

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Влияние коллективных ядерных колебаний. . .

ских резонансов и нашего метода расчета квадратов

ядра²⁰⁸Pb мы используем EWSR (см. обзор [33])

L-мультипольных моментов.

для силовой функции S(ω) оператора F_L. Она опре-

Финансирование. Работа частично поддержа-

деляется как

на Российским фондом фундаментальных исследо-

∑

S(ω) =

|〈n|F_L|0〉|²δ(ω - ω_n) ,

(A.5)

ваний (грант №18-02-40069mega).

— энергии состояний ядра.

где ω_n = E_n - E₀ и E_n

ПРИЛОЖЕНИЕ

В терминах моментов силовой функции, определяе-

мых как

Вычисление среднеквадратичных

∞

∫

мультипольных моментов ядра²⁰⁸Pb

m_k = dω ω^kS(ω),

(A.6)

Для полноты изложения мы кратко обсуждаем

метод работы [31] вычисления среднеквадратичных

можно написать 〈0|F+LF_L|0〉 = m₀. Удобно перепи-

мультипольных моментов ядра²⁰⁸Pb с помощью

сать это в виде

EWSR [27, 33] и приводим отношения между сред-

неквадратичными мультипольными моментами, по-

〈0|F+LF_L|0〉 = m₁/E_c ,

(A.7)

лучаемыми с использованием обычного МК-отбора

позиций нуклонов WS и рассчитанными с использо-

где

ванием EWSR.

E_c = m₁/m₀

(A.8)

Предполагается, что в основном состоянии яд-

— так называемая центральная энергия E_c, которую

ро²⁰⁸Pb сферичное. Запишем ядерную плотность в

можно рассматривать как типичную энергию воз-

WS-форме:

буждения для оператора F_L, действующего на ос-

ρ₀

новное состояние. Представление (A.7) более удоб-

ρ_A(r) =

(A.1)

1 + exp[(r - R_A)/d]

но, чем представление через m₀, потому что экспе-

риментальные ошибки в нормировке силовой функ-

с R_A = 6.62 фм и d = 0.546 фм [55, 56]. Опреде-

ции не важны для отношения m₁/m₀, а момент m₁

лим квадрупольный и октупольный моменты через

может быть точно рассчитан с помощью EWSR, ко-

шаровые функции, Y_Lm, с L = 2 и 3. Необходимый

торое для L ≥ 2 [27,30,33] дает

нам изосинглетный L-мультипольный оператор име-

ет вид (см., например, [27,28,30])

AL(2L + 1)²〈r2L-2〉

m₁ =

(A.9)

8πm_N

∑

FL = rⁱYLm(ni) ,

(A.2)

где m_N — масса нуклона. Таким образом, мы полу-

i=1

чаем

где n_i

= r_i/|r_i|. Среднеквадратичный L-мульти-

AL(2L + 1)²〈r2L-2〉

〈Q2L〉_EWSR =

(A.10)

польный момент 〈Q2L〉 ядра в основном состоянии

8πm_NE_c

может быть определен квантово-механически как

Сравнивая (A.10) с (A.4), мы видим, что отношение

〈Q2L〉 = 〈0|F+LF_L|0〉 .

(A.3)

между среднеквадратичными мультипольными мо-

ментами для обычной МК-выборки положений нук-

Классический расчет 〈Q2L〉 для некоррелирован-

лонов и для квантового расчета с помощью EWSR

ной ядерной плотности WS дает³⁾

есть

A(2L + 1)〈r2L〉

〈Q2L〉_WS

2m_NE_c〈r2L〉

〈Q2L〉_WS = 〈F+LF_L〉_WS =

(A.4)

rL =

(A.11)

4π

〈Q2L〉_EWSR

L(2L + 1)〈r2L-2〉

Конечно, эта формула становится несправедлива

Центральная энергия вычисляется с помощью

при учете корреляций малого радиуса от жесткого

параметризации Брейта - Вигнера силовой функ-

NN-кора. Но их эффект не очень велик (см. ниже).

ции. Поскольку силовая функция пропорциональна

Для выполнения квантового вычисления 〈Q2L〉 для

мнимой части поляризуемости (восприимчивости) α

(которая, как обычно, должна удовлетворять соот-

³⁾ В этом Приложении мы игнорируем очень малый эф-

фект от нуклонных корреляций центра масс. Однако в наших

ношению α(-ω^∗) = α^∗(ω) [57]) для оператора F_L,

численных расчетах они учитывались точно.

то для каждого резонанса должна использоваться

799

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

параметризация Брейта - Вигнера с двумя полюса-

r₃ ≈ 0.7. Таким образом, мы видим, что эксперимен-

ми (с одинаковыми вычетами) в точках ±ω_R -iΓ_R/2

тальные данные по октупольной силовой функции

(см. формулу (20) в [32]). Для N-резонансов это дает

ядра²⁰⁸Pb свидетельствуют в пользу r₃ ≲ 1. Но из-

за неопределенности в экспериментальных данных

[

]-1

∑

2f_i

для октупольной силовой функции имеется неопре-

E_c =

arctg2ω_i/Γ_i

(A.12)

деленность в значениях r₃ около 15-20 %. В данном

πω_i

i=1

анализе мы выполняем расчеты для двух значений:

где f_i — относительная доля вклада резонанса i в

r₃ = 0.84 и r₃ = 0.7.

EWSR.

Приведенные выше значения множителей r₂ и

Для изоскалярного оператора F₂ для ядра

r3 соответствуют МК-выборке положений нукло-

²⁰⁸Pb EWSR практически исчерпывается изоска-

нов для некоррелированной ядерной плотности WS.

лярным гигантским квадрупольным резонансом

Расчеты с использованием распределения WS с

с ω

≈ 10.89 МэВ и Γ ≈ 3 МэВ [58]. Формула

ограничением на минимальное расстояние между

(A.12) с этими параметрами дает E_c ≈ 11.9 МэВ,

нуклонами для имитации жесткого NN-кора дают

тогда из (A.11) можно получить r₂ ≈ 2.25. Таким

несколько иные значения r2,3. Однако влияние жест-

образом, мы видим, что вероятностная трактовка

кого NN-кора на r2,3 относительно невелико: мы по-

ядра²⁰⁸Pb с WS-плотностью ядра переоценивает

лучили уменьшение r₂ на коэффициент 0.78(0.926)

квадрупольные 3D-флуктуации. Понятно, что это

и уменьшение r₃ на коэффициент 0.81(0.928) для ра-

может приводить также к неверным предсказаниям

диуса кора r_c = 0.9(0.6) фм.

для 2D-флуктуаций начального файербола КГП в

В настоящем анализе мы модифицируем МК-ге-

AA-столкновениях. Как и в [31], наша стратегия

нерацию положений нуклонов только с помощью

решения этой проблемы заключается в изменении

фильтров для изоскалярных моментов L = 2 и 3, ко-

МК-генерации положений нуклонов путем приме-

торые соответствуют колебаниям формы ядра. Мы

нения подходящего фильтра, который генерирует

не используем фильтрование для моды L = 0, ко-

ядерные конфигурации со среднеквадратичным

торая соответствует чисто радиальным колебани-

квадрупольным моментом, соответствующим

ям. Радиальные колебания могут характеризовать-

EWSR.

ся квадратом момента для монопольного изоскаляр-

Для вычисления r₃ нам необходима силовая

ного оператора

функция для F₃. Для ядра²⁰⁸Pb функция S(ω) для

∑(

)

оператора F₃ распределена в широкой области ω.

F₀ =

r2i - 〈r²〉

Имеются несколько очень узких пиков в области

i=1

низких энергий, ω ≲ 7 МэВ [59-61], в которой низ-

EWSR для этого оператора дает m₁ = 2〈r²〉/m_N

колежащее 3^--состояние с ω ≈ 2.615 МэВ поглоща-

[66]. Используя эту формулу для некоррелирован-

ет около 20-25 % от EWSR [59-61] и еще несколь-

ной ядерной плотности WS, мы получаем для ана-

ко состояний в области 4.7 ≲ ω ≲ 7 МэВ (так на-

лога (A.11) в случае моды L = 0

зываемая область низкоэнергетического октуполь-

]

ного резонанса (LEOR)), которая поглощает около

m_NE_c

^[ 〈r⁴〉

8-13 % от EWSR [59,60]. В области высоких энергий

r₀ =

- 〈r²〉

(A.13)

〈r²〉

имеется широкий резонанс при ω ∼ 16 - 20 МэВ

с Γ ∼ 5-8 МэВ [58, 61-65]. Измеренная доля вы-

Для изоскалярной моды L = 0 EWSR практичес-

сокоэнергичного октупольного резонанса (HEOR) в

ки исчерпывается изоскалярным гигантским моно-

EWSR варьируется примерно от 20-50 % [63, 64] до

польным резонансом с ω ≈ 13.6-13.9 МэВ и Γ ≈

60-90 % [58, 61, 62, 65]. Используя данные работы

≈ 3 МэВ [58,67]. Эти параметры дают E_c ≈ 15 МэВ,

[60], где вклад в EWSR от 3^--состояния с энерги-

а расчет с использованием (A.13) для распределе-

ей 2.615 МэВ составляет 21 % и от LEOR-области

ния WS (A.1) дает r₀ ∼ 1.6. Это означает, что для

8.3 %, вместе с параметрами HEOR из работы [58]

МК-выборки ядерных конфигураций с некоррели-

(ω ≈ 19.6 ± 0.5 МэВ, Γ ≈ 7.4 ± 0.6 МэВ с долей

рованной ядерной плотностью WS величина чис-

в EWSR 70 ± 14 %) мы получаем r₃ ≈ 0.84. Одна-

то радиальных флуктуаций несколько завышена по

ко, если мы используем 25 % для вклада в EWSR

сравнению с величиной, получаемой из эксперимен-

от состояния с энергией 2.615 МэВ, как было по-

тальной монопольной силовой функции. Однако мы

лучено в [61], и параметры HEOR, полученные в

обнаружили, что добавление фильтрации для мо-

[63] (ω = 16 МэВ, Γ = 6 МэВ), тогда мы получаем

ды L = 0, которая уменьшает среднеквадратичный

800

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Влияние коллективных ядерных колебаний. . .

момент L = 0 до его значения предсказываемого

18.

S. Acharya et al.

[ALICE Collaboration], JHEP

EWSR, практически не влияет на азимутальные ко-

1807, 103 (2018) [arXiv:1804.02944].

эффициенты ϵ2,3. Поэтому мы не используем филь-

19.

C. Shen, Z. Qiu, and U. Heinz, Phys. Rev. C 92,

трование для флуктуаций L = 0.

014901 (2015) [arXiv:1502.04636].

20.

P. Carzon, S. Rao, M. Luzum, M. Sievert, and J. No-

ЛИТЕРАТУРА

ronha-Hostler, arXiv:2007.00780.

T. Hirano, P. Huovinen, K. Murase, and Y. Na-

21.

D. Kharzeev and E. Levin, Phys. Lett. B 523, 79

ra, Prog. Part. Nucl. Phys.

70,

108

(2013)

(2001) [arXiv:nucl-th/0108006].

[arXiv:1204.5814].

22.

D. Kharzeev, E. Levin, and M. Nardi, Nucl. Phys.

R. Derradi de Souza, T. Koide, and T. Kodama, Prog.

A 747, 609 (2005) [arXiv:hep-ph/0408050].

Part. Nucl. Phys. 86, 35 (2016) [arXiv:1506.03863].

23.

J.-B. Rose, J.-F. Paquet, G. S. Denicol, M. Luzum,

P. Romatschke and U. Romatschke, arXiv:1712.

B. Schenke, S. Jeon, and C. Gale, Nucl. Phys. A 931,

05815.

926 (2014) [arXiv:1408.0024].

J.-Y. Ollitrault, Phys. Rev. D 46, 229 (1992).

24.

P. Alba, V. Mantovani Sarti, J. Noronha, J. Noronha-

Hostler, P. Parotto, I. Portillo Vazquez, and C. Ratti,

F. G. Gardim, F. Grassi, M. Luzum, and

Phys. Rev. C 98, 034909 (2018) [arXiv:1711.05207].

J.-Y. Ollitrault, Phys. Rev. C 85, 024908

(2012)

[arXiv:1111.6538].

25.

L. M. Robledo and G. F. Bertsch, Phys. Rev. C 84,

H. Niemi, G. S. Denicol, H. Holopainen, and

054302 (2011) [1107.3581].

P. Huovinen, Phys. Rev. C

87,

054901

(2013)

26.

S. E. Agbemava, A. V. Afanasjev, and P. Ring, Phys.

[arXiv:1212.1008].

Rev. C 93, 044304 (2016) [1603.03414].

M. Luzum and H. Petersen, J. Phys. G 41, 063102

27.

A. Bohr and B. R. Mottelson, Nuclear Structure,

(2014) [arXiv:1312.5503].

Vol. II, W. A. Benjamin, Inc., New York (1975).

D. Teaney and L. Yan, Phys. Rev. C 83, 064904

(2011) [arXiv:1010.1876].

28.

W. Greiner and J. A. Maruhn, Nuclear Models,

Springer, Berlin (1996).

E. Retinskaya, M. Luzum, and J.-Y. Ollitrault, Nucl.

Phys. A926, 152 (2014) [arXiv:1401.3241].

29.

S. Kamerdzhiev, J. Speth, and G. Tertychny, Phys.

Rep. 393, 1 (2004) [nucl-th/0311058].

10.

M. L. Miller, K. Reygers, S. J. Sanders, and P. Stein-

berg, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 57,

205

(2007)

30.

X. Roca-Maza and N. Paar, Prog. Part. Nucl. Phys.

[nucl-ex/0701025].

101, 96 (2018) [1804.06256].

11.

M. Rybczynski, G. Stefanek, W. Broniowski, and

31.

B. G. Zakharov, JETP Lett.

112,

393

(2020)

P. Bozek, Comput. Phys. Commun. 185, 1759 (2014)

[2008.07304].

[arXiv:1310.5475].

32.

B. G. Zakharov, JETP Lett.

108,

723

(2018)

12.

G. Policastro, D.T. Son, and A. O. Starinets, Phys.

[arXiv:1810.08942].

Rev. Lett. 87, 081601 (2001) [hep-th/0104066].

33.

E. Lipparini and S. Stringari, Phys. Rep. 175, 103

13.

G. Policastro, D. T. Son, and A. O. Starinets, JHEP

(1989).

09, 043 (2002) [hep-th/0205052].

34.

G. Giacalone, J. Noronha-Hostler, M. Luzum, and

14.

J. S. Moreland, J. E. Bernhard, and S. A. Bass, Phys.

J.-Y. Ollitrault, Phys. Rev. C 97, 034904

(2018)

Rev. C 92, 011901 (2015) [arXiv:1412.4708].

[arXiv:1711.08499].

15.

B. Schenke, P. Tribedy, and R. Venugopalan, Phys.

35.

J. Noronha-Hostler, Li Yan, F. G. Gardim, and

Rev. Lett. 108, 252301 (2012) [nucl-th/1202.6646].

J.-Y. Ollitrault, Phys. Rev. C 93, 014909

(2016)

16.

F. Gelis, G. Giacalone, Pablo Guerrero-Rodr´ıguez,

[arXiv:1511.03896].

C. Marquet, and J.-Y. Ollitrault, arXiv:1907.10948.

36.

S. J. Das, G. Giacalone, P.-A. Monard, and

17.

S. Chatrchyan et al. [CMS Collaboration], JHEP

J.-Y. Ollitrault, Phys. Rev. C 97, 014905

(2018)

1402, 088 (2014) [arXiv:1312.1845].

[arXiv:1708.00081].

801

Б. Г. Захаров

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

37.

W. Broniowski and W. Florkowski, Phys. Rev. C 65,

53.

L. Adamczyk, J. K. Adkins, G. Agakishiev et al.

024905 (2002) [nucl-th/0110020].

[STAR Collaboration], Phys. Rev. Lett. 115, 222301

(2015) [arXiv:1505.07812].

38.

B. G. Zakharov, JETP Lett.

104,

(2016)

[arXiv:1605.06012].

54.

A. Goldschmidt, Z. Qiu, C. Shen, and U. Heinz, Phys.

Rev. C 92, 044903 (2015) [arXiv:1507.03910].

39.

Б. Г. Захаров, ЖЭТФ 151, 1011 (2017) [arXiv:1611.

05825].

55.

B. Alver, M. Baker, C. Loizides, and P. Steinberg,

arXiv:0805.4411.

40.

B. G. Zakharov, Eur. Phys. J. C 78, 427 (2018)

[arXiv:1804.05405].

56.

H. De Vries, C.W. De Jager, and C. De Vries, Atomic

Data and Nuclear Data Tables 36, 495 (1987).

41.

D. Kharzeev and M. Nardi, Phys. Lett. B 507, 121

(2001) [nucl-th/0012025].

57.

L. D. Landau and E. M. Lifshits, Statistical Physics

Part 1 (Landau Course of Theoretical Physics Vol. 5),

42.

B. Müller and K. Rajagopal, Eur. Phys. J. C 43, 15

Oxford, Pergamon Press (1980).

(2005) [arXiv:hep-ph/0502174].

58.

D. H. Youngblood, Y. W. Lui, H. L. Clark, B. John,

43.

J. Speth and A. W. Thomas, Adv. Nucl. Phys. 24,

Y. Tokimoto, and X. Chen, Phys. Rev. C 69, 034315

83 (1997).

(2004).

44.

W. Broniowski and M. Rybczynski, Phys. Rev. C 81,

59.

M. N. Harakeh, B. Van Heyst, K. Van Der Borg, and

064909 (2010) [arXiv:1003.1088].

A. Van Der Woude, Nucl. Phys. A 327, 373 (1979).

45.

B. G. Zakharov, JETP Lett.

105,

785

(2017)

60.

Y. Fujita, T. Shimoda, H. Miyatake, N. Takahashi,

[arXiv:1703.04271].

and M. Fujiwara, Phys. Rev. C 45, 993 (1992).

46.

G. Kh. Eyyubova, V. L. Korotkikh, A. M. Snigirev,

61.

T. Yamagata, S. Kishimoto, K Yuasa, K. Iwamoto,

and E. E. Zabrodin, J. Phys. G 48, 095101 (2021)

B. Saeki, M. Tanaka, T. Fukuda, I. Miura, M. Inoue,

[arXiv:2107.00521].

and H. Ogata, Phys. Rev. C 23, 937 (1981) [Erratum:

Phys. Rev. C 23, 2798 (1981)].

47.

K. A. Bugaev, A. I. Ivanytskyi, V. V. Sagun,

B. E. Grinyuk, D. O. Savchenko, G. M. Zinovjev1,

62.

R. Pitthan, F. R. Buskirk, E. B. Dally, J. N. Dyer,

E. G. Nikonov, L. V. Bravina, E. E. Zabrodin,

and X. K. Maruyama, Phys. Rev. Lett. 33, 849 (1974)

D. B. Blaschke, A. V. Taranenko, and L. Turko,

[Erratum Phys. Rev. Lett. 34, 848 (1975)].

Universe 5, 63 (2019) [arXiv:1810.00486].

63.

M. Sasao and Y. Torizuka, Phys. Rev. C 15, 217

48.

M. I. Krivoruchenko, D. K. Nadyozhin, T. L. Rasin-

(1977).

kova, Yu. A. Simonov, M. A. Trusov, and A. V. Yudin,

Phys. Atom. Nucl. 74, 371 (2011), and references

64.

T. A. Carey, W. D. Cornelius, N. J. Digiacomo,

therein. [arXiv:1006.0570].

J. M. Moss, G. S. Adams et al., Phys. Rev. Lett. 45,

239 (1980).

49.

V. I. Kukulin, Phys. Atom. Nucl. 74, 1567 (2011),

and references therein.

65.

B. F. Davis, U. Garg, W. Reviol, M. N. Harakeh,

A. Bacher et al., Phys. Rev. Lett. 79, 609 (1997).

50.

B. G. Zakharov and B. Z. Kopeliovich, Sov. J. Nucl.

Phys. 42, 677 (1985).

66.

J. P. Blaizot, Phys. Rep. 64, 171 (1980).

51.

J. Jia, 2106.08768.

67.

D. Patel, U. Garg, M. Itoh, H. Akimune,

52.

J. Schukraft, A. Timmins, and S. A. Voloshin, Phys.

G. P. A. Berg et al., Phys. Lett. B

735,

387

Lett. B 719, 394 (2013) [arXiv:1208.4563].

(2014) [1406.6905].

802