ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 6, стр. 816-824

ФРУСТРИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ ПОТТСА С ЧИСЛОМ

СОСТОЯНИЙ СПИНА q = 4 В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

М. К. Рамазанов^*, А. К. Муртазаев, М. А. Магомедов

Институт физики Дагестанского федерального исследовательского центра Российской академии наук

367015, Махачкала, Россия

Дагестанский федеральный исследовательский центр Российской академии наук

367000, Махачкала, Россия

Поступила в редакцию 6 декабря 2021 г.,

после переработки 16 декабря 2021 г.

Принята к публикации 16 декабря 2021 г.

На основе репличного алгоритма методом Монте-Карло выполнены исследования магнитных структур

основного состояния, фазовых переходов, магнитных и термодинамических свойств двумерной модели

Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке с учетом взаимодействий первых и

вторых ближайших соседей во внешнем магнитном поле. Исследования проведены в интервале величины

магнитного поля 0 ≤ h ≤ 7.0 с шагом 0.5. Построены магнитные структуры основного состояния. Уста-

новлено, что в интервалах значений магнитного поля 0 < h < 1.0 и 2.0 ≤ h ≤ 3.5 наблюдается фазовый

переход первого рода, а при значении поля h = 1.5 — фазовый переход второго рода. Показано, что в

интервале 4.0 ≤ h ≤ 7.0 магнитное поле снимает вырождение основного состояния, и фазовый переход

размывается.

DOI: 10.31857/S0044451022060049

стем [4-10]. Причина такого поведения заключается

EDN: DUHOLM

в высокой чувствительности фрустрированных си-

1. ВВЕДЕНИЕ

стем к внешним возмущающим факторам. В дан-

ном исследовании нами изучается влияние внешнего

В течение последних десятилетий наблюдается

магнитного поля на характер ФП, магнитные и тер-

повышенный интерес к изучению эффектов фруст-

модинамические свойства двумерной модели Потт-

рации в спиновых решеточных моделях. Конкурен-

са с фрустрациями. При решении такого рода за-

ция обменных взаимодействий может привести к

дач до сих пор ограничивались моделями Изинга и

возникновению фрустраций в магнитных спиновых

Гейзенберга. В настоящее время влияние внешних

системах, которые не позволяют системе одновре-

возмущающих факторов, в том числе и магнитно-

менно минимизировать все ее локальные взаимо-

го поля в модели Изинга и Гейзенберга, достаточ-

действия, что приводит к бесконечно вырожденно-

но хорошо изучено [11-16]. Для фрустрированной

му основному состоянию [1-3]. Спиновые системы

с фрустрациями обладают богатой природой фазо-

модели Поттса существует совсем немного надеж-

но установленных фактов. Большинство имеющихся

вых переходов (ФП) и имеют особенности магнитно-

результатов получены для двумерной модели Потт-

го, термодинамического и критического поведения.

са с числом состояний спина q = 2 и q = 3 [17-23].

Особый интерес имеет изучение влияния возмуще-

Эта модель изучена достаточно хорошо и получе-

ний различной природы, таких как внешнее магнит-

ны интересные результаты. Модель Поттса демон-

ное поле, взаимодействие вторых ближайших сосе-

стрирует температурный ФП первого или второго

дей, немагнитные примеси, тепловые и квантовые

флуктуации и др., на физические свойства магнит-

порядка в зависимости от числа состояний спина q,

пространственной размерности и геометрии решет-

ных спиновых систем с фрустрациями. Включение

ки. Критические свойства ферромагнитной модели

этих возмущающих факторов может привести к со-

Поттса известны лишь в двумерном случае [23,24].

вершенно новому физическому поведению таких си-

Двумерная модель Поттса с числом состояний спи-

^* E-mail: sheikh77@mail.ru

на q = 4 довольно уникальна и до сих пор мало

816

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Фрустрированная модель Поттса.. .

изучена. Данная модель интересна и тем, что значе-

ние q = 4 является граничным значением интервала

2 ≤ q ≤ 4, где наблюдается ФП второго рода, и об-

ласти значений q > 4, в которой ФП происходит как

переход первого рода [24]. Результаты исследований

двумерной ферромагнитной модели Поттса с чис-

лом состояний спина q = 4 на треугольной [25], гек-

сагональной [26,27] решетках и на решетке Кагоме

[28], полученные методом Монте-Карло (МК), пока-

зывают, что в данной модели наблюдается ФП пер-

вого рода. Интерес к модели Поттса обусловлен еще

и тем, что эта модель служит основой теоретиче-

ского описания широкого круга физических свойств

и явлений в физике конденсированных сред. К их

числу относятся некоторые классы адсорбирован-

ных газов на графите, сложные анизотропные фер-

ромагнетики кубической структуры, спиновые стек-

Рис. 1. Модель Поттса с числом состояний спина q = 4 на

гексагональной решетке. Кружками одного и того же цвета

ла, многокомпонентные сплавы и жидкие смеси [29].

обозначены спины, имеющие одинаковое направление. На

На основе модели Поттса с различным числом со-

вставке для каждого из четырех возможных направлений

стояний спина могут быть описаны структурные ФП

спина приведено соответствующее цветовое представление

во многих материалах [16]. Работ, посвященных изу-

чению влияния внешнего магнитного поля как воз-

мущающего фактора на ФП, магнитные и термоди-

где J₁ и J₂ — параметры обменных ферро- (J₁ > 0) и

намические свойства модели Поттса с числом состо-

антиферромагнитного (J₂ < 0) взаимодействий со-

яний спина q = 4, практически нет, и этот вопрос все

ответственно для первых и вторых ближайших со-

еще остается открытым и малоизученным. В связи

седей, θ_i,j , θ_i,k — углы между взаимодействующими

с этим, в данной работе нами предпринята попыт-

спинами S_i - S_j и S_i-S_k, h — величина магнитного

ка на основе метода МК изучить влияние внешнего

поля (h приводится в единицах J₁). В данном иссле-

магнитного поля на ФП, магнитные и термодинами-

довании рассматривается случай, когда |J₁| = |J₂| =

ческие свойства двумерной модели Поттса с числом

= 1. Величина внешнего магнитного поля менялась

состояний спина q = 4 на гексагональной решетке

в интервале 0 ≤ h ≤ 7.0 с шагом 0.5. Магнитное поле

с учетом обменных взаимодействий первых и вто-

направлено вдоль одного из направлений спина.

рых ближайших соседей. Исследования проводятся

Схематическое и цветовое представление модели

на основе современных методов и идей, что позволит

представлено на рис. 1. Спины, обозначенные круж-

получить ответ на ряд вопросов, связанных с харак-

ками одного и того же цвета, имеют одинаковое на-

тером и природой ФП фрустрированных спиновых

правление. На вставке приведены направления спи-

систем.

нов для каждого из четырех значений спина и со-

ответствующее цветовое представление. На рисунке

2. МОДЕЛЬ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЙ

также представлены взаимодействия между первы-

ми и вторыми ближайшими соседями. Как видно

Гамильтониан модели Поттса с учетом взаимо-

на рисунке, у каждого спина есть три ближайших

действия первых и вторых ближайших соседей, а

(сплошные жирные линии красного цвета) и шесть

также внешнего магнитного поля имеет следующий

следующих ближайших (пунктирные линии синего

вид:

цвета) соседей. Направления спинов заданы таким

∑

образом, что выполняется равенство

H = -J₁

S_iS_j - J₂

S_iS_k - h ×

{

〈i,j〉,i=j

〈i,k〉,i=k

если S_i = S_j,

∑

θ_i,j =

109.47^◦, если S_i = S_j.

× S_i = -J₁

cosθ_i,j -

〈i,j〉

〈i,j〉,i=j

∑

или

{

−J₂

cosθ_i,k - h

S_i,

(1)

если S_i = S_j ,

cosθ_i,j =

(2)

〈i,k〉,i=k

〈i〉

-1/3, если S_i = S_j.

817

М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, М. А. Магомедов

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Согласно уравнению (2) для двух спинов S_i и S_j

мощностью, что позволяет моделировать необходи-

энергия парного обменного взаимодействия E_i,j =

мое количество реплик и получать результаты с вы-

= -J₁, если S_i = S_j. В случае когда S_i = S_j, энергия

сокой точностью.

Ei,j = J1/3. Таким образом, энергия парного вза-

Для анализа природы и характера ФП исполь-

имодействия спинов равна одной величине при их

зовался гистограммный метод анализа данных. Для

одинаковом направлении и принимает другое зна-

вывода системы в состояние термодинамического

чение при не совпадении направлений спинов. Для

равновесия отсекался участок длиной τ₀ = 4·10⁵ ша-

модели Поттса с числом состояний спина q = 4

гов МК на спин, что в несколько раз больше дли-

в трехмерном пространстве такое возможно только

ны неравновесного участка. Усреднение термодина-

при ориентации спинов, как показано на рис. 1.

мических параметров проводилось вдоль марков-

В настоящее время спиновые системы с фруст-

ской цепи длиной до τ = 500τ₀ шагов МК на спин.

рациями на основе микроскопических гамильто-

Расчеты проводились для систем с периодически-

нианов успешно изучаются на основе метода МК

ми граничными условиями и линейными размерами

[9, 10, 30-37]. В последнее время разработано мно-

L × L = N, L = 12-60, где L — линейный размер

го новых вариантов алгоритмов метода МК. Од-

решетки, N — количество спинов в системе.

ним из наиболее эффективных для исследования по-

добных систем является репличный обменный алго-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ритм [38]. Поэтому в данном исследовании мы ис-

пользовали этот алгоритм.

На рис. 2 представлены магнитные структуры

Репличный обменный алгоритм был использован

основного состояния при разных значениях магнит-

нами в следующем виде:

ного поля. На этом рисунке спины, имеющие одина-

1. Одновременно моделируются N реплик

ковое направление, обозначены кружками одного и

X₁, X₂, . . . , X_N с температурами T₁, T₂, . . ., T_N .

того же цвета. Магнитное поле направлено вдоль

2. После выполнения одного МК-шага/спин для

спина, обозначенного черным цветом. На рисунке

всех реплик проводится обмен данными между па-

видно, что при отсутствии внешнего магнитного по-

рой соседних реплик X_i и Xi+1 в соответствии со

ля (h = 0) в данной модели в основном состоя-

схемой Метрополиса с вероятностью

нии реализуется димерная структура, т. е. наблюда-

{

ется магнитное состояние, при котором спины упо-

если Δ ≤ 0;

рядочиваются попарно. Более подробно магнитные

w(X_i → Xi+1) =

exp(-Δ), если Δ > 0.

где

Δ = -(U_i - Ui+1)(1/T_i - 1/Ti+1),

U_i и Ui+1 — внутренние энергии реплик.

Главное преимущество этого алгоритма перед

другими репличными алгоритмами в том, что ве-

роятность обмена априори известна, тогда как для

других алгоритмов определение вероятности — про-

цедура достаточно длительная и отнимает много

времени. В репличном обменном алгоритме для

каждой реплики реализуется случайное блуждание

по «температурному интервалу», которая, в свою

очередь, стимулирует случайное блуждание в по-

ле потенциальной энергии. Это облегчает решение

проблемы «застревания» системы в многочислен-

ных состояниях с локальной минимальной энергией,

которая характерна для спиновых систем с фруст-

рациями. Для повышения эффективности этого ме-

Рис. 2. Магнитные структуры основного состояния. Круж-

тода необходимо увеличение числа реплик, что тре-

ками одного и того же цвета обозначены спины, имеющие

бует серьезного роста компьютерных мощностей.

одинаковое направление

Современные компьютеры обладают достаточной

818

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Фрустрированная модель Поттса.. .

Рис. 3. Температурные зависимости энтропии S

структуры, полученные для данной модели без по-

ля, описаны в работах [39, 40]. Магнитные структу-

ры в слабых магнитных полях (h ≤ 3.5) представ-

лены в работе [41]. Для поля h = 2.0 наблюдается

увеличение числа кружков черного цвета. Это свя-

зано с увеличением числа спинов, ориентированных

вдоль внешнего поля. При этом на рисунке появля-

ются области с частичным упорядочением спинов.

При значении поля h = 3.0 в системе наблюдает-

ся страйповое упорядочение. Наблюдается магнит-

ное состояние, при котором спины выстраиваются

в полосовую структуру. Включение сильных полей

(h ≥ 4.0) приводит к упорядочению всех спинов в си-

стеме вдоль внешнего магнитного поля. Это свиде-

тельствует о том, что внешнее магнитное поле при-

водит к изменению структуры магнитного упорядо-

чения.

На рис. 3 приведены температурные зависимо-

сти энтропии S для различных значений магнит-

ного поля при L = 24 (здесь и далее статистиче-

ская погрешность не превышает размеров символов,

использованных для построения зависимостей). На

рисунке видно, что с увеличением температуры эн-

тропия для всех систем стремится к теоретически

предсказанному значению ln 4. При низких темпера-

турах, близких к абсолютному нулю, энтропия стре-

мится к ненулевому значению для всех значений по-

ля. Ненулевая остаточная энтропия является след-

Рис. 4. Температурные зависимости теплоемкости C/kB

ствием вырождения основного состояния. Такое по-

для систем с различными линейными размерами

ведение энтропии свидетельствует о возникновении

в системе фрустраций.

Для наблюдения за температурным ходом по-

C = (NK²)(〈U²〉 - 〈U〉²),

(3)

ведения теплоемкости C мы использовали выраже-

ние [42]

где K = |J₁|/k_BT , U — внутренняя энергия.

819

М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, М. А. Магомедов

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Рис. 5. Температурные зависимости теплоемкости C/kB в

Рис. 6. Температурные зависимости теплоемкости C/kB

интервале поля 0 ≤ h ≤ 3.5

для поля h ≤ 4.0

с изменением структуры магнитного упорядочения.

На рис. 4 представлены характерные зависимо-

При включении слабого магнитного поля (h = 0.5)

сти теплоемкости C от температуры для систем с

максимум теплоемкости смещается в сторону высо-

линейными размерами L = 12; 24 и 48 для различ-

ких температур. Дальнейший рост поля приводит к

ных значений магнитного поля. Отметим, что для

сдвигу максимума теплоемкости в сторону низких

поля h = 0 на зависимости теплоемкости C от тем-

температур. Такое поведение теплоемкости объяс-

пературы для всех систем вблизи критической тем-

няется тем, что увеличение величины магнитного

пературы наблюдаются хорошо выраженные макси-

поля приводит к быстрому упорядочению системы,

мумы, которые увеличиваются с ростом числа спи-

уменьшению флуктуаций и соответственно умень-

нов в системе, причем эти максимумы с ростом L

шению температуры ФП. На рис. 6 видно, что при

смещаются в сторону низких температур. Для по-

значениях магнитного поля h ≥ 4.0 характерные

ля h = 1.5 максимумы теплоемкости не меняются с

пики теплоемкости не наблюдаются. Это говорит о

ростом L и в пределах погрешности приходятся на

том, что дальнейшее увеличение величины магнит-

одну и ту же температуру. Такая же картина наблю-

ного поля приводит к подавлению ФП в системе.

дается для поля h = 4.0. На этом рисунке видно, что

Параметр порядка системы m вычислялся по

температурные зависимости теплоемкости не зави-

формуле

сят от линейных размеров системы. Такая карти-

на температурной зависимости теплоемкости обыч-

1 4N_max - N₁ - N₂ - N₃ - N₄

(4)

но наблюдается для фрустрированных спиновых си-

стем.

где N₁, N₂, N₃, N₄ — число спинов, соответствую-

На рис. 5 и 6 представлены температурные зави-

щих одному из четырех направлений спина.

симости теплоемкости C для различных значений

На рис. 7 и 8 представлены графики зависимости

магнитного поля при L = 24. На рис. 5 видно, что в

параметра порядка m от температуры для разных

интервале 0 ≤ h ≤ 3.5 вблизи критической области

значений магнитного поля. При отсутствии внешне-

наблюдаются хорошо выраженные максимумы теп-

го магнитного поля в системе отсутствует порядок

лоемкости, кроме значений поля h = 1.5 и h = 2.5.

и значение параметра порядка близко к нулю. При

Отметим, что при значении поля h = 1.5 и h = 2.5

включении поля в системе наблюдается частичное

для теплоемкости наблюдается необычное поведе-

упорядочение и параметр порядка в низкотемпера-

ние, которое характеризуется отсутствием ярко вы-

турной области имеет отличные от нуля значения.

раженного пика. Максимумы теплоемкости в дан-

Это объясняется тем, что магнитное поле выстра-

ном случае вместо острых пиков имеют сглаженные

ивает спины вдоль своего направления и в системе

пики. Для значения поля h = 2.0 максимум теплоем-

возникает частичный порядок. С ростом величины

кости становится более плавными. Можно предпо-

магнитного поля увеличивается число спинов, ко-

ложить, что такое поведение теплоемкости связано

торые выстраиваются вдоль внешнего поля. Этим

820

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Фрустрированная модель Поттса.. .

Рис. 7. Температурные зависимости параметра порядка в

Рис. 9. Фазовая диаграмма зависимости параметра по-

интервале поля 0 ≤ h ≤ 3.5

рядка от магнитного поля. Магнитное поле h приводится

в единицах J1

как изображено на рис. 1. При увеличении внешнего

магнитного поля (h = 1.5) еще одно состояние спи-

на (второе) выстраивается вдоль внешнего поля. В

системе возникает частичный порядок. Это приво-

дит к возникновению ступеньки II на графике. При

дальнейшем увеличении поля (h = 3.0) вдоль внеш-

него поля выстраивается еще одно состояние спина

(третье). Этим обусловлено возникновение ступень-

ки III на графике. При значении поля h = 4.5 вдоль

внешнего поля выстраивается следующее состояние

спина (четвертое). С этим связано возникновение

ступеньки IV на графике. Анализируя рис. 9, мож-

но предположить, что поля h = 1.5, 2.5 и 4.0 явля-

ются для данной модели фрустрирующими полями.

Рис. 8. Температурные зависимости параметра порядка

Это также подтверждается поведением температур-

для поля h ≥ 4.0

ной зависимости теплоемкости (рис. 5 и 6). Видно,

что теплоемкость в этих полях пологая и значитель-

но ниже, чем в остальных (нефрустрирующих) по-

обусловлено то, что параметр порядка в низкотем-

лях.

пературной области растет с увеличением поля. При

Для определения критической температуры T_C

значениях поля h ≥ 5.0 в низкотемпературной обла-

мы использовали метод кумулянтов Биндера чет-

сти параметр порядка m = 1.0. Это свидетельствует,

вертого порядка [43]:

о том, что при высоких значениях поля все спины в

системе упорядочены вдоль внешнего поля.

〈U⁴〉_L

VL = 1 -

(5)

На рис. 9 приведен график зависимости пара-

3〈U²〉²

метра порядка m от величины магнитного поля h

в низкотемпературной области. На рисунке мы наб-

〈m⁴〉_L

людаем ступенчатую зависимость параметра поряд-

U_L = 1 -

(6)

3〈m²〉²

ка. Наблюдаются четыре ступеньки: I, II, III и IV.

Ступенька I соответствует магнитному упорядоче-

где V_L — энергетический кумулянт, U_L — магнитный

нию, при котором только одно состояние спина (чер-

кумулянт.

ный цвет) совпадает с направлением внешнего поля,

Выражения (5) и (6) позволяют определить кри-

а остальные три состояния спина направлены так,

тическую температуру T_С с большой точностью для

821

М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, М. А. Магомедов

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Рис. 10. Гистограммы распределения энергии для поля

Рис. 12. Гистограммы распределения энергии для поля

h = 0. Здесь и далее энергия E приведена в единицах J1

h = 1.5

Рис. 13. Гистограммы распределения энергии для поля

Рис. 11. Гистограммы распределения энергии для поля

h = 2.0

h = 1.0

ФП соответственно первого и второго родов. Приме-

нение кумулянтов Биндера позволяет также хоро-

шо тестировать тип ФП в системе. Однако резуль-

таты, полученные в работе [44], показывают, что для

данной модели этим методом не удается однозначно

определить тип ФП. Поэтому в данном исследова-

нии для анализа рода ФП мы использовали гисто-

граммный анализ данных метода МК [45, 46]. Этот

метод позволяет надежно определить род ФП. Ме-

тодика определения рода ФП этим методом подроб-

но описана в работе [30].

Результаты, полученные на основе гистограмм-

ного анализа данных, показывают, что в данной мо-

Рис. 14. Гистограммы распределения энергии для поля

дели для значений поля в диапазоне 0 ≤ h ≤ 3.5 кро-

h = 3.0

ме значения поля h = 1.5 наблюдается ФП перво-

822

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Фрустрированная модель Поттса.. .

го рода. Это продемонстрировано на рис. 10-14. На

ЛИТЕРАТУРА

этих рисунках представлены гистограммы распре-

G. Toulouse, Commun. Phys. 2, 115 (1977).

деления энергии для системы с линейными размера-

ми L = 60 для значений поля h = 0, 1.0, 1.5, 2.0 и 3.0

J. Villain, J. Phys. 46, 1840 (1985).

. Графики построены при различных температурах

близких критической температуре. На рис. 10-14

H. T. Diep, Frustrated Spin Systems, World Scientific

Publ. Co. Pte. Ltd., Singapore (2004).

видно, что в зависимости вероятности P от энергии

E для значений поля h = 0, 1.0, 2.0 и 3.0 наблюда-

С. Е. Коршунов, УФН 176, 233 (2006).

ются два хорошо выраженных максимума, которые

свидетельствует о ФП первого рода. Наличие двой-

A. Malakis, P. Kalozoumis, and N. Tyraskis, Eur.

Phys. J. B 50, 63 (2006).

ного пика на гистограммах распределения энергии

является достаточным условием для ФП первого ро-

С. C. Сосин, Л. А. Прозорова, А. И. Смирнов, УФН

да. Двойные пики на гистограммах распределения

175, 92 (2005).

для исследуемой модели наблюдаются для значений

поля в интервале 0 ≤ h ≤ 3.5, кроме значения поля

Л. Е. Свистов, А. И. Смирнов, Л. А. Прозорова и

др., Письма в ЖЭТФ 80, 231 (2004).

h = 1.5. Это позволяет нам утверждать о том, что в

рассмотренном интервале значений поля наблюда-

M. Kazuaki and O. Yukiyasu, Phys. Rev. B 101,

ются ФП первого рода. На рис. 12 видно, что для

184427 (2020).

значения поля h = 1.5 наблюдается один максимум.

Наличие одного максимума на гистограмме распре-

R. Masrour and A. Jabar, Physica A 541, 123377

деления энергии свидетельствует в пользу ФП вто-

(2020).

рого рода. Можно предположить, что смена типа

10.

R. Masrour and A. Jabar, Physica A 491, 926 (2018).

ФП связана с изменением магнитной структуры ос-

новного состояния под влиянием внешнего магнит-

11.

H. Kawamura, J. Phys. Soc. Jpn 61, 1299 (1992).

ного поля. Для значений поля h ≥ 4.0 магнитное по-

12.

M. Gvozdikova, P. Melchy, and M. Zhitomirsky,

ле снимает вырождение основного состояния и ФП

J. Phys.: Condens. Matter 23, 164209 (2011).

размывается.

13.

A. Chubokov and D. Golosov, J. Phys.: Condens.

Matter 3, 69 (1991).

14.

М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, Письма в

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЖЭТФ 106, 72 (2017).

Исследование влияния магнитного поля на фазо-

15.

А. К. Муртазаев, М. А. Магомедов, М. К. Рамаза-

вые переходы, магнитные структуры основного со-

нов, Письма в ЖЭТФ 107, 265 (2018).

стояния и термодинамические свойства двумерной

16.

H. Kawamura, A. Yamamoto, and T. Okubo, J. Phys.

модели Поттса с числом состояний спина q = 4

Soc. Jpn. 97, 043301 (2018).

на гексагональной решетке с взаимодействиями вто-

рых ближайших соседей выполнено с использовани-

17.

N. Schreiber, R. Cohen, and S. Haber, Phys. Rev.

ем репличного обменного алгоритма метода Монте-

E 97, 032106 (2018).

Карло. На основе гистограммного метода прове-

18.

D. P. Foster and C. Gérard, Phys. Rev. B 70, 014411

ден анализ характера фазовых переходов. Получе-

(2004).

ны магнитные структуры основного состояния в ши-

роком интервале значений поля. Построена фазовая

19.

I. Puha and H. T. Diep, J. Appl. Phys. 87, 5905

диаграмма зависимости параметра порядка от вели-

(2000).

чины магнитного поля. Показано, что в интервале

20.

M. Nauenberg and D. J. Scalapino, Phys. Rev. Lett.

значений магнитного поля 0 ≤ h ≤ 3.5, кроме значе-

44, 837 (1980).

ния h = 1.5, наблюдается фазовый переход первого

рода. Для поля h = 1.5 наблюдается фазовый пе-

21.

J. L. Cardy, M. Nauenberg, and D. J. Scalapino,

реход второго рода. Обнаружено, что при сильных

Phys. Rev. B 22, 2560 (1980).

полях h ≥ 4.0 магнитное поле снимает вырождение

22.

M. K. Ramazanov, A. K. Murtazaev, and M. A. Ma-

основного состояния и фазовый переход в системе

gomedov, Physica A 521, 543 (2019).

размывается.

823

М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, М. А. Магомедов

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

23.

F. Y. Wu, Rev. Mod. Phys. 54, 235 (1982).

35.

A. A. Gangat and Y.-J. Kao, Phys. Rev. B 100,

094430 (2019).

24.

R. J. Baxter, J. Phys. C 6, 445 (1973).

36.

V. T. Ngo, D. T. Hoang, and H. T. Diep, J. Phys.:

25.

А. К. Муртазаев, Д. Р. Курбанова, М. К. Рамаза-

Cond. Matt. 23, 226002 (2011).

нов, ФТТ 61, 2195 (2019).

37.

А. О. Сорокин, Письма в ЖЭТФ 111, 34 (2020).

26.

А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, М. К. Мазагае-

38.

A. Mitsutake, Y. Sugita, and Y. Okamoto, Biopo-

ва, М. А. Магомедов, ЖЭТФ 156, 502 (2019).

lymers (Peptide Science) 60, 96 (2001).

27.

М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, М. А. Магоме-

39.

А. К. Муртазаев, М. К. Мазагаева, М. К. Рамаза-

дов, М. К. Мазагаева, ФТТ 62, 442 (2020).

нов, М. А. Магомедов, А. А. Муртазаева, ФТТ 63,

622 (2021).

28.

M. K. Ramazanov, A. K. Murtazaev, M. A. Mago-

40.

А. К. Муртазаев, М. К. Мазагаева, М. К. Рамаза-

medov, T. R. Rizvanova, and A. A. Murtazaeva, Low

Temp. Phys. 47, 396 (2021).

нов, М. А. Магомедов, ФММ 122, 460 (2021).

41.

М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, М. А. Магоме-

29.

E. Domany, M. Schick, and J. S. Walker, Phys. Rev.

дов, М. К. Мазагаева, Письма в ЖЭТФ 114, 762

Lett. 38, 1148 (1977).

(2021).

30.

М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, Письма в

42.

P. Peczak, A. M. Ferrenberg, and D. P. Landau, Phys.

ЖЭТФ 109, 610 (2019).

Rev. B 43, 6087 (1991).

31.

A. K. Murtazaev, M. K. Ramazanov, D. R. Kurbano-

43.

K. Binder, D. Heermann, Monte Carlo Simulation in

va, M. A. Magomedov, and K. Sh. Murtazaev, Mat.

Statistical Physics: An Introduction, Springer, Berlin,

Lett. 236, 669 (2019).

Heidelberg (2010).

32.

А. К. Муртазаев, Д. Р. Курбанова, М. К. Рамаза-

44.

М. К. Рамазанов, А. К. Муртазаев, М. А. Магоме-

нов, ЖЭТФ 156, 980 (2019).

дов, М. К. Мазагаева, М. Р. Джамалудинов, ФТТ

64, 237 (2022).

33.

A. K. Murtazaev, M. K. Badiev, M. K. Ramazanov,

and M. A. Magomedov, Physica A 555, 124530

45.

F. Wang and D. P. Landau. Phys. Rev. E 64,

(2020).

0561011-1 (2001).

34.

R. Masrour, A. Jabar, A. Benyoussef, and M. Hame-

46.

F. Wang and D. P. Landau. Phys. Rev. Lett. 86, 2050

doun, J. Magn. Magn. Mater. 401, 695 (2016).

(2001).

824