ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 6, стр. 840-846

ФРУСТРАЦИИ В РАЗБАВЛЕННОМ ИЗИНГОВСКОМ

МАГНЕТИКЕ НА РЕШЕТКЕ БЕТЕ

С. В. Сёмкин, В. П. Смагин, В. С. Тарасов^*

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

690014, Владивосток, Россия

Поступила в редакцию 24 января 2022 г.,

после переработки 24 января 2022 г.

Принята к публикации 28 февраля 2022 г.

Рассмотрено нахождение энтропии изинговского ферромагнетика с немагнитными примесями, случайно

расположенными по узлам или связям решетки. Рассмотрен изинговский магнетик на решетке Бете. На

такой решетке не различаются ситуации случайного немагнитного разбавления по узлам и связям. Для

вычисления энтропии используется намагниченность, найденная в псевдохаотическом приближении. В

этом приближении получено значение энтропии как функции температуры, концентрации магнитных ато-

мов и внешнего магнитного поля. Обнаружено, что при нулевом внешнем поле система фрустрирована

в том смысле, что энтропия основного состояния не равна нулю. Найдена величина этой энтропии при

концентрациях магнитных атомов как ниже, так и выше перколяционного порога.

DOI: 10.31857/S0044451022060074

по узлам и связям формально не различаются

EDN: DULWYZ

[4]. Можно получить точное решение для модели

Изинга с разбавлением для q

= 2 (одномерная

1. ВВЕДЕНИЕ

цепочка) [5], однако для произвольного q точного

решения этой задачи нет.

Настоящая работа посвящена вычислению сво-

В наших работах [4, 6, 7] предлагается подход к

бодной энергии и энтропии разбавленного изингов-

ского магнетика на решетке Бете. Решетка Бете

анализу свойств разбавленных магнетиков с немаг-

нитными примесями, основанный на следующих со-

представляет собой бесконечный граф без замкну-

тых путей, в котором каждый узел связан с коор-

ображениях. Вместо того, чтобы с самого начала по-

лагать, что примеси распределены в решетке слу-

динационным числом q другими узлами [1]. На та-

чайно, рассмотрим магнетик, в котором магнитные

кой решетке можно задать модель Изинга, поместив

в каждый узел изинговский «спин», принимающий

атомы и атомы примеси могут перемещаться и на-

ходятся в термодинамическом равновесии. Энергия

значения +1 и -1. С каждой парой соседних спинов

σ_i и σ_j связано слагаемое в гамильтониана J_ijσ_iσ_j,

такой системы определяется не только ориентаци-

ей магнитных моментов, но и расположением ато-

моделирующее обменное взаимодействие, J_ij — за-

данные константы. В случае, когда все J_ij одинако-

мов примеси по узлам решетки. Таким образом, га-

мильтониан той или иной модели магнетика с по-

вы и положительны, можно построить точное реше-

движными примесями будет состоять из слагаемых,

ние для произвольного q [1].

связанных с обменным взаимодействием магнитных

Если теперь заменить некоторые из спинов

атомов и слагаемых, связанных с межатомным вза-

немагнитными атомами, располагая их в решет-

имодействием в кристаллической решетке, причем

ке случайно и без корреляции, получим модель

равновесное распределение атомов примеси зависит

разбавленного по узлам магнетика, если же немаг-

нитные примеси располагаются на связях решетки,

от параметров, характеризующих оба этих взаимо-

действия. Тогда для каждого значения температу-

блокируя обменное взаимодействие на этой связи,

получим модель разбавленного по связям магнети-

ры, внешнего магнитного поля и концентрации (до-

ли) магнитных атомов b в системе можно подобрать

ка [2, 3]. Для решетки Бете модели с разбавлением

значения параметров межатомного взаимодействия

^* E-mail: vals.tarasov@gmail.com

с таким расчетом, чтобы равновесное распределение

840

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Фрустрации в разбавленном изинговском магнетике на решетке Бете

атомов примеси было бы как можно ближе к случай-

рое — по всем спинам решетки, J_ij — энергия об-

ному [4, 6, 7]. В качестве условия близости распре-

менного взаимодействия i-го и j-го спинов. Для га-

деления атомов примеси к случайному можно, на-

мильтониана такого вида полная намагниченность

пример, использовать равенство нулю корреляции

системы

∑

∂F

в расположении атомов примеси для двух ближай-

M_i = -

(5)

∂H

ших узлов, что и является основой псевдохаотичес-

кого приближения, использованного в настоящей

где M_i = 〈σ_i〉 — термодинамическое среднее i-го

работе. В этом приближении мы вычисляем свобод-

спина, т. е. локальная намагниченность узла i. Вы-

ную энергию и энтропию разбавленного изинговско-

числим свободную энергию системы с помощью рас-

го ферромагнетика на решетке Бете и делаем выво-

суждения, аналогичного приведенному в [1]. При

ды относительно возможных фрустрированных со-

очень большом внешнем поле, т. е. при H → ∞, наи-

стояний в этой системе.

больший вклад в сумму (3) вносит слагаемое, в ко-

тором все спины σ_i = +1. В этом пределе

∑

2. СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ И ЭНТРОПИЯ

F =- J_i,j -HN.

(6)

РАЗБАВЛЕННОГО ИЗИНГОВСКОГО

(ij)

МАГНЕТИКА

Здесь N — число узлов решетки. Учитывая асимп-

В соответствии с принципами статистической

тотическое равенство (6) и полагая, что все M_i → 1

физики и термодинамики полная свободная энергия

при H → ∞, получим, интегрируя (5),

термодинамической системы [1,8]

∑

F = -kT lnZ,

(1)

F (H₀, T ) = - J_ij - H₀N +

(i,j)

∞

)

где k — постоянная Больцмана, T — абсолютная

∫

(∑

температура, Z — статистическая сумма системы.

M_i - N dH.

(7)

Зная свободную энергию как функцию температу-

ры, можно выразить внутреннюю энергию U и энт-

ропию S следующим образом [8]:

Дифференцируя это выражение по T получим,

)

согласно (2), энтропию системы

∂

⁽F

∂F

U = -T²

S=-

(2)

∞

∫

∂T T

∂T

∑

∂M_i(H.T)

S(H₀, T ) = -

dH.

(8)

∂T

Простой и часто встречающейся моделью маг-

нитной системы является модель Изинга [1]. В этой

модели магнитный атом представлен локализиро-

Будем считать, что взаимодействуют только спи-

ванной в месте расположения этого атома (в узле

ны ближайших узлов, причем константы обменного

решетки) переменной σ, принимающей значения +1

взаимодействия J_ij = J для ближайших соседей и

и -1 (так называемый «изинговский спин»). Для

равны нулю во всех остальных случаях. Тогда

модели Изинга на произвольной решетке

∑

(

)

J_ij = Jq

∑

Z = exp

H (Ω, H)

(3)

(i,j)

где q — среднее по решетке координационное чис-

Гамильтониан системы H(Ω, H) зависит от внеш-

ло. Для простой решетки с координационным чис-

него поля H и конфигурации изинговских спинов

лом q очевидно q = q для чистого магнетика. В слу-

Ω, а суммирование в (3) проводится по всем таким

чае некоррелированного немагнитного разбавления

конфигурациям. Для моделей с парным взаимодей-

по узлам или связям q = qb, где b — концентрация

ствием

магнитных атомов или связей [4].

∑

Разделив теперь (7) и (8) на NkT и вводя

H (Ω, H) = J_ij σ_iσ_j - H σ_i.

(4)

удельные (на магнитный атом) свободную энергию

(i,j)

f = F/N, энтропию s = S/N и намагниченность

∑

Первое суммирование в этом выражении прово-

M_i

дится по всем упорядоченным парам спинов, а вто-

M =ⁱ

841

ЖЭТФ, вып. 6

С. В. Сёмкин, В. П. Смагин, В. С. Тарасов

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

получим

∫∞

f (h₀, K)

qK - h₀ + (M(h) - 1)dh,

(9)

∫∞

s(h₀, K)

∂M(h)

dh.

(10)

∂T

Здесь K = J/kT и h = H/kT.

Из формул (9) и (10) следует, что если извест-

на средняя намагниченность M как функция темпе-

ратуры, внешнего магнитного поля и концентрации

магнитных атомов или связей, можно найти свобод-

ную энергию и энтропию.

Рис. 1. Диаграмма состояний разбавленного изинговского

3. РЕШЕТКА БЕТЕ И

магнетика на решетке Бете

ПСЕВДОХАОТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Тогда (11) и (12) примет вид

В наших работах [4, 6, 7] показано, что при-

M = th(z),

ближенное значение намагниченности разбавленно-

го изинговского магнетика на решетке с координа-

sh(2w)

M = (1 - b)th(w) + b

(13)

ционным числом q может быть найдено так:

ch(2w) + η

w=βz+x

M = th(Kqμ + h),

(11)

или M = ∂ψ/∂w, где

где μ определяется из уравнения

ln(ch(2w) + η).

ψ(w) = (1 - b) ln(ch(w)) +

th(Kqμ + h) = (1 - b) th(K(q - 1)μ + h) +

Уравнения (13) можно записать в виде одного

sh(2K(q - 1)μ + 2h)

(12)

уравнения относительно намагниченности M

ch(2K(q - 1)μ + 2h) + e-2K

(1 + M)^β - ξ(1 - M)

Оказывается [4], что приближение (11) для чи-

M = (1 - b)

(1 + M)^β + ξ(1 - M)^β

стого магнетика (b = 1) является точным решением

(1 + M)2β - ξ²(1 - M)2β

для модели Изинга на решетке Бете, а при b < 1 его

(14)

можно рассматривать как «псевдохаотическое» при-

(1 + M)2β + ξ²(1 - M)2β + 2ξη(1 - M²)^β

ближение для модели Изинга с немагнитным раз-

где ξ = e-2x.

бавлением на решетке Бете [4]. Псевдохаотическое

При выводе уравнений (13) или (14) предпола-

приближение получается из решения задачи с по-

гается, что среднее значение спина (локальная на-

движными немагнитными примесями при наложе-

магниченность) одинаково для всех внутренних уз-

нии дополнительного условия равенства нулю кор-

лов решетки и равна M в термодинамическом пре-

реляции в расположении примесей в соседних уз-

деле. Иными словами, в системе не образуется маг-

лах решетки [6]. Ситуации разбавления по узлам и

нитных подрешеток. Это предполагает, что либо в

связям на решетке Бете не различаются, поэтому

системе ферромагнитное обменное взаимодействие,

b можно понимать и как концентрацию магнитных

т. е. K > 0, либо K < 0, но внешнее поле H доста-

атомов, и как вероятность того, что связь с сосед-

точно велико, для того чтобы препятствовать обра-

ними узлами будет не разорванной.

зованию подрешеток при любой температуре.

В (11) и (12) введем обозначения

Для того чтобы конкретизировать область при-

менимости уравнения (14), рассмотрим фазовую

z = Kqμ + h, w = K(q - 1)μ + h, η = e-2K,

диаграмму основного состояния (T = 0) разбавлен-

q-1

ного изинговского магнетика на решетке Бете с ко-

β=

x = h/q.

ординационным числом q (рис. 1).

842

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Фрустрации в разбавленном изинговском магнетике на решетке Бете

Рис. 2. Спонтанная намагниченность разбавленного изин-

Рис. 3. Намагниченность разбавленного изинговского ан-

говского ферромагнетика на решетке Бете (q = 4) как

тиферромагнетика на решетке Бете (q = 4) во внешнем

функция концентрации магнитных атомов (или связей).

поле H = -qJ как функция концентрации магнитных ато-

Кривая 1 — η = 0, кривая 2 — η = 0.15 и кривая 3 —

мов (или связей). Кривая 1 — η = ∞, кривая 2 — η = 10/3

η = 0.35 (η = exp(-2K))

и кривая 3 — η = 2 (η = exp(-2K))

ластей I и III (линия 2 на рис. 1) при T → 0 намаг-

Переходя в (14) к пределу T → 0, получим, что

ниченность M стремится к значению

при условии H > 0 и J > -H/q (область I на рис. 1)

M → 1, а при H < 0 и J > H/q (область II на

1-y^q

рис. 1) M → 1. Таким образом, в областях I и II

M₀ =

1+y^q

основное состояние системы ферромагнитное. Гра-

ница этих областей (линия 1 на рис. 1) — зона, в

где y определяется из уравнения

которой происходят ферромагнитные фазовые пере-

(2 - b)y^q + y - b = 0.

(16)

ходы. Как показывает анализ уравнений (13) [4], при

T → 1 и b < b_c = 1/(q - 1) на линии 1 M = 0. При

График функции

M₀(b) приведен на рис. 3 (кри-

b > b_c, т.е. при концентрации магнитных атомов,

вая 1). При q = 2 и b = 1, т. е. для одномерной

превышающей порог протекания решетки Бете, в

изинговской цепочки без немагнитного разбавления,

системе возникает спонтанная намагниченность M₀,

из (16) получается результат, совпадающий с полу-

которую можно найти из уравнения

ченным в работе [9]. При T > 0 намагниченность на

линии 2 диаграммы рис. 1 монотонно падает с рос-

(1 + M₀)^β - (1 - M₀)

том концентрации b, так и температуры T (кривые

M₀ = (1 - b)

(1 + M₀)^β + (1 - M₀)^β

2 и 3 на рис. 3), т.е. в этой области не происходит

ни концентрационных, ни температурных фазовых

2β

переходов.

(1 + M₀)2β - (1 - M₀)

(15)

(1 + M₀)2β + (1 - M₀)2β

4. РЕЗУЛЬТАТ РАСЧЕТА

График функции M₀(b) приведен на рис. 2 (кри-

вая 1). При T > 0 спонтанная намагниченность воз-

Проведем теперь, основываясь на выражени-

никает при концентрации, превышающей значение

ях (9) и (10), расчет свободной энергии и энтропии

b_K = b_c(1 + η)/(1 - η) = b_c cth(K) [4] (рис. 2 кривые

разбавленного изинговского магнетика на решетке

2 и 3).

Бете в псевдохаотическом приближении. Перейдем

в (9) к переменной x:

В области III на рис. 1 основное состояние систе-

мы не является ферромагнитным, что, как уже бы-

∫∞

f (x₀, K)

ло сказано, делает невозможным применение урав-

bK - x₀ + (M(x) - 1)dx

(17)

qkT

нений (13) или (14) в этой области. На границе об-

843

С. В. Сёмкин, В. П. Смагин, В. С. Тарасов

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

и, используя dx = dw - βdz = dw - β(arcth(M))^′dM,

где u_max = -u_min. Таким образом, во всех внутрен-

получим

них точках областей I и II и линии 1 на фазовой

диаграмме (рис. 1) мера (20) равна нулю. Однако,

∫∞

f (x₀, K)

как будет показано ниже, энтропия на линии 1 не

bK - x₀ + (M(w) - 1)dw -

равна нулю при T → 0, если b = 1. На линиях 2 и 3

qkT

диаграммы и (19) получим

∫¹

(

)

- β (M - 1)(arcth(M))^′dM

u₀ = qJ

(

)

u_min = qJ

или (отбрасывая после интегрирования индекс «0»)

f (w, K)

что в соответствии с (20) приводит к

Kb - x + w - ψ(w)-

qkT

(

)

p_f =

(21)

− β ln(1 + M) -

- β ln2.

b+2

Таким образом, в соответствии с критерием (21)

Используя равенство w - x = β arcth(M), оконча-

на границах 2 и 3 диаграммы рис. 1 система ока-

тельно запишем

зывается фрустрированной, причем максимальное

f (w, K)

значение, равное 1/3 (21), принимает для чистого

Kb - ψ(2) -

ln(1 - M²) -

qkT

магнетика b = 1.

(

)

Энтропию разбавленного магнетика можно те-

− 1-

- β ln2.

(18)

перь получить, дифференцируя свободную энергию

(19) по температуре или непосредственно по форму-

При b = 1 (18) приводится к виду

ле (8):

f (w, K)

∫

∞

(q - 2) ln(2 ch(2w) + 2η) -

∂M(H,T)

s(H₀, T ) = -

∂H.

∂T

−

(q - 1) ln(1 + 2η ch(2w) + η²),

Переходя к переменным x и K и учитывая, что

что совпадает (после перехода к соответствующим

переменным) с результатом, полученным в [1] для

∂x

∂K

чистого магнетика на решетке Бете. Поскольку при

∂T

T → 0 удельная свободная энергия f совпадает с

получим

удельной энергией основного состояния u₀, из (18)

получим

∞

∫

(

)

s(x₀, K)

∂M

dx =

u₀ =

bqJ -

∂x

∂K

(

)

= (I₁ + I₂)|^∞ ,

(22)

- lim

qkTψ(w) +

qkT ln(1 - M²)

(19)

T →0

∫

∂M

Вычисляя входящий в (19) предел, можно пока-

I₁ = X

dx, I₂ = K

dx;

∂x

∂K

зать, что в областях I и II (рис. 1) и на их границе 1

∫

∂M

u₀ = -

bqJ - |H|,

I₁ = W

∂x - β arcth(M)

∂x

т. е. энергия основного состояния совпадает с ми-

или

нимально возможной энергией на один атом u_min.

В работе [10] используется количественная мера

bw sh(2w)

I₁ = (1 - b)w th(w) +

- ψ(w)-

фрустрации, равная

ch(2w) + η

u₀ - u_min

((1 + M) ln(1 + M) + (1 - M) ln(1 - M)).

p_f =

(20)

u_max - u_min

844

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Фрустрации в разбавленном изинговском магнетике на решетке Бете

Для вычисления I₂ перейдем в этом интеграле к

переменной w. Тогда

∫

∂M

bKη

I₂ = K

dw = -

∂K

ch(2w) + η

Таким образом, удельная энтропия разбавленно-

го магнетика вычисляется так:

(

)

s(x, K)

- β ln(2) - I,

(23)

где

b(w sh(2w) - Kη)

I = (1 - b)wth(w) +

- ψ(w)-

ch(2w) + η

Рис. 4. Энтропия разбавленного изинговского ферромаг-

((1 + M) ln(1 + M) + (1 - M) ln(1 - M)).

нетика на решетке Бете (q = 4) в нулевом внешнем поле

как функция концентрации магнитных атомов (или свя-

Из (23) следует, что во всех внутренних точках

зей). Кривая 1 — η = 0, кривая 2 — η = 0.15 и кривая 3 —

областей I и II на фазовой диаграмме (рис. 1) энт-

η = 0.35 (η = exp(-2K))

ропия при T = 0 обращается в нуль.

При H = 0 (x = 0) параметр w равен нулю, если

имеет, как видно на рис. 4, разрыв первой производ-

ной при b = b_K (кривые 2 и 3 на рис. 4). При T = 0

(1 + η)

b<b_K =b_c

такого разрыва нет (кривая 1 на рис. 4).

(1 - η)

В соответствии с критерием (20) на линии 1

В этом случае энтропия

диаграммы состояния (рис. 1) система не является

фрустрированной. Однако авторы работы [11] пола-

(

)

s(0, K)

гают, что фрустрированным можно считать состоя-

ln(2) +

ние, в котором энтропия при T = 0 не равна нулю.

(

)

η ln(η)

Если следовать этому критерию, то система на ли-

ln(1 + η) -

1+η

нии 1 (рис. 1) будет фрустрированной при b < 1.

Рассмотрим энтропию на линиях 2 и 3 диа-

Если же b > b_K , то энтропия как функция кон-

граммы рис. 1. На линии 2 выполняется условие

центрации магнитных атомов может быть вычисле-

K+x = 0. Учитывая это условие, найдем предел (23)

на из выражений (13) и (23) следующим образом:

при T → 0, который после некоторых преобразова-

(

)

ний, можно представить в виде

s(0, K)

qb(w)

ln(2) - qI(w),

(

)

2-b

2-y

+ 1-

q ln

(24)

sh(b_cw)

ch(2w) + η

0 =

2-b

b(w) =

sh(w)

(1 - η) ch((1 + b_c)w)

M (w) = th((1 + b_c)w).

где y определяется из уравнения (16). График

S₀(b)

приведен на рис. 5 (кривая 1).

На рис. 4 показаны графики удельной энтро-

При b = 1 и q = 2

пии (в единицах k) в зависимости от концентрации

√

магнитных атомов (связей) при различных темпе-

5+1

ратурах. Кривая 1 — энтропия основного состояния

S₀ = ln

(T = 0). Кривые 2 и 3 — энтропии при значениях

температурного параметра η = exp(-2J/kT) рав-

что совпадает с расчетом, проведенным в рабо-

ного соответственно 0.15 и 0.35. При b = 0, когда

те [9], авторы которой используют метод трансфер-

система представляет собой парамагнетик в нуле-

матрицы для одномерной цепочки спинов. На этом

вом внешнем поле, энтропия при любой температуре

же рисунке приведены графики концентрационной

равна ln(2), а при b > 0 монотонно падает с ростом

зависимости энтропии при ненулевых значениях

b. При T > 0 энтропия как функция концентрации b

температуры (кривые 2 и 3, рис. 5).

845

С. В. Сёмкин, В. П. Смагин, В. С. Тарасов

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

возникают изолированные «островки» спинов, ко-

торые могут менять свою спонтанную намагничен-

ность без изменения энергии. Согласно критерию

фрустрированности (20) [10], который на линии 1

равен нулю при любом b, состояние системы в этой

области нельзя считать фрустрированным.

Если J < 0 (антиферромагнитное обменное взаи-

модействие), но внешнее поле H = -qJ (линия 2 на

диаграмме рис. 1), система оказывается фрустриро-

ванной и в смысле неравенства нулю остаточной эн-

тропии (рис. 5, кривая 1) и в смысле критерия (20).

В этой области нет ни концентрационных, ни тем-

пературных фазовых переходов.

Рис. 5. Энтропия разбавленного изинговского антифер-

ромагнетика на решетке Бете (q = 4) во внешнем поле

ЛИТЕРАТУРА

H = -qJ как функция концентрации магнитных атомов

(или связей). Кривая 1 — η = ∞, кривая 2 — η = 10/3 и

Р. Бэкстер, Точно решаемые модели в статисти-

кривая 3 — η = 2 (η = exp(-2K))

ческой механике, Мир, Москва (1985).

Р. Фольк, Ю. Головач, Т. Яворский, УФН 173, 175

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(2003).

Таким образом, учет немагнитного разбавле-

А. К. Муртазаев, А. Б. Бабаев, Г. Я. Азнаурова,

ния в псевдохаотическом приближении [4] позволя-

ФТТ 50, 703 (2008).

ет рассчитать не только концентрационную зави-

симость намагниченности (рис. 2 и 3), но и энтро-

С. В. Сёмкин, В. П. Смагин, Приближенные ме-

тоды в теории чистых и разбавленных магнети-

пию (рис. 4 и 5) и свободную энергию разбавленно-

ков, ВГУЭС, Владивосток (2019).

го магнетика на произвольной решетке Бете. Анализ

концентрационной зависимости энтропии показыва-

С. В. Сёмкин, В. П. Смагин, Е. Г. Гусев, ТМФ 201,

ет, что при J > 0 и H = 0 (линия 1 на диаграмме

280 (2019).

рис. 1) и нулевой температуре энтропия не равна ну-

С. В. Сёмкин, В. П. Смагин, ФТТ 57, 926 (2015).

лю, убывает с ростом b и не имеет разрыва первой

производной по b (кривая 1 на рис. 4) во всем интер-

С. В. Сёмкин, В. П. Смагин, ЖЭТФ 148, 729

вале концентраций. Но при ненулевой температуре

(2015).

имеется разрыв первой производной при b = b_K ,

т. е. при значении b, соответствующем возникнове-

И. А. Квасников, Термодинамика и статистичес-

кая физика: Теория равновесных систем, Едитори-

нию спонтанной намагниченности.

ал УРСС, Москва (2002).

Наш расчет показывает (рис. 4) что даже при

T = 0 (кривая 1) энтропия линии 1 не обращается в

Е. С. Цуварев, Ф. А. Кассан-Оглы, А. И. Прошкин,

нуль, что по мнению некоторых авторов [9,11] может

ЖЭТФ 158, 504 (2020).

считаться критерием фрустрированности системы.

10.

Y. Shevchenko, A. Makarov, and K. Nefedev, Phys.

Впрочем следует отметить, что отличие энтропии

Lett. A 381, 428 (2017).

основного состояния от нуля в нулевом внешнем

поле имеет в данном случае

«парамагнитную»

11.

А. В. Зарубин, Ф. А. Кассан-Оглы, А. И. Прошкин

природу — при немагнитном разбавлении в системе

и др., ЖЭТФ 155, 914 (2019).

846