ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 6, стр. 847-852

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ДВУМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ ПОТТСА

НА ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ

А. К. Муртазаев^a, А. Б. Бабаевa,b*

^a Институт физики им. Х. И. Амирханова

Дагестанского федерального исследовательского центра Российской академии наук

367003, Махачкала, Россия

^b Дагестанский федеральный исследовательский центр Российской академии наук

367000, Махачкала, Россия

Поступила в редакцию 31 января 2022 г.,

после переработки 5 февраля 2022 г.

Принята к публикации 7 февраля 2022 г.

Методом компьютерного моделирования проведены исследования фазовых переходов в двумерных мо-

делях Поттса с числом состояний спина q = 4 и q = 5 на гексагональной решетке. Рассмотрены системы

с линейными размерами L, где L = 21-180. Полученные численные данные свидетельствуют о том, что

в двумерной модели Поттса на гексагональной решетке наблюдается фазовый переход первого рода для

числа состояний спина q = 5 и фазовый переход второго рода при q = 4.

DOI: 10.31857/S0044451022060086

вого перехода [4]. К настоящему времени получено

EDN: DUMNTF

несколько точно решаемых моделей, среди которых

двумерная модель Изинга на квадратной [5], тре-

1. ВВЕДЕНИЕ

угольной и гексагональной [6] решетках и на решет-

Фазовые переходы (ФП) и связанные с ними кри-

ке кагоме [7]. В то же время, несмотря на огромные

тические явления чрезвычайно широко распростра-

усилия, затраченные в этой области, для моделей

нены в конденсированных средах. При определен-

Поттса до сегодняшнего дня не имеется ни одного

ных условиях во всех конденсированных средах про-

точного решения. Изучение магнитных и тепловых

исходят один или несколько фазовых переходов. На

свойств этих моделей на различных двумерных ре-

разработку эффективной теории фазовых перехо-

шетках имеет важное фундаментальное и приклад-

дов и критических явлений были затрачены колос-

ное значение. Это связано с тем, что многие объек-

сальные усилия, и к настоящему моменту времени

ты и явления, наблюдаемые в физике конденсиро-

в этом направлении достигнут существенный про-

ванных сред, в частности, интеркаляция атомов ше-

гресс [1]. Флуктуационная теория фазовых перехо-

лочных металлов в решетку графита, описываются

дов, а также идеи, заложенные в гипотезах скейлин-

моделью Поттса с числом состояний спина q = 4, а

га, универсальности и в теории ренормализационной

адсорбция инертных газов на адсорбентах типа гра-

группы лежат в основе современного понимания фи-

фита достаточно хорошо описывается низкоразмер-

зики этих явлений [2, 3].

ными моделями Поттса c q = 4 и q = 5 на треуголь-

Следует отметить, что большой успех в теоре-

ной и гексагональной решетках [8, 9], и их исследо-

вание к настоящему времени является своевремен-

тическом исследовании ФП имеет изучение точно

решаемых моделей, которые обладают нетривиаль-

ным. Модель Поттса на квадратной решетке экви-

валентна модели типа льда на линии ФП, и для нее

ным поведением, претерпевая ФП первого или вто-

рого рода, и в то же время позволяют получить точ-

в работе [10] вычислена свободная энергия. Кроме

ную статистическую сумму. Такие модели обычно не

того, для модели Поттса на квадратной, треуголь-

допускают непосредственного сравнения с экспери-

ной и гексагональной решетках, исходя из аргумен-

ментом, но полезны для понимания физики фазо-

та дуальности, получены полиномиальные выраже-

ния, позволяющие получить значения критических

^* E-mail: b_albert78@mail.ru

847

А. К. Муртазаев, А. Б. Бабаев

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

точек [11,12]. Отдельно модель Поттса с q = 4 ин-

Исследования проводились на основе высоко-

тересна тем, что значение q = 4 является гранич-

эффективного кластерного алгоритма Вольфа [13].

ным, выше которого должен наблюдаться ФП пер-

Методика реализации этого алгоритма приведена в

вого рода. Однако к настоящему моменту при изу-

работе [14]. Расчеты проводились для систем с пе-

чении этой модели внимание в основном уделялось

риодическими граничными условиями для систем с

системам на квадратной и треугольной решетках,

линейными размерами L = 10-180 и числом узлов

и особенности критического и термодинамического

N = 2×p×L×L/3. Изначально конфигурации зада-

поведения этой модели на гексагональной решетке

вались таким образом, чтобы все спины были упоря-

практически не изучались.

дочены вдоль одной из осей X, Y или Z. Усреднение

термодинамических параметров осуществлялось по

трем независимым марковским цепям, каждая из

2. МОДЕЛЬ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

которых стартует из разных случайных начальных

конфигураций. Причем для контроля точности вы-

При построении модели Поттса, в частности с

числений число случайных начальных конфигура-

числом состояний спина q = 4, необходимо иметь в

ций доводилось и до десяти. Для вывода системы

виду следующие особенности: в узлах гексагональ-

в равновесное состояние отсекался неравновесный

ной решетки расположены спины S_i, которые могут

участок длиной τ₀ для системы с линейными разме-

ориентироваться в четырех симметричных направ-

рами L. Этот неравновесный участок отбрасывался.

лениях гипертетраэдра в пространстве размерности

В каждой цепи усреднение проводилось по участку

q-1, так что углы между любыми двумя направле-

марковской цепи длиной τ = 160τ₀. Для самой боль-

ниями спинов равны (см. рис. 1); энергия связи меж-

шой системы L = 180, τ₀ = 2·10³ МК шагов/спин. В

ду двумя узлами равна нулю, если они находятся в

конце полученные данные по независимым марков-

разных состояниях (безразлично, в каких именно)

ским цепям усреднялись и между собой.

и равна J, если взаимодействующие узлы находят-

ся в одинаковых состояниях (опять же все равно,

в каких именно). С учетом этих особенностей мик-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ КОМПЬЮТЕРНОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

роскопический гамильтониан такой системы может

быть представлен в виде [9]

Наблюдение за температурным ходом энергии U,

∑

намагниченности m_F , теплоемкости C и восприим-

H =-

δ(S_iS_j), S_i = 1, 2, 3, 4, 5,

(1)

чивости χ осуществлялось с использованием следу-

i,j

ющих выражений [15, 16]:

где

{

U =

[〈U〉],

(2)

1, если S_i = S_j,

δ(S_i,j ) =

0, если S_i = S_j.

q (N_max/N) - 1

m_F =

(3)

q-1

)

C(T ) = (NK²)

U²

- 〈U〉²

(4)

)

χ = (NK)

m2F

- 〈m_F 〉²

(5)

где K = |J|/k_BT ), N_max = max[N₁, N₂, N₃, N₄, N₅],

N_i — число спинов в состоянии с q = i, N — число

узлов решетки, угловые скобки обозначают термо-

динамическое усреднение.

На рис. 2 представлены температурные зависи-

мости энергии U для моделей Поттса с числом сос-

тояний спина q = 4 и q = 5 для спиновых систем

Рис. 1. Двумерная модель Поттса с числом состояний спи-

на q = 4 на гексагональной решетке

с линейными размерами L = 45. Здесь и далее на

всех рисунках погрешность данных не превышает

848

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Фазовые переходы в двумерных моделях Поттса.. .

Рис. 2. Температурная зависимость энергии U для дву-

Рис. 4. Температурная зависимость теплоемкости C для

мерных моделей Поттса

двумерных моделей Поттса

в зависимостях восприимчивости χ и теплоемкости

C от температуры T для двумерной модели Потт-

са с q = 5 в точке фазового перехода проявляют-

ся «всплески», которые характерны для фазового

перехода первого рода. В случае модели Поттса с

q = 4 такие резкие «всплески» не наблюдаются. При

компьютерном моделировании ФП для определения

температуры фазового перехода T_l часто использу-

ют метод кумулянтов Биндера четвертого порядка

[17, 18]:

E⁴

V_L(T, p) = 1 -

(6)

3 〈E²〉

m4F

U_L(T, p) = 1 -

(7)

3 〈m²

〉_L

Рис. 3. Температурная зависимость восприимчивости χ

для двумерных моделей Поттса

где E — энергия, и m_F — намагниченность систе-

мы с линейным размером L. Выражения (6) и (7)

позволяют определить температуру фазового пере-

размеров символов, используемых для обозначения

хода T_l(p) с большой точностью соответственно в

зависимости. Как видно на рис. 2, температурные

фазовых переходах первого и второго рода. Так же

зависимости энергии для модели Поттса с q = 5 де-

данный метод хорошо зарекомендовал себя и при

монстрируют поведение, характерное для фазового

определении рода ФП. Анализ численных данных

перехода первого рода (в точке фазового перехода T_l

с применением этого метода представлен в рабо-

проявляется отчетливый скачок энергии), в то вре-

тах [19-22]. Отличительные черты, характерные для

мя как для модели Поттса с q = 4 такого скачка не

ФП [23]: для ФП первого рода характерно то, что

проявляется. На рис. 3 и 4 представлены характер-

усредненная величина V_L(T, p) стремится к некото-

ные температурные зависимости восприимчивости

рому нетривиальному значению V^∗ согласно выра-

χ и теплоемкости C для спиновых систем, описыва-

жению

емых двумерными моделями Поттса с q = 4 и q = 5

V_L(T, p) = V^∗ + bL^-d

(8)

на гексагональной решетке. Как видно на рис. 3 и 4,

849

А. К. Муртазаев, А. Б. Бабаев

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Рис. 7. Температурная зависимость кумулянтов Биндера

Рис. 5. Температурная зависимость кумулянтов Биндера

VL(T) для двумерной модели Поттса с числом состояний

спина q = 4 на гексагональной решетке

спина q = 5 на гексагональной решетке

Рис. 6. Температурная зависимость кумулянтов Биндера

Рис. 8. Температурная зависимость кумулянтов Биндера

UL(T ) для двумерной модели Поттса с числом состояний

спина q = 5 на гексагональной решетке

спина q = 4 на гексагональной решетке

при L → ∞ и T = T_l(L), где V^∗ = 2/3, что и проде-

картина: усредненная величина кумулянта Биндера

монстрировано на рис. 5 (см. вставку) для модели

V_L(T) (см. рис. 7) при L → ∞ и T = T_l(L), V^∗ стре-

Поттса с q = 5. Характерные зависимости кумулян-

мится к 2/3, что характерно для ФП второго рода,

тов Биндера U_L(T) для двумерной феромагнитной

а температурные зависимости U_L(T) в критической

модели Поттса с q = 5 от температуры для систем

области пересекаются в одной точке T_l, что также

с разными линейными размерами L приведены на

закономерно для ФП второго рода (см. рис. 8). Как

рис. 6. Как видно на рис. 6, кумулянты Биндера не

видно на рис. 8, температура ФП T_l = 0.620 в еди-

имеют ярко выраженной точки пересечений в обла-

ницах J/k_B и достаточно хорошо согласуется с ана-

сти фазового перехода, что является характерным

литическим значением T_l = 1/ ln(5) ≈ 0.6213, по-

признаком ФП первого рода. В то же время для мо-

лученным по формуле T_l = 1/ ln(1 + v), в которой

дели Поттса с q = 4 наблюдается противоположная

v = 4 согласно полиномиальному выражению q² +

850

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Фазовые переходы в двумерных моделях Поттса.. .

Рис. 10. Гистограмма распределении энергии для двумер-

Рис. 9. Гистограмма распределении энергии двумерной

ной модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на

модели Поттса с числом состояний спина q = 5 на гек-

гексагональной решетке при T = T_l

сагональной решетке при T = T_l

точки фазового перехода T_l, но бимодальность в ги-

+ 3qv = v³, выведенному из соображений дуально-

стограмме распределения энергии для этой модели

сти гексагональной решетки [12].

обнаружить не удалось. В этом случае в зависимо-

Отдельно нами проводился гистограммный ана-

сти вероятности P от энергии системы U с достаточ-

лиз данных для моделей Поттса с q = 4 и q = 5 на

но большим линейным размером L для трех различ-

гексагональной решетке. В гистограммном анализе

ных значений температуры вблизи T_l наблюдается

данных вероятность обнаружения системы со значе-

один хорошо выраженный максимум (см. рис. 10),

нием энергии U и параметром порядка m_F опреде-

что характерно для ФП второго рода.

ляется выражением [24]

Таким образом, наши данные, полученные на ос-

нове метода кумулянтов Биндера четвертого поряд-

P (U, m_F ) =

W (U, m_F ) exp[KU],

(9)

ка и методом гистограммного анализа данных, сви-

Z(K)

детельствуют о том, что в двумерной ферромагнит-

где W (U, m_F ) — число конфигураций с энергией U

ной модели Поттса с q = 5 наблюдается ФП первого

и параметром порядка m_F , Z(K) — функция рас-

рода в соответствии с предсказаниями аналитичес-

пределения энергии всей системы, а K — обратная

ких теорий [9, 12], в то время как в случае модели

температура.

Поттса с q = 4 — ФП второго рода. Выяснение ро-

Гистограммный анализ данных, проведенный

да ФП в рассмотренных нами моделях Поттса в за-

нами для двумерной ферромагнитной модели Потт-

висимости от немагнитного беспорядка — предмет

са с числом состояний спина q = 5 на гексагональ-

отдельного исследования.

ной решетке, также свидетельствует о наличии ФП

первого рода. Это продемонстрировано на рис. 9 для

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

спиновой системы с линейным размером L = 120. На

этом рисунке представлены гистограммы распреде-

В данной работе с соблюдением единой методики

ления энергии для трех различных значений темпе-

на основе метода Монте-Карло рассмотрены фазо-

ратуры вблизи T_l. Как видно на рисунке, на зави-

вые переходы в двумерных ферромагнитных моде-

симости вероятности P от энергии системы U наб-

лях Поттса с числом состояний спина q = 4 и q = 5

людаются два хорошо выраженных максимума для

на гексагональной решетке. Полученные данные в

всех рассмотренных значений температур. Наличие

результате наших исследований свидетельствуют о

бимодальности в распределении энергии является

том, что в двумерной модели Поттса с q = 5 на гек-

достаточным признаком ФП первого рода. Соот-

сагональной решетке наблюдается фазовый переход

ветствующий гистограммный анализ данных был

первого рода в соответствии с предсказаниями ана-

проведен и для двумерной ферромагнитной модели

литических теорий [9], а в модели Поттса с q = 4 —

Поттса с q = 4 на гексагональной решетке вблизи

ФП второго рода.

851

А. К. Муртазаев, А. Б. Бабаев

ЖЭТФ, том 161, вып. 6, 2022

Финансирование. Работа выполнена при фи-

12.

F. Y. Wu, Exactly Solved Models: A Journey in Sta-

нансовой поддержке Российского фонда фундамен-

tistical Mechanics, World Scientific, London (2009).

тальных исследований в рамках научного проекта

13.

U. Wolff, Phys. Lett. 62, 361 (1989).

№19-02-00153.

14.

A. B. Babaev and A. K. Murtazaev, Mathematical

Models and Computer Simulations 11, 575 (2019).

ЛИТЕРАТУРА

15.

Р. Бекстер, Точно решаемые модели в статисти-

ческой механике, Мир, Москва (1985).

1. Г. Стенли, Фазовые переходы и критические явле-

ния, Мир, Москва (1973).

16.

P. Peczac, A. M. Ferrenberg, and D. P. Landau, Phys.

Rev. B 43, 6087 (1991).

2. А. З. Паташинский, В. А. Покровский, Флуктуа-

ционная теория фазовых переходов, Наука, Моск-

17.

D. P. Landau and K. Binder, A Guide to Monte

ва (1982).

Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge

University Press, Cambridge (2014).

3. Вик. С. Доценко, УФН 165, 481 (1995).

18.

K. Eichhorn and K. Binder, J. Phys.: Condens.

4. И. К. Камилов, А. К. Муртазаев, Х. К. Алиев,

Matter 8, 5209 (1996).

УФН 169, 773 (1999).

19.

А. К. Муртазаев, А. Б. Бабаев, ЖЭТФ 159, 1041

5. L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944).

(2021).

6. R. M. F. Houtappel, Physica 16, 425 (1950).

20.

А. К. Муртазаев, А. Б. Бабаев, ФТТ 63, 1644

(2021).

7. K. Kanô and S. Naya, Prog. Theor. Phys. 10, 158

(1953).

21.

A. K. Murtazaev and A. B. Babaev, Mater. Lett. 258,

126771 (2020).

8. Г. В. Уймин, Письма в ЖЭТФ 35, 473 (1982).

22.

A. K. Murtazaev and A. B. Babaev, J. Magn. Magn.

9. F. Y. Wu, Rev. Mod. Phys. 54, 235 (1982).

Mater. 440, 101 (2017).

10. R. J. Baxter, J. Phys. C: Solid. State Phys. 6, L445

23.

D. Loison and K. D. Schotte, Euro. Phys. J. B 5, 735

(1973).

(1998).

11. R. J. Baxter, H. N. V. Temperley, and S. E. Ashley,

24.

N. A. Alves, B. A. Berg and R. Villanova, Phys. Rev.

Proc. Roy. Soc. A 358, 535 (1978).

B 41, 383 (1990).

852