ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 1 (7), стр. 5-13

ВРЕМЕННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕЗОНАНСНЫХ

ФОТОПРОЦЕССОВ, ИНДУЦИРОВАННЫХ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ

РАЗЛИЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ

В. А. Астапенко^*

Московский физико-технический институт (Национальный исследовательский университет)

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 14 декабря 2021 г.,

после переработки 21 декабря 2021 г.

Принята к публикации 21 декабря 2021 г.

В рамках теории возмущений исследуется временная зависимость (от длительности импульса и текущего

времени) резонансных фотопроцессов, индуцированных электромагнитными импульсами различной дли-

тельности, включая ультракороткие и квазимонохроматические. Рассмотрены импульсы с гауссовской и

экспоненциальной огибающими, а также лоренцевский и гауссовский спектральные профили сечения фо-

топроцесса. Получены простые аналитические выражения для вероятности в пределе больших времен.

Временная зависимость при заданной длительности импульса исследована аналитически в монохрома-

тическом и ультракоротких пределах и численно для промежуточных значений параметров. Установлены

специфические черты временной динамики, общие для резонансных фотопроцессов и зависящие от фор-

мы импульса и спектрального профиля сечения.

DOI: 10.31857/S004445102207001X

измерена временная задержка при фотоионизации

EDN: DRLUJU

2s- и 2p-уровней атома неона, которая составила

21 ас [13].

Аттосекундная хроноскопия применяется также

1. ВВЕДЕНИЕ

для изучения временной динамики фотоионизации

твердых тел, фуллеренов и наноструктур [14], рас-

Современное развитие технологии генерации

сеяния электронов в диэлектрических наночастицах

электромагнитных импульсов (ЭМИ) различной

[15], аттосекудной динамики в жидкости [16] и ря-

длительности, включая ультракороткие

[1-5], и

да других фотоиндуцированных процессов. Сущест-

спектроскопии высокого временного разрешения

вующие методы описания этих явлений реализова-

[6-9] требуют развития адекватных, эффективных

ны, как правило, для конкретных процессов и ми-

и надежных способов описания временной зависи-

шеней, а также для заданных параметров ЭМИ.

мости фотопроцессов в поле таких импульсов.

Можно отметить численные расчеты отклика ми-

Экспериментально временная зависимость фо-

шени на электромагнитное воздействие, опирающи-

тоионизации атомов ультракороткими ЭМИ в на-

еся, например, на прямое интегрирование временно-

стоящее время исследуется методами аттосекундной

го уравнения Шредингера [17,18], и аналитическое

хроноскопии [10]. В их основе лежит аттосекундный

рассмотрение, широко представленное работами по

стрикинг [11,12]. Это метод накачки-зондирования,

резонансу Фано [19-24].

в котором аттосекундный XUV-импульс служит на-

Здесь уместно выделить взаимодействие ЭМИ с

качкой, создающей электронный волновой пакет, в

то время как малоцикловой ИК-импульс его зон-

квантовым осциллятором, поскольку в этом случае

имеется аналитическое решение для любых пара-

дирует при различных временных задержках меж-

метров внешнего воздействия [25,26]. Временная ди-

ду импульсами. Таким образом, в частности, была

намика возбуждения квантового осциллятора в поле

^* E-mail: astval@mail.ru

ЭМИ детально исследовалась в работе [27]. Отме-

В. А. Астапенко

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

тим также, что в статье [28] этот вопрос рассмат-

ные, что важно в случае сложных систем, для кото-

ривался в приближении внезапных возмущений для

рых точный расчет сечения представляет собой зна-

униполярных ультракоротких импульсов. В рабо-

чительную проблему. Таким образом, данный метод

те [29] временная зависимость среднего числа кван-

является ¾гибридным¿ и применимым для широко-

тов квантового осциллятора, возбужденного чирпи-

го круга радиационных процессов с участием раз-

рованными гауссовскими импульсами, рассчитыва-

ных мишеней от атомов до наночастиц [36-41].

лась с помощью решения уравнения Гейзенберга для

В настоящей статье подход, предложенный в ра-

операторов рождения и уничтожения.

ботах [34,35], используется для универсального опи-

При экстенсивных численных расчетах, требу-

сания резонансных фотопроцессов, индуцирован-

ющих больших вычислительных ресурсов и време-

ных ЭМИ произвольной длительности с различны-

ни, затруднена физическая интерпретация получен-

ми огибающими, с целью выявления общих законо-

ных результатов и выявление характерных особен-

мерностей и специфических черт их временной за-

ностей исследуемого процесса. Поэтому представля-

висимости.

ется полезным аналитическое рассмотрение, приме-

нимое для широкого круга задач, которое позволя-

2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

ет выявить общие закономерности и специфические

черты фотопроцессов, обусловленных конечной дли-

Рассмотрим возбуждение квантовой системы

тельностью и формой огибающей ЭМИ.

(мишени) под действием ЭМИ в рамках применимо-

Так, в статье [30] приведены формулы, описы-

сти теории возмущений и дипольного приближения.

вающие вероятность фотоионизации атома под дей-

Вероятность данного процесса как функция вре-

ствием мало- и субцикловых ЭМИ различной фор-

мени в первом порядке теории возмущений после

мы, которые получены в рамках адиабатического

усреднения по начальному состоянию мишени

подхода, использованного ранее в классической ра-

дается следующим выражением:

боте [31] для расчета ионизации атома в поле ин-

тенсивной электромагнитной волны. В цитирован-

∫

ной статье, в частности, отмечается важность ана-

W (t) =

dt^′ ×

ℏ²

литических решений, которые могут оказаться по-

-∞

лезными для представления общей картины процес-

∫

са.

× dt^′′

d (t^′)

d (t^′′) E (t^′) E (t^′′) .

(1)

Взаимодействие ультракоротких импульсов с

−∞

квантовыми объектами рассматривалось в [32] в

приближении внезапных возмущений. В этой статье

Здесь

d(t)

зависящий от времени оператор ди-

было получено выражение для амплитуды перехода

польного момента системы, угловые скобки означа-

через ¾электрическую площадь импульса¿, которое

ют усреднение по начальному состоянию, E (t) на-

может использоваться для различных квантовых

пряженность электрического поля в ЭМИ. Предпо-

систем в случае предельно коротких импульсов

лагаем в дальнейшем, что E (t → ±∞) → 0.

с длительностями, меньшими обратных собствен-

В статье [35] было показано, что равенство (1)

ных частот системы. В том же приближении в

можно преобразовать к виду

работе [33] вероятность возбуждения квантового

∞

перехода под действием субциклового униполярного

∫

σ (ω)

импульса с различными огибающими исследовалась

W (t, τ) =

dω

D (t, τ, ω).

(2)

4π²

ℏω

как функция длительности импульса и текущего

времени.

Здесь σ (ω)

сечение фотовозбуждения мишени,

Простой способ расчета вероятности фотопро-

c скорость света,

цессов в рамках теории возмущений, предложенный



в статье [34] и дополненный в [35], позволяет разде-



∫



лить задачу на две части. Первая часть относится



D (t, τ, ω) =

dt^′ exp (i ω t^′) E (t^′, τ)

(3)



к внутренней динамике электронов мишени, кото-



-∞

рая описывается сечением, а вторая зависит только

от напряженности электрического поля в импульсе.

квадрат модуля неполного фурье-образа напря-

Существенно, что для сечения можно использовать

женности электрического поля в ЭМИ (D-функ-

как теоретические, так и экспериментальные дан-

ция), τ длительность импульса.

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Временная зависимость резонансных фотопроцессов. . .

Рассмотрим далее два типа импульсов: с гауссов-

где w

вероятность в единицу времени, I₀

ской огибающей

= cE²⁰/8π .

(

)

Отметим, что выражение, аналогичное (8), для

E_G (t, τ) = E₀ exp

-t²/2τ²

cos(ω_c t)

(4)

спектрально-угловой вероятности рассеяния ЭМИ

на атоме вне рамок дипольного приближения мож-

и экспоненциальный импульс

но получить и с помощью квантовомеханического

рассмотрения [42].

E_EP (t, τ) = θ (t) E₀ exp(-t/τ)cos(ω_c t) .

(5)

Формулу (8) полезно представить в виде [43]

Здесь E₀ и ω_c амплитуда и несущая частота ЭМИ,

∞

∫

θ (t)

ступенчатая функция Хевисайда.

J_phot (ω, τ)

W (τ) = σ (ω)

dω,

(8a)

Далее предполагаем, что ЭМИ являются муль-

ℏω

тицикловыми, так что выполняется неравенство

где

ω_c τ ≫ 1 и можно пренебречь наличием постоянной

составляющей поля в импульсах.

J_phot (ω, τ) =

|E (ω, τ)|²

(9)

В приближении вращающейся волны для

4π²

D-функции импульсов (4) и (5) имеем

энергия излучения на частоте ω, прошедшая за

все время действия импульса через единичную пло-

(

)

щадь. Выражение (8a) обнаруживает связь рассмат-

D_G (t, τ, ω)=π

E²⁰ τ² exp -(ω - ωc)2 τ2

риваемого подхода с методом эквивалентных фото-



(

)



²

t/τ + i |ω - ω_c| τ

нов Ферми [44].



rfc

√

(6)

e



Предположим, что сечение фотопроцесса пред-

ставимо в виде

σ (ω) = σ_tot G (ω) ,

D_EP (t, τ, ω)=1

θ (t) E²⁰ τ² ×

∫

σ_tot = σ (ω) dω,

1+exp(-2t/τ)-2 exp(-t/τ)cos[(ω-ω_c) t]

(10)

(7)

∫

1 + τ²(ω - ω_c)²

G(ω) dω = 1,

где erfc (z) дополнительная функция ошибок.

где G (ω) спектральный профиль сечения. Далее

полагаем, что профиль имеет максимум на собствен-

3. ВЕРОЯТНОСТЬ ФОТОПРОЦЕССА ЗА ВСЕ

ной частоте ω₀ и спектральную ширину γ, причем

ВРЕМЯ ДЕЙСТВИЯ

ω₀ ≫ γ. Тогда равенство (8) можно переписать при-

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА

ближенно как

∞

∫

При больших временах, t ≫ τ, когда ЭМИ уже

практически закончился, формула (2) принимает

W (τ) =cσtot

dω G (ω) |E (ω, τ)|².

(11)

4π² ℏ ω₀

вид [34]

∫

∞

Введем безразмерную функцию F от безразмер-

σ (ω)

ных длительности импульса y и отстройки несущей

W (τ) =

dω

|E (ω, τ)|²,

(8)

4π²

ℏω

частоты от собственной ρ:

∞

∫

где E (ω, τ)

фурье-образ напряженности элект-

γ²

F (y, ρ) =

dω G (ω) |E (ω, τ = y/γ)|²,

(12)

рического поля. Очевидно, что в рассматриваемом

E20

случае введенные выше D-функции равны квадрату

модуля фурье-образа напряженности поля.

y = γτ, ρ = (ω₀ - ω_c)/γ.

(13)

Как было показано в статье [34] в рамках фено-

менологического подхода, выражение (8) обобщает-

Данная функция описывает зависимость вероятнос-

ся на произвольный фотопроцесс, который в моно-

ти фотопроцесса от длительности импульса в преде-

хроматическом пределе (τ → ∞) описывается сече-

ле больших времен, когда импульс практически за-

нием σ (ω) по стандартной формуле:

кончился, для разных частотных отстроек. Ее мож-

но получить в аналитическом виде для гауссовско-

I₀

w = σ(ω)

го и экспоненциального импульсов и гауссовского и

ℏω

В. А. Астапенко

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

лоренцевского спектральных профилей. После ин-

тегрирования по частоте в формуле (12) находим

следующие выражения для F -функции в различных

случаях:

а) гауссовский профиль и гауссовский импульс:

(

)

ρ² y²

F_G,GP (y, ρ) =

√

exp

(14)

1+y²

–

б) лоренцевский профиль и гауссовский импульс:

F_L,GP (y, ρ) = y² Re {w [y (i + ρ)]},

(15)

–

в) гауссовский профиль и экспоненциальный им-

пульс:

–

[ (

)]

–

F_G,EP (y, ρ) = y Re w ρ +

(16)

Рис. 1. Функции F для гауссовского импульса и гауссовс-

г) лоренцевский профиль и экспоненциальный им-

кого профиля для различных отстроек ρ: сплошная кри-

пульс:

вая ρ = 1, пунктирная кривая ρ = 2, штриховая кри-

вая ρ = 2.5

y² (1 + y)

F_L,EP (y, ρ) =

(17)

(1 + y)² + ρ²y²

В формулах (15) и (16) введена комплексная функ-

ция ошибки

(

)

w (z) = exp

-z²

erfc (-i z).

(18)

Выражение (14) было получено в работе [45] при

–

расчете временной зависимости поглощения энергии

ЭМИ на неоднородно уширенном радиационном пе-

реходе.

В монохроматическом пределе, когда y ≫ 1 (τ ≫

–

≫ 1/γ), формулы (14)-(17) дают линейную зависи-

мость от длительности импульса, что согласуется с

результатом стандартного подхода к описанию фо-

топроцессов с помощью вероятности в единицу вре-

–

мени (золотое правило Ферми).

–

Для коротких импульсов, y ≪ 1, из полученных

выражений следует квадратичная зависимость ве-

роятности от длительности импульса.

Рис. 2. Функции F для гауссовского импульса и лорен-

Важным принципиальным свойством функций

цевского профиля для различных отстроек ρ: сплошная

(14)-(17) является их нелинейная зависимость от

кривая ρ = 3, пунктирная кривая ρ = 4, штриховая

длительности импульса, возникающая в линейном

кривая ρ = 6

режиме по интенсивности электромагнитного поля,

в контрасте с традиционным подходом, использую-

щим вероятность в единицу времени, что подразуме-

немонотонными для достаточно больших отстроек

вает линейную зависимость от длительности ЭМИ.

несущей частоты от резонансной. В первой из них

На рис. 1-4 приведены графики F-функций (14)-

возникают экстремумы при отстройках ρ > 1.707

(17) для различных значений безразмерной отстрой-

[45], во второй при ρ > 3.85. В случае гауссовско-

ки ρ.

го профиля минимум более глубокий, чем для ло-

Существенно, что функции длительности им-

ренцевского, и лежит в области больших длительно-

пульса (14), (15) для гауссовского ЭМИ являются

стей. С ростом отстройки ρ положение экстремумов

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Временная зависимость резонансных фотопроцессов. . .

ного и линейного роста. В случае гауссовского про-

филя, как это видно из рис. 3, при больших отстрой-

ках зависимость от длительности импульса стано-

вится слабой. Угол наклона соответствующей пря-

(

)

мой пропорционален exp

-ρ²

Из формул (14)-(17) также следует, что спек-

тральная ширина вероятности фотопроцесса ∆ω

–

определяется не только спектральной шириной се-

чения γ, но и длительностью ЭМИ. Так, в случае (а)

спектральный профиль вероятности является гаус-

√

–

совским с шириной ∆ω =

γ² + 1/τ² ; в случае (б)

профиль описывается контуром Фойгта с ∆ω_G =

= 1/τ, ∆ω_L = γ; в случае (в) контуром Фойгта

с ∆ω_G = γ, ∆ω_L = 1/τ; в случае (г) профиль явля-

-3

–

ется лоренцевским, ∆ω = γ + 1/τ.

Рис. 3. Функции F для экспоненциального импульса и

4. ЗАВИСИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ

гауссовского профиля для различных отстроек ρ: сплош-

ФОТОПРОЦЕССА ОТ ВРЕМЕНИ ПРИ

ная кривая ρ = 1, пунктирная кривая ρ = 2, штрихо-

ЗАДАННОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСА

вая кривая ρ = 4

4.1. Монохроматический предел

В монохроматическом пределе, τ

≫ 1/γ,

D-функции ЭМИ (6), (31) имеют резкий максимум

на частоте ω = ω_c, так что остальные множители в

подынтегральном выражении (2) можно вынести за

знак интеграла на несущей частоте. Тогда формула

(2) принимает вид

∫∞

–

σ (ω_c)

W (t, τ) =c

D (t, τ, ω)dω.

(19)

4π²

ℏω

–

Для экспоненциального импульса подстановка

(31) в (19) дает

-3

σ (ω_c)

–

W_EP (t, τ ≫ 1/γ) ≈

16π ℏ ω_c

(

)

× θ(t) E²⁰τ

1-e^-2t/τ

(20)

Рис. 4. Функции F для экспоненциального импульса и ло-

ренцевского профиля для различных отстроек ρ: сплошная

Из (20) следует, что линейный по времени рост

кривая ρ = 2, пунктирная кривая ρ = 3, штриховая

вероятности имеет место при малых временах t ≪ τ,

кривая ρ = 4

а линейный по длительности импульса в противо-

положном пределе t ≫ τ.

Для гауссовского импульса, подставляя (6) в

в случае лоренцевского профиля смещается в об-

(19), получаем в нулевом приближении:

ласть меньших длительностей, а в случае гауссовс-

кого y_max уменьшается, а y_min растет.

c σ(ω_c)

Функции (16), (17), описывающие фотопроцесс,

W_GP (t, τ ≫ 1/γ) ≈

√

π ℏω_c

индуцированный экспоненциальным ЭМИ, моно-



(

)



²

тонно возрастают для всех значений параметра ρ с



×E²⁰τ

rfc

-√

(21)

e



точкой перегиба, разделяющей области квадратич-

2τ

В. А. Астапенко

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Для малых времен t ≪ τ вероятность (21) растет

Для гауссовского импульса в пределе ультрако-

линейно со временем, поскольку тогда

ротких ЭМИ имеем



(

)

√



²

2 t



W_GP (t, τ ≪ 1/γ)=cσtot E²⁰τ² ×

rfc

-√

≈1+2

e



2τ

π τ

32 π ℏω

(

)

× exp

-(ω₀ - ω_c)2 τ2

4.2. Предел ультракоротких импульсов



(

)



t/τ + i |ω₀ - ω_c| τ

²



rfc

√

(26)

Предел ультракоротких импульсов отвечает

e



неравенству τ

≪ 1/γ. Тогда в выражении для

вероятности фотопроцесса

(2) профиль спект-

Подчеркнем, что в отличие от случая экспонен-

рального сечения (10) можно положить равным

циального импульса (24) вероятность фотопроцес-

дельта-функции:

са, индуцированного ультракоротким гауссовским

ЭМИ (26), не имеет временных осцилляций на раз-

G (ω) ≈ δ (ω - ω₀) .

(22)

ностной частоте |ω₀ - ω_c|. Для ¾двойного экспонен-

циального импульса¿ с огибающей ∝ exp (-|t|/τ )

В результате имеем

эти осцилляции тоже имеют место.

c σ_tot

При рассмотрении дифференциальной по энер-

W (t, τ ≪ 1/γ) =

D (t, τ, ω₀).

(23)

4π² ℏ ω₀

гии фотоэлектрона вероятности ионизации атома

под действием ЭМИ справедливо соотношение (22),

Таким образом, зависимость вероятности фото-

в котором нужно положить ω₀ = (I_P + ε)/ℏ (I_P

процесса от времени и длительности импульса пол-

потенциал ионизации, ε энергия фотоэлектрона),

ностью определяется D-функцией на собственной

и, соответственно, применимы формулы (23)-(26).

частоте спектрального сечения. Для вероятности

Тогда представляется возможным использовать ме-

возбуждения связанно-связанного перехода в ато-

тоды аттосекундной хронометрии [10-12], о которой

ме водорода выражение (23) было получено в ра-

говорилось во Введении, для наблюдения времен-

боте [35].

ной зависимости вероятности процесса, описывае-

В случае экспоненциального импульса, подстав-

мой приведенными выше выражениями.

ляя (31) в (22), получаем

4.3. Общий случай

W_EP (t, τ ≪ 1/γ)=cσtot θ(t)E0 τ

16π² ℏω₀ 1 + τ²(ω₀ - ω_c)²

Для произвольных значений параметров зависи-

{(

)₂

( (ω₀-ω_c) t)}

мость вероятности фотопроцесса от времени, дли-

1-e^-t/τ

+4e^-t/τsin²

(24)

тельности ЭМИ и его несущей частоты определяет-

ся интегралом:

Выражение (24) демонстрирует колебания во

времени вероятности фотопроцесса для t < τ. Пери-

∞

∫

G(ω, γ)

од этих колебаний обратно пропорционален модулю

J (t, τ, ω_c) =

dω

D (t, ω, τ, ω_c).

(27)

E²

отстройки несущей частоты от собственной частоты

сечения фотопроцесса. Колебания спектральной ве-

роятности резонансного рассеяния ультракоротких

Результаты расчетов временной зависимости ве-

импульсов на частоте |ω₀ - ω^′| (ω^′ частота рассе-

роятности фотопроцесса с помощью формулы (27)

янного излучения) были получены в работе [46] для

для экспоненциального импульса и лоренцевского

времен t > 2τ и произвольной формы импульса.

профиля сечения для ¾промежуточных¿ длительно-

В резонансе, ω_c = ω₀, из (24) следует, что

стей τ ∼ 1/γ приведены на рис. 5, 6 для собственной

частоты ω₀ = 0.4 отн. ед.

c σ_tot

W_EP (t, ω₀ = ω_c) =

θ (t) ×

Величины параметров даны в относительных

16π² ℏω₀

единицах.

(

)₂

×E²⁰

τ2 1-e-t/τ

(25)

Как видно из рис. 5, 6, осцилляции временной

зависимости вероятности фотопроцесса, индуциро-

значит, для t < τ вероятность квадратично возрас-

ванного экспоненциальным импульсом, на частоте

тает со временем в отличие от монохроматического

ω_osc = |ω₀ - ω_c| возникают при ненулевой отстройке

случая (20).

несущей частоты от собственной частоты сечения и

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Временная зависимость резонансных фотопроцессов. . .

10⁶

8.10³

6.10

10⁵

4.10

10⁴

2.10

10³

-1000

-500

500

1000

200

400

600

800

1000

Рис. 7. Зависимости вероятности фотопроцесса от вре-

Рис. 5. Зависимости вероятности фотопроцесса от вре-

мени для гауссовского импульса и разных спектральных

мени для различных несущих частот экспоненциального

ширин лоренцевского профиля: сплошная кривая γ =

импульса: сплошная кривая ωc = 0.4, пунктирная кри-

= 3 · 10^-3, пунктирная кривая γ = 10^-3, штриховая

вая ωc = 0.41, штриховая кривая ωc = 0.42; τ = 10³,

γ = 10^-3

кривая γ = 10^-4; τ = 500, ωc = 0.42

6.10³

8.10³

6.10³

4.10³

2.10³

–2 . 10³

-1.103

1.10³

2.10³

200

400

600

800

1000

Рис. 8. Зависимости вероятности фотопроцесса от време-

Рис. 6. Зависимости вероятности фотопроцесса от време-

ни для различных длительностей гауссовского импульса

ни для экспоненциального импульса и разных спектраль-

(γτ ∼ 1): сплошная кривая τ = 200, пунктирная кри-

ных ширин лоренцевского профиля: сплошная кривая

вая τ = 500, штриховая кривая τ = 1000; ωc = 0.42,

γ = 10^-2, пунктирная кривая γ = 4 · 10^-3, штриховая

γ = 10^-3

кривая γ = 10^-4; τ = 500, ωc = 0.42

Из рис. 7-30 видно, что для гауссовского импуль-

при достаточно малых ширинах спектрального про-

са временные осцилляции вероятности на частоте

филя γ < |ω_c - ω₀|. Кроме того, длительность им-

ω_osc = |ω₀ - ω_c| отсутствуют.

пульса должна быть больше периода осцилляций.

Максимум функции J_GP (t) появляется при вы-

Результаты расчетов по формуле (27) для гаус-

полнении неравенства γ < |ω₀ - ω_c|. Для длинных

совских импульсов ¾промежуточной¿ длительности

импульсов максимум в зависимости J_GP (t) возни-

(τ

∼ 1/γ) и ω₀

= 0.4 отн.ед. представлены на

кает с уменьшением длительности (рис. 8), а для

рис. 7-9.

коротких с увеличением τ (рис. 9). Этот вывод

В. А. Астапенко

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

чения, так и длительностью ЭМИ в соответствии с

4.10³

полученными формулами.

В предельных случаях длинных и коротких им-

пульсов экспоненциальной и гауссовской формы по-

3.10³

лучены аналитические выражения для вероятности

фотопроцесса как функции времени W (t).

В монохроматическом пределе γτ ≫ 1 на малых

2.10³

временах t ≪ τ вероятность W (t) линейно возрас-

тает со временем. При этом для всех времен данная

функция не содержит экстремумов.

1.10³

Для ультракороткого экспоненциального им-

пульса вероятность при определенных условиях

может иметь временные осцилляции на разностной

-200

200

400

частоте ω_osc = |ω₀ - ω_c|, в то время как для гаус-

совского импульса эти осцилляции отсутствуют.

Рис. 9. То же, что на рис. 8, для меньших длительностей

Данные осцилляции не являются осцилляциями

импульса (γτ < 1): сплошная кривая τ = 20, пунктирная

Раби: их частота не зависит от амплитуды поля.

кривая τ = 50, штриховая кривая τ = 100; ωc = 0.42,

В общем случае для гауссовских ЭМИ нет одно-

γ = 10^-3

значной связи между появлением максимума функ-

ции W (t), длительностью импульса и спектральной

шириной сечения фотопроцесса.

был сделан в [35] при рассмотрении ультракоротко-

Таким образом, в настоящей статье продемон-

го предела возбуждения атома аттосекундным им-

стрировано, что учет конечной длительности и фор-

пульсом.

мы огибающей ЭМИ приводит к выявлению спе-

цифических свойств фотопроцессов, которые отсут-

ствуют при их описании с помощью вероятности в

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

единицу времени и золотого правила Ферми.

В работе в рамках теории возмущений просле-

жена зависимость вероятности резонансного фото-

ЛИТЕРАТУРА

процесса от времени, длительности и формы ЭМИ,

1. M. Hassan, A. Wirth, I. Grguras et al., Rev. Sci.

а также от профиля спектрального сечения.

Instrum. 83, 111301 (2012).

Для больших времен, когда ЭМИ уже практиче-

ски закончился, получены простые формулы, опи-

2. F. Krausz and M. Ivanov, Rev. Mod. Phys. 81, 163

(2009).

сывающие вероятность фотопроцесса как функцию

безразмерных параметров импульса для нескольких

3. J. Xu, B. Shen, X. Zhang et al., Sci. Rep. 8, 2669

сочетаний огибающей импульса и профиля сечения.

(2018).

Показано, что общим для выведенных выражений

4. Р. М. Архипов, М. В. Архипов, А. А. Шимко и др.,

является их квадратичная зависимость от длитель-

Письма в ЖЭТФ 110, 9 (2019).

ности импульса в ультракоротком пределе и линей-

ная для квазимонохроматических ЭМИ. Последнее

5. М. К. Есеев, В. И. Матвеев, Д. Н. Макаров, Пись-

согласуется с результатом стандартного подхода, ис-

ма в ЖЭТФ 114, 444 (2021).

пользующего вероятность в единицу времени. В слу-

6. K. Ramasesha, S. R. Leone, and D. M. Neumark,

чае гауссовской огибающей зависимость вероятно-

Ann. Rev. Phys. Chem. 67, 41 (2016).

сти фотопроцесса от длительности импульса для до-

статочно больших отстроек несущей частоты от соб-

7. М. Ю. Рябикин, М. Ю. Емелин, В. В. Стрелков,

ственной является немонотонной функцией, имею-

УФН (2022).

щей максимум и минимум. Указанные экстремумы

8. P. B. Corkum and F. Krausz, Nature Phys. 3, 381

сильнее проявляются в случае гауссовского профи-

(2007).

ля сечения, чем в случае лоренцевского. Спектраль-

ная ширина вероятности за все время действия им-

9. Д. В. Мещанкин, А. А. Воронин, Е. Е. Серебряков

пульса определяется как спектральной шириной се-

и др., Письма в ЖЭТФ 106, 621 (2017).

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Временная зависимость резонансных фотопроцессов. . .

10.

R. Pazourek, S. Nagele, and J. Burgdorfer, Rev. Mod.

27.

В. А. Астапенко, Ф. Б. Розми, Е. В. Сахно, ЖЭТФ

Phys. 87, 765 (2015).

160, 155 (2021).

28.

R. M. Arkhipov, A. V. Pakhomov, M. V. Arkhipov

11.

J. Itatani, F. Quere, G. L. Yudin et al., Phys. Rev.

Lett. 88, 173903 (2002).

et al., Opt. Lett. 44, 1202 (2019).

29.

S. S. Hassan, R. A. Alharbey, T. Jarad et al., Int. J.

12.

R. Klenberger, E. Goulielmakis, M. Uiberacker et al.,

Appl. Math. 33, 59 (2020).

Nature 427, 817 (2004).

30.

Л. В. Келдыш, УФН 187, 1280 (2017).

13.

M. Schultze, M. Fiess, N. Karpowicz et al., Science

328, 1658 (2010).

31.

Л. В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1945 (1964).

32.

Н. Н. Розанов, Опт. и спектр. 124, 75 (2018).

14.

U. Thumm, O. Liao, E. M. Bothschafter et al.,

in Fundamentals of Photonics and Physics, ed. by

33.

R. Arkhipov, A. Pakhomov, M. Arkhipov et al., Opt.

D. L. Andrew, Ch. 13, Wiley, New York (2015).

Express 28, 17020 (2020).

15.

L. Seiffer, Q. Liu, S. Zherebtsov et al., Nature Phys.

34.

V. A. Astapenko, Phys. Lett. A 374, 1585 (2010).

13, 766 (2017).

35.

В. А. Астапенко, ЖЭТФ 157, 67 (2020).

16.

H. J. Worner, A. Schild, D. Jelovina et al., arXiv:

36.

F. B. Rosmej, V. A. Astapenko, and V. S. Lisitsa,

2009.04913v [cond-mat.other].

Phys. Rev. A 90, 043421 (2014).

17.

V. Prasad, B. Dahiya, and K. Yamashita, Phys.

37.

В. А. Астапенко, С. Ю. Свита, ЖЭТФ 148, 444

Scripta 82, 055302 (2010).

(2015).

18.

A. C. Brown, G. Armstrong, J. Benda et al., Comput.

38.

В. А. Астапенко, С. В. Сахно, ЖЭТФ 150, 1

Phys. Comm. 250, 107062 (2020).

(2016).

19.

Th. Mercouris, Y. Komninos, and C. A. Nicolaides,

39.

В. А. Астапенко, В. С. Лисица, А. В. Яковец,

Phys. Rev. A 75, 013407 (2007).

ЖЭТФ 154, 1087 (2018).

20.

C. A. Nicolaides, Th. Mercouris, and Y. Komninos,

40.

V. A. Astapenko, O. J. Ilegbusi, S. V. Sakhno, and

Phys. Rev. A 80, 055402 (2009).

L. I. Trakhtenberg, J. Photochem. Photobiol. A:

Chemistry 371, 76 (2019).

21.

W.-C. Chu and C. D. Lin, Phys. Rev. A 82, 053415

(2010).

41.

V. A. Astapenko, F. B. Rosmej, and E. S. Khramov,

Matter Rad. Extrem. 6, 054404 (2021).

22.

L. Argenti, R. Pazourek, J. Feist et al., Phys. Rev.

A 87, 053405 (2013).

42.

В. А. Астапенко, ЖЭТФ 139, 228 (2011).

23.

A. Desrier, A. Maquet, R. Taieb et al., Phys. Rev.

43.

V. A. Astapenko, A. Calisti, and V. S. Lisitsa, High

A 98, 053406 (2018).

Energy Density Phys. 31, 59 (2019).

24.

M. Tribelsky and A. Miroshnichenko, Nanophotonics

44.

E. Fermi, Z. Phys. 29, 315 (1924).

0340 (2021).

45.

В. А. Астапенко, С. Ю. Свита, Изв. вузов. Физика

25.

J. Schwinger, Phys. Rev. 91, 728 (1953).

57, 46 (2014).

26.

K. Husimi, Prog. Theor. Phys. 9, 381 (1953).

46.

V. A. Astapenko, Appl. Phys. B 126, 110 (2020).