ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 1 (7), стр. 27-33

НЕУПРУГОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ РЕНТГЕНОВСКОГО ФОТОНА

АТОМНЫМ ИОНОМ

А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский^*, Р. В. Конеев

Ростовский государственный университет путей сообщения

344038, Ростов-на-Дону, Россия

Поступила в редакцию 3 февраля 2022 г.,

после переработки 7 февраля 2022 г.

Принята к публикации 8 февраля 2022 г.

Вне рамок дипольного приближения для оператора контактного перехода построен нерелятивистский

вариант квантовой теории процесса неупругого расщепления жесткого рентгеновского фотона на два

фотона атомным ионом.

DOI: 10.31857/S0044451022070033

EDN: ECVEKL

1. ВВЕДЕНИЕ

Экспериментальному и теоретическому исследо-

ванию фундаментальных процессов нерезонансного

кратного комптоновского рассеяния фотона свобод-

ным электроном посвящено большое количество ра-

бот (см., например, [1-7]). В недавней работе авто-

ров [8] проведено теоретическое исследование про-

цесса нерезонансного двойного комптоновского рас-

Рис. 1. Амплитуда вероятности процесса (AM a; BM

сеяния фотона атомным ионом. Этот процесс был

b) неупругого расщепления фотона на два фотона атом-

нами интерпретирован (см. также [6]) как неупругое

ным ионом Ne⁸⁺ в представлении диаграмм Фейнмана.

(ион переходит в возбужденное состояние) расщеп-

Стрелка вправо электрон сплошного спектра, стрелка

ление фотона на два фотона атомным ионом. Та-

влево вакансия. Двойная линия состояние получено

в хартри-фоковском поле 1s-вакансии. Черный (светлый)

кая общая интерпретация обусловлена тем, что при

кружок вершина взаимодействия по оператору радиаци-

неупругом рассеянии фотона многоэлектронной си-

онного (контактного) перехода: ω (ωn, n = 1, 2) падаю-

стемой лишь часть парциальных амплитуд вероят-

щий (рассеянный) фотон: ω ≥ I1s. Направление времени

ности перехода (диаграмм Фейнмана) соответству-

слева-направо (t1 < t2)

ет временной последовательности комптон-эффект

(в момент времени t₁) [9, 10] и последующее тор-

Тамма - Данкова (число частиц в рассечениях диа-

мозное излучение второго фотона (в момент вре-

грамм Фейнмана N ≤ 3) и даем более детальное

мени t₂), t1 < t2 (рис. 1b). В самом деле, напри-

изложение теории процесса.

мер, диаграмму Фейнмана на рис. 1а естественно

В качестве объекта исследования взят гелиопо-

интерпретировать как амплитуду вероятности ло-

добный атом неона (Ne⁸⁺, заряд ядра иона Z =

кального двойного тормозного излучения сплош-

= 10, конфигурация и терм основного состояния

ным спектром возбужденного состояния атомного

[

]

[0] = 1s²

¹S₀

). Следует ожидать, что полученные

иона в момент времени t₂. В данной работе мы до-

результаты будут широко востребованы, в частнос-

полняем результаты [8] выходом за рамки диполь-

ти, в физике магнитной термоядерной плазмы (см.,

ного приближения для оператора контактного пере-

например, [11, 12]) и при интерпретации фоновых

хода, учитываем следующий порядок приближения

(континуальных) структур спектров эмиссии гелио-

^* E-mail: amnrnd@mail.ru

подобных ионов от горячих астрофизических объек-

А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский, Р. В. Конеев

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

тов (см., например, [13,14]).

естественная ширина распада 1s-вакансии атомного

иона. Переход |0〉 → |Φ〉 реализуется через

R-опе-

ратор радиационного поглощения, где c скорость

2. ТЕОРИЯ

света в вакууме, p_m оператор импульса m-го элек-

трона атомного иона,

A_m оператор электромаг-

Рассмотрим процесс неупругого расщепления

нитного поля (в момент времени t = 0) в представ-

фотона на два фотона электронами иона Ne⁸⁺:

{

}

лении вторичного квантования, r_m радиус-вектор

K₁

(₁

)

m-го электрона атомного иона, e_kρ (k) вектор по-

ω + [0] →

→ 1sεp

P₁

+ω₁ +ω₂,

(1)

K₂

ляризации (волновой вектор) фотона и N

чис-

(₁

)

ло электронов в атомном ионе. Переход |Φ〉 → |X〉

K₁ = 1sxp

P₁

(2)

(₁

)

реализуется через нелинейный по электромагнитно-

K₂ = 1sxs

S₀

+ ω_n, n = 1, 2.

(3)

му полю

C-оператор контактного взаимодействия.

В данной статье

C-оператор рассмотрен вне рамок

В (1) и далее принята атомная система единиц

дипольного приближения с использованием разло-

(m_e = e = ℏ = 1), ω (ω_n) энергия падающего

жения экспоненты по сферическим функциям (фор-

(рассеянного) фотона, ω ≥ I_1s, I_1s энергия поро-

мула Рэлея). Для

R-оператора принято дипольное

га ионизации 1s-оболочки иона и x (ε) энергия

приближение (exp [i (k · r_m)] → 1). В самом деле, на-

электрона сплошного спектра промежуточного (ко-

пример, при ω = 6.4 кэВ отношение длины волны

нечного) состояния рассеяния. Учет возбужденных

падающего фотона (λ_ω = 1.94Å) к среднему радиу-

состояний дискретного спектра энергий предмет

су 1s-оболочки иона Ne⁸⁺ (〈r_1s〉 = 0.08Å) удовле-

отдельного рассмотрения.

творяет критерию применимости дипольного при-

〉 ≫ 1). Тогда методами алгебры

ближения (λ_ω / 〈r_1s

2.1. Амплитуда A_M

операторов рождения (уничтожения) фотонов, тео-

Амплитуда вероятности перехода по каналу рас-

рии неприводимых тензорных операторов и теории

щепления (2) в третьем порядке (по постоянной тон-

неортогональных орбиталей (физическое и матема-

кой структуры) нерелятивистской квантовой теории

тическое содержание этих методов см., например,

возмущений принимает вид (рис. 1a)

в [15] и ссылки в ней) для (4) получаем



 ED



 E

∫

∞



∑

0RΦ Φ

CX

A_M = ξ (e₁ · e₂) C^(1)M (e_ω)G,

(11)

A_M =

(4)

ω - I_1s - x + iγ_1s

где суммирование по M проведено с учетом символа

M^′=-1,0,1 0

Кронекера - Вейерштрасса в 3j-символе Вигнера:

|0〉 = [0] ⊗ â^+ω |0_ph〉 ,

(5)

(

)



(₁

)

|Φ〉 =

1sxp

P₁

,M′ ⊗ |0ph〉 ,

(6)

= (-1)1-M′

√

δ_MM′.

(12)



(₁

)

|X〉 =

1sεp

P₁

⊗â^+ω

â^+ω

|0_ph〉 ,

(7)

−M^′

∑

(

)

В (11) определены структуры:

pm ·

A_m ,

(8)

)_3/2

m=1

(2π

〈1s₀|1s₊〉

(

)

ξ = -i√

√

(13)

∑

ωω₁ω₂

C =

A_m ·

A_m ,

(9)

2c²

∫

∞

m=1

∑

∑ (

)

G = dx · ∆(x)J (x),

(14)

A_m =

e_kρ

â^+kρe-i(k·rm)+â^-kρ

ei(k·rm)

(10)

k ρ=1,2

x+I

∆(x) =

(15)

В (4)-(10) определены полные волновые функ-

ω - I_1s - x + iγ_1s

ции начального (|0〉), промежуточного (|Φ〉) и ко-

J (x) = 〈1s₀|r|xp₊〉〈xp₊|j₀ (qr)|εp₊〉,

(16)

нечного (|X〉) состояний рассеяния в одноконфигу-

рационном приближении Хартри - Фока, M^′ (M)

и обозначено: V

объем квантования электромаг-

проекция полного момента промежуточного (конеч-

нитного поля, e_ω(e_n) вектор поляризации пада-

ного) состояния системы ¾ион ⊗ электрон¿, |0_ph〉

ющего (рассеянного) фотона, C^(1)M

сферическая

волновая функция фотонного вакуума квантовой

функция, j₀ (qr)

= (1/qr) sin (qr)

сферическая

электродинамики, â⁺ (â^-)

оператор рождения

функция Бесселя первого рода порядка нуль, q =

(уничтожения) фотона и γ1s = Γ1s/2, где Γ1s

= |k₁ + k₂| и k_n волновые векторы рассеянных

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Неупругое расщепление рентгеновского фотона атомным ионом

фотонов. В (16) и далее для одноэлектронного опе-

2.2. Амплитуда B_M

ратора дипольного перехода использована ¾форма

Амплитуда вероятности перехода по каналу рас-

радиуса¿ (r). Возможное расхождение форм радиу-

щепления (3) принимает вид (рис. 1b)

са и скорости в одноконфигурационном приближе-



 E

нии Хартри - Фока при сохранении аналитической

∞



∫

∑

CΨn ΨnRX

структуры

R-оператора радиационного перехода в

B_M =

(21)

виде (8) может быть практически снято, например,

ω - I_1s - ω_n - x + iγ_1s

n=1,2 0

учетом корреляций приближения случайных фаз с



(₁

)

Ψ_n =

1sxs

S₀

, M^′ =0

⊗â^+ω

|0_ph〉 .

(22)

обменом. Решение этой задачи предмет отдель-

ного рассмотрения. Индексы ¾0¿ и ¾+¿ определены

Проводя аналогичные предыдущим построения,

для радиальных частей волновых функций электро-

получаем

нов, полученных решением уравнений самосогласо-

ванного поля Хартри- Фока для конфигураций на-

B_M = -2iξ (Q₁₂ + Q₂₁),

(23)

чального ([0]) и конечного ([1s₊]) состояний иона.

√

(e_ω · e₁)

Таким образом, используемый нами при построе-

Q₁₂ =

2εΛ₁

C^(1)M (e₂),

(24)

ω-I_1s-ω₁-ε+iγ_1s

нии амплитуд вероятности переходов метод неорто-

Λ_n = 〈1s₀|j₀ (q_nr)|εs〉 .

(25)

гональных орбиталей позволяет учесть эффект ра-

диальной релаксации волновых функций электро-

В (25) q_n = |k_ω - k_n|, k_ω волновой вектор па-

нов в хартри-фоковском поле 1s-вакансии. Для (14)

дающего фотона, и аналитическая структура ради-

согласно первой обобщенной теореме о среднем для

альной части волновой функции электрона сплош-

несобственного интеграла первого рода [16] имеем

ного спектра промежуточного состояния перехода,

∫∞

G= ∆(ε) dxJ (x), ε ∈ [0; ∞).

(17)

|εs〉 = |εs₊〉 - α |1s₀〉 - β |1s₊〉 ,

(26)

a₀ - aa₊

a₊ - aa₀

α=

β=

(27)

1-a²

Аналогом преобразования (17) является широ-

ко используемое, прежде всего для качественных

a₀ = 〈1s₀|εs₊〉, a₊ = 〈1s₊|εs₊〉,

оценок матричных элементов оператора перехода в

(28)

a = 〈1s₀|1s₊〉,

теории многофотонной ионизации атома (атомного

иона) [17], приближение Бебба - Голда [18], где вели-

установлена процедурой ортогонализации по Гра-

чина ε играет роль ¾средней частоты¿. Тогда, учи-

му - Шмидту [19] из требования выполнения ра-

тывая условие полноты набора промежуточных со-

венств

стояний перехода

〈1s₀|εs〉 = 0,

〈1s₊|εs〉 = 0.

(29)

∑

При расчете интеграла 〈xs₊|r|εp₊〉 в (21) для

|np₊ (r)〉〈np₊ (r^′)| +

радиальных частей волновых функций электронов

сплошного спектра принято приближение плоских

∫∞

(

)_1/4

(

√

)

волн: |x〉=

2/π²x

sin

. Как результат, ин-

|xp₊ (r)〉〈xp₊ (r^′)| dx = δ (r - r^′)

(18)

тегрирование в (21) проведено с учетом δ-функции

Дирака в структуре:

и пренебрегая вкладом суммы по возбужденным со-

√

(x - ε) 〈xs₊|r|εp₊〉= i

2xδ (x - ε),

(30)

стояниям дискретного спектра (np₊, n ≥ 2) для (11),

получаем окончательно:

где отброшено главное значение несобственного ин-

теграла в смысле Коши. Выход за рамки прибли-

A_M = ξ∆(ε)〈1s₀|rj₀ (qr)|εp₊〉 ×

жения плоских волн, например, в одноконфигу-

× (e₁ · e₂) C^(1)M (e_ω).

(19)

рационном приближении Хартри - Фока существен-

но усложняет аналитические структуры интегра-

При построении (19) мы не учитывали вклад

лов перехода между двумя сплошными спектрами

xp₊-состояний сплошного спектра через j₂-функ-

(см. [20] и ссылки в ней) и является предметом

цию Бесселя, поскольку, как показал расчет, выпол-

отдельного рассмотрения. При построении (23) мы

нено неравенство

не учитывали вклад xd-состояний сплошного спек-

(

)

〈1s₀|rj₀ (qr)|εp₊〉 ≫ 〈1s₀|rj₂ (qr)|εp₊〉.

(20)

тра промежуточного состояния перехода 1sxd

¹D₂

А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский, Р. В. Конеев

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

через j₂-функцию Бесселя, поскольку, как показал

µ = (e₁ · e₂)2 ,

(39)

расчет, выполнено неравенство

η_n = (e_ω · e_n)² ,

(40)

χ = (e₁ · e₂)(e_ω · e₁)(e_ω · e₂).

(41)

〈1s₀|j₀ (q_nr)|εs₊〉 ≫ 〈1s₀|j₂ (q_nr)|εd₊〉.

(31)

В (34) слагаемое 2χS₁S₂ описывает внутрика-

Физическая интерпретация амплитуд вероятно-

нальную интерференцию по B_M -амплитуде вероят-

сти процесса (1) в представлении диаграмм Фей-

ности перехода при круговой замене ω₁ → ω₂ и ω₂ →

нмана дана на рис. 1. Учет лишь этих диаграмм

→ ω₁. Интерференция амплитуд вероятности кана-

обусловлен принятым нами приближением Там-

лов расщепления (2) и (3) в приближении γ_1s → 0

ма - Данкова [21, 22]. В этом приближении в нашем

отсутствует, поскольку

случае учитываются лишь диаграммы Фейнмана с

учетом числа ¾частиц¿ (фотоны, электроны, вакан-

lim

(A^∗M B_M + A_M B^∗M) = 0.

(42)

γ1s→0

сии) в рассечениях, не превышающих фиксирован-

ного значения N₀ = 3.

В дипольном приближении для

C-оператора

имеем j₀ → 1

⇒ Λ_n → 0. Как результат, ампли-

(рис. 1b) обращает-

туда вероятности перехода B_M

2.3. Дифференциальное сечение

ся в нуль, и мы возвращаемся к результатам рабо-

ты [8]. Обращение B_M в нуль при j₀ → 1 (j_n → 0,

Установим аналитическую структуру диффе-

n ≥ 1) воспроизводит известный результат теории

ренциального сечения процесса (1). Просуммируем

однократного нерезонансного комптоновского рас-

квадрат результирующей амплитуды вероятности

сеяния фотона атомом (атомным ионом) [9].

процесса (A_M +B_M ) по проекциям полного момента

Сечение (33) представляет собой общее выра-

конечного состояния рассеяния (J = 1) и усредним

жение для любых схем эксперимента с линейно-

по проекциям полного момента начального состоя-

поляризованными падающим (ω) и рассеянными

ния иона (J = 0). Учтем теорему сложения сфери-

(ω_n) фотонами. Как и в работе [8], ограничим-

ческих функций:

ся (простейшим) случаем аксиально-симметричного

∑

(относительно волнового вектора падающего фо-

C^(1)∗M (e_i)C^(1)M (e_j) = P₁ (e_i · e_j),

(32)

тона) вылета рассеянных фотонов. В этом случае

≡ η. Тогда поляризационные множители

η1 = η2

где

¾∗¿

символ комплексного сопряжения и

в (39), (40) и (41) принимают вид в соответствии с

сферический ортогональный полином Лежанд-

тремя схемами предполагаемого эксперимента:

ра первого рода первой степени (P₁ (x) = x). Тогда,

1. ⊥-схема (векторы e_ω и e_n перпендикулярны

следуя ¾золотому правилу¿ Ферми, в приближении

плоскости рассеяния):

нулевой ширины распада 1s-вакансии (γ_1s → 0) для

четырежды дифференциального сечения получаем

µ^⊥ = η^⊥ = χ^⊥ = 1,

(43)

2. ∥-схема (векторы e_ω и e_n параллельны плос-

d⁴σ

ω₁ω₂

≡ σ⁽⁴⁾ = ϕr²

(33)

кости рассеяния):

dω₁ dω₂ dΩ₁ dΩ₂

D = µS² + η₁S²¹ + η₂S²² + 2χS₁S₂,

(34)

µ^∥ = cos² (2θ),

(44)

(

)

S =

〈1s₀|rj₀ (qr)|εp₊〉 ,

(35)

η^∥ = cos² θ,

(45)

ω₁ + ω₂

√

χ^∥ = cos(2θ)cos² θ.

(46)

S₁ =

2εΛ₁/ω₂,

(36)

√

3. Неполяризованные фотоны:

S₂ =

2εΛ₂/ω₁,

(37)

)

ε=ω-I_1s -ω₁ -ω₂.

(38)

µ=

µ^⊥ + µ^∥

(47)

(

)

В (33) определены: Ω_n пространственный угол

η=

η^⊥ + η^∥

(48)

вылета рассеянного фотона, безразмерный множи-

(

)

тель ϕ =

αr₀∈/π²a₀

〈1s₀|1s₊〉², α

постоянная

χ=

χ^⊥ + χ^∥

(49)

тонкой структуры, r₀ классический радиус элект-

рона, a₀

радиус Бора, ∈ = 27.21 и поляризацион-

Здесь θ

угол рассеяния (угол между волновы-

ные множители:

ми векторами падающего и рассеянного фотонов) и

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Неупругое расщепление рентгеновского фотона атомным ионом

Ne8+

0.075

(a)

(b)

Ne8+

120

(a)

120

(b)

0.050

150

0.025

180

210

330

210

330

240

300

240

300

270

Рис. 2. Четырежды дифференциальное сечение (а по

Рис. 3. Результирующие (по амплитудам вероятности AM

амплитудам вероятности AM и BM ; b

лишь по ам-

и BM ) индикатрисы рассеяния для атомного иона Ne⁸⁺ с

плитуде вероятности BM ) неупругого расщепления фото-

полярным радиусом ρ = σ⁽⁴⁾ и полярным углом θ при фик-

на на два фотона атомным ионом Ne⁸⁺. Энергия пада-

сированных значениях энергий падающего (ℏω = 6.4 кэВ)

ющего фотона ℏω = 6.4 кэВ, энергия порога ионизации

и рассеянных (ℏω1 = ℏω2 = 1.5 кэВ (а) и 2.5 кэВ (b)) фото-

1s²-оболочки I1s = 1.195 кэВ, µ = η = χ = 1 (⊥-схема

нов. Схемы предполагаемого эксперимента: ⊥ (сплошная

предполагаемого эксперимента), θ = 90^◦

кривая), ∥ (штрихпунктирная кривая), неполяризованные

фотоны (пунктирная кривая)

плоскость рассеяния проходит через волновые век-

ем положительности энергии электрона сплошного

торы фотонов. Параметр η из (48) формально мате-

спектра ε ≥ 0 ⇒ ω₁ + ω₂ ≤ ω - I_1s. Как и следовало

матически воспроизводит параметр угловой анизот-

ожидать, выход за рамки дипольного приближения

ропии упругого томсоновского, аномально-диспер-

для

C-оператора приводит к появлению ненулево-

сионного (рэлеевского) [23, 24] и неупругого нерезо-

го вклада в сечение расщепления от B_M-амплитуды

нансного комптоновского [9, 10] рассеяния неполя-

вероятности перехода (рис. 2b). Однако, как в длин-

ризованного фотона электронами атома (атомного

новолновой (ω_n ∼ 1.5 кэВ

⇒ λ_n ∼ 8.27Å), так и

иона).

в коротковолновой (ω_n ∼ 2.5 кэВ

⇒ λn ∼ 4.96Å)

В работе [8] показано, что в дипольном прибли-

областях энергий ω_n-фотонов вклад B_M-амплитуды

жении для

C-оператора σ(4) → 0 при ω → ∞ и

исчезающе мал (подавляется значениями энергий

при ω₁ + ω₂ → 0 отсутствует так называемая ¾ин-

ω_n-фотонов и малостью амплитуд Λ_n в (36) и (37))

фракрасная расходимость¿ [10] сечения расщепле-

и практически сохраняется симметрия результиру-

ния. Выход за рамки дипольного приближения для

ющей индикатрисы рассеяния во взаимно перпенди-

C-оператора не изменяет этих утверждений при до-

кулярных направлениях расщепления θ = 0^◦, 180^◦ и

полнительном формально математическом требова-

θ = ±90^◦ (рис. 3). При этом заметим, что в ∥-схе-

нии к структуре B_M -амплитуды вероятности рас-

ме предполагаемого эксперимента для углов рассея-

щепления: γ_1s → 0, но γ_1s > 0.

ния θ = 45^◦, 135^◦ поляризационный множитель µ^∥ =

= 0 и ненулевое значение сечения расщепления (33)

определяется лишь B_M -амплитудой вероятности пе-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

рехода без вклада внутриканальной интерференции

(η^∥ = 1/2, χ^∥ = 0).

Результаты расчета приведены на рис.

Для параметров сечения (33) приняты значения

I_1s = 1.195 кэВ (релятивистский расчет работы [8])

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

и ω = 6.4 кэВ (энергия K_α-линии эмиссии атома же-

леза).

Сформулирована нерелятивистская квантовая

Результаты расчета полного сечения расщепле-

теория процесса неупругого расщепления фотона

ния (33) на рис. 2a демонстрируют симметрию се-

на два фотона атомным ионом. Результаты рабо-

чения относительно прямой ω₁ = ω₂ на плоскости

ты [8] дополнены выходом за рамки дипольного

(ω₁; ω₂). Такая симметрия обусловлена инвариант-

приближения для оператора контактного перехода

ностью функций S, S_n и ε относительно круговой

и учетом следующего порядка приближения Там-

замены ω₁ → ω₂ и ω₂ → ω₁. ¾Обрыв¿ сечения на

ма - Данкова для числа ¾частиц¿ N₀ = 3 в рассече-

прямой ω₁ + ω₂ = ω - I_1s обусловлен требовани-

ниях диаграмм Фейнмана. Теория допускает моди-

А. Н. Хоперский, А. М. Надолинский, Р. В. Конеев

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

фикацию, в частности, заменой δ-функции Дирака

V. Dinu and G. Torgrimsson, Phys. Rev. D 99,

в ¾золотом правиле¿ Ферми на спектральную функ-

096018 (2019).

цию Гаусса - Лапласа для учета ненулевой ширины

A. N. Hopersky, A. M. Nadolinsky, S. A. Novikov,

спектрального разрешения эксперимента. Переход к

and R. V. Koneev, J. Phys. B 54, 155601 (2021).

приближению Тамма - Данкова для числа ¾частиц¿

N₀ = 4 в рассечениях диаграмм Фейнмана и, как ре-

Åberg and J. Tulkki, in Atomic Inner-Shell

зультат, учет процессов нелокального двойного тор-

Physics, ed. by B. Crasemann, Plenum, New York

мозного излучения сплошным спектром возбужден-

(1985), Ch. 10, p. 419.

ных состояний иона является предметом будуще-

10.

P. P. Kane, Phys. Rep. 218, 67 (1992).

го развития теории. При этом диаграммы Фейн-

мана для амплитуд вероятности процессов ¾по-

11.

P. Beiersdorfer, J. Phys. B 48, 144017 (2015).

времени-назад¿ (спонтанное рождение ¾частиц¿ до

12.

L. Li, L. Zhang, Z. Xu et al., Plasma Sci. Technol.

момента времени поглощения падающего фотона

23, 075102 (2021).

ионом) в приближении Тамма - Данкова игнориру-

ются [21, 22]. Можно предположить (см. также [8]),

13.

M. Martinez-Chicharro, V. Grinberg, J. M. Torrejon

что уровень спектрального разрешения современ-

et al., Mon. Not. R. Astron. Soc. 501, 5646 (2021).

ных экспериментов с рентгеновским лазером на

свободных электронах (XFEL) Γ_beam = 0.15-0.44 эВ

14.

P. Pradhan, D. P. Huenemoerder, R. Ignace,

[25, 26], достигнутые значения средней яркости па-

A. M. T. Pollock, and J. S. Nichols, Astrophys. J.

915, 114 (2021).

дающего на ион XFEL-излучения (число фотонов

в лазерном пульсе) N

= 10¹²-10¹⁴ [27, 28] и мето-

15.

A. N. Hopersky, A. M. Nadolinsky, and S. A. Novikov,

ды получения многозарядных атомных ионов в га-

Phys. Rev. A 98, 063424 (2018).

зовой фазе, удерживаемых в ионных ¾ловушках¿

(см., например, [29-31]), позволят проверить пред-

16.

G. M. Fichtenholtz, A Course of Differential and

сказываемые в данной работе теоретические резуль-

Integral Calculus, Vol. 2, Nauka, Moscow (1969).

таты. Наконец, заметим следующее. Исследованный

17.

P. Lambropoulos, Adv. Atom. Mol. Phys. 12, 87

нами ¾эффект расщепления¿ по лидирующей амп-

(1976).

литуде вероятности перехода (рис. 1a) носит ха-

рактер локального двойного тормозного излучения

18.

H. B. Bebb and A. Gold, Phys. Rev. 143, 1 (1966).

сплошным спектром возбужденных состояний атом-

19.

M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathema-

ного иона и не имеет отношения к эффекту двой-

tical Physics, Functional Analysis, Vol. 1, Academic

ного тормозного излучения налетающим свободным

Press, New York, London (1972).

электроном в электрическом поле атома (атомного

иона) (см. [32-36] и ссылки в них).

20.

S. A. Novikov and A. N. Hopersky, J. Phys. B 44,

235001 (2011).

21.

A. L. Fetter and J. D. Walecka, Quantum Theory

ЛИТЕРАТУРА

of Many-Particle Systems, McGraw-Hill, New York

(1971).

1. F. Mandl and T. H. R. Skyrme, Proc. R. Soc.

(London) Ser. A 215, 497 (1952).

22.

A. Dreuw and M. Head-Gordon, Chem. Rev. 105,

4009 (2005).

2. M. Ram, Phys. Rev. D 12, 2043 (1975).

23.

P. P. Kane, L. Kissel, R. H. Pratt, and S. C. Roy,

3. M. B. Saddi, B. Singh, and B. S. Sandhu, Nuclear

Phys. Rep. 140, 75 (1986).

Technology 175, 168 (2011).

24.

A. N. Hopersky and V. A. Yavna, Scattering of

4. D. Seipt and B. Kämpfer, Phys. Rev. D 85, 1017001

Photons by Many-Electron Systems, Springer, Berlin

(R) (2012).

(2010).

5. F. Mackenroth and A. Di Piazza, Phys. Rev. Lett.

25.

V. M. Kaganer, I. Petrov, and L. Samoylova, Acta

110, 070402 (2013).

Cryst. A 77, 1 (2021).

6. E. Lötstedt and U. D. Jentschura, Phys. Rev. A 87,

26.

L. Wollenweber, T. R. Preston, A. Descamps et al.,

033401 (2013).

Rev. Sci. Instrum. 92, 013101 (2021).