ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 1 (7), стр. 45-54

ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА МИНКОВСКОГО В

НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКЕ СРЕД С НЕЛОКАЛЬНОСТЬЮ

ОПТИЧЕСКОГО ОТКЛИКА

П. С. Рыжиков^*, В. А. Макаров

Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 26 февраля 2022 г.,

после переработки 12 марта 2022 г.

Принята к публикации 14 марта 2022 г.

Из уравнений Максвелла, записанных для напряженностей и индукций электрического и магнитного по-

лей в непоглощающей нелинейной среде произвольной симметрии, проявляющей нелокальность оптичес-

кого отклика, и соотношений внутренней симметрии тензоров, описывающих локальный и нелокальный

отклики такой среды, получены аналитические выражения для плотностей энергии и импульса и плот-

ностей потоков энергии и импульса электромагнитного поля. Найденные выражения образуют единый

тензор энергии-импульса, соответствующий тензору энергии-импульса Минковского.

DOI: 10.31857/S0044451022070057

сти поперечного сечения пучка, ставит задачу на-

EDN: EDDOWV

хождения аналитических выражений для плотнос-

тей энергии и импульса и плотностей потоков энер-

гии и импульса электромагнитного поля, учитыва-

1. ВВЕДЕНИЕ

ющих нелокальный характер нелинейного оптичес-

кого отклика среды. При распространении света в

Законы сохранения энергии и импульса игра-

этом случае широко проявляются эффекты завися-

ют важную роль в становлении различных разде-

щего от интенсивности изменения поляризации све-

лов физики [1]. В нелинейной оптике, в частности,

та в процессе распространения, по-разному протека-

закон сохранения энергии используется для полу-

ющие в различных точках поперечного сечения пуч-

чения дополнительных соотношений, связывающих

ка [15]. Нелокальность оптического отклика также

компоненты тензоров локальных и нелокальных оп-

позволяет происходить процессам, которые в силу

тических восприимчивостей в среде без диссипации

симметрии среды не могут протекать в средах без

[2-4], а закон сохранения импульса тесно связан с

пространственной дисперсии [16, 17].

условием синхронизма волновых векторов взаимо-

действующих волн [2, 5-8]. Математические форму-

Аналитические выражения или численные дан-

лировки этих законов задают соответственно связь

ные, получаемые в результате решения системы

плотности энергии c плотностью потока энергии и

нелинейных дифференциальных уравнений, следу-

плотности импульса с плотностью потока импуль-

ющих из строящейся математической модели изу-

са. Формулы для этих величин хорошо известны

чаемого нелинейного оптического явления, иногда

в линейной электродинамике сред с пространствен-

проверяются их авторами на соответствие закону

ной и временной дисперсией [9-13], а также в оп-

сохранения энергии, очень редко на соответствие

тике нелинейных сред без дисперсии [14]. Возник-

закону сохранения импульса и практически никог-

ший в последнее время интерес к особенностям рас-

да на соответствие закону сохранения момента им-

пространения структурированного света, в котором

пульса. Часто эти решения находятся приближен-

интенсивность и параметры поляризации падающе-

ными методами, возможность и корректность при-

го излучения сложным образом меняются в плоско-

менения которых в некоторых случаях не обсужда-

ется. Поэтому непротиворечивость получаемых ре-

^* E-mail: ryzhikov.ps14@physics.msu.ru

зультатов упомянутым выше законам сохранения

П. С. Рыжиков, В. А. Макаров

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

является убедительным аргументом в пользу созда-

В случае линейных сред, проявляющих нело-

ваемой теории, важнейшим критерием ее истинно-

кальность оптического отклика на внешнее световое

сти. В связи с этим, несомненно, актуально нахож-

поле, следующие из соотношений (1), (2) формулы

дение в настоящее время отсутствующих аналитиче-

для U, S, g и

Ĝ хорошо известны [9, 11-13]. Целью

ских выражений для плотности энергии, плотности

настоящей работы является нахождение удовлетво-

потока энергии, плотности импульса и плотности по-

ряющих уравнениям (3), (4) аналитических выраже-

тока импульса электромагнитного поля в нелиней-

ний для поправок U⁽ⁿ⁾, S⁽ⁿ⁾ⁱ, g^(n)j и G^(n)ij к этим вели-

ных средах, демонстрирующих нелокальность опти-

чинам, обусловленных доминирующим проявлением

ческого отклика на внешнее световое поле. Нахож-

нелинейности n-го порядка. Каждая из них состоит

дение двух последних формул также необходимо

из двух слагаемых,

для последующего определения аналитических вы-

U⁽ⁿ⁾ = U^(n)loc+U^(n)nloc, S⁽ⁿ⁾ⁱ = S^(n)loci+S^(n)nloci,

ражений для плотности углового момента и плотно-

сти потока углового момента, преобразование кото-

g^(n)j = g^(n)locj+g^(n)nlocj, G^(n)ij = G^(n)locij+G^(n)nlocij,

рых при распространении структурированного све-

та интенсивно обсуждается в последнее время [18].

обусловленных соответственно локальной χ⁽ⁿ⁾ⁱⁱ

1i2...i

Нахождение компонент тензора энергии-импульса

и нелокальной γ⁽ⁿ⁾ⁱⁱ

нелинейными восприимчи-

1 i2...inj

электромагнитного поля в нелокальных нелинейных

востями n-го порядка. Эти поправки позволят за-

средах является также небольшим, но важным ша-

писать дополнительные слагаемые в известные вы-

гом в построении квантовой теории взаимодействия

ражения для компонент тензора энергии-импульса в

излучения с веществом.

линейной среде без диссипации энергии, связанные с

проявлением нелокального нелинейного оптическо-

го отклика n-го порядка по полю.

2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И

ИМПУЛЬСА В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В

Считая в уравнениях Максвелла индукцию маг-

НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ

нитного поля B равной его напряженности H, а ин-

дукцию электрического поля D связанной с его на-

Электрическое поле E(r, t) в среде, наиболее

пряженностью E материальным уравнением, запи-

сильно проявляющей оптическую нелинейность n-го

шем непосредственно следующие из них равенства

порядка (n ≥ 2), определяется напряженностями по-

[12, 19-22]:

лей распространяющихся в ней волн:

E∂_tD + B∂_tB + div[E × B] = 0,

(1)

∑

E(r, t) =

E^(m)(r, t)+c.c. =

E^(m)(r, t, ω_m) ×

m=1

∂_t[D × B] + D × ∇ × E + B × ∇ × B = 0.

(2)

(

)

× exp

-iω_mt + ik(m) · r

+ c.c.

(5)

Из соотношений (1), (2) можно получить уравнения

Здесь ω_n+1

= ω₁ + ω₂ + ... + ω_n, ω_1,2,...,n

их

∂_tU + div S = 0,

(3)

частоты, в общем случае не равные друг другу и

∂_tg_i + ∂_jG_ij = 0,

(4)

не являющиеся кратными, k^{(1),(2),...,(n+1)}

волно-

вые векторы распространяющихся волн. Частотный

отражающие законы сохранения соответственно

спектр медленно меняющихся во времени амплитуд

энергии и импульса электромагнитного поля. В

E^(m)(r, t, ω_m) каждой из n + 1 распространяющихся

уравнениях (3), (4) U

плотность энергии, S

волн будем считать достаточно узким, обеспечива-

вектор Пойнтинга, g плотность импульса,

ющим возможность пренебрежения частотной дис-

тензор плотности потока импульса, или тензор

персией среды вблизи ω_m. Действительность напря-

напряжений, индексы ¾i¿ и ¾j¿ принимают значе-

женности электрического поля приводит к равен-

ния x, y и z. Формулы (3), (4) можно записать в

ству E^(m) = E^(-m)∗.

виде одного уравнения с помощью тензора энергии-

Индукция нелинейной среды

импульса T_αβ , где индексы ¾α¿ и ¾β¿ принимают

значения 0, x, y и z [23]. Его компоненты связаны с

D = εE + γ∇E + P^loc + P^nloc,

(6)

U, S, g и

Ĝ равенствами

где локальная P^loc и нелокальная P^nloc части нели-

T₀₀ = U, T_i0 = S_i, T_0j = g_j, T_ij = G_ij.

нейной поляризации среды имеют вид

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Тензор энергии-импульса Минковского. . .

∑

Γ_ijk(ω_m, -ω_s) =

P^loc,nloc(r, t) =

P^loc,nloc(ω_m, r, t) + c.c. =

(n)

m=1

=γ_i

(ω_m; ω_n+1, -Ω^(1)ms, -Ω^(2)ms, -Ω^(3)ms, -ω_s) ×

i1 ...in-1jk

∑

∏

Ploc,nloc(r,t,ωm) ×

×E⁽ⁿ⁺¹⁾

E^(p)∗

E^(p)∗ ×_i

ip+1

^m=1 (

)

p=1

p=min(m,s)+1

× exp

-iω_mt + ik^(m) · r

+ c.c.

(7)

∏

E^(p)∗ .

(13)

p-1

p=max(m,s)+1

Здесь

ε и γ

тензоры линейной диэлектричес-

кой проницаемости и нелокальной восприимчивости

Индексы ¾m¿ и ¾s¿ в этих формулах принимают

среды. Входящая в выражение (7) локальная часть

значения от единицы до n. В выражениях (8), (9),

P^loc(ω_m) комплексной поляризации среды на часто-

(12) и (13) для сокращения записи введены следую-

те ω_m задается уравнениями [2,7,8,24]

щие множества частот:

Ω^(1)m = (ω₁, . . ., ω_m-1),

P^loci(ω_m) = χ⁽ⁿ⁾ⁱⁱ

(ω_m; -Ω^(1)m, -Ω^(2)m, ω_n+1) ×

1i2...in

Ω^(2)m = (ω_m+1, . . ., ω_n),

∏

×E⁽ⁿ⁺¹⁾ⁱ

E^(k)∗

(8)

ik-1

Ω^(1)ms = (ω₁, . . ., ω_min(m,s)-1),

(14)

k=1

k=m+1

(2)

Ω

= (ω_min(m,s)+1, . . . , ω_max(m,s)-1),

при m = 1, 2, . . . , n и

Ω^(3)ms = (ω_max(m,s)+1, . . . , ω_n).

∏

В них элементы (частоты) строго упорядочены по

P^loci(ω_n+1) = χ⁽ⁿ⁾ⁱⁱ

(ω_n+1; Ω⁽¹⁾ⁿ⁺¹)

E^(k)

(9)

1...in

возрастанию индекса. Если индекс последней час-

k=1

тоты меньше индекса первой, то множество явля-

ется пустым, а соответствующее ему произведение

при m = n + 1. По дважды встречающимся индек-

полей в формулах (8), (9), (12) и (13) считается

сам, обозначающим декартовы координаты, здесь и

равным единице. Заметим, что Γ_ijk(ω_m, ω_n+1)

далее проводится суммирование. Нелокальная часть

= - Γ^∗jik(-ω_n+1, -ω_m). Вектор индукции магнитного

P^nloc(ω_m) комплексной поляризации среды на час-

поля имеет вид аналогичный (5):

тоте ω_m в первом приближении по параметру про-

странственной дисперсии записывается в виде (см.

∑

работы [4, 25] и ссылки в них)

B(r, t) =

B^(m)(r, t) + c.c. =

m=1

P^nloci(ω_m) = Γ_ijp(ω_m; ω_n+1)∂_pE^(n+1)j +

∑

B^(m)(r, t, ω_m) exp(-iω_mt + ik_m · r).

(15)

∑

m=1

(1 - δ_ms)Γ_ijp(ω_m; -ω_s)∂_pE^(s)∗n

(10)

s=1

4. КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРА

при m = 1, 2, . . . , n и

ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА В НЕЛИНЕЙНОЙ

СРЕДЕ С ПРОСТРАНСТВЕННОЙ

∑

ДИСПЕРСИЕЙ

P^nloci(ω_n+1) =

Γ_ijp(ω_n+1; ω_m)∂_pE^(m)j

(11)

m=1

Связывающее D и E материальное уравнение

при m = n + 1. Здесь введены не зависящие от про-

в нелинейной среде с пространственной дисперси-

странственных производных напряженности элект-

ей имеет достаточно сложный вид. В связи с этим

рического поля вспомогательные тензоры

при сведении выражений (1), (2) к виду (3), (4) ока-

зывается удобным избавиться в (1) от слагаемого,

содержащего ∂_tD, переписав уравнения (1), (2) для

Γ_ijk(ω_n+1, ω_m) =

декартовых компонент E, D и B в следующем виде:

=γ⁽ⁿ⁾ⁱⁱ

(ω_n+1; Ω^(1)m, Ω^(2)m, ω_m) ×

1 i2...in-1jk

∏

∂_t(D_iE_i) - D_i∂_tE_i +

∂_t(B²ⁱ)+

× E^(p)

E^(p) ,

(12)

ip-1

p=1

p=m+1

+ ∂_i(e_ijkE_jB_k) = 0,

(16)

П. С. Рыжиков, В. А. Макаров

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

при любой частоте ω_m, что позволяет переписать

∂_t(e_pkiD_kB_i) + D_k∂_pE_k +

∂_p(B^2k)-

(ω_n+1) в виде суммы

E^(n+1)∗iP^loci

− ∂_k(D_kE_p + B_kB_p) = 0.

(17)

∑E^(m)∗iP^loci(ω_m)

Здесь e_pki тензор Леви-Чивиты, индексы ¾i¿, ¾j¿,

n+1

m=1

¾p¿ и ¾k¿ принимают значения x, y и z. При полу-

В итоге имеем

чении (4) было учтено, что ∂_iD_i = 0 и ∂_iB_i = 0.

Подставим E, D и P в (3), (4) и проведем усред-

∑

P^loci(ω_m)∂_j,tE^(m)∗i + c.c. =

нение по времени, после которого сразу видно, что

m=1

S^pn)loc = 0, а

∑

g^(n)locp = e_pki P^lockB_i

∂_j,t

E^(m)∗iP^loci(ω_m) + c.c.

(21)

n+1

m=1

∑

=e_pki

P^lock(ω_m)B^(m)∗i + c.c.

(18)

Соотношение (21) позволяет легко найти U^(n)loc и

m=1

G^(n)locij из уравнений (5), (6):

Здесь угловые скобки обозначают усреднение по

∑

времени, а P^lock(ω_m) задается формулами (8) и (9).

U^(n)loc =

P^loci(ω_m)E^(m)∗i + c.c.,

(22)

Из (3), (4) также следует, что полученные после

n+1

m=1

усреднения по времени добавки U^(n)loc и G^(n)locpk

удовлетворяют уравнениям

(

∑

δ_pk

∑

{

G^(n)locpk =

P^loci(ω_m)E^(m)∗i -

∂_tU^(n)loc =

∂_t[P^loci(ω_m)E^(m)∗i] -

n+1

m=1

)

m=1

}

- P^lock(ω_m)E^(m)∗

+ c.c.

(23)

- P^loci(ω_m)∂_tE^(m)∗

+ c.c.,

(19)

Усреднение по времени выражений, полученных

∑

{

после подстановки E, D и P в уравнения (3) и (4),

∂_kG^(n)locpk =

P^lock(ω_m)∂_pE^(m)∗k -

позволяет записать соотношения, которым должны

m=1

}

удовлетворять U^(n)nloc, S^pn)nloc, g^pn)nloc и G^(n)nlocpk:

- ∂_k[E^(m)∗pP^lock(ω_m)]

+ c.c.

(20)

∂_tU^(n)nloc + ∂_pS^(n)nlocp =

Для их нахождения необходимо преобразовать

∑

{

[

]

в этих уравнениях слагаемые P^loci(ω_m)∂_tE^(m)∗i и

∂_t P^nloci(ω_m)E^(m)∗

P^lock(ω_m)∂_pE^(m)∗k. Это можно сделать, используя

m=1

известные свойства внутренней симметрии тензора

}

- P^nloci(ω_m)∂_tE^(m)∗

+ c.c.,

(24)

χ⁽ⁿ⁾ⁱⁱ

(ω_n+1; ω₁, ω₂, . . . , ω_n) в среде без дисси-

1i2...in

пации, позволяющие переставлять местами его

∑

индексы вместе с соответствующей перестановкой

∂_tg^(n)nloc

=∂_t

e_pknP^nlock(ω_m)B^(m)∗n + c.c.,

(25)

частот [2].

m=1

Подставим формулы (8), (9) в P^loci(ω_m)∂_tE^(m)∗i

и P^locp(ω_m)∂_kE^pm)∗, далее переобозначим в каждом

∑

{

из n + 1 слагаемых индексы таким образом, что-

∂_kG^(n)nlocpk =

P^nlock(ω_m)∂_pE^(m)∗k -

бы во всех слагаемых одной и той же частоте со-

m=1

}

ответствовал одинаковый индекс. Далее проведем

- ∂_k[E^(m)∗pP^nlock(ω_m)]

+ c.c.

(26)

в каждом из них перестановку индексов и частот

в тензоре χ(n) так, чтобы во всех слагаемых они

Из (25) легко получить, что

присутствовали в одном и том же порядке. При

∑

этом получившиеся n + 1 слагаемых оказываются

g^(n)nlocp =

e_pkiP^nlock(ω_m)B^(m)∗i + c.c.

(27)

результатом дифференцирования E^(n+1)∗iP^loci(ω_n+1)

m=1

по времени или координатам. Благодаря симмет-

рии тензора χ(n) при одновременной перестанов-

Для нахождения U^(n)nloc и S^(n)nloci преобразуем со-

ке индексов и соответствующих им частот, это вы-

держащее P^nloci(ω_m)∂_tE^(m)∗i слагаемое в (24), в кото-

ражение также оказывается равным E^(m)∗iP^loci(ω_m)

ром присутствуют как производные по времени, так

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Тензор энергии-импульса Минковского. . .

и производные по пространственным координатам.

Для нахождения G^(n)nlocpk аналогичным образом пре-

Оказывается, что его можно представить в виде

образуем содержащее P^nlock(ω_m)∂_pE^(m)∗k слагаемое в

∑

(26). Оказывается его удается представить в виде

P^nloci(ω_m)∂_tE^(m)∗i = ∂_tF + ∂_kR_k.

(28)

производной от суммы двух слагаемых:

m=1

∑

(m)∗

P^nlock(ω_m)∂_pE_k

= ∂_k(δ_pkF + N_pk).

(35)

При этом скаляр

m=1

∑

В (35) компоненты вспомогательного тензора

F =

P^nloci(ω_m)E^(m)∗i + c.c.

(29)

n+1

m=1

имеют вид

∑

[

войдет в выражение для U^(n)nloc, а проекция R_k

N_pk =

Γ_ijk(ω_n+1; ω_m)E^(m)j∂_pE^(n+1)∗i +

вспомогательного вектора R, задаваемая формулой

n+1

m=1

∑

[

+ Γ_ijk(-ω_m; -ω_n+1)E^(n+1)∗j∂_pE^(m)i+

R_k =

Γ_ijk(ω_n+1; ω_m)E^(m)j∂_tE^(n+1)∗i +

∑

]

n+1

m=1

(1-δ_ms)Γ_ijk (-ω_m; ω_s)E^(s)j∂_pE^(m)

+c.c.

(36)

+ Γ_ijk(-ω_m; -ω_n+1)E^(n+1)∗j∂_tE^(m)i+

s=1

∑

]

В справедливости (35) также можно убедиться, под-

(1-δ_ms)Γ_ijk (-ω_m; ω_s)E^(s)j∂_tE^(m)

+c.c.,

(30)

ставляя (29) и (36) в (35) и далее применяя соот-

s=1

ношения внутренней симметрии тензора γ⁽ⁿ⁾ (урав-

войдет в формулу для S^(n)nloc. В справедливости ра-

нения (31), (8)). Скаляр F и тензор N_pk войдут в

венства (28) можно убедиться, непосредственно под-

формулу для G^(n)nlocpk:

ставляя (29) и (30) в (28) и далее применяя соотно-

шения внутренней симметрии тензора γ⁽ⁿ⁾ [4]:

G^(n)nlocpk =

(

)

∑

δ_pk

γ⁽ⁿ⁾ⁱⁱ

(ω_n+1; ω₁, ω₂, . . . , ω_l-1, ω_l+1, ω_l+2, . . . ,

1i2...in m

P^nloci(ω_m)E^(m)∗i-P^nlock(ω_m)E^(m)∗p

n+1

m=1

ω_n, ω_l) + γ⁽ⁿ⁾ⁱ

(-ω_l; ω₁, ω₂, . . . , ω_l-1,

{

[

ni1i2...in-1im

∑

ω_l+1, ω_l+2, . . ., ω_n, -ω_n+1) = 0,

(31)

∂_pE^(n+1)∗iΓ_ijk(ω_n+1; ω_m)E^(m)j +

n+1

m=1

∑

γ⁽ⁿ⁾ⁱⁱ

(ω_n+1; ω₁, ω₂, . . . , ω_l, . . . , ω_n-1, ω_n) +

+ ∂_pE^(m)iΓ_ijk(-ω_m; -ω_n+1)E^(n+1)∗j+

(1-δ_ms) ×

1i2...il ...inm

s=1

+γ⁽ⁿ⁾ⁱ

(-ω_l; ω₁, ω₂, . . . ω_l-1, ω_n,

]}

li1i2...il-1inil+1...im

ω_l+1, ω_l+2, . . . , ω_n-1, -ω_n+1)+

× ∂_pE^(m)iΓ_ijk(-ω_m; ω_s)E^(s)

+ c.c.

(37)

+γ⁽ⁿ⁾ⁱ

(-ω_n; ω₁, ω₂, . . . , ω_l-1,

ni1i2...il-1iil+1...il m

Сравнивая выражения (18) и (22) с (27) и (33),

- ω_n+1, ω_l+1, ω_l+2, . . . , ω_n-1, ω_l) = 0.

(32)

можно заметить, что плотности энергии и импуль-

В результате получаем следующие выражения для

са, связанные с локальным и нелокальным нели-

U^(n)nloc и S^(n)nloci:

нейными оптическими откликами среды, различа-

ются только формой зависимости от напряженнос-

∑

ти электрического поля входящих в них компонент

U^(n)nloc =

P^nloci(ω_m)E^(m)∗i + c.c.,

(33)

n+1

вектора поляризации среды. Первая сумма в выра-

m=1

жении (37) также отличается от (23) только разли-

чием вида формул для входящих в них P^loc и P^nloc.

S^(n)nlock =

Однако остальная часть выражения (37) и формула

{

∑

[

(34) являются соответственно дополнительными по-

∂_tE^(n+1)∗iΓ_ijk(ω_n+1; ω_m)E^(m)j +

n+1

токами энергии и импульса, появляющимися толь-

m=1

ко в средах с нелокальным характером нелинейно-

∑

го оптического отклика на внешнее световое поле.

+ ∂_tE^(m)iΓ_ijk(-ω_m; -ω_n+1)E^(n+1)∗j+

(1-δ_ms) ×

s=1

Подобная ситуация имеет место и в линейных сре-

]

}

дах. В них учет нелокальности оптического откли-

× ∂_tE^(m)iΓ_ijk(-ω_m; ω_s)E^(s)

+ c.c.

(34)

ка сводится только к замене входящих в плотности

ЖЭТФ, вып. 1 (7)

П. С. Рыжиков, В. А. Макаров

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

энергии и импульса выражений для поляризации

G^(n,nloc)pk =

среды на более сложные выражения, учитывающие

{

[

∑

пространственную дисперсию. При этом в форму-

δ_pk k^(m)lΓ˜_ijl(ω_n+1; ω_m)E(n+1)∗i

E^(m)j +

n+1

лах для плотностей потоков энергии и импульса в

m=1

линейных средах дополнительно возникают принци-

∑

(1 - δ_ms)k^(s)l

Γ_ijl(-ω_m; ω_s

E^(m)i E^(s)j -

пиально новые, связанные с пространственной дис-

s=1

персией, слагаемые [9, 11].

]

(n+1)

- k_l

Γ^∗ijl(ω_m; ω_n+1

E^(m)i E^(n+1)∗

[

5. КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРА

− k^(m)l

Γ_kjl(ω_n+1; ω_m)E(n+1)∗p

E^(m)j -

ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА В ПРИБЛИЖЕНИИ

МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД

(

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЛН

- k^(n+1)lΓ˜^∗kjl(ω_m;ω_n+1

E^(n+1)∗j -

]

∑

)

При решении многих задач нелинейной оптики

(1 - δ_ms)k^(s)lΓ˜_kjl (-ω_m; ω_s

E^(s)j

E^(m)p

используется метод медленно меняющихся ампли-

s=1

туд, в рамках которого амплитуды взаимодейству-

∑

[

ющих волн

E^(m)(r, t, ω_m) (см. (5)) удовлетворяют

−

k^(n+1)p

E^(n+1)∗i

Γ_ijk(ω_n+1; ω_m)E(m)j -

n+1

неравенствам

m=1

∑

|∂_t E^(m)| ≪ |ω_m E^(m)|,

|∂_j E^(m)| ≪ |k^(m)j E^(m)|.

-k^(m)p E^(m)iΓ∗ijk(ωm; ωn+1)E(n+1)∗j-

(1-δ_ms) ×

s=1

В этом случае имеющими более высокий порядок

]}

малости слагаемыми в формулах (27), (33), (34) и

× k^(m)pE(m)iΓ˜ijk(-ωm; ωs

E^(s)

+ c.c.

(41)

(37) можно пренебречь и переписать их с помощью

медленно меняющихся амплитуд

E^(m):

˜ijk(-ωm; ωs)

В этих формулах

Γ_ijk(ω_n+1; ω_m) и

U^(n)nloc =

имеют вид соответственно (12) и (13) с точностью

до замены в них E на

E. При записи выражений

∑

[

k^(m)kΓ˜_ijk(ω_n+1; ω_m)E(n+1)∗i E^(m)j -

(38)-(41) возможная расстройка волновых векторов

n+1

m=1

∆k = k(ω_n+1) - k(ω₁) - k(ω₂) - . . . - k(ω_n), часто

∑

возникающая в реальном эксперименте, считалась

- k^(n+1)kΓ˜^∗ijk(ω_m; ω_n+1) E(m)i E^(n+1)∗j+

(1-δ_ms) ×

равной нулю. Ее учет (∆k = 0 ) не вызывает прин-

s=1

]

ципиальных трудностей, но делает формулы (38)-

× k^(s)k

Γ_ijk(-ω_m; ω_s)E(m)i E^(s)

+ c.c.,

(38)

(41) существенно более громоздкими.

S^(n)nlock =

6. ОДНО ИЗ СЛЕДСТВИЙ ПОЛУЧЕННЫХ

{

∑

[

ФОРМУЛ

ω_n+1

E^(n+1)∗

Γ_ijk(ω_n+1; ω_m

E^(m)j -

n+1

m=1

Помимо энергии и импульса, важной характе-

-ω_m

E^(m)

Γ^∗ijk(ω_m; ω_n+1)E(n+1)∗j - ω_m E^(m)i ×

ристикой распространяющегося в нелинейной среде

}

излучения является его угловой момент (момент им-

∑

]

пульса), закон изменения которого в общем случае

(1 - δ_ms

Γ_ijk(-ω_m; ω_s)E(s)

+ c.c.,

(39)

s=1

приводит к равенству [26]

∂_tJ_i + ∂_jM_ij = τ_i.

(42)

g^(n,nloc)p =

∑

(

Здесь J_i i-я компонента вектора плотности угло-

e_pik k^(m)lΓ˜_ijl(ω_n+1; ω_m)E(m)j B^(n+1)∗k -

вого момента, M_ij плотность потока углового мо-

m=1

мента, τ_i

i-я компонента вектора плотности вра-

∑

щательного момента, обусловленного анизотропией

-k^(n+1)l

Γ^∗ijl(ω_m; ω_n+1

E^(n+1)∗j B^(m)k+

(1-δ_ms) ×

s=1

среды. Если последняя обладает симметрией отно-

)

сительно вращения вокруг некоторой оси, то ком-

× k^(s)l

Γ_ijl(-ω_m; ω_s

E^(s)j B^(m)

+ c.c.,

(40)

понента вектора плотности вращающего момента,

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Тензор энергии-импульса Минковского. . .

направленная вдоль этой оси, должна быть равна

чем в средах без пространственной дисперсии. На-

нулю. Поэтому в изотропной среде τ_i ≡ 0. В элект-

хождение таких поправок для сред, демонстрирую-

родинамике J_i = e_ijkx_j g_k (x_j

координаты ради-

щих нелинейность более высокого порядка и обла-

ус-вектора), а Mij = eiklxkGlj [27, 28]. После под-

дающих симметрией относительно вращения вокруг

становки этих выражений в (42) с учетом равенства

только одной оси, достаточно сложная задача, тре-

(4) i-я компонента вектора плотности вращательно-

бующая дальнейшей работы.

го момента оказывается равной τ_i = e_iklG_lk [20], из

7. КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРА

чего в оптике сред, не обладающих пространствен-

ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА В СРЕДАХ С

ной дисперсией, следует утверждение, что если тен-

КВАДРАТИЧНОЙ И КУБИЧЕСКОЙ

зор плотности потока импульса

Ĝ несимметричен,

НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

то угловой момент не сохраняется [29].

В качестве примера приведем формулы (38),

Тензор плотности потока импульса (37) оказы-

(39), (40) и (41) для практически важных частных

вается несимметричным в изотропной гиротропной

случаев генерации суммарной частоты ω₃ = ω₁ + ω₂,

среде с пространственной дисперсией квадратичной

k⁽³⁾ = k⁽¹⁾ +k⁽²⁾ (n = 2) и частоты ω₄ = ω₁ +ω₂ +ω₃,

нелинейности. Но это не означает, например, вер-

k(4) = k(1) + k(2) + k(3) (n = 3), из которых лег-

ность утверждения о несохранении углового момен-

ко могут быть получены соответствующие выраже-

та при генерации суммарной частоты (n = 2, ω₃ =

ния для энергии, векторов потока энергии и им-

= ω₁ + ω₂ в выписанных выше формулах). Чтобы

пульса, а также тензора плотности потока импульса

убедиться в этом, подставим в (37) явный вид тен-

для других широко распространенных нелинейных

зора γ^(2)ijkl(ω₃; ω₁, ω₂):

оптических эффектов (генерация второй и третьей

гармоник, когерентное антистоксово рассеяние све-

γ^(2)ijkl(ω₃; ω₁, ω₂) = γ₁(ω₃, ω₁, ω₂)δ_ijδ_kl +

та (КАРС) и др.).

+ γ₂(ω₃, ω₁, ω₂)δ_ikδ_jl + γ₃(ω₃, ω₁, ω₂)δ_ilδ_jk.

(43)

При n = 2

(2)

P^nloci(ω₃) = γ_i

(ω₃; ω₁, ω₂)E^(1)j∂_kE^(2)l +

Здесь γ_1,2,3(ω₃, ω₁, ω₂)

функции частот. С помо-

jlk

щью полученного выражения величину τ_i можно за-

+ γ^(2)ijlk(ω₃;ω₂,ω₁)E^(2)j∂_kE^(1)l,

(45)

писать в виде пространственной производной:

τ_i = e_iklG_lk = ∂_jQ_ij,

P^nloci(ω_1,2) = γ^(2)ijlk(ω_1,2; ω₃, -ω_2,1)E^(3)j∂_kE^(2,1)∗l +

где

+ γ^(2)ijlk(ω_1,2; -ω_2,1, ω₃)E^(2,1)∗j∂_kE^(3)l

(46)

и формулы (38)-(41) принимают вид

Q_ij =

e_ikj ×

(

{

U^(2)nloc = 2i γ^(2)iljp(ω₃; ω₂, ω₁)k^(1)p +

× [γ₃(ω₃; ω₁, ω₂) + γ₃(ω₃; ω₂, ω₁)]E^(3)∗kE^(1)pE^(2)p +

)

(2)

E^(3)∗

+ γ_i

(ω₃; ω₁, ω₂)k^(2)p

E^(1)j E^(2)l + c.c.,

(47)

jlp

+[γ₃(-ω₁; ω₂, -ω₃)+γ₃(-ω₁; -ω₃, ω₂)]E^(1)kE^(3)∗pE^(2)p +

}

+ [γ₃(-ω₂; -ω₃, ω₁)+γ₃(-ω₂; ω₁, -ω₃)]E^(2)kE^(3)∗pE^(1)p

S^(2)nlock = -i [ω₁γ_jlik(-ω₁; ω₂, -ω₃) +

[

E⁽¹⁾

- e_ikl γ₂(ω₃;ω₁,ω₂)E^(3)∗lE^(1)jE^(2)k +

+ ω₂γ_ljik(-ω₂; ω₁, -ω₃)]

E^(2)l E^(3)∗i + c.c.,

(48)

{[

+ γ₂(ω₃; ω₂, ω₁)E^(3)∗lE^(1)kE^(2)j+

g^(2)nloc

= ie_pik k^(2)lγ^(2)ijml(ω₃; ω₁, ω₂) +

]

+ γ₃(ω₃; ω₁, ω₂)E^(3)∗jE^(1)lE^(2)k+

+ k^(1)lγ^(2)imjl(ω₃; ω₂, ω₁)

B^(3)∗

E⁽¹⁾

E(2)

]

+ γ₃(ω₃; ω₂, ω₁)E^(3)∗jE^(1)kE(2)l + c.c.

(44)

[

+ k^(2)lγ^(2)ijml(-ω₁; -ω₃, ω₂) -

]

В результате уравнение (42) принимает вид

B⁽¹⁾

E^(3)∗

E(2)

- k^(3)lγ^(2)imjl(-ω₁; ω₂, -ω₃)

∂_tJ_i + ∂_j(M_ij - Q_ij) = 0,

[

+ k^(1)lγ^(2)ijml(-ω₂; -ω₃, ω₁) -

т. е. угловой момент света в изотропной среде с

]

- k^(3)lγ^(2)imjl(-ω₂; ω₁, -ω₃) ×

нелокальностью квадратичного отклика, естествен-

}

но, сохраняется, но формула для плотности пото-

(2)

E^(3)∗

E(1)

× B_k

+ c.c.,

(49)

ка углового момента оказывается более сложной,

П. С. Рыжиков, В. А. Макаров

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

{{

[

]

[

(2)

G^(2)nloc

=i δ_pk γ_i

(ω₃; ω₂, ω₁)k^(1)m

+ γ^(2)ijlm(ω₃;ω₁,ω₂)k⁽²⁾

- γ^(2)iljk(ω₃;ω₂,ω₁)k^(1)p +

ljm

]}

[

]

+ γ^(2)ijlk(ω₃;ω₁,ω₂)k^(2)p

E^(3)∗

E⁽¹⁾

E⁽²⁾

- (γ^(2)kjlm(ω₃; ω₁, ω₂)k^(2)m+γ^(2)kljm(ω₃; ω₂, ω₁)k(1)m ×

[

]

E^(3)∗

E(1)

× E^(3)∗p E^(1)jE(2)l + γ(2)kjlm(-ω1; -ω3, ω2)k(2)m - γ(2)kljm(-ω1; ω2, -ω3)k(3)m

E^(2)l +

[

]

}

+ γ^(2)kjlm(-ω₂;-ω₃,ω₁)k^(1)m - γ^(2)kljm(-ω₂;ω₁,-ω₃)k^(3)m

E^(3)∗

E⁽¹⁾

E(2)

+ c.c.

(50)

При получении формул (47), (48), (49) и (50) из соотношений (38), (39), (40) и (41) с целью достижения

максимально компактной записи первых использовались симметрийные соотношения (31), (8), которые в

случае среды с квадратичной нелинейностью записываются в виде

γ^(2)ijkp(ω₃; ω₂, ω₁) = -γ^(2kjip(-ω₁; ω₂, -ω₃),

(51)

γ^(2)ijkp(ω₃; ω₁, ω₂) + γ^(2)jkip(-ω₁; ω₂, -ω₃) + γ^(2)kijp(-ω₂; -ω₃, ω₁) = 0.

(52)

В среде с кубической нелинейностью (n = 3) материальные уравнения (10) и (11), выражения для энергии,

векторов потока энергии и импульса, а также тензора плотности потока импульса задаются формулами

P^nloci(ω₄) = γ^(3)ijlmk(ω₄; ω₁, ω₂, ω₃)E^(1)jE^(2)l∂_kE^(3)m + γ^(3)ijlmk(ω₄; ω₂, ω₃, ω₁)E^(2)jE^(3)l∂_kE^(1)m +

+ γ^(3)ijlmk(ω₄;ω₃,ω₁,ω₂)E^(3)jE^(1)l∂_kE^(2)m,

(53)

P^nloci(ω_1,2,3) = γ^(3)ijlmk(ω_1,2,3; ω₄, -ω_2,3,1, -ω_3,1,2)E^(4)jE^(2,3,1)∗l∂_kE^(3,1,2)∗m+γ^(3)ijlmk(ω_1,2,3; -ω_3,1,2, ω₄, -ω_2,3,1) ×

× E^(3,1,2)∗jE^(4)l∂_kE^(2,3,1)∗m + γ^(3)ijlmk(ω_1,2,3; -ω_2,3,1, -ω_3,1,2, ω₄)E^(2,3,1)∗jE^(3,1,2)∗l∂_kE^(4)m,

(54)

[

]

U^(3)nloc = 3i γ^(3)ilmjp(ω₄; ω₂, ω₃, ω₁)k^(1)p + γ^(3)ijmlp(ω₄; ω₁, ω₃, ω₂)k^(2)p + γ^(3)ijlmp(ω₄; ω₁, ω₂, ω₃)k⁽³⁾

× E^(4)∗i E^(1)j

E^(2)l E^(3)m + c.c.,

(55)

[

]

S^(3)nlock = -i ω₁γ^(3)ilmjk(ω₄; ω₂, ω₃, ω₁) + ω₂γ^(3)ijmlk(ω₄; ω₁, ω₃, ω₂) + ω₃γ^(3)ijlmk(ω₄; ω₁, ω₂, ω₃) ×

× E^(4)∗i E^(1)j

E^(2)l E^(3)m + c.c.,

(56)

{[

g^(3)nlocp = ie_pik γ^(3)ijlmn(ω₄; ω₁, ω₂, ω₃)k⁽³⁾ⁿ

+ γ^(3)ilmjn(ω₄;ω₂,ω₃,ω₁)k⁽¹⁾ⁿ+

]

[

+ γ^(3)imjln(ω₄;ω₃,ω₁,ω₂)k⁽²⁾ⁿ B^(4)∗kE^(1)jE^(2)lE^(3)m + γ^(3)ijlmn(-ω₁;-ω₄,ω₂,ω₃)k⁽³⁾ⁿ -

]

- γ^(3)ilmjn(-ω₁;ω₂,ω₃,-ω₄)k⁽⁴⁾ⁿ + γ^(3)imjln(-ω₁;ω₃,-ω₄,ω₂)k⁽²⁾ⁿ B^(1)kE^(4)∗jE^(2)lE^(3)m+

[

]

+ γ^(3)ijlmn(-ω₂;ω₁,-ω₄,ω₃)k⁽³⁾ⁿ + γ^(3)ilmjn(-ω₂;-ω₄,ω₃,ω₁)k⁽¹⁾ⁿ - γ^(3)imjln(-ω₂;ω₃,ω₁,-ω₄)k⁽⁴⁾

[

× B^(2)kE^(1)jE^(4)∗lE^(3)m - γ^(3)ijlmn(-ω₃; ω₁, ω₂, -ω₄)k⁽⁴⁾ⁿ - γ^(3)ilmjn(-ω₃; ω₂, -ω₄, ω₁)k⁽¹⁾ⁿ-

]

}

- γ^(3)imjln(-ω₃;-ω₄,ω₁,ω₂)k⁽²⁾ⁿ B^(3)kE^(1)jE^(2)lE^(4)∗

+ c.c.,

(57)

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Тензор энергии-импульса Минковского. . .

{{

[

]

(3)

G^(3)nloc

=i δ_pk γ_i

(ω₄; ω₂, ω₃, ω₁)k⁽¹⁾ⁿ

+ γ^(3)ijmln(ω₄;ω₁,ω₃,ω₂)k⁽²⁾ⁿ +γ^(3)ijlmn(ω₄;ω₁,ω₂,ω₃)k⁽³⁾

lmjn

[

]}

E^(4)∗

E⁽¹⁾

E⁽²⁾

- γ^(3)ilmjk(ω₄;ω₂,ω₃,ω₁)k^(1)p+ γ^(3)ijmlk(ω₄;ω₁,ω₃,ω₂)k^(2)p + γ^(3)ijlmk(ω₄;ω₁,ω₂,ω₃)k^(3)p

E^(3)m -

[

]

- γ^(3)klmjn(ω₄;ω₂,ω₃,ω₁)k⁽¹⁾ⁿ+ γ^(3)kjmln(ω₄;ω₁,ω₃,ω₂)k⁽²⁾ⁿ + γ^(3)kjlmn(ω₄;ω₁,ω₂,ω₃)k⁽³⁾ⁿ

E(Σ)∗

E⁽¹⁾

E⁽²⁾

E(3)

[

]

- γ^(3)kmiln(-ω₁;ω₃,-ω₄,ω₂)k⁽²⁾ⁿ+ γ^(3)klimn(-ω₁;ω₂,-ω₄,ω₃)k⁽³⁾ⁿ-γ^(3)klmin(-ω₁;ω₂,ω₃,-ω₄)k⁽⁴⁾ⁿ

E^(4)∗

E(1)

E⁽²⁾E(3)m -

[

]

- γ^(3)kmijn(-ω₂;ω₃,-ω₄,ω₁)k⁽¹⁾ⁿ +γ^(3)kijmn(-ω₂;-ω₄,ω₁,ω₃)k⁽³⁾ⁿ -γ^(3)kmjin(-ω₂;ω₃,ω₁,-ω₄)k⁽⁴⁾

[

E^(4)∗i E^(1)j E^(2)p E^(3)m - γ^(3)kiljn(-ω₃; -ω₄, ω₂, ω₁)k⁽¹⁾ⁿ+ γ^(3)kijln(-ω₃; -ω₄, ω₁, ω₂)k⁽²⁾ⁿ -

]

}

- γ^(3)kjlin(-ω₃;ω₁,ω₂,-ω₄)k⁽⁴⁾ⁿ

E^(4)∗

E⁽¹⁾

E⁽²⁾

E^(3)p

+ c.c.

(58)

Заметим, что подстановки k^(3)l = k^(1)l + k^(2)l в (49),

например, в частном случае изотропной среды с

(50) и k^(4)l = k^(1)l + k^(2)l + k^(3)l в (57), (58) не делают

нелокальностью квадратичного по полю оптическо-

эти формулы более компактными.

го отклика такие слагаемые возникают.

Благодарности. Авторы благодарны К. С. Гри-

горьеву за полезные обсуждения.

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Финансирование. Работа выполнена при фи-

нансовой поддержке Фонда развития теоретической

Нами получены аналитические выражения, до-

полняющие ранее известные формулы для плотно-

физики и математики ¾БАЗИС¿ .

стей энергии и импульса, а также для плотностей

их потоков слагаемыми, возникающими благодаря

ЛИТЕРАТУРА

наличию нелокальности нелинейного оптического

отклика непоглощающей среды на внешнее свето-

1. Н. Н. Розанов, Р. М. Архипов, М. В. Архипов, УФН

вое поле. Эти дополнительные слагаемые позволяют

188, 1347 (2018).

обобщить на случай нелинейной среды с простран-

2. R. Boyd, Nonlinear Optics, Elsevier, Amsterdam

ственной дисперсией формулы для компонент тензо-

(2020).

ра энергии-импульса Минковского. Полученные вы-

ражения для плотности энергии и импульса отлича-

3. P. S. Pershan, Phys. Rev. 130, 919 (1963).

ются от ранее известных аналогичных формул, кор-

4. P. S. Ryzhikov and V. A. Makarov, Laser Phys. Lett.

ректных для не проявляющей нелокальность опти-

19, 035401 (2022).

ческого отклика среды, только учетом зависимости

5. D. Andrews, Symmetry 12, 1466 (2020).

входящей в них нелинейной поляризации от про-

странственных производных напряженности элек-

6. N. Bloembergen, J. Opt. Soc. Amer. 70, 1429 (1980).

трического поля. Плотность потока импульса, поми-

7. С. А. Ахманов, Р. В. Хохлов, Проблемы нели-

мо этого отличия, включает дополнительное слагае-

нейной оптики, Изд-во Академии наук, Москва

мое, связанное с тензором, определяющим нелокаль-

(1964).

ный нелинейный оптический отклик толщи среды.

8. N. Bloembergen, Nonlinear Optics, World Sci. Publ.

Подобное слагаемое также присутствует и в выра-

(1965).

жении для плотности потока энергии. Таким обра-

зом, нелокальность нелинейного оптического откли-

9. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физи-

ка среды приводит к возникновению дополнитель-

ка. Том 8. Электродинамика сплошных сред, Физ-

ных потоков энергии и импульса электромагнитного

матлит, Москва (2005).

поля.

10. А. А. Рухадзе, В. П. Силин, УФН 74, 223 (1961).

Результаты работы позволяют начать поиск свя-

11. В. М. Агранович, В. Л. Гинзбург, Кристаллооп-

занных с пространственной дисперсией оптической

тика с учетом пространственной дисперсии и

нелинейности возможных дополнительных слагае-

теория экситонов, Наука, Москва (1965).

мых в выражениях для плотности углового момен-

та и его потока. Уже сейчас можно сказать, что,

12. И. Н. Топтыгин, К. Левина, УФН 186, 2 (2016).

П. С. Рыжиков, В. А. Макаров

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

13. Yu. A. Kirochkin and K. N. Stepanov, ЖЭТФ 104,

21. A. Shevchenko and M. Kaivola, J. Phys. B 44, 175401

3955 (1993).

(2011).

14. S. Serulnik and Y. Ben-Aryeh, Quantum Opt. B 3,

22. M. Mansuripur and A. Zakharian, Opt. Comm. 283,

63 (1991).

3557 (2012).

15. V. A. Makarov, in Quantum Photonics: Pionering

23. D. E. Soper, Classical Field Theory, Dover Publ. New

Advances and Emerging Applications, ed. by

York (2008).

R. W. Boyd, S. G. Lukishova, and V. N. Zadkov,

Springer, Berlin (2019), Vol. 217, p. 317.

24. Y. R. Shen, Principles of Nonlinear Optics, Wiley,

16. С. Н. Волков, Н. И. Коротеев, В. А. Макаров,

New York (1984).

ЖЭТФ 113, 1261 (1998).

25. S. V. Popov, Yu. P. Svirko, and N. I. Zheludev,

17. K. S. Grigoriev, N. Yu. Kuznetsov, E. B. Cherepet-

Susceptibility Tensor for Nonlinear Optics, Taylor &

skaya, and V. A. Makarov, Opt. Express 25, 6253

Francis, New York (2015).

(2017).

26. J. Schwichtenberg, Physics from Symmetry, Springer,

18. H. Sroor, C. Moodley, V. Rodr´ıguez-Fajardo et al., J.

Berlin (2018).

Opt. Soc. Amer. A 38, 1443 (2021).

19. P. W. Milonni and R. W. Boyd, Adv. Opt. Photon.

27. S. M. Barnett, J. Opt. 13, 064010 (2011).

2, 519 (2010).

28. K. Y. Bliokh, J. Dressel, and F. Nori, New J. Phys.

20. I. Campos-Flores, J. L. Jimenez-Ramirez, and

16, 093037 (2014).

J. Roa-Neri, J. Electromagn. Analysis and Appl. 9,

203 (2017).

29. O. Yamashita, Opt. Comm. 284, 2532 (2011).