ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 1 (7), стр. 87-95

O ТЕОРЕМЕ ДЕКОМПОЗИЦИИ ДЛЯ ГЛЮОНОВ

И. В. Аникин^a*, А. С. Жевлаков^a,b**

^a Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова,

Объединенный институт ядерных исследований

141980, Дубна, Московская обл., Россия

^b Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова

664033, Иркутск, Россия

Поступила в редакцию 8 февраля 2022 г.,

после переработки 3 марта 2022 г.

Принята к публикации 3 марта 2022 г.

В последнее время широко обсуждается проблема разделения спинового и орбитального углового мо-

мента (УМ). До настоящего времени все дискуссии о возможности отделения спинового УМ от орби-

тального УМ калибровочно-инвариантным образом основывалась на использовании анзаца о том, что

глюонное поле может быть аддитивно представлено в виде разложения на физические глюонные ком-

поненты и компоненты, преобразующейся как чистая калибровка, т. е. Aµ = A^µhys + A^µure. В данной

статье показано, что для неабелевой калибровочной теории такая декомпозиция глюонного поля имеет

строгое математическое доказательство в рамках концепции контурной калибровки. Другими словами,

анзац декомпозиции глюонного поля переформулируется как теорема о декомпозиции и доказывается с

использованием контурной калибровки. Показано, что контурная калибровка обладает особым классом

остаточной калибровки, которая связана с конфигурацией поля на границе и выражается в терминах чи-

стых калибровочных полей. В результате такого разложения тривиальные граничные условия приводят к

тому, что глюонное поле имеет только физические глюонные конфигурации, зафиксированные условием

контурной калибровки.

DOI: 10.31857/S0044451022070094

В работах [4,5] был предложен калибровочно ин-

EDN: EDZOYD

вариантный аналог JM-декомпозиции. В рамках ку-

лоновской калибровки утверждалось, что глюонное

поле можно формально представить как

1. ВВЕДЕНИЕ

A_µ(x) = A^physµ(x) + A^pureµ(x).

(1)

В теоретическом и экспериментальном сообще-

ствах ведутся дискуссии о возможности выделить

Стоит отметить что данная декомпозиция глюонно-

составляющие спина нуклона: внутренний партон-

го поля всегда рассматривалась как первый шаг в

ный спиновый и орбитальный угловой моменты

большинстве существующих дискуссий о калибро-

[1]. На данном этапе можно выделить две различ-

вочно-инвариантном разделении на спиновый и ор-

ные широко обсуждаемых декомпозиции: JM-де-

битальный угловые моменты в нуклоне (см., напри-

композиция (Jaffe-Manohar’s) [2] и J-декомпозиция

мер, [6-17]).

(Ji’s) [3]. JM-декомпозиция приводит к полному раз-

В абелевой U(1) калибровочной теории физичес-

ложению спина нуклона на спиновые и орбитальные

кие компоненты A^physµ в (1) соответствуют попереч-

части кварков и глюонов по отдельности. В то время

ной составляющей A^⊥µ, которая является калибро-

как J-декомпозиция, напротив, не приводит к вы-

вочно инвариантной в отличие от продольной ком-

делению отдельных вкладов от партонов, при этом

поненты A^Lµ, связанной с A^pureµ, которая преобразу-

данное разложение обладает калибровочной инва-

ется калибровочно и должна быть устранена калиб-

риантностью.

ровочным условием в рамках лагранжевого подхо-

^* E-mail: anikin@theor.jinr.ru

да. Отсюда следует, что в абелевой теории разложе-

^** E-mail: zhevlakov@theor.jinr.ru

ние, представленное в (1), является абсолютно есте-

И. В. Аникин, А. С. Жевлаков

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

ственным, и в законности данного разложения нет

рое обеспечивается дополнительными требования-

сомнений.

ми [22]. Более того, в рамках гамильтонова фор-

В случае неабелевой SU(3) калибровочной тео-

мализма использование контурной калибровки под-

рии и поперечная, и продольная компоненты ка-

разумевает, что условие калибровки (в качестве до-

либровочно преобразуются. Следовательно, упомя-

полнительного условия) может быть полностью раз-

нутое разложение становится как минимум неоче-

решено относительно калибровочной функции за

видным, особенно в контексте определения фи-

исключением калибровочных преобразований в ко-

зических компонент. В частности, использование

нечной области пространства. Поэтому в данном

калибровочных условий ковариантного типа неиз-

смысле физические наблюдаемые, рассматриваемые

бежно должно приводить к невозможности раз-

в контурной калибровке, являются калибровочно-

деления спиновых и орбитальных угловых моме-

инвариантными по построению.

нов калибровочно-инвариантным образом, посколь-

ку зависимость глюонных конфигураций от коорди-

нат нельзя определить независимо для каждой из

2. СВЯЗЬ ЛОКАЛЬНЫХ И НЕЛОКАЛЬНЫХ

компонент поля, см., например, [18].

КАЛИБРОВОЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Между тем, разложение глюонного поля на фи-

зические и нефизические составляющие является

Прежде всего, напомним соответствие между ви-

краеугольным камнем во многих подходах, посвя-

дом калибровочных преобразований и вильсонов-

щенных калибровочно-инвариантному разделению

ским путезависимым функционалом (см. детали в

спиновых и орбитальных угловых моментов.

[23]). В дальнейшем, для краткости, используется

В данной работе декомпозиция, представленная

термин ¾линия Вильсона¿ независимо от формы пу-

в формуле (1), рассматривается как утверждение,

ти, если только данный термин не ведет к заблуж-

которое должно быть доказано, если это возможно

дению.

в рамках неабелевой теории. Доказательство пред-

Предположим, что в рамках неабелевой калибро-

ставления (1) для неабелевого поля может быть ре-

вочной теории фермионные и калибровочные поля

ализовано в рамках контурной калибровки, кото-

преобразуются как

рая обобщает стандартные локальные аксиальные

калибровки, и при этом является свободной от гри-

ψ^θ(x) = e^+iθ(x)ψ(x) ≡ U(x)ψ(x),

(2)

бовских копий [19,20]. В отличие от локальной ка-

A^θµ(x) = U(x)A_µ(x)U^-1(x)+

U (x)∂_µU^-1(x),

(3)

либровки, в контурной калибровке, которая явля-

ется нелокальным типом калибровки, сначала фик-

сируется представитель на калибровочной орбите,

где θ

= θ^aT^a, а T^a

генераторы соответсвую-

а затем находится подходящее локальное калибро-

щего представления. При фиксированных локаль-

вочное условие для данного представителя на ор-

ных преобразованиях, как в уравнениях (2) и (3),

бите. Особенности контурной калибровки легко по-

можно показать, что ковариантная производная и

нять в рамках гамильтонова формализма, где усло-

калибровочно-инвариантный оператор фермионной

вие контурной калибровки однозначно определяет

струны принимает следующий вид:

поверхность многообразия, которая пересекает слой

с групповой орбитой уникальным образом (см. де-

iD_µ = i∂_µ + gA_µ(x),

(4)

тали в [21]). В качестве нового наблюдения показа-

O^g.-inv.(x, y) =

ψ(y)[y ; x]_Aψ(x).

но наличие специальной остаточной калибровочной

свободы, которой обладает контурная калибровка.

Вильсоновская линия определена как

Однако данная остаточная свобода локализована в





нетривиальных граничных условиях, которые свя-



∫



заны с чистыми калибровочными конфигурациями,

[x ; x₀]_A = P exp ig

dω_µA_µ(ω)

определенными на бесконечности.





Отметим, что физические величины не зависят

P (x0,x)

от выбора калибровки. Аксиальный тип калибро-

= g(x|A) ≡ g(P),

(5)

вок связан с определенным фиксированным направ-

лением в пространстве. В таком случае независи-

где P (x₀, x) обозначает путь, который соединяет на-

мость от калибровки следует рассматривать как

чальную точку x₀ и конечную x в пространстве

независимость от выбранного направления, кото-

Минковского.

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

O теореме декомпозиции для глюонов

Вставив точку x₀ в линию Вильсона, оператор

называемым дополнительным условиям (или калиб-

калибровочно-инвариантной струны, см. уравнение

ровочным условиям), точные формы которых дик-

(4), преобразуется как

туются калибровочной свободой. Если первичные

(вторичные и т. д.) связи необходимы для исключе-

O^g.-inv.(x, y) =

ψ(y)[y ; x₀]_A[x₀ ; x]_Aψ(x).

(6)

ния нефизических компонент калибровочного поля,

то калибровочные условия, в самом идеальном слу-

Из уравнения (6) следует, что зависящее от пути

чае, должны зафиксировать соответствующий фак-

нелокальное калибровочное преобразование ферми-

тор Лагранжа, связанный с калибровочной орбитой.

онов может быть представлено в виде

В рамках лагранжевой формулировки [28], посколь-

ψ^g(x) = g^-1(x|A)ψ(x),

(7)

ку бесконечный объем калибровочной орбиты фак-

торизуется в функциональной мере по компонен-

где ψ^g(x) калибровочно-инвариантное фермион-

тами калибровочного поля, калибровочные условия

ное поле в представлении Мандельштама Ψ(x|A) за

обычно позволяют устранить нефизические глюон-

исключением глобальных калибровочных преобра-

ные компоненты.

зований, несущественных для данных рассмотрений

В этой связи контурная калибровка подразуме-

[24, 25]. Такое преобразование приводит (из уравне-

вает, что для полного фиксирования калибровоч-

ния (3)) к

ной функции (представителя орбиты) или устра-

нения нефизических глюонов необходимо потребо-

A^gµ(x) = g^-1(x|A)A_µ(x)g(x|A)+

вать, чтобы вильсоновский путезависимый функци-

онал между начальной x₀ и конечной x точками пу-

g^-1(x|A)∂_µg(x|A).

(8)

ти P(x₀, x) был равен единице, т.е.

Следовательно, связь между локальным и нело-

g(x|A) = [x ; x₀]_A = I,

(10)

кальным калибровочным преобразованием имеет

вид

где путь P (x₀, x) фиксирован, а точка x₀ определя-

U (x) ⇔ g^-1(x|A),

(9)

ет специфическую начальную точку, которая может

зависеть от конечной точки x (см. также [29]).

что чрезвычайно важно для дальнейшего рассмот-

Хорошо известная аксиальная калибровка, A⁺ =

рения, поскольку неправильное соответствие приво-

= 0, является фактически частным случаем наи-

дит к существенно неверным выводам (см., напри-

более общей нелокальной контурной калибровки,

мер, [26]).

определенной условием (10), где фиксированный

путь соответствует прямой линии, связывающей

точки ±∞ и x.

3. КОНЦЕПЦИЯ КОНТУРНОЙ

В прошлом контурная калибровка была объек-

КАЛИБРОВКИ

том интенсивного изучения (см., к примеру, [19,20]).

В представленной работе проводится пересмотр

Очевидным преимуществом использования контур-

разложения (1) в контексте выявления тех условий,

ной калибровки является то, что квантовая калиб-

для которых декомпозиция становится справедли-

ровочная теория свободна от грибовских неодно-

вой (если это вообще возможно осуществить). Рас-

значностей. По своей конструкции контурная калиб-

смотрим разложение (1) как утверждение, которое

ровка не обладает остаточной калибровочной свобо-

должно быть доказано, по-крайней мере, в рамках

дой и с технической точки зрения является самым

калибровочного условия, наиболее подходящего для

простым способом полного фиксирования калибров-

проверки (1). С этой целью используется концепция

ки в пределах конечного пространства. Вкратце, в

контурной калибровки.

рамках концепции контурной калибровки сначала

С самого начала напомним, что в гамильтоно-

фиксируется произвольная точка (x₀, g(x₀)) на слое

вой формулировке калибровочной теории [27], рас-

P (X , π | G) [30]. После определяются два направле-

ширенная мера функционального интеграла в тер-

ния: одно направление определяется на базе X (где

минах обобщенных импульсах E_i, и координатах A_i

направление есть не что иное, как касательный век-

включает два вида функциональных дельта-функ-

тор к кривой, идущей через данную точку x₀), дру-

ций. Первый вид дельта-функции отражает первич-

гое направление определяется на слое, где направ-

ные (вторичные и т. д.) связи на E_i и A_i, в то вре-

ление может быть однозначно определено как ка-

мя как второй вид дельта-функции относится к так

сательное подпространство, связанное с параллель-

И. В. Аникин, А. С. Жевлаков

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

ным переносом. Эти два направления формируют

4. КОНТУРНАЯ КАЛИБРОВКА И

горизонтальный вектор (или направление)

ДЕКОМПОЗИЦИЯ ГЛЮОННОГО ПОЛЯ

Перейдем к обсуждению контурной калибров-

H_µ = ∂_µ - igA^aµ(x)D^a,

(11)

ки, определенной условием (10). Используя путиза-

висимые калибровочные преобразования для глю-

онного поля (см. уравнение (8)) и вычислив про-

который, по построению, инвариантен относитель-

изводную вильсоновской линии [33] в калибровке

но структуры группы на слое [30]. В уравнении (11)

[x ; -∞]_A = I, получим, что глюонное поле можно

D^a обозначает соответствующий генератор сдвига

представить как декомпозицию в следующем виде:

вдоль группы слоя и может быть представлен как

∫

g∂/∂g. Функционал g(x|A) из уравнения (5), опре-

A^c.g.µ(x) =

dω_αG_αµ(ω|A^c.g.)+A^c.g.µ(x-n ∞),

(13)

деленный на главном расслоении P(X , π | G), явля-

−∞

ется решением уравнения параллельного переноса,

задаваемого следующим образом:

где G_µν тензор напряженности глюонного поля;

начальная точка определена в -∞ и путь парамет-

ризован как

dx_µ(s)

_-∞

_s=∞

H_µ(A)g(x(s)|A) = 0,

(12)



1-e^-sǫ

ω

= x - n lim



(14)

ǫ→0

s=0

Данная параметризация пути включает вектор

если p(s) = (x(s), g(x(s))) определяется кривой x(s)

n, определенный заданным фиксированным на-

в X, параметризованной s. Применение условия (10)

правлением. Например, вектор n можно выбрать

с целью выполнения (12) ведет либо к A^aµ(x) = 0

в минус-направлении на световом конусе, n

(тривиальный случай), либо к D^aI = 0 (что являет-

= (0⁺, n^-, 0_⊥), в рамках формализма квантования

ся естественным требованием D^a = g∂/∂g).

на световом конусе.

Таким образом, можно уникальным образом

Важно отметить, что разложение (13) сущест-

определить точку на расслоении, P(X , π | G), для ко-

венно отличается от разложения, представленного

торого имеется только единственный горизонталь-

в [34], отсутствием ǫ-функции в ней. В самом деле,

ный вектор, соответствующий данному касательно-

данная контурная калибровка выбирает либо одну

му вектору в точке x в X . Напомним, что касатель-

θ-функцию, либо другую, подробности см. в [32].

ный вектор в точке x однозначно определяется за-

Из уравнения (13) следует, что контурная калиб-

данным путем, проходящим через x. Таким образом,

ровка позволяет естественным образом разделить

в рамках гамильтонова формализма, основанного

глюонное поле на G-зависимую и G-независимую

на геометрической интерпретации глюонов, условие

компоненты. Иначе говоря, вместо формулы (13)

(10) определяет поверхность на P(X , π | G). Эта по-

удобно представить разделение глюонного поля в

верхность параллельна плоскости базы, где опреде-

виде (см. [17])

лен путь, и выделяет единичный элемент, g = 1, в

A^c.g.µ(x) = A_µ(x|G) + A^b.cµ(-∞),

(15)

каждом слое из расслоения P(X , π | G) [21].

(x|G) есть не что иное как первое слагае-

где A_µ

Контурная калибровка относится к нелокально-

мое в (13) и A^b.cµ(-∞) ≡ A^c.g.µ(x - n ∞) конфи-

му классу калибровок и естественным образом обоб-

гурация поля глюона на границе. Необходимо от-

щает известные локальные калибровки аксиально-

метить, что G-зависимая конфигурация глюонного

го типа. Также стоит заметить, что две разные

поля A_µ(x|G) возникает в результате нетривиаль-

контурные калибровки могут соответствовать од-

ной деформации пути [33] и глюонное разделение,

ной и той же локальной аксиальной калибровке,

представленное уравнением (15), напоминает фор-

где остаточная калибровка осталась незафиксиро-

мулу [17], но слегка отличается по смыслу.

ванной [31,32]. Это утверждение отражает тот факт,

В рамках контурной калибровки (10) гранич-

что в отличие от локальной аксиальной калибровки

ные глюонные конфигурации должны удовлетво-

контурная калибровка не обладает остаточной ка-

рять условию вида

либровочной свободой в конечной области простран-





∫





ства. Однако, как показано ниже, граничные глюон-

P exp

igA^b.c

(-∞) dω_µ

= I.

(16)

ные конфигурации могут порождать особый класс





остаточных калибровок.

-∞

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

O теореме декомпозиции для глюонов

P (C, p|G)

Таким образом, поскольку интеграл по dω_µ в урав-

нении (16) расходится как 1/ǫ при ǫ стремящемся

к нулю, комбинация n_µA^b.cµ(-∞) должна вести се-

Hm(2)

бя подобно ǫ². Действительно, функция в экспонен-

те (см. (16)) имеет вид (размерность пространства

D = 4)

∫x

∫

(1)

A^b.cµ(-∞) dω_µ ≡ A^b.cµ(x - ∞ n) dω_µ =

H_m

-∞

)_-1

= lim

A^b.c

(n) n_µ

= 0.

(17)

ǫ→0

Следовательно, граничные глюонные конфигурации

x₂

подчиняются условию поперечности

(

)

n_µ(θ_i, ϕ)A^b.cµ

n(θ_i, ϕ)

= 0.

(18)

x₁

Здесь, поскольку вектор n определяет фиксирован-

ное направление, удобнее использовать сферические

Рис. 1. Голономия: H^µi) с i = 1, 2, обозначающими со-

координаты в евклидовом пространстве (или псев-

ответствующие горизонтальные векторы, определенные на

слое P

досферическую систему в пространстве Минковско-

го), где вектор n зависит только от угловых коор-

динат (θ_i, ϕ), см. ниже. Если размерность простран-

стью, связанной с петлей L(x₀), см. рис. 1. Заме-

ства D > 4, то условие поперечности, следующее из

тим, что точная форма Ω не важна для нашего ис-

уравнения (18), не является необходимым для вы-

следования. Более того, фиксированная форма Ω

полнения условия контурной калибровки.

может привести к дополнительной неоднозначности

Теперь можно показать, что в контурной ка-

[35], которая, однако, не повлияет на выводы данной

либровке граничные глюонные конфигурации могут

работы.

быть представлены в виде чистых калибровочных

Простейшее решение уравнения (19) имеет вид

конфигураций. Прежде всего важно отметить, что

начальная точка x₀ играет особую роль в рассмат-

A_µ(ω) =

U (ω)∂_µU^-1(ω),

(21)

риваемом формализме, поскольку все пути начина-

ются в этой точке, и база X касается главного рас-

который ведет к G_µν (ω) = 0 и, следовательно, к

слоения P только в этой точке.

уравнению (20) после использования теоремы Сток-

Для начала рассмотрим точку x₀, в которой,

са (вопрос выбора поверхности Ω тут не затраги-

предположим, начинаются два разных пути, см.

вается¹⁾). Отметим, что нетривиальное (ненулевое)

рис. 1. Такая стартовая точка имеет два касатель-

решение уравнения (20) может существовать априо-

ных вектора, связанных с P (x₀, x₁) и P (x₀, x₂). В

ри. Однако такое решение (ведущее к равенству ну-

свою очередь, каждый касательный вектор имеет

лю всего интеграла) в любом случае не может быть

свой уникальный горизонтальный вектор H^µi) опре-

представлено в форме чистой калибровки. В теории

деленный на слое. Тогда, воспользовавшись уравне-

групп путей утверждается, что любая петля как эле-

нием (10), получаем, что

мент подгруппы петель может быть гомотопически





преобразована в ¾нулевой элемент¿, который в на-



∫



шем случае является базовой точкой x₀ = -∞.

P exp ig

dω_µA_µ(ω)

= I,

(19)

В результате чистое калибровочное представле-





L(x0)

ние в уравнении (21) может быть связано только с





граничными конфигурациями, т. е.

 ∫



P exp

ig dω_µ ∧ dω_νG_µν(ω)

= I,

(20)





A^b.c.µ(x₀) =

U (x₀)∂_µU^-1(x₀

(22)

Ω

где под L(x₀) подразумевается петля с началом x₀ =

¹⁾ Всесторонний анализ неабелевой теоремы Стокса можно

= -∞ и Ω является соответствующей поверхно-

найти в [35].

И. В. Аникин, А. С. Жевлаков

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Поскольку x₀

= lim

X (R, θ₁, θ₂, ϕ), получаем

R→0

что

(

)

A^b.c.µ

ǫn(θ_i, ϕ)

(

)

(

)

ǫn(θ_i, ϕ)

∂_µU^-1

ǫn(θ_i, ϕ)

(24)

где ǫ → -∞, θ_i и ϕ не фиксированы, что обеспечива-

ет остаточную калибровочную свободу аналогично

той, что продемонстрирована на рис. 2.

j_A

Наиболее удобный способ фиксации остаточной

калибровочной свободы это предположить, что

j_B

(см. [31, 32])

(

)

(

)

A^b.c.µ

ǫn(θ_i, ϕ)

≡A^pureµ

ǫn(θ_i, ϕ)

= 0.

(25)

Рис. 2. Угол не зависит от начальной точки O: век-

торы A

= (RA, ϕA) и B

= (RB, ϕB); limR_A→0 A =

В этом случае декомпозиция глюонного поля, пред-

= limR_B→0 B = O, где O = (0 · cos ϕi, 0 · sin ϕi) и i = A, B

ставленная в уравнении (1), будет тривиальной.

Таким образом, использование контурной калиб-

ровки дает наиболее естественное разложение глю-

потому что конфигурация A_µ(x|G) в уравнении (15)

онных полей на G-зависимую глюонную компонен-

приводит к нулю интегрирование в (19) по опреде-

ту, которую можно назвать физической, и нефизи-

лению.

ческую глюонную компоненту, относящуюся к чис-

Скомбинировав окончательно уравнения (15) и

той калибровочной конфигурации. Более того, кон-

(22), приходим к доказательству, что в контур-

турная калибровка не обладает остаточной калибро-

ной калибровке глюонное поле действительно может

вочной свободой в конечной области пространства, а

быть представлено в виде разложения

оставшаяся возможная калибровочная свобода пол-



ностью изолирована на бесконечной границе данно-



A^c.g.µ(x) = A_µ(x|G)+

U (x₀)∂_µU^-1(x₀)

(23)

го пространства.

x0=-∞

где оба слагаемых перпендикулярны выбранному

вектору направления n_µ.

5. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ЛОКАЛЬНОЙ

Уравнение (23) показывает, что остаточная ка-

И НЕЛОКАЛЬНОЙ КАЛИБРОВКАМИ

либровка в контурной калибровке полностью лока-

Поскольку контурная калибровка как нелокаль-

лизована на границе. Для того чтобы понять приро-

ный вид калибровки обобщает стандартную локаль-

ду остаточной калибровки, связанной с граничны-

ную калибровку аксиального типа, кратко обсудим

ми глюонными конфигурациями в рамках контур-

соответствие между локальными и нелокальными

ной калибровки, рассмотрим простейший пример на

калибровочными преобразованиями. Как уже упо-

R², где A и B имеют одну и ту же начальную точ-

миналось, локальная калибровка аксиального типа

ку O, см. рис. 2. Удобнее работать со сферической

не является свободной от остаточных калибровоч-

системой, т. е.

ных преобразований, в то время как нелокальная

A(R_A, ϕ_A) ≡ (R_A cos ϕ_A, R_A sin ϕ_A)

контурная калибровка фиксирует всю калибровоч-

ную свободу в конечном пространстве при условии,

и т. д. Если радиус-векторы A и B отличаются от

что начальная точка x₀ = -∞. Действительно, ес-

нуля даже на бесконечно малое, значит эти два век-

ли рассмотреть локальную аксиальную калибров-

тора различимы. Однако, если R_A = R_B = 0, то

ку, A^+,θ(x) = 0, как уравнение для калибровочной

начальная точка O теряет информацию о векторах

функции θ(x) (см. уравнение (3)), то получим реше-

A и B, поскольку

ние этого уравнения в виде

O = (0 · cosϕ_A,0 · sinϕ_A) = (0 · cosϕ_B,0 · sinϕ_B).

U₀(x^-, x) = C(x)U(x^-, x),





 ∫x^-



Важно отметить, что в общем случае углы могут

(26)

U (x^-, x) = P exp

-ig

dω^-A⁺(ω^-, x)

быть произвольными. В этом смысле начальная точ-





ка O является точкой, не зависящей от угла.

x^-

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

O теореме декомпозиции для глюонов

где x = (x⁺, 0^-, x_⊥), x^-0 фиксирована и C(x)

6. НЕНУЛЕВЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ГЛЮОННЫЕ

произвольная функция, которая не зависит от x^- и

КОНФИГУРАЦИИ

определяется как

Данная часть работы посвящена изучению влия-

ния ненулевых граничных конфигураций глюонного

U₀(x^- = x^-0, x) = C(x).

(27)

поля на определения различных распределений пар-

тонов. Прежде всего, важно подчеркнуть, что разло-

Произвольность C(x)-функции также отражает тот

жение в уравнениях (13) и (15) по смыслу относится

факт, что здесь имеем дело с произвольной фик-

к декомпозиции предложенной в работе [17]. Дей-

сированной начальной точкой x₀. Для определения

ствительно, уравнение (15) можно переписать как

остаточной калибровочной свободы требуется, что-

(здесь рассматривается предел ǫ → -∞)

бы выполнялось A^+,θ(x) = 0 и A⁺(x) = 0. Иными

словами, имеем, что

A^l.c.µ(k⁺; x) = G_µ(k⁺; x)+

(

)



+ δ(k⁺)A^b.c.µ

ǫn^-(π/4, 0, 0); x

(31)

U₀(x^-, x)

≡ U^res(x) = C(x) ≡ ei θ(x).

(28)

U =1

где глюонное поле на световом конусе

A^l.c.µ

это

Видно, что функция C(x) определяет остаточные

фурье-образ A^l.c.µ только по отношению к x^-, т.е.

калибровочные преобразования.

A^l.c.µ(k⁺; x),

(32)

Нелокальная контурная калибровка обобщает

локальную калибровку аксиального типа и требует,

и, следовательно,

чтобы полный интеграл в экспоненте уравнения (10)

∫

равнялся нулю²⁾. С помощью контурной калибров-

dω^-G^+µ(ω^-, x|A^c.g.),

ки в рамках гамильтонова формализма остаточная

(33)

-∞^-

калибровочная функция

θ(x) может быть связана с

(

конфигурациями A^- и A^i⊥, которые также исчезают,

δ(k⁺) A^b.c.µ

ǫn^-; x

)^F= A^b.c.µ(ǫn^-; x)

уничтожая всю калибровочную свободу (подробнос-

Важно подчеркнуть, что уравнение (31), как и урав-

ти см. в [23, 36]). Таким образом, восстанавливая

нение (15), было получено прямым образом с уче-

полный путь в вильсоновской линии, для данного

том контурной калибровки, см. уравнение (10). Как

процесса получаем, что

уже отмечалось ранее, важным результатом данной

работы является то, что несмотря на факт полного

C(x) =

C(x⁺⁰, x^-0, x^⊥0) ×

фиксирования калибровочной свободы в конечной





∫



области пространства с помощью контурной калиб-

ровки, тем не менее, остаточная калибровочная сво-

× Pexp ig

dω^i⊥A^i⊥(x⁺⁰, x^-0, ω_⊥)





бода связана с граничными конфигурациями глюон-

x^⊥





ного поля. Нетривиальные топологические эффек-

 ∫x⁺



ты, связанные с граничными конфигурациями глю-

× Pexp

-ig

dω⁺A^-(ω⁺, x^-0, x_⊥)

(29)

онных полей, предмет отдельного рассмотрения.





В работе [17] представление, которое формаль-

x⁺

но похоже на нашу формулу (31), по существу бы-

и тогда, используя соответствующую контурную ка-

ло угадано для случая локальной аксиальной ка-

либровку, приходим в конце к тому, что

либровки A⁺ = 0, где соответствующая остаточная

калибровочная свобода включена в неоднородный



C(x)

C(x⁺⁰, x^-0, x^⊥0).

(30)

член с δ(k⁺). В свою очередь, калибровка A⁺ = 0

c.g.

с фиксированной остаточной калибровочной свобо-

дой в конечной области пространства фактически

Уравнение (30) означает, что калибровочная свобо-

идентична контурной калибровке [32].

да вообще отсутствует. Точное значение фиксиро-

В рамках формализма группы путей можно вос-

ванной начальной точки x₀ зависит от рассматри-

пользоваться следующим путезависимым преобра-

ваемого нами физического процесса [36,37].

зованием, которое порождает обычное преобразова-

ние сдвига,

²⁾ В локальной калибровке соответствующий экспоненци-

[

]

альный фактор исчезает благодаря тому, что зануляется по-

U^P(x,x+y)ψ

(x) = [x + y ; x]^-1A ψ(x + y),

(34)

дыинтегральная функция A⁺ = 0.

И. В. Аникин, А. С. Жевлаков

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

где ψ(x) принадлежит спинорному фундаменталь-

Как уже говорилось ранее, fLq(x) это физиче-

ному представлению и определена на пространстве

ская величина и не зависит от выбора калибров-

Минковского M = P/L (P обозначает соответству-

ки. В то же время калибровки аксиального типа

ющую группу путей, L подгруппа петель на P )

(локальные или нелокальные) связаны с фиксиро-

как инвариантная функция классов сопряженности

ванным направлением, необходимым для процеду-

[30], т. е.

ры факторизации [22]. Поэтому калибровочную ин-

вариантность физической величины можно тракто-

ψ(x) = g(p)Ψ(p), p = (x, g) ∈ P.

вать в том числе как независимость от выбора на-

правления. В рамках гамильтоновского формализма

Кроме того, в уравнении (34) оператор U, действу-

предполагается, что калибровочное условие (или до-

ющий на спинорном многообразии, имеет вид

полнительное условие) может быть полностью раз-





∫

решено относительно калибровочной функции, за



U^P(x,x+y)

= Pexp

-ig dω_µD_µ

(35)

исключением калибровочных преобразований в ко-





нечной области. В этом смысле, физические кварк-

глюонные операторы, рассматриваемые в контур-

В контурной калибровке, где вильсоновская ли-

ной калибровке, являются ¾калибровочно-инвари-

ния зафиксирована из уравнения (34) и равна еди-

антными¿ по своей конструкции, поскольку в дан-

нице, оператор группы трансляций U_q(y) принимает

ном случае нет связи ни с какими калибровочными

тривиальную форму

преобразованиями в конечной области из-за фикса-





∫

ции калибровочной функции θ_fix (как обсуждалось









выше, это следует из выбора g = 1 в слое для всей

U^P(x,x+y)

= Pexp

-ig dω_µ∂_µ

(36)

c.g.





базы X), подробности см. в [21].

Такой оператор не содержит никакой информации

о граничных конфигурациях даже если y → ±∞,

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

поскольку конфигурации граничных полей все рав-

но подчиняются уравнению (10). Более того, в дан-

Было показано важное соответствие между ло-

ном случае вильсоновская линия в уравнении (34)

кальными и нелокальными калибровками, что чрез-

равна единице из-за равенства нулю интегранта, т. е.

вычайно важно для избежания существенно невер-

A⁺ = A^- = 0, и равенства нулю целого интеграла

ных выводов, которые тем не менее можно найти в

по A_⊥.

литературе.

Следовательно, если введем кварк-глюонные

В данной работе было предложено доказательст-

операторы, ответственные за спиновые и орбиталь-

во следующего утверждения для неабелевой теории:

ные угловые моменты, как операторы, которые ин-

в контурной калибровке глюонное поле может быть

вариантны относительно остаточных калибровоч-

представлено в виде разложения на глюонную кон-

ных преобразований, то необходимо использовать

фигурацию A_µ(x|G), являющуюся физической сте-

ковариантную производную в виде

пенью свободы, и на глюонную конфигурацию чис-

той калибровки A^pureµ(x₀), которая полностью изо-

iD^b.c.µ = i∂_µ + gA^b.c.µ(-∞).

лирована на границе и представляет собой особый

В этом смысле полученные здесь результаты и ре-

тип остаточной калибровочной свободы. Показано,

зультаты [17] не сильно расходятся. Например, сле-

что контурная калибровка не может окончатель-

дуя [17], можно получить структурную функцию,

но устранить новый вид остаточной калибровочной

отвечающую оператору углового момента кварка:

свободы, найденной и подробно проиллюстрирован-

ной в данной работе.

+∞

∫

В случае тривиальных граничных условий, т.е.

fLq(x) = N

dz^-eixP+z^-

d²y_⊥ ×

A^b.c.µ = 0, в рамках применения контурной калибров-

−∞

-∞

ки декомпозиция (1) не имеет смысла в неабелевой

теории, поскольку только граничные глюонные кон-

× 〈P

ψ(y_⊥)γ⁺y^[i⊥ iD^j]b.c.ψ(y_⊥ + z^-)|P 〉,

(37)

фигурации могут быть представлены в виде чистых

где введено обозначение [i j] для антисимметричной

калибровочных глюонных конфигураций. Более то-

комбинации индексов i, j = 1, 2 и N это нормиро-

го, если граничные конфигурации положить рав-

вочный фактор, ранее введенный в статье [17].

ными нулю, то калибровочная свобода отсутствует,

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

O теореме декомпозиции для глюонов

и, следовательно, операторы калибровочно-инвари-

11.

C. Lorcé, Phys. Rev. D 88, 044037 (2013).

антны по построению, за исключением глобальных

12.

E. Leader and C. Lorcé, Phys. Rep. 541, 163 (2014).

калибровочных преобразований, которые не сущест-

венны для билинейных форм.

13.

M. Wakamatsu, Phys. Rev. D 84, 037501 (2011).

В качестве последнего замечания важно отме-

14.

M. Wakamatsu, Phys. Rev. D 83, 014012 (2011).

тить, что декомпозиция глюонного поля, предло-

женная в работе [4] и формально схожая с (1), име-

15.

M. Wakamatsu, Phys. Rev. D 81, 114010 (2010).

ет статус анзаца, а не строгого вывода, как было

сформулировано и доказано в данной работе. Так-

16.

P. M. Zhang and D. G. Pak, Eur. Phys. J. A 48, 91

же, отличительной особенностью является то, что

(2012).

глюонные поля разделяются на физические и чи-

17.

S. Bashinsky and R. L. Jaffe, Nucl. Phys. B 536, 303

стые калибровочные глюонные конфигурации еще

(1998).

до того, как калибровочное условие зафиксировано.

Следовательно, чтобы сформулировать анзац нуж-

18.

A. V. Belitsky and A. V. Radyushkin, Phys. Rep.

но было наложить дополнительное требование для

418, 1 (2005).

извлечения слагаемого A^pureµ(x), которое, в конеч-

19.

S. V. Ivanov et al., Yad. Fiz. 44, 230 (1986).

ном итоге, определяется условием G^pureµν(x) = 0. В

свою очередь, такое требование естественно работа-

20.

S. V. Ivanov and G. P. Korchemsky, Phys. Lett.

ет в рамках концепции контурной калибровки, см.

B 154, 197 (1985).

уравнение (23). Равенство (37) формально не про-

21.

I. V. Anikin, arXiv:2105.09430 [hep-ph].

тиворечит [4, 17], но в некотором смысле не имеет

согласия с [3, 14], где был представлен ¾динамиче-

22.

I. V. Anikin et al., Nucl. Phys. B 828, 1 (2010).

ский¿ тип разложений углового момента.

23.

I. V. Anikin et al., Phys. Rev. D 95, 034032 (2017).

Благодарности. Авторы благодарны С. Лорсэ,

24.

S. Mandelstam, Annals Phys. 19, 1 (1962).

Д. Г. Паку, М. В. Полякову и Л. Шимановскому за

обсуждения. И. В. Аникин выражает благодарность

25.

B. S. DeWitt, Phys. Rev. 125, 2189 (1962).

О. В. Теряеву за плодотворные комментарии на ран-

26.

C. Lorce, Phys. Rev. D 87, 034031 (2013).

ней стадии работы.

27.

L. D. Faddeev and A. A. Slavnov, Front. Phys. 50, 1

(1980).

ЛИТЕРАТУРА

28.

L. D. Faddeev and V. N. Popov, Usp. Fiz. Nauk 111,

1. X. Ji, F. Yuan, and Y. Zhao, Nature Rev. Phys. 3,

427 (1973).

27 (2021).

29.

H. Weigert and U. W. Heinz, Z. Phys. C 56, 145

2. R. L. Jaffe and A. Manohar, Nucl. Phys. B 337, 509

(1992).

(1990).

30.

M. B. Mensky, Theor. Math. Phys. 173, 1668 (2012).

3. X. D. Ji, Phys. Rev. Lett. 78, 610 (1997).

31.

I. V. Anikin and O. V. Teryaev, Phys. Lett. B 690,

4. X. S. Chen et al., Phys. Rev. Lett. 100, 232002

519 (2010).

(2008).

32.

I. V. Anikin and O. V. Teryaev, Eur. Phys. J. C 75,

5. X. S. Chen et al., Phys. Rev. Lett. 103, 062001

184 (2015).

(2009).

33.

L. Durand and E. Mendel, Phys. Lett. B 85, 241

6. X. Ji, Phys. Rev. Lett. 106, 259101 (2011).

(1979).

7. M. Wakamatsu, Int. J. Mod. Phys. A 29, 1430012

34.

Y. Hatta, Phys. Rev. D 84, 041701 (2011).

(2014).

35.

Y. A. Simonov, Sov. J. Nucl. Phys. 50, 134 (1989).

8. M. Wakamatsu, Eur. Phys. J. A 51, 52 (2015).

9. M. Wakamatsu et al., Annals Phys. 392, 287 (2018).

36.

A. V. Belitsky et al., Nucl. Phys. B 656, 165 (2003).

10. C. Lorce, Phys. Lett. B 719, 185 (2013).

37.

M. Burkardt, Phys. Rev. D 88, 014014 (2013).