ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 1 (7), стр. 108-117

ТЕНИ ЧЕРНЫХ ДЫР КАК ИСТОЧНИК ОГРАНИЧЕНИЙ

НА РАСШИРЕННЫЕ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

В. А. Прокопов^a,b*, С. О. Алексеев^a,b**, О. И. Зенин^b***

^a Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга,

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119234, Москва, Россия

^b Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119234, Москва, Россия

Поступила в редакцию 16 марта 2022 г.,

после переработки 29 марта 2022 г.

Принята к публикации 29 марта 2022 г.

Получение первых изображений черных дыр открыло новые возможности для проверки расширенных

теорий гравитации. Нами рассмотрено построение фона тени сферически-симметричных черных дыр в

частном случае метрики, в которой, g11 = -g

. Методы вычисления расширены на наиболее общий

случай невращающейся черной дыры g11 = -g

. Результаты анализа сравниваются с предсказаниями

общей теории относительности при учете данных Event Horizon Telescope. Результаты для модели Хорн-

дески с инвариантом Гаусса - Бонне, петлевой квантовой гравитации, скалярных моделей Бамбелби и

Гаусса - Бонне полностью согласуются с наблюдениями M87^∗. В конформной гравитации должны быть

исключены большие значения m2 и Qs. В STEGR f(Q)-гравитации наблюдения M87^∗ ограничивают зна-

чения параметра α следующим образом: -0.025 < α < 0.04. Для альтернативного обобщения метрики

Бамбелби с приближением Шварцшильда: -0.3 < l < 0.45. Результаты демонстрируют тот максимум,

которого можно достичь без учета вращения черной дыры.

DOI: 10.31857/S0044451022070112

модели, например, f(R)-гравитация [5], f(Q)-грави-

EDN: EEOFFU

тация [6], скалярно-тензорные теории, включая об-

щий случай с уравнениями поля второго порядка:

теорию Хорндески [7-10], телепараллельные модели

1. ВВЕДЕНИЕ

[11], гравитационные модели с конформной симмет-

рией [12,13], петлевая квантовая гравитация [14-16],

Первые сферически-симметричные решения ти-

скалярная гравитация Гаусса - Бонне [17] и многие

па черная дыра были получены более 100 лет на-

другие. Для дальнейшего развития желательно про-

зад. На существование подобных объектов указы-

верить их предсказания в максимально широком

вают результаты динамики двойных систем [1],

диапазоне параметров. Благодаря получению изоб-

гравитационно-волновая астрономия [2, 3], а так-

ражений теней черных дыр изучение предсказаний

же прямые изображения теней черной дыры [4].

этих теорий в окрестности черных дыр предостав-

В настоящее время общая теория относительности

ляет такую возможность.

(ОТО) с большой точностью описывает почти все

Кратко обсудим особенности рассматриваемых

астрономические данные. Однако такие проблемы,

далее моделей. Начнем с модели Хорндески [18]. Это

как темная материя, темная энергия, эволюция ран-

наиболее общий случай скалярно-тензорной грави-

ней Вселенной, квантование гравитации и т. д., ждут

тации с уравнениями поля второго порядка [19].

лучшего теоретического обоснования. Именно по

Моделью Хорндески можно моделировать темную

этой причине и развиваются новые гравитационные

энергию или темную материю, и эта модель пред-

ставляется более общей и фундаментальной, чем

^* E-mail: slaprok777@gmail.com

^** E-mail: alexeyev@gmail.com

теория Бранса - Дикке. После события GW170817

^*** E-mail: dkiiiabu4@gmail.com

(слияния двух нейтронных звезд сравнительно неда-

108

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Тени черных дыр как источник ограничений. . .

леко от Земли) теория Хорндески была значитель-

Последняя модель это скалярная гравитация

но сужена и использовалась, в том числе, в форме

Гаусса - Бонне

теория гравитации с действием,

DHOST (вырожденных скалярно-тензорных высше-

включающим все возможные квадратичные скаля-

го порядка) теорий [20]. Далее, теория Хорндески

ры кривизны [17]. Эти инварианты играют ту же

часто используется в сочетании с инвариантом Гаус-

роль, что и в предыдущем случае: будучи феномено-

са - Бонне [10]

логической асимптотой некоторой обобщенной гео-

метрии, они имеют перспективы предложить физи-

S_GB = R_αβγσR^αβγσ - 4R_αβR^αβ + R²,

ческое объяснение нерешенных проблем ОТО.

где R_αβγσ, R_αβ и R тензоры Римана, Риччи и ска-

Поскольку любые физические измерения имеют

лярная кривизна соответственно.

конечную точность, экспериментальный результат

Следующая рассматриваемая нами модель

может иметь альтернативные объяснения на осно-

петлевая квантовая гравитация (loop quantum gra-

вании различных теорий [27]. Обычно на первом

vity, LQG) перспективный подход к построению

этапе выбирают самую простую модель. В дальней-

квантовой теории гравитации. Ключевая идея это-

шем, с уточнением данных, возможен более узкий

го подхода заключается в построении квантованной

выбор теории. Таким образом, размер тени черной

теории гравитации независимо от квантования дру-

дыры (ЧД), являющийся первым параметром, полу-

гих физических взаимодействий с помощью перехо-

чаемым из наблюдений, в нашей работе использует-

да к переменным Аштекара. Эти величины образу-

ся для оценки предсказаний обсуждаемой модели.

ют замкнутую алгебру операторов, позволяя стро-

Поэтому в качестве первых приближений использу-

ить перенормируемую теорию. LQG дает возмож-

ется стандартное пространство-время ОТО, описы-

ность совместить стадии и отскока, и инфляции,

ваемой метриками Шварцшильда и Керра.

воспроизводя теорию ранней Вселенной [21].

Ранее обсуждалось моделирование тени чер-

Далее, рассмотрим модели гравитации с кон-

ной дыры, расчет параметров последней устойчи-

формной симметрией [11]. Наличие подобной сим-

вой орбиты и сильного гравитационного линзирова-

метрии в действии открывает перспективы постро-

ния при учете третьей поправки в сферически-сим-

ения перенормируемой теории гравитации. Из-за

метричном пространстве-времени. Такие метрики

проблем в первых версиях в настоящее время рас-

представляют собой продолжение метрики Рейссне-

сматриваются модели с нелинейной реализацией

ра - Нордстрема на следующий порядок разложения

конформной симметрии (см., например, [22-24]).

по r^-1 [28]. Поскольку одной тени невращающей-

Интерес к этим моделям появился не так давно, по-

ся ЧД недостаточно для проверки моделей сложнее

этому многие проблемы до конца не решены, напри-

Рейсснера - Нордстрема, для определения коэффи-

мер, отсутствие инфляционной асимптотики [24].

циентов разложения метрики необходимо использо-

Когда эти проблемы будут решены, перспективы

вать результаты наблюдений и размера тени ЧД, и

теории возрастут.

последней устойчивой орбиты, и сильного гравита-

Следующая рассмотренная теория

модель

ционного линзирования. Расчет следующих поряд-

Бамбелби, расширяющая ОТО с помощью вектор-

ков требует увеличения количества измерений. В ра-

ного поля. При выборе подходящего потенциала век-

боте [29] было показано, что при учете вращения

торное поле Бамбелби B_µ приобретает ненулевое ва-

учета формы тени достаточно для проверки теорий,

куумное среднее, генерируя спонтанное нарушение

не выходящих за рамки метрики Керра - Ньюмена.

лоренцевой симметрии [25]. Обсуждаемый подход

В данной работе обсуждается метод ограниче-

имеет перспективу стать ¾мостом¿ между теорией

ния расширенных моделей гравитации, использу-

струн и ОТО на планковских масштабах, решая за-

ющий современные изображения ЧД. Здесь необ-

дачи ОТО в области высоких энергий.

ходимо отметить, что в новых, расширенных мо-

Далее рассмотрим телепараллельный эквива-

делях гравитации в первую очередь рассматрива-

лент общей теории относительности (TEGR). Это

ют невращающиеся решения для ЧД, поскольку

расширение ОТО с ненулевыми кручением и немет-

с ними проще работать. Поэтому и мы рассмат-

ричностью, где геометрическая деформация генери-

риваем формализм для сферически-симметричного

рует гравитационное поле. TEGR включает допол-

пространства-времени, чтобы извлечь максимум ин-

нительные степени свободы, применимые для описа-

формации в более простом случае (в качестве пер-

ния нерешенных проблем ОТО. Нами рассмотрена

вого шага общего исследования). Метод применим

f (Q)-гравитация симметричная TEGR (STEGR),

и в случае g₁₁ = -g^-100. В работе [30] было пока-

в которой неметричность Q не равна нулю [26].

зано, что при учете дополнительных приближений

109

В. А. Прокопов, С. О. Алексеев, О. И. Зенин

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

максимальное изменение размера тени для враща-

где Q приливной заряд, C₃ коэффициент раз-

ющейся ЧД составит 5-7 %. При малой скорости

ложения при r^-3. Для упрощения вычислений нор-

вращения можно рассматривать ЧД как статиче-

мируем все значения на массу ЧД: r = r/M, q =

скую. Первые ограничения на размер тени ЧД при

= Q/M² и c₃ = C₃/M³. В планковской системе

наблюдении галактики M87^∗ были получены в [30]

единиц (G = c = ℏ = 1) параметры M, Q, C₃,

(4.31M < D < 6.08M).

r безразмерны. Следовательно, конфигурационное

Работа организована следующим образом. В

пространство становится двумерным. Тогда метри-

разд. 2 рассматриваются метрики с поправками в

ческая функция A(r) примет вид

виде ряда Тейлора в случае g₁₁ = -g^-100, в разд. 3

c₃

A(r) = 1 -

(4)

построение теней для расширенных теорий в случае

r²

r³

g₁₁

= -g^-100, в разд.

сравниваются точности

Совокупность неустойчивых фотонных орбит обра-

различных методов и подводятся итоги.

зует фотонную сферу, а переходящие в нее геоде-

зические определяют границу тени ЧД. Фотоны от

удаленного источника с прицельным параметром b,

2. РЕШЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ

большим критического значения b_ph, остаются вне

РАСШИРЕННЫХ ТЕОРИЙ ГРАВИТАЦИИ

фотонной сферы и далее достигают внешнего на-

(A(r) = B^-1(r))

блюдателя. Остальные фотоны с b < b_ph захватыва-

Общее описание сферически-симметричного,

ются ЧД и образуют на картинной плоскости изоб-

статического, асимптотически плоского простран-

ражения светлый диск с темным пятном в центре,

ства-времени в расширенных теориях гравитации

которое и называется тенью ЧД. Таким образом, ви-

представляет собой метрику, обобщающую про-

димая форма изображения от невращающейся (или

странство-время Шварцшильда:

медленно вращающейся) ЧД для удаленного наблю-

дателя имеет форму диска, радиус которого опреде-

ds² = -A(r) dt²+B(r) dr²+r²(dθ²+ sin² θ dφ²),

(1)

ляется критическим значением прицельного пара-

√

где A(r) и B(r) метрические функции, зависящие

метра (b_ph = 3

3M для ЧД Шварцшильда [34]).

от радиальной координаты r. Метрика Шварцшиль-

Рассмотрим оптически тонкий, излучающий ак-

да в планковской системе единиц G = c = ℏ = 1

креционный диск, окружающий компактный объ-

имеет вид

ект [35]. Следуя подходу [34], модифицируем его

для симметричного случая A(r)

= B(r)^-1 (1) с

A(r) = B^-1(r) = 1 -

(2)

дополнительными поправками. Таким образом, из-

лучение испускается из всего объема фотонной

где M масса центрального объекта. Заметим, что

сферы над горизонтом ЧД. Поэтому наблюдаемая

метрики Шварцшильда, Рейснера - Нордстрема, их

удельная интенсивность Iν0 (обычно измеряемая в

продолжения можно представить в виде разложе-

эрг^-1 · см^-2 · ср^-2 · Гц^-1) на видимой частоте фо-

ния в ряд Тейлора в области r ≫ 2M. В качест-

тона ν₀ в точке на картинной плоскости (X, Y ) на

ве первого приближения рассматривается метри-

небесной сфере определяется как

ка Шварцшильда, и в этом приближении можно

∫

описать, например, траектории звезд вокруг ЧД.

Iν0 = z³j(νe) dlprop,

(5)

Следующий порядок метрика Рейснера - Норд-

стрема

позволяет описать влияние электричес-

где ν_e

излучаемая частота, z = ν₀/ν_e

крас-

кого или приливного заряда [31], ведь учет при-

ное смещение, j(ν_e)

излучательная способность

ливного заряда способен поменять свойства тени

[28, 29, 32, 33].

покоящегося источника на единицу объема, dl_prop =

= - k_αu^αedλ дифференциал единицы длины в сис-

Вначале рассмотрим вырожденный случай ¾сим-

метричных¿ метрических функций A(r) = B(r)^-1 в

теме покоя излучателя, k^µ

четырехмерная ско-

рость фотона, u^µe четырехмерная скорость излу-

уравнении (1). Положение горизонта определяется

чателя (в данном случае ЧД), λ аффинный па-

условием A(r) = 0. Если решение последнего урав-

раметр вдоль траектории фотона γ. Индекс γ озна-

нения не единственно, за физический горизонт при-

чает интегрирование по изотропным геодезическим.

нимают внешнее решение. В третьем порядке раз-

Красное смещение z определяется как

ложения ряд A(r) имеет вид

k_αu^α0

C₃

(6)

A(r) = 1 -

(3)

k_βu^e

r²

r³

110

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Тени черных дыр как источник ограничений. . .

где u^µ0 = (1, 0, 0, 0) четырехмерная скорость уда-

ленного наблюдателя на бесконечности.

Рассматривая простую сферически-симметрич-

ноную модель аккреции, полагаем, что газ свободно

падает в радиальном направлении в сторону центра

ЧД с четырехмерной скоростью, определяемой как

√

u^te =

u^re = -

1-A(r), u^θe = u^φe = 0 .

(7)

A(r)

Величина k^µ = x^µ была получена ранее в работе

[34]. Далее используем следующее выражение:

√

[

]

k_r

b²

=±

(8)

k_t

A(r) A(r)

r²

где знаки ¾+(-)¿ обозначают движение фотона от

Рис. 1. Зависимость профиля интенсивности (I) тени в

(к) массивного(му) объекта(у). Красное смещение,

относительных единицах от расстояния от центра ЧД на

таким образом, дается следующим выражением [36]:

плоскости изображения X (в единицах M). ЧД обладает

дополнительными параметрами q и c3 и генерирует тень

такого же размера, как и ЧД Шварцшильда

(9)

k_r √

1 - A(r)

A(r)

k_t

разложения такая тень может быть параметризова-

на метрикой Рейснера - Нордстрема. Далее, при из-

Обозначим частоту излучения покоящегося ис-

менении профиля интенсивности, необходимо учи-

точника как ν_∗. Для расчета профиля интенсивно-

тывать поправки более высоких порядков возмуще-

сти фона тени ЧД рассмотрим модель, в которой из-

ния.

лучение монохроматично и имеет радиальный про-

Рассмотрим поправки третьего и последующе-

филь 1/r²:

го порядков. При этом станут допустимыми новые

δ(ν_e - ν_∗)

j(ν_e) ∝

(10)

комбинации параметров, так как с увеличением по-

r²

рядка уравнений растет и число решений. Следова-

где δ

дельта-функция Дирака. Дифференциал

тельно, для ограничения теоретической модели по-

единицы длины в системе покоя излучателя опре-

требуется большее количество наблюдательных дан-

деляется как

ных. Таким образом, в дополнение к размеру тени

необходимо учитывать радиус последней устойчи-

dl_prop = -k_αu^αedλ = -

dr .

(11)

вой орбиты, сильное гравитационное линзирование

zk^r

яркого объекта вблизи ЧД и распределение интен-

Интегрируя уравнение (5) по всем наблюдаемым

сивности фона.

частотам, получим наблюдаемую интенсивность фо-

Для оценки необходимой точности наблюдений в

тонов в точке (X, Y ) на небесной сфере [34]:

первом приближении используем метрику Шварц-

∫

шильда. На рис. 1 показаны результаты моделиро-

z³k^tdr

Iobs(X, Y ) ∝

(12)

вания профиля интенсивности в области тени ЧД

r²k^r

для параметров q = 0.2519, c₃ = -0.7515, при этом

размер тени такой же, как и у ЧД Шварцшиль-

Каждой точке на картинной плоскости (X, Y ) со-

да. Рассмотрим отличие профиля интенсивности от

ответствует прицельный параметр b, который равен

случая ЧД Шварцшильда, нормированного на мак-

b² ∝ X² +Y². После численного интегрирования по-

симальную интенсивность (I_max ≈ 0.6) (рис. 2). Как

лучаем профиль интенсивности фона тени ЧД.

видно из рис. 2, эта разница возрастает при увели-

Зависимость размера тени от q и c₃ была полу-

чении значений дополнительных параметров. Мак-

чена ранее в работе [28], где было показано, что,

симальное отличие от случая ЧД Шварцшильда до-

если размер тени больше, чем 4M, для ее описа-

стигается вблизи границы тени, затем, при уходе в

ния необходима одна дополнительная степень свобо-

бесконечность, оно исчезает. Разница внутри грани-

ды (а именно, q). Следовательно, во втором порядке

цы тени ЧД постоянна. Далее, из рис. 2 следует,

111

В. А. Прокопов, С. О. Алексеев, О. И. Зенин

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

5.1970

q=0.05 c

=-0.1498

q=0.1003 c

=-0.3

q=0.1504 c

=-0.4498

5.1965

q=0.2519 c

=-0.7515

0,001

5.1960

5.1955

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1E-4

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Рис. 3. Зависимость размера тени D от комбинации кон-

стант модели C7 для теории Хорндески с инвариантом

Гаусса - Бонне (в единицах массы ЧД M, M = 1)

Рис.

Зависимость разности интенсивностей

(|I - ISh|/Imax) ЧД с дополнительными параметра-

ни соответствует переходу частиц света на неустой-

ми q и c3 и соответствующей шварцшильдовской от

расстояния (X) от центра ЧД на плоскости изображения

чивую фотонную орбиту. Система, описывающая

в единицах массы ЧД M

этот переход, выглядит следующим образом:

du(r)

d²u(r)

что, для экспериментальной фиксации данного раз-

u(r) = 0,

= 0,

> 0.

(16)

d²r

личия, при обработке наблюдательных данных тре-

Для нахождения размера тени необходимо найти

буется достичь разрешения по интенсивности поряд-

максимальный корень уравнений (16). Для конкрет-

ка 0.1 % от максимального значения фона ЧД. От-

ных примеров проделаем это численно.

дельно заметим, что каждая точка профиля интен-

сивности фона может считаться отдельной пробой

потенциала ЧД.

4. ТЕНЬ В РАЗЛИЧНЫХ ТЕОРИЯХ

4.1. Теория Хорндески

3. ПОСТРОЕНИЕ ТЕНИ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ

ПРИ A(r) = -B^-1(r), ОБЩИЙ МЕТОД

В данной работе рассматривается решение типа

ЧД в теории Хорндески, расширенной линейно ин-

В общем случае в сферически-симметричном

вариантом Гаусса - Бонне [10]. Метрические функ-

пространстве-времени A(r)

= B^-1(r) (уравнение

ции записываются следующим образом:

(1)), поэтому наше рассмотрение необходимо обоб-

2C₇

щить. Уравнения движения для такой метрики име-

A(r) = 1 -

(17)

ют вид

7r⁷

C₇

B(r)^-1 = 1 -

(18)

(dr)2

L²

E²

r⁷

(13)

dτ

B(r)r²

A(r)B(r)

где C₇

комбинация констант модели. В рабо-

те [10] рассматривалось только положительное зна-

dφ

чение C₇. Однако условие, при котором горизонт

(14)

dτ

r²

(A(r_h) = 0) находится над поверхностью (B(r) = 0),

выполняется только при C₇ < 0. При C₇ > 0 объ-

где E энергия фотона, L угловой момент пучка,

ект не является ЧД. Следовательно, разумно пред-

аффинный параметр. После подстановки (14) в

положить, что метрика (6) справедлива только вне

(13) уравнение движения примет вид

фотонной сферы. Вблизи горизонта требуется бо-

)₂

лее точное разложение, при котором объект можно

(dr

r⁴

r²

u(r) =

(15)

назвать ЧД. Результаты численного моделирования

dφ

D²A(r)B(r)

B(r)

зависимости размера тени от метрических функций

где D = L/E прицельный параметр фотонного

из уравнения (6) представлены на рис. 3. Размер те-

пучка. Аналогично симметричному случаю край те-

ни для метрики (6) незначительно (менее 0.01 % при

112

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Тени черных дыр как источник ограничений. . .

|C₇| < 0.5) отличается от шваршильдовского даже

при значениях C₇, сравнимых с M. Таким образом,

эти наблюдательные данные не исключают такую

версию теории Хорндески.

4.2. Петлевая квантовая гравитация

Рассмотрим петлевую квантовую гравитацию с

модифицированной метрикой Хейворда [15,16]. Это

решение описывает ЧД без сингулярности в центре,

так называемую регулярную ЧД. Данное расшире-

ние включает временную задержку и однопетлевую

квантовую поправку. Метрические функции для нее

имеют вид

(

)(

)

2Mr²

αβM

A(r) =

(19)

r³ + 2Ml²

αr³ + βM

2Mr

B(r)^-1 = 1 -

(20)

r³ + 2Ml²

где l

обозначение для центральной плотности

энергии 3/8πl², константа α представляет собой вре-

менную задержку между центром и бесконечнос-

тью, а β связана с однопетлевыми квантовыми по-

правками к ньютоновскому потенциалу. Эти пара-

метры были ограничены в [15, 16] следующим об-

разом: 0 ≤ α < 1, β_max = 41/(10π). В случае l >

√

16/27M у объекта нет горизонта. После реше-

ния уравнений (16) получается явный вид зависи-

Рис. 4. Зависимости размера тени D от времени задерж-

мости (представленный на рис. 4) величины раз-

ки α при l = 0.5M и β = 0.5 (верхнее изображение),

мера тени от l, α и β. Видно, что при увеличении

от однопетлевых квантовых поправок β при l = 0.5M,

l размер тени уменьшается. Наоборот, увеличение

α = 0.5 (центральное изображение), от центральной плот-

α и β приводит к увеличению размера тени. При

ности энергии l при α = 0.5, β = 0.5 (нижнее изображение)

β ≥ 0 минимальный размер тени достигается при

для ЧД в модифицированной метрике Хейворда в едини-

√

16/27M, β = α = 0 равном 4.92M. Максималь-

цах массы ЧД M, M = 1

ный размер тени возникает при l = 0, β = 41/(10π),

α = 1 и равен 5.32M. Заметим, что тени такого

Q^2s

размера могут быть описаны также пространством-

A(r) = 1 -

временем Рейснера - Нордстрема. Таким образом,

r²

(

)

используя только размер тени, невозможно полу-

Q²

-M² + Q^2s +

чить значения всех параметров без дополнительных

m²

+...,

(21)

наблюдательных данных.

3r⁴

4.3. Конформная гравитация

Q^2s

B(r)^-1 = 1 -

r²

(

)

Еще один пример асимметричной метрики

конформная гравитация [11]. У этой модели имеется

2Q²

-M² + Q^2s +

m²

много расширений, например, модели с нелинейной

+...,

(22)

3r⁴

реализацией симметрии [22, 23]. В нашей работе в

качестве примера для расчета параметров теней ис-

где Q_s скалярный заряд, m₂ массивная мода

пользуем метрику ЧД в новой массивной конформ-

со спином 2. Такая асимптотика справедлива вда-

ной гравитации [13]:

ли от горизонта. Поскольку ключевым моментом

113

ЖЭТФ, вып. 1 (7)

В. А. Прокопов, С. О. Алексеев, О. И. Зенин

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

û(r) = u(r)B(r) =

-r².

(25)

D²A(r)

Она не зависит от метрической функции B(r). Мож-

но показать, что при выполнении условий существо-

вания фотонной сферы (16) выполняются и условия

dû(r)

d² û(r)

û(r) = 0,

= 0,

> 0.

(26)

d²r

При B(r) > 0 автоматически выполняется первое

условие системы (16), так как на фотонной сфере

u(r) = 0,

û^′(r) = u^′(r)B(r) + u(r)B^′(r).

(27)

Рис. 5. (В цвете онлайн) Зависимости размера тени D от

скалярного заряда Qs для новой массивной конформной

Но на фотонной сфере u(r) = 0 и u^′(r) = 0. В рас-

гравитации с различными значениями m2 (в единицах M,

сматриваемом случае B(r) > 0 и нет других осо-

M = 1). Черная линия соответствует m2 → ∞, красная

m2 = 2, синяя m2 = 1, зеленая m2 = 0.707, оранже-

бых точек. Следовательно, выполняется и второе

вая m2 = 0.577, фиолетовая m2 = 0.5

условие. Аналогично и с третьим условием. Следо-

вательно, положение фотонной сферы также не за-

для нас является учет перехода фотонов на фотон-

висит от метрической функции B(r). При условии,

ную орбиту, применение этой асимптоты оправдано.

что на масштабах фотонной сферы B(r) > 0 и нет

На рис. 5 показаны зависимости размера тени от

других особых точек, для вычисления радиуса тени

скалярного заряда Q_s для различных значений m₂.

вместо системы (16) можно использовать (26) для

Концы асимптот соответствуют описанному в рабо-

упрощения вычислений.

тах [28, 32] эффекту: большие значения Q_s и 1/m₂

Интересно рассмотреть альтернативное обобще-

вызывают отсутствие фотонной сферы. Уменьше-

ние, которое можно записать как

ние значения m₂ приводит к уменьшению размера

A(r) = (1 + l)A(r),

(28)

тени. Для ограничения параметров модели требу-

ются дополнительные данные наблюдений. Ограни-

B(r) =

(29)

чения, приведенные в работе [30], исключают только

B(r).

большие значения Q_s и m₂ (рис. 5).

Метрика Шварцшильда использована в качестве

первого приближения для

B(r) и

A(r) и обобщения

4.4. Модель Бамбелби

метрики следующего вида:

Сферически-симметричное решение модели

(

)

Бамбелби имеет вид

A(r) = (1 + l)

(30)

A(r) = 1 -

(23)

B(r)^-1 = 1 -

(31)

1+l

B(r) =

(24)

Влияние параметра l на размер тени ЧД показа-

1 - 2M/r

но на рис. 6. Для приближения

B(r) и

A(r) зависи-

где l = ξb², ξ

константа связи (с размерностью

мость имеет такой же вид. Установив пределы на ос-

масса -1), которая определяет неминимальное взаи-

новании результатов наблюдения M87 [30] в прибли-

модействие между гравитацией и полем Бамбелби,

жении Шварцшильда, получим, что -0.3 < l < 0.45.

b² = B^µB_µ.

Расчеты показывают, что размер тени не зависит

4.5. f(Q)-гравитация

от параметра l. На самом деле, положение фотонной

сферы не зависит от метрической функции B(r), ес-

f (Q)-гравитация это симметричная теория те-

ли на рассматриваемом масштабе B(r) > 0 и нет

лепараллелизма (STEGR) с ненулевым скаляром

других особых точек (регулярна над горизонтом).

неметричности Q [6]. Для этой модели было получе-

Рассмотрим функцию

но несколько сферически-симметричных решений.

114

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Тени черных дыр как источник ограничений. . .

Рис. 6. Зависимость размера тени ЧД D от параметра l в

Рис. 8. Нижняя кривая представляет собой зависимость

альтернативном обобщении метрики Бамбелби в прибли-

размера тени ЧД D от параметра ζ в скалярной грави-

жении Шварцшильда (в единицах массы ЧД M, M = 1)

тации Гаусса - Бонне (в единицах массы ЧД M, M = 1).

Верхняя линия ее первое приближение

4.6. Скалярная гравитация Гаусса - Бонне

Статическое сферически-симметричное решение

в скалярной гравитации Гаусса - Бонне было полу-

чено аналитически в [17] и имеет вид

[

]

A = -f(r)

h(r)

(35)

3r³f(r)

[

]

B =

k(r)

(36)

f (r)

r³f(r)

где

h(r) = 1 +

(37)

5r²

5r³

r⁴

Рис. 7. Зависимость размера тени ЧД D от параметра α

368

k(r) = 1 +

(38)

в f(Q)-гравитации в единицах массы ЧД Mren

3r²

r³

5r⁴

3r⁵

f (r) = 1 -

(39)

Нами выбрано приближенное решение, расширяю-

щее ОТО (I⁺). Компоненты метрики имеют вид [6]

параметр связи.

В работе [37] зависимости радиуса фотонной

сферы и радиуса тени ЧД от ζ вычислены в пер-

2M_ren

вом порядке относительно константы связи:

A(r) = 1 -

-α

(32)

r²

[

]

961

2M_ren

r^sGBph = 3 1-

(40)

B(r)^-1 = 1 -

-α

(33)

2430

r²

[

]

(

)

√

4397ζ

2M_ren = 2M - α

+c₁

(34)

b^sGBc =

(41)

21870

Нами получено численное решение с более высо-

где a параметр разложения, c₁ постоянная ин-

кой точностью (рис. 8). При ζ > 0.3 фотонная сфера

тегрирования, M_ren ренормированная масса. За-

отсутствует. В работах [28, 32] было показано, что

метим, что для удаленного наблюдателя нет раз-

такой объект не имеет тени.

ницы между перенормированной и обычной масса-

ми Шварцшильда. Далее будем использовать M_ren,

нормируя все величины на нее. Влияние a на раз-

5. ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ

мер тени ЧД показано на рис. 7. Были установлены

следующие ограничения на параметры на основании

Разрешение первых изображений черных дыр в

наблюдений M87 [30]: -0.025 < α < 0.04.

проекте Event Horizon составляло примерно полови-

115

В. А. Прокопов, С. О. Алексеев, О. И. Зенин

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

ну размера объекта [4]. Дальнейшее совершенство-

Подход без учета вращения ЧД справедлив,

вание наземного оборудования позволило бы уве-

когда скорость вращения ЧД мала и ею можно

личить разрешение лишь в несколько раз (не на

пренебречь. При учете вращения количество проб

порядки!). Кроме того, уже достигнут максималь-

потенциала черной дыры, необходимых для про-

но возможный размер наземной сети радиотелеско-

верки, увеличивается. ¾В качестве компенсации¿

пов. Как было продемонстрировано ранее в статьях

требования к точности наблюдений снижаются на

[28, 29] и расширено в предыдущих разделах насто-

порядок.

ящей работы, ограничение для реальных моделей

расширенной гравитации требует повышения точно-

Финансирование. Работа выполнена при

сти на несколько порядков (не раз!). Поэтому сле-

поддержке Междисциплинарной научно-обра-

дующим шагом могла бы стать сеть из орбиталь-

зовательной школы Московского университета

ных телескопов. Кроме того, измерение размера те-

¾Фундаментальные и прикладные космические

ни без дополнительных данных будет достаточным

исследования¿.

только для моделей, основанных на метрике Рейсне-

ра - Нордстрема. Для теорий с более сложной струк-

турой пространства-времени необходимы дополни-

ЛИТЕРАТУРА

тельные виды наблюдения. При рассмотрении по-

J. A. Orosz, J. E. McClintock et al., Astrophys. J.

следней устойчивой орбиты, сильного гравитацион-

742, 84 (2011).

ного линзирования ярких звезд [28] и распределе-

ния интенсивности теневого фона (как показано вы-

B. Abbott et al., Phys. Rev. D 93, 12 (2016).

ше) минимальное разрешение должно быть поряд-

B. Abbott et al., Amer. Phys. Soc. 119, 16 (2017).

ка 0.001 размера тени. Эта оценка справедлива, ес-

ли дополнительные коэффициенты согласованы с

K. Akiyama et al., Astrophys. J. 875, L5 (2019).

массой черной дыры. Поэтому более перспективным

S. Capozziello and M. De Laurentis, Phys. Rep. 509,

представляется изучение тени от быстровращающе-

167 (2011).

гося объекта. При тех же значениях дополнитель-

ных коэффициентов необходимое разрешение соста-

F. D’Ambrosio, S. D. B. Fell et al., Phys. Rev. D 105,

вит около 0.01 размера тени [29]. Таким образом,

2 (2021).

появляется дополнительная причина развивать тео-

T. P. Sotiriou and V. Faraoni, Rev. Mod. Phys. 82,

рию теней на основании метрик вращающихся чер-

451 (2010).

ных дыр для развития моделей расширенной грави-

тации в астрофизике.

A. De Felice and S. Tsujikawa, Living Rev. Rel. 13,

3 (2010).

Нами также были рассчитаны зависимости раз-

мера тени черной дыры от параметров модели в раз-

C. Charmousis, E. J. Copeland et al., Phys. Rev. Lett.

личных расширенных теориях гравитации и уста-

108, 5 (2012).

новлены ограничения на них с использованием дан-

10.

E. Babichev, C. Charmousis et al., JCAP 4,

ных наблюдений М87. Результаты для модели Хорн-

(2017).

дески с инвариантом Гаусса - Бонне, петлевой кван-

товой гравитации, скалярных моделей Бамбелби и

11.

C. Pfeifer and S. Schuster, Universe 7(5), 153 (2021).

Гаусса - Бонне полностью согласуются с наблюдени-

12.

P. D. Mannheim, Found. Phys. 42, 388 (2012).

ями M87^∗. Вернее сказать, предсказания этих моде-

лей не выходят за ограничения, установленные име-

13.

Y. S. Myung and D.-C. Zou, Phys. Rev. D 100,

ющимися данными наблюдений. Как нами показа-

064057 (2019).

но, в конформной гравитации должны быть исклю-

14.

P. A. M. Casares, arXiv:1808.01252.

чены большие значения m₂ и Q_s (например, если

m₂ = 2, то Q_s < 0.9). В STEGR f(Q)-гравитации

15.

T. De Lorenzo, C. Pacilio et al., Gen. Rel. Grav.

наблюдения M87^∗ ограничивают значения α следу-

47(4), 41 (2015).

ющим образом: -0.025 < α < 0.04. Для альтерна-

16.

J.-P. Hu, L.-L. Shi et al., Astrophys. Space Sci.

тивного обобщения метрики Бамбелби с приближе-

363(10), 199 (2018).

нием Шварцшильда -0.3 < l < 0.45. Эти результа-

ты демонстрируют тот максимум, которого можно

17.

N. Yunes and L. C. Stein, Phys. Rev. D 83, 104002

достичь без учета вращения черной дыры.

(2011).

116