ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 1 (7), стр. 133-142

ПОДАВЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННОГО РАССЕЯНИЯ

МАНДЕЛЬШТАМА - БРИЛЛЮЭНА В ЛАЗЕРНОЙ ПЛАЗМЕ

ПРИ МНОГОЧАСТОТНОМ РЕЖИМЕ ОБЛУЧЕНИЯ МИШЕНИ

Н. Н. Демченко^*, Р. Д. Ивановских

Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 15 февраля 2022 г.,

после переработки 15 февраля 2022 г.

Принята к публикации 21 февраля 2022 г.

Рассмотрены условия, при которых возможно частично подавить вынужденное рассеяние Мандельшта-

ма - Бриллюэна в лазерной плазме. При подавлении вынужденного рассеяния удается увеличить долю

поглощенной лазерной энергии. Приведена аналитическая теория вынужденного рассеяния при взаимо-

действии двух встречных электромагнитных волн с ионно-звуковой волной в неоднородной разлетающей-

ся плазме. Получены формулы, позволяющие вычислить коэффициент рассеяния и долю рассеянного

излучения по заданным параметрам лазерного излучения и плазмы. Проведено численное моделиро-

вание процесса облучения CH2-мишени лазерным импульсом. Показано, что при многочастотном (две

частоты и более) режиме облучения удается увеличить долю поглощенной лазерной энергии в плазме

за счет частичного подавления вынужденного рассеяния. При плотности потока падающего излучения

Nd-лазера 5 · 10¹⁴ Вт/см² в случае двух близких частот минимальная доля рассеяния составляет 0.87

от доли рассеяния, возникающей при одночастотном облучении. С ростом числа гармоник n в излуче-

нии подавление рассеяния увеличивается: δsn/δs1 = 0.68 при n = 5 (δsn доля рассеяния в случае n

гармоник); δsn/δs1 = 0.51 при n = 11. Такие значения δsn/δs1 достигаются при ∆ωs/ω0 ≈ 0.5-1.5 % в

зависимости от числа гармоник (∆ωs ширина спектра, ω0 основная частота). При ∆ωs/ω0 > 1.5 %

отношения δsn/δs1 меняются слабо. Подавление вынужденного рассеяния происходит из-за биений, воз-

никающих в излучении при сложении гармоник с близкими частотами. Подавление наступает, когда

длина волны биений становится меньше характерного размера изменения скорости плазмы.

DOI: 10.31857/S0044451022070148

пятствует прохождению лазерного излучения в бо-

EDN: EFAPSA

лее плотную плазму, где коэффициент поглощения

выше. В разлетающейся лазерной плазме при нор-

мальном падении излучения вынужденное рассея-

1. ВВЕДЕНИЕ

ние происходит при взаимодействии двух встречных

электромагнитных волн с ионной волной [1]. При

Коэффициент усиления лазерной термоядерной

этом входящая в плазму электромагнитная волна

мишени (отношение выделившейся энергии ядер-

ослабляется, а выходящая волна усиливается. Выхо-

ных реакций к тепловой энергии плазмы) должен

дящая волна сначала возникает в результате линей-

быть достаточно большим, чтобы компенсировать

ного процесса отражения падающей волны от кри-

потери энергии, связанные с низким коэффициен-

тической поверхности. Волновые векторы электро-

том полезного действия лазера, потерями энергии

магнитных волн в общем случае составляют между

вместе с разлетающейся плазмой, а также непол-

собой угол, который меньше 180^◦. При многопучко-

ным поглощением лазерного излучения. Эффек-

вом облучении сферической мишени встречные вол-

тивность поглощения может быть снижена из-за

ны возникают как при отражении излучения одного

процесса вынужденного рассеяния Мандельштама-

пучка от поверхности каустики, так и при рефрак-

Бриллюэна (ВРМБ). Вынужденное рассеяние пре-

ции излучения от других пучков [2, 3]. Такой вид

рассеяния был назван CBET (crossed-beam energy

^* E-mail: demchenkonn@lebedev.ru

133

Н. Н. Демченко, Р. Д. Ивановских

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

transfer).

странственных распределениях плотности и скорос-

В настоящее время рассеяние CBET широко ис-

ти. Кроме того, уравнения Максвелла решались



следуется теоретически и экспериментально. Иссле-

в предположении, что

∂2E₀/∂t²



≪ |ω₀∂E₀/∂t|,

довано его влияние на уменьшение гидродинамиче-

где E₀

медленно меняющаяся амплитуда по-

ской эффективности сжимаемых сферических ми-

ля. Поэтому вторая производная амплитуды по-

шеней [4,5]. Рассеяние CBET может проявляться и

ля не учитывалась. Однако при биениях производ-

в схемах непрямого облучения мишени, когда лазер-

ная ∂E₀/∂t = 0 в максимуме амплитуды, а член

ные пучки перекрываются во входных отверстиях

∂²E₀/∂t² при этом достигает максимума. Поэтому

полости. В этом случае предлагается использовать

модель, предложенная в работе [11], не точно описы-

небольшой частотный сдвиг (порядка нескольких

вает биения волн. Прежде чем перейти к результа-

ангстрем) между перекрывающимися пучками [6-8].

там численных расчетов для многочастотного облу-

С помощью частотного сдвига можно управлять

чения плазмы, рассмотрим аналитическую теорию

процессом рассеяния и изменять угловое распреде-

рассеяния CBET в лазерной плазме при одночастот-

ление падающего лазерного потока внутри полости.

ном облучении.

В работе [2] предложен способ уменьшения до-

ли рассеянного излучения при прямом многопучко-

2. ВЫНУЖДЕННОЕ РАССЕЯНИЕ CBET ПРИ

вом облучении мишени. Предложено использовать

ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ДВУХ ВСТРЕЧНЫХ

многочастотный режим облучения. Предполагается,

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ИОННОЙ

что часть пучков должна иметь частоту излучения,

ВОЛНОЙ

немного отличающуюся от частоты в других пуч-

ках. Если рассмотреть две группы пучков, в кото-

Рассмотрим лазерную плазму, в которой плот-

рых разность частот ∆ω ≫ ω₀c_s/c, где ω₀ основ-

ность и скорость меняются вдоль координаты x,

ная частота лазера, c_s скорость звука в плазме,

плотность уменьшается, а скорость возрастает. Ла-

c скорость света, то пересечение таких пучков не

зерное излучение при этом падает в направлении,

приведет к рассеянию [2]. При равенстве числа пуч-

противоположном направлению оси x. Уравнения,

ков в группах доля рассеяния должна уменьшиться

описывающие изменение интенсивностей падающей

в два раза. Это предположение нуждается в про-

q₀ и рассеянной q₁ волн без учета поглощения, по-

верке. Точное рассмотрение задачи с двумя и более

лучены в [1]:

частотами усложняется тем, что при сложении по-

dq₀

лей возникают биения волн. Кроме размера неодно-

= Bq₀q₁,

(1)

родности плазмы, где происходит рассеяние, в этом

dq₁

случае возникает еще один размер длина волны

= Bq₀q₁,

(2)

биений λ_b. Волны биений распространяются с груп-

повой скоростью v_g, которая стремится к нулю при

µMk²G

(3)

приближении к критической поверхности. Поэтому

cβρ^2cc³

существует некоторая область вблизи критической

где

[

поверхности, в которой условия рассеяния не меня-

(2µkβM)2]^-1

ются при использовании многочастотного режима

G = (M² - 1)² +

ρc_s

облучения. Период биений λ_b/v_g становится боль-

шим и сравнивается с длительностью лазерного им-

ω и k = ω/c частота и волновое число лазера,

пульса.

β =

√ε =√1 - ρ/ρ_c, ρ плотность плазмы, ρ_c

Из-за сложности аналитического исследования

критическая плотность, c_s скорость звука, M =

задачи о многочастотном облучении плазмы мы ис-

= u/c_s число Маха, µ коэффициент ионной вяз-

пользовали численный метод, в котором рассмат-

кости. Безразмерный множитель G в (3) имеет резо-

ривались уравнения гидродинамики плазмы с уче-

нансный характер зависимости от числа Маха M с

том пондеромоторной силы в уравнении движения и

точкой резонанса M = 1. Из уравнений (1), (2) мож-

уравнения Максвелла для каждой из парциальных

но получить уравнение для коэффициента отраже-

волн на частоте ω_k [9,10]. В работе [11] рассматрива-

ния R = q₁/q₀. Для этого надо умножить уравнение

лась задача о подавлении рассеяния CBET при мно-

(1) на q₁, а уравнение (2) на q₀ и вычесть из первого

гочастотном облучении плазмы. В ней рассматрива-

уравнения второе. В результате получаем

лись уравнения для акустических возмущений плот-

ности плазмы при заданных невозмущенных про-

= BqR,

(4)

134

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Подавление вынужденного рассеяния Мандельштама - Бриллюэн. . .

где q = q₀ - q₁ = const (это следует из (1), (2), если

необходимо использовать ограниченный коэффици-

вычесть (2) из (1)). С помощью (4) можно решить

ент вязкости. Вязкостное давление можно записать

граничную задачу, в которой слева от точки резо-

в виде pv = ρvTi∆u, где ∆u = li∂u/∂x в случае

нанса M = 1 задан коэффициент отражения R_L, а

li < λ. При li > λ в качестве ∆u необходимо ис-

справа падающий поток q_0R. Интегрирование вы-

пользовать максимальное изменение скорости ∆u =

ражения (4) дает

= u_max - u_min. Вместо l_i необходимо использовать

эффективную величину l_eff порядка λ.

R_R = R_L exp[b(1 - R_R)] ,

(5)

Определим более точно l_eff . Если возмущение

скорости имеет вид u₁ = ∆u sin² kx, то максимум

ее производной достигается при kx = π/4, и он

∫xR

равен ∆uk. Эффективную величину l_eff определя-

b = q_0R B dx ≡ q_0RI.

(6)

ем из соотношения l_eff (∂u₁/∂x)_max = ∆u. Так как

(∂u₁/∂x)_max = ∆uk, то leff = 1/k = λ/2π. В ла-

зерной плазме, как правило, l_i > λ/2π. Например, в

Интеграл I в (6) можно вычислить, если перейти от

условиях эксперимента на установке NIF (National

интегрирования по x к интегрированию по M: dx =

Ignition Facility, США) [12] при температуре ионов

= L_udM, где L_u = c_s(∂u/∂x)^-1s характерный раз-

2.5 кэВ в CH-плазме l_i = 0.66 мкм [13], а λ/2π =

мер изменения скорости в точке резонанса M = 1.

= 0.056 мкм. В этом случае в коэффициенте вяз-

Отметим, что скорость плазмы должна рассматри-

кости необходимо использовать l_eff . Отметим, что

ваться относительно максимумов (или минимумов)

диссипация плотности импульса ρ∆u должна проис-

пондеромоторного давления p_r, которые движутся

ходить на кулоновской длине пробега l_i. Для этого

вместе с движением критической поверхности. По-

необходимо выполнение условия l_i ≪ L_u, что в ла-

этому достаточно рассматривать скорость относи-

зерной плазме, как правило, выполняется (в услови-

тельно критической поверхности. Учитывая, что ре-

ях отмеченного эксперимента на установке NIF L_u

зонанс в точке M = 1 является узким по переменной

составляет несколько сот микрометров).

M (это будет рассмотрено ниже), в диссипативном

В изложенной модели изучалась столкновитель-

члене функции G в (3) можно приближенно считать

ная диссипация ионных возмущений. В литературе

M = 1, а также взять значения ρ и β в точке M = 1.

рассматривается также бесстолкновительная дисси-

Тогда с помощью замены

пация на электронах. Бесстолкновительная дисси-

M² - 1

2µkβ_s

пация на ионах с зарядом Z при ZT_e ≫ T_i

мала, так

(7)

ρ_sc_s

как скорость звука определяется в основном элек-

тронным давлением. При этом в резонансе с волной

получаем

находится экспоненциально малая часть ионов. Бес-

столкновительная диссипация на электронах так-

kL_u(1 - ε_s)

I =

arctg s|sR .

(8)

же мала из-за малости отношения масс электрона

4cε_sρ_sc²

и иона [14]:

Коэффициент вязкости µ входит в выражение (8)

√

γ/ω_s =

πZm_e/8m_i,

только в пределы интегрирования s_L и s_R. Если эти

пределы велики по абсолютному значению, то в (8)

где γ и ω_s декремент затухания и частота ионного

вместо функции arctg будет стоять число π и коэф-

звука, m_e и m_i массы электрона и иона.

фициент вязкости не будет входить в I. Это свойство

Сравним бесстолкновительную диссипацию на

является характерным для любого резонанса. От

электронах со столкновительной диссипацией за

диссипативного коэффициента зависят лишь шири-

счет ионной вязкости. Бесстолкновительная дисси-

на и максимум резонансной функции, а интеграл

пация в уравнении движения записывается в виде

остается одним и тем же.

∂u

∂

Пределы интегрирования s_L и s_R по порядку ве-

(p_T + p_r) - γδu,

(9)

∂t

∂x

ρ ∂x

личины равны 1/a = ρ_sc_s/2µkβ_s. Рассмотрим коэф-

фициент ионной вязкости µ = ρv_Til_i, где v_Ti и l_i

где u = u0 + δu, u0 невозмущенная скорость,

соответственно тепловая скорость и длина пробе-

δu возмущение скорости, вызванное пондеромо-

га ионов. Такой коэффициент применим, если дли-

торным давлением p_r, p_T тепловое давление. За-

на пробега ионов меньше длины волны λ простран-

пишем член бесстолкновительной диссипации γδu в

ственных осцилляций скорости. В противном случае

виде эффективного вязкостного члена:

135

Н. Н. Демченко, Р. Д. Ивановских

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

µ_γ ∂²δu

Если найдено значение R_R, то q_0L можно найти, ис-

γδu = -

(10)

∂x²

пользуя соотношение q = q₀ - q₁ = const. Равенство

полного потока q_L = q_R дает

Поскольку δu является осциллирующей функцией

координаты x, взятие производной по x равносиль-

1-R_R

q_0L = q_0R

(15)

но умножению на волновое число k_s. Тогда из (10)

1-R_L

следует выражение µ_γ = γρc^2s/ω^2s. Сравним коэф-

фициент µ_γ со столкновительным коэффициентом

Отметим, что в случае q₀ ≫ q₁ в (2) можно считать

µ = ρv_Til_eff при l_eff = λ/2π (рассматриваем огра-

q₀ постоянной величиной. Тогда для рассеянного по-

ниченную вязкость). Для отношения этих коэффи-

тока q₁ получаем выражение q_1R/q_1L = exp(κ_sL_u),

циентов получаем

где κ_s коэффициент рассеяния:

√

(

)

µ_γ

πZm_e

ZT_e

πq_0Rk(1 - ε_s)²

κ_s =

(16)

8m_i

T_i

4cε_sρ_sc²

Так как m_e/m_i

≪ 1, а в условиях лазерной

Рассмотренная граничная задача имеет практичес-

плазмы отношение ZT_e/T_i не настолько большое,

кий интерес при использовании этой модели рассея-

чтобы компенсировать малость m_e/m_i, получаем

ния CBET в гидродинамических расчетах, где ла-

µ_γ/µ ≪ 1. Поэтому в лазерной плазме при p_r < p_T

зерное излучение описывается с помощью потоков

бесстолкновительной диссипацией ионных возмуще-

падающего и отраженного от точки поворота излу-

ний можно пренебречь. Если p_r > p_T , то возможен

чения.

нагрев ионов, при котором T_i > ZT_e [15]. В этом

случае возникает сильное затухание на ионах.

Как отмечено выше, пределы интегрирова-

3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ния s_L и s_R в (8) по порядку величины равны

ПОДАВЛЕНИЯ РАССЕЯНИЯ CBET ПРИ

ОБЛУЧЕНИИ МИШЕНИ ЛАЗЕРНЫМ

ρ_sc_s/2µkβ_s. Если рассматривать ограниченную

ИЗЛУЧЕНИЕМ, ИМЕЮЩИМ СПЕКТР

вязкость µ = ρ_sv_Tiλ/2π, где λ/2π = 1/kβ, то можно

БЛИЗКИХ ЧАСТОТ

получить, что масштаб s_L и s_R определяется от-

ношением c_s/2v_Ti, которое много больше единицы.

Для расчета взаимодействия с плазмой лазерно-

Характерная ширина резонанса определяется зна-

го излучения, имеющего конечную ширину спект-

чениями s^∗L = -1 и s^∗R = 1. Используя соотношения

ра, была доработана существующая гидродинами-

(7), можно получить значения M^∗L и M^∗R,

ческая программа RAPID-SP [9]. Новая версия поз-

√

воляет проводить расчеты с учетом любого числа

2v_Ti

M^∗L =

M^∗R =

(11)

гармоник в падающем лазерном излучении. Физи-

c_s

ческая модель основывается на уравнениях гидро-

которые незначительно отличаются от единицы.

динамики плазмы (одномерная модель для плоской

Это подтверждает то, что резонанс является доста-

геометрии) и уравнениях Максвелла для лазерного

точно узким по переменной M. Так как s_L ≪ -1 и

излучения при нормальном падении на плазму.

s_R ≫ 1, то в (8) вместо функции arctg будет стоять

Пусть лазерное излучение падает в направлении,

множитель π, и выражение (6) будет иметь вид

противоположном направлению оси х, а электромаг-

нитное поле волны имеет компоненты E_y и H_z (да-

πq_0RkL_u(1 - ε_s)

(12)

лее у полей индексы координат опускаем). Для урав-

4cε_sρ_sc²

нений гидродинамики используем лагранжевы пере-

Для определения R_R из (5) можно ввести отно-

менные (m, t). Система уравнений имеет вид

шение ξ = R_R/R_L и искать эту величину из уравне-

∂V

∂u

∂x

ния

= u,

(17)

ξ = exp[-b(1 - R_Lξ)].

(13)

∂t

∂m

∂t

∂u

∂

Это уравнение решается итерациями. Если

(p_T + p_r + p_v),

(18)

∂t

∂m

b(1 - R_Lξp) < 1, то, заменяя экспоненту линейной

∂ε_e

∂V

∂q_Te

функцией, находим приближенное решение:

= -p_Te

-Q_ei(T_e-T_i)+

σ|E|²,

(19)

∂t

∂m

∂ε_i

∂V

∂q_Ti

R_R

1+b

= -(p_Ti + p_v)

+ Q_ei(T_e - T_i),

(20)

(14)

∂t

∂m

R_L

1 + bR_L

136

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Подавление вынужденного рассеяния Мандельштама - Бриллюэн. . .

dE_k

iω_k

плазменная частота. Мнимая часть ε₂ = ω^2peν_ei/ω³⁰,

H_k,

(21)

где ν_ei

электрон-ионная частота столкновений.

dH_k

iω_k

ε(ω_k)E_k,

(22)

Метод решения уравнений (21), (22) одинаков

для всех гармоник. Делается переход от полей E и

H к падающей и отраженной волнам P и R. При

где V = 1/ρ удельный объем, u скорость, p_T =

= p_Te + p_Ti тепловое давление, p_r пондеромо-

этом возникает уравнение для функции коэффици-

ента отражения V_R = R/P . Описание этого мето-

торное давление, p_v = -µ ∂u/∂x вязкостное дав-

ление, q_Te и q_Ti

электронный и ионный тепло-

да приведено в работе [10]. Плазма представляется

в виде набора тонких слоев (счетных ячеек) с по-

вые потоки, ε_e и ε_i удельные внутренние энергии

электронов и ионов, Q_ei коэффициент электрон-

стоянными плотностью и температурой в каждом

ионной релаксации, |E| амплитуда электрическо-

слое. Внутри каждого слоя используются аналити-

ческие решения для P , R и V_R. Сначала расчет идет

го поля лазерного излучения, σ высокочастотная

проводимость плазмы на основной частоте лазера

слева направо для определения V_R, затем в обрат-

ном направлении для определения всех остальных

(предполагается, что ширина спектра излучения яв-

ляется узкой), E_k(x) и H_k(x)

комплексные фу-

функций. Размер счетной ячейки должен быть зна-

чительно меньше длины волны излучения. Поэто-

рье-компоненты электрического и магнитного полей

на частоте ω_k. Суммарные поля можно записать в

му для описания взаимодействия с плазмой, имею-

щей большой характерный размер неоднородности

виде

по сравнению с длиной волны излучения, требует-

E = E_s(x,t)exp(-iω₀t), H = H_s(x,t)exp(-iω₀t),

ся большое число счетных ячеек (в рассмотренных

ниже расчетах число ячеек составляло около трех

где медленно меняющиеся амплитуды E_s и H_s запи-

тысяч).

сываются в виде

Рассмотрим результаты расчетов, целью кото-

рых было определение влияния на процессы погло-

∑

щения и рассеяния биений пондеромоторного по-

E_s(x, t) =

E_k(x)e^-ik∆ωt,

(23)

k=-K

тенциала, обусловленных конечной шириной спект-

ра лазерного излучения. Расчеты проводились для

∑

H_s(x, t) =

H_k(x)e^-ik∆ωt.

(24)

CH₂-мишени при плотности потока лазерного излу-

k=-K

чения в диапазоне 5·10¹⁴-10¹⁵ Вт/см² при длине вол-

ны 1.06 мкм. Рассматривалась постоянная во вре-

Здесь k∆ω = ω_k - ω₀, ∆ω шаг по частоте, ω₀

мени форма импульса. На рис. 1 показаны профили

основная частота. Распределение интенсивностей I_k

пондеромоторного давления p_r, плотности ρ, элект-

парциальных волн по частотам в принципе может

ронной T_e и ионной T_i температур плазмы в момент

быть любым. В частности использовалась лоренце-

времени 0.2 нс при воздействии лазерного излуче-

ва форма линии:

ния с одной частотой (ω₀ = 1.8 · 10¹⁵ с^-1) при плот-

ности потока 5 · 10¹⁴ Вт/см². На рисунках лазерное

Ik =

(25)

излучения падает справа. На рис. 2 приведены про-

(ω_k - ω₀)² + γ²

фили тех же величин и в тот же момент времени

где γ_L ширина линии, A нормировочный мно-

при воздействии лазерного излучения с двумя близ-

житель, сумма интенсивностей I_k должна равняться

кими частотами при той же плотности потока. Гар-

усредненной по времени (за период биений) падаю-

моники имели одинаковую амплитуду, разность час-

щей лазерной интенсивности. Задавая в (25) величи-

тот ∆ω = 0.02ω₀. Сравнение рис. 1 и 2 приводит к

ну γ_L очень большой (по сравнению с ω_k -ω₀), мож-

следующим выводам. В случае одной частоты воз-

но моделировать равномерное распределение интен-

никает значительное вынужденное рассеяние. Пон-

сивности по частотам. Пондеромоторное давление в

деромоторное давление p_r падает почти на порядок

(18) записывается в виде

величины по мере приближения к критической по-

верхности (для CH₂-мишени критическая плотность

(

)

p_r =

|E|² + |H|²

(26)

равна 2.98 · 10^-3 г/см³). В случае двух частот про-

16π

исходит меньшее падение пондеромоторного давле-

Комплексная диэлектрическая проницаемость в

ния. Видна структура биений p_r. Здесь биения

(22) задается в виде ε = ε₁ + iε₂. Действительная

это сложение падающей и отраженной волн биений.

часть ε₁

= 1 - ω^2pe/ω^2k, где ω2pe = 4πe2ne/me

Поэтому получается волна биений типа стоячей вол-

137

Н. Н. Демченко, Р. Д. Ивановских

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Рис. 1. Профили пондеромоторного давления pr, плотнос-

Рис. 2. То же, что на рис. 1, но при воздействии на

ти ρ, электронной Te и ионной Ti температур в момент

CH2-мишень лазерного излучения с двумя близкими час-

времени 0.2 нс при воздействии на CH2-мишень лазерно-

тотами при плотности потока 5 · 10¹⁴ Вт/см². Гармони-

го излучения с одной частотой (ω0 = 1.8 · 10¹⁵ с^-1) при

ки имели одинаковую амплитуду, разность частот ∆ω =

плотности потока 5 · 10¹⁴ Вт/см²

= 0.02ω0, ω0 = 1.8 · 10¹⁵ с^-1

Таблица 1

ны, у которой есть узлы и максимумы амплитуды. В

случае одной частоты вынужденное рассеяние воз-

τ_L, нс

δ_a1

δ_a2

δ_a3

δ_a5

никает на масштабе длины, определяемой характер-

0.2

0.0905

0.121

0.126

0.124

ным размером неоднородности плотности плазмы. В

случае двух частот масштаб длины, на которой воз-

0.4

0.121

0.159

0.178

0.187

никает рассеяние, определяется длиной волны бие-

0.6

0.148

0.198

0.222

0.250

ний пондеромоторного потенциала, а точнее, рассто-

янием между узлом и максимумом амплитуды. Это

0.8

0.168

0.224

0.251

0.284

приводит к тому, что доля δ_a поглощенной лазерной

энергии в случае двух частот больше по сравнению

Таблица 2

со случаем одной частоты в 1.34 раза.

τ_L, нс

δ_a2/δ_a1

δ_a3/δ_a1

δ_a5/δ_a1

Для большей наглядности различия рассеяния в

приведенных выше двух случаях на рис. 3 показа-

0.2

1.337

1.392

1.370

ны те же зависимости плотности и пондеромоторно-

0.4

1.314

1.471

1.545

го давления, что и на рис. 1 и 2, однако масштабы

по осям изменены. В случае двух частот (рис. 3б)

0.6

1.338

1.500

1.689

видно разделение области рассеяния на две подоб-

ласти. В узле стоячей волны возмущения плотности

0.8

1.333

1.494

1.690

отсутствуют.

Отметим, что рассеяние излучения на возмуще-

ниях плотности приводит к передаче плазме им-

ной в два раза. На рис. 4 показаны профили тех

пульса от излучения. Это приводит к некоторой де-

же величин что и на рис. 1, но для плотности по-

формации профиля средней плотности и уменьше-

тока 10¹⁵ Вт/см² в момент времени 0.09 нс. Здесь

нию ее размера неоднородности. Этот эффект мож-

можно видеть значительную деформацию профиля

но видеть на рис. 1 и 2, однако при плотности пото-

средней плотности. Это влияет на долю рассеянного

ка 5 · 10¹⁴ Вт/см² он выражен слабо. Поэтому был

излучения. С одной стороны, доля рассеяния растет

проведен расчет при плотности потока, увеличен-

из-за увеличения интенсивности излучения и, соот-

138

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Подавление вынужденного рассеяния Мандельштама - Бриллюэн. . .

Рис. 3. Профили пондеромоторного давления pr и плотности ρ из рис. 1 (а) и рис. 2 (б), показанные в измененных

масштабах по осям

ния эффективности поглощения) от длительности

лазерного импульса τ_L и от числа гармоник в ла-

зерном излучении, n. Для этого были проведены

расчеты с n = 1, 2, 3 и 5 при суммарной ширине

∆ω_s = 3.6 · 10¹³ с^-1 (∆ω_s/ω₀ = 0.02) и плотности

потока 5 · 10¹⁴ Вт/см². Спектральное распределение

интенсивности было равномерным (гармоники рав-

ной амплитуды) при постоянной во времени плот-

ности потока. В табл. 1 приведены значения доли

δ_an поглощенной лазерной энергии в зависимости от

длительности импульса τ_L и числа гармоник n. В

табл. 2 приведены отношения δ_an/δ_a1, характеризу-

ющие увеличение эффективности поглощения в за-

висимости от длительности импульса и числа гармо-

ник. Как следует из таблиц, с ростом длительности

импульса растет и эффективность поглощения при

любом числе гармоник в импульсе (табл. 1). Однако

эффект подавления вынужденного рассеяния стано-

вится более сильным с ростом числа гармоник в из-

Рис. 4. Профили пондеромоторного давления pr, плотнос-

ти ρ, электронной Te и ионной Ti температур в момент

лучении (табл. 2, увеличение поглощения в 1.69 раза

времени 0.09 нс при воздействии на CH2-мишень лазерно-

в случае пяти гармоник).

го излучения с одной частотой (ω0 = 1.8 · 10¹⁵ с^-1) при

На рис. 5 приведены профили p_r, ρ, T_e и T_i в

плотности потока 10¹⁵ Вт/см²

окрестности критической плотности в момент вре-

мени 0.6 нс для варианта излучения с пятью гармо-

никами. На рис. 6 более подробно показаны профи-

ветственно, амплитуды возмущений. С другой сто-

ли p_r и ρ из рис. 5 (изменены масштабы по осям).

роны, есть уменьшение размера неоднородности, ко-

На рис. 5 видно, что в случае пяти гармоник суще-

торое приводит к снижению доли рассеяния.

ствует несколько характерных размеров по оси x,

Рассмотрим зависимость эффекта подавления

на которых изменяется p_r. Из рис. 6 следует, что об-

вынужденного рассеяния (соответственно, увеличе-

ласть рассеяния распадается на несколько подоблас-

139

Н. Н. Демченко, Р. Д. Ивановских

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Рис. 5. То же, что на рис. 4, в момент времени 0.6 нс при

воздействии на CH2-мишень лазерного излучения с пятью

частотами при плотности потока 5 · 10¹⁴ Вт/см². Гармо-

Рис. 7. Зависимость от ширины спектра ∆ωs/ω0 и чис-

ла гармоник n отношения долей рассеянной энергии при

ники имели одинаковую амплитуду и суммарную ширину

спектра ∆ωs = 0.02ω0, ω0 = 1.8 · 10¹⁵ с^-1

многочастотном δsn и одночастотном δs1 облучениях. Чис-

лами у кривых обозначено число гармоник

ния. Для этого в каждом варианте проводились два

расчета. Один расчет учитывал p_r в уравнении (18),

а в другом полагалось p_r = 0. По разности долей

поглощенной энергии вычислялась доля рассеян-

ной энергии. Исследовался вариант облучения CH₂-

мишени при плотности потока 5 · 10¹⁴ Вт/см² (ос-

новная частота ω₀ = 1.8 · 10¹⁵ с^-1). Доля рассеянной

энергии рассматривалась за период времени 0.6 нс

от начала импульса. Определены доли рассеянной

энергии δ_sn для излучения, состоящего из n гармо-

ник (n = 1, 2, 3, 5, 11). Распределение интенсивности

по гармоникам было равномерным, разность между

соседними частотами (при n > 2) была одинаковой.

Суммарная ширина спектра ∆ω_s = ω_max - ω_min ва-

рьировалась.

На рис. 7 приведены зависимости от ∆ω_s/ω₀ от-

ношения k_n = δ_sn/δ_s1. Это отношение характери-

зует степень подавления вынужденного рассеяния

Рис. 6. Профили пондеромоторного давления pr и плот-

ности ρ из рис. 5, показанные в измененных масштабах по

при многочастотном облучении мишени по сравне-

осям

нию с облучением на одной частоте. Из рис. 7 сле-

дует, что доля рассеяния падает с ростом числа гар-

моник. При n = 11 рассеяние можно подавить почти

тей. При этом размер основной области рассеяния

в два раза.

вблизи критической плотности сокращается.

Зависимости на рис. 7 можно объяснить влияни-

Проведены расчеты, в которых была выделена

ем следующих факторов. Резкое уменьшение отно-

доля энергии излучения, теряемая за счет рассея-

шения k_n в окрестности точки ∆ω_s/ω₀ = 0 связано с

140

ЖЭТФ, том 162, вып. 1 (7), 2022

Подавление вынужденного рассеяния Мандельштама - Бриллюэн. . .

тем, что суммарная длина биений, в которых могут

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

возникать возмущения плотности плазмы, сокраща-

ется и сравнивается с характерным размером изме-

Вынужденное рассеяние CBET может значи-

нения скорости L_u. Этот размер, согласно выраже-

тельно снизить эффективность поглощения лазер-

нию (12), определяет величину рассеяния при одно-

ного излучения в плазме. Одним из способов по-

частотном облучении. Суммарная длина, где возни-

давления рассеяния CBET является использование

кают возмущения плотности, уменьшается с ростом

многочастотного лазерного излучения. Рассмотре-

числа гармоник.

ны условия, при которых возможно частично пода-

вить рассеяние CBET и увеличить долю поглощен-

При увеличении числа гармоник область рассе-

ной лазерной энергии. Приведена аналитическая

яния распадается на отдельные подобласти, и чис-

теория рассеяния CBET при взаимодействии двух

ло подобластей растет (см. рис. 3б и 6). При уве-

встречных электромагнитных волн с ионно-звуко-

личении ∆ω_s/ω₀ для фиксированного значения n

вой волной в неоднородной разлетающейся плазме.

размер одной подобласти с возмущениями плотно-

Получены формулы, позволяющие вычислить коэф-

сти уменьшается, а число подобластей растет, так

фициент рассеяния и долю рассеянного потока из-

как в этом случае L_u значительно больше размера

лучения по заданным параметрам лазерного излу-

одной подобласти. Действительно, увеличение ∆ω_s,

чения и плазмы.

согласно (23), (24), равносильно сжатию оси време-

ни и уменьшению временного периода волн биений.

Проведено численное моделирование процес-

При фиксированной групповой скорости этих волн,

са облучения CH₂-мишени лазерным импульсом.

dω/dk = cε^1/2, где ε берется при ω = ω₀, увеличение

Численная модель основывается на уравнениях

∆ω_s приводит к уменьшению длин волн биений. При

гидродинамики плазмы с учетом пондеромоторной

этом число подобластей с возмущениями плотности

силы и уравнениях Максвелла для излучения,

возрастает, так как L_u почти не изменяется.

имеющего спектр близких частот. В модели самосо-

гласованным образом учитываются возникновение

Отметим, что на рис. 7 кривые δ_sn/δ_s1 начи-

мелкомасштабных возмущений плотности, на кото-

наются при ∆ω_s/ω₀ > 0. Это связано с тем, что

рых происходит рассеяние излучения, и обратное

рассматривался импульс с конечной длительностью

влияние рассеяния на размер неоднородности

τ = 0.6 нс, которая приводит к конечной, не рав-

средней плотности плазмы. Показано, что при

ной нулю, ширине спектра ∆ω_τ . В задаче необходи-

многочастотном режиме облучения мишени удается

мо выполнение условия ∆ω_s ≫ ∆ω_τ для того, чтобы

увеличить долю поглощенной лазерной энергии в

произошло усреднение поглощенной энергии за вре-

плазме за счет частичного подавления рассеяния

мя значительно большее, чем период волны биения.

CBET. В случае двух близких частот (n

= 2)

В работе [11] получены зависимости, аналогич-

отношение kn = δsn/δs1 = 0.87, где δsn

доля

ные приведенным на рис. 7, для случаев n = 2, 3

рассеянной энергии излучения, состоящего из n

и для сплошного спектра с относительной шириной

гармоник. С ростом числа гармоник в излучении

∆ω_s/ω₀. В случае n = 2, 3 результаты оказались ка-

величина k_n уменьшается: k_n = 0.68 при n = 5,

чественно похожими приведенным на рис. 7. В слу-

k_n = 0.51 при n = 11. Такие значения k_n достига-

чае сплошного спектра в работе [11] показана воз-

ются при значениях ∆ω_s/ω₀, лежащих в диапазоне

можность полного подавления вынужденного рассе-

0.5-1.5 % в зависимости от числа гармоник (∆ω_s

яния. В нашей модели рассматривается дискретный

ширина спектра). При ∆ω_s/ω₀ > 1.5 % значения k_n

набор частот, а сплошной спектр может быть рас-

меняются слабо.

смотрен как предел при увеличении числа гармо-

ник до бесконечности. Согласно рис. 7, тенденция

Финансирование. Исследование выполнено

к уменьшению вынужденного рассеяния наблюда-

при финансовой поддержке Российского научного

ется при увеличении числа гармоник. Вопрос о пол-

фонда (проект №21-11-00102).

ном подавлении остается открытым, так как модель

работы [11] не точно учитывает волны биений (не

учитывается вторая производная по времени от ам-

плитуды поля). Всегда будет некоторая окрестность

ЛИТЕРАТУРА

критической плотности, в которой групповая ско-

рость волн близка к нулю и возникнет небольшое

1. Н. Н. Демченко, В. Б. Розанов, ЖЭТФ 103, 2008

рассеяние.

(1993).

141