ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 2 (8), стр. 205-214
© 2022
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПОТЕНЦИАЛОВ ИОНИЗАЦИИ
МНОГОЗАРЯДНЫХ ИОНОВ ЭЛЕМЕНТОВ ОТ АРГОНА
ДО КСЕНОНА
Г. В. Шпатаковская*
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук
125047, Москва, Россия
Поступила в редакцию 17 марта 2022 г.,
после переработки 17 апреля 2022 г.
Принята к публикации 18 апреля 2022 г.
Проанализирована зависимость потенциалов ионизации от атомного номера Z и числа электронов Ne
в многозарядных ионах элементов с атомными номерами в диапазоне 18 ≤ Z ≤ 54. Обнаруженные
закономерности с погрешностью менее одного процента описываются простыми полиномами на основе
нескольких небольших таблиц полиномиальных коэффициентов, что позволяет с хорошей точностью
оценивать потенциалы ионизации всех многозарядных ионов рассмотренного диапазона.
DOI: 10.31857/S0044451022080053
Теоретические расчеты электронных уровней
EDN: EGCBJW
энергии в атомах и ионах выполняются методами
разной точности, сложности и трудоемкости.
1. ВВЕДЕНИЕ
Аналитический метод [2], основанный на модели
эффективного заряда (effective charge model, ECM),
Свойства многозарядных ионов (положительных
дает возможность в нулевом приближении вычис-
ионов с кратностью ионизации q > 5), присутствую-
лять полную энергию электронов атома как функ-
щих в высокотемпературной плазме Солнца и дру-
цию эффективного заряда с погрешностью до 5-6 %,
гих космических объектов, важны для рентгенов-
а учет поправки второго порядка увеличивает точ-
ской астрономии и астрофизики. Они необходимы
ность до долей процента. Релятивистская версия ме-
в кинетических моделях плазмы, для исследования
тода ECM применяется в работе [3] для расчета
взаимодействия ионов с веществом и т.д. На прак-
характеристик многоэлектронных атомов и ионов.
тике многозарядные ионы используют, например, в
Авторы предлагают использовать эту более точную
литографии, в ионном термоядерном синтезе, для
модель, сравнимую по сложности с моделью Тома-
ионной терапии раковых опухолей.
са - Ферми- Дирака, вместо последней.
К числу важнейших характеристик ионов от-
Вычисление полных электронных энергий связи
носятся их потенциалы (в вольтах) или совпадаю-
во всех ионах в основном состоянии для элементов
щие с ними численно энергии ионизации (в элект-
от лития до оганесона (Z = 118) методом самосогла-
ронвольтах). Лишь для очень немногих многозаряд-
сованного поля Дирака - Фока (DF) [4] легло в ос-
ных ионов эти величины измерены эксперименталь-
нову расчета многих потенциалов ионизации, пред-
но, обычно спектроскопическими, очень точными
ставленных в таблицах [1].
методами. В большинстве же случаев их получают в
Более точным, но и более трудоемким являет-
полуэмпирических или теоретических моделях. Вся
ся многоконфигурационный метод самосогласован-
совокупность как экспериментальных, так и расчет-
ного поля Дирака - Фока (MCDF) [5]. Его примене-
ных данных по энергиям ионизации атомов и атом-
ние для подобных расчетов с учетом различных тон-
ных ионов в электронвольтах представлена в табли-
ких эффектов (релятивизма, квантовой электроди-
цах [1] для элементов с атомными номерами Z ≤ 110
намики, размера и формы ядра) обсуждается в обзо-
со ссылками на источники.
ре [6], в котором сравниваются экспериментальные
* E-mail: shpagalya@yandex.ru
и теоретические результаты по рентгеновским тер-
205
Г. В. Шпатаковская
ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022
мам для внутренних оболочек нейтральных атомов
но описанный в работе [15]. Выявленные в результа-
от неона до фермия (Z = 100) включительно. Для
те закономерности в зависимости потенциалов иони-
большинства рассмотренных уровней и линий K- и
зации INe от атомного номера и числа электронов
L-оболочек продемонстрировано очень хорошее со-
позволили с хорошей точностью аппроксимировать
гласие теории и эксперимента. В работе [7] такой ме-
их с помощью простых полиномов на основе неболь-
тод был использован для детального исследования
ших таблиц полиномиальных коэффициентов. Это
характеристик иона стронция SrXXX. Однако рас-
существенно упрощает практическое использование
пространение этого подхода на внешние электрон-
большого массива данных из [1].
ные оболочки затрудняется необходимостью учета
В настоящей работе с аналогичной целью рас-
слишком большого количества возможных конфи-
смотрены энергии ионизации многозарядных ионов
гураций.
элементов с атомными номерами 18 ≤ Z ≤ 54 из
Альтернативный методу самосогласованного по-
базы данных [1]. В работе [14] мы опустили обсуж-
ля и менее затратный метод функционала плотнос-
дение небольшой модификации используемого нами
ти использован в работе [8]. Рассчитанные этим
квазиклассического метода [15]. Этот пробел будет
методом орбитальные энергии в ионах Li-подобной
ниже восполнен в разд. 2. В разд. 3 рассмотрены ио-
изоэлектронной последовательности элементов от
ны с электронами в K- и L-оболочках, в разд. 4 и
неона до фермия с учетом различных радиационных
5
ионы с электронами в M- и N-оболочках. Таб-
эффектов квантовой электродинамики также пред-
лицы полиномиальных коэффициентов приводятся
ставлены в таблицах [1]. Однако применение метода
в Приложении.
функционала плотности в версии работы [9] к рас-
четам уровней энергии электронов в нейтральном
атоме и первом ионе в основном состоянии для всех
2. КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД
элементов от водорода до урана включительно [10]
АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЭНЕРГИЙ
при сравнении [11] с результатами эксперимента де-
СВЯЗИ
монстрирует его недостаточную точность.
В полуэмпирических моделях прослеживаются
Кратко изложим основу квазиклассического ме-
попытки выявить закономерности в зависимости по-
тода [15] и его модификацию, используемую в рабо-
тенциалов ионизации ионов от атомного номера в
те.
изоэлектронных последовательностях. Так, в работе
[12] проанализирована разность между потенциала-
Как известно, в квазиклассической модели То-
маса - Ферми (TF) имеет место автомодельность по
ми ионизации, рассчитанными в модели MCDF и до-
ступными в базе [1]. Построенные для этой разности
атомному номеру Z, т.е. для любого элемента все
характеристики можно вычислить по решению для
аналитические зависимости от Z позволяют оценить
недостающие и исправить имеющиеся данные для
водорода (Z = 1) простым масштабным преобразо-
изоэлектронных последовательностей ионов с чис-
ванием. В частности, для энергетических величин
это отвечает умножению на Z4/3. Применение усло-
лом электронов от 3 до 18 в элементах от лития до
олова (Z = 50).
вия квантования Бора - Зоммерфельда к вычисле-
нию орбитальных энергий связи Enl = En0 (n
В работе [13] аналитические выражения для по-
главное квантовое число) s-состояний (орбитальное
тенциалов ионизации ионов в изоэлектронных по-
число l = 0) электронов в атоме в модели TF приво-
следовательностях с числом электронов от 2 до 54,
дит к выделению зависимости от Z определенного
построенные как плавная интерполяция результа-
вида (в атомных единицах):
тов для тяжелых ионов (Z ≫ 1) и для области Z =
= Ne-1, имеют вид полиномов по атомному номеру
Z с квадратичным, линейным, нулевого и первого
ETFn0 = Z4/3eTF (σn), σn = πnZ-1/3,
(1)
отрицательного порядков членами. Эти выражения
также используются для обнаружения и исправле-
где eTF (σ)
универсальная функция, не завися-
ния ненадежных данных из базы [1].
щая ни от атомного номера элемента, ни от кван-
Совсем иной подход использовался в нашей ра-
товых чисел, вычисляется по атомному потенциа-
боте [14]. Для анализа потенциалов ионизации в ос-
лу TF. Так как модель TF приближенно описывает
новном состоянии многозарядных ионов с числом
многоэлектронные атомы с заполненными оболоч-
электронов Ne ≤ 46 в тяжелых элементах 55 ≤ Z ≤
ками, возникает вопрос, насколько подобное выпол-
≤ 95 применялся квазиклассический метод, подроб-
няется в реальных атомах. Соответствующие функ-
206
ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022
Аналитическая оценка потенциалов ионизации. . .
ции были построены по орбитальным энергиям свя-
3. ЭНЕРГИИ ИОНИЗАЦИИ ИЗ СОСТОЯНИЙ
зи Eexpn0(Z) из таблиц [16]
K- И L-ОБОЛОЧЕК
Будем исследовать зависимость энергий иониза-
en(σn) = Eexpn0(Z)Z-4/3.
(2)
ции от Z в изоэлектронных последовательностях, в
которых ионы сгруппированы по их подобию нейт-
ральным атомам с тем же числом электронов Ne.
Сравнение с результатами модели TF показало, что
Энергии ионизации ионов INe(Z) в таблицах [1] да-
хотя не существует для всех квантовых чисел n
ются в электронвольтах. Поэтому в формулу (2) сле-
универсальной функции, но для каждого значения
дует подставлять табличное значение, деленное на
n, т.е. в каждой из оболочек K, L, M, N, . . . при
энергию Хартри EH = 27.211386 эВ.
условии правильного порядка заполнения состоя-
В этом разделе рассматриваются последователь-
ний имеется своя плавная монотонная зависимость
ности ионов с Ne = 1-10, что соответствует ионам
en(σn), которая может быть аппроксимирована по
нескольким элементам простым полиномом. По этой
с электронами в оболочках K и L: водородо- и ге-
лиеподобные ионы соответственно с Ne = 1 и Ne =
аппроксимации возможно с погрешностью в преде-
лах 1-2 % восстановить соответствующие энергии
= 2, литиеподобные с Ne = 3, . . ., неоноподобные с
Ne = 10.
связи для других элементов, что указывает на су-
На рис. 1a по оси абсцисс отложена величина σ, а
ществование закона подобия по атомному номеру в
по оси ординат десятичный логарифм соответствую-
энергиях связи электронов. Выпадение из этого за-
щего значения eNe, вычисленные для шести разных
кона может свидетельствовать или о нарушении в
элементов выбранного диапазона (символы). Рису-
порядке заполнения состояний, или об ошибочности
нок демонстрирует очень гладкие монотонные зави-
данных. Это позволяет, в частности, контролиро-
симости, которые хорошо аппроксимируются квад-
вать правильность экспериментальных измерений,
ратичными полиномами (линии):
как показано на примере оценок рентгеновских K-
и L-термов в работе [17].
∑
Таким образом, построение функций en(σn) ока-
lg eNe (σ) =
a(Ne)iσi, σ = πZ-1/3, imax = 2.
залось эффективным инструментом анализа как в
i=0
(3)
целом энергий связи для всех естественных элемен-
Применение выражения (3) к оценке потенциалов
тов периодической таблицы Менделеева [18], так и
ионизации ионов данного диапазона Ne для других
для отдельных групп атомов, в частности для ис-
элементов по формуле, обратной (2),
следования закономерностей в первых потенциалах
ионизации лантанидов и актинидов [19]. При этом
INe = Z4/310lgeNe (σ)EH ,
(4)
выяснилось, что если существует закономерность в
зависимости en(σn), то своя закономерность имеет
подтвердило точность интерполяции в доли процен-
место и для en(σ1), т. е. из аргумента можно убрать
та, что позволяет во многих случаях использовать
номер оболочки n и эффективно исследовать зави-
ее вместо табличных данных.
симость разных по n функций en(σ) от одного аргу-
Однако на практике требуется знать потенциалы
мента, зависящего только от атомного номера. Та-
ионизации ионов элемента с фиксированным зна-
кая модификация квазиклассического метода [15],
чением атомного номера Z в зависимости от чис-
была использована для анализа имеющихся данных
ла электронов в них Ne = Z - q. Поэтому более
по энергиям ионизации многозарядных ионов тяже-
удобным оказывается другое представление функ-
лых элементов в работе [14]. Кроме того, выясни-
ции eNe(σ). Его можно получить, аппроксимируя по-
лось, что в случае правильного заполнения оболочек
линомами кусочно-монотонные зависимости коэф-
для потенциалов ионизации ионов нет явной зависи-
фициентов ai от числа электронов Ne:
мости от квантовых чисел n, l, а существенна лишь
зависимость от числа электронов Ne. В отличие от
∑
a(Ne)i =
bikNke.
(5)
тяжелых элементов все ионы средних атомов с за-
k=0
рядом q > 5 (Ne < Z-5) характеризуются правиль-
ным порядком заполнения оболочек, поэтому, как
Эти зависимости для рассматриваемого диапазона
показано ниже, в этом случае оказалось возможным
ионов изображены на рис. 1б. На первый взгляд,
использовать описанный метод оценки практически
здесь можно увидеть три диапазона монотонных за-
для всех многозарядных ионов.
висимостей: Ne
= 1-2; Ne
= 3-6; Ne
= 7-10 с
207
Г. В. Шпатаковская
ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022
линейной зависимостью в первом и квадратичной
во втором и третьем диапазонах. Однако, посколь-
lg eN
ку зависимость в (4) логарифмическая, для полино-
e
1
миальной интерполяции требуется достаточная точ-
50
ность, которой не хватает при таком рассмотрении.
54
Ne
=
1
46
Оптимальным оказалось разбиение всей области на
а
36
пять частей (Ne = 1-2, Ne = 3-4, . . ., Ne = 9-10)
28
0.5
2
и попарная линейная интерполяция (5) значений
18
ai(Ne). Очевидно, что при этом сохраняются неиз-
менными значения коэффициентов ai. Выражение
для lg eNe (σ) тогда приобретает следующий вид:
0
3
∑
∑
lg eNe (σ) =
bikNkeσi,
(6)
i=0
k=0
10
imax = 2, kmax = 1,
-0.5
а соответствующие полиномиальные коэффициенты
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
bik для этих пяти диапазонов представлены в табл. 1
s
ai
(см. Приложение). Таким образом, для оценки энер-
гии ионизации многозарядного иона в рассмотрен-
2
ном диапазоне следует использовать формулы (4),
i=0
б
(6) и табл. 1.
В качестве примера вычислим энергии иониза-
1
ции нескольких ионов других элементов из рассмот-
i=1
ренного в этом разделе диапазона. Для ионов каль-
=6
ция (Z = 20) с числом электронов Ne = 5 и Ne
0
получаем для энергий ионизации INe [эВ] соответ-
ственно 969.86 (973.7) и 889.8 (894.0). Здесь в скоб-
ках для сравнения приводятся табличные значения
-1
энергий ионизации из [1]. В таком же формате (с
i=2
указанием неопределенности табличных значений)
-2
для энергий ионизации ионов цинка (Z = 30) с Ne =
= 7, 8 имеем 2211.1 (2214±8), 2081.2 (2085±5). Для
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ионов кадмия (Z = 48) с Ne = 9, 10 получаем 6048.3
Ne
(6039±9), 5849.8 (5839±3). Как видно, погрешность
не превышает долей процента. Более широкое срав-
Рис. 1. (В цвете онлайн) Ионизация состояний из K-
нение подтверждает такую точность обнаруженных
и L-оболочек. а) Зависимости eNe (σ), вычисленные по
закономерностей.
формуле (2) для ионов элементов с атомными номерами
Z = 18, 28, 36, 46, 50, 54 по данным из [1] (символы). Ли-
нии квадратичные интерполяции. Разные цвета и типы
4. ЭНЕРГИИ ИОНИЗАЦИИ ИЗ СОСТОЯНИЙ
линий соответствуют разным значениям числа электронов
M -ОБОЛОЧКИ
в ионе Ne, увеличивающимся последовательно сверху вниз
от 1 до 10. Здесь и на рис. 2а-5а числа над и под сим-
Аналогичный анализ проведен для потенциалов
волами отмечают атомный номер элемента; числа около
ионизации ионов нескольких элементов из оболоч-
линий указывают начало и конец заполнения электрона-
ки M. Соответствующие результаты представлены
ми соответствующих оболочек. б) Зависимости коэффи-
символами на рис. 2a для подоболочек 3s и 3p, на
циентов квадратичной интерполяции ai (разные символы
и цвета) в формуле (3) от числа электронов в ионе для
рис. 3a для 3d-подоболочки. Линии на этих рисун-
ионизации из K- и L-оболочек. Линии линейные интер-
ках это кубические аппроксимации по σ согласно
поляции монотонных фрагментов
выражению (3) с imax = 3. Сравнение с табличными
значениями для многих других элементов показыва-
ет, что эти аппроксимации имеют точность в доли
процента.
208
ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022
Аналитическая оценка потенциалов ионизации. . .
lg eN
lg eN
e
e
50
а
11
42
19
54
28
-0.5
32
54
18
46
а
-1
28
18
-1.0
36
25
-1.5
21
-2
28
-2.0
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1.05
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
s
s
a
ai
i
50
300
б
б
40
i=2
200
30
i=2
20
i=0
100
i=0
10
0
0
i=3
i=3
-10
-100
-20
i=1
–30
-200
i=1
-40
–300
–50
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
11
12
13
14
15
16
17
18
Ne
Ne
Рис. 3. (В цвете онлайн) Ионизация из d-состояний M-обо-
Рис. 2. (В цвете онлайн) Ионизация из s- и p-состояний M-
лочки. а) Зависимости eNe (σ), вычисленные по формуле
оболочки. а) Зависимости eNe (σ), вычисленные по фор-
(2) для ионов элементов с атомными номерами Z = 28, 32,
муле (2) для ионов элементов с атомными номерами
36, 42, 46, 50, 54 по данным из [1] (символы). Линии
Z = 18, 21, 25, 28, 36, 46, 50, 54 по данным из [1] (сим-
кубические интерполяции. Разные цвета линий и симво-
волы). Линии кубические интерполяции. Разные цве-
лов соответствуют разным значениям числа электронов
та и типы линий соответствуют разным значениям числа
в ионе Ne от 19 до 28. б) Зависимости коэффициентов
электронов в ионе Ne от 11 до 18. б) Зависимости коэф-
кубической интерполяции ai (разные символы и цвета) в
фициентов кубической интерполяции ai (разные символы
формуле (3) от числа электронов в ионе для ионизации из
и цвета) в формуле (3) от числа электронов в ионе для
M-оболочки. Линии линейные интерполяции монотон-
ионизации из M-оболочки. Линии квадратичные интер-
ных фрагментов
поляции монотонных фрагментов
M-оболочки также была исследована зависимость
Но, как уже было сказано выше, более востребо-
коэффициентов ai (i = 0, 1, 2, 3) от числа электронов
ваны на практике не зависимости от Z в изоэлект-
Ne. Результаты этого исследования представлены на
ронных последовательностях, а потенциалы иониза-
рис. 2б и 3б.
ции ионов с разным числом электронов Ne опреде-
На рис. 2б можно выделить три диапазона моно-
ленного элемента с фиксированным Z. Поэтому для
тонного поведения ai(Ne) (i = 0, 1, 2, 3), причем все
209
Г. В. Шпатаковская
ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022
lg eN
с линейной зависимостью (kmax = 1): Ne = 11-12,
e
Ne = 13-14 и Ne = 15-18. На рис. 3б таких диапазо-
54
нов оказывается четыре: Ne = 19-21 с линейной за-
50
висимостью (kmax = 1), Ne = 22-24 с квадратичной
29
Ne =
-1.0
зависимостью (kmax = 2) и Ne = 25-26, Ne = 27-28
53
с линейной зависимостью (kmax = 1). Соответству-
а
48
ющие коэффициенты bik помещены в табл. 2 и 3 в
46
Приложении.
-1.5
36
Вопрос о неоднозначности использованного раз-
биения и степени интерполяционного полинома свя-
40
зан с оптимизацией точности получаемых выраже-
ний и числа констант, которые его обеспечивают.
-2.0
Хотя разбиение на пары с линейной интерполяцией
(в общей сложности 9 диапазонов, 18 констант) и в
36
данном случае позволило бы сохранить неизменны-
ми коэффициенты ai, наше разбиение при сохране-
–2.5
0.85
0.9
0.95
нии точности в пределах процента уменьшает число
s
используемых констант до 15. Этот принцип опти-
ai
мизации сохраняется и ниже в разд. 5.
60
б
Проиллюстрируем точность предложенной ап-
50
проксимации несколькими примерами. Вычислим
40
энергии ионизации INe из оболочки M для некото-
i=1
рых ионов, используя формулы (6), (4) с коэффици-
30
ентами bik из соответствующих частей табл. 2 и 3.
20
Ниже в скобках даны для сравнения соответствую-
10
щие табличные значения из базы [1] с указанием их
неопределенности.
0
i=0
Для энергий ионизации ионов мышьяка (Z = 33)
–10
с Ne = 15-18 приведем результаты аналитических
-20
оценок в сравнении с табличными данными:
i=2
-30
728.62 (728.9 ± 2.2), 679.61 (672.9 ± 0.9),
-40
633.89 (628.8 ± 0.6), 591.24 (587.6 ± 1.9).
29
30
31
32
33
34
35
36
Ne
Для ионов стронция (Z = 38) с Ne = 19-21:
Рис. 4. (В цвете онлайн) Ионизация из s- и p-состояний
776.82 (774 ± 4), 720.49 (722 ± 3), 668.24 (665 ± 3).
N-оболочки. а) Зависимости eNe (σ), вычисленные по фор-
муле (2) для ионов элементов с атомными номерами
Для ионов иода (Z = 53) с Ne = 27-28:
Z = 36, 40, 46, 48, 50, 54 по данным из [1] (символы). Ли-
нии квадратичные интерполяции. Разные цвета и типы
1471.4 (1472 ± 4), 1395.3 (1397 ± 4).
линий соответствуют разным значениям числа электронов
Оценки не выходят за пределы точности табличных
в ионе Ne от 29 до 36. б) Зависимости коэффициентов
данных. Это подтверждается и для других ионов
квадратичной интерполяции ai (разные символы и цвета)
в формуле (3) от числа электронов в ионе для ионизации
рассматриваемого диапазона.
из N-оболочки. Линии линейные интерполяции моно-
тонных фрагментов
5. ЭНЕРГИИ ИОНИЗАЦИИ ИЗ СОСТОЯНИЙ
N -ОБОЛОЧКИ
Результаты подобного анализа для потенциалов
ионизации ионов нескольких элементов из оболочки
σ согласно выражению (3). Оценки по этим аппрок-
N представлены символами на рис. 4a для подоболо-
симациям с точностью до процента согласуются с
чек 4s и 4p, на рис. 5a для d-подоболочки. Линии
табличными значениями и для других элементов в
на рисунках это квадратичные аппроксимации по
рассматриваемом диапазоне зарядов ионов.
210
ЖЭТФ, том
162, вып. 2 (8), 2022
Аналитическая оценка потенциалов ионизации. . .
lg eN
e
ai(Ne) (i = 0, 1, 2): Ne = 29-30, Ne = 31-33 с линей-
а
ной зависимостью (kmax = 1) и Ne = 34-36 с квадра-
тичной (kmax = 2). На рис. 5б также три диапазона:
-1
54
Ne = 37
Ne = 37-41 и Ne = 42-44 с квадратичной зависимо-
стью (kmax = 2) и Ne = 45-46 с линейной зависимо-
стью (kmax = 1). Соответствующие коэффициенты
bik помещены в табл. 3-5 в Приложении.
53
Ниже приводится несколько примеров точнос-
46
ти получаемых описанным образом оценок энергий
-2
50
ионизации INe из оболочки N. Используются фор-
48
мулы (6), (4) с коэффициентами bik из соответству-
ющих частей табл. 3-5.
46
Для энергий ионизации ионов палладия (Z = 46)
с Ne = 29,30:
459.16 (457.5), 429.57 (427± 3).
–3
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
s
Для ионов кадмия (Z = 48) с Ne = 37-41:
a
i
500
217.65 (218.0 ± 2.5), 194.86 (195.0 ± 2.4),
б
172.23 (173.0 ± 2.2), 150.28 (150.0 ± 2.2),
400
129.47 (130.1 ± 2.1).
300
Для ионов олова (Z = 50) с Ne = 42-44:
200
155.93 (156.0 ± 2.2), 134.55 (135.0 ± 2.1),
i=1
112.57(112.9 ± 2.0).
100
Для ионов иода (Z = 53) с Ne = 45-46:
0
i=0
173.40 (171.0 ± 2.2), 153.24 (150.81).
-100
i=2
Эти оценки и сравнение для других ионов показы-
вают практическое совпадение с табличными дан-
–200
ными.
-300
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
Ne
Представленные в базе данных [1] энергии иони-
зации многозарядных положительных ионов рас-
Рис. 5. (В цвете онлайн) Ионизация из d-состояний N-обо-
смотрены для некоторых элементов в диапазоне
лочки. а) Зависимости eNe (σ), вычисленные по форму-
18 ≤ Z ≤ 54 с помощью модифицированного ква-
ле (2) для ионов элементов с атомными номерами Z =
зиклассического метода [15] выделения зависимости
= 40, 46, 48, 50, 53, 54 по данным из [1] (символы). Ли-
от атомного номера Z. Анализ рассмотренных дан-
нии квадратичные интерполяции. Разные цвета линий
ных выявляет автомодельные зависимости энергий
и символов соответствуют разным значениям числа элект-
ионизации от атомного номера Z и числа электро-
ронов в ионе Ne от 37 до 46. Числа рядом с линиями
указывают начало и конец заполнения электронами d-под-
нов Ne во всем этом диапазоне.
оболочки. б) Зависимости коэффициентов квадратичной
Использование обнаруженных закономерностей
интерполяции ai (разные символы и цвета) в формуле (3)
позволяет на основе нескольких небольших таблиц
от числа электронов в ионе для ионизации из N-оболочки.
с хорошей точностью оценивать потенциалы иони-
Линии линейные интерполяции монотонных фрагментов
зации более тысячи ионов. Предложенные аналити-
ческие оценки могут быть полезны, например, при
Применение в данном случае выражения (5) для
расчете состава плазмы в химической модели, при
полиномиальных коэффициентов ai (i = 0, 1, 2) ос-
моделировании современных энергетических проек-
новано на виде кусочно-монотонных зависимостей,
тов лазерного и ионного термоядерного синтеза, в
представленных на рис. 4б и 5б. На рис. 4б мож-
расчетах сечения ионизации ионами нейтральных
но выделить три диапазона монотонного поведения
атомов [20].
211
4
ЖЭТФ, вып. 2 (8)
Г. В. Шпатаковская
ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1. Полиномиальные коэффициенты bik в формуле (6) для Ne = 1-10
Ne
1, 2
3, 4
5, 6
i\k
0
1
0
1
0
1
0
2.219698 · 100 -2.516389 · 10-2
1.681960 · 100
-3.548086 · 10-2
1.714986 · 100
-4.683745 · 10-2
1
-2.137021 · 100
6.685233 · 10-2 -2.242038 · 100
9.035552 · 10-2 -2.330886 · 100
1.221714 · 10-1
2
6.339124·10-1 -5.987269·10-2
6.631457 · 10-1 -7.211843 · 10-2
7.368896 · 10-1 -9.852621 · 10-2
Ne
7, 8
9, 10
i\k
0
1
0
1
0
2.408410 · 100
-1.773920 · 10-1
2.094341 · 100
-1.340246 · 10-1
1
-4.036461 · 100
4.221302 · 10-1
-3.338934 · 100
3.253769 · 10-1
2
1.758030 · 100
-2.697029 · 10-1
1.375225 · 100
-2.164399 · 10-1
Таблица 2. Полиномиальные коэффициенты bik в формуле (6) для Ne = 11-18
Ne
11, 12
13, 14
15-18
i\k
0
1
0
1
0
1
0
6.226699 · 10-1
2.716942 · 10-1 -9.260511 · 10-1
5.701232 · 10-1 -3.565692 · 101
2.714508 · 100
1
1.238404 · 100
-1.006319 · 100
8.525734 · 100
-2.119051 · 100
1.180769 · 102 -8.897742 · 10-1
2
-4.496634 · 100
1.237557 · 100
-1.492080 · 101
2.604040 · 100
-1.300551 · 102
9.742572 · 100
3
2.369403 · 100
-5.256131 · 10-1
7.030483 · 100
-1.078257 · 100
4.749643 · 101 -3.593123 · 100
Таблица 3. Полиномиальные коэффициенты bik в формуле (6) для диапазонов Ne = 19-30
Ne
19-21
22-24
i\k
0
1
0
1
2
0
-6.039691 · 101
3.649011 · 100
2.067309 · 103
-1.871043 · 102
4.279428 · 100
1
2.087465 · 102
-1.253750 · 101
-6.878930 · 103
6.231700 · 102
-1.426867 · 101
2
-2.403794 · 102
1.440452 · 101
7.646937 · 103
-6.933075 · 102
1.589188 · 101
3
9.216474 · 101
-5.568930 · 100
-2.842266 · 103
2.578267 · 102
-5.917017 · 100
Ne
25, 26
27, 28
29, 30
i\k
0
1
0
1
0
1
0
-2.052357 · 102
9.435333 · 100
-5.190515 · 102
2.119500 · 101
4.089713 · 101 -1.683137 · 100
1
7.183185 · 102
-3.296577 · 101
1.791625 · 103
-7.318269 · 101 -9.61996 · 101
4.018158 · 100
2
-8.383867 · 100
3.846336 · 101
-2.061403 · 103
8.428752 · 101
5.632294 · 100 -2.431015 · 100
3
3.264476 · 102
-1.502941 · 101
7.907471 · 102
-3.242548 · 101
0.0
0.0
212
ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022
Аналитическая оценка потенциалов ионизации. . .
Таблица 4. Полиномиальные коэффициенты bik в формуле (6) для диапазонов Ne = 31-36
Ne
31-33
34-36
i\k
0
1
0
1
2
0
2.774201 · 101
-1.192549 · 100
-2.198638 · 103
1.278731 · 102
-1.873475 · 100
1
-6.782808 · 101
2.957758 · 100
5.105813 · 103
-2.970817 · 102
4.357147 · 100
2
4.138968 · 101
-1.871369 · 100
-2.961334 · 103
1.723388 · 102
-2.530984 · 100
Таблица 5. Полиномиальные коэффициенты bik в формуле (6) для диапазона Ne = 37-46
Ne
37-41
42-44
i\k
0
1
2
0
1
2
0
-7.129920 · 102
4.196148 · 101 -6.293558 · 10-1 -1.152739 · 104
5.506973 · 102 -6.607618 · 100
1
1.726244 · 103 -1.015340 · 102
1.524121 · 100
2.778065 · 104 -1.327385 · 103
1.593204 · 101
2
-1.047455 · 103
6.151746 · 101 -9.246349 · 10-1 -1.674060 · 104
7.999854 · 102 -9.605740 · 100
Ne
45, 46
i\k
0
1
0
2.040283 · 103
-4.842836 · 101
1
-4.905320 · 103
1.165572 · 102
2
2.949618 · 103
-7.020622 · 101
ЛИТЕРАТУРА
7. A. Goyal, I. Khatri, S. Aggarwal, A. K. Singh, and
ManMohan, JQSRT 161, 157 (2015).
1. A. Kramida, Yu. Ralchenko, J. Reader, and NIST
8. J. Sapirstein and K. T. Cheng, Phys. Rev. A 83,
ASD Team (2020), NIST Atomic Spectra Data-
012504 (2011).
Febr.
20], National Institute of Standards and
9. S. Kotochigova, Z. H. Levine, E. L. Shirley,
M. D. Stiles, and C. W. Clark, Phys. Rev. A 55, 191
org/10.18434/T4W30F
(1997).
2. O. D. Skoromnik, I. D. Feranchuk, A. U. Leonau, and
10. Atomic Reference Data for Electronic Structure
Calculation, Atomic Total Energies and Eigenvalues.
C. H. Keitel, J. Phys. B 50, 245007 (2017).
URL:
index.cfm
3. K. D. Dzikowski, O. D. Skoromnik, I. D. Feranchuk,
N. S. Oreshkina, and C. H. Keitel, J. Phys. B 54,
11. Г. В. Шпатаковская, ЖЭТФ 158, 430 (2020) [JETP
115002 (2021).
131, 385 (2020)].
4. G. C. Rodrigues, P. Indelicato, J. P. Santos, P. Patte,
12. E. Biémont, Y. Frémat, and P. Quinet, Atomic Data
and F. Parente, At. Data Nucl. Data Tables 86, 117
and Nuclear Data Tables 71, 117 (1999).
(2004).
13. G. Gil and A. Gonzalez, Can. J. Phys. 95, 479 (2017).
5. J. P. Desclaux, Comput. Phys. Comm. 9, 31 (1975).
14. Г. В. Шпатаковская, Письма в ЖЭТФ 114, 798
(2021) [JETP Lett. 114, 737 (2021)].
6. R. D. Deslattes, E. G. Kessler Jr, P. Indelicato,
L. de Billy, E. Lindroth, and J. Anton, Rev. Mod.
15. Г. В. Шпатаковская, УФН 189, 195 (2019) [Phys.
Phys. 75, 35 (2003).
Usp. 62, 186 (2019)].
213
4*
Г. В. Шпатаковская
ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022
16. NIST X-ray Photoelectron Spectroscopy Database;
Energy Fluxes with Matter, ELBRUS
(2021),
[2022, Febr. 20].
ELBRUS2021_book_of_abstracts.pdf
17. Г. В. Шпатаковская, Письма в ЖЭТФ 108, 781
19. Г. В. Шпатаковская, Письма в ЖЭТФ 111, 526
(2018) [JETP Lett. 108, 768 (2018)].
(2020) [JETP Lett. 111, 463 (2020)].
18. G. V. Shpatakovskaya, in Book of Abstracts
20. I. Yu. Tolstikhina, I. I. Tupitsyn, S. N. Andreev, and
XXXVI Internat. Conf. on Interaction of Intense
V. P. Shevelko, ЖЭТФ 146, 5 (2014).
214
