ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 2 (8), стр. 226-239

КВАНТОВОЕ ТЕОРЕТИКО-ПОЛЕВОЕ ОПИСАНИЕ

ОСЦИЛЛЯЦИЙ НЕЙТРИНО В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

И ПРОБЛЕМА СОЛНЕЧНЫХ НЕЙТРИНО

В. О. Егоров, И. П. Волобуев^*

Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына,

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 1 марта 2022 г.,

после переработки 27 марта 2022 г.

Принята к публикации 29 марта 2022 г.

В рамках нового квантового теоретико-полевого подхода описываются процессы осцилляций нейтрино

во внешнем постоянном почти однородном магнитном поле. Подход основан на диаграммной технике

Фейнмана с модифицированным зависящим от расстояния пропагатором, который учитывает геомет-

рию экспериментов по осцилляциям нейтрино. В геометрии экспериментов с солнечными нейтрино, ис-

точником которых является протяженное солнечное ядро, учитывается конечный размер источника и

рассматриваются конкретные примеры, когда нейтрино регистрируются только через взаимодействие с

заряженным током или через взаимодействия как с заряженным, так и с нейтральным токами.

DOI: 10.31857/S0044451022080077

вые состояния¹⁾. Таким образом, требуется построе-

EDN: EGKYBM

ние последовательного квантового теоретико-поле-

вого описания нейтринных осцилляций.

1. ВВЕДЕНИЕ

Для описания нейтринных осцилляций в рам-

ках квантовой теории поля и S-матричного подхо-

В настоящее время процессы рассеяния элемен-

да необходимо каким-то образом учесть конечность

тарных частиц с большой точностью описываются

расстояний и временных интервалов. Первый шаг в

Стандартной моделью в рамках формализма S-мат-

этом направлении был сделан еще в 1982 г. в статье

рицы и техники диаграмм Фейнмана. Этот подход

[6]. В ней использовался стандартный пертурбатив-

предполагает, что процессы рассеяния происходят

ный S-матричный формализм, где массовые состоя-

во всем пространстве-времени, а входящие и вы-

ния нейтрино, распространяющиеся от источника

ходящие частицы описываются плоскими волнами.

к детектору, считались виртуальными частицами,

Это приближение оказывается очень хорошим для

а осцилляции возникали в результате интерферен-

процессов рассеяния. Однако оно не годится для

ции амплитуд, соответствующих разным массовым

описания явлений осцилляций частиц, поскольку

состояниям нейтрино. Предполагалось, что нейтри-

процессы осцилляций происходят на конечных про-

но рождаются и детектируются ядрами, и состоя-

странственных и временных интервалах. По этой

ния ядер описывались дельта-функциями их коор-

причине осцилляции нейтрино обычно описываются

динат, в то время как остальные частицы описыва-

в рамках квантово-механических подходов в терми-

лись плоскими волнами. Эта идея получила даль-

нах либо плоских волн, либо волновых пакетов [1-5].

нейшее развитие в работах [7-12], где для описания

Тем не менее оба этих подхода непоследовательны,

всех взаимодействующих частиц использовались ло-

поскольку они используют так называемые флей-

ворные состояния нейтрино, которые определяют-

¹⁾ Напомним, что согласно принципу суперпозиции состоя-

ся как суперпозиции массовых состояний нейтрино,

ний допустимы только линейные комбинации состояний од-

ной и той же квантовой системы, т. е. комбинации состояний,

но не могут рассматриваться как истинные кванто-

эволюция которых во времени описывается одним и тем же

гамильтонианом. Очевидно, что это не так для массовых со-

^* E-mail: volobuev@theory.sinp.msu.ru

стояний нейтрино.

226

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Квантовое теоретико-полевое описание осцилляций нейтрино...

кализованные волновые пакеты. Однако расчеты в

лагаем теорию осцилляций нейтрино в модифици-

рамках подхода с волновыми пакетами оказываются

рованном подходе. В разд. 3 применяем результаты

очень сложными. Причина в том, что стандартный

к конкретным примерам с солнечными нейтрино, а

формализм матрицы рассеяния плохо приспособлен

именно: к рождению нейтрино в распадах¹⁵O и¹³N

для описания процессов, происходящих на конечных

или электронном захвате⁷Be и регистрации при по-

пространственно-временных интервалах.

мощи Ga-Ge или черенковского детектора.

В работах [13-18] был развит модифицирован-

ный пертурбативный подход к описанию нейтрин-

2. ОСЦИЛЛЯЦИИ НЕЙТРИНО В

ных осцилляций. Он основан на диаграммной техни-

ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

ке Фейнмана в координатном представлении, допол-

ненной модифицированными правилами перехода к

Хотя мы будем рассматривать протяженный ис-

импульсному представлению. Последние отражают

точник, его размер, как и размер детектора, все рав-

геометрию экспериментов по осцилляциям нейтрино

но должен быть намного меньше расстояния между

и приводят к модификации фейнмановского пропа-

источником и детектором. Таким образом, можно

гатора виртуальных массовых состояний нейтрино

использовать одномерное приближение, когда им-

в импульсном представлении. А именно, возникает

пульсы нейтрино направлены вдоль линии, соеди-

зависящий от расстояния пропагатор массовых со-

няющей центры источника и детектора.

стояний нейтрино в импульсном представлении, в

Мы начнем с приближения точечного источника

то время как остальные правила Фейнмана в этом

и детектора, а затем проведем интегрирование по

представлении остаются прежними. Описание в тер-

объему источника, чтобы учесть его размер.

минах плоских волн позволяет избежать громозд-

Мы работаем в рамках минимального расшире-

ких вычислений, но при этом уловить суть явления.

ния Стандартной модели правыми синглетами ней-

Известно, что внешние поля и материя влияют

трино. Лагранжиан слабого взаимодействия лепто-

на осцилляции нейтрино [3]. Вопрос о том, как маг-

нов имеет вид





нитное поле влияет на нейтринные осцилляции, и

(

)

его следствия для проблемы солнечных нейтрино



∑¯l

L^lepint = -

√

iγ^µ

1-γ⁵

U_ikν_kW^-µ+H.c. +

изучались в рамках стандартного квантово-механи-

i,k=1

ческого описания в статьях [19-25]. Однако эта про-

∑

g sin² θ_w

блема никогда не изучалась в рамках квантового

i γ^µliZµ -

cosθ

теоретико-полевого описания осцилляций нейтрино

w i=1

в терминах волновых пакетов, поскольку соответ-

∑

(

)

1-γ⁵

l_iZ_µ +

ствующие вычисления были бы слишком сложными.

iγ^µ

4 cosθ

В настоящей работе мы изучаем осцилляции нейт-

w i=1

рино в постоянном магнитном поле в модифициро-

∑

(

)

νkγ^µ

1-γ⁵

ν_kZ_µ,

(1)

ванном формализме. Мы будем рассматривать ней-

4 cosθ

k=1

трино малых энергий, порядка 1 МэВ и меньше, для

которых влияние вещества на осцилляции считается

где l_i

поле заряженного лептона i-го поколе-

незначительным и им можно пренебречь. Мы ана-

ния, U_ik

матрица Понтекорво-Маки-Накагавы-

лизируем только возможные эффекты, связанные с

Сакаты (ПМНС), ν_k обозначает поле нейтрино с

магнитным полем. Подход позволяет разобраться с

определенной массой m_k, матрица γ⁵ определяется

проблемой солнечных нейтрино и учесть структуру

как γ⁵ = iγ⁰γ¹γ²γ³.

Солнца.

Сначала рассмотрим процесс в вакууме, когда

В дальнейшем предполагается, что нейтрино

нейтрино рождается и регистрируется за счет вза-

рождаются и регистрируются за счет взаимодейст-

имодействия заряженного тока с ядрами. Диаграм-

вия заряженных и нейтральных токов с ядрами и

ма процесса в низшем порядке теории возмущений

электронами в отсутствие поля, но считается, что

представлена в формуле (2). Предполагается, что

распространение частиц происходит в области маг-

точки рождения и детектирования x и y разделе-

нитного поля. Мы рассматриваем случай протяжен-

ны фиксированным макроскопическим расстояни-

ного источника, размер которого все же много мень-

ем L вдоль единичного вектора n, направленного

ше расстояния между источником и детектором. Мы

из центра источника нейтрино в центр нейтринного

будем рассматривать солнечное ядро как источник

детектора. Промежуточное массовое состояние ней-

нейтрино именно таким образом. В разд. 2 мы из-

трино является виртуальной частицей, описываемой

227

ЖЭТФ, вып. 2 (8)

В. О. Егоров, И. П. Волобуев

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

e (q)⁺

e (k)^-

S^ci(p, n, L) =

(

√

)

n_i(p )

p+γ·n p·n-

(p · n)² + p² - m²

+m_i

(2)

√

(p · n)² + p² - m²ⁱ + iε

W⁺

{

(

)

}

√

× exp

-i

p·n-

(p · n)² + p² - m²ⁱ

(4)

где p = γ^µp_µ

пропагатором Фейнмана в координатном представ-

Как было показано в статье [9], виртуальные час-

лении. Закрашенные кружки представляют матрич-

тицы, распространяющиеся на макроскопические

ные элементы слабого заряженного адронного тока.

расстояния, находятся почти на массовой поверхно-

Амплитуда должна быть просуммирована по индек-

сти, и для импульсов p, удовлетворяющих условию



су i = 1, 2, 3 массового состояния нейтрино.

p2 - m²ⁱ

/(p·n)2≪ 1, зависящий от расстояния про-

Амплитуда процесса в координатном представ-

пагатор можно привести к простому виду:

лении может быть построена по правилам Фейн-

{

}

мана, сформулированным, например, в учебнике

p+m_i

p² - m²

S^ci (p, n, L) = i

exp i

(5)

[26]. Для перехода к импульсному представлению

2p · n

необходимо проинтегрировать ее по x и y по про-

Это приближение всегда справедливо для импуль-

странству Минковского. Однако такое прямое ин-

сов нейтрино p, направленных вдоль вектора n,

тегрирование привело бы к потере информации о

p · n = |p|, которые являются единственно необхо-

пространственно-временном интервале между собы-

димыми для вычисления амплитуд.

тиями рождения и детектирования. Таким образом,

Этот зависящий от расстояния пропагатор отли-

для описания процессов, протекающих на конечных

чается от найденного в статье [6] тем, что послед-

пространственных и временных интервалах, необ-

ний представляет собой оператор p + m_i, умножен-

ходимо зафиксировать расстояние между точками

ный на сферическую волну, тогда как в формуле (5)

рождения и регистрации нейтрино. В работе [6] это

этот оператор умножается на экспоненту, аналогич-

было достигнуто путем того, что матричные элемен-

ную той, которая появляется в стандартном плос-

ты адронных токов в координатном представлении

коволновом приближении. Отметим также, что за-

были взяты пропорциональными дельта-функциям

висящий от расстояния пропагатор, очень похожий

δ(x - x₁), δ(y - x₂) с фиксированным x₂ - x₁,

на наш, был найден в работе [27].

x₂ -x₁ = Ln. В нашем подходе мы фиксируем не по-

Использование выражения (5) вместо обычно-

ложения начального и конечного ядер, а расстояние

го фейнмановского пропагатора для построения ам-

L между точками взаимодействия вдоль единичного

плитуды в импульсном представлении позволяет по-

вектора n, направленного от источника к детектору,

следовательно описать осцилляции нейтрино в ваку-

вводя под интеграл дельта-функцию δ(n·(y-x)-L),

уме [14-17]. Чтобы применить этот подход к описа-

что позволяет обобщить стандартный пертурбатив-

нию осцилляции нейтрино в магнитном поле, нам

ный формализм для случая процессов, проходящих

нужно сначала найти соответствующий пропагатор

на конечных расстояниях.

нейтрино в поле. Для этого рассмотрим уравнение

Введение дельта-функции формально эквива-

движения массового состояния нейтрино во внеш-

лентно замене стандартного фейнмановского пропа-

нем электромагнитном поле:

гатора S^ci(y - x) массового состояния нейтрино ν_i в

(

)

координатном представлении на

iγ^µ∂_µ - m_i -

µ₀m_iF_µν

σ^µν ν_i (x) = 0 ,

(6)

S^ci(y - x)δ(n · (y - x) - L).

где магнитный момент i-го массового состояния ней-

Фурье-образ этого выражения мы называем завися-

трино, пропорциональный его массе, равен µ_i

щим от расстояния пропагатором массового состоя-

= µ₀m_i, и σ^µν = (i/2)[γ^µ, γ^ν], и мы пренебрегли пе-

ния нейтрино ν_i в импульсном представлении [13]:

реходными магнитными моментами, которые пред-

∫

полагаются много меньшими, чем дипольные маг-

S^ci (p, n, L) ≡ d⁴z e^ipz S^ci (z)δ (n · z - L).

(3)

нитные моменты µ_i. В Стандартной модели пара-

∕

√

метр µ₀ = 3eG_F

2π². Таким образом, магнит-

Интеграл можно вычислить точно методом контур-

ные моменты нейтрино оказываются по крайней ме-

ного интегрирования:

ре на 10 порядков меньше, чем магнетон Бора для

228

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Квантовое теоретико-полевое описание осцилляций нейтрино...

экспериментально разрешенных масс нейтрино, но

сового состояния нейтрино в однородном магнитном

они могут быть значительно больше в расширениях

поле в импульсном представлении:

Стандартной модели.

В однородном электромагнитном поле функция

S^ci (p, L, H) =

{

}

Грина уравнения (6) в импульсном представлении

p(1-ij · γ)

p²-m²

+2µ₀m_i |p| H_⊥

exp i

имеет вид

4 |p|

2 |p|

{

}

p (1+ij · γ)

p²-m²-2µ0mi |p| H⊥

{(

)(

)

exp i

(9)

S^ci (p) = i p² - m²ⁱ

p² - m²ⁱ + iε

4 |p|

2 |p|

[(

)

]

−µ²⁰m²ⁱ

p²+m²ⁱ

F_µνF^µν-4F_µνp^νF^µσp_σ

Здесь H_⊥ = |H_⊥|, мы полагаем m²ⁱH² ≪ p²H^2⊥, и

[

(

)₂]}-1

µ⁴⁰m⁴ⁱ (F_µνF^µν)² + F_µνF˜^µν

n×h

j≡

√

h≡

j² = 1.

(10)

|H|

1 - (n · h)²

{(

)

× p²-m²ⁱ

(p+m_i) -

µ²⁰m²ⁱF_µνF^µν (p-m_i) -

Формулы (5) и (9) означают, что в магнитном по-

- 2µ²⁰m²ⁱF_µνF^νσp_σγ^µ + 2µ₀m²ⁱ

F_µνp^νγ^µγ⁵ +

ле каждое массовое состояние нейтрино расщепля-

(

)

ется на два состояния, соответствующие двум воз-

+µ₀m_i

p² + m²ⁱ

F_µν -

µ²⁰m²ⁱF^ρσ ×

можным ориентациям спина и энергиям. Числители

]

(

)

в экспонентах, p² - m²ⁱ ∓ 2µ₀m_i |p| H_⊥, определяют

× F_ρσF_µν +

F_ρσFµν

- 2F_µρp^ρpν σµν -

сход виртуальных нейтрино с массовой поверхности,

}

что согласуется с дисперсионным соотношением (8)

µ²⁰m³ⁱF_µνF˜^µνγ⁵

(7)

в нашем приближении.

Мы видим, что зависящий от расстояния про-

пагатор по существу зависит только от поперечной

где

Fµν = -(1/2)εµνρσFρσ, а стандартный полно-

составляющей магнитного поля. В дальнейшем мы

стью антисимметричный тензор определяется фор-

пренебрегаем продольной составляющей поля, счи-

мулой ε⁰¹²³ = -1.

таем магнитное поле поперечным и обозначаем H =

Для однородного магнитного поля H имеем

= |H|. Хотя пропагатор (9) был выведен для слу-

F_µν = ε_µνk0H^k, k = 1, 2, 3. Тогда знаменатель функ-

чая постоянного однородного магнитного поля, его

ции Грина (7) дает следующее дисперсионное соот-

можно использовать и для поперечного магнитного

ношение для нейтрино:

поля, величина которого меняется на пути нейтрино

(

)₂

адиабатически, т. е. если выполняется условие

p⁰

=p² +m²ⁱ +µ²⁰m²ⁱH²±

√

|p|

± 2µ₀m_i p²H^2⊥ + m²ⁱH² ,

(8)

|µ₀m_max(n · ∇)H| ≪

(11)

где H_⊥ обозначает компоненту магнитного поля H,

где d характерный размер области поля, m_max

поперечную по отношению к направлению распро-

наибольшая из масс нейтрино. Это условие уточняет

странения нейтрино n = p/|p|. Это дисперсионное

условие адиабатичности для магнитного поля, най-

соотношение совпадает с таковым для нейтрона в

денное ранее в работе [22]. В отличие от условия

магнитном поле, которое было впервые получено в

в этой статье, формула (11) учитывает магнитные

работе [28] и недавно воспроизведено для нейтрино

моменты нейтрино, размер области поля и гаранти-

в рамках стандартного подхода в работе [24].

рует, что член (p² - m²ⁱ)/2 |p| в экспоненте можно

Как мы уже отмечали, магнитный момент ней-

считать постоянным вдоль пути нейтрино. Однако

трино чрезвычайно мал, так что справедливо соот-

поле H_⊥ в формуле (9) следует заменить на среднее

ношение µ²⁰m²ⁱH² ≪ p². Мы пренебрегаем членами

поле

∫

порядка 2 и выше по µ₀ в (7) и переходим в коорди-

натное представление. Затем, подставляя функцию

H =

H (l) dl,

(12)

Грина в координатном представлении в определение

(3) зависящего от расстояния пропагатора, считая

так учитывается изменение магнитного поля вдоль

импульс нейтрино параллельным n, а также прене-

пути нейтрино.

брегая массами нейтрино всюду, кроме экспоненты,

Используя зависящий от расстояния пропага-

получаем зависящий от расстояния пропагатор мас-

тор (9), в приближении взаимодействия Ферми мы

229

В. О. Егоров, И. П. Волобуев

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

можем записать амплитуду процесса, отвечающего

Здесь

диаграмме (2), в импульсном представлении следу-

[

ющим образом:

|M_P|2

= 4G²

- g^µν (qp_n) + q^µp^νn + p^µnq^ν -

]

(

)

G^2F

(

)

- iε^µνρσ

q_ρ (p_n)_σ W^(1)µν

(16)

M = -i

j^(2)ρ

P⁽²⁾, P(2′)

u (k) γ^ρ

1-γ⁵

pn ×

8 |p_n|

[

квадрат модуля амплитуды процесса рождения;

∑

|U_1i|2

(1 - ij · γ) ×

[

i=1

|M_D|2

= 4G²

- g^µν (p_nk) + p^µnk^ν +

{

}

p²ⁿ - m²ⁱ + 2 |p_n| µ₀m_iH

]

× exp i

2 |p_n|

+ k^µp^νn - iε^µνρσ

(p_n)_ρ k_σ W^(2)µν

(17)

{

}]

p²ⁿ-m²ⁱ-2 |p_n| µ₀m_iH

+ (1+ij · γ) exp i

квадрат модуля амплитуды процесса детектиро-

2 |p_n|

(

)

вания;

(

)

×γ^µ

1-γ⁵

v (q)j^(1)µ

P⁽¹⁾, P(1′)

(13)

(

)

W^(l)µν = W^(l,S)µν + iW^(l,A)µν = j^(l)

j^(l)ν

⁺ ,

Здесь мы для краткости опускаем индексы поля-

(18)

ризации фермионов, а массы нейтрино не учитыва-

l = 1,2,

ем нигде, кроме показателя экспоненты. 4-импульсы

ядерные тензоры, характеризующие взаимодейст-

частиц обозначаются так, как показано на диаграм-

ме (2): q, p_n и k

4-импульсы соответственно по-

вие ядер 1, 1^′ и 2, 2^′ с лептонами, их симметрич-

зитрона, промежуточного виртуального нейтрино и

ные части

µν вещественные, а антисимметрич-

электрона. Матричные элементы слабого адронно-

ные i

µν

мнимые;

го тока, соответствующие закрашенным кружкам,

равны

(

)

∑

P_ee

|p_n| , L, H

=1-

|U_1i|² |U_1k|² ×

(

)

i,k=1

j^(1)µ

P⁽¹⁾, P(1′)

k<i

(

)



(

{

) ]



[(Δm^2ik

µ₀Δm_ikH

X P(1′)

j^(h)µ

A1 X P⁽¹⁾

Z1-1

× sin²

L +

(

)

(14)

4 |p_n|

)

]

j(2)ρ

P⁽²⁾, P(2′)

[(Δm^2ik

µ₀Σm_ikH

(

)



(

+ sin²



4 |p_n|

X P(2′)

j^(h)ρ

A2 X P⁽²⁾

Z2+1

) ]

[(Δm^2ik

µ₀Σm_ikH

(

)

(

)

(

)

+ sin²

L +

4 |p_n|

где импульсы ядер 1

X , 1^′

X , 2

A² X ,

-1

(

)

) ]}

[(Δm^2ik

µ₀Δm_ikH

2^′

X обозначены как P^(l), l = 1, 1^′, 2, 2^′.

+ sin²

4 |p_n|

В приближении нулевых масс нейтрино всюду,

∑

(

)

кроме экспоненты, квадрат модуля амплитуды (13),

|U_1i|⁴ sin²

µ₀m_iHL

(19)

усредненный по поляризациям начальных ядер и

i=1

просуммированный по поляризациям конечных час-

тиц и ядер (операция усреднения и суммирования

вероятность осцилляций нейтрино, зависящая от

обозначается угловыми скобками), факторизуется.

модуля |p_n| импульса нейтрино, L

расстояние

При этом мы также пренебрегаем членами, пропор-

между источником и детектором, H среднее зна-

циональными p²ⁿ, которые в силу теоремы Гриму-

чение поперечного магнитного поля; мы также вво-

са - Штокингера [9] имеют порядок квадрата масс

дим обозначения, аналогичные обычным:

нейтрино. При квадрировании амплитуды (13) чле-

Δm^2ik ≡ m²ⁱ - m^2k, Δm_ik ≡ m_i - m_k,

ны, содержащие вектор j, взаимно уничтожаются, и

(20)

мы получаем следующий результат:

Σm_ik ≡ m_i + m_k.

D E D

В случае двух ароматов нейтрино формула (19)

|M|²

= |M_P|2

|M_D|2

согласуется с формулами, полученными в работах

(

)

[24,25] для однородного магнитного поля, хотя и вы-

P_ee

|p_n| , L, H

(15)

4p²ⁿ

глядит иначе.

230

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Квантовое теоретико-полевое описание осцилляций нейтрино...

Заметим, что в рассматриваемом процессе сохра-

В (21) нижний предел интегрирования |p|_min

няются энергия и импульс, так как нейтрино рожда-

определяется порогом процесса регистрации, а верх-

ются и детектируются в отсутствие магнитного по-

ний |p|_max законом сохранения энергии-импульса

ля, и поле поперечно траектории нейтрино. Для на-

в вершине рождения. В дальнейшем начальные яд-

хождения вероятности процесса мы должны следо-

ра 1 и 2 будем считать покоящимися и положим их

вать рецепту, сформулированному в работах [14-16],

импульсы P⁽¹⁾, P⁽²⁾ равными нулю. Тогда пределы

и перед интегрированием по фазовому объему ко-

интегрирования даются выражениями [29]

нечных частиц умножить выражение (15) не только

(M₂′ + m_e)² - M²²

|p|_min =

на дельта-функцию сохранения энергии-импульса,

2M₂

но и на дельта-функцию, которая будет гаранти-

(22)

M²¹ - (M₁′ + m_e)²

ровать, что импульс p_n промежуточных нейтрино

|p|_max =

2M₁

направлен вдоль вектора n. Естественно выбрать

p²ⁿ = 0, т.е. вычислить вероятность в том же прибли-

где M_l, l = 1, 1^′, 2, 2^′,

массы ядер, а m_e масса

жении безмассовых нейтрино, в каком мы вычисли-

электрона.

ли квадрат модуля амплитуды. Конкретное значе-

Приведенный выше результат относится к слу-

ние p_n, удовлетворяющее этому условию, обозначим

чаю точечных источника и детектора, что означает,

через p, где p направлен от источника к детектору,

что их размеры пренебрежимо малы по сравнению

а p² = 0.

с расстоянием между ними, а также по сравнению с

Таким образом, мы умножаем квадрат моду-

длинами осцилляций и когерентности. Кроме того,

ля амплитуды на дельта-функцию сохранения энер-

предполагалось наличие магнитного поля на всем

гии-импульса

пути нейтрино. Наш следующий шаг рассмотреть

Солнце как источник, принимая во внимание его

(

)

(2π)⁴ δ

P⁽¹⁾ + P⁽²⁾ - P(1′) - q - P(2′) - k

структуру. На самом деле нейтрино рождаются в

солнечном ядре как протяженной области, и счита-

и на дельта-функцию

ется, что магнитное поле присутствует в основном

(

)

внутри конвективной зоны Солнца [30], хотя гораздо

2π δ P⁽¹⁾ - P(1′) - q - p ,

более сильные магнитные поля могут существовать

в зоне лучистого переноса [31].

а также подставляем p вместо p_n везде в

(15)

Мы исходим из следующих предположений. Яд-

[14]. Поступая таким образом, мы фиксируем им-

ро Солнца имеет радиус R_core = 173 000 км, кон-

пульс промежуточных нейтрино, направление кото-

вективная зона занимает оболочку от R_conv

рого определяется взаимным расположением источ-

= 496 000 км почти до поверхности Солнца, R_Sun =

ника и детектора, и после интегрирования по фа-

= 696 000 км, так что толщина конвективной зо-

зовому объему находим дифференциальную вероят-

ны равна L_conv ≡ R_Sun - R_conv = 200 000 км. Ра-

∕

ность d³W

d³p процесса с определенным импульсом

диус солнечного ядра R_core составляет всего около

нейтрино. Поскольку экспериментальная ситуация

0.12 % от расстояния между Солнцем и Землей даже

определяет только направление импульса нейтрино,

в перигелии, 147 млн км, поэтому можно пренебречь

но не его абсолютную величину, мы должны также

разницей углов, под которыми нейтрино, которые

∕

проинтегрировать d³W

d³p по |p| по всем допусти-

будут зарегистрированы, испускаются из разных то-

мым значениям. Выполняя эту процедуру расчета,

чек источника. Одномерное приближение, необходи-

приходим к вероятности процесса с точечными ис-

мое при выводе зависящего от расстояния пропага-

точником и детектором:

тора (9), остается в силе.

В этом приближении можно найти максималь-

∫

ную относительную разность пробега через конвек-

d³W_P

(

)

W_DP_ee

|p| , L, H

|p|² d|p|.

(21)

тивную зону для нейтрино, вылетевшего из центра

dΩ

d³p

солнечного ядра и из его границы в направлении

|p|_min

Земли:

√

Здесь d³W_P /d³p дифференциальная вероятность

R^2Sun - R^2core -

R^2conv - R^2core

Δ_L =

-1=

распада ядра 1 на ядро 1^′, позитрон и безмассовый

R_Sun - R_conv

фермион с импульсом p, W_D вероятность процес-

= 0.047,

(23)

са рассеяния безмассового фермиона с импульсом p

и ядра 2 с образованием ядра 2^′ и электрона.

т. е. менее 5 %.

231

В. О. Егоров, И. П. Волобуев

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Предположим для простоты, что магнитное по-

(отрицательное значение r соответствует сдвигу в

ле, удовлетворяющее соотношению адиабатичности

противоположном направлении относительно n). В

(11), занимает только конвективную зону, каса-

свою очередь, сечения разбиваются на окружности,

тельно к любой сферической оболочке и аксиаль-

на которых плотность вещества ядра Солнца оди-

но-симметрично относительно оси вращения Солн-

накова, и x радиус такой окружности в текущем

√

ца. Предполагается, что силовые линии магнитно-

сечении, 0 ≤ x ≤

R^2core - r². Нормировка выбрана

го поля лежат в плоскостях, перпендикулярных оси

таким образом, чтобы вероятность в точке L = 0 в

вращения Солнца. Нейтрино, которые проходят бо-

пределе равнялась единице для источника нулево-

лее длинный путь сквозь конвективную зону, под-

го размера. Расстояние между центрами Солнца и

вержены влиянию более слабого поперечного поля

детектора обозначается через L. Наконец, получаем

H_⊥. Ослабление поперечного поля для граничных

вероятность осцилляций нейтрино от протяженного

нейтрино по сравнению с центральными определя-

солнечного ядра в виде

ется отличием косинуса угла проекции от единицы

и может достигать

√

W (L) =

(R_core)

Δ_H = 1 -

= 0.063,

(24)

√

R_conv

∫

R^2core-r²∫

(√

)

т. е. чуть больше 6 %.

dx 2πx ρ

r² + x²

Два эффекта, поправки из-за которых даются

−Rcore

выражениями (23) и (24), работают друг против

∫

друга: нейтрино с более длинным пробегом в маг-

(

)

нитном поле, как правило, испытывают влияние

d|p| |p|² d³W^P

W_D W_ee

|p| , L, r, H

(25)

d³p

более слабого поперечного поля. Таким образом,

|p|_min

осцилляционные фазы, набранные нейтрино, испу-

щенными из разных точек источника, при движении

через поле одинаковы в пределах погрешности Δ_L =

Здесь нормировочная постоянная есть

= 4.7 % как максимум. В принципе, эти геометриче-

ские эффекты можно учесть точно, однако это сде-

лало бы приведенные ниже выражения гораздо бо-

лее громоздкими. Это имеет смысл для конкретно-

∫

(

)

го эксперимента, но здесь мы пренебрегаем данной

N =M_core

d|p| |p|² d³W^P

W_DP_ee

|p| , 0, H

ошибкой среди других неточностей и предполагаем,

d³p

|p|_min

что нейтрино, испускаемые из всех точек солнечно-

го ядра, ¾чувствуют¿ одно и то же среднее поле H

∫

на пути одной и той же длины L_conv.

=M_core

d|p| |p|² d³W^P

W_D,

(26)

Скорость реакции рождения в данной точке

d³p

|p|_min

солнечного ядра предполагается пропорциональной

плотности вещества в этой точке, ρ (R), где R рас-

стояние от центра Солнца.

масса солнечного ядра

Для того чтобы получить нормированную веро-

ятность регистрации электрона в процессе, в кото-

ром источником нейтрино является солнечное ядро,

∫

необходимо усреднить вероятность (21) по объему

M_core =

ρ (R) dV = 4πρ_cR^3M ,

(27)

солнечного ядра с учетом распределения плотности

core

и различной длины пути для нейтрино, испускае-

мых из разных точек источника. Делая это, разо-

бьем ядро на сечения, для каждого из которых рас-

стояние между точкой рождения и точкой детекти-

и мы учитываем тот факт, что ¾магнитная¿ фаза

рования нейтрино будет одинаковым. Эти сечения

набирается только внутри конвективной зоны, где

ортогональны n, их положение определяется сдви-

присутствует внешнее поле, вследствие следующей

гом r вдоль n от центра ядра, -R_core ≤ r ≤ R_core

модификации вероятности (19):

232

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Квантовое теоретико-полевое описание осцилляций нейтрино...

(

)

∑

массы ядра. Тогда, пренебрегая движением ядер, в

W_ee

|p| , L, r, H

=1-

|U_1i|² |U_1k|² ×

нерелятивистском случае необходимо усреднить вы-

i,k=1

k<i

ражение (31) по импульсу начального электрона с

{

]

распределением Максвелла - Больцмана. Далее тре-

[ Δm^2ik

µ₀Δm_ikH

× sin²

(L - r) -

L_magn

буется усреднить результат по объему ядра Солнца

4 |p|

]

аналогично предыдущему случаю, но с учетом рас-

[ Δm^2ik

µ₀Σm_ikH

+ sin²

(L - r) -

L_magn

пределения температуры T (R). Это дает

4 |p|

]

[ Δm^2ik

µ₀Σm_ikH

W (L) =

+ sin²

(L - r) +

L_magn

M_core

4 |p|

√

]}

[ Δm^2ik

µ₀Δm_ikH

∫

R^2core-r²∫

(√

)

+ sin²

(L - r) +

L_magn

4 |p|

dx 2πx ρ

r² + x²

∑

−Rcore

(

)

|U_1i|⁴ sin²

µ₀m_iHL_magn

(28)

∫

∞

(

(√

))

i=1

(√

)

d|q| f

|q| , T

r² + x²

r² + x

где



dW_P

(

)



0, L < R_conv,

W_D W_ee

|p| , L, r, H

(32)

dΩ

L_magn =

L-R_conv, R_conv ≤L<R_Sun,

(29)



где f (|q| , T )

распределение Максвелла - Больц-

L_conv, L ≥ R_Sun.

мана по модулю |q| импульса начального электрона,

характеризуемое температурой T , а

Само собой разумеется, что формула (25) имеет

∞

∫

смысл только при L > R_core.

dW_P

N (R) = d|q| f (|q| , T (R))

W_D .

(33)

В случае, если нейтрино образуются в результате

dΩ

реакции электронного захвата,

Таким же образом можно рассмотреть процесс

(30)

e^- +A1Z1X→Z1-1^X+νi^,

осцилляций нейтрино, когда нейтрино детектируют-

ся через взаимодействие как с заряженным, так и с

дифференциальная вероятность распада d³W_P /d³p

нейтральным токами, как это показано на следую-

в (21) должна быть заменена дифференциальной ве-

щих диаграммах:

роятностью реакции (30). Это единственное измене-

ние в формуле (21), однако реакция (30) имеет двух-

частичное конечное состояние, следовательно, диф-

ференциальная вероятность рождения d³W_P /d³p в

этом случае сингулярна. Таким образом, интегриро-

вание в (21) дает

dW_P

(

)

W_D P_ee

|p| , L, H

(31)

dΩ

Здесь модуль импульса нейтрино |p| не перемен-

ная, а величина, определяемая законом сохранения

энергии-импульса, и dW_P /dΩ дифференциальная

e (q)⁺

e (k)^-

вероятность рождения безмассового фермиона с им-

(p )

пульсом, направленным от источника к детектору.

(35)

Если импульсы начальных частиц в реакции (30)

W⁺

фиксированы, то в ней рождаются моноэнергетиче-

ские нейтрино. Однако в этом случае мы должны

n_i(k )₂

e (k )^-1

учитывать разброс импульсов начальных частиц. В

солнечном ядре электроны и атомные ядра находят-

ся в плазме, поэтому именно электроны вносят ос-

новной вклад в разброс энергии нейтрино, так как

Обозначения для импульсов частиц те же, что и на

масса электрона как минимум на 3 порядка меньше

диаграмме (2), но мы также вводим дополнительные

233

В. О. Егоров, И. П. Волобуев

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

(

)

G^2F m_e

обозначения k₁ и k₂ для 4-импульсов налетающего

W_D

L, H

электрона и улетающего нейтрино ν_i соответствен-

2π

но.

{[(

)

1-4 sin² θ_w+8 sin⁴ θ_w

ΔT -

В приближении взаимодействия Ферми амплиту-

да в импульсном представлении, соответствующая

)

]

(sin² θ_w

m_e

4 sin⁴ θ_w

диаграмме (34), имеет вид

− 4sin²

θ_w

ΔT²+

ΔT³

T_max

4p²

p²

M^nci =

∑

(

)

(

)

|U_1i|² cos²

µ₀m_iHL

G^2F

(

)

U^∗1i j^(1)µ

P⁽¹⁾, P(1′)

νi (k2)

1+γ⁵

γ^ρ p_n ×

i=1

8 |p_n|

[

]

}

[

{

}

m_e

(

)

p²ⁿ - m²ⁱ + 2 |p_n| µ₀m_iH

+ 8sin²

θ_w ΔT-

ΔT²

P_ee

|p| , L, H

(39)

× (1 - ij · γ) exp i

4p²

2 |p_n|

{

}]

p²ⁿ - m²ⁱ - 2 |p_n| µ₀m_iH

Здесь

+ (1 + ij · γ)exp i

2 |p_n|

ΔT ≡ T_max - T_min , ΔT² ≡ T^2max - T^2min ,

(

)

(40)

×γ^µ

1-γ⁵

v (q) ×

ΔT³ ≡ T^3max - T^3min,

[(

)

(

)

+ sin²

θ_w

u (k) γ_ρ

1-γ⁵

u (k₁) +

T_max максимальная кинетическая энергия конеч-

]

ного электрона в процессе детектирования, опреде-

(

)

+ sin² θ_w u(k)γ_ρ

1+γ⁵

u (k₁)

(36)

ляемая законом сохранения 4-импульса,

2p²

T_max =

(41)

Амплитуда, соответствующая диаграмме (35), про-

2 |p| + m_e

суммированная по индексу k, равна

T_min

минимальная кинетическая энергия этого

(

)

G^2F

электрона, доступная для регистрации данным де-

M^cci = -i

U^∗1i j^(1)µ

P⁽¹⁾, P(1′)

8 |p_n|

тектором. Нижний предел |p|_min интегрирования в

(38) связан с T_min соотношением, аналогичным (41),

(

)

∑

× u(k)

1+γ⁵

γ^ρ p_n

|U_1k|² ×

что дает

k=1

√

)

[

{

}

|p|_min =

T_min +

T_min (T_min + 2m_e)

(42)

p²ⁿ-m^2k+2 |p_n| µ₀m_kH

× (1-ij · γ) exp i

2 |p_n|

Учет размера источника, которым предполага-

{

}]

p²ⁿ-m^2k-2 |p_n| µ₀m_kH

ется солнечное ядро, выполняется описанным выше

+ (1+ij · γ)exp i

2 |p_n|

образом, что дает аналогичное (25) выражение, а

(

)

(

)

×γ^µ

1-γ⁵

υ (q) ν_i (k₂)γ_ρ

1-γ⁵

u (k₁) .

(37)

именно

√

Вероятность процесса необходимо просуммировать

∫

R^2core-r²∫

(√

)

по индексу i.

W (L) =

dx 2πx ρ

r² + x²

Дифференциальная вероятность этого процесса

−Rcore

может быть рассчитана по тем же правилам, кото-

∫

рые сформулированы выше, и для случая точечного

(

)

d|p| |p|² d³W^P

Ŵ_D

L, r, H

(43)

источника имеет вид [18]

d³p

|p|_min

∫

d³W_P

(

)

с нормировочной константой

W_D

L, H

|p|² d|p|,

(38)

dΩ

d³p

|p|_min

∫

(

)

N =M_core

d|p| |p|² d³W^P

W_D

0, H

(44)

d³p

где дифференциальная вероятность d³W_P /d³p рож-

|p|_min

дения нейтрино та же самая, что и в формуле (21),

полученной для того же процесса рождения и реги-

где модифицированная вероятность детектирования

(

)

(

)

страции через взаимодействие с заряженным током,

Ŵ_D

L, r, H

получается из W_D

L, H

, определен-

а вероятность детектирования определяется выра-

ной в (39), заменой L → L_magn в первом члене и

(

)

(

)

жением

P_ee

|p| , L, H

→W_ee

|p| , L, r, H

во втором.

234

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Квантовое теоретико-полевое описание осцилляций нейтрино...

√

Если процессом рождения является реакция

W_D = C_D

(|p| - |p|_min) (|p| - |p|_min + 2m_e) ×

электронного захвата

(30), то можно получить

× (|p| - |p|_min + m_e) ,

(50)

вероятность процесса осцилляций нейтрино, усред-

ненную по разбросу импульса начального электрона

где C_P,D некоторые константы, а |p|_max,min опре-

и объему солнечного ядра, в виде

деляются выражениями (22). Для выбранных про-

цессов рождения и регистрации имеем

∫

W (L) =

dr ×

M_core

|p|^Ga-Gemin = 232 кэВ,

|p|^Omax = 1732 кэВ,

-Rcore

(51)

√

|p|^Nmax = 1199 кэВ.

R^2core-r²∫

(√

)

dx 2πx ρ

r²+x²

(√

)×

Мы будем использовать следующие значения уг-

r²+x²

лов смешивания [33]:

∫∞

(

(√

))

× d|q| f

|q| , T

r² + x²

sin² θ₁₂ = 0.307, sin² θ₂₃ = 0.545,

(52)

sin² θ₁₃ = 2.18 · 10^-2.

dW_P

(

)

Ŵ_D

L, r, H

(45)

dΩ

Магнитные моменты нейтрино предполагаются про-

где

порциональными их массам, µ_i = µ₀m_i. Рассматри-

вая нормальное упорядочение масс нейтрино, с уче-

∫∞

(

)

dW_P

том экспериментальных ограничений [33]

N (R) = d|q| f (|q| , T (R))

W_D

0, H

(46)

dΩ

Δm²²¹ = 7.53 · 10^-5 эВ²,

(53)

Δm²³² = 2.45 · 10^-3 эВ

3. КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ

и космологического предела [34, 35]

Рассмотрим несколько примеров. Сначала пред-

положим, что нейтрино рождаются в реакциях

m₁ + m₂ + m₃ < 0.120 эВ

(54)

CNO-цикла, распадах¹⁵O и¹³N,

будем исследовать набор масс

¹⁵O →¹⁵N + e⁺ + ν_i ,

¹³N →¹³C + e⁺ + ν_i ,

(47)

m₁ = 0.0114 эВ, m₂ = 0.0143 эВ,

и регистрируются галлий-германиевым детектором,

(55)

m₃ = 0.0515 эВ.

ν_i +⁷¹ Ga →⁷¹ Ge + e^-.

(48)

Эксперименты Borexino [36] и GEMMA [37] уста-

В ядерной физике реакции (47), (48) называются

навливают ограничение сверху на магнитный мо-

разрешенными переходами [32]. Для таких реакций

мент нейтрино величиной около 2.8 · 10^-11 µ_B

можно пренебречь положением и импульсом нук-

= 8.3·10^-18 эВ^-1, где µ_B = eℏ/2m_ec магнетон Бо-

лона и предполагать, что он взаимодействует так,

ра. Примем магнитный момент легчайшего нейтри-

как если бы он находился в покое. Таким образом,

но равным µ₁ = 3.5 · 10^-19 эВ^-1, что примерно в 25

зависимостью ядерных формфакторов от передан-

раз меньше экспериментального предела. Это зна-

ного импульса можно пренебречь [32]. Пренебрегая

чение также определяет магнитные моменты двух

также возможным вкладом возбужденных состоя-

других нейтрино.

ний конечных ядер, мы можем аппроксимировать

Среднее поле H в конвективной зоне принима-

дифференциальную вероятность рождения нейтри-

ется равным 10⁴ Гс, как это было оценено в работе

но выражением

[22]. Эта оценка близка к оценкам в более поздней

√

d³W_P

статье [30]. Для выполнения условия адиабатичнос-

=C_P

(|p|_max - |p|) (|p|_max - |p| + 2m_e) ×

d³p

ти (11) при выбранном значении магнитного момен-

та нейтрино градиент магнитного поля должен быть

× (|p|_max - |p| + m_e)

(49)

много меньше 10¹⁹ Гс/км, что, очевидно, выполняет-

и вероятность детектирования нейтрино выражени-

ся. Ниже мы приводим расчеты для этого значения

ем

среднего поля и значений вокруг него.

235

В. О. Егоров, И. П. Волобуев

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

0.58

0.6

Н=0

0.55

0.57

0.5

Гс

0.56

0.4

0.55

0.3

0.54

0.53

0.2

0.52

0.1

0.51

0.50

0.5

1.0

1.5

2.0

-12

m H₀, ´ 10

L, 10

км

Рис. 1. Нормированная вероятность (25) процесса осцил-

Рис. 2. Асимптотическое значение Wasym, даваемое фор-

ляций нейтрино в магнитном поле в условиях Солнца; рож-

мулой (57), как функция µ0H

дение в распаде¹⁵O или¹³N, регистрация Ga-Ge-детек-

тором

∑

W_asym =

|U_1i|⁴ -

i=1

Распределение плотности в солнечном ядре в за-

∑

(

)

висимости от радиуса R может быть аппроксимиро-

|U_1i|⁴ sin²

µ₀m_iHL_conv

(57)

вано экспоненциальной функцией: [31]

i=1

что дает значение 0.513 в рамках наших предпо-

ρ (R) = ρ_c e^-R/RM ,

(56)

ложений. Поскольку толщина конвективной зоны

L_conv практически фиксирована, в то время как

значения µ₀ и H могут изменяться в зависимости

где ρ_c = 150 г/см³ плотность в центре Солнца, а

от модели, полезно построить график асимптотиче-

параметр R_M = 9.754 · 10⁴ км [38].

ского значения W_asym нейтринных осцилляций как

Выполняя численное интегрирование в (25) в

функции произведения µ₀H. Этот график показан

рамках описанных приближений и допущений, мы

на рис. 2, где штриховая линия изображает нижний

приходим к результату, представленному на рис. 1.

предел, даваемый экспериментами GALLEX + GNO

Крайняя левая точка соответствует границе ядра,

(согласно их измерениям, соответствующая величи-

L = R_core. Как было показано в статье [17], на этом

на составляет 0.58±0.07, в то время как эксперимент

расстоянии зависящие от энергии колебания исчеза-

SAGE дает близкий результат 0.59 ± 0.07 [38]). Мы

ют, и графики одинаковы для источников с ядрами

видим, что существует много значений произведе-

¹⁵O и¹³N. На графике виден переход от горизон-

ния µ₀H, совместных с экспериментальными огра-

тальной линии

ничениями.

Рассмотрим теперь образование нейтрино при

∑

захвате электрона ядром бериллия,

|U_1i|⁴ = 0.550,

i=1

e^- +⁷Be →⁷Li + ν_i ,

(58)

которая является асимптотой осцилляций в отсут-

с регистрацией тем же Ga-Ge-детектором (реак-

ствие поля [17], через осцилляции в конвективной

ция (48)). Реакция (58) также является разрешен-

зоне к другой горизонтальной асимптоте, значение

ным переходом, поэтому мы пренебрегаем ядерны-

которой определяется суммарной фазой, накоплен-

ми формфакторами. В нерелятивистском прибли-

ной нейтрино на пути в поле. Эта асимптота задает-

жении, пренебрегая возбужденными состояниями

ся выражением (28) (или (19)) с усредненными за-

⁷Li, переходя от интегрирования по модулю импуль-

висящими от энергии осцилляциями и для обсужда-

са начального электрона |q| к интегрированию по

емой модели имеет вид

модулю импульса промежуточного нейтрино |p|, ве-

236

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Квантовое теоретико-полевое описание осцилляций нейтрино...

роятность (32) можно переписать следующим обра-

не факторизуется. Асимптотика осцилляций теперь

зом [18]:

зависит от характеристик процессов рождения и

детектирования и имеющегося диапазона энергий.

Рассмотрим рождение нейтрино в тех же распадах

∫

¹⁵O и¹³N и регистрацию черенковским детектором

W (L) =

dr ×

M_core

на водной основе. Для последнего имеем |p|^Chermin =

-Rcore

= 421 кэВ. Результаты численного интегрирования

√

в (43) для обеих реакций рождения выглядят анало-

R^2core-r²∫

(√

)

гично представленным на рис. 1, где левая и правая

dx 2πx ρ

r²+x²

(√

)×

горизонтали равны 0.645 и 0.431 для¹⁵O-источника,

r²+x²

а для¹³N-источника эти горизонтали равны 0.652

{

}

и 0.435.

∫∞

|p| - Δ

√

В этом случае асимптотика осцилляций опреде-

× d|p| |p|² exp

(√

)

|p| -Δ ×

r²+x²

ляется выражением [18]

√

(|p| - |p|_min) (|p| - |p|_min + 2m_e) ×

∑

(

)

W_asym =

|U_1i|⁴-

|U_1i|⁴ sin²

µ₀m_iHL_conv

(

)

i=1

× (|p| - |p|_min + m_e) W_ee

|p| , L, r, H

(59)

(

∑

(

)

где

+C_nc

|U_1i|² sin²

µ₀m_iHL_conv

i=1

∫∞

{

)

|p| -Δ}√

∑

(

)

N (R) = d|p| |p|² exp

|p| -Δ ×

kT (R)

−

|U_1i|⁴+

|U_1i|⁴ sin²

µ₀m_iHL_conv

(62)

i=1

√

(|p| - |p|_min) (|p| - |p|_min + 2m_e) ×

где коэффициент C_nc, учитывающий вклад нейт-

рального тока, имеет вид

× (|p| - |p|_min + m_e) ,

(60)

∫

d³W_P

Δ = MBe +me -M_Li = 862 кэВ есть энергетический

C_nc =

Wνµe |p|² d|p| ×

выход реакции (58) (массой нейтрино пренебрегаем)

d³p

|p|_min

и |p|_min дается в (51).

Будем аппроксимировать распределение темпе-





-1

∫

ратуры в солнечном ядре также экспоненциальной



d³W



Wνee |p|² d|p|

(63)

функцией,

d³p

|p|_min

T (R) = T_c e^-R/RT ,

(61)

где T_c = 1.5 · 10⁷ К температура в центре Солнца,

Wναe вероятность рассеяния безмассового флей-

а параметр R_T = 3.433 · 10⁵ км [38].

ворного состояния нейтрино ν_α на электроне, рас-

Численное интегрирование (59) дает тот же ре-

считанная в рамках Стандартной модели. Числен-

зультат, который изображен на рис. 1. Это связа-

ная оценка в нашем приближении дает C_nc = 0.210

но с факторизацией осциллирующего множителя

для рождения нейтрино в распаде¹⁵O и C_nc = 0.226

(

)

W_ee

|p| , L, r, H

, а также с тем, что длины осцилля-

для распада¹³N. Используя явный вид Wναe, в

ций намного меньше размера солнечного ядра даже

интервале энергий 420 кэВ ≤ |p|min < |p|max ≤

для почти моноэнергетических нейтрино от реакции

≤ 14 МэВ можно ограничить коэффициент C_nc как

электронного захвата (58). Фактически осцилляци-

0.177 < C_nc < 0.321. Стоит отметить, что C_nc умень-

онная картина в рассматриваемой постановке экс-

шается с ростом |p|, т.е. вклад нейтрального тока в

перимента описывается формулой (57), где сделана

асимптотическое значение (62) уменьшается с уве-

замена L_conv → L_magn.

личением энергии.

Ситуация с процессами нейтринных осцилляций,

Наконец, рассмотрим рождение нейтрино в реак-

где нейтрино детектируются через взаимодействие

ции электронного захвата⁷Be и регистрацию вод-

как со слабым заряженным, так и с нейтральным

ным черенковским детектором. Вероятность (45)

током, иная, поскольку осциллирующий множитель

можно переписать в виде

237

В. О. Егоров, И. П. Волобуев

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

∫

поля в конвективной зоне Солнца, несколько мало.

W (L) =

dr ×

Тем не менее для некоторых значений произведения

M_core

µ₀H, представленных на рис. 2, могут быть получе-

-Rcore

√

ны большие значения этого отношения.

R^2core-r²∫

(√

)

dx 2πx ρ

r²+x²

(√

)×

r²+x²

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

{

}

∫∞

|p| - Δ

× d|p| |p|² exp

(√

)

В настоящей работе рассмотрены осцилляции

r² + x²

нейтрино, рождающихся в протяженном солнечном

√

(

)

|p| -Δ

Ŵ_D

L, r, H

(64)

ядре как источнике, с учетом солнечного магнитно-

го поля в рамках Стандартной модели, минимально

где

расширенной правыми синглетами нейтрино. Опи-

∫∞

{

}

сание выполнено в терминах плоских волн и основа-

|p| - Δ

N (R) = d|p| |p|² exp

но на диаграммной технике Фейнмана в координат-

kT (R)

ном представлении, дополненной модифицирован-

√

(

)

ными правилами перехода к импульсному представ-

|p| - Δ W_D

0, H

(65)

лению, отражающими постановку эксперимента.

Результаты численного интегрирования снова вы-

Модифицированный пертурбативный форма-

глядят аналогично рис. 1, где левая горизонтальная

лизм, обобщающий стандартный S-матричный

асимптота равна 0.651, а правая

0.435. Поскольку

подход на случай квантовых процессов, протека-

мы учитываем распределение температуры, асимп-

ющих на конечных пространственно-временных

тотическое значение в рассматриваемом случае да-

интервалах, позволяет учитывать конечный размер

ется той же формулой (62), но с переопределением

источника и распределения плотности и темпе-

∫

ратуры внутри него. Это было проделано для

4π

C_nc =

C_nc (R)ρ (R)R² dR ,

(66)

солнечного ядра, а также была учтена структу-

M_core

ра Солнца. Исследованы четыре типа процессов

нейтринных осцилляций: с рождением нейтрино

где

в трехчастичном ядерном распаде или в реакции

∫∞

{

}

захвата электрона ядром и с детектированием

|p| - Δ

C_nc (R) = exp

через взаимодействие только с заряженным или с

kT (R)

заряженным и нейтральным слабыми токами.

√

Рассмотрены конкретные примеры: рождение

|p| - Δ Wνµe |p|² d|p| ×



∫

∞

{

}

нейтрино в распадах ядер¹⁵O или¹³N или электрон-

|p| - Δ

ный захват ядром⁷Be, детектирование нейтрино

× exp

kT (R)

галлий-германиевым или водным черенковским де-



тектором. Проанализированы асимптотические зна-

-1

√

чения вероятности этих процессов, совпадающие с

|p| - Δ Wνee |p|² d|p|

(67)

отношением экспериментально измеренного потока

к предсказываемому стандартной солнечной моде-

Однако ограничения на C_nc остаются такими же,

лью, и получено достаточно хорошее согласие с экс-

как обсуждалось после формулы (63). Численная

периментальными данными.

оценка с выбранными профилями плотности и тем-

Преимуществом формализма является техничес-

пературы (56) и (61) дает C_nc = 0.224.

кая простота и физическая прозрачность. В нем

Отношение потока нейтрино от⁷Be к предска-

не используются волновые пакеты, что значитель-

занному стандартной солнечной моделью было из-

но упрощает расчеты. По сути, они очень похожи

мерено коллаборацией Borexino и составило 0.62 ±

на таковые в рамках стандартной техники диаграмм

± 0.05 [39]. Это значение совместно с полученным

Фейнмана с плоскими волнами, главное отличие со-

асимптотическим значением 0.651 в вакууме и до-

стоит в использовании зависящего от расстояния

пускает вклад от солнечного магнитного поля. Од-

пропагатора вместо пропагатора Фейнмана. Флей-

нако значение 0.435, найденное для выбранных зна-

ворные состояния нейтрино в этом подходе излиш-

чений магнитных моментов нейтрино и магнитного

ни.

238

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Квантовое теоретико-полевое описание осцилляций нейтрино...

Благодарности. Авторы благодарны Э. Боосу,

18.

V. Egorov and I. Volobuev, arXiv:2107.11570

А. Лобанову, А. Пухову, Л. Сладю, М. Смолякову и

[hep-ph].

Ю. Чувильскому за интересные и полезные обсуж-

19.

A. Cisneros, Astrophys. Space Sci. 10, 87 (1971).

дения. Аналитические расчеты амплитуд выполне-

ны с помощью пакетов CompHEP и REDUCE.

20.

K. Fujikawa and R. Shrock, Phys. Rev. Lett. 45, 963

Финансирование. Работа В. Егорова была под-

(1980).

держана грантом Фонда развития теоретической

21.

J. Schechter and J. W. F. Valle, Phys. Rev. D 24,

физики и математики ¾БАЗИС¿.

1883 (1981) [erratum: Phys. Rev. D 25, 283 (1982)].

22.

М. Б. Волошин, М. И. Высоцкий, Л. Б. Окунь,

ЛИТЕРАТУРА

ЖЭТФ 91, 754 (1986).

23.

E. K. Akhmedov and J. Pulido, Phys. Lett. B 553, 7

Б. М. Понтекорво, ЖЭТФ 33, 549 (1957).

(2003).

V. N. Gribov and B. Pontecorvo, Phys. Lett. B 28,

24.

A. Popov and A. Studenikin, Eur. Phys. J. C 79, 144

493 (1969).

(2019).

C. Giunti and C. W. Kim, Fundamentals of Neutrino

25.

A. V. Chukhnova and A. E. Lobanov, Phys. Rev.

Physics and Astrophysics, Oxford Univ. Press,

D 101, 013003 (2020).

Oxford (2007).

26.

Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в тео-

S. Bilenky, Lect. Notes Phys. 817, 1 (2010).

рию квантованных полей, Наука, Москва (1984).

B. Kayser, Phys. Rev. D 24, 110 (1981).

27.

K. Fujikawa, arXiv:2009.08082 [hep-ph].

И. Ю. Кобзарев, Л. Б. Окунь, Б. В. Мартемьянов

28.

И. М. Тернов, В. Г. Багров, А. М. Хапаев, ЖЭТФ

и др., ЯФ 35, 1210 (1982).

48, 921 (1965).

C. Giunti, C. W. Kim, J. A. Lee et al., Phys. Rev.

29.

Е. Бюклинг, К. Каянти, Кинематика элементар-

D 48, 4310 (1993).

ных частиц, Мир, Москва (1975).

A. D. Dolgov, L. B. Okun, M. V. Rotaev et al., arXiv:

30.

Y. Fan, Rev. Sol. Phys. 6, 4 (2009).

hep-ph/0407189 [hep-ph].

31.

T. I. Rashba, V. B. Semikoz, and J. W. F. Valle, Mon.

W. Grimus and P. Stockinger, Phys. Rev. D 54, 3414

Not. Roy. Astron. Soc. 370, 845 (2006).

(1996).

32.

О. Бор, Б. Моттельсон, Структура атомного яд-

10.

M. Beuthe, Phys. Rep. 375, 105 (2003).

ра, т. 1, Одночастичное движение, Мир, Москва

(1971).

11.

A. G. Cohen, S. L. Glashow, and Z. Ligeti, Phys. Lett.

B 678, 191 (2009).

33.

P. A. Zyla et al. (Particle Data Group), Progr. Theor.

Exp. Phys. 2020, 083C01 (2020).

12.

W. Grimus, J. Phys. G 47, 085004 (2020), doi:

10.1088/1361-6471/ab716f

[arXiv:1910.13776

34.

S. Vagnozzi, E. Giusarma, O. Mena et al., Phys. Rev.

[hep-ph]].

D 96, 123503 (2017).

13.

I. P. Volobuev, Int. J. Mod. Phys. A 33, 1850075

35.

N. Aghanim et al. (Planck Collaboration), Astron.

(2018).

Astrophys. 641, A6 (2020).

14.

V. O. Egorov and I. P. Volobuev, Phys. Rev. D 97,

36.

M. Agostini et al. (Borexino Collaboration), Phys.

093002 (2018).

Rev. D 96, 091103 (2017).

15.

И. П. Волобуев, В. О. Егоров, ЖЭТФ 155, 839

37.

A. G. Beda, V. B. Brudanin, V. G. Egorov et al.,

(2019).

Adv. High Energy Phys. 2012, 350150 (2012).

16.

И. П. Волобуев, В. О. Егоров, ТМФ 199, 104

38.

J. N. Bahcall, M. H. Pinsonneault, and S. Basu,

(2019).

Astrophys. J. 555, 990 (2001).

17.

V. O. Egorov and I. P. Volobuev, Phys. Rev. D 100,

39.

G. Bellini, J. Benziger, D. Bick et al., Phys. Rev. Lett.

033004 (2019).

107, 141302 (2011).

239