ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 3 (9), стр. 297-306

ЭЛЕКТРОМАГНИТНО-ИНДУЦИРОВАННАЯ ПРОЗРАЧНОСТЬ

В ГАЗОВЫХ ЯЧЕЙКАХ С АНТИРЕЛАКСАЦИОННЫМ

ПОКРЫТИЕМ

Я. А. Фофанов^a, И. М. Соколовa,b*

^a Институт аналитического приборостроения Российской академии наук

190103, Санкт-Петербург, Россия

^b Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

195251, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 05 апреля 2022 г.,

после переработки 12 мая 2022 г.

Принята к публикации 12 мая 2022 г.

Рассмотрены особенности эффекта электромагнитно-индуцированной прозрачности в газовых ячейках

с антиреаксационным покрытием стенок. Показано, что одновременное влияние движения атомов, конеч-

ного размера ячейки и невырожденности основного состояния атомов приводит к целому ряду качествен-

ных эффектов. В частности, уже для простейшей трехуровневой лямбда-схемы с невырожденным основ-

ным состоянием обнаружено и детально исследовано существенное различие спектров электромагнитно-

индуцированной прозрачности в зависимости от соотношения частот пробного и управляющего полей,

т. е. в зависимости от того, происходит ли рассеяние пробного излучения по стоксовскому или анти-

стоксовскому каналу. Обнаружена существенная пространственная неоднородность возбуждаемой низко-

частотной когерентности, сохраняющейся для протяженных ячеек даже вдали от их границ. При этом

резонансы электромагнитно-индуцированной прозрачности, формируемые атомами в разных областях

ячейки, оказываются по-разному сдвинутыми по частоте, что служит причиной дополнительного неод-

нородного уширения наблюдаемого контура. Исследована зависимость обнаруженных эффектов от ха-

рактера аккомодации атомов на поверхности антирелаксационного покрытия.

DOI: 10.31857/S0044451022090012

ная атомная когерентность является причиной та-

EDN: EJKTGU

ких явлений, как когерентное пленение населен-

ностей, электромагнитно-индуцированная прозрач-

ность (ЭИП), замедление и «остановка света» [1-4].

1. ВВЕДЕНИЕ

В основе этих эффектов лежат двух- или много-

Создание систем с заданными оптическими свой-

фотонные резонансные процессы. Во многих прак-

ствами и поиск путей управления этими свойства-

тически важных случаях ширины этих резонансов

ми в масштабах реального времени составляют од-

оказываются существенно меньше естественных ши-

ну из наиболее важных задач современной кванто-

рин атомных переходов, что и определяет большой

вой электроники и квантовой оптики. В последнее

потенциал практического применения этих эффек-

время большой интерес вызывает возможность из-

тов для решения широкого круга задач квантовой

менения оптических свойств вещества при воздей-

информатики, метрологии, стандартизации частоты

ствии на него вспомогательным когерентным из-

и т. п.

лучением. Такое воздействие приводит к возник-

новению оптически-индуцированной когерентности

Особый интерес для практического использова-

в атомных, молекулярных системах или в твер-

ния представляют ансамбли атомов в ячейках, име-

дых телах и, как следствие, к существенному из-

ющих температуры, близкие к комнатным. Это свя-

зано с рядом технических преимуществ по сравне-

менению их оптических характеристик. Наведен-

нию с ансамблями атомов, охлаждаемыми до низ-

^* E-mail: ims@is12093.spb.edu

ких температур в специальных ловушках. Основ-

297

Я. А. Фофанов, И. М. Соколов

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

ным достоинством горячих газов являются сравни-

К настоящему времени имеется довольно боль-

тельная простота приготовления систем с заданны-

шое число работ, в которых как непосредственно ис-

ми параметрами и простота управления их свой-

следуются свойства таких покрытий, так и анализи-

ствами, в частности плотностью. В то же время для

руются возможности прецизионной спектроскопии

горячих газов определенным негативным фактором

атомарных газов, находящихся в соответствующих

является большое доплеровское уширение линий од-

ячейках [4, 10-49]. Однако, несмотря на это, неко-

нофотонных атомных переходов, что зачастую огра-

торые важные аспекты влияния конечного размера

ничивает их использование для задач прецизионной

ячеек и столкновений атомов с покрытием, приво-

спектроскопии. В случае многофотонных резонан-

дящие к качественным особенностям многофотон-

сов, однако, доплеровское уширение может быть по-

ных резонансов в этом случае, остаются недостаточ-

давлено посредством выбора оптимальной геомет-

но изученными.

рии их возбуждения. Так, например, для двухфо-

В настоящей работе при исследовании влияния

тонных переходов, происходящих в лямбда-схеме,

столкновений атомов со стенками газовых ячеек

при выборе коллинеарной геометрии двух квазире-

мы ограничимся анализом этого влияния на харак-

зонансных полей остаточное доплеровское ушире-

тер ЭИП. Мы рассмотрим модельную трехуровне-

ние определяется малой разностью волновых чисел

вую лямбда-схему и покажем, что уже в этом про-

этих полей. Таким образом, доплеровские эффекты

стейшем случае имеет место ряд эффектов или во-

не являются препятствием для наблюдения узких

все не исследованных ранее, или изученных недо-

нелинейных резонансов в экспериментах с горячи-

статочно детально. Так, наличие границ приводит

ми атомами (см., например, работы [5,6], а также [4]

к существенной пространственной неоднородности

и ссылки там). Более того, в ряде случаев может на-

атомных когерентностей в ячейках. Как будет по-

блюдаться дополнительное, так называемое допле-

казано ниже, в силу медленной релаксации неодно-

ровское, сужение двухфотонных резонансов, пред-

родность низкочастотной когерентности сохраняет-

сказанное в работах [7-9].

ся даже для ячеек очень больших размеров. Эта

Еще одной важной особенностью горячих газов

неоднородность приводит к появлению макроско-

в ячейках является необходимость учета столкнове-

пических потоков когерентностей, что, в свою оче-

ний, которые испытывают атомы с поверхностями

редь, связано с возникновением дополнительных до-

ячейки и между собой. Эти столкновения уменьша-

плеровских сдвигов двухфотонных резонансов. Эти

ют время когерентного взаимодействия атомов с по-

сдвиги различны в разных частях ячейки и, следо-

лями и увеличивают ширины, в том числе и нели-

вательно, приводят к дополнительному неоднород-

нейных резонансов. При типичных, сравнительно

ному уширению линий ЭИП. Этот механизм неодно-

низких концентрациях атомов в газовых ячейках су-

родного уширения в настоящее время практически

щественную негативную роль играют столкновения

совершенно не изучен.

со стенками. Для ослабления влияния этих столкно-

Недостаточно изучена также роль невырожден-

вений и уменьшения скоростей релаксации атомных

ности основного состояния рассматриваемой систе-

когерентностей на практике используются два ос-

мы. Для лямбда-схемы при параллельных и оди-

новных метода. Первый состоит в заполнении ячей-

наково направленных лучах двухфотонные сдвиги

ки буферным инертным газом, увеличивающим вре-

сильно подавлены. На этом основании ими зача-

мя диффузии активных атомов и уменьшающий ча-

стую пренебрегают, рассматривая только роль од-

стоту их столкновений со стенками. Во втором ис-

нофотонной отстройки и однофотонного доплеров-

пользуются антирелаксационные покрытия стенок.

ского сдвига. Мы покажем, что двухфотонные сдви-

Для практических применений использование по-

ги могут приводить к качественно новым эффектам,

крытий имеет некоторые преимущества по сравне-

в частности к сильной зависимости характера ЭИП

нию с ячейками с буферным газом. Для них менее

от того, рассеивается ли пробное излучение по сток-

существенен градиент внешних полей, нет вызван-

совскому или антистоксовскому каналу. В подавля-

ного буферным газом дополнительной столкнови-

ющем большинстве работ по исследованию нелиней-

тельной релаксации возбужденных состояний ато-

ных резонансов в ячейках с покрытием рассматри-

мов. В ряде метрологических применений они поз-

вается случай, когда радиусы лазерных лучей мно-

воляют получать большее отношение сигнал/шум.

го меньше размеров ячейки, при этом обычно огра-

Важной особенностью покрытий является то, что

ничиваются учетом столкновений только с боковой

они могут сохранять свои свойства в течение дли-

поверхностью, перпендикулярной волновым векто-

тельного времени.

рам полей, причем зачастую без учета доплеровских

298

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Электромагнитно-индуцированная прозрачность. ..

сдвигов, вызванных отражением от нее. В этом слу-

чае реализуется квазирэмсиевская схема наблюде-

ния. Атом испытывает многократные столкновения

со стенками, прежде чем повторно окажется в лу-

че [4, 18, 26, 27]. При большом числе столкновений

до возвращения в луч релаксация происходит да-

же при высоком качестве покрытия. Для широких

лучей или небольших ячеек [50] это не так, и важ-

но также учитывать столкновения с торцевыми по-

верхностями.

Рис.

1. Две возможные схемы возбуждения ЭИП ре-

В настоящей работе мы учтем и проанализируем

зонанса, различающиеся соотношением частот пробного

все отмеченные выше факторы, при этом мы будем

и управляющего полей: (а) — частота управляющего поля

принимать во внимание различные возможные ха-

меньше, чем пробного; (b) — наоборот

рактеры взаимодействия с антирелаксационным по-

крытием в зависимости от времени адсорбции ато-

Внешние поля — управляющее и пробное, пред-

мов на нем. Мы рассмотрим как большие времена,

полагаются слабыми. Их частоты Раби много мень-

когда скорость отлетающего от поверхности атома

ше скоростей спонтанного распада возбужденных

не зависит от начальной и определяется темпера-

состояний. При этом управляющее поле считает-

турой стенки, так и отражение без адсорбции, при

ся много сильнее пробного. Спектральные ширины

котором столкновение можно считать зеркальным.

каждой компоненты предполагаются меньше есте-

ственной ширины атомного перехода. Концентра-

цию атомов считаем малой настолько, чтобы прене-

2. ПРИБЛИЖЕНИЯ И ПОДХОДЫ

бречь коллективными эффектами, вызванными ре-

зонансным диполь-дипольным взаимодействием [51,

Основной целью данной работы является ана-

52], и использовать приближение оптически тонкой

лиз влияния конечных размеров ячейки и характе-

среды.

ра столкновений с антирелаксационным покрытием

Резонансы ЭИП мы будем анализировать на ос-

на форму резонанса ЭИП. Учитывая эту основную

нове расчета величины наведенной пробным излу-

цель, мы сделаем ряд приближений, которые, по на-

чением атомной поляризации, определяемой инте-

шему мнению, не являются критичными для обна-

гральной по скоростям атомной когерентностью ρ₃₂.

руженных нами физических особенностей эффекта

Эта поляризация, в свою очередь, позволяет рассчи-

ЭИП в этом случае.

тать восприимчивость ансамбля [8, 53], а следова-

Мы ограничимся простой модельной системой

тельно, определить и его коэффициент поглощения,

с лямбда-схемой энергетических уровней (ис. 1).

и показатель преломления. Таким образом, расчет

При этом мы будем предполагать типичную ситуа-

оптических свойств рассматриваемого атомного ан-

цию, когда пробное поле вызывает переходы только

самбля будем проводить на основе решения системы

с одного из подуровней основного состояния. То же

квантовых кинетических уравнений для одноатом-

относится и к управляющему полю: оно вызывает

ной матрицы плотности ρ(υ, r, t). Соответствующая

переходы с другого подуровня. В случае невырож-

система уравнений с учетом движения атомов при-

денного основного состояния для ультрахолодных

ведена в Приложении. В этой статье мы ограничим-

газов, когда доплеровскими эффектами можно пол-

ся одномерным случаем, когда оба поля распростра-

ностью пренебречь, неважно, с каким из подуровней

няются вдоль оси z, а границы ячейки перпендику-

взаимодействует пробное, а с каким управляющее

лярны этой оси. Наличие границ ячейки и характер

поле. То же, очевидно, относится и к случаю горя-

столкновений с ними будем учитывать посредством

чих атомов для совпадающих энергий состояний |1〉

соответствующих граничных условий.

и |2〉. Как показывают наши расчеты, для горячих

Чтобы не загромождать несущественными тех-

атомов с невырожденным основным состоянием су-

ническими деталями исследуемые качественные эф-

щественно, какое из полей имеет более высокую ча-

фекты, рассмотрим модельные граничные условия.

стоту, т.е. происходит ли рассеяние пробного света

Поскольку для современных покрытий полная ре-

по стоксовскому или антистоксовскому каналу. По-

лаксация атомной спиновой когерентности происхо-

этому мы подробно рассмотрим оба случая.

дит после 10⁴-10⁶ столкновений, рассмотрим модель

299

Я. А. Фофанов, И. М. Соколов

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

идеального покрытия, не влияющего вовсе на внут-

пробное, а штриховые — наоборот. Расчеты прове-

реннее состояние атома.

дены для следующих параметров. Половина часто-

Что касается характера аккомодации на поверх-

ты Раби управляющего поля равна V_c = 10⁵ с-1,

ности, то здесь мы также ограничимся двумя пре-

пробного — V_p

= 10³ с-1. Скорость спонтанно-

дельными случаями. Во-первых, рассмотрим слу-

го распада возбужденого состояния γ₃ = 6 МГц,

чай абсолютно упругого (зеркального) отражения,

при этом атом с равной вероятностью распадает-

когда нормальная составляющая скорости меняет

ся на оба нижних подуровня. Скорость попереч-

знак, а тангенциальная сохраняется, т. е. при усло-

ной релаксации низкочастотной когернтности равна

вии υ^′ = υ -2n(n·υ), где υ и υ^′ — скорости до и по-

γ₂₁ = 10 Гц. Длина волны низкочастотного перехода

сле столкновения. При этом для идеальных покры-

равна λ = 4.5 см. Длина ячейки L = λ. Температура

тий имеем

ячейки T = 50^◦C.

Рисунок 2 демонстрирует несколько важных фи-

ρ_ij(r, υ^′)_r∈S = ρ_ij(r, υ)_r∈S.

(1)

зических результатов. Хорошо видно, что наличие

границ делает рассматриваемое пространственное

Второй случай — полная термализация, когда,

распределение существенно неоднородным, причем

независимо от скорости до столкновения, атомы вы-

характер неоднородности зависит от характера от-

летают с поверхности со случайной скоростью, за-

ражения. Помимо типа отражения, на вид про-

даваемой распределением Максвелла. При этом гра-

странственного распределения существенно влияет

ничное условие предполагает равенство потоков, на-

соотношение частот переходов, вызываемых проб-

летающих на поверхность и вылетающих с нее. Для

ным и управляющим полями. Большее в среднем

частного случая плоского слоя толщиной L имеем

значение когерентности ρ₁₂, а следовательно, и бо-

j^-ij|z=0 = j+ij|z=0,

лее сильный эффект ЭИП наблюдается в случае

(2)

kc > kp. Это составляет важную особенность эф-

j+ij|z=L = j^-ij|z=L,

фекта ЭИП в случае горячих атомных ансамблей.

∫_∞

В модели неподвижных рассеивателей такая зави-

где j^±ij(z) =

ρ^±ij(υ, z)(±υ)dυ, ρ^±ij(υ, z) = ρ_ij(±υ, z).

симость отсутствует.

Случай, описываемый соотношениями (2), обычно

называют диффузным отражением. В дальнейшем

Для объяснения данной асимметрии проана-

лизируем вклад атомов, двигающихся с разны-

мы также будем использовать этот термин.

ми скоростями, в когерентность в данной области

ячейки. Для простоты рассмотрим случай, когда

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Δ_c = Δ_p = 0. На рис. 3 такой вклад показан для

ячейки длиной L = 10 см. Расчет проведен для обла-

3.1. Пространственное распределение

сти посередине ячейки, z = 5 см. Отражение от стен-

атомной поляризации

ки предполагается диффузным.

Ключевым для понимания особенностей эффек-

Хорошо видно, что при k_c < k_p величина ρ₁₂ ме-

та ЭИП в рассматриваемой нами схеме (см. рис. 1)

няет знак. Это означает, что вклады разных атомов

является величина наводимой низкочастотной коге-

компенсируют друг друга и ослабляют эффект ЭИП

рентности ρ₁₂. Поэтому рассмотрим подробно про-

в этом случае. При k_c > k_p этого не происходит.

странственное распределение именно этой компо-

Фазы когерентности зависят от отстройки проб-

ненты одноатомной матрицы плотности.

ного поля относительно двухфотонного резонанса.

На рис. 2 показано стационарное пространствен-

Эта отстройка для разных атомов разная. При фик-

∫

ное распределение ρ₁₂(z) =

ρ₁₂(υ, z)dυ для двух

сированных Δ_c и Δ_p фаза определяется величи-

типов отражения атомов от стенки: зеркального

ной скорости. При заданной скорости атома име-

(рис. 2a) и диффузного (рис. 2b) в условиях точных

ют место однофотонные доплеровские сдвиги. Есть

однофотонных и двухфотонных резонансов, когда

также сдвиг, который можно назвать световым.

частота каждого из полей совпадает с частотой со-

Он обусловлен зависимостью положения квазиуров-

ответствующего атомного перехода, Δ_c = Δ_p = 0.

ней атома, «одетого» взаимодействием с сильным

Двум кривым на каждом рисунке соответствуют

управляющим полем, от интенсивности и отстройки

два возможных варианта реализации эффекта ЭИП:

этого поля, т.е. от скорости атома. В случае k_c < k_p

сплошные линии — случаю, когда управляющее по-

некоторые атомные диполи колеблются в противо-

ле приложено на более коротковолновом переходе

фазе, что и обусловливает описанное выше ослабле-

k_c

> k_p, т. е. имеет более высокую частоту, чем

ние эффекта ЭИП.

300

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Электромагнитно-индуцированная прозрачность. ..

(a)

(b)

Рис. 2. Пространственные распределения низкочастотной когерентности (в произвольных единицах) для двух типов отра-

жения атомов от стенки: зеркального (a) и диффузного (b). Двум кривым на каждом рисунке соответствуют два возмож-

ных соотношения частот управляющего и пробного полей. Расчеты проведены для случая Δc = Δp = 0, Vc = 10⁵ с-1,

Vp = 10³ с-1, γ3 = 6 МГц, γ21 = 10 Гц, L = λ = 4.5 см, T = 50^◦C

ственна и мы имеем

8V_cV_p(qkv² + V2c)

ρ₁₂ = -

(3)

qv²γ3 +(qkv2 +

)²

Здесь k = k_c ≃ k_p. Эта формула достаточно хоро-

шо описывает зависимости, показанные на рис. 3.

В частности, при отрицательных q изменение зна-

√

V2c/qk.

ка ρ₁₂ происходит при v =

Величина области, в которой наблюдается суще-

ственная пространственная неоднородность низко-

частотной когерентности, обусловленная наличием

границ ячейки, зависит от скорости ее релаксации.

В силу относительно медленной релаксации про-

странственная зависимость ρ₁₂(z) наблюдается для

Рис. 3. Парциальные вклады атомов, двигающихся с раз-

ячеек больших размеров не только в приграничных

личными по модулю скоростями, в низкочастотную коге-

областях, но и по всему объему. Это хорошо демон-

рентность для ячейки длиной L = 10 см. Расчет проведен

стрирует рис. 4, на котором показан парциальный

для случая диффузного отражения для области посере-

вклад атомов, двигающихся в противоположных на-

дине ячейки, z = 5 см. Остальные параметры как на рис. 2

правлениях, для ячейки, размеры которой в десять

(vpr — наиболее вероятная скорость)

раз больше длины волны низкочастотного перехода.

Характерный пространственный период наблюдаю-

щихся осцилляций в рассматриваемом случае опре-

Заметим, что подобный эффект зависимости ха-

деляется длиной волны низкочастотного перехода

рактера эффекта ЭИП от знака разности q = k_c -k_p

и практически не зависит от размеров ячейки.

имеет место и без учета влияния границ ячейки. Для

Заметим, что кривые, показанные на рис. 2 и 4,

безграничной среды в условиях сильного управля-

обладают определенной пространственной симмет-

ющего поля, когда заселенностью уровня |1〉 мож-

рией. Это связано с тем, что они получены для слу-

но пренебречь, система (А.1) (см. Приложение) до-

чая Δ_c = Δ_p = 0. При наличии двухфотонной от-

пускает приближенное аналитическое решение, ко-

стройки эта симметрия нарушается. Пространствен-

торое имеет наиболее простой вид для Δ_c = Δ_p = 0.

ная зависимость атомных когерентностей становит-

В этом случае для γ₂₁ = 0 когерентность ρ₁₂ веще-

ся более сложной.

301

Я. А. Фофанов, И. М. Соколов

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Рис. 4. Парциальные вклады атомов, двигающихся в про-

тивоположных направлениях, в когерентность для случая

диффузного отражения и kc > kp. L = 10λ, остальные

Рис.

5. (В цвете онлайн) Коэффициенты поглощения

параметры те же, что и на рис. 2

пробного излучения в разных областях ячейки длиной

L = 10 см, остальные параметры те же, что и на рис. 3

3.2. Спектры ЭИП при различных типах

Наличие существенной пространственной неод-

отражения

нородности когерентности ρ₁₂ приводит к появле-

нию отличных от нуля средних потоков как этой ко-

При анализе спектров прозрачности будем счи-

герентности, так и других элементов матрицы плот-

тать, что управляющее поле настроено в резонанс

ности. Это может приводить к важной модифика-

с переходом в неподвижном атоме, Δ_c = 0, и, как

ции спектральных характеристик рассматриваемо-

и ранее, будем рассматривать два случая: k_c > k_p

го атомного ансамбля [54,55], в частности, к сдви-

и k_c < k_p. Для удобства сравнения спектров ЭИП

гам резонансов ЭИП, которые оказываются разны-

для ячеек разной длины будем нормировать коэф-

ми в разных областях ячейки. На рис. 5 показа-

фициенты поглощения так, чтобы для разных раз-

ны коэффициенты поглощения пробного излучения

меров вдали от двухфотонного резонанса коэффи-

в разных областях ячейки длиной L = 10 см при

циенты поглощения были бы одинаковы. Это позво-

диффузном характере отражения от стенок. Этот

лит лучше выявить особенности частотной зависи-

коэффициент рассчитан на основе мнимой части оп-

мости эффекта.

тической когерентности на переходе, возбуждаемом

На рис. 6 показаны спектры поглощения в усло-

пробным излучением, т. е. ρ₃₂.

виях ЭИП для ячеек различной длины при диф-

фузном характере отражения атомов от покрытия.

Заметим, что при изменении частоты пробно-

При малых размерах, существенно меньших дли-

го поля меняется как пространственное распреде-

ны волны, наблюдается типичная для эффекта Ди-

ление, так и соотношение вкладов атомов, двигаю-

ке двойная структура с узким центральным пи-

щихся в противоположных направлениях. Все это

ком и более широкой подложкой. При увеличении

приводит к сложной спектральной форме конту-

размеров характер резонансов в случаях k_c > k_p

ра ЭИП в разных областях ансамбля (см. рис. 5).

и k_c < k_p меняется существенно различным обра-

Различие сдвигов в разных областях вызывает до-

зом. При k_c > k_p амплитуды резонансов увеличива-

полнительное неоднородное уширение наблюдаемо-

ются, выходя на некоторое фиксированное значение.

го контура ЭПИ для всей ячейки в целом, а так-

При k_c < k_p с увеличением размера резонанс ЭИП

же искажение его формы, которое будет обсуждено

ослабевает. При больших L резонанс практически

в следующем разделе. Заметим также, что анало-

полностью отсутствует.

гичные спектральные эффекты, связанные с про-

Качественно аналогичное поведение наблюдает-

странственной неоднородностью атомного возбуж-

ся и при зеркальном отражении атомов от поверх-

дения в оптически толстых ячейках, были предска-

ности. Количественное сравнение формы резонан-

заны в работе [55].

сов для разных покрытий показано на рис. 7 для

302

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Электромагнитно-индуцированная прозрачность. ..

(a)

(b)

Рис. 6. (В цвете онлайн) Спектры поглощения при диффузном рассеянии для разного соотношения частот и волновых

чисел пробного и управляющего полей: kc > kp (a) и kc < kp (b). Коэффициенты поглощения нормированы с учетом

разной длины ячейки. Остальные параметры — как на рис. 2

(a)

(b)

Рис. 7. (В цвете онлайн) Сравнение спектров поглощения для разных типов отражения от поверхности ячейки для

L = 0.1λ (a) и L = λ (b). Остальные параметры — как на рис. 2

L = 0.1λ и L = λ. Для сравнения на этих рисунках

медленно движущихся атомов, для которых время

приведены резонансы поглощения для ячеек без по-

пролета между последовательными столкновения-

крытия. В последнем случае форма спектра не за-

ми со стенками велико. При диффузном отраже-

висит от характера адсорбции атомов на поверхно-

нии скорость таких атомов с большой вероятностью

сти — спектры одинаковы для зеркального и диф-

увеличится и новое равновесное состояние не успе-

фузного отражения.

ет сформироваться. При зеркальном отражении все-

Наиболее сильное влияние характера отраже-

гда есть группа атомов, которые переходят в неко-

ния наблюдается при малых размерах ячейки. Для

торое равновесное когерентное состояние в резуль-

L = 0.1λ при диффузном отражении контраст ре-

тате серии последовательных отражений от стенок

зонанса приблизительно в два раза меньше, чем

ячейки.

при зеркальном. При малых размерах равновесное

Для больших размеров среднее время проле-

внутреннее состояние устанавливается только для

та увеличивается и различие в характере адсорб-

303

Я. А. Фофанов, И. М. Соколов

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

ции проявляется существенно слабее. На рис. 7b

темы FSEG-2020-0024). Результаты работы были по-

видно, что различие контрастов для диффузного

лучены с использованием вычислительных ресурсов

и зеркального отражения составляет несколько про-

суперкомпьютерного центра Санкт-Петербургского

центов.

политехнического университета Петра Великого

При отсутствии покрытия происходит суще-

(http://www.spbstu.ru).

ственное перемешивание атомов между двумя

подуровнями основного состояния, поэтому на-

ПРИЛОЖЕНИЕ

селенность состояния

|2〉 после столкновения

уменьшается в два раза, если до него атом нахо-

Пренебрегая столкновениями атомов между со-

дился на этом подуровне. Это объясняет меньший

бой, систему уравнений для медленных ампли-

коэффициент поглощения в этом случае. Заметим

туд матрицы плотности в представлении Вигнера

также, что при столкновении атомов с непокры-

ρ(υ, r, t) в приближении вращающейся волны можно

тыми поверхностями газовых ячеек может иметь

записать в виде

место целый ряд интересных эффектов. Например,

границу раздела «стекло-пары атомов» можно рас-

ρ₁₁ + υ · ∇ρ₁₁ = i(V^∗cρ₃₁ - V_cρ₁₃) + γ₃₁ρ₃₃,

сматривать как своеобразный оптический демпфер,

ρ₂₂ + υ · ∇ρ₂₂ = i(V^∗pρ₃₂ - V_pρ₂₃) + γ₃₂ρ₃₃,

снижающий квантовые (фотонные) флуктуации

ρ₁₂ + υ · ∇ρ₁₂ = i(V^∗cρ₃₂ - V_pρ₁₃) +

при отраженнии света [56-59].

+ [i(Δ_p - Δ_c + q · υ) - γ₁₂]ρ₁₂,

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ρ₁₃ + υ · ∇ρ₁₃ =

(A.1)

= -i(V ∗c ρ₁₁ + V ∗p ρ₁₂ - V ∗c ρ₃₃

В этой работе мы проанализировали ряд каче-

- [i(Δ_c - k_c · υ) + γ₃/2]ρ₁₃,

ственных особенностей явления ЭИП, имеющих ме-

сто в ячейках с антирелаксационным покрытием

ρ₂₃ + υ · ∇ρ₂₃ = -i(V^∗cρ₂₁ + V^∗pρ₂₂ - V^∗pρ₃₃) -

стенок. Этот анализ проведен нами для модель-

- [i(Δ_p - k_p · υ) + γ₃/2]ρ₂₃,

ной трехуровневой системы при использовании ряда

ρ₁₁ + ρ₂₂ + ρ₃₃ = 1, ρ_ij = ρ^∗ji.

приближений. Однако основные обнаруженные эф-

фекты, такие как существенная пространственная

Здесь предполагаем, что управляющее поле вызы-

неоднородность атомной поляризации, наличие по-

вает переходы только с подуровня |1〉, а пробное —

токов когерентностей и связанных с ними локаль-

только с |2〉, а также используем следующие обозна-

ных сдвигов, приводящих к дополнительному неод-

чения: V_c = d₃₁ · E_c/2ℏ, V_p = d₃₂ · E_p/2ℏ, d_eg — ди-

нородному уширению резонансов, а также суще-

польные моменты переходов, E_c и E_p — медленные

ственная зависимость эффекта ЭИП от того, рас-

амплитуды соответственно управляющего и пробно-

сеивается ли пробное излучение по стоксовскому

го полей, γ₃ = γ₃₁ + γ₃₂, q = k_c - k_p, Δ_c = ω_c - ω₃₁,

или антистоксовскому каналу, обусловлены влия-

Δ_p = ω_p - ω₃₂. Для краткости у матрицы плотно-

нием тех факторов, которые имеют место для ре-

сти опущены аргументы. В системе (A.1) мы также

альных атомарных газов в ячейках. Это — движе-

пренебрегли вероятностями спонтанных переходов

ние атомов и изменение направления этого движе-

между близкорасположенными уровнями |1〉 и |2〉.

ния, вызванное столкновениями со стенками, а так-

же невырожденность основного состояния. По этой

причине мы считаем, что предсказываемые в дан-

ЛИТЕРАТУРА

ной работе эффекты необходимо учитывать во всех

потенциальных приложениях эффекта ЭИП, в ко-

1. J. P. Marangos, J. Mod. Opt. 45, 471 (1998).

торых используются газовые ячейки с антирелакса-

2. M. D. Lukin, Rev. Mod. Phys. 75, 457 (2003).

ционным покрытием стенок.

Финансирование. Проведение иследований

3. M. Fleischhauer, A. Imamoglu, and J. P. Marangos,

было поддержано грантом Фонда развития теоре-

Rev. Mod. Phys. 77, 633 (2005).

тической физики и математики «БАЗИС». Анализ

4. I. Novikova, R. L. Walsworth, and Y. Xiao, Laser

влияния характера аккомодации атомов на поверх-

Photonics Rev. 6, 333 (2012).

ности покрытия на спектры ЭИП осуществелен

в рамках выполнения Государственного задания

5. M. M. Kash, V. A. Sautenkov, A. S. Zibrov, L. Holl-

на проведение фундаментальных исследований (код

berg, G. R. Welch, M. D. Lukin, Y. Rostovtsev,

304

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Электромагнитно-индуцированная прозрачность. ..

E. S. Fry, and M. O. Scully, Phys. Rev. Lett. 82,

23.

A. Krasteva, R. K. Nasyrov, N. Petrov, S. Gateva,

5229 (1999).

S. Cartaleva, and K. A. Nasyrov, Optoelectron. In-

strum. Proc. 54, 307 (2018).

D. Budker, D. F. Kimball, S. M. Rochester, and

V. V. Yashchuk, Phys. Rev. Lett. 83, 1767 (1999).

24.

W. Li, M. Balabas, X. Peng, S. Pustelny, A. Wicken-

brock, H. Guo, and D. Budker, J. Appl. Phys. 121,

А. В. Тайченачев, А. М. Тумайкин, В. И. Юдин,

063104 (2017).

Письма в ЖЭТФ 72, 173 (2000).

25.

G. Kazakov, B. Matisov, A. Litvinov, and I. Mazets,

A. Javan, O. Kocharovskaya, H. Lee and M. O. Scully,

J. Phys. B 40, 3851 (2007).

Phys. Rev. A 66, 013805 (2002).

26.

G. A. Kazakov, A. N. Litvinov, B. G. Matisov,

L. Ma and G. Raithel, J. Phys. Comm.

4, 095020

V. I. Romanenko, L. P. Yatsenko, and A. V. Roma-

(2020).

nenko, J. Phys. B 44, 235401 (2011).

27.

M. Klein, M. Hohensee, D. F. Phillips, and

10.

D. Budker, V. Yashchuk, and M. Zolotorev, Phys.

Rev. Lett. 81, 5788 (1998).

R. L. Walsworth, Phys. Rev. A 83, 013826 (2011).

28.

A. Litvinov, G. Kazakov, B. Matisov, and I. Mazets,

11.

D. Budker, L. Hollberg, D. J. Kimball, J. Kitching,

J. Phys. B 41, 125401 (2008).

S. Pustelny, and V. V. Yashchuk, Phys. Rev. A 71,

012903-1-9 (2005).

29.

S. Knappe and H. G. Robinson, New J. Phys. 12(6),

1 (2010)

12.

M. T. Graf, D. F. Kimball, S. M. Rochester,

K. Kerner, C. Wong, D. Budker, E. B. Alexandrov,

30.

E. N. Pestov, A. N. Besedina, D. E. Pestov and

M. V. Balabas, and V. V. Yashchuk, Phys. Rev. A

V. V. Semenov, Appl. Magn. Res. 51, 195 (2020).

72, 023401 (2005).

31.

S. J. Seltzer and M. V. Romalis, J. Appl. Phys. 106,

13.

D. Budker and M. Romalis, Nature Phys.

3, 227

114905 (2009).

(2007).

32.

S. N. Atutov, A. I. Plekhanov, V. A. Sorokin,

14.

Е. Б. Александров, А. К. Вершовский, УФН 179,

S. N. Bagayev,

M. N. Skvortsov, and

605 (2009).

A. V. Taichenachev, Eur. Phys. J. D 72,

155

(2018).

15.

M. V. Balabas, T. Karaulanov, M. P. Ledbetter, and

D. Budker, Phys. Rev. Lett. 105, 070801 (2010).

33.

S. N. Atutov, V. A. Sorokin, S. N. Bagayev,

M. N. Skvortsov, and A. V. Taichenachev, Eur. Phys.

16.

M. V. Balabas, K. Jensen, W. Wasilewski,

J. D 73, 11 (2019).

H. Krauter, L. S. Madsen, J. H. Muller, T. Fernholz,

34.

M. Bhattarai, V. Bharti, V. Natarajan, A. Sargsyan,

and E. S. Polzik, Opt. Express 18, 5825 (2010).

and D. Sarkisyan, Phys. Lett. A 383, 91 (2019).

17.

E. Breschi, G. Kazakov, C. Schori, G. Di Domenico,

35.

S. Kobtsev, D. Radnatarov, S. Khripunov, I. Popkov,

G. Mileti, A. Litvinov, and B. Matisov, Phys. Rev.

V. Andryushkov, and T. Steshchenko, JOSA B 36,

A 82, 063810 (2010).

2700 (2019).

18.

K. Nasyrov, S. Gozzini, A. Lucchesini, C. Marinelli,

36.

A. Krasteva, E. Mariotti, Y. Dancheva, C. Marinelli,

S. Gateva, S. Cartaleva, and L. Marmugi, Phys. Rev.

L. Marmugi, L. Stiaccini, S. Gozzini, S. Gateva, and

A 92, 043803 (2015).

S. Cartaleva, J. Contemp. Phys. 55, 383 (2020).

19.

M. A. Hafiz, V. Maurice, R. Chutanil, N. Pas-

37.

H. Chi, W. Quan, J. Zhang, L. Zhao, and J. Fang,

silly, C. Gorecki, S. Guerande, E. de Clercq, and

Appl. Surf. Sci 501, 143897 (2020).

R. Boudot, J. Appl. Phys. 117, 184901 (2015).

38.

M. Bhattarai, V. Bharti, and V. Natarajan, Sci. Rep.

20.

H. Chi, W. Quan, J. Zhang, L. Zhao, and J. Fang,

8, 7525 (2018).

Appl. Surf. Sci. 501, 143897 (2020).

39.

S. Kobtsev, D. Radnatarov, S. Khripunov, I. Pop-

21.

S. J. Seltzera and M. V. Romalis, J. Appl. Phys.

kov, V. Andryushkov, and T. Steschenko, Proc. SPIE

106, 114905 (2009).

10548, 1054820 (2018).

22.

K. A. Barantsev, S. V. Bozhokin, A. S. Kuraptsev,

40.

Y. Ji, J. Shang, Q. Gan, and L. Wu, in Proc. of Elec-

A. N. Litvinov, and I. M. Sokolov, JOSA B 38, 1613

tronic Components and Technology Conference, Art.

(2021).

No. 7999974 (2017) p. 2116.

305

Я. А. Фофанов, И. М. Соколов

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

41.

N. Sekiguchi and A. Hatakeyama, Appl. Phys. B

Conf. on Optical MEMS and Nanophotonics, OPT

122, 81 (2016).

MEMS, Art. No. 4607879 (2008) p. 162.

42.

O. Yu. Tretiak, J. W. Blanchard, D. Budker, P. K. Ol-

50.

S. N. Nikolić, A. J. Krmpot, N. M. Lučić,

shin, S. N. Smirnov, and M. V. Balabas, J. Chem.

B. V. Zlatković, M. Radonjić, and B. M. Jelenković,

Phys. 144, 094707 (2016).

Phys. Scr. T157 (2013) 014019.

43.

M. Pellaton, C. Affolderbach, G. Mileti, R. Straessle,

51.

И. М. Соколов, Д. В. Куприянов, М. Д. Хэви,

Y. Pétremand, D. Briand, and N. F. De Rooij, in

ЖЭТФ 139, 288 (2011)

European Frequency and Time Forum

2014, Art.

52.

Н. А. Васильев, А. С. Трошин, ЖЭТФ 125, 1276

No. 7331561 (2015) p. 554.

(2004).

44.

G. Zhang, L. Wei, M. Wang, and K. Zhao, J. Appl.

53.

A. S. Kuraptsev and I. M. Sokolov, Phys. Rev. A

Phys. 117, 043106 (2015).

91, 053822 (2015).

45.

R. Straessle, M. Pellaton, C. Affolderbach, Y. Pétre-

54.

V. V. Batygin and I. M. Sokolov, Phys. Lett. A 108,

mand, D. Briand, G. Mileti, and N. F. De Rooij,

29 (1985).

Appl. Phys. Lett. 105, 043502 (2014).

55.

V. I. Yudin, A. V. Taichenachev, M. Yu. Basalaev,

46.

Z. Chowdhuri, M. Fertl, M. Horras, K. Kirch,

O. N. Prudnikov, and S. N. Bagaev, JOSA B 39,

J. Krempel, B. Lauss, A. Mtchedlishvili, D. Re-

1979 (2022).

breyend, S. Roccia, P. Schmidt-Wellenburg, and

G. Zsigmond, Appl. Phys. B 115, 257 (2014).

56.

Ya. A. Fofanov, Proc. SPIE 7993, 79930O-6 (2010).

47.

R. Straessle, M. Pellaton, C. Affolderbach, Y. Pétre-

57.

Ya. A. Fofanov, in Advances in Optoelectronics Re-

mand, D. Briand, G. Mileti, and N. F. De Rooij, J.

search, ed. by M. R. Oswald, Nova Sci. Publ., USA

Appl. Phys. 113, 064501 (2013).

(2014) p. 75.

48.

T. Bandi, C. Affolderbach, and G. Mileti, J. Appl.

58.

Ya. Fofanov, Eur. Phys. J. WEB of Conf. 220, 01004

Phys. 111, 124906 (2012).

(2019).

49.

M. Hasegawa, P. Dziuban, L. Nieradko, A. Douahi,

59.

А. В. Белинский, М. Х. Шульман, УФН 184, 1135

C. Gorecki, and V. Giordano, in IEEE/LEOS Int.

(2014).

306