ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 3 (9), стр. 307-312

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАЗА КАК ОСНОВА

КВАНТОВОЙ ГИРОСКОПИИ

А. М. Ростом, В. А. Томилин^*, Л. В. Ильичёв

Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук

630090, Новосибирск, Россия

Поступила в редакцию 8 апреля 2022 г.,

после переработки 8 апреля 2022 г.

Принята к публикации 24 мая 2022 г.

Перспективные подходы квантовой метрологии должны найти применение в новых типах гироско-

пов. В волновых схемах гироскопии, оптические реализации которых уже известны, в ближайшем

будущем могут быть использованы макроскопические когерентные структуры атомарного конденсата

Бозе-Эйнштейна. В предлагаемой в настоящей работе схеме, как и в ряде других, чувствительными к вра-

щению элементами служат кольцевые конфигурации конденсата, нарушенные на некотором своем участ-

ке дополнительным потенциалом — «дефектом». Показано, что варьирование формы этого «дефекта»

генерирует геометрическую фазу системы атомов кольцевой конфигурации. В двух таких конфигурациях

единого конденсата можно получить противоположные геометрические фазы, разность которых обра-

щается в нуль в отсутствие вращения и которая может быть обнаружена при последующем наблюдении

интерференции атомов из разных конфигураций. Приведены результаты расчета геометрической фазы

для модели «дефекта» в кольце диаметром 0.5 см, детектирующего вращение Земли вокруг своей оси.

DOI: 10.31857/S0044451022090024

ского интерферометра Саньяка при использовании

EDN: EJLDRH

атомарного конденсата является непростой зада-

чей. В литературе в качестве одного из возмож-

1. ВВЕДЕНИЕ

ных решений предлагается использование интер-

ференции конденсатов в нетривиальных простран-

Оптические гироскопы (и классические, и кван-

ственных конфигурациях, в частности, в оптиче-

товые) основаны на эффекте Саньяка [1] — на изме-

ских решетках [5,6]. Целесообразно рассмотреть схе-

рении индуцированного им фазового сдвига интер-

мы ВЕС-гироскопов, где возникновение фазы Са-

ференционной картины. Основная идея такого рода

ньяка и наблюдение интерференции связаны через

схем гироскопии может быть перенесена на системы

некоторый дополнительный физический процесс,

с атомарным конденсатом Бозе-Эйнштейна (ВЕС),

модифицирующий картину интерференции, напри-

т. е. можно использовать в интерференции вместо

мер, сдвигающий ее. Если этот сдвиг чувствителен

оптических волн волны материи. При этом точность

к вращению, из его величины можно извлечь значе-

измерения увеличивается с увеличением числа ато-

ние угловой скорости вращения. В настоящей работе

мов в конденсате. Прогресс в технологии создания

в качестве такого процесса предлагается использо-

когерентных пространственных конфигураций ВЕС

вать генерацию геометрической фазы в ВЕС. Гео-

позволяет в перспективе извлекать значение фазы

метрическая фаза является кинематической вели-

Саньяка из картины интерференции конденсата.

чиной, определяемой формой пути в пространстве

Эффект Саньяка можно наблюдать в системе от-

параметров, по которому эволюционирует состояние

счета устройства с конденсатом при его вращении

системы, и не зависит от скорости этой эволюции [7].

относительно инерциальной системы отсчета. При-

мером могут служить классические эксперименты

Основную идею такого рода гироскопа можно

по наблюдению интерференции волн материи [2-4].

представить следующим образом. Конденсат пред-

Буквальное воспроизведение конструкции оптиче-

полагается двухмодовым, и ориентация простран-

ственных конфигураций мод по отношению к угло-

^* E-mail: 8342tomilin@mail.ru

вой скорости вращения Ω системы отсчета конден-

307

А. М. Ростом, В. А. Томилин, Л. В. Ильичёв

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

сата относительно инерциальной системы такова,

что вращение в разной степени сказывается на со-

стояниях мод. Во всех остальных отношениях мо-

ды 1 и 2 эквивалентны. Предполагается, что одина-

ковым образом организованы и процессы генерации

геометрических фаз в модах¹⁾. Однако различная

восприимчивость мод к вращению приводит к раз-

личию возникающих геометрических фаз: ϑ₁ = ϑ₂.

Состояние конденсата претерпевает изменение:

Рис. 1. Кольцевая конфигурация атомарного конденсата

∑

во вращающейся системе отсчёта. Показаны «дефект»

f_n|n〉₁ ⊗ |N - n〉₂ →

конфигурации, задающий ориентацию, и амплитуды волн

n=0

∑

→ fn exp(inϑ₁)|n〉₁ ⊗

стоящей работы. Квазиодномерные бозе-газы явля-

n=0

(

)

ются популярной моделью в теории сверхтекучести

⊗ exp

i(N - n)ϑ₂

|N - n〉₂.

(1)

и достаточно хорошо изучены [9-12]. Также в дан-

ный момент совершенствуются технологии их экспе-

Здесь для простоты предполагается фиксирован-

риментальной реализации [13]. В частности, в экс-

ным полное число N частиц в конденсате, f_n — ам-

перименте уже возможно создание тороидальных

плитуды вероятности распределений атомов по мо-

оптических ловушек с хорошей пространственной

дам. Физически значимым является изменение от-

локализацией в поперечном направлении [14]. На-

носительных фаз этих амплитуд:

личие «дефекта» обусловливает зависимость состо-

(

)

яния конденсата от вращения, и эта зависимость

f_n → f_n exp

in(ϑ₁ - ϑ₂)

(2)

максимальна, когда вектор угловой скорости вра-

что модифицирует картину последующей интерфе-

щения Ω нормален плоскости кольца. В работе [8]

при рассмотрении модели с «дефектом» в виде пря-

ренции атомов из мод 1 и 2. Существенно, что

эта модификация обусловлена вращением устрой-

моугольного барьера или ямы была показана воз-

можность сведения его к эффективному сингуляр-

ства и обращается в нуль при Ω = 0.

ному потенциалу, что существенно упрощает рас-

В следующем разделе рассмотрена модель коль-

смотрение.

цевой пространственной конфигурации атомарно-

В общем случае «дефект» может быть комби-

го конденсата, чувствительной к вращению. Далее

приведен пример генерации геометрической фазы

нацией нескольких барьеров и ям разной формы.

в моде конденсата такой конфигурации. Как иллю-

В теоретической модели гироскопа очень удобным

страция обрисованной выше гироскопической схе-

свойством явилась бы возможность конструировать

мы сделаны численные расчеты с прицелом на реги-

«дефект» из отдельных базовых элементов с сохра-

страцию угловой скорости вращения Земли вокруг

нением его эффективного локализованного характе-

своей оси.

ра (по крайней мере на первоначальном этапе рас-

смотрения). Этим условиям вполне удовлетворяет

2. КОЛЬЦЕВАЯ СТРУКТУРА ВЕС

подход на основе трансфер-матриц [15]. Констру-

ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА

ирование «дефекта» из отдельных элементов сво-

дится к перемножению соответствующих трансфер-

В настоящей работе, как и в [8], элементом

матриц, а эффективный точечный характер при

ВЕС-гироскопа, чувствительным к вращению от-

этом сохраняется, если он имел место для исполь-

носительно инерциальной системы отсчета, служит

зуемых элементов.

кольцевая конфигурация конденсата, нарушенная

Формализм трансфер-матриц, изначально со-

на некотором участке дополнительным потенциа-

зданный для задач оптики, вполне применим

лом — «дефектом» (рис. 1). Структура дефекта в об-

и в физике волн материи. Трансфер-матрица свя-

щем случае задает ориентацию на кольце. Это от-

зывает амплитуды стационарных волн конденсата

ражено на рис. 1 и крайне важно для предмета на-

по разные стороны «дефекта». Описание этих волн

необходимо осуществлять, находясь во вращаю-

¹⁾ Имеются в виду геометрические фазы волновых функ-

ций одночастичных состояний мод. Для простоты исключаем

щейся системе отсчета. Стационарная волновая

взаимодействие между атомами конденсата.

функция Ψ(ϕ) атома на кольце описывается урав-

308

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Геометрическая фаза как основа квантовой гироскопии

нением Шредингера, содержащим в присутствии

Требование разрешимости этого соотношения при-

вращения добавочный член с первой производной

водит к уравнению для уровней энергии атома:

по координате [8]:

√

[

]

cos(2πξ) = Re

u exp(2πi

ξ² + ε)

(9)

Ψ^′′(ϕ) - 2iξΨ^′(ϕ) + εΨ(ϕ) = 0.

(3)

Это уравнение обобщает соотношение из работы [8],

Это уравнение предполагается справедливым при

полученное для «дефекта» в виде δ-образного по-

ϕ = 0 (mod 2π), т.е. везде, кроме точки, где рас-

тенциала.

положен «дефект»; ε = 2mR²E/ℏ² — безразмерная

энергия (m — масса атома, R — радиус кольца);

ξ = mR2Ω/ℏ — параметр, отражающий вращение

3. ГЕНЕРАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФАЗЫ

системы отсчета кольца с ВЕС. При ε

≥ -ξ²

решением уравнения (3) является пара встречных

Амплитуды ψ_± зависят не только от ε и ξ,

волн ∝ exp(iκ_±ϕ), где

но и от совокупности p остальных параметров

√

трансфер-матрицы. От p зависит также и само зна-

κ_± ≡ κ_±(ξ) = ξ ±

ξ² + ε.

(4)

чение ε как решение уравнения (9).

На рис. 1 введены амплитуды A_± и B_± соответ-

Предполагаем, что некоторый замкнутый путь

ствующих волн по обе стороны «дефекта»:

в пространстве параметров p обходится достаточ-

(

)

(

)

но медленно (адиабатически) так, что изначально

B₊

A₊

(5)

выбранное решение Ψp0(ϕ) уравнения (3) с энер-

B_-

A_-

гией εp0 остается решением Ψ_p(ϕ) уравнения (3)

где M — трансфер-матрица «дефекта». Как из-

с энергией ε_p в любой точке пути. Обход порождает

вестно

[15], она принадлежит группе SU(1, 1)

геометрическую фазу [16]

псевдоунитарных унимодулярных матриц:

∮

(

)

〈Ψ_p|∇_pΨ_p〉 - 〈∇_pΨ_p|Ψ_p〉

u v

ϑ=

dp.

(10)

〈Ψ_p|Ψ_p〉

(6)

v u

В общем случае эта фаза чувствительна к враще-

где |u|² - |v|2 = 1 (черта над символом обозна-

нию: ϑ = ϑ(ξ) и ϑ(ξ) |ξ=0= ϑ(0).

чает комплексное сопряжение). Предполагаем,

Для иллюстрации данной схемы будут ис-

что зависимость параметров u и v от ε известна.

пользованы две из трех канонических трансфер-

Вид матрицы M одинаков и в инерциальной,

матриц [15], к произведению которых может быть

и во вращающейся системах отсчета²⁾.

сведена любая матрица M ∈ SU(1, 1):

Величины A_± и B_± связаны также условием цик-

(

)(

)

личности на кольце:

e^iα

ch(η)

i sh(η)

A_± = B_± exp(2πiκ_±).

(7)

e^-iα

-i sh(η) ch(η)

(

)

Далее будут использоваться обозначения ψ₊ = B₊

ch(η)e^iα

i sh(η)e^iα

и ψ_-

= B_-. Условие цикличности с участием

(11)

-i sh(η)e^-iα ch(η)e^-iα

трансфер-матрицы:

(

)

(

)

ψ₊

ψ₊ exp(2πiκ₊)

Уравнение (9) в данном случае принимает вид

(8)

(

√

)

ψ_-

ψ_- exp(2πiκ_-)

cos(2πξ) = ch(η)cos

2π

ξ² + ε + α

(12)

²⁾ Можно было бы предположить, что во вращающей-

Пространство параметров является бесконечным

ся системе отсчета трансфер-матрица имеет иной вид:

M = M(ξ) = M(0). Вывод ее зависимости от угловой

цилиндром: -∞ < η < ∞, α ∈ [0, 2π). Окруж-

скорости опирается на факт инвариантности свойств де-

ность α выбрана в качестве пути обхода. Нетрудно

фекта относительно обращения времени (что эквивалент-

убедиться, что при таком выборе пути обхода в при-

но замене ξ → -ξ) и закон сохранения потока, выполняю-

нятой нами модели одномерного кольца ϑ(0) ≡ 0,

щийся в любой системе отсчета. Из уравнения (3) следует,

что во вращающейся системе отсчета этот закон имеет вид

а ϑ(-ξ) = -ϑ(ξ). Необходимые соотношения пред-

κ₊|A₊|² +κ_-|A_-|² -ξ(|A₊|² +|A_-|²) = κ₊|B₊|² +κ_-|B_-|² -

ставлены в Приложении.

- ξ(|B₊|² + |B_-|²), что с учетом (4) сводится к обычно-

На рис. 2 воспроизведена возможная схема ре-

му соотношению |A₊|² - |A_-|² = |B₊|² - |B_-|², справедли-

вому в инерциальной системе отсчета. Следовательно, вид

гистрирующей части двухмодового ВЕС-гироскопа

трансфер-матрицы в обеих системах отсчета одинаков.

(схема последующего наблюдения интерференции

309

А. М. Ростом, В. А. Томилин, Л. В. Ильичёв

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

от нее регистрируемой фазы при известном значе-

нии параметров потенциала. Эта зависимость при-

ведена на рис. 3b. Видно, что при малых значени-

ях η фаза мало чувствительна к изменению свя-

занного с угловой скоростью безразмерного пара-

метра ξ. Следовательно, существует некоторое оп-

тимальное значение параметра η, обеспечивающее

Рис.

2. Комбинация двух противоположно ориентиро-

одновременно значительную величину геометриче-

ванных кольцевых конфигураций атомарного конденсата.

ской фазы и ее чувствительность к угловой ско-

Возникающие геометрические фазы различаются знаком

рости. В частности, для рассматриваемого приме-

ра определения угловой скорости вращения Земли

атомов разных мод не рассматривается). Обе моды

(см. Приложение) оптимальным для точности из-

имеют конфигурацию кольца с «дефектом». Проти-

мерения оказывается значение η ≃ 1. Точность из-

воположная ориентация второго кольца задается из-

мерения вдвое меньшего значения угловой скорости

менением порядка матричных сомножителей в сред-

(ξ ≃ 0.2) при η = 1 оказывается низкой, но снова

ней части выражения (11). Расположив оба кольца

возрастает при дальнейшем уменьшении ξ.

перпендикулярно вектору Ω угловой скорости вра-

щения и реализовав эволюцию α по единому замкну-

тому контуру, мы получим преобразования (1) со-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

стояния конденсата с ϑ₁ = ϑ(ξ), ϑ₂ = -ϑ(ξ). Данный

выбор конфигурации мод обладает еще одним важ-

Построена модель квантового гироскопа, осно-

ным преимуществом — динамические фазы, пропор-

∫

ванного на использовании геометрической фазы

циональные

εp(t) dt и приобретаемые ими в резуль-

атомарного бозе-конденсата. Измерение угловой

тате эволюции, оказываются одинаковыми и ком-

скорости вращения осуществляется парой простран-

пенсируют друг друга в разности ϑ₁ - ϑ₂. Итого-

ственных мод единого когерентного конденсата,

вая регистрируемая разность фаз ϑ₁ - ϑ₂ не будет

имеющих вид кольцеобразных конфигураций,

содержать в себе следов динамической фазы, а све-

нарушенных дополнительными потенциалами

—

дется к удвоенной фазе ϑ(ξ). Подобный прием ранее

«дефектами». Последние обеспечивают чувстви-

использовался в работе [17], посвященной переносу

тельность состояния конденсата к вращению

геометрической фазы с оптической моды на состоя-

системы отсчета всего устройства. Варьирование

ние двухмодового атомарного конденсата через ка-

параметров «дефектов» приводит к возникновению

нал квантовой запутанности.

геометрической фазы в каждой моде. Разность этих

фаз оказывается зависящей от вращения и может

быть обнаружена в интерференционном экспе-

4. РЕЗУЛЬТАТЫ

рименте. В основе отмеченной чувствительности

Оставшимся свободным параметром при опреде-

состояния конденсата к вращению лежит прямой

лении контура эволюции потенциального дефекта

(нерелятивистский) аналог эффекта возникно-

является η. На рис. 3a приведена зависимость раз-

вения фазы Саньяка в оптических гироскопах.

ности геометрических фаз, приобретаемых модами

Получается, что процесс генерации геометрической

конденсата, от значения угловой скорости вращения

фазы опосредует эффект изначального влияния

и параметра η. Видно, что наибольшее по величине

вращения на состояние конденсата и процесс

значение этой разности наблюдается при малых η.

регистрации сдвига картины интерференции кон-

С учетом цикличности фазы значение ϑ₁ - ϑ₂ = π

денсата. Развит формализм описания «дефекта»

должно отвечать наиболее резкой модификации со-

на основе трансфер-матриц. Показано, что суще-

стояния конденсата³⁾. На рис. 3a выделена кривая,

ствует оптимальный для измерения фазы диапазон

соответствующая этому значению.

параметров, характеризующих «дефект».

При решении реальной задачи об определении

В работе использована модельная форма

угловой скорости необходимо знать зависимость

трансфер-матрицы дефекта. Более интересной

с практической точки зрения может оказать-

³⁾ Заметим, что при симметрии между модами, т. е. в слу-

√

ся комбинация потенциального барьера и ямы.

чае fn =

N!/(n!(N - n)!) в выражении (1), модификация

Такой «дефект» также обладает необходимым свой-

fn → exp(iπn)fn переводит состояние конденсата в ортого-

нальное.

ством — задает ориентацию кольца. Геометрическая

310

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Геометрическая фаза как основа квантовой гироскопии

Рис. 3. (В цвете онлайн) (a) Разность геометрических фаз, приобретаемых модами конденсата, в зависимости от без-

размерной угловой скорости ξ и от характеристики потенциального дефекта η (в единицах 2π). Красная жирная линия

соответствует уровню π. (b) Профили разности геометрических фаз, приобретаемых модами конденсата, в зависимости

от безразмерной угловой скорости ξ (в единицах 2π) при различных значениях параметра потенциального дефекта η.

Параметры задачи: радиус кольца R = 0.25 см, m = m(³⁷Rb)

фаза может генерироваться при обходе контура

ПРИЛОЖЕНИЕ

в двумерном пространстве параметров «глубина

ямы-высота барьера».

Уравнение (12) для уровней энергии имеет две

ветви решений:

Финансирование.

Работа

выполнена

в рамках Государственного задания (проект

√

АААА-А21-121021800168-4) в Институте авто-

⁽cos(2πξ)⁾

2π ξ² + εn+) = arccos

- α + 2πn,

матики и электрометрии СО РАН. Участие одного

ch(η)

√

(13)

из авторов (И. Л. В.) поддержано Российским

⁽cos(2πξ)⁾

2π ξ² + εn-) = - arccos

- α + 2πn.

научным фондом (грант 20-12-00081).

ch(η)

311

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

А. М. Ростом, В. А. Томилин, Л. В. Ильичёв

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Поскольку нет необходимости заботиться о норми-

T. L. Gustavson, P. Bouyer, and T. L. Kasevich,

ровке волновой функции, можно положить ψ_- = 1,

Phys. Rev. Lett. 78, 2046 (1997).

тогда

A. Lenef T. D. Hammond, E. T. Smith, M. S. Chap-

man, R. A. Rubenstein, and D. E. Pritchard, Phys.

i sh(η)exp(iα + 2πiκ_-)

ψ₊(α) =

(14)

Rev. Lett. 78, 760 (1997).

1 - ch(η)exp(iα + 2πiκ₊)

D. S. Durfee, Y. K. Shaham, and M. A. Kasevich,

Используя вспомогательное равенство κ_± = ∓1/2π,

Phys. Rev. Lett. 97, 240801 (2006).

можно получить следующие соотношения для функ-

M. Greiner, I. Bloch, O. Mandel, T. W. Hänsch, and

ций, входящих в выражение для геометрической

T. Esslinger, Phys. Rev. Lett. 87, 160405 (2001).

фазы:

Z. Hadzibabic, S. Stock, B. Battelier, V. Bretin, and

(

)

〈Ψ_α|Ψ_α〉 = 2π

1 + |ψ₊(α)|²

J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 93, 180403 (2004).

iψ₊(α)

(

√

)

M.V. Berry, Proc. Roy. Soc. London A 392, 45

√

exp(-4πi

ξ² + ε) - 1

ξ² + ε

(1984).

(

√

)

iψ₊(α)

В. А. Томилин, Л. В. Ильичёв, Письма в ЖЭТФ

√

exp(4πi

ξ² + ε) - 1

(15)

ξ² + ε

113, 212-217 (2021).

D. W. Hallwood, T. Ernt, and J. Brand, Phys. Rev.

A 82, 063623 (2010).

〈Ψ_α|

Ψ_α〉 - 〈

Ψ_α|Ψ_α〉 = 2πi + 6πi|ψ₊(α)|² -

[

(

√

)

10.

M. Cazalilla, J. Phys. B 37, 1 (2004).

−

√

ψ₊(α)

exp(-4πi

ξ² + ε) - 1

ξ² + ε

11.

D. Hellweg, S. Dettmer, P. Ryytty, J. J. Arlt, W. Ert-

(

√

)]

mer, K. Sengstock, D. S. Petrov, G. V. Shlyapnikov,

− ψ₊(α)

exp(4πi

ξ² + ε) - 1

H. Kreutzmann, L. Santos, and M. Lewenstein, Appl.

√

Phys. B 73, 781 (2001).

Значение

ξ² + ε определяется выбором ветви и но-

мера решения (13). В их записи неявно полага-

12.

S. Richard, F. Gerbier, J. H. Thywissen, M. Hug-

ется, что подкоренное выражение принимает дей-

bart, P. Bouyer, and A. Aspect, Phys. Rev. Lett.

91, 010405 (2003).

ствительные значения. Для конденсата атомов³⁷Rb

в кольце радиуса R = 0.25 см, вращающегося с уг-

13.

C. Ryu, P. W. Blackburn, A. A. Blinova, and

ловой скоростью Ω порядка угловой скорости вра-

M. G. Boshier, Phys. Rev. Lett. 111, 205301 (2013).

щения Земли вокруг своей оси, безразмерный пара-

14.

A. Görlitz, J. M. Vogels, A. E. Leanhardt, C. Raman,

метр ξ оказывается равным 0.392. Если α ∈ [0, 2π),

T. L. Gustavson, J. R. Abo-Shaeer, A. P. Chikkatur,

то вышеуказанному требованию в диапазоне пара-

S. Gupta, S. Inouye, T. Rosenband, and W. Ketterle,

метров -0.392 ≤ ξ ≤ 0.392 удовлетворяет реше-

Phys. Rev. Lett. 87, 130402 (2001).

ние ε⁽⁺⁾¹. Именно оно и было выбрано для вычис-

ления геометрической фазы.

15.

L. L. Sanchez-Soto, J. J. Monzón, A. G. Barriuso,

and J. F. Cari nena, Phys. Rep. 513, 191 (2012).

16.

D. Chruscinski and A. Jamiolkowski, Geomet-

ric Phases in Classical and Quantum Mechanics,

ЛИТЕРАТУРА

Springer, Berlin (2004).

1. G. Sagnac, C. R. Acad. Sci. 157, 708 (1913); 157,

17.

T. S. Yakovleva, A. M. Rostom, V. A. Tomilin, and

1410 (1913); J. de Phys. 4, 177 (1914).

L. V. Il’ichov, Opt. Comm. 436, 52 (2019).

312