ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 3 (9), стр. 322-330

АСИММЕТРИЧНЫЙ ЭФФЕКТ БОРМАНА В ПАССИВНОМ

PT-СИММЕТРИЧНОМ ФОТОННОМ КРИСТАЛЛЕ

В. А. Бушуев^*, Б. И. Манцызов^**

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 29 апреля 2022 г.,

после переработки 25 мая 2022 г.

Принята к публикации 25 мая 2022 г.

Аналитическим спектральным методом решена граничная задача динамической брэгговской дифрак-

ции оптического излучения в геометрии Лауэ в одномерном пассивном PT-симметричном фотонном

кристалле (ФК). Показано, что эффект Бормана, или аномально высокая прозрачность кристалла при

выполнении брэгговского условия, в пассивном PT-симметричном ФК имеет ряд особенностей, которые

объясняются наличием особой точки спонтанного распада PT-симметричных компонент мод излучения.

Так, при эффекте Бормана увеличивается амплитуда дифрагированной волны за счет роста поглощения

среды. Это наблюдается в окрестности особой точки выше порогового значения параметра поглощения

при положительном брэгговском угле падения излучения на кристалл. Имеет место также асимметрия

эффекта Бормана в пассивном PT-симметричном ФК: амплитуда дифрагированной волны меняется при

смене знака угла Брэгга — увеличивается в случае отрицательного угла падения.

DOI: 10.31857/S0044451022090048

наличие особой точки (ОТ) спонтанного распада

EDN: EKDNPV

PT-симметричного состояния, когда при определен-

ном значении параметра усиления и поглощения

1. ВВЕДЕНИЕ

происходит переход к PT-несимметричным модам,

которые при распространении в среде испытывают

В последнее десятилетие концепция PT-

усиление и поглощение

[5, 12, 13]. При условии

симметрии (parity-time symmetry), предложенная

спектральной сингулярности

[14, 15] наблюдался

впервые в квантовой механике для неэрмитовых

лазерный эффект и идеальное когерентное погло-

систем [1-3], вызывает большой интерес в оптике

щение [16-18]. В периодических PT-симметричных

неконсервативных сред, в которых оптические

средах, или фотонных кристаллах (ФК), иссле-

свойства характеризуются PT-симметрией

[4-7].

довались PT-симметричные эффекты, связанные

Диэлектрическая проницаемость в таких средах

с трансляционной симметрией структуры. Прежде

с усилением и поглощением описывается PT-

всего — это блоховские осцилляции [19,20] и эффект

симметричной комплексной функцией координаты

однонаправленного усиленного брэгговского отра-

ε(x) = ε∗(-x), где действительная часть Re ε(x)

жения, или однонаправленной невидимости, в осо-

является четной функцией, а мнимая часть, описы-

бой точке спонтанного распада PT-симметричной

вающая усиление и поглощение среды, — нечетной

моды для пучков [21-25] и импульсов [26-29].

функцией. Теоретически и экспериментально было

Особый интерес представляют пассивные PT-

показано, что в PT-симметричных средах с уси-

симметричные системы [12,30,31], в которых диэлек-

лением и поглощением могут распространяться

трическая проницаемость является суперпозицией

стационарные волны с действительными волновы-

ми векторами и постоянными амплитудами — PT-

PT-симметричной функции и постоянной мнимой

величины, описывающей дополнительное поглоще-

симметричные моды [8-11]. Важной характерной

особенностью PT-симметричных систем является

ние. В таких средах существует только поглоще-

ние, а усиление отсутствует. Однако при этом со-

^* E-mail: vabushuev@yandex.ru

храняется наиболее важная и интересная особен-

^** E-mail: bmantsyzov@gmail.com

ность PT-симметрии — наличие ОТ. Отсюда следует

322

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Асимметричный эффект Бормана. . .

и возможность наблюдения PT-симметричных опти-

ственно уже, чем ширина линии неоднородного уши-

ческих эффектов, причем условия для эксперимен-

рения в резонансной среде.

та существенно упрощаются из-за отсутствия необ-

ходимости создания усиления в среде. Так, имен-

2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОПТИЧЕСКОГО

но в пассивных PT-симметричных средах наблюда-

ПУЧКА В ПАССИВНОМ

лись спонтанный распад PT-симметричных мод [12],

КВАЗИ-PT-СИММЕТРИЧНОМ ФОТОННОМ

однонаправленное отражение [23] и асимметричная

КРИСТАЛЛЕ

дифракция на решетке [32].

В традиционных пассивных периодических

Рассмотрим взаимодействие s-поляризованного

структурах, т.е. в обычных поглощающих кри-

оптического пучка

сталлах, хорошо известен эффект Бормана, или

эффект аномально слабого поглощения рентге-

E_in(r, t) = A_in(r)exp(ik₀ · r - iωt)

(1)

новского излучения при динамической брэгговской

с медленно изменяющейся гауссовской амплитудой

дифракции в геометрии Лауэ (на прохождение) [33].

(на поверхности кристалла z = 0)

Суть эффекта заключается в том, что при паде-

[

]

нии излучения под углом Брэгга в совершенном

A_in(x, 0) = Aexp

-(x cos θ/r₀)²

(2)

кристалле распространяются две собственные

моды — бормановская и антибормановская. Поле

с пассивным, т. е. поглощающим, PT-симметричным

последней моды локализовано преимущественно

одномерным ФК при условии брэгговской ди-

в областях с большой электронной плотностью,

фракции в геометрии Лауэ (рис. 1). Здесь θ —

и поэтому оно быстро поглощается, а поле другой

угол падения излучения на поверхность z

= 0,

моды локализовано в межатомных плоскостях

k₀ = (k0x, k0z) — центральный волновой вектор в ва-

с малой электронной плотностью и поглощается

кууме, k0x = k sinθ, k0z = k cosθ, k = ω/c = 2π/λ,

слабо. Оптический эффект Бормана [34] наблю-

ω — частота пучка, c и λ — соответственно скорость

дался и в обычных поглощающих ФК [35], тогда

света и длина волны в вакууме, r₀ — поперечная

как в пассивных PT-симметричных ФК он ещё

ширина падающего пучка.

не исследовался.

В настоящей работе теоретически рассмотре-

ны оптические эффекты, возникающие при распро-

странении излучения в одномерном пассивном PT-

симметричном ФК в условиях динамической брэг-

говской дифракции в геометрии Лауэ. С помощью

спектрального метода показано, что для оптическо-

го пучка в пассивном PT-симметричном ФК вбли-

зи ОТ наблюдается асимметричный эффект Бор-

мана. Обсуждаются основные особенности эффекта

по сравнению со случаем обыкновенного поглощаю-

Рис. 1. Схематическое представление двух случаев паде-

щего ФК. Показано, что из-за наличия ОТ в пассив-

ния излучения на ФК: (а) θ > 0 и (б) θ < 0; T и R — соот-

ном PT-симметричном ФК в эффекте Бормана на-

ветственно прямой проходящий и дифрагированный пучки

блюдается увеличение пропускания в направлении

дифрагированной волны за счет роста поглощения

Диэлектрическая проницаемость структуры

среды. При этом пропускание увеличивается при по-

с учетом материальной частотной дисперсии

ложительном угле падения и уменьшается в случае

задается следующим образом:

отрицательного угла. Подобное асимметричное уси-

ление эффекта Бормана имеет место и в дисперги-

ε(x, ω) = ε₀ + ε^′ cos(hx) + ε_res(x, ω),

(3)

рующей среде, несмотря на нарушение строгих усло-

вий ОТ и PT-симметрии в случае отстройки часто-

где h = 2π/d — модуль вектора обратной решет-

ты излучения от резонансного брэгговского значе-

ки h, который направлен вдоль оси x, d — период

ния или при изменении угла падения. Это происхо-

решетки. Первые два слагаемых ε₀ + ε^′ cos(hx) > 1

дит при выполнении описанного в работах [26-29]

в выражении (3) описывают периодически модули-

условия широкополосной ОТ, когда спектральная

рованную четную функцию действительной части

область селективного брэгговского отражения суще-

диэлектрической проницаемости, которая задается

323

В. А. Бушуев, Б. И. Манцызов

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

прозрачной диэлектрической средой с пренебрежи-

в виде суперпозиции пространственно-однородной

мо малой материальной дисперсией, ε^′ > 0. Тре-

функции

тье комплексное слагаемое в (3) соответствует вкла-

ε₀(ω) = ε₀ + ε(ω)

ду в диэлектрическую проницаемость резонансных

и двух периодических функций, которые являются

двухуровневых осцилляторов:

квази-PT-симметричной частью функции ε(x, ω) (3)

[

]

ε_res(x, ω) = ε(ω)

1 + sin(hx)

(4)

в случае неоднородно уширенной резонансной спек-

тральной линии [26, 27]:

где величина ε для квантовых двухуровневых ос-

цилляторов в приближении некогерентного взаи-

ε(x, ω) = ε₀(ω) + ε^′ cos(hx) + ε(ω) sin(hx),

(8)

модействия определяется следующей комплексной

или, иначе, —

функцией [36]:

ε(x, ω) = ε₀(ω) + ε₁(ω)e^-ihx + ε-1(ω)e^ihx,

∫∞

g(ω₀ - ω′0)

ε(ω) = β

d(ω - ω′0) =

(ω - ω′0) + i/T₂

где

-∞

[

]

[

]

= ε^′(ω) + iε^′′(ω).

(5)

ε₁(ω) =

ε^′ + iε(ω)

ε-1(ω) =

ε^′ - iε(ω)

(9)

Здесь

— коэффициенты Фурье.

∫∞

Величина поля в пучке

(ω′0 -ω)g(ω₀ -ω′0)

ε′(ω) ≡ Re ε(ω) = β

dω′0,

(ω′0 -ω)² +(γ₂/2)²

E(r, t) = E(x, z) exp(-iωt)

-∞

(6)

∫∞

(γ₂/2)g(ω₀ -ω′0)

в диспергирующей среде удовлетворяет уравнению

ε′′(ω) ≡ Im ε(ω) = β

dω′0,

(ω′0 -ω)² +(γ₂/2)2

Гельмгольца:

-∞

ΔE(x, z) + k²ε(x, ω)E(x, z) = 0,

(10)

β = 4π(-w)N₀μ²/ℏ, N₀ — средняя концентрация

резонансных атомов, μ — величина дипольного мо-

где Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂z² — оператор Лапласа.

мента перехода атома, w = -1 — инверсия невоз-

В периодической среде вблизи условия Брэгга

бужденных резонансных атомов, ω - ω′0 — откло-

2k sinθ_B = sh, где θ_B — угол Брэгга, имеет место

нение частоты падающего излучения ω от часто-

двухволновое приближение брэгговской дифракции

ты резонансных атомов ω′0, g(ω₀ - ω′0) — функ-

[34]. Тогда поле в среде может быть представлено

ция неоднородного уширения спектральной линии

в виде суммы двух сильно связанных волн — прямой

с характерной шириной γ∗2, ω₀

— центральная

проходящей, E₀(x, z), и дифракционно отраженной,

частота резонанса, γ₂

= 2/T₂ — ширина одно-

E_h(x, z), волн:

родно уширенной спектральной линии, T₂ — вре-

мя поперечной однородной релаксации дипольно-

E(x, z) = E₀(x, z) + E_h(x, z),

(11)

го момента. Функция

1 + sin(hx) в

(4) задает

пространственно-периодическое распределение кон-

где

центрации N₀[1+sin(hx)] невозбужденных резонанс-

∞

∫

ных атомов. Формулы (5) и (6) являются квантовым

E_g(x, z) =

A_g(K)exp[i(q0x - sg)x + iq0zz] dK.

аналогом формулы Лоренца-Лоренца для класси-

-∞

ческого резонансного диполя. С учетом (4) форму-

(12)

лу (3) перепишем в виде

Здесь g = 0, h; s = 1, если θ > 0, и s = -1,

[

]

если θ

< 0 (рис.

1), K

= k_x - k0x, A₀(K)

ε(x, ω) = ε₀ + ε^′ cos(hx) + ε(ω)

1 + sin(hx)

(7)

и A_h(K) — комплексные амплитуды спектральных

Мнимая часть функции ε(ω) в (4) и (7) задает

компонент прямой проходящей и дифрагированной

величину поглощения излучения в среде. Условия

волн соответственно. Благодаря сохранению тан-

ε′′(ω) > 0 и 1 + sin(hx) > 0 в (7) означают, что среда

генциальных компонент волновых векторов на гра-

является пассивной, т. е. только поглощающей, уси-

нице z = 0, x-проекция волновых векторов пря-

ление в среде отсутствует. С другой стороны, ди-

мых проходящих волн в среде запишется в виде

электрическую проницаемость (7) можно записать

q0x(K) = k_x = k0x + K.

324

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Асимметричный эффект Бормана. . .

Из требования существования нетривиальных

Полное поле пучка в каждой точке ФК в любой

решений для полей

(11), после их подстановки

момент времени задается следующим выражением:

в уравнение (10), получим следующие дисперси-

E(x, z, t) = [A₀(x, z)+A_h(x, z)e^-ishx]eik0x x-iωt, (17)

онные уравнения для z-проекций волновых векто-

ров прямой и дифрагированной волн двух собствен-

где

ных мод, так называемых бормановской, q(1)0z, и ан-

∫

∞

(1)

A_g(x, z) = (Ag1e^iq0z^z + Ag2eiq0

^z )e^iKx dK,

(18)

тибормановской, q(2)0z, мод в пассивном квази-PT-

симметричном ФК:

−∞

[

]1/2

g = 0,h, а амплитуды A_gj определяются из фор-

q(1,2)0z = k

ε₀-(q0x/k)²+α_s∓(α2s+ε₁ε-1)1/2

(13)

мул (15).

где параметр

Из выражений (17) и (18) с учетом (15) неслож-

но получить выражения для спектров прямого про-

(sq0x - h/2)h

α_s =

(14)

пускания и дифракционного отражения на выход-

k²

ной границе z = L ФК для падающих монохромати-

определяет степень отклонения от точного условия

ческих пучков, т. е. модулей коэффициентов прохо-

Брэгга q0x = sh/2. Из (13) и (9) следует, что в случае

ждения

точного резонанса ω = ω₀ и брэгговского условия



α_s = 0 величина

A0(L, ω)

T (ω) =



=

A_in

(ε₁ε-1)1/2 =

(ε′2 - ε′′2)1/2



A

01(ω)eiq0z) L + A02(ω)eiq0z) L



(19)



A_in

определяет точку бифуркации ε^′′ = ε^′ мнимой ча-

сти (13) (см. ниже рис. 4а), или ОТ нарушения PT-

и дифракционного отражения

симметрии в пассивных PT-симметричных ФК.



Из условий непрерывности x-проекций векторов

A±h(L, ω)

R^±(ω) =



=

электрического и магнитного полей на границе z = 0

A_in



несложно при условии слабого френелевского отра-



A±h1(ω)eiq0z)L + A±h2(ω)eiq0z)L



(20)

жения получить амплитуды полей прямой и дифра-



.

A_in

гированной волн бормановской (j = 1) и антиборма-

новской (j = 2) мод:

Здесь верхние индексы «±» соответствуют положи-

тельному и отрицательному знакам угла падения θ

r2,1

A0j(K) = ∓

A_in(K),

соответственно. Следует отметить, что величина ко-

r₁ - r₂

(15)

эффициента прохождения (19) не зависит от знака

A_hj(K) = r_jA0j(K).

угла падения: T (ω) ≡ T⁺(ω) = T^-(ω).

Здесь

∞

∫

3. ЭФФЕКТ БОРМАНА В ПАССИВНОМ

A_in(K) =

A_in(x, 0)exp(-iKx)dx

PT-СИММЕТРИЧНОМ ФОТОННОМ

2π

КРИСТАЛЛЕ

-∞

— преобразование Фурье амплитуды падающего

Эффект Бормана есть аномально слабое по-

пучка A_in(x, 0) (2),

глощение излучения вблизи точного выполнения

брэгговского условия при динамической брэггов-

1/2

α_s ∓ (α2s + ε₁ε-1)

ской дифракции в геометрии Лауэ [37]. В тради-

rj =

ε_-s

ционном поглощающем ФК, где пространственно-

— парциальные амплитудные коэффициенты ди-

неоднородные распределения действительной

фракционного отражения волн.

и мнимой частей диэлектрической проницаемости

Из (15) несложно получить выражения для ам-

описываются одинаковыми функциями, например,

плитуд полей A_gj в зависимости от знака s угла па-

cos(hx):

дения θ на границу z = 0. Амплитуды дифрагиро-

[

]

ε(x, ω) = ε₀ + ε^′ cos(hx) + ε(ω)

1 + cos(hx)

(21)

ванных волн запишутся в виде

ε_s

эффект Бормана объясняется слабым поглощени-

Ah2(K) = -Ah1(K) =

A_in(K). (16)

ем бормановской моды, поле которой локализуется

2(α2s + ε₁ε-1)1/2

325

В. А. Бушуев, Б. И. Манцызов

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

преимущественно в областях с малым поглощени-

ем. В этом случае проходящее излучение уменьша-

ется с увеличением поглощения, а также наблюда-

ется симметрия эффекта Бормана при смене знака

угла падения θ [37].

Рассмотрим эффект Бормана в пассивном PT-

симметричном ФК. Покажем, что, в отличие от тра-

диционного поглощающего ФК, в пассивной PT-

симметричной структуре, во-первых, наблюдается

асимметрия эффекта Бормана при смене знака уг-

ла падения и, во-вторых, амплитуда дифрагирован-

ного поля растет при увеличении резонансного по-

глощения среды в случае положительного угла па-

дения.

В качестве характеристики величины по-

глощения в среде введем такой параметр, как

σ = ε^′′(ω₀)/ε^′, т.е. отношение максимума мнимой

части резонансной диэлектрической проницаемости

ε(ω) в (8) к величине ε^′, которая характеризует

глубину периодической модуляции действительной

части ε(x, ω). Тогда условие ОТ запишется как

σ = 1. На рис. 2 представлены графики зависимо-

стей коэффициентов дифракционного отражения

R^± (20) и прохождения T

(19) в центре пучка

от отстройки Δθ = θ - θ_B угла падения от точного

брэгговского угла при различных знаках угла θ

и значениях параметра поглощения σ. Как видно

из рис. 2а, при положительном угле θ > 0 макси-

мумы полей прямой и дифрагированной волн, T

Рис. 2. а) Угловые зависимости при θ > 0 коэффициентов

и R⁺, соответствуют точному выполнению условия

дифракционного отражения R⁺ при σ = 1.1 (кривая 1)

Брэгга Δθ = 0, а коэффициент дифракционного

и σ = 2.0 (кривая 2) и прохождения T при σ = 1.1 (кри-

отражения R⁺ при σ = 1.1 (кривая 1) меньше ве-

вая 3) и σ = 2.0 (кривая 4) от отстройки Δθ = θ - θB

личины R⁺ при σ = 2.0 (кривая 2). Таким образом,

угла падения от брэгговского значения. б) Зависимости

в эффекте Бормана в пассивном PT-симметричном

R^-(Δθ) (кривые 1 и 2) и T(Δθ) (кривые 3 и 4) при θ < 0.

ФК при θ > 0 наблюдается увеличение амплитуды

Параметры поглощения: σ = 1.1 (кривые 1 и 3) и σ = 2.0

поля дифрагированной волны при увеличении па-

(кривые 2 и 4). Толщина ФК L = 0.26 мм, λ = 0.8 мкм,

раметра поглощения среды σ. Ниже будет показано,

ω = ω0, d = 0.8 мкм, θB = 30^◦, ε0 = 1.3, ε^′ = 0.001,

что эта закономерность появляется в окрестности

r0 = 200 мкм

ОТ при σ ≥ 1. Кроме того, графики на рис. 2

демонстрируют асимметрию эффекта Бормана

Расчеты пространственного распределения ам-

по отношению к смене знака угла падения. Смена

плитуд полей в ФК (18) при используемых ниже

знака угла (θ > 0 на θ < 0) приводит к увеличению

параметрах излучения и фотонного кристалла по-

дифракционного отражения, R^- > R⁺, что четко

казывают, что для анализа и выявления основных

видно из сравнения кривых 1 и 2 для R^- на рис. 2б

особенностей распространения и дифракции пучка

с одноименными кривыми для R⁺ на рис. 2а. Кроме

можно ограничиться рассмотрением плосковолново-

того, величина R^- уменьшается с ростом парамет-

го случая при поперечном размере падающего пучка

ра поглощения σ (см. кривые 1 и 2 на рис. 2б ),

r₀ ≥ (2 ÷ 3)L sinθ_B.

подобно случаю традиционного поглощающего ФК.

Известно [38], что в случае значительной ча-

Из рис. 2 также видно, что модуль амплитуды

стотной дисперсии, условие PT-симметрии наруша-

проходящего поля T не зависит от знака угла

ется при отстройке Ω

= ω - ω₀ частоты излу-

падения и уменьшается с увеличением параметра

чения ω от точного значения резонансной часто-

поглощения σ (кривые 3 и 4).

ты ω₀. Поэтому важно ответить на вопрос: сохра-

326

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Асимметричный эффект Бормана. . .

нятся ли особенности эффекта Бормана в пассивной

Действительно, выше ОТ спонтанного распада

PT-симметричной среде, описанные выше, в частот-

PT-симметричных мод, σ > 1, рис. 3а, наблюдает-

ных спектрах отражения R^∓(Ω) (20) и прохождения

ся асимметрия спектра отражения R^∓(Ω) при смене

T (Ω) (19)? Из рис. 3 видно, что основные закономер-

знака угла падения: R^-(Ω) > R⁺(Ω) — кривые 1, 2

ности эффекта Бормана сохраняются при выполне-

для R^-(Ω) и 3, 4 для R⁺(Ω). Также в случае θ > 0

нии условия широкополосной ОТ [26, 29], когда ши-

наблюдается увеличение коэффициента дифракци-

рина брэгговской кривой отражения ΔΩ существен-

онного отражения при усилении поглощения σ:

но меньше ширины линии неоднородного уширения:

R⁺(σ = 1.1) < R⁺(σ = 2) (кривые 3 и 4). В области

ΔΩ/γ∗2 ≪ 1.

существования PT-симметричных мод, т. е. ниже

ОТ при σ < 1, рис. 3б, величины R^∓(Ω) всегда, т.е.

при любом знаке угла θ, уменьшаются с увеличени-

ем поглощения σ (кривые 1, 2 и 3, 4). Независимо

от знака угла падения коэффициенты прохождения

T (Ω) уменьшаются при увеличении поглощения σ

в обоих случаях — как выше (рис. 3а), так и ниже

(рис. 3б ) ОТ (кривые 5 и 6). Особенность хода кри-

вой 5 на рис. 3б — наличие минимума при точном

выполнении условия Брэгга Ω = 0 — связана с ма-

ятниковым эффектом [39], т. е. периодической пере-

качкой энергии прямых волн бормановской и анти-

бормановской мод в дифрагированные волны и об-

ратно по мере распространения излучения вдоль

оси z. Маятниковый эффект существует ниже ОТ

при σ < 1 из-за ортогональности бормановской и ан-

тибормановской мод, Re q(1)0z = Re q(2)0z (13), и отсут-

ствует выше ОТ при σ > 1.

4. УСИЛЕНИЕ БРЭГГОВСКОЙ ДИФРАКЦИИ

ЗА СЧЕТ УВЕЛИЧЕНИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ

В ПАССИВНОМ PT-СИММЕТРИЧНОМ

ФОТОННОМ КРИСТАЛЛЕ

Для наглядного объяснения полученных выше

закономерностей в эффекте Бормана в пассивной

PT-симметричной среде — асимметрии дифракци-

онного отражения при смене знака угла падения

и роста амплитуды дифрагированного поля при уве-

личении параметра поглощения среды — рассмот-

рим простой частный случай. Пусть в среде точно

выполняются условие Брэгга α_s = 0 и условие резо-

нанса ω = ω₀, т. е. ε^′(ω₀) = 0 (см. (6)). Коэффициен-

ты поглощения бормановской и антибормановской

Рис. 3. а) Спектры отражения R^-(Ω) при σ > 1: σ = 1.1

мод определяются мнимыми частями констант рас-

и 2.0 (кривые 1 и 2), R⁺(Ω) при σ = 1.1 и 2.0 (кривые 3

пространения Im q(1,2)0z (13). Тогда из (13) при σ < 1

и 4), и прохождения T(Ω) при σ = 1.1 и σ = 2.0 (кривые 5

получим, что

и 6) при различных знаках угла θB. б) Спектры отраже-

ния R^-(Ω) при σ < 1 : σ = 0.3 и 0.9 (кривые 1 и 2), R⁺(Ω)

Im q(1,2)0z =

ε^′σ,

(22a)

2γ₀

при σ = 0.3 и 0.9 (кривые 3 и 4), и прохождения T(Ω)

а при σ ≥ 1 —

[

]

при σ = 0.3 и 0.9 (кривые 5 и 6) при различных знаках

√

Im q(1,2)0z =

ε^′ σ ∓

σ² - 1 ,

(22b)

угла θB . Расчеты выполнены в условиях широкополосной

2γ₀

ОТ: γ2/ω0 = 0.005, γ²/ω0 = 0.1 ≫ ΔΩ/ω0. Форма линии

g(ω0 -ω⁰) — гауссова. Остальные параметры такие же, как

где γ²⁰ = ε₀ - (q0x/k)². Из графиков, построенных

в подписи к рис. 2

на основе этих формул на рис. 4а, видно, что в слу-

327

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

В. А. Бушуев, Б. И. Манцызов

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

чае относительно слабого поглощения, σ < 1, вели-

из-за изменения величины коэффициентов Фурье ε_s

чина Im q(1,2)0z(σ) и, следовательно, поглощение сре-

в (16) при s = +1 ↔ -1. В случае пассивного PT-

ды линейно возрастают с увеличением σ. Прояв-

симметричного ФК зависимости амплитуд дифраги-

ление этого роста поглощения наблюдается также

рованных волн R⁺(σ) и R^-(σ) от параметра погло-

и в уменьшении коэффициентов отражения R^∓(Ω)

щения σ различаются. Действительно, из (16) сле-

на графиках рис. 3б (кривые 1, 2 и 3, 4). В особой

дует, что при θ_B > 0

точке σ = 1 происходит распад PT-симметричной

√

части решения и бифуркация кривой Im q(1,2)0z(σ)

1-σ

A+h1 = -A+h2 = -

(23)

(рис. 4а). При σ > 1 бормановская мода поглоща-

1+σ

ется слабее (кривая 1), чем антибормановская (кри-

а в случае θ_B < 0

вая 2). Более того, в некотором интервале значе-

√

ний σ выше ОТ на кривой 1 для бормановской мо-

1+σ

A-h1 = -A-h2 = -

(24)

ды наблюдается минимум. Качественно различное

1-σ

поглощение бормановской и антибормановской мод

совпадает с эффектом Бормана в обычном поглоща-

Здесь A_in = 1.

ющем ФК [34, 35] (см. рис. 4б, кривая 3).

Как видно из (23), в особой точке спонтанного

распада PT-симметричной части решения, т. е. при

σ = 1, модули амплитуд A+h1,2 равны нулю и далее

возрастают при увеличении поглощения σ > 1, т.е.

выше порога ОТ. Поэтому можно ожидать, что и ко-

эффициент дифракционного отражения R⁺ будет

возрастать при увеличении поглощения σ в окрест-

ности ОТ, что соответствует рис. 2а (кривые 1 и 2)

и рис. 3а (кривые 3 и 4). Амплитуды A-h1,2 (24)

стремятся к бесконечности в ОТ, но с различны-

ми знаками, а затем монотонно убывают. Из соот-

ношений (17) и (18) прямое и дифрагированное по-

ля E₀(z, σ) и E_h(z, σ) в (11) при θ_B > 0 запишутся

в виде

[

]

E₀(z, σ) =

e-μ(σ)z

eβ(σ)z + e-β(σ)z

Рис. 4. а) Графики зависимостей Im q(1,2)0z(σ) для борма-

√

(25)

σ-1

[

]

новской (кривая 1) и антибормановской (кривая 2) мод.

E_h(z, σ) = -

e-μ(σ)z

eβ(σ)z - e-β(σ)z

б) Зависимости коэффициентов дифракционного отраже-

σ+1

ния при различных знаках угла падения излучения для

где

√

пассивного PT-симметричного ФК R^∓(σ) (кривые 1 и 2)

kε^′σ

kε^′

σ² - 1

и для традиционного ФК Ro(σ) (кривая 3) от параметра

μ(σ) =

β(σ) =

2γ₀

4γ₀

поглощения σ. в) Зависимости отношений коэффициен-

√

тов отражения R^-/Ro (кривая 1) и R⁺/Ro (кривая 2)

γ₀ = ε₀ - sin² θ_B.

от σ. г) Зависимости коэффициентов прохождения для

пассивного PT-симметричного ФК T⁺(σ) = T^-(σ) (кри-

Коэффициент поглощения удобно представить в ви-

вая 1), а также для традиционного ФК To(σ) (штриховая

де μ(σ) = L-1EP σ, где LEP = 2γ0/kε′ — толщина

кривая 2). Толщина ФК L = LEP = 0.26 мм, остальные

структуры, равная длине поглощения в ОТ σ = 1.

параметры такие же, как в подписи к рис. 2

На рис. 4б представлены графики зависимостей

Однако основной особенностью брэгговской ди-

коэффициентов дифракционного отражения R^∓(σ)

фракции в геометрии Лауэ в PT-симметричном ФК

от параметра поглощения σ для пассивного PT-

является асимметрия отклика среды при смене зна-

симметричного ФК (кривые 1 и 2), рассчитанные

ка угла падения излучения на структуру [26,27,29].

по формулам (20). Для сравнения представлен так-

Это приводит не только к асимметрии дифракцион-

же график R_o(σ) (кривая 3) для традиционного

ного отражения R⁺ = R^-, но и к увеличению коэф-

поглощающего ФК с диэлектрической проницаемо-

фициента отражения R⁺(σ) при росте поглощения.

стью ε(x, ω) (21). Из (21) следует, что в соотношени-

Изменение амплитуд дифрагированных волн Ah1,2

ях (13), (16), (19) и (20) коэффициенты Фурье ε1,-1

при смене знака брэгговского угла θ_B происходит

имеют следующий вид: ε₁ = ε-1 = (ε^′/2)(1 + iσ).

328

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Асимметричный эффект Бормана. . .

Из графиков на рис. 4б видно, что при отрица-

зрения использование описанного асимметричного

тельном угле падения величина R^-(σ) (кривая 1)

эффекта Бормана в пассивных PT-симметричных

монотонно убывает с ростом поглощения аналогич-

ФК позволит предложить новые способы управ-

но случаю традиционного ФК (кривая 3), что объ-

ления динамикой и параметрами световых пучков

ясняет уменьшение R^-(σ) с ростом σ на рис. 2б

в структурах с решеточной дисперсией.

и 3а. Если же θ_B > 0, то коэффициент дифрак-

ционного отражения R⁺(σ) (кривая 2) возраста-

ет при увеличении поглощения в области выше

ЛИТЕРАТУРА

ОТ, 1 < σ < 2. Аналогичные закономерности наблю-

C. M. Bender and S. Boettcher, Phys. Rev. Lett.

даются для кривых отражения при эффекте Борма-

80, 5243 (1998).

на на рис. 2а (кривые 1 и 2) и рис. 3а (кривые 3

и 4). Видно, что ниже ОТ величина R^-(σ) (кри-

C. M. Bender, D. C. Brody, and H. F. Jones, Phys.

вая 1) убывает медленнее, чем R_o(σ) (кривая 3).

Rev. Lett. 89, 270401 (2002).

Графики на рис. 4в показывают изменение отно-

Z. Bian, L. Xiao, K. Wang et al., Phys. Rev. Res. 2,

сительных коэффициентов отражения R^∓/R_o в за-

022039(R) (2020).

висимости от поглощения σ. При θ_B > 0 это от-

Parity-time Symmetry and Its Applications, ed. by

ношение монотонно увеличивается в области выше

D. Christodoulides, J. Yang, Springer Tracts Mod.

ОТ, тогда как при θ_B < 0 оно уменьшается и стре-

Phys., Vol. 280, Springer, Singapore (2018).

мится к единице с ростом параметра поглощения.

Зависимости коэффициентов прохождения

M.-A. Miri and A. Alù, Science 363, eaar7709 (2019).

на рис. 4г для пассивного PT-симметричного ФК

А. А. Зябловский, А. П. Виноградов, А. А. Пухов

T⁺(σ) = T^-(σ) (кривая 1), рассчитанные по фор-

и др., УФН 184, 1177 (2014).

муле (19), практически совпадают с зависимостью

коэффициента прохождения для традиционного

V. V. Konotop, J. Yang, and D. A. Zezyulin, Rev.

Mod. Phys. 88, 035002 (2016).

ФК T_o(σ) (кривая 2).

S. K. Moayedi and A. Rostami, Europ. Phys. J. B

36, 359 (2003).

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

A. Ruschhaupt, F. Delgado, and J. G. Muga, J. Phys.

A 38, L171 (2005).

В настоящей работе аналитическим спектраль-

ным методом решена задача распространения оп-

10.

R. El-Ganainy, K. G. Makris, D. N. Christodoulides

тического излучения в пассивном PT-симметричном

et al., Opt. Lett. 32, 2632 (2007).

ФК в условиях динамической брэгговской дифрак-

11.

C. E. Ruter, K. G. Makris, R. El-Ganainy et al., Na-

ции в геометрии Лауэ. Показано, что в пассивном

ture Phys. 6, 192 (2010).

PT-симметричном ФК наблюдается эффект Борма-

на — уменьшение поглощения в среде при выполне-

12.

A. Guo, G. J. Salamo, D. Duchesne et al., Phys. Rev.

нии брэгговского условия. Эффект имеет ряд спе-

Lett. 103, 093902 (2009).

цифических особенностей по сравнению со случа-

13.

K. H. Kim, M. S. Hwang, H. R. Kim et al., Nature

ем традиционного поглощающего ФК. Во-первых,

Commun. 7, 13893 (2016).

эффект Бормана становится асимметричным по от-

ношению к смене знака брэгговского угла падения

14.

A. Mostafazadeh, Phys. Rev. Lett.

102, 220402

(2009).

на структуру — эффект усиливается при отрица-

тельном угле падения. Во-вторых, в окрестности

15.

A. Mostafazadeh, Phys. Rev. Lett.

110, 260402

особой точки в случае положительного угла паде-

(2013).

ния наблюдается увеличение амплитуды прошедшей

16.

Y. D. Chong, L. Ge, H. Cao, and A. D. Stone, Phys.

дифрагированной волны за счет роста поглощения

Rev. Lett. 105, 053901 (2010).

среды. Полученные результаты для пассивных PT-

симметричных структур имеют значительный фун-

17.

S. Longhi and L. Feng, Opt. Lett. 39, 5026 (2014).

даментальный интерес, поскольку открывают воз-

18.

Z. J. Wong, Y. Xu, J. Kim et al., Nature Photon. 10,

можности для экспериментальных исследований но-

796 (2016).

вых PT-симметричных явлений в более простых чи-

сто поглощающих структурах. С прикладной точки

19.

S. Longhi, Phys. Rev. Lett. 103, 123601 (2009).

329

В. А. Бушуев, Б. И. Манцызов

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

20. Y. L. Xu, W. S. Fegadolli, L. Gan et al., Nature Com-

30. M. Ornigotti and A. Szameit, J. Opt.

16, 065501

mun. 7, 11319 (2016).

(2014).

21. M. Kulishov, J. M. Laniel, N. Bélanger et al., Opt.

31. Ş. K. Özdemir, S. Rotter, F. Nori et al., Nature

Express 13, 3068 (2005).

Mater. 18, 783 (2019).

22. Z. Lin, H. Ramezani, T. Eichelkraut et al., Phys.

32. X. Zhu, Y. Xu, Y. Zou et al., Appl. Phys. Lett. 109,

Rev. Lett. 106, 213901 (2011).

111101 (2016).

23. L. Feng, Y. Xu, W. S. Fegadolli et al., Nature Mater.

33. G. Borrmann, Phys. Z. 42, 157 (1941).

12, 108 (2012).

34. А. А. Скорынин, В. А. Бушуев, Б. И. Манцызов,

24. S. Longhi, Opt. Lett. 40, 5694 (2015).

ЖЭТФ 142, 64 (2012).

25. F. Loran and A. Mostafazadeh, Phys. Rev. A 100,

35. V. B. Novikov and T. V. Murzina, Opt. Lett.

42,

053846 (2019).

1389 (2017).

26. D. M. Tsvetkov, V. A. Bushuev, V. V. Konotop, and

36. Л. Аллен, Дж. Эберли, Оптический резонанс

B. I. Mantsyzov, Phys. Rev. A 98, 053844 (2018).

и двухуровневые атомы, Мир, Москва (1978).

27. D. M. Tsvetkov, V. A. Bushuev, and B. I. Mantsyzov,

37. A. Authier, Dynamical Theory of X-ray Diffraction,

Phys. Rev. A 99, 023846 (2019).

Oxford Univ. Press, Oxford (2004).

28. V. A. Bushuev, D. M. Tsvetkov, V. V. Konotop, and

38. A. A. Zyablovsky, A. P. Vinogradov, A. V. Doro-

B. I. Mantsyzov, Opt. Lett. 44, 5667 (2019).

feenko et al., Phys. Rev. A 89, 033808 (2014).

29. D. M. Tsvetkov, V. A. Bushuev, and B. I. Mantsyzov,

39. V. A. Bushuev, L. V. Dergacheva, and B. I. Mantsy-

Opt. Express 29, 10, 14548 (2021).

zov, Phys. Rev. A 95, 033843 (2017).

330