ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 3 (9), стр. 331-338
© 2022
ДЕКОГЕРЕНЦИЯ КОНДЕНСАТА В ГИБРИДНОМ
АТОМАРНО-ОПТИЧЕСКОМ КВАНТОВОМ ГИРОСКОПЕ
В. А. Томилин*, Л. В. Ильичёв
Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук
630090, Новосибирск, Россия
Поступила в редакцию 1 мая 2022 г.,
после переработки 1 мая 2022 г.
Принята к публикации 24 мая 2022 г.
Развивается идея гибридного атомарно-оптического квантового гироскопа, главным элементом которо-
го является кольцевая структура бозе-эйнштейновского конденсата атомов. Зондирующее оптическое
излучение обеспечивает чувствительность системы к вращению и регистрирует в режиме оптической
интерферометрии реакцию конденсата на вращение. Процесс измерения угловой скорости вращения
гироскопа может в идеале осуществляться без потери атомов, но неизбежно приводит к деградации
пространственной когерентности конденсата. Построена математическая модель этого принципиально
важного явления. Выведено квантовое управляющее уравнение для состояния конденсата и получено
его аналитическое решение при относительно медленной декогеренции.
DOI: 10.31857/S004445102209005X
ния. Весьма привлекательным было бы создание ги-
EDN: EKGRCA
роскопа, который использует преимущества BEC,
однако не предполагает потери атомов в процес-
се функционирования. В работе [9] была предло-
1. ВВЕДЕНИЕ
жена схема гибридного атомарно-оптического кван-
тового гироскопа. Его основой является кольцевая
Прогресс в методах создания и контроля атомар-
структура ВЕС, нарушенная на узком участке до-
ного конденсата Бозе—Эйнштейна (ВЕС) позволя-
полнительным оптическим потенциалом. Это дела-
ет рассматривать перспективные схемы его приме-
ет состояние конденсата чувствительным к враще-
нения в метрологии [1-4]. Одним из практически
нию системы отсчета всего устройства в плоско-
значимых приложений является использование BEC
сти кольца. Роль излучения двоякая: оптический
в устройствах инерциальной навигации. Ценным ре-
пучок создает упомянутый дополнительный потен-
сурсом при этом оказывается пространственная ко-
циал и одновременно считывает информацию о ре-
герентность конденсата как макроскопической про-
акции конденсата на вращение. Пучок приобретает
тяженной квантовой системы. Ее наличие теорети-
фазовый сдвиг, зависящий от числа попавших в него
чески позволяет инициализировать конденсат в раз-
атомов и регистрируемый интерферометром Маха—
личных экзотических квантовых состояниях, напри-
Цандера (MZI). Модификация состояния конденса-
мер NOON-состояниях [5, 6] или запутанных коге-
та при вращении с угловой скоростью Ω меняет этот
рентных состояниях [7], что может существенно по-
фазовый сдвиг: Θ = Θ(Ω).
высить чувствительность таких устройств.
Все известные нам схемы квантовой гироскопии
Измерение Ω по сдвигу интерференционной кар-
с использованием ультрахолодных атомов основа-
тины на выходе MZI не требует разрушения конден-
ны на прямой регистрации интерференции волн ма-
сата для наблюдении его интерференции, как это
терии. В их основе лежит эффект влияния вра-
имеет место в ранее предложенных схемах гироско-
щения на наклон полос при интерференции фраг-
пии на основе ВЕС, и может проходить без потери
ментов единого конденсата [8]. При этом неизбеж-
атомов. Однако указанный эффект использует про-
но разрушение конденсата при проведении измере-
странственную когерентность конденсата — именно
она определяет его сильную реакцию на вращение
* E-mail: 342tomilin@mail.ru
и поэтому принципиально важна.
331
В. А. Томилин, Л. В. Ильичёв
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
В работе [9] использовалась простейшая модель
тора связана с амплитудой падающего пучка соот-
конденсата, где он описывается единой волновой
ношением [9]
функцией. При этом была отмечена ограниченность
1-e-νl/ceiφ(n)l/c
такого подхода. Действительно, через зондирующий
α1(n) =
α0 = eiΘ(n)α0.
(1)
1-e-νl/ce-iφ(n)l/c
оптический пучок информация о состоянии конден-
сата (о числе атомов в области пучка) поступает
Здесь l — длина резонатора, ν — параметр размер-
√
в окружение. Происходит своего рода непрерывное
ности частоты такой, что фактор e-νl/c =
1-T,
измерение. Конденсат становится открытой кванто-
где T
— коэффициент отражения зеркала
вой системой, поэтому пространственная когерент-
на входе-выходе резонатора (c
— скорость све-
ность ВЕС неизбежно деградирует при функцио-
та), φ(n)
= nU/ℏ, n — число атомов в пучке,
нировании гироскопа. Предметом настоящей рабо-
U — величина потенциала, создаваемого пучком.
ты является построение теоретической модели это-
Для простоты считается, что кольцевой резонатор
го процесса, без чего предлагаемая схема гироскопа
отрегулирован так, что фазовый сдвиг, вносимый
не может считаться полной.
удлинением пути пучка в резонаторе, пренебре-
жимо мал и величина Θ(n) обусловлена только
Конденсат описывается в рамках формализма
присутствием атомов конденсата в пучке. Если
вторичного квантования. Это позволяет корректно
их число становится оператором n, операторную
вывести основное управляющее уравнение для ста-
природу по отношению к состоянию конденсата
тистического оператора (матрицы плотности) кон-
денсата. Оказывается возможным получить ана-
приобретает и амплитуда α1(n). Считаем, что
сбалансированный делитель пучка на входе MZI
литическое решение этого уравнения в широком
диапазоне входящих в него параметров. Это да-
создает амплитуды α0 в каждом из внутренних
плеч интерферометра. Амплитуды после выходного
ет математическую модель эволюции состояния
(сбалансированного) делителя пучка,
ВЕС во времени при функционировании гироско-
па, т. е. наиболее полное описание процесса деко-
1
(
)
α±(n) =
√
α0 ± α1(n)
,
(2)
геренции конденсата. Воздействие нерезонансного
2
оптического излучения на атомарные конденсаты,
также становятся операторами α±(n).
приводящее к декогеренции, изучалось и ранее [10-
14] в основном в контексте получения их фазово-
контрастных изображений в непрерывном и им-
пульсном режимах. К сожалению, нет возможности
непосредственно воспользоваться вариантами опи-
сания эволюции конденсата как открытой кванто-
вой системы, примененными в работах [10-14], по-
скольку специфика каждой решаемой задачи при-
вносит свои особенности в вывод и форму соответ-
ствующего эволюционного уравнения.
В разд. 2 построен фрагмент основного управля-
ющего уравнения, отвечающий за явление декоге-
ренции. Вывод этого уравнения и его решение при-
ведены в разд. 3. В разд. 4 подводятся основные ито-
ги и кратко намечены направления дальнейших ис-
следований.
2. МОДЕЛЬ ДЕКОГЕРЕНЦИИ
Принципиальная схема атомно-оптического гироскопа. Все
Мы сохраним, где это возможно, обозначения ра-
устройство находится во вращающейся системе отсчета.
боты [9]. Вывод управляющего уравнения целесооб-
Направление вектора угловой скорости Ω этого вращения
разно начать с рассмотрения кольцевого резонато-
показано стрелкой
ра в схеме гироскопа (рисунок). Его роль состоит
в формировании оптического пучка, зондирующего
Компоненты искомого управляющего уравнения,
кольцо с ВЕС. Амплитуда пучка на выходе резона- ответственные за декогеренцию конденсата, долж-
332
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
Декогеренция конденсата. . .
ны образовывать трехчленную структуру Линдбла-
Из выражения (1) следует, что фаза Θ являет-
да, универсально возникающую при описании необ-
ся нечетной функцией φ, следовательно при малых
ратимых процессов:
значениях φ величина Θ(n) оказывается пропорци-
ональной n. Выражение в круглых скобках в (6)
(∂t ϱ)decoh ∝
в этом пределе приобретает вид
∑
(
1
∝
ασ(n)ϱ ασ(n) -
ασ(n)ασ(n)ϱ-
eiζn ϱe-iζn - ϱ,
(7)
2
σ=+,-
)
1
где
-
ϱασ(n)ασ(n)
(3)
2Ul
2
ζ =
(
).
ℏc
1-e
lν/c
Здесь ϱ — статистический оператор атомарного кон-
денсата; операторами Линдблада являются ампли-
В наинизшем порядке по ζ имеем
туды α±(n) и их сопряженные α±(n). Этот выбор
обоснован тем, что след первого (так называемого
(∂t ϱ)decoh =
сэндвичного) слагаемого в правой части соотноше-
∑
|α0|2c
|α0|2c
ния (3),σ=± Tr[ασ(n)ασ(n)ϱ], оказывается тогда
=i
ζ[n, ϱ] +
ζ2(2nϱn - n2 ϱ- ϱn2).
(8)
L
2L
пропорциональным частоте регистрации фотоотсче-
Первое слагаемое в правой части имеет динамиче-
тов на выходе интерферометра, т.е. интенсивности
скую природу, а второе описывает собственно про-
контактов ВЕС с окружением. Информация о числе
цесс разрушения когерентности конденсата по чис-
атомов в пучке содержится в разности
лам его атомов в пучке. Очевидно, что (8) — модель
[(
)
]
Tr
α+(n)α+(n) - α-(n)α-(n)
ϱ
=
слабой декогеренции. Именно она будет фигуриро-
[(
)
]
вать далее.
= Tr
α1(n)α0 + α1(n)α0)
ϱ
=
(
)
= 2|α0|2 Tr
cosΘ(n)ϱ
(4)
3. УПРАВЛЯЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО
Необходимо определить коэффициент пропорци-
РЕШЕНИЕ
ональности, превращающий соотношение (3) в ра-
венство. Он имеет размерность с-1 и может быть
Стационарные волновые функции Ψk(ϕ) ато-
найден через связь амплитуды α0 и напряженно-
ма на окружности, нарушенной потенциалом U(ϕ),
сти E поля оптической волны на входе резонатора:
подчинены уравнению [9, 15-17]
√
4πℏω
Ψ′′k(ϕ) - 2iξΨ′k(ϕ) - U(ϕ)Ψk(ϕ) = -EkΨk(ϕ).
(9)
E=
α0.
(5)
V
Здесь величина ξ пропорциональна скорости враще-
Здесь ω — частота излучения, а V — объем оптиче-
ния системы отсчета. Каждому (нормированному)
ской моды, к которой отнесена амплитуда α0. По-
решению Ψk(ϕ) можно сопоставить операторы рож-
лагаем V
= S L, где S — сечение пучка, а L —
дения
Ψ†
и уничтожения
Ψk атома в моде k:
k
длина когерентности1). Соотношение (5) позволяет
выразить α0 через легко контролируемую величину
∫
W = cSE2/4π — поступающую в MZI мощность. По-
Ψ†
= Ψk(ϕ
ψ†(ϕ)dϕ,
k
скольку та же мощность покидает интерферометр,
0
коэффициент пропорциональности в (3) равен c/L
(10)
∫
(обратное время когерентности). С учетом выраже-
Ψk = Ψ∗k(ϕ
ψ(ϕ)dϕ.
ний (1) и (2) имеем
0
|α0|2c(
)
(∂t ϱ)decoh =
eiΘ(n) ϱe-iΘ(n) - ϱ
(6)
Здесь
ψ†(ϕ) и
ψ(ϕ) — операторы рождения и уни-
L
чтожения атома в точке ϕ окружности. Они подчи-
Это наиболее общий вид структуры, отвечающей
няются соотношениям коммутации
за декогеренцию конденсата.
ψ(ϕ),ψ†(ϕ′)] = δ(ϕ - ϕ′),
ψ(ϕ),ψ(ϕ′)] = 0,
1) Считаем, что L ≫ l, т. е. конечная длина когерентности
излучения не мешает наблюдению интерференции, несмотря
Ψ†
из которых следует [Ψk,
] = δk,k′ . Это стандарт-
на удлинение пути в одном из плеч MZI из-за присутствия
k′
кольцевого интерферометра.
ное соотношение для операторов бозонных мод.
333
В. А. Томилин, Л. В. Ильичёв
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
Предполагаем прямоугольную форму потенциа-
Мы будем исходить из предположения возмож-
ла U(ϕ), равного U при -δ ≤ ϕ ≤ δ и нулю в осталь-
ности ограничиться основной модой Ψ0 (индекс
ных точках окружности. Ориентируясь на области
k = 0 будем далее опускать)2):
нулевого и ненулевого потенциалов, каждый опера-
(
)
тор
Ψk можно представить в виде
Ĥ′ ≃ E pâ†â + qb†b+ √pq(â†b+b†â)
(13)
Ψk =√pkâk +√qkbk.
Правая часть содержит оператор n = â†â числа ато-
Здесь введены вероятности обнаружить атом (при
мов в области потенциала (т. е. в области пучка).
условии помещения его в k-е состояние) внутри об-
С учетом (8) получаем управляющее уравнение для
ласти потенциала и вне ее:
системы атомов:
∫δ
Ĥ= Ĥ′- ζ|α0|2 c
â†â,
L
pk =
|Ψk(ϕ)|2 dϕ,
(
)
(14)
-δ
∂tϱ+ i[
Ĥ, ϱ] = γ 2nϱn - n2ϱ- ϱn2 ,
(11)
∫
γ = ζ2|α0|2c/2L.
qk =
|Ψk(ϕ)|2dϕ = 1 - pk,
δ
Нахождение общего решения этого уравнения
и соответствующие операторы уничтожения
является сложной задачей. Целесообразен поиск
приближенных подходов. Заметим, что с (14) есте-
∫δ
ственным образом ассоциируются два базиса в про-
1
странстве состояний ансамбля атомов. Первый, ко-
âk =
ψ(ϕ) dϕ,
√pk Ψk(ϕ
торый будем называть «кинетическим», диктуется
-δ
(12)
структурой Линдблада из правой части уравнения.
∫
1
Если полное число атомов фиксировано и равно N,
bk =
Ψ∗k(ϕ
ψ(ϕ) dϕ
√qk
то этот базис образован состояниями
δ
|n, N - n〉, n = 0, 1, . . . , N.
с бозевскими соотношениями коммутации
Использование кинетического базиса придает наи-
[âk, â†k′ ] = [bk,b†k′ ] = δk,k′ ,
[âk,b†k′ ] = 0.
более простой и естественный вид необратимой со-
ставляющей эволюции соответствующих матрич-
Гамильтониан системы невзаимодействую-
ных элементов статистического оператора ϱ. Эле-
щих атомов на кольце в формализме вторичного
менты
квантования предстает как сумма по модам:
〈n, N - n|ϱ|n′, N - n′〉
∑
Ĥ′ =
Ek Ψ†k Ψk.
в этом базисе под действием правой части управля-
k
ющего уравнения затухают со скоростями γ(n-n′)2.
Взаимодействие между атомами приводит к тому,
Второй, «динамический», базис
что атомы могут покидать конденсат. То же самое
происходит и при приведении во вращение изна-
|n1, N - n1〉, n1 = 0, 1, . . . , N
чально покоящегося конденсата. В таком случае при
описании системы необходимо было бы учитывать
2) Появление вместо одной моды Ψ двух мод, a и b, при
также состояние надконденсатных частиц. Мы огра-
описании конденсата не несет противоречия. Это следует
ничимся случаем, когда приготовление начального
из существования, помимо разложения
Ψ
=
√pâ +√qb,
ортогональной комбинации
Ψ⊥
=
√qâ -√pb такой, что
состояния конденсата осуществляется в уже враща-
[
Ψ⊥,
Ψ†] = 0. По этой причине для состояния конденсата
ющейся системе отсчета и факт вращения отражен
†
|BEC〉 ∝ (Ψ†)N |0〉at имеем 〈Ψ
⊥
Ψ⊥〉 = 0. В процессе функци-
в форме волновых функций мод Ψk(ϕ). В заклю-
онирования гироскопа из-за декогеренции последнее равен-
чительном разделе мы еще вернемся к возможному
ство нарушается. Описание действительно становится двух-
каналу появления надконденсатных атомов.
модовым.
334
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
Декогеренция конденсата. . .
диагонализует гамильтониан
Ĥ. Его удобно перепи-
M = (n1 -n2)/2 — собственное число оператора
S0:
сать в форме, явно приспособленной к динамическо-
S0|S, M〉 = M|S, M〉. Будем использовать обозначе-
му базису:
ние ϱ(S)(M, M′) для элементов матрицы плотности
〈S, M|ϱ|S, M′〉.
Ĥ= ω1ĉ†1ĉ1 + ω2ĉ†2ĉ2,
Гамильтониан в (14) можно записать в виде
â = cos(χ)ĉ1 + sin(χ)ĉ2,
ω1 + ω2
ω1 - ω2
Ĥ=
S+
S0.
(18)
b = -sin(χ)ĉ1 + cos(χ)ĉ2,
2
2
(
c)
ω1 = pE - ζ|α0|2
cos2(χ) + qE sin2(χ) -
Он задает динамическую часть эволюции матрицы
L
плотности:
-E
√pq sin(2χ),
(15)
(
c)
ω2 = pE - ζ|α0|2
sin2(χ) + qE cos2(χ) +
(∂tϱ(S)(M, M′))dyn =
L
ω1 - ω2
+E
√pq sin(2χ),
= -i
(M - M′)ϱ(S)(M, M′).
(19)
2
2√pqE
tg(2χ) =
,
(q - p)E + ζ|α0|2 c/L
Для оператора n имеем
Ĥ|n1, n2〉 = (ω1n1 + ω2n2)|n1, n2〉.
1
n=S+cos(2χ
S0 +
sin(2χ)
S+ +
S-).
(20)
2
Мы используем сходные обозначения для элементов
кинетического и динамического базисов. Левое чис-
Последнее слагаемое в правой части меняет чис-
ло в символах соответствующих кет-векторов обо-
ло M на ±1. Как следствие, в (∂tϱ(S)(M, M′))decoh
значает число атомов в моде a в первом случае
появляются матричные элементы, у которых раз-
и в моде c1 во втором. В дальнейшем каждый раз
ность M-чисел меняется на 0, ±1, ±2. Будем удер-
будет указан используемый базис.
живать в структуре Линдблада только слагаемые,
Предположим, что возможен выбор режима
порождающие «резонансные» матричные элемен-
функционирования гироскопа, в котором основной
ты с характером динамической эволюции из (19):
вклад в эволюцию состояния конденсата вно-
ϱ(S)(M, M′) и ϱ(S)(M ±1, M′ ±1). После этого управ-
сит динамика (т. е. декогеренция относительно
ляющее уравнение принимает вид
медленная). Для этого достаточно выполнения
ω1 - ω2
неравенства ω1 - ω2 ≫ Nγ. В таких условиях выбор
∂t ϱ = -i
S0, ϱ] +
2
для описания динамического базиса должен подска-
зать путь адекватного упрощения уравнения (14)
+ γ sin2(2χ)(SϱS - S(S + 1)ϱ) +
(
)
(21)
с последующим его решением. Целесообразно
+γ
2 cos2(2χ) - sin2(2χ)
×
(
)
несколько изменить форму записи динамическо-
1
1
×
S0
S0 -
S20 ϱ-
S2
го базиса. Пользуясь операторами
ĉ1,
ĉ2
и их
0
2
2
сопряженными, вводим в рамках представления
Здесь в последнем слагаемом использована вектор-
Жордана-Швингера [18, 19] операторы эффектив-
ная запись оператора псевдоспина в эффективном
ного квантового углового момента («псевдоспина»):
трехмерном пространстве с ортогональным репером
1
(e1, e2, e3):
S0 =
(ĉ†1ĉ1 - ĉ†2ĉ2),
S+ = ĉ†1ĉ2,
S+ = ĉ†2ĉ1.
(16)
2
e1 + ie2
e1 - ie2
Их соотношения коммутации:
S=
S+
√
+
S-
√
+
S0e3.
2
2
S0,S±] =
S±,
S+,S-] =
S0.
Для решения уравнения (21) удобно выделить
линейные комбинации матричных элементов, обра-
При фиксированном числе атомов получаем
зующие базис неприводимых представлений группы
]
[1
SU(2) в пространстве псевдоспина [20]:
S+
S- +
S-
S+) +
S2
ϱ = S(S + 1)ϱ,
(17)
0
2
ϱ(S)κσ =
где S
= N/2. Аналогичное соотношение име-
ет место и при правом действии выражения
∑
в квадратных скобках на ϱ. Элементы динамиче-
=
(-1)S-M′ 〈S M S - M′|κσ〉ϱ(S)(M, M′). (22)
ского базиса можно записывать как |S, M〉. Здесь
M,M′=-S
335
В. А. Томилин, Л. В. Ильичёв
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
Здесь κ = 0, 1, . . ., 2S; σ = -κ, 1-κ, . . ., κ. Эволюция
те [9], состоит в отсутствии необходимости разру-
величин ϱκσ выглядит просто:
шать структуру ВЕС для регистрации вращения че-
рез наблюдение интерференции атомов. В то же вре-
∂tϱ(S)κσ = -Γκσϱ(S)κσ,
мя пространственная когерентность конденсата ока-
1
Γκσ =
γ sin2(2χ)κ(κ + 1) -
зывается ценным расходуемым ресурсом, и требует-
2
ся построение модели ее деградации, без чего пред-
1
(
)
(23)
-
γσ2
2 cos2(2χ) - sin2(2χ)
+
лагаемая схема гироскопа остается неполной. Разру-
2
шение пространственной когерентности носит фун-
1
+i
(ω1 - ω2)σ.
даментальный характер и неотделимо от процесса
2
измерения угловой скорости вращения. При возник-
С помощью преобразования, обратного (22), полу-
новении информации о чувствительном к вращению
чаем вид эволюции элементов матрицы плотности
числе атомов в области пучка происходит неизбеж-
в динамическом базисе:
ная декогеренция конденсата.
В настоящей работе получено управляющее
ϱ(S)t(M, M′) =
∑
уравнение для статистического оператора кон-
=
K(S)t-t
(M, M′|M0, M′0)ϱ(S)t(M0, M′0),
0
0
денсата в общей форме, описывающее процесс
M0,M0
разрушения пространственной когерентности.
K(S)t-t
(M, M′|M0, M′0) =
В предположении медленности этого процесса
0
(24)
в сравнении с характерными скоростями гамиль-
∑
∑
(
)
= (-1)M′-M0
exp
-Γκσ(t - t0)
×
тоновой эволюции управляющее уравнение было
κ=0 σ=-κ
преобразовано к более простому виду (21), кото-
× 〈SMS - M′|κσ〉〈SM0S - M′0|κσ〉.
рый уже допускает аналитическое решение. Были
выведены соотношения связи контролируемых
Это
— общее решение управляющего уравне-
в эксперименте параметров с входящими в это
ния
(21). Его непосредственное использование
уравнение величинами ω1, ω2, χ и γ. Заметим, что
неудобно, если ориентироваться на значение
информация об угловой скорости вращения гиро-
S
∼ 106 (достижимое в настоящее время число
скопа отражена в значениях первых трех из них.
атомов в конденсате). Целесообразен поиск упро-
В работе [9] при некотором выборе основных па-
щающих приемов суммирования по M-числам.
раметров гироскопа с прицелом на измерение уг-
Заметим, что Γκσ содержат слагаемые, квадра-
ловой скорости вращения Земли вокруг своей оси
тичные по κ и описывающие при κ ≫ 1 быстрый
были сделаны основные оценки. В частности, при
в масштабе γ распад соответствующих κ-гармоник.
радиусе кольца с конденсатом R
= 0.2 см и ве-
Из выражений (23) видно, что этот распад может
личине сектора, занятого зондирующим пучком,
быть в принципе замедлен вторым слагаемым
0.1 рад наибольшая чувствительность достигается
при |σ|
∼ κ. Однако при этом ϱκσ оказываются
при глубине создаваемой им потенциальной ямы
быстроосциллирующими из-за последнего мнимого
U/ℏ = 0.4 · 10-3 с-1. Ориентируясь на эту величи-
слагаемого. Поэтому, если нет необходимости ис-
ну, положив длину кольцевого резонатора l = 6 см
следовать детали эволюции ϱt на временах, много
и выбрав наименее благоприятную нижнюю грани-
меньших γ-1, разумно ограничиться небольшими
цу допустимых значений ν ≃ 102 с-1, можно попро-
значениями κ. В пределе S ≫ κ существует ап-
бовать получить предварительную оценку скорости
проксимация коэффициентов Клебша—Гордана [20]
разрушения когерентности γ ≃ 8 с-1. При выборе
через матрицы вращения:
значений ν ближе к реалистичной правой границе
〈S M S - M′|κσ〉 ≃ d(κ)σ0(θ),
указанного в работе [9] допустимого интервала ско-
рость декогеренции падает до γ ∼ 10-2-10-1 с-1.
где cos θ ≃ (M + M′)/2S. Это приближение в ря-
Эти оценки сделаны для отстройки частоты зонди-
де случаев позволяет заменять суммирование в (24)
рующего излучения 3 · 108 с-1 от частоты перехо-
интегрированием по θ.
да D-линии атома87Rb.
На первый взгляд, полученные оценки выгля-
дят довольно оптимистично. Заметим, однако, что
4. ОБСУЖДЕНИЕ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
при выбранных параметрах среднее число фотонов
Явное достоинство схемы гибридного атомарно-
в кольцевом резонаторе оказывается крайне малым
оптического гироскопа, как было отмечено в рабо-
(для безразмерной амплитуды α поля внутри резо-
336
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
Декогеренция конденсата. . .
натора имеем |α|2 ∼ 10-5). Это важно, поскольку
динамическая эволюция под действием
Ĥat+ph при-
свидетельствует о сильных квантовых флуктуациях
ведет к возникновению квантовой запутанности ан-
величины потенциала, нарушающего однородность
самбля атомов и полевого кубита. Но состояние
кольцевой ловушки конденсата.
этой объединенной системы остается чистым, т. е.
Используемая в проведенной оценке величина U
представимым вектором гильбертова пространства.
является фактически значением потенциала, усред-
Эта чистота (когерентность) состояния объединен-
ненным по состоянию поля в кольцевом резонаторе.
ной системы становится ресурсом работы гироскопа,
Корректный учет флуктуаций потенциала и их вли-
в процессе которой при регистрации интерферен-
яния на скорость разрушения когерентности требу-
ции на выходе MZI статистический оператор ϱat+ph
ет решения уравнения (9) для волновых функций
приобретает смешанный характер. Заметим, что при
конденсата Ψ(nph)k(ϕ) при различных значениях nph
этом появляются надконденсатные атомы вне исход-
числа фотонов в резонаторе. Величина потенциа-
ной моды Ψ(0). Канал возникновения надконденсат-k
0
ла U(nph) ∝ nph. Малость среднего числа фотонов
ных атомов обеспечен ненулевым значением скаляр-
в резонаторе в определенном смысле облегчает за-
ного произведения 〈Ψ(0)k|Ψ(1)〉. Вычисление скоро-k
0
1
дачу учета флуктуаций, поскольку можно рассмат-
сти декогеренции с учетом квантовых флуктуаций
ривать всего две альтернативы, представленные фо-
и сравнение с приведенными выше оценками на ос-
ковскими состояниями |0〉 и |1〉 резонаторной моды,
нове усредненного потенциала требует дальнейших
т. е. иметь дело со своего рода «полевым кубитом».
исследований.
Соответственно, достаточно ограничиться наборами
Отмеченная малость среднего числа фотонов
Ψ(0)
в резонаторе явилась следствием необходимости
операторов
и Ψ(1)k (k = 0,1,2,...) и их сопря-
k
женными.
обеспечить указанную в оценке величину потенциа-
Если конденсат изначально приготавливается
ла U. Также к выводу о малости числа фотонов при-
в моде Ψ(0), то главным ее партнером во второйk
вели выбранные параметры резонатора. Поскольку
0
во всех случаях выбор осуществлялся в значитель-
группе окажется мода Ψ(1)k, чья энергия E(1) наи-k
1
1
ной степени случайно, есть основания полагать, что
более близка к E(0). В этих условиях разумной мо-k
0
он оказался далеко не оптимальным. В частности,
делью гамильтониана системы «атомы+мода резо-
нельзя исключать возможность нахождения диапа-
натора» является
зона параметров, не требующего квантового описа-
ния резонаторного пучка.
Ĥ′
=E(0)kΨ(0)†Ψ(0) ⊗ |0〉〈0| +k
at+ph
0
k0
0
Отметим, что фазовый сдвиг на выходе ин-
Ψ(1)†
+E(1)k
Ψ(1) ⊗ |1〉〈1|.
(25)
терферометра оказывается вполне регистрируемым
1
k1
k1
(по оценкам из [9] он составляет приблизитель-
Ψ(0)
Операторы
и Ψ(1) можно представить в видеk
но 0.04). Этот сдвиг фазы классического светового
k0
1
линейных комбинаций â и
b, имеющих, как и ранее,
пучка создается кольцевым резонатором со слабым
смысл операторов уничтожения атома внутри и вне
внутренним полем, зондирующим конденсат.
области потенциала. В частности, должно обеспечи-
Несмотря на то что рассмотренная схема
ваться соотношение [Ψ(0)k,Ψ(1)†k]
= 〈Ψ(0)k|Ψ(1)〉 (ска-k
не предполагает неизбежной потери атомов в про-
0
1
0
1
лярное произведение одноатомных волновых функ-
цессе работы, пространственная когерентность
ций). Гамильтониан
Ĥ′
содержит ту же четвер-
конденсата деградирует со временем. Это означает,
at+ph
что по истечении времени когерентности необходи-
ку операторов â†â,
b†b, â†b и
b†â, что и
Ĥ′ из (13),
мо восстанавливать исходное состояние конденсата
но теперь они представлены в произведении с фо-
для продолжения функционирования гироскопа.
тонными операторами. Поскольку контакт конден-
Детальное обсуждение методов осуществления этой
сата с окружением опосредован взаимодействием
процедуры выходит за рамки предмета настоя-
с модой резонатора, оператор n из (8) следует за-
менить на n ⊗ |1〉〈1|. В результате полученное ра-
щей статьи, целью которой была демонстрация
принципиальной пригодности описанной схемы
нее управляющее уравнение оказывается адаптиро-
для регистрации вращения. Тем не менее прогресс
ванным к случаю квантованной резонаторной моды
в методах создания нетривиальных пространствен-
в режиме малого числа фотонов. Соответствующим
ных конфигураций атомарных бозе-конденсатов
образом можно модифицировать и его решение.
позволяет надеяться на техническую возможность
При начальном состоянии
ее реализации. В частности, перспективными
(
)
|Φat+ph〉 ∝ (Ψ(0)†k)N |0〉at ⊗
|0〉 + α|1〉
являются стратегии управления состоянием бозе-
0
337
В. А. Томилин, Л. В. Ильичёв
ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022
конденсата на основе обратной связи [12, 13, 21].
6.
D. V. Tsarev, S. M. Arakelian, YouLin Chuang, Ray-
Поскольку модификации в этом случае подверга-
Kuang Lee, and A. P. Alodjants, Opt. Express 26,
ется гамильтонова эволюция системы (к примеру,
19583 (2018).
параметры поля, формирующего оптическую ло-
7.
J. Joo, W. J. Munro, and T. P. Spiller, Phys. Rev.
вушку), для рассмотренного выше случая слабой
Lett. 107, 083601 (2011).
декогеренции такие стратегии представляются
8.
O. I. Tolstikhin, T. Morishita, and S. Watanabe,
наиболее эффективными.
Phys. Rev. A 72, 051603R (2005).
Полученное в работе решение управляющего
уравнения позволяет в принципе найти корреляци-
9.
В. А. Томилин, Л. В. Ильичёв, Письма в ЖЭТФ
онную функцию числа атомов в пучке 〈n(t2)n(t1)〉,
113, 212 (2021).
где t2
> t1
≥ 0, а в нулевой момент времени,
10.
U. Leonhardt, T. Kiss, and P. Piwnicki, Eur. Phys.
по предположению, приготовлено полностью коге-
J. D 7, 413 (1999).
рентное состояние ВЕС и начинается функциониро-
11.
D. A. R. Dalvit, J. Dziarmaga, and R. Onofrio, Phys.
вание гироскопа. Это в свою очередь позволит опре-
Rev. A 65, 053604 (2002).
делить корреляционную функцию измеряемых зна-
чений угловой скорости и рассчитать в итоге деви-
12.
S. S. Szigeti, M. R. Hush, A. R. R. Carvalho, and
ацию Аллана в предлагаемой схеме.
J. J. Hope, Phys. Rev. A 80, 013614 (2009).
Финансирование.
Работа
выполнена
13.
S. S. Szigeti, M. R. Hush, A. R. R. Carvalho, and
в рамках Государственного задания (проект
J. J. Hope, Phys. Rev. A 82, 043632 (2010).
АААА-А21-121021800168-4) в Институте авто-
14.
E. O. IloOkeke and T. Byrnes, Phys. Rev. Lett. 112,
матики и электрометрии СО РАН. Участие одного
233602 (2014).
из авторов (И. Л. В.) поддержано Российским
научным фондом (грант 20-12-00081).
15.
H. Hartmann, Theor. Chim. Acta 24, 201 (1972).
16.
M. Kibler and P. Winternitz, J. Phys. A 20, 4097
(1987).
ЛИТЕРАТУРА
17.
L. Chetouani, L. Guechi, and T. F. Hammann, J.
1. J. J. Bollinger, W. M. Itano, and D. J. Wineland,
Math. Phys. 33, 3410 (1992).
Phys. Rev. A 54, R4649 (1996).
18.
P. Jordan, Z. Phys. 94, 531 (1935).
2. S. Boixo, A. Datta, M. J. Davis, A. Shaji, A. B. Tacla,
19.
J. Schwinger, in Quantum Theory of Angular Mo-
and C. M. Caves, Phys. Rev. A 80, 032103 (2009).
mentum, ed. by L. C. Biedenharn and H. Van Dam,
3. L. Pezze, A. Smerzi, M. K. Oberthaler, R. Schmied,
Academ. Press, New York (1965).
and P. Treutlein, Rev. Mod. Phys.
90, 035005
20.
Д. А. Варшалович, А. Н. Москалёв, В. К. Херсон-
(2018).
ский, Квантовая теория углового момента, Нау-
4. N. P. Robins, P. A. Altin, J. E. Debs, and J. D. Close,
ка, Ленинград (1975).
Phys. Rep. 529, 265296 (2013)
21.
T. Vanderbruggen, R. Kohlhaas, A. Bertoldi,
5. J. J. Cooper, D. W. Hallwood, and J. A. Dunning-
S. Bernon, A. Aspect, A. Landragin, and P. Bouyer,
ham, Phys. Rev. A 81, 043624 (2010).
Phys. Rev. Lett. 110, 210503 (2013).
338
