ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 3 (9), стр. 354-363

О РАСПРОСТРАНЕНИИ ГРАВИТОНА НА ФОНЕ

ИСКРИВЛЁННОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

Е. В. Арбузоваa,b*, А. Д. Долговc**, Л. А. Панасенкоc***

^a Кафедра высшей математики, Государственный университет «Дубна»,

141983, Московская обл., Дубна, Россия

^b Физический факультет, Новосибирский государственный университет,

630090, Новосибирск, Россия

^c Объединённый институт ядерных исследований,

141980, Московская обл., Дубна, Россия

Поступила в редакцию 02 апреля 2022 г.,

после переработки 02 апреля 2022 г.

Принята к публикации 17 мая 2022 г.

Анализируется уравнение, описывающее распространение гравитационных волн (ГВ) на фоне произ-

вольного искривленного пространства-времени. Найдены новые слагаемые, которые отсутствуют в об-

щепринятой однородной и изотропной космологии Фридмана. Представлено несколько реалистичных

примеров метрик, где проявляются эти новые слагаемые. Кратко обсуждаются возможные приложения

для ГВ очень низких частот.

DOI: 10.31857/S0044451022090073

но в произвольной фоновой метрике, см. уравнение

EDN: EKMVPJ

108.4. При этом уравнение сразу же сводится к слу-

чаю пустого пространства с исчезающим тензором

Риччи, R_μν = 0, чтобы получить каноническое урав-

1. ВВЕДЕНИЕ

нение D²h_μν = 0 (уравнение 108.7 из книги [1]). Тем

Распространение гравитационных волн (ГВ)

не менее, в книге явно указано, что ненулевой тен-

на фоне пространства Минковского и на фоне

зор Риччи изменит уравнение 108.7, и этот случай

искривленных пространств было детально рас-

может представлять интерес.

смотрено в литературе, например в книгах [1-6].

Соответствующий разд. 1.5 книги [4] соответ-

Однако в космологической ситуации рассмотрение

ствует разделу из книги [1], см. уравнение 1.172. Это

ограничено конформно-плоским пространством

уравнение также применено к пустому пространству

Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (ФЛРУ).

с исчезающим тензором энергии-импульса T_μν . Про-

В настоящей работе мы снимаем это ограничение

цитируем книгу [4]: «Снаружи от материальных ис-

и выводим уравнение движения гравитационных

точников T_μν = 0 . . . говорит нам, что Rμν = 0».

волн в произвольной пространственно-временной

Это немедленно исключает приложение уравнения

метрике. Мы показываем, что в уравнении для

1.172 к космологии, помимо тривиального случая

распространения ГВ на фоне произвольного

асимптотически высокой частоты. В этом случае

пространства-времени возникают дополнитель-

замываются все интересные эффекты, относящие-

ные слагаемые, отсутствующие в случае метрики

ся к метрике ФЛРУ и тем более к отклонениям

ФЛРУ.

от пространства-времени ФЛРУ.

Формально в классической книге [1] разложе-

В книге [4] утверждается, что невозможно за-

ние точного тензора кривизны до первого поряд-

фиксировать фоновую метрику, не вводя так на-

ка по малому тензору возмущения h_μν представле-

зываемые «низкие» и «высокие» члены, соответ-

ствующие медленно и быстро меняющимся вели-

^* E-mail: arbuzova@uni-dubna.ru

^** E-mail: dolgov@nsu.ru

чинам. Это условие противоречит основным рас-

^*** E-mail: l.vetoshkina@g.nsu.ru

суждениям в литературе о распространении ГВ

354

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 О распространении гравитона на фоне искривлённого пространства-времени

на фоне пространства-времени ФЛРУ. Общепри-

гаются не равными нулю. Разложим полный тензор

нято, что фоновая метрика обычно просто берет-

энергии-импульса T_μν как:

ся в форме ФЛРУ, и к каким-либо проблемам это

T_μν = T_μν + T(1)μν,

(3)

не приводит.

В настоящей работе проведена незначительная

где T_μν — тензор энергии-импульса фоновой мате-

(хотя технически более сложная) модификация опи-

рии, а

μν

— индуцированный возмущениями.

сания распространения ГВ в пространстве-времени,

Плотность энергии гравитационных волн явля-

отличном от ФЛРУ, с примерами реалистичной фо-

ется величиной второго порядка по h_μν, и ей пре-

новой метрики, которая определяется аналогично

небрегают, как и всеми другими вкладами второго

определению фона ФЛРУ. Обнаружено, что в таком

порядка. Обычно предполагается, что

μ для сме-

случае более общей метрики существует несколь-

шанных компонент равен нулю. Это условие зависит

ко новых членов в уравнении, описывающем рас-

от типа возмущений материи и, как хорошо извест-

пространение ГВ, а также имеет место смешивание

но, может быть выполнено для идеальной жидко-

тензорных мод со скалярными. Все это отсутствует

сти. При таком условии уравнение (1), переписанное

в случае фона ФЛРУ.

в терминах смешанных компонент, сохраняет одну

Важно отметить, что для пространства-времени,

и ту же форму как в пустом, так и в заполненном

отличного от пространства ФЛРУ, невозможно вве-

пространстве.

сти стандартные условия калибровки, допустимые

Однако тут есть тонкий момент. Если наивно

для метрики Минковского и метрики ФЛРУ. Из-за

поднять или опустить индексы в

μ при помо-

этого усложнения нельзя разделить распростране-

щи фоновой метрики, то можно заключить, что

ние чистых тензорных от скалярных и/или вектор-

μν

= 0. Если это так, то уравнения для распростра-

ных мод. Хорошо известен тот факт, что может су-

нения ГВ в терминах смешанных и нижних компо-

ществовать смешивание между тензорными и ска-

нент не будут эквивалентны для произвольной мет-

лярными модами в присутствии материи и сильной

рики, а не только для метрики ФЛРУ. Действи-

анизотропии (как в пространстве-времени Бьянки

тельно, далее показано, что если

= 0, тогда

первого типа) или в присутствии неоднородностей.

μν

= 0, и учет этого факта приводит к эквивалент-

Однако в настоящей работе сделан более общий

ным уравнениям в терминах смешанных и нижних

вывод без указания какой-либо конкретной формы

компонент в произвольной метрике.

метрики.

С другой стороны, если предположить, что

Как показано в книге [2], распространение гра-

μν

= 0, то результирующее уравнение в запол-

витона в пустом, но искривленном пространстве-

ненном пространстве должно было бы значительно

времени описывается уравнением

отличаться, даже в пространстве ФЛРУ, от при-

нятого в литературе канонического уравнения,

D_αD^αh_μν - 2R_αμνβh^αβ = 0,

(1)

записанного в терминах смешанных компонент

h^μν, не говоря уже о произвольном пространстве-

где h_μν — тензор возмущения полной метрики:

времени, рассматриваемом в настоящей работе.

В общепринятом подходе к описанию распро-

gμν = gμν + hμν ,

(2)

странения гравитационных волн на фоне ФЛРУ

вводятся следующие условия поперечности и бессле-

gμν — фоновая метрика, ковариантная производ-

довости h^μν:

ная D_α определена относительно фоновой метрики,

D_μh^μν = 0, and h^μμ = 0.

(4)

а R_αμνβ — тензор Римана в фоновом пространстве-

времени, который предполагается не равным нулю,

Во многих работах проверено, что уравнение (1)

в то время как тензор Риччи исчезает, R_μν = 0.

позволяет ввести эти условия в пространстве Эйн-

В статье [7] утверждается, что левая часть урав-

штейна (в пустом пространстве) с R_μν = 0. Также

нения

(1) не изменится в случае распростране-

хорошо известно, что аналогичное верно и для за-

ния гравитона в однородной и изотропной вселен-

полненного пространства-времени ФЛРУ. Но, ока-

ной, описываемой канонической метрикой ФЛРУ

залось, что эти условия нарушаются в пространстве-

и для пространства-времени, заполненного идеаль-

времени с произвольной метрикой, отличной от мет-

ной жидкостью. Как тензор энергии-импульса фо-

рики ФЛРУ. Следовательно, могут распространять-

на, T_μν , так и поправка к нему первого поряд-

ся продольные (скалярные) моды ГВ, и в общем слу-

ка,

μν , так же как тензор Риччи, Rμν , предпола-

чае тензорные и скалярные моды смешиваются. Эта

355

Е. В. Арбузова, А. Д. Долгов, Л. А. Панасенко

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

ситуация схожа с распространением продольной мо-

ношению к трехмерным преобразованиям (вращени-

ды электромагнитной волны в плазме и возникнове-

ям): скалярные (h^tt и hⁱⁱ), векторные (h^it, ∂_ih^it = 0)

нием ненулевой эффективной массы фотона, равной

и тензорные (h^ji) возмущения. Свобода выбора ко-

плазменной частоте.

ординат позволяет ввести следующие условия на h^ji :

Наши результаты полностью согласуются,

∂_ih^ij = 0, hⁱⁱ = 0,

(7)

в частности, с результатами работы [8], где рас-

сматривается очень частный случай Риччи-плоской

в локальной системе отсчета с метрикой Минков-

метрики (т. е. пространства с R_μν

= 0), а также

ского. Эти условия могут быть введены также гло-

с результатами, приведенными в многочисленной

бально в конформно-плоской метрике ФЛРУ. Таким

существующей литературе, посвященной распро-

образом, тензорная мода h^ji имеет только две неза-

странению ГВ в пространстве-вермени ФЛРУ

висимые компоненты, описывающие распростране-

с R_μν = 0.

ние безмассового кванта с двумя, как и поло-

Кажущееся несоответствие между уравнениями,

жено, ортогональными состояниями поляризации,

описывающими распространение ГВ в терминах h_μν

то есть распространение гравитационной волны. Од-

и h^μν, связано с тем фактом, что

μν

= g_μα

нако в общем случае пространства-времени это мо-

Действительно,

жет быть неверным и могут возбуждаться дополни-

тельные степени свободы. Проблема выбора калиб-

T_μν = g_ανT^αμ = (g_αν + h_αν)(T^αμ + T(1)αν),

(5)

ровки в произвольном пространстве-времени рас-

смотрена в разд. 2.

так что

μν

=h_ανT^αμ +g_μα

. Прибавление это-

го слагаемого в правой части уравнения (1) позво-

Обычно эти возмущения рассматриваются либо

ляет наложить условие поперечности на это урав-

над вакуумными решениями уравнения Эйнштейна,

нение, поэтому дополнительные моды распростра-

либо над фоновым пространством-временем ФЛРУ

нения не возбуждаются на фоне ФЛРУ, в проти-

с метрикой

воположность выраженному в статье [8] опасению.

ds2F = dt² - a²(t)δ_ij dxⁱ dx^j .

(8)

Подробнее см. обсуждение ниже уравнения (28).

В книге [6] детальный вывод уравнения, описы-

Далее для простоты предполагаем, что метрика

вающего распространение ГВ на фоне ФЛРУ пред-

ФЛРУ пространственно плоская. Переход от этой

ставлен для интервала фона, выраженного в терми-

метрики к конформной (6) осуществляется с помо-

нах конформного времени τ:

щью линейного преобразования между временными

компонентами координат, dt = a(τ) dτ.

ds² = a²(τ)(dτ² - δ_ij dxⁱ dx^j )

(6)

Генерация и распространение гравитацион-

в предположении, что a(τ) — это скаляр относи-

ных волн в космологии ФЛРУ было изучено

тельно преобразований координат. Здесь δ_ij — сим-

в работах [7, 11-13]. Согласно теореме Паркера,

вол Кронекера. Для конформно-плоской метрики

см. работы [14, 15], генерация безмассовых частиц

ФЛРУ удобно осуществлять переход к конформно-

конформно-плоской пространственно-временной

му времени, но в рассматриваемом случае произ-

метрикой (какой, в частности, является метрика

вольного пространства-времени этот переход не осо-

ФЛРУ) запрещена, если соответствующие полевые

бенно полезен, потому что метрика, которая не яв-

уравнения являются конформно инвариантными.

ляется конформно-плоской, не может быть преоб-

Это верно для безмассовых фермионов, конформно-

разована к форме, пропорциональной метрике Мин-

связанных скаляров и безмассовых векторных по-

ковского.

лей, вплоть до возможного нарушения конформной

В настоящей работе уравнение (1) обобщается

инвариантности аномалией следа [16]. В работе [7]

для случая распространения гравитона на фоне про-

было открыто, что гравитоны могут генерироваться

извольного пространства-времени. Показано, что

в конформно-плоском пространстве-времени, так

в левой части этого уравнения появляются новые

как их уравнение движения не является конформно-

члены, которые исчезают в метрике ФЛРУ и кото-

инвариантным. Гравитационные волны могли бы

рые могут доминировать в пределе низких частот.

эффективно генерироваться в течение космоло-

Напомним, что впервые исследование возмуще-

гической инфляции [12, 13]. Их, вероятно, можно

ний метрики было проведено в работе [9], см. так-

будет наблюдать с помощью космического интер-

же [10], где показано, что h_μν должны быть разделе-

ферометра LISA, который предположительно даст

ны на три типа в соответствии с их свойствам по от-

информацию о механизмах первичной инфляции.

356

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 О распространении гравитона на фоне искривлённого пространства-времени

Статья построена следующим образом. Раздел 2

ветственно, параметры ξμ2) должны удовлетворять

посвящен выбору калибровки для мод четырехмер-

уравнению

ного тензора в произвольном пространстве-времени

D²ξ(2)μ + R^νμξ(2)ν = 0.

(11)

и сравнению его с распространенной калибровкой

Таким образом, мы можем использовать четыре до-

в метрике ФЛРУ. В разд. 3 выводятся уравне-

полнительные функции ξμ2) для того, чтобы зафик-

ния, описывающие распространение гравитацион-

сировать калибровку.

ных волн в произвольном пространстве-времени,

В книге [1] эта свобода была использована для

при этом делаются разложение точных уравнений

наложения ограничений h_ti = 0 и h = 0, где i —

Эйнштейна вплоть до первого порядка по возмуще-

пространственный индекс. Мы, однако, используем

ниям h_μν метрики. В разд. 4 обсуждаются вопро-

эту свободу для того, чтобы потребовать h_tα = 0

сы, связанные с поправками первого порядка к тен-

для любого α. В таком случае условие h = 0 может

зору энергии-импульса. Далее, в разд. 5 выводится

не удовлетворяться.

уравнение для распространения смешанных компо-

Все еще остается некоторая свобода координат-

нент, h^μν. Раздел 6 посвящен доказательству того,

ных преобразований с параметром ξ(3)μ, который,

что условие поперечности D_μ(h^μν - δ^μνh^αα/2) = 0 со-

вдобавок к (11), удовлетворяет условию

гласуется с уравнением распространения ГВ, и по-

этому это условие может быть введено для произ-

D_μξ(3)μ = 0.

(12)

вольной метрики. В разд. 7 представлено несколь-

Очевидно, преобразование с функциями ξ(3)μ не ме-

ко примеров реалистичных метрик, отличающихся

няет значение h.

от метрики ФЛРУ. Наконец, в разд. 8 коротко об-

Подробное обсуждение различных типов возму-

суждаются возможные приложения полученных ре-

щений (скалярных, векторных и тензорных) мож-

зультатов для случая низкочастотных ГВ.

но найти, например, в книге [3]. Однако все это

было проделано только для пространства-времени

2. ВЫБОР КАЛИБРОВКИ

ФЛРУ.

Во избежание путаницы, еще раз подчерк-

нем, что ниже мы рассматриваем произвольную

3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

пространственно-временную метрику, а не толь-

Начнем с точных уравнений Эйнштейна:

ко метрику ФЛРУ. В последнем случае выбор

калибровки в значительной степени обусловлен

R_μν -

gμν R = T μν .

(13)

конкретными свойствами метрики ФЛРУ.

Обсудим выбор условий калибровки, которые

Здесь и далее в статье T_μν и T_μν связаны с физиче-

могут быть введены для h_μν , следуя книге [1]. Осу-

ским тензором энергии-импульса постоянным мно-

ществим преобразование координат x^μ = x^μ + ξ(1)μ,

жителем:

где ξ(1)μ — малый вектор. После таких преобразова-

8π

T_μν =

T(phys)μν.

(14)

ний возмущения первого порядка, h_μν , метрики (2)

m²

преобразуются как

Верхнее подчеркивание означает, что соответ-

h_μν = h_μν - D_μξ(1)ν - D_νξ(1)μ.

(9)

ствующие точные (полные) величины рассчитыва-

ются в терминах полной метрики g_μν , см. уравне-

Пользуясь свободой выбора четырех функций ξ(1)μ,

ния (2) и (3). Мы будем рассматривать возмущения

можно наложить следующие четыре условия:

первого порядка по h_μν над фоновой метрикой g_μν

и разложим полный тензор Риччи и тензор энергии-

D_μψ^μν = 0,

(10)

импульса следующим образом:

где ψ^μν = h^μν - δ^μνh/2 и h = h^αα. В случае плоского

R_μν = R_μν + R(1)μν, T_μν = T_μν + T(1)μν,

(15)

пространства-времени условие (10) приводит к вол-

новому уравнению в классической форме, D²h^μν = 0.

предполагая, что все фоновые величины взяты в фо-

Это же уравнение верно для предела высоких час-

новой метрике g_μν .

тот (эйконального предела).

Наша цель — без каких-либо предположений

Еще осталась свобода преобразований координат

о форме фоновой метрики вывести уравнение в пер-

hμ

вида

= hμν -D^μξν2)-D_νξ(2)μ с новыми параметра-

вом порядке по возмущению, описывающее эволю-

ми ξ(2)μ, которые не нарушают условие (10). Соот-

цию h_μν .

357

Е. В. Арбузова, А. Д. Долгов, Л. А. Панасенко

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

Из условия

поэтому уравнения движения (23) и (24) не проти-

gμα g^να = δ^μ

(16)

воречат условию h = 0, если источник

μν является

бесследовым.

следует, что

Уравнение

(23) совпадает с общепринятым

gμν = g^μν - h^μν .

(17)

уравнением (1) в пустом пространстве, где R_μν

= 0,

Для скаляра Риччи имеем

но существенно отличается от

(1) в заполнен-

ном пространстве даже в пространстве-времени

R = g^αβR_αβ = (g^αβ - h^αβ)(R_αβ + R(1)αβ) =

ФЛРУ. Действительно, в пространстве ФЛРУ

=g^αβR_αβ -h^αβR_αβ +g^αβR(1)αβ.

(18)

уравнение (23) принимает вид

(

)

(

Отметим, что поправка первого порядка к скаляр-

ä⁾

∂2t -

∂²

h_ij - H∂_th_ij - 2 H² + 3

h_ij =

ной кривизне получается не просто сверткой индек-

a²

сов с помощью фоновой метрики, а содержит допол-

= -2T(1)ij,

(25)

нительный член:

в то время как общепринятое уравнение

(1) с уче-

R⁽¹⁾ = g^αβR(1)αβ - h^αβR_αβ.

(19)

том обусловленного источником слагаемого, которое

мы обозначили как

μν

, становится

Следуя книге [1], выразим возмущение тензора Рич-

(

)

∂2t -

∂²

h_ij - H∂_th_ij - 2

h_ij = -2T(1c)ij.

(26)

чи, Rμν , через возмущения метрики, hμν, как

a²

На удивление оба уравнения верны, а разреше-

R(1)μν =

(D_αD_ν h^αμ + D_αD_μh^αν) -

ние кажущегося несоответствия спрятано в разнице

между

μν и

μν

, которая, согласно уравнению (5),

(D_αD^αh_μν + D_μD_ν h),

(20)

выражается как

где ковариантная производная D_β взята по отноше-

T(1c)μν = h_ανT^αμ + g_μαT(1)αν = h_ανR^αμ + g_μαT(1)αν. (27)

нию к фоновой метрике g_μν и D^α = g^αβD_β . Здесь

Помня о том, что распространение ГВ на фоне

и ниже для поднятия и опускания индексов мы ис-

ФЛРУ описывается в предположении, что

= 0,

пользуем фоновую метрику, g^μν и g_μν .

можно также проверить, что в этой фоновой метри-

Согласно уравнению (10), h^μν удовлетворяет ус-

ке условие h^μμ = 0 выполняется просто потому, что

ловию

h_μνR^μν = 0.

D_μh^μν =

∂_νh.

(21)

Используя правила коммутации ковариантных про-

4. ПОПРАВКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

изводных приходим к результату

К ТЕНЗОРУ ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА

R(1)μν = -

D_αD^αh_μν + h^αβR_αμνβ +

Единственное возможное разрешение несоответ-

ствия между уравнениями (25) и (26) заключается

(h_αμR^αν + h_αν R^αμ).

(22)

в различии между

μν и

μν

. Стандартный вы-

вод общепринятого уравнения (1) или (26) главным

Подставляя уравнения

(22) и (18) в уравне-

образом базируется на условии

= 0, несов-

ние (13) и сохраняя только величины первого по-

местимом с условием

μν

= 0, которое на пер-

рядка, получаем следующее уравнение для тензора

вый взгляд кажется эквивалентным. Действитель-

возмущения метрики:

но, предположим, что поправки первого порядка

к тензору момента-импульса со смешанными компо-

D_αD^αh_μν - 2h^αβR_αμνβ - (h_αμR^αν + h_ανR^αμ) +

нентами равны нулю,

= 0, как это обычно де-

+h_μνR-g_μνh^αβR_αβ -

g_μνD²h = -2T(1)μν.

(23)

лают для случая пространства-времени ФЛРУ, за-

полненного идеальной жидкостью. Тогда, если мы

Взяв след, приходим к уравнению

рассматриваем уравнение для h_μν , то нам следует

опускать индексы, используя полный метрический

D²h + 4h^αβR_αβ - hR = 2g^μνT(1)μν.

(24)

тензор g_μν, тогда

В общем случае h^αβR_αβ = 0, так что можно заклю-

T_μν = g_μαT^αν = T_μν + h_μαT^αν + g_μαT(1)αν =

чить, что h = 0. С другой стороны, в пространстве-

=T_μν +h_μαT^αν.

(28)

времени ФЛРУ выполняется условие h^αβR_αβ = 0,

358

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 О распространении гравитона на фоне искривлённого пространства-времени

Последнее равенство верно, если

= 0.

которое разложим до первого порядка по возму-

Следовательно,

щению:

R^μν = R^μν + Rμ(1)ν.

(33)

T(1)μν = h_μαT^αν =

(h_μαR^αν + h_ναR^αμ - h_μν R),

(29)

(1)

Первая поправка к Rμν рассчитывается в книге [1]

где использовано уравнение Эйнштейна для фоно-

и представлена здесь в уравнениях (20) и (22). Ин-

дексы поднимаются следующим образом:

вой кривизны:

R_μν - g_μνR/2 = T_μν.

(30)

R^μν = g^βμR_νβ = (g^βμ - h^βμ)(R_νβ + R(1)νβ) =

Подставляя выражение (29) для

=R^μν -h^μβR_νβ +g^μβR(1)νβ.

(34)

μν , из уравнения

(23) получаем

Аналогично,

D_αD^αh_μν - 2h^αβR_αμνβ - g_μνh^αβR_αβ -

(1)

R=δ^αβR^βα =R-h^μβR_μβ +g^μβR

(35)

μβ

−

g_μνD²h = 0.

(31)

Наконец, в первом порядке по возмущению полу-

Поскольку последние два члена в уравнении для фо-

чаем

на ФЛРУ исчезают, мы получим каноническое урав-

нение (1).

g^μβR(1)νβ - h^μβR_νβ +

δ^μνh^αβR_αβ -

С другой стороны, каноническое уравнение (1)

или (26), которое следует из уравнения (1) для мет-

δ^μνg^αβR(1)αβ = 0,

(36)

рики ФЛРУ, изначально получено из уравнения

для h^νμ в смешанных компонентах. В этом случае

где, согласно обсуждению в предыдущем разделе,

индексы опущены с помощью фоновой метрики g_μν,

мы приняли

= 0.

поэтому из условия

=0мыполучим

μν

= 0,

Для фона ФЛРУ произведение g^αβR(1)αβ исчезает

так что оба способа в конечном счете приводят к од-

в силу условий D_αh^αβ = 0 и h^μμ = 0, и h^αβR_αβ = 0,

ному и тому же результату.

так как R_tj = 0, R_ij ∼ δ_ij , h^tμ = 0 и hⁱⁱ = 0. В то же

Заметим, что условие

= 0 не обязательно

время, оба этих произведения в общем случае нену-

верно, и существует несколько реалистичных слу-

левые, если фон отличается от фона ФЛРУ. Исхо-

чаев, когда это условие не выполняется. Например,

дя из уравнения (22), g^αβR(1)αβ = -D²h/2. При этом

= 0 в уравнении, описывающем переходы гра-

h^αβR_αβ, вообще говоря, не обращается в нуль для

витонов в фотоны во внешнем магнитном поле, даже

произвольно взятого тензора Риччи.

на фоне пространства Минковского, см., в частно-

Взяв выражение (22) для R(1)νβ и используя усло-

сти, [17]. Другой известный пример — анизотропный

вие, что для фона ФЛРУ R^ij ∼ δ^ij , приходим к вы-

тензор напряжений, который может быть индуци-

воду, что последнее слагаемое в уравнении (22) рав-

рован нейтрино и фотонами [18,19]. Все эти случаи

но h^μβ R_νβ и взаимоуничтожается со вторым слагае-

рассматриваются пертурбативно, так что фоновая

мым в левой части уравнения (36). В конечном сче-

метрика остается метрикой ФЛРУ.

те, мы получаем общепринятое уравнение для сме-

Подчеркнем, что если фоновая метрика отлича-

шанных компонент:

ется от метрики Фридмана, то последние два слага-

емых в уравнении (31) могут значительно изменить

D_αD^αh^μν - 2h^βαR^μαβν = 0,

(37)

характер решений, особенно первое из этих слагае-

мых, поскольку оно не исчезает в пределе нулевой

где индексы подняты с помощью фонового метриче-

частоты.

ского тензора g^μν .

В случае фона ФЛРУ это уравнение в переходит

в уравнение

5. УРАВНЕНИЕ

(

)

В СМЕШАННЫХ КОМПОНЕНТАХ

∂2t -

+ 3H?partial_t h^μν = 0.

(38)

a²

Теперь выведем уравнение для смешанных ком-

понент, h^μν. Для этого начнем с уравнения

Сделав переход к h_μν согласно

R^μν - δ^μνR/2 = T^μν,

(32)

h^μν = g^μαh_αν = -h_ανδ^μα/a²

(39)

359

ЖЭТФ, вып. 3 (9)

Е. В. Арбузова, А. Д. Долгов, Л. А. Панасенко

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

получаем

Действуя D_μ на член первого порядка по возму-

щению и применяя правила коммутации для кова-

(

2ä⁾

риантных производных, получаем

∂2t -

-H∂_t -

h_νμ = 0.

(40)

a²

D_μD²h^μν = D_μ(R^μσh^σν) - D_μ(R^σ..μναh^ασ) -

Уравнение совпадает с общепринятым уравнени-

ем (26), но не с уравнением (25), если предполо-

-R^σ..ανμD_αh^μσ +

D²(D_νh).

(45)

жить, что правые части обоих уравнений исчезают.

Однако, выше по тексту мы показали, что взятие

Подставляя уравнение (45) в дивергенцию от левой

= 0 в метрике ФЛРУ для смешанных компо-

части уравнения (44), получаем

нент приводит к

μν

= 0 с нижними индексами.

Полезно было бы представить уравнения в тер-

D_μ(R^μσh^σν) - D_μ(R^σ..μναh^ασ) - R^σ..ανμD_αh^μσ +

минах конформного времени, поскольку их час-

D²(D_νh) + 2D_μ(R^μσ..ναh^ασ) + h^μαD_μR^αν +

то анализируют таким образом. Но, если метрика

не является конформно-плоской, то переход к кон-

R^ανD_αh - D_μ(h^ανR^μα) - D_ν(R^αβh^βα) -

D_νD²h =

формному времени не имеет особого смысла.

= -2D_μT(1)μν.

(46)

6. ПРОВЕРКА УСЛОВИЙ ПОПЕРЕЧНОСТИ

Первое и восьмое слагаемые в левой части этого

ДЛЯ НЕНУЛЕВОГО h^µµ

уравнения взаимно уничтожаются, второе и пятое —

частично сокращаются до D_μ(R^μσ..ναh^ασ), таким обра-

В этом разделе показано, что действие кова-

зом, получаем

риантной производной D_μ на обе части уравнения

для h^μν дает самосогласованные результаты. Для

D_μ(R^μσ..ναh^ασ)-R^σ..μναD_μh^ασ +

D²(D_νh)+h^μαD_μR^αν +

простоты чтения повторим здесь некоторые урав-

нения, уже приведенные выше.

R^ανD_αh - D_ν(R^αβh^βα) -

D_νD²h =

Начнем с точных уравнений

= -2D_μT(1)μν.

(47)

R^μν -

δ^μνR = T^μν

(41)

Используя соотношения для коммутатора ковари-

антных производных, находим

и разложим T^μν = T^μν +

и R^μν = R^μν +Rν1)μ.

D²D_νh - D_νD²h = R^ανD_αh.

(48)

Таким образом, как и ожидалось, для фоновой мет-

рики получаем

Наконец, получаем

R^μν -

δ^μνR = T^μν.

(42)

h^ασD_μR^μσ..να + h^μαD_μR^αν - D_ν(R^αβh^βα) + R^μνD_μh =

= -2D_μT(1)μν

(49)

Однако здесь мы используем поправку первого

порядка к R_μν , как представлено в книге [1]:

С помощью тождества Бьянки первый член здесь

можно переписать в виде

R(1)αν =

h^ασD_μR^μσ..να = h^ασ(D_νR^σα - D_αR^σν)

(50)

(D_β D_ν h^βα + D_β D_αh^βν - D²h_αν - D_αD_ν h).

(43)

что приводит к

Чтобы поднять один нижний индекс, использу-

h^ασ(D_νR^σα - D_αR^σν) + h^μαD_μR^αν - h^βαD_νR^αβ -

ем g^μα. Тогда получим

- R^αβD_νh^βα + R^μνD_μh = -2D_μT(1)μν.

(51)

D²h^μν + 2R^μα..νβh^βα + R^ανh^μα - R^μαh^αν -

В этом уравнении все члены, содержащие производ-

(

)

ные от тензора Риччи, точно сокращаются, и в ре-

−δ^μν R^αβh^βα +

D²h

= -2T(1)μν,

(44)

зультате мы приходим к следующему уравнению,

справедливость которого надо проверить:

где D2 = gαβDαDβ и принято во внимание, что

h = h^αα = 0 и D_μh^μν = ∂_νh/2.

R^αβD_νh^βα - R^μνD_μh = 2D_μT(1)μν.

(52)

360

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022 О распространении гравитона на фоне искривлённого пространства-времени

Теперь мы должны проверить, равны ли друг дру-

7. РЕАЛИСТИЧНЫЕ МЕТРИКИ,

гу правая и левая части уравнения (52). Для этого

ОТЛИЧНЫЕ ОТ МЕТРИКИ ФЛРУ

применим следующие условия сохранения:

Интересные отклонения космологической метри-

ки от метрики Фридмана индуцируются возмуще-

D_μT^μν = 0 и D_μT^μν = 0.

(53)

ниями плотности над классическим фоном ФЛРУ.

Таким образом, в первом порядке по возмущению

Они детально рассмотрены в книгах [3, 5, 6, 20],

получаем

см. также [21]. Предположим, что существует об-

лако материи с плотностью энергии и давления,

D_μT^μν = D_μT^μν +D_μT(1)μν +Γ(1)μαμT^αν -Γ(1)ανμT^μα. (54)

которые отличаются от средних космологических.

Вообще говоря, облако может быть анизотропным,

Третий член в правой части этого уравнения равен

но влияние дополнительного члена h^αβR^βα (36) будет

нулю, потому что поправки к символам Кристоф-

проявляться даже в случае изотропного распределе-

феля в первом порядке по возмущению имеют вид

ния материи в облаке. Поэтому, для простоты, огра-

ничимся этим случаем.

Γ(1)μνα =

(D_ν h^μα + D_αh^μν - D^μh_να)

(55)

Выберем изотропные координаты подобные ко-

ординатам Шварцшильда, в которых метрика при-

и, следовательно, Γ⁽¹αμ = Dαh/2.

нимает вид

Из уравнений (54) и (55) получаем

ds² = A dt² - B δ_ij dxⁱ dx^j ,

(60)

D_μT(1)μν = Γ(1)ανμT^μα - Γ(1)μαμT^αν =

где функции A и B зависят от r и t. Соответствую-

(

)

щие символы Кристоффеля:

(D_ν h^αμ + D_μh^αν - D^αh_νμ) R^μα -

δ^μαR

∂_jA

δ^jk∂_kA

Γ^ttt =

Γ^tjt =

Γ^jtt =

−

(R^αν -

δ^ανR)D_αh.

(56)

δ_jk

δ^kj

(61)

Здесь мы учли уравнения Эйнштейна для фоновой

Γ^tjk =

Γ^kjt =

метрики (42).

Γ^klj =

(δ^kl∂_j B + δ^kj∂_lB - δ_lj δ^kn∂_nB).

После простых вычислений получаем

(

)

Соответствующий тензор Риччи дается формулами

D_μT(1)μν =

R^μαD_νh^αμ - R^μνD_μh

/2.

(57)

ΔA

3^B

3B˙

3A˙

∂^jA∂_jB

Таким образом, мы видим, что обе части в урав-

R_tt =

4B²

4AB

4B²

нении (52) равны. Это означает, что условие (10),

∂^jA∂_jA

D_μψ^μν = 0, совместимо с уравнением (44).

−

(62)

4AB

Вычислим след уравнения (44). Найдем

∂_jB

B∂_jB

B∂_jA

R_tj = -

(63)

D²h + 2R^μνh^νμ = 2T(1)μμ.

(58)

B²

2AB

( B

ΔB

AB˙ )

R_ij = δ_ij

Казалось бы, это уравнение противоречит уравне-

4AB

4A²

нию (24). Но, если мы воспользуемся соотношени-

⁽∂^kA∂_kB

∂^kB∂_kB⁾

∂_i∂_jA

∂_i∂_jB

-δ_ij

ем между

μ и g^μν

μν , которое можно получить

4AB

4B²

из уравнения (28), то получим

∂_iA∂_jA

3∂_iB∂_jB

∂_iA∂_jB + ∂_jA∂_iB

(64)

(

)

4A²

4B²

4AB

T(1)μμ = g^μνT(1)μν - h^νμ R^μν -

δ^μνR ,

(59)

Здесь и далее пространственные индексы подняты

с помощью символа Кронекера, ∂^jA = δ^jk∂_kA.

чем и восстановим согласованность.

Пространственные производные произвольной

На фоне ФЛРУ R^μαD_νh^αμ = R^μνh^νμ = 0 и обыч-

функции от r равны

ное уловие

= 0 позволяет наложить требо-

x_i

⁽δ_ij

x_ix_j )

x_ix_j

вание h = 0. Однако в случае произвольного фо-

∂_if =

f^′,

∂_i∂_if =

f^′+

f^′′,

(65)

r³

r²

на наложить одновременно условия ковариантного

сохранения источника и равенства нулю его следа,

где штрих означает дифференцирование по r. Так

по-видимому, вообще невозможно.

как R_ij содержит некоторые другие члены, помимо

361

Е. В. Арбузова, А. Д. Долгов, Л. А. Панасенко

ЖЭТФ, том 162, вып. 3 (9), 2022

тех, которые пропорциональны δ_ij, следовательно,

волны, полученный из анализа данных по поляриза-

произведение h^αβR^βα в общем случае не исчезает.

ции CMB [22], не обязательно означает, что традици-

Обычно возмущения малы, так что и A, и B сла-

онная инфляция, индуцируемая скалярным полем,

бо отклоняются от единицы, а в R_ij доминируют

инфлатоном, [23] исключена. Этот вопрос требует

члены, линейные по A и B. Для частного случая

отдельного изучения.

возмущений (A - 1) ∼ r² и (B - 1) ∼ r², см. рабо-

ту [21], таким образом, R_ij ∼ δ_ij и h^αβR^βα = 0. Одна-

Благодарности. Авторы благодарят В. А. Ру-

ко это не общий случай. Более того, известно, что

бакова за очень важный комментарий и обсуждение.

в режиме доминирвания материи возмущения рас-

Финансирование. Работа выполнена при фи-

тут как космологический масштабный фактор, по-

нансовой поддержке РНФ (грант № 20-42-09010).

этому поправка к тензору Риччи может становить-

ся близкой по величине к значению фона или даже

превышать его.

ЛИТЕРАТУРА

Есть еще несколько физически интересных мет-

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая фи-

рик, для которых произведение h^αβR^βα не равно ну-

зика. Том 2. Теория поля, Физмалит, Москва,

лю. Одним из простых примеров является коллапс

(2020).

пылеобразной сферы, описанный в книге [1]. Это так

называемое решение Толмана в отсутствие давле-

C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Grav-

ния. Тем же свойством обладает и более общее ре-

itation, W. H. Freeman and Company, San Francisco

шение Толмана с ненулевым давлением.

(1973).

V. Mukhanov, Physical Foundations of Cosmology,

Cambridge University Press, New York (2005).

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

M. Maggiore, Gravitational Waves, Oxford University

В работе показано, что для произвольного фо-

Press (2008).

на в общем случае невозможно удовлетворить сразу

двум стандартным условиям, D_μh^μν = 0 и h^μμ = 0,

С. Вайнберг, Космология, URSS, Москва (2018).

на тензорные возмущения. Показано, что усло-

вие D_μψ^μν

= 0 (10) может быть введено в лю-

Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков, Введение в теорию

бом пространстве-времени. Конечно, тензорные мо-

ранней Вселенной. Космологические возмущения.

ды могут распространяться на любом фоне, но они

Инфляционная теория, Изд-во Красанд/URSS,

Москва (2010).

могут не быть чистыми тензорными, или попереч-

ными, модами. Согласно уравнениям, выведенным

L. P. Grishchuk, Zh. Eksp. Teor. Fiz.

67, 825

в настоящей работе, тензорные и скалярные моды

(1974); Sov. Phys. JETP 40, 409 (1975).

смешиваются и распространяются вместе.

В каком-то смысле это явление похоже на рас-

S. Deser and M. Henneaux, Class. Quant. Grav. 24,

пространение электромагнитных волн в плазме, ко-

1683 (2007) [arXiv:gr-qc/0611157].

гда возбуждаются продольные моды. Более того,

в неоднородной и анизотропной плазме режимы рас-

E. M. Lifshitz, Zh. Eksp. Teor. Phys. 16, 587 (1946).

пространения мод могут быть еще более сложны-

10.

Е. М. Лифшиц, И. М. Халатников, УФН, 80, 391

ми. Однако в пределе высоких частот (эйкональ-

(1963).

ном приближении) мы возвращаемся в «привычное

русло».

11.

А. В. Захаров, ЖЭТФ 77, 434 (1979).

Обнаруженный в настоящей работе дополни-

тельный член в уравнении распространения грави-

12.

А. А. Старобинский, Письма в ЖЭТФ 30, 719

тационных волн на фоне, который отличается от фо-

(1979).

на ФЛРУ, может значительно повлиять на фор-

13.

V. A. Rubakov, M. V. Sazhin, and A. V. Veryaskin,

му низкочастотного хвоста в спектре ГВ, в част-

Phys. Lett. B 115, 189 (1982).

ности на ГВ, которые были сгененированы в тече-

ние инфляции, см. работы [12,13]. Их интенсивность

14.

L. Parker, Phys. Rev. Lett. 21, 562 (1968).

на низких частотах может быть значительно подав-

лена. Из-за этого строгий предел на очень длинные

15.

L. Parker, Phys. Rev. 183, 1057 (1969).

362